ELEKTROMAGNETİK TEORİ Güz Dönemi Örgün Öğretim Ara Sınavı

(1)

ELEKTROMAGNETİK TEORİ

2019-2020 Güz Dönemi Örgün Öğretim Ara Sınavı

1. Bir dipol yük sisteminde dipol momentin ( 𝑝⃗ ) potansiyele katkısı, 𝑟⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ seçimi için şu şekilde verilmektedir: ^′

𝑉_𝑑𝑖𝑝(𝑟) = 1 4𝜋𝜀₀

𝑟⃗. 𝑝⃗

𝑟³

Bu dipolün oluşturduğu elektrik alanın aşağıdaki ifadelerden biri şeklinde verilebileceğini gösteriniz. (30 Puan)

𝐸⃗⃗_𝑑𝑖𝑝(𝑟, 𝜃) = 𝑝

4𝜋𝜀₀(2 cos 𝜃 𝑒̂ + sin 𝜃 𝑒_𝑟 ̂_𝜃

𝑟³ ) 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐸⃗⃗_𝑑𝑖𝑝(𝑟) = 1

4𝜋𝜀₀[3(𝑝⃗. 𝑒̂ )𝑒_𝑟 ̂ − 𝑝⃗_𝑟

𝑟³ ]

2. 𝜌(𝑟^′) sürekli yük dağılımının bir 𝑟⃗ noktasında oluşturduğu elektrik alan ifadesinden yola çıkarak, hem integral formda hem de diferansiyel formda 1. Maxwell denklemini türetiniz. (30 Puan)

3. Homojen λ çizgisel yük yoğunluğuna sahip 𝑙 uzunluğundaki bir çubuk 𝑥 ekseni boyunca şekildeki gibi yerleştirilmiştir.

Çubuğun 𝑟⃗ = 0⃗⃗ ’da meydana getirdiği,

a. Potansiyeli doğrudan doğruya integrasyon ile hesaplayınız. (10 Puan)

b. Elektrik alanı hesaplayınız. (10 Puan)

4. Şekilde verilen 𝑅 yarıçaplı yarım küre kabuğu homojen bir 𝜎 yüzeysel yük yoğunluğuna sahiptir. Bir 𝑞^′yükünü 𝑟⃗⃗⃗⃗ = 𝑅𝑘̂ noktasından 𝑟_𝑇 ⃗⃗⃗⃗ = 0₀ ⃗⃗

noktasına getirmek için gereken işi hesaplayınız. (20 Puan)

5. Bir bölgedeki elektrik alan küresel koordinatlarda, 𝑎 ve 𝑏 sabitler olmak üzere aşağıdaki gibi verilmektedir:

𝐸⃗⃗(𝑟, 𝜃, 𝜙) =𝑎 𝑒⃗⃗⃗⃗ + 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑒_𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ _𝜙 𝑟

Bir +𝑞 yükünü 𝐴(1,^𝜋₂,^𝜋

2) ‘den 𝐵(3,^𝜋

2,^𝜋

2) noktasına götürmek için yapılması gereken iş nedir? (30 Puan) Ad ve Soyad :

Numara : Bölüm :

04.11.2019

Soru: 1 2 3 4 5 6 7 8 Toplam

Türü: S S S S S S S S ---

Puan:

(2)

yoğunluğu, 𝛒_𝟏=^𝐴

𝜌 hacimsel yük yoğunluğuna sahip 𝑎 yarıçapında bir silindir şeklinde iç kılıf ile kuşatılmıştır. Tüm koaksiyel kablo ise iç yarıçapı 𝑏, dış yarıçapı 𝑐 olan olan ve üzerinde 𝛒_𝟐= −B𝜌² hacimsel yük yoğunluğu taşıyan silindirik dış kabuk ile kuşatılmıştır. Dış kabuğun yükü, tüm koaksiyel kablonun yükünü nötr yapacak şekildedir. 𝐴 ve 𝐵 sabitlerdir. İç kılıfın yüzeyi ile dış kılıfın iç yüzeyi arasındaki potansiyel farkı hesaplayınız. (30 Puan)

7. Dört parçacık şekilde gösterildği gibi başlangıç noktasından 𝑎 uzaklığındaki noktalara yerleştirilmiştir.

a. Potansiyel için, başlangıç noktasından uzaklarda geçerli olan basit bir yaklaşık formülü dipol yaklaşıklığında bulunuz. (10 Puan)

b. Sistemin kuvadrupol momentini veren matrisin sadece köşegen elemanlarını hesaplayınız. (10 Puan)

8. Yandaki şekildeki yalıtkan ince bir çubuğa toplam 𝑄 yükü 𝜆 = 𝑘𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥/𝑎) şeklinde dağııtılmaktadır. Bu yük dağılımında merkezden çok uzak bir noktadaki potansiyel için multipol açılımındaki sadece sıfırdan farklı ilk terimi hesaplayınız.

(20 Puan)

Not:

• 1. ve 2. sorulardan bir tanesi seçilmelidir!

Dolayısıyla soru kağıdındaki 8 sorudan yalnızca 4 tanesi seçilmiş olacaktır…

Başarılar dileriz Doç. Dr. Ertan GÜDEKLİ Araş. Gör. Çağlar ÇETİNKAYA 𝜆: Homojen

𝛒_𝟏=𝐴 𝜌 𝛒𝟐= −B𝜌²

(3)

Koordinat Sistemi (u1, u2, u3) x y z ℎ𝑖

Kartezyen (x, y, z) x y z 1, 1, 1

Silindirik (ρ, θ, z) ρ cos θ ρ sin θ z 1, 𝜌, 1

Küresel (r, θ, φ) r sin θ cosφ r sin θ sin φ r cos θ 1, 𝑟, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

Eğrisel koordinatlarda,

Gradient: ∇⃗⃗⃗f =1 h_i

∂f

∂u_ie⃗⃗_i

Diverjans: ∇⃗⃗⃗. A⃗⃗⃗ = 1 h1h2h3

[∂

∂u1

(A1h2h3) + ∂

∂u2

(A2h1h3) + ∂

∂u3

(A3h1h2)]

Rotasyonel: ∇⃗⃗⃗ × A⃗⃗⃗ = 1 h1h2h3||

h₁e⃗⃗₁ h₂e⃗⃗₂ h₃e⃗⃗₃

∂

∂u1

∂

∂u2

∂

∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

||

Laplasyen ∇²f = ∇⃗⃗⃗. (∇⃗⃗⃗f) = 1 h₁h₂h₃[∂

∂u₁(h2h3

h₁

∂A1

∂u₁) + ∂

∂u₂(h1h3

h₂

∂A2

∂u₂) + ∂

∂u₃(h1h2

h₃

∂A3

∂u₃)]

Laplasyen ∇²A⃗⃗⃗ = ∇⃗⃗⃗(∇⃗⃗⃗. A⃗⃗⃗) − ∇⃗⃗⃗ × (∇⃗⃗⃗ × A⃗⃗⃗)

Silindirik koordinatlarda taban vöktörlerinin yönelimi: Küresel koordinatlarda taban vöktörlerinin yönelimi:

Silindirik koordinatlarda taban dönüşümü: Küresel koordinatlarda taban dönüşümü:

𝑒̂ = cosθ 𝑖̂ + 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑗̂ _𝜌 𝑒̂ = −sinθ 𝑖̂ + 𝑐𝑜𝑠θ 𝑗̂ 𝜃

𝑒̂ = 𝑘̂ _𝑧

𝑒̂ = sinθ cosφ 𝑖̂ + 𝑐𝑜𝑠θ cosφ 𝑗̂ + cosθ 𝑘̂ _𝑟 𝑒𝜃

̂ = cosθ cos∅ 𝑖̂ + 𝑐𝑜𝑠θ sinφ 𝑗̂ − 𝑠𝑖𝑛θ 𝑘̂

𝑒̂ = −sinφ 𝑖̂ + 𝑐𝑜𝑠θ 𝑗𝜙 ̂ Multipol açılımı:

V(r) = 1 4π𝜖0

[𝑄𝑡𝑜𝑝

𝑟 +∑³𝑖=1𝑃⃗⃗⃗. 𝑟𝑖̂𝑖

𝑟² +∑³𝑖=1𝑟̂𝑖. 𝑟̂𝑄𝑗 𝑖𝑗

2𝑟³ + ⋯ ], 𝑃_𝑖

⃗⃗⃗ = ∑ 𝑞_𝑖𝑟⃗⃗⃗_𝑖^,

𝑁

𝑖=1

, 𝑄_𝑖𝑗= ∑ 𝑞_𝑠⌈3𝑟_𝑖,𝑠^,𝑟_𝑗,𝑠^, − 𝑟_𝑠^,2𝛿_𝑖𝑗⌉

𝑁

𝑠=1

V(r) = 1 4π𝜖0

[1

𝑟∫ 𝜌(𝑟^′)𝑑𝑉^′+𝑟̂.

𝑟²∫ 𝑟⃗⃗⃗⃗𝜌(𝑟^′ ^′)𝑑𝑉^′+∑³_𝑖=1𝑟̂_𝑖. 𝑟̂𝑄_𝑗 _𝑖𝑗 2𝑟³ + ⋯ ],

𝑄𝑖𝑗= ∫⌈3𝑟_𝑖^,𝑟_𝑗^,− 𝑟^,2𝛿𝑖𝑗⌉𝜌(𝑟^′)𝑑𝑉^′

(4)

1)

...5 puan

...10 puan

...5 puan

Elektromagnetik Teori 2019-2020 Güz Dönemi Ara Sınav Çözümleri

(5)

2)

...5 puan ...5 puan

...5 puan

2 / 11

Elektromagnetik Teori 2019-2020 Güz Dönemi Ara Sınav ve Çözümleri Araş . Gör. Çağlar Çetinkaya

ELEKTROMAGNETİK TEORİ Güz Dönemi Örgün Öğretim Ara Sınavı

1)

...5 puan

...10 puan

...10 puan

...5 puan

Elektromagnetik Teori 2019-2020 Güz Dönemi Ara Sınav Çözümleri

2)

...5 puan ...5 puan

...5 puan

...5 puan

...5 puan

...5 puan

3)

...10 puan

...10 puan

4)

...5 puan

...5 puan

...5 puan

...5 puan

5)

...5 puan

..15 puan

...10 puan

6)

...5 puan

...5 puan

...10 puan

...5 puan

...5 puan

7)

...4 puan

...4 puan

...2 puan

...3 puan

...3 puan

...3 puan ...1 puan

8)

...6 puan

...7 puan

...7 puan