BÖLÜM 1. GİRİŞ Mekanik Nedir

7 BÖLÜM 1. GİRİŞ

1.1. Mekanik Nedir

Mekanik kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin denge ve hareket koşullarını açıklayan ve inceleyen bilimdir. Mekanik 3 kısma ayrılır:

1) Rijit cisimlerin mekaniği

2) Şekil değiştirebilen cisimlerin mekaniği 3) Akışkanlar mekaniği

Rijit cisimlerin mekaniği de 2 kısma ayrılır:

*) Statik: Dengede olan cisimler (hareket yoktur) ile ilgilenir

*) Dinamik: Hareketli cisimler (hareket vardır) ile ilgilenir.

Rijit cisim mekaniğinde cisimlerin tam rijit oldukları kabul edilir. Oysa inşaat ve makine malzemeleri az da olsa şekil değiştirirler. Ancak, bu şekil değiştirmeler denge ve hareket durumuna etki etmez, sistemin göçme mukavemetine etki edebilir ve kuvvetlerin iletilişini değiştirebilir. Mukavemet konusu incelenirken şekil değiştirmeler de incelemelere katılır.

Mekanik gerçekte fiziğin bir dalıdır. Analiz yöntemleri matematik gibi tümden gelimle ve kesindir.

Ampirik değildir. Ancak uygulamaya yönelik bir bilimdir. Amacı fiziksel olayları açıklamak ve önceden tahmin etmek ve böylece mühendislik uygulamasına temel oluşturmaktır.

8 1.2. Temel Kavram ve İlkeler

Mekanik M.Ö. 384’te Aristotales’le başlayıp Einstein’ın 1905’te relativite teorisini ortaya atmasına kadar çeşitli evrelerden geçmiştir. Newton mekaniği mühendislik işlerinde hemen her zaman kullanılabilmektedir. Mekanikte temel kavramlar uzay, zaman, kütle ve kuvvettir.

Uzay: Uzay kavramı bir P noktasının yerini (bir başlangıçtan üç doğrultudaki uzaklığı ile) belirtir.

Zaman: Hareketleri ifade etmek için bir cismin noktalarının peşpeşe yerinin değişimini belirler.

Kütle: Kütle kavramı cisimleri belirli mekanik olaylar yönünden karakterize eden bir büyüklüktür.

Kuvvet: Bir cismin diğerine etkisini gösterir. Dokunma ile veya dokunmadan etki olabilir. Kuvvetin uygulama noktası, şiddeti, doğrultu ve yönü vardır. Kuvvet vektörel bir büyüklüktür.

Newton mekaniğinde uzay, zaman ve kütle birbirinden farklı kavramlardır. Kuvvet kavramı diğer üçü ile yakından ilgilidir. (Newton’un ikinci kanunu)

Şekil 1.1 P

Z

Y

Xp X

Yp

Zp

9 Mekanikte basitleştirmeler (idealizasyonlar)

1-Sürekli ortam: İncelenen cisimlerin sürekli olduğu ve içinde boşluk, çatlak olmadığı kabul edilir.

2-Rijit cisim: Statikte cisimler, yükler etkisinde şekil değiştirmez kabul edilir.

3-Maddesel nokta: Cismi kütlesi olduğu, ancak, büyüklüğü olmadığı varsayımı ile ele alır cisimdir.

4-Nokta kuvvet:

Uzayda bir noktada toplandığı kabul edilen bir kütlenin oluşturduğu cisme maddesel nokta denir. Bu bir basitleştirme olup hesapları çok kolaylaştırır. Bunun yapılmadığı diğer cisimler için hesaplar maddesel noktalar takımı şeklinde ele alınır.

Şekil 1.2 Rijit cisim

P

Şekil değiştirebilen cisim P

W Dokunmanın noktada olduğu kabul edilir (sonsuz küçük alanda basınç sonsuz olur ve gerçekte ezilme olup sonlu küçük alana yayılır.

Şekil 1.3

10 Elemanter mekanik deneyden elde edilen altı temel ilkeye dayanır.

1-Kuvvetlerin toplanması için paralelkenar kanunu: Bir cismin bir noktasına etkiyen iki kuvvetin yerine iki kuvvetin vektörlerinden oluşan paralelkenarın köşegeni kuvvet vektörü olarak alınabilir.

2-Kaydırılabilme ilkesi: Bir rijit cismin bir noktasına etkiyen kuvvet vektörü kendi etkime çizgisinde başka bir noktaya şiddet ve yönü değiştirilmeden kaydırılabilir.

Bu ilke rijit cisimler için geçerlidir. Diğer cisimler (şekil değiştirebilen cisimler ve parçalardan oluşan cisimler) için bu ilke uygulanamaz. Aşağıda iki durum için açıklama görülmektedir:

Şekil 1.4’te cisim her iki durumda da dengededir. Rijit cisim olarak kaydırmalarla cismin denge durumu bozulmamıştır ve zaten rijit cisim olarak yatay doğrultuda basınçtan çekmeye dönmesinin hiç farkı yoktur.

Fakat şekil değiştiren cisim olsa solda cisim kısalırkan sağda uzardı, yani kaydırılma ilkesi geçerli olmazdı.

Şekil 1.5’te iki prizma rijit bir tek cisim oluşturan kaynaklı parçalar ise A, B ile bitişik kalarak soldaki durumla aynı hareketi yapar ve kaydırılabilme ilkesi geçerlidir A serbest oturuyorsa solda A’nın devrilme veya kayma olasılığı varken sağda A, B’nin üzerinde ona göre durumunu değiştirmeden durur. Yani iki parça bir cisim oluşturuyorlarsa kaydırılabilme ilkesi geçerlidir, yalnız dokunuyor veya mafsallı iseler geçerli değildir. Çünkü kuvvet bir parçadan öbürüne geçince A-B dokunma yüzeyinde değişik etki oluşur.

Şekil 1.4

A B

=

A B

Rijit cisim

Şekil 1.5.

A A

B F

A ve B iki ayrı rijit cisim A B

F

P1=8t P2=8t P2=8t

G H

P1=8t

11 3-Newton’un birinci kanunu: Bir maddesel noktaya etki eden bileşke kuvvet sıfır

ise maddesel nokta (başlangıçta hareketsiz ise) hareketsiz kalır ve (başlangıçta hareketli ise) hızının şiddet ve doğrultusu sabit kalarak hareketine devam eder.

4-Newton’un ikinci kanunu: Bir maddesel noktaya etkiyen bileşke kuvvet sıfır değilse maddesel nokta bu kuvvetin şiddeti ile orantılı ve onun doğrultu ve yönünde bir ivme ile hareket eder. ∑ F⃗ = ma⃗

5-Newton’un üçüncü kanunu: Birbirine dokunan cisimler arasındaki etki ve tepki kuvvetleri aynı şiddette aynı etkime çizgisi üzerinde ve zıt yöndedirler.

6-Newton’un çekim kanunu: Kütleleri M ve m olan iki maddesel nokta karşılıklı olarak eşit ve zıt yönlü F⃗ ve −F⃗⃗⃗⃗⃗ kuvvetleri ile birbirlerini çekerler.

F = G^{M m}

r²

G: Evrensel çekim sabiti

r= iki maddesel nokta arasındaki uzaklık Dünya üzerinde ağırlık bu tür bir kuvettir. h<<R F = G^{M m}

r² w = G^{M m}

R² = mg g = G^M

R² g = G^M

R² İvmenin kutuplarda ve ekvatorda, deniz seviyesinde farklı olmasının sebebi R’nin farklılığıdır.

Şekil 1.6.

m

M

R

r m

h

12 1.3. Birimler

Temel kavramların nicelik olarak ifadesi için dört birime ihtiyaç vardır. Bunlar zaman, uzunluk, kütle ve kuvvet birimleridir. Ancak, bunlar birbirinden bağımsız olamaz. Üçü bağımsız seçildiği zaman.

dördüncüsü F=ma formülüne uygun seçilmelidir. Bu derste 2 birim sistemi kullanılacaktır. Bunlardan birisi Teknik Metrik Birim Sistemi(TMBS) diğeri SI(uluslararası birim sistem) olup, daha çok ikincisi kullanılacaktır

Kavram Simge TMBS SI

Uzunluk L metre(m) metre(m)

Zaman t saniye(san) saniye(san)

Kuvvet F kilogram(kgf) Newton(kg*m/sn²)

Kütle m Teknik Metrik Kütle Birimi kilogram(kg) (kgf*sn²)/m

Temel boyutlar---L, t, m Veya---L, t, F Türetilmiş boyutlar- Hız v =L/t, Moment M = F*L … 1.3.1. Boyut homojenliği

Bir denklemin her iki yanında toplanan ve çıkarılan her terim aynı boyutta ise o denklemin boyut homojenliği vardır denir.

a, b, c uzunluk göstersin ve T peryot göstersin(yani zaman) a²=bT+c ise

L²=L t + L boyut homojenliği yoktur. F = ma gibi teorik bağıntılar boyut homojenliğine sahiptir.

Bir birimden diğer birime geçerken o birim cinsinden eşdeğerini yazmak yeterlidir veya 1’e denk kesirler ile çarpmak gerekir.

100^km

sa = 100 ∗ ^1000m

3600 sn= 27,78 m sn⁄ 100^km

sa = 100^km

sa ∗ (^1000m

1 km) ∗ ( ^{1 sa}

3600 sn) = 27,78 m sn⁄

13 1.4. Problem Çözümünde Yöntem

Bir mekanik probleminde belirtilen 6 temel ilkeye bağlı kalmak koşuluyla bilinen matematik işlemler kullanılarak çözüm yapılır.

1.5. Sayısal Doğruluk

Bir problemin çözümündeki doğruluk iki koşula bağlıdır.

1) Verilerdeki doğruluk

2) Yapılan hesaplardaki doğruluk

Bulunan bir sonucun doğruluğu verilerdeki ve yapılan kabullerdeki doğruluk yüzdelerinin daha az doğru olanından daha doğru olamaz. Veriler %5 hatalı ve yapılan kabul %10 hatalı ise sonucun

%10’dan daha az hatalı olduğu söylenemez.

ÖRNEK:

Bir akışkan içinde hareket eden cisme etkiyen sıvı direnci 𝐹 =¹

2 𝐶_𝐷 𝜌 𝑣² 𝐴 şeklinde verilmiştir F: direnç kuvveti, mL/t²

ρ: akışkan yoğunluğu, m/L³ 𝑣: cismin akışkan içindeki hızı, L/t A: cismin dik kesit alanı, L²

Sıvı direnç sabiti C_D ′nin boyutu nedir?

mL/t²=[CD] m/L³ (L/t)² L² [CD]=1 CD sabiti Pi sayısı gibi boyutsuzdur.

14 ÖRNEK:

Dünyanın yarıçapı 6400 km ayın yarıçapı 1738 km ve ay yüzünde ayın çekim ivmesi 1,6 m/sn² dir.

Dünyanın kütlesinin ayın kütlesine oranını bulunuz. (gdünya=9,81 m/sn² )

g = G^M

R² g_ay = G^May

R_ay² g_dünya = G^Mdünya

R_dünya²

g_dünya g_ay =

G ^Mdünya Rdünya2 G ^May

Ray2

^9,81

1,6 = ^Mdünya

R_dünya^{2 Ray2}

M_ay ^9,81

1,6 = ^Mdünya

M_ay ¹⁷³⁸

2

6400^{2 Mdünya}

M_ay = 83,1 Şekil 1.7.

May

Mdünya

Rdünya

Ray

15 ÖRNEK:

20 t/cm

basıncı SI birim sistemine çeviriniz.

20

cm²

= 20

cm²

∗ (

1t

) ∗ [

(1m)²

] =2*10

(10N)/m

=2*10

N/m

=2*10

Pa

ÖRNEK:

2 km/sa hızı m/sn cinsinden ifade ediniz.

2

𝑠𝑎

= 2

𝑠𝑎

∗ (

1 km

) ∗ (

3600 sn

) =0,556 m/sn

16

1.6. Vektör İşlemleri Hakkında Temel Kurallar

1.6.1. Skaler ile Çarpım ve Toplama Kuralları

1) A ⃗⃗ + B ⃗⃗ = B ⃗⃗ + A ⃗⃗

2) A ⃗⃗ + (B ⃗⃗ + C⃗ ) = (A ⃗⃗ + B ⃗⃗ ) + C⃗

3) A ⃗⃗ m = mA ⃗⃗ m:skaler bir sayı 4) m(nA ⃗⃗ ) = (mn)A ⃗⃗ m,n:skaler sayılar 5) (m + n)A ⃗⃗ = mA ⃗⃗ + nA ⃗⃗ m,n:skaler sayılar 6) m(A ⃗⃗ + B ⃗⃗ ) = mA ⃗⃗ + mB ⃗⃗ m:skaler bir sayı

1.6.2. 𝐀 ⃗⃗ Doğrultusunda Birim Vektör a⃗ =

A

A = |A ⃗⃗ |: A ⃗⃗ vektörünün şiddeti a⃗ : A ⃗⃗ vektörünün birim vektörü

Şekil 1.8.

a⃗

A⃗⃗

a = 1

17

1.6.3. Vektörlerin Bileşenlere Ayrılması

Bir vektörün verilen iki doğrultuda bileşenlere ayrılması Şekil 1.9’da görülmektedir

Bir vektör sistemi F

, F

, … F

için toplam, vektörleri peşpeşe birleştirerek elde edilebilir.

Şekil 1.9 F⃗

2

1

Şekil 1.10

F⃗ _R F₂

⃗⃗⃗⃗

F₁

⃗⃗⃗⃗

F₇

⃗⃗⃗⃗

F₆

⃗⃗⃗⃗

F₅

⃗⃗⃗⃗

F₄

⃗⃗⃗⃗

F₃

⃗⃗⃗⃗

F⃗ F₂

⃗⃗⃗⃗

F₁

⃗⃗⃗⃗

2

1 KESİŞME NOKTASI

2

18

Bu tür problemler ya trigonometrik bağıntılarla çözülür ya da dik bileşenler cinsinden çözülür. Dik bileşenler bir tür vektörleri bileşenlere ayırmadır. Seçilen üç doğrultu birbirine diktir.

𝐹 = 𝐹 ⃗⃗⃗ + 𝐹

⃗⃗⃗ + 𝐹

⃗⃗⃗ 𝐹 = 𝐹

𝑖 + 𝐹

𝑗 + 𝐹

𝑘⃗

𝐹

⃗⃗⃗ = 𝐹

𝑖 𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹

𝑗 𝐹 ⃗⃗⃗ = 𝐹

𝑘⃗ 𝐹 = 5𝑖 + 3𝑗 + 4𝑘⃗

𝐹

⃗⃗⃗ = 5𝑖 𝐹 ⃗⃗⃗ = 3𝑗 𝐹

⃗⃗⃗ = 4𝑘⃗ 𝐹

= 5 𝐹

= 3 𝐹

= 4

F⃗

F_y

⃗⃗⃗⃗

F_x

⃗⃗⃗⃗

F⃗⃗⃗⃗ _𝑧

z

y

x Şekil 1.11

F⃗

𝑗_⬚

⃗⃗⃗⃗

𝑖_⬚

⃗⃗⃗⃗

𝑘_⬚

⃗⃗⃗⃗⃗

z

y

x

19

1.6.4. Skaler (Nokta) Çarpım A ⃗⃗ °B ⃗⃗ = A ∗ B ∗ cos θ

A = A ⃗⃗ vektörünün şiddeti 𝐵 = B ⃗⃗ vektörünün şiddeti 1) A ⃗⃗ °B ⃗⃗ = B ⃗⃗ °A ⃗⃗

2) A ⃗⃗ °(B ⃗⃗ + C⃗ ) = A ⃗⃗ °B ⃗⃗ + A ⃗⃗ °C⃗

3) m ∗ (A ⃗⃗ °B ⃗⃗ ) = (mA ⃗⃗ )°B ⃗⃗ = A ⃗⃗ °(mB ⃗⃗ ) = (A ⃗⃗ °B ⃗⃗ ) ∗ m m: skaler bir sayı 4) A ⃗⃗ = A

i + A

j + A

k ⃗ B ⃗⃗ = B

i + B

j + B

k ⃗

A ⃗⃗ °B ⃗⃗ = A

∗ B

+ A

∗ B

+ A

∗ B

A ⃗⃗ °A ⃗⃗ = A

∗ A

+ A

∗ A

+ A

∗ A

= A

+ A

+ A

, A = |A ⃗⃗ | = √|A

⃗⃗ |°|A ⃗⃗ |

5) Eğer A ⃗⃗ °B ⃗⃗ = 0 ve A ⃗⃗ ve B ⃗⃗ sıfır vektör değilse A ⃗⃗⃗ ve B ⃗⃗ vektörleri birbirine diktir.

6) A ⃗⃗ nın B ⃗⃗ üzerindeki izdüşümü A ⃗⃗ °

|B⃗⃗ |

= A ⃗⃗ °b⃗ olur.

Şekil 1.12. 𝐴 𝜃

𝐵⃗

𝑖 °𝑖 = 1 𝑗 °𝑘⃗ = 0

20

1.6.5. Vektörel Çarpım

A ⃗⃗ × B ⃗⃗ = (A ∗ B ∗ sin θ) ∗ 𝑢⃗ 0 ≤ θ ≤ π

Burada u ⃗ (A ⃗⃗ , B ⃗⃗ , u⃗ ) sağ takım yapacak şekilde A ve B vektörlerinin düzlemine dik birim vektördür. Eğer Burada A ⃗⃗ = B ⃗⃗ veya A ⃗⃗ ve B ⃗⃗ birbirine paralel ise sin 𝜃 = 0 olduğundan A ⃗⃗ × B ⃗⃗ = 0⃗ olur.

1) A ⃗⃗ × B ⃗⃗ = −B ⃗⃗ × A ⃗⃗

2) A ⃗⃗ × (B ⃗⃗ + C⃗ ) = A ⃗⃗ × B ⃗⃗ + A ⃗⃗ × C⃗

3) m ∗ (A ⃗⃗ × B ⃗⃗ ) = (mA ⃗⃗ ) × B ⃗⃗ = A ⃗⃗ × (mB ⃗⃗ ) = (A ⃗⃗ × B ⃗⃗ ) ∗ m m: skaler bir sayı 4) i × i = 0 ⃗ j × i = −k ⃗ k ⃗ × i = j

i × j = k ⃗ j × j = 0 ⃗ k ⃗ × j = −i i × k ⃗ = −j j × k ⃗ = i k ⃗ × k⃗ = 0⃗

5) A ⃗⃗ = A

i + A

j + A

k ⃗ B ⃗⃗ = B

i + B

j + B

k ⃗

A ⃗⃗ × B ⃗⃗ = |

i j k ⃗ A

A

A

B

B

B

|

Şekil 1.13.

𝑖

+

𝑘⃗ 𝑗

−

21

6) Eğer A ⃗⃗ × B ⃗⃗ = 0⃗ ve A ⃗⃗ ve B ⃗⃗ sıfır vektör değillerse A ⃗⃗ = B ⃗⃗ veya A ⃗⃗ ve B ⃗⃗ birbirine paraleldir. A ⃗⃗ ve B ⃗⃗ kenarları olan paralelkenar alanı |A ⃗⃗ × B ⃗⃗ | olur.

ALAN = |A ⃗⃗ × B ⃗⃗ | = B*A*sin

1.6.6. Üçlü Çarpımlar

1) (A ⃗⃗ °B ⃗⃗ )C⃗ ≠ A ⃗⃗ (B ⃗⃗ °C⃗ )

2) A ⃗⃗ °(B ⃗⃗ × C⃗ ) = B ⃗⃗ °(C⃗ × A ⃗⃗ ) = C⃗ °(A ⃗⃗ × B ⃗⃗ ) A ⃗⃗ = A

i + A

j + A

k ⃗

B ⃗⃗ = B

i + B

j + B

k ⃗

𝐶 = C

i + C

j + C

k ⃗

(-)…(-)…(-) A ⃗⃗ °(B ⃗⃗ × C⃗ ) = |

A

A

A

B

B

B

C

C

C

| = |

A

A

A

B

B

B

C

C

C

|

A

A

B

B

C

C

Şekil 1.14 Ɵ

A*sinƟ 𝐴

𝐵⃗

Şekil 1.15.

𝐴

+

𝐵⃗ 𝐶

(+) (+) (+)

22

3) A ⃗⃗ × (B ⃗⃗ × C⃗ ) ≠ (A ⃗⃗ × B ⃗⃗ ) × C⃗

[A ⃗⃗ °(B ⃗⃗ × C⃗ )] Skaler üçlü çarpım [A ⃗⃗ °(B ⃗⃗ × C⃗ )] = [𝐴, 𝐵, 𝐶] kutu çarpım A ⃗⃗ × (B ⃗⃗ × C⃗ ) vektörel üçlü çarpım A ⃗⃗ °(B ⃗⃗ × C⃗ ) anlamlı

A ⃗⃗ ∗ (B ⃗⃗ × C⃗ ) anlamsız

A ⃗⃗ , B ⃗⃗ , C⃗ üzerine kurulmuş

Paralelyüzlü Hacmi=[A ⃗⃗ °(B ⃗⃗ × C⃗ )] = [𝐴, 𝐵, 𝐶]

Şekil 1.16 Ɵ C⃗⃗⃗⃗⃗ _⬚

𝐵_⬚

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A_⬚

⃗⃗⃗⃗⃗

23

1.6.7. Vektörlerin Eşitliği ve Eşdeğerliliği

İki vektörün boyutu, şiddeti, doğrultusu ve yönü aynı ise o iki vektör eşittir.

İki vektör belirli bir fiziksel bakımdan aynı sonucu doğuruyorsa iki vektör eşdeğerdir. Eşit vektörler eşdeğer olmak zorunda değildir.

Vektörlerin eşdeğerliliği mekanikte 3 önemli şekilde ortaya çıkar

Şekil 1.17 A

B

Yalnız alt

kısım kısalır

Şekil değiştiren cisimler için F’ler eşdeğerli değildirler.

(Şekil değiştiren cisim mekaniğinde kuvvet vektörü bağlı vektördür.) m

A B F

İki kısım da kısalır

A ile B birleşik tek bir cisimdir.

24

i) Serbest Vektörler

Boyut, şiddet, doğrultu ve yönleri aynı kaldıkça uzayda her yere etkileri değişmeden taşınabilen vektörlere serbest vektörler denir. Örneğin maddesel nokta mekaniğinde kuvvet bir serbest vektördür. Kuvvet çifti momenti ise rijit cisim mekaniğinde serbest vektördür. (Şekil 1.18)

EŞDEĞERLİLİK

G

Şekil 1.18

𝐴 =𝐵⃗

A⃗⃗

𝐵⃗

𝐵⃗⃗⃗

RİJİT CİSİM MEKANİĞİNDE

SERBEST KUVVET ÇİFTİ

MOMENT VEKTÖRLERİ

MADDESEL NOKTA

MEKANİĞİNDE SERBEST KUVVET VEKTÖRLERİ

EŞDEĞERLİ

𝐴⃗⃗⃗

𝐴⃗⃗⃗

𝐵⃗⃗⃗

𝐴 =−𝐵⃗

d

d

25

ii) Kayıcı Vektörler

Boyut, şiddet, doğrultu ve yönleri aynı kalarak tesir çizgileri boyunca kaydırıldıklarında mekanik etkileri değişmeyen vektörlere kayıcı vektörler denir.

B

Şekil 1.19

F⃗ A A B F⃗

≡

Rijit cisim mekaniğinde eşdeğerlidirler (statik, dinamik) Bu iki vektörün biri A’da diğeri B’dedir.

ÖNCE SONRA

26

Aynı mekanik etkiyi oluşturmak için boyut, şiddet, doğrultu ve yön dışında etkime noktasının da değişmemesi gereken vektörlere bağlı vektörler denir.

Şekil 1.20’de soldaki durumda F kuvveti B noktasındadır. Yani, B noktasına bağlıdır diye düşünülebilir.

Şekil 1.20 A

B F

Yalnız alttaki kısalır

Şekil değiştiren cisimler mekniğinde kuvvet bağlı vektördür.

Burada eşdeğerlilik yoktur.

A

B F

İkisi de kısalır F

27

ÖRNEK:

a = |A ⃗⃗ |, b = |B ⃗⃗ |, c = |C⃗ | ise bir üçgen için kosinüs kanununu çıkarınız.

A ⃗⃗ + B ⃗⃗ = C⃗ B ⃗⃗ = C⃗ − A ⃗⃗ B ⃗⃗ °B ⃗⃗ = (C⃗ − A ⃗⃗ )°(C⃗ − A ⃗⃗ ) b

= C ⃗ °C⃗ + A ⃗⃗ °A ⃗⃗ − A ⃗⃗ °C⃗ − C⃗ °A ⃗⃗

b

= C ⃗ °C⃗ + A ⃗⃗ °A ⃗⃗ − 2 ∗ A ⃗⃗ °C⃗

b

= c

+ a

− 2 ∗ a ∗ c ∗ cos α

Şekil 1.21 B⃗⃗

C⃗

A⃗⃗

α

28

ÖRNEK:

a = |A ⃗⃗ |, b = |B ⃗⃗ |, c = |C⃗ | ise bir üçgen için sinüs kanununu çıkarınız.

B ⃗⃗ = C⃗ − A ⃗⃗ B ⃗⃗ × (C⃗ − A ⃗⃗ ) = 0⃗

(c ∗ b ∗ sinθ

− b ∗ a ∗ sinθ

)i ⃗⃗⃗ = 0

⃗

c ∗ b ∗ sinθ

− b ∗ a ∗ sinθ

= 0

sinθ_AB

=

sinθ_BC Şekil 1.22.

B⃗⃗

C⃗

A⃗⃗

𝜃_𝐴𝐶 𝜃_𝐴𝐵

𝜃_𝐵𝐶

29 ÖRNEK:

A⃗⃗ = 3i − 2j + k⃗ B⃗⃗ = i − 3j + 5k⃗ 𝐶 = 2i + j − 4k⃗ vektörlerinin bir dik üçgen oluşturduğunu gösteriniz.

∓A⃗⃗ = 𝐵⃗ ∓ 𝐶 ∓C⃗ = 𝐴 ∓ 𝐵⃗ ∓B⃗⃗ = 𝐴 ∓ 𝐶

durumlarından biri doğru olabilir. Bunlardan birisi doğru ise bir üçgen oluşur. O zaman bir de A⃗⃗ °𝐶 = 0, 𝐵⃗ °𝐶 = 0, A⃗⃗ °𝐵⃗ = 0

durumlarından birinin doğru olup olmadığına bakılır. Bunlardan biri de sağlanırsa 3 vektörün bir dik üçgen oluşturduğu anlaşılır.

A⃗⃗ = 𝐵⃗ + 𝐶

(3i − 2j + k⃗ ) = (i − 3j + 5k⃗ ) + (2i + j − 4k⃗ ) (3i − 2j + k⃗ ) = (3i − 2j + k⃗ )

A⃗⃗ °𝐶 = 3 ∗ 2 + (−2) ∗ 1 + 1 ∗ (−4) = 0

30 ÖRNEK:

Bir A vektörü (0, 1, 3) noktasından (-1, 2, 4) noktasına doğru yönlenmiştir. Bu vektörün şiddeti 70 birim ise bu vektörü birim vektörler cinsinden gösteriniz

𝑎 = ^𝐴

|𝐴 | 𝐴 = |𝐴 | ∗ 𝑎 𝐴 = 70 ∗ 𝑎

𝐴 = 70 (−1−0)𝑖 +(2−1)𝑗 +(4−3)𝑘⃗

√(−1−0)²+(2−1)²+(4−3)² A⃗⃗ =⁷⁰

√3(−i + j + k⃗ )

31

ÖRNEK:

Şekildeki eğik piramidin ADE ve BCE yüzleri arasındaki açıyı bulunuz.

Şekil 1.23 z

y

A(20, 0, 0)

x B(20, 40, 0)

C(0, 40, 0) D(0, 0, 0)

E(5, 50, 80)

20cm

40cm

Şekil 1.24 n₁

⃗⃗⃗⃗

Ɵ α z

y B, C

E

A, D

n₂

⃗⃗⃗⃗

32

DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 5i + 50j + 80k⃗ DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 20i n

⃗⃗⃗⃗ =

|DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ×DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

=

√1000²+1600²

= −0,847j + 0,530k ⃗

BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = −20i BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = −15i + 10j + 80k⃗

n

⃗⃗⃗⃗ =

|BC⃗⃗⃗⃗⃗ ×BE⃗⃗⃗⃗⃗ |

=

√(−200)²+1600²

= 0,992j − 0,125k ⃗

n

⃗⃗⃗⃗ °n ⃗⃗⃗⃗ = |n

⃗⃗⃗⃗ | ∗ |n

⃗⃗⃗⃗ |cosθ = cosθ

Cos𝜃=(-0,847)*(0,992)+(0,530)*(-0,125)=-0,906 𝜃=155

90+90+𝛼 + 𝜃=360

𝛼=180-𝜃=25

33

ÖRNEK:

Şekilde gösterilen ve bir noktaya etkiyen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz.

F

⃗⃗⃗⃗ = 50i F ⃗⃗⃗⃗ = 25(−

2

i +

2

j ) F

⃗⃗⃗⃗ = F ⃗⃗⃗⃗ + F

⃗⃗⃗⃗ =32,32i + 17,68j

|F ⃗ |=36,84 kg F

⃗⃗⃗⃗

Tanα=F

/F

=17,68/32,32=0,547 α=28,7

Şekil 1.25 F2=25 kg

F1=50 kg 135⁰

y

x

Şekil 1.26.

α

34

ÖRNEK:

Şekildeki OC köşegeni doğrultusundaki 2500 kg şiddetindeki kuvvetin B’den A’ya giden eksen üzerindeki izdüşümünü bulunuz.

A(5, 0, 8) B(0, 10, 0) C(5, 10, 8) F ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2500(

√5²+10²+8²

) = 910i + 1818j + 1455k ⃗ u

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (

√5²+(−10)²+8²

) = 0,364i − 0,728j + 0,5825k ⃗

|𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝐹 °𝑢

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-145,5kg (Negatiflik A’dan B’ye doğru oluşunu gösterir.)

Şekil 1.27 F⃗

B 𝑢_𝐵𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A

z

x y

C O

10m

5m 8m