• Sonuç bulunamadı

Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi Tekirdağ 140 BİR KOMPOZİT MALZEME MODELİNDE BÜNYE TEORİSİ BİR KOMPOZİT MALZEME MODELİNDE BÜNYE TEORİSİ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi Tekirdağ 140 BİR KOMPOZİT MALZEME MODELİNDE BÜNYE TEORİSİ BİR KOMPOZİT MALZEME MODELİNDE BÜNYE TEORİSİ"

Copied!
12
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

BİR KOMPOZİT MALZEME MODELİNDE BÜNYE TEORİSİ BİR KOMPOZİT MALZEME MODELİNDE BÜNYE TEORİSİ

The constitutive theory for a model of the composite materials

N.ÖNTÜRK1 A.ÖNEN2 A.SARI3

ÖZET

Bu çalışmada fiber takviyesi ile anizotrop duruma getirilmiş bir ortamın "belli bir" deformasyona maruz kalması durumunda malzeme içinde oluşan gerilme dağılımı bulunmuştur. Bunun için de fiber takviyeli, homojen, elastik bir sürekli ortam gözönüne alınmış ve böyle bir ortamın bünyesel ve topolojik özelliklerine göre , tanımlanan gerilme potansiyeli  'nın argümanları tespit edilmiştir.

Gerilme-deformasyon bağıntıları termodinamik denge denklemleri ve bünye teorisi kullanılarak buklunmuştur. Bu durum ; önce şekil üzerinde hiç bir kısıtlama yapmadan genel olarak incelenmiş, daha sonra dikdörtgenler prizması şeklinde fiber takviyeli, yapay anizotrop, elastik bir cisme uygulanmıştır.

ABSTRACT

In thıs study; the stress distribution which was obtained for into the composite continous medium, is supposed to be strongly anisotropic due to fiber distribution only and anisotropic otherwise under the determined deformation. At the same time, the composite medium is an elastic and homogenous medium.

The arguments of the defined stress potential, , was obtained for such a composite medium due to the constitutive and topolojik characteristic.

The stress-deformation equations were obtained using the laws of thermodynamics, the mechanical balance laws and the constitutive equations.

This situation, was first studied by not making restriction on the figure. Then, it was applied on the body in the form of a rectangular parallelepiped.

GİRİŞ

Bu çalışmada; dikdörtgenler prizması şeklinde fiber takviyesi ile anizotrop duruma getirilmiş bir cismin "belli bir" deformasyona maruz kalması durumunda ,malzeme içinde oluşan gerilme dağılımının bulunması amaçlanmaktadır.Bunun bulunması için de gerilme-deformasyon bağlantılarının bulunması gerekir.

Bu durumu incelemeden önce ,cismin şekli üzerinde herhangi bir kısıtlama yapmadan genel bir formülasyonla işe başlanır.Daha sonra bu, dikdörtgenler prizması şeklinde fiber takviyeli,elastik bir cisme uygulanır.

Bunun için de; gözönüne alınan fiber takviyeli,elastik bir sürekli ortam, aşağıdaki parametrelerle temsil edilmektedir:

  ( , )X t  =Yoğunluk (1)

(2)

AA X t B( , );  B X t( , ) A B, Fiber vektör alanları Burada; t zamanı , X maddesel noktaların başlangıç konumundaki yer vektörünü göstermektedir.Kolaylık olsun diye , A nın büyüklüğüde bir seçilir.

Cisim fiber takviyeli olduğu için her P noktasında bir AA X t B( , );  B X t( , ) fiber vektör alanları vardır.Fiber vektör alanlarının cismin her noktasında tanımlandığı, böylece bir fiber sürekliliği oluşturduğu ve de fiberlerin matris malzemesiyle birlikte deforme olduğu varsayılır.Buna göre deformasyondan önce ve sonraki fiber vektör alanları arasındaki bağıntılar:

akxk K, AK , bkxk K, BK veya aF A, bFB (2)

şeklinde olur.

Bu bağıntılar ; dxkx dXk K, K veya dxFdX bağlantılarınının fiber deformasyonuna uygulanmasıdır.

Gerilme-deformasyon bağıntıları termodinamik ve bünye teorisi kullanılarak bulunacağından, genel formülasyon için "Denge Denklemleri"nden başlayarak model formüle edelir:

DENGE DENKLEMLERİ:

1.Kütlenin Korunumu:



 

t

 . ( )  0 (3)

Kütlenin korunumu:    .  0 şeklini alır.Burada: :yoğunluğun maddesel türevi, :hız dır.

2.Lineer Momentum Dengesi:

a  f  .t (4)

3.Açısal Momentum Dengesi:

jkl klt 0 (5)

(3)

Burada: tkltlk :simetrik tansör,

jkl  lkj klj  lkj ljk  jlk olduğundan

jkl:Antisimetrik bir tansördür.

4.Enerjinin Korunumu:

  htkll k,qk k, (6)

.

5.Entropi eşitsizliği:

   

h q

( ) 0

(7)

Bu eşitsizlikte;

     .( )q . .

  q q

 1

2

(8)

ifadesi yerine yazılır.

  

    

h

q q

1 . . 2 0

(9)

Burada ; Birim kütle başına entropi üretimini gösterir.

5'.Entropi eşitsizliği ile enerji denkleminin birleştirilmesinden;

 

 

 

 

(  1 ) 1 ( , )  1 , 

2 0

tkl l k qk k (10)

(10) denklemi elde edilir.Bu denklemde; termodinamik prosesin değişkenleri;

( , ) ,

l k

k













şeklindedir.Entropi eşitsizliği ile (6) enerji denkleminin birleştirilmesi sonucu elde edilen (10) eşitsizliğinde, terimi (entropi yoğunluğu) bulunmaktadır.Ancak, entropi yoğunluğu, bağımsız termodinamik değişken olarak kullanılmağa uygun olmadığından, entropi yerine sıcaklığı bağımsız değişken seçmek gerekir..Bunun için de aşağıdaki gibi bir "Legendre Transformasyonu" yapılır.

(4)

   

(11)

 nin türevi alınıp:

(10) eşitsizliğinde yerine yazalırsa:

            

1 1

   

  

   (12)

    

 ( ) 1 ( , ) 1 ,

2 0

tkl l k qk k (13)

eşitsizliği elde edilir.Buradaki termodinamik değişkenler;





olur.Bu eşitsizlikte;   0 / j , t dkl lk  1 XK lX t CL k kl KL

2 , , , jXK k, X tL l kl,TKL ve

jXK k, qkQKdeğerleri yerine yazılı©rsa

    

0   1 2  2

1 0

( ) T CKL KL QK ,K

(14)

eşitsizliği elde edilir.(14) eşitsizliğinde ,termodinamik prosesi karakterize eden bağımsız hal değişkenleri olarak  , ,CKL yer alacaktır.Beklemekte olduğumuz tüm neticelerin kaynağı bu son bulunan (14) eşitsizliği olacaktır.Ancak bu eşitsizliği kullanabilmek için  nin maddesel türevinin alınıp, eşitsizlikte yerine konması gerekir.Bunun için de  fonksiyonunun hangi büyüklüklerin (hangi bağımsız termodinamik değişkenlerin) fonksiyonu olduğu ve nasıl bir fonksiyon olduğunun bilinmesi gerekir.  nasıl bir fonksiyon olursa olsun, yeterli süreklilik şartlarını sağlaması halinde bir kuvvet serisiyle temsil edilebilmelidir.Bizim için şimdilik önemli olan  nin nelere bağlı olduğudur.Bu da gözönüne alınan ortamın ,bünyesel ve topolojik (fiber takviyesi nedeniyle) yönden termodinamik davranışı tarafından belirlenir.

O halde  nin bağımsız değişkenleri tespit edilmelidir.Bünye teorisi aksiyomlarına göre ;

(5)

  (x,K; ; ,K;A B XK; K; ) (15)

şeklinde olacaktır.

Fiber vektör alanlarının yönü keyfi seçilebildiğinden A ve

B nin yönleri aşağı yada yukarı doğru olabilir.Bunun için de nin bağımsız değişkenleri:

  (x,K; ; ,K;A A B B XK L; K L; ) (16)

A AK LPKL,B BK LSKL (17)

  (x,K; ; ,K;PKL ;SKL; )X (18)

şeklinde olur.

Cauchy'nin bir teoremine göre  nin tek değerli bir fonksiyon olabilmesi için,  nin değişken vektörlerinin ikişer ikişer skaler ve üçer üçer karışık çarpımlarına bağlı olması gerekir.Diğer taraftan ortam homojen, fiberler tarafımızdan birbirine dik seçildiğinden ve ortamda ısı iletimi olmadığından, sonuçta  nin bağımsız değişkenleriı aşağıdaki gibi belirlenir:

 (CKL; ;PKL;SKL)

(19)

 nin maddesel türevi alınıp (14) de yerine konursa ve eşitsizlik CKL, , ,K ya göre düzenlenirse;

1

2 2 1

0 0

0

   2

  

 

 

(T ) ( ) ,

C C Q

KL

KL KL K K

    

(20)

eşitsizliği elde edilir.Buradaki bağımsız değişkenler:

CKL

K

,





 şeklindedir.

(20) eşitsizliğinin , herhangi bir termodinamik proses için geçerli olması için, bu büyüklüklerin katsayılarının sıfıra eşit olmaları gerekir.

(6)

12 0 0 0

QK  ,   , QK

 

  

  0,   

(21)

T C T

KL E

KL

KL

KL

20   0  2 0

  

, 

  (CKL; ; PKL;SKL)

Böylece; ısı,entopi ve gerilme için elde edilen bünye denklemleri ,  nin deformasyon ölçülerine (CKL, ... ) göre kısmi türevleri cinsinden elde edilmiş olur.

 bilinmediğine göre ,bu türevler nasıl alınır ve gerilme,entropi,.... de nasıl hesaplanır? yi belirlemek için ,ilk önce

   0 (22)

şeklinde gerilme potansiyeli tanımlanır.Bu tanımdan sonra (örneğin) gerilme , nın deformasyon ölçüsüne göre türevine eşit olacaktır.

   0 , 

0

T

E

T

KL E

KL

KL

KL

20    2



 (23)

 

 



  ,    1 

0

  (EKL; ; PKL;SKL) ,

  (EKL; ; PKL;SKL)

 fonksiyonunun bağımsız değişkenlere ne şekilde bağlı olacağı bilinmediği için fonksiyon Taylor Serisi ile temsil edilir ve EKL civarında seriye açılırsa gerilme potansiyelinin türevi:

  (EKL; ; PKL;SKL)

(7)

  

 

 

( ; ; ; ) ( ; ; ; )

( ; ; ; )

.

0 0

1 2

2 0

P S P S

E E

P S

E E E E

KL KL

KL KL

KL KL

KL KL

KL MN

KL MN

  

 

 

(24) Burada:

  ( ; ;0 PKL;SKL)0 (25)

 

 

( ; ; ; ) 

( ; ; ) 0 P S

E P S

KL KL

KLKL (26)

1 2

2 0

 

.

( ; ; ; )

( ; ; )

 

PS

E KLE KL P S

KL MNKLMN (27) şeklinde tanımlanırsa,  gerilme potansiyeli:

  0  KLEKL  KLMNE EKL MN...

(28)

elde edilir.

Eğer; malzeme izotrop olsaydı, KL ve KLMN malzeme tansörleri biliniyor demektir.

(örneğin:KL( ; ; )P S  ( ; ; )P S  KL şeklinde olacaktı).

Fakat malzeme tarafımızdan,fiber takviyeli, yapay anizotrop (fiber takviyesinden dolayı) olarak imal edildiğine göre, izotrop değildir ve yukarıdaki ifade de geçersizdir.

Ancak ;  nın bağımsız değişken tansörlerinin tamlık bazlarının oluşturduğu uzayda , izotrop olduğunu düşünmek süretiyle malzeme tansörlerinin (KLveKLMN) hangi formda olması gerektiği bulunabilir.Buna göre;

  0  KLEKL  KLMNE EKL MN...

T

KL E

KL

2 

 = 2  0

E

E E E

KL

KL KL KLMN KL MN

(   ) (29)

şeklinde olur.Türev alma işlemi gerçekleştirilirse:

(8)

TRS 2

RS( ; ; )P S  RSMN( ; ; )P SEMN

(30)

elde edilir.Burada görülüyor ki, gerilme tansörü deformasyon tansörünün fonksiyonudur.

TRSTRS( )E (31)

E =0 olduğunda: TRS( )02RS0  RS0 (32)

dır.Bu da malzemenin öngerilmesiz olduğunu gösterir.

Böylece ;

TRS  RSMNEMN (33)

eşit olur.Burada: TRSTKL

RSMN  KLMN( ; ; )P S  şeklinde yazılırsa gerilme tansörü;

TKL  KLMN( ; ; )P SEMN (34)

şeklinde bulunur.

KLMN tansörü 4. dereceden bir tansör olduğundan 81 tane bilinmeyeni vardır.Ancak simetrik olduğundan dolayı bilinmeyenlerin sayısı 21'e düşer.

KLMN NİN ÖZEL FORMUNUN BULUNMASI:

KLMN( ; ; )P S, P ve S in

(P  QPQ ST,   QSQ QT, 1QT,detQ  1) şeklindeki dönüşümü altında form-invaryant olabilmesi için ;"cebrik invaryantlar teorisi" ne göre :

KLMN(P S'; ' )Q Q Q QKA LB MC NDABCD( ; )P S (35)

bağlantısını sağlaması gerekir.Bu bağlantıyı sağlayan KLMN( ; ) fonksiyonunun P S

K L M N(P S'; ' )Q Q Q QKA LB MC NDA B C D( ; )P S (36)

nin her iki tarafı KLMN(X) ile çarpılır.

(9)

K L M N(X)K L M N( ; )P S' 'Q Q Q QKA LB MC ND KLMN (X)A B C D( ; )P S (37)

Burada:

f P S( ; ; )  K L M N(X)K L M N( ; )P S' ' (38)

f P S( ; ; )  ABCD( ; )P SABCD( )X (39)

f P S( ; ; )  f P S( ; ; )  ABCD( ; )P SABCD( )X (40)

şeklinde tanımlanır ve aşağıdaki gibi türevi alınır.

A B C D

A B C D

P S f P S ( ; ) ( ; ; )

  

  (41)

ABCD nin simetrik bir tansör olması nedeniyle türevi aşağıdaki ifadeye eşittir.

ABCD

ABCD BACD ABCD ABDC

ABCD CDAB

P S f f f f

f f

( ; )



 



  





 











 1

6













(42)

Buradaki f skaler fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

f P S( ; ; ) N f ( ) ( ,J J ,...,J KN) ( )( , ,...,I I IN)

 

1 2

1 1 2

(43)

f () : P ve S invaryantlarının fonksiyonudur.

K():Hem P S, , nin invaryantlarının fonksiyonu hem de  ye göre lineerdir.

(10)

ABCD N

ABCD BACD ABCD ABDC

ABCD CDAB

P S f K K

f K K

f K K

( ; ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

 



 



 





 









1 6 1













(44)

KLMN ; K L M N, , , ye göre hem de KL MN, indis çiftine göre simetrik bir tansördür.

KLMNJ DKL MN şeklinde yazılırsa: 

ABCD  ABCD( ; ; ; )P S J D (45)

bağlı olur.

Bu dört tansörün bazı invaryantları aşağıda gösterilmiştir.

trP trP, 2, trP3 trS trS, 2, trS3 trJ trJ, 2, trJ3 trD trD trD, 2, 3

trPS trP S trPS, 2 , 2, trP S2 2 trSJ trS J trSJ, 2 , 2, trS J2 2 trJD trJ D trJD trJ D, 2 , 2, 2 2 trPJ trP J trPJ, 2 , 2, trP J2 2 trSD trS D trSD trS D, 2 , 2, 2 2 trPD trP D trPD trP D, 2 , 2, 2 2 trPSJ trPSD trSJD trJDP, , , trS DJ trP DJ2 , 2

trPSJD trJDPS trJPD P trSJD P, , 2 , 2

trJDP S2 2, trSPJDP2, trJSDPS2 (46)

İnvaryantlardan bir kısmı sabit,bir kısmı sıfır,bir kısmı da yukarıdakiler cinsinden ifade edilebilir.Bütün invaryantlar içinden  ye göre lineer olanları seçilip

f P S( ; ; ) fonksiyonu bulunur ve

(11)

ABCD

ABCD

P S f P S ( ; ) ( ; ; )

  

 

ifadesinde f fonksiyonu yerine konularak,malzeme tansörü ABCD bulunur.Bulunan

KLMN malzeme tansörü TKL  KLMN EMN ifadesinde yerine konularak,gerilme tansörü TKL bulunur.Daha sonra bu TKL ifadesi; tklj x1 k K l L KL, x T, ifadesinde yerine konularak gerilmenin uzaysal koordinatlarındaki bileşenleriyle deformasyon ölçüleri, ( , , )C P S , arasındaki bağlantı bulunmuş olur.

Gerilme -deformasyon bağlantısı bu şekilde bulunduktan sonra ,deformasyonu xx X( ) şeklindeki uygun bir denklemde verilen kompozit bir cismin içinde oluşan gerilme dağılımını bulma imkanı olacaktır.Bu arada bu tür kompozit malzemeden yapılmış kiriş,plak,vs. gibi elemanların titreşim ve çökme problemlerini de inceleme imkanı bulunacaktır.

KAYNAKLAR

1 , ERINGEN, A.C., Nonlinear Theory of Continuous Media, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1962.

2 , ERINGEN, A.C., Mechanics of Continua (genişletilmiş 2. baskı), Robert E.

Krieger Publishing Company, Inc., New York, 1980. I.baskı John Wiley

Sons

Inc., New York, 1967.

3 , ERINGEN, A.C., Deformation and Motion,Part I. Basic Principles, Continuum Physics II. Continuum Mechanics of Single-Substance Bodies, Ed. A.C.

Eringen,

Academic Press, New York,1975.

4 , SPENCER, A.J.M., Theory of Invariants, Part III, Continuum Physics I, Ed.

.C.

Eringen, Academic Press, New York, 1971.

5 , SPENCER, A.J.M., Deformations of Fibre-reinforced Materials, Clarendon Press Oxford, 1972.

6 , SPENCER, A.J.M., Continuum Mechanics, Longman Group Limited, London,1980

7 , N.ÖNTÜRK, "İki fiber ailesi ile takviyeli Viskoelastik kompozit ortamlarda bünye denklemlerinin modellenmesi", Doktora Tezi, Gazi Üniv., 1993.

(12)

8 , ŞUHUBİ, E.,"Sürekli Ortamlar Mekaniği, İ.T.Ü., Fen Edebiyat Fakültesi, İstanbul,1994.

Referanslar

Benzer Belgeler

kronik kritik hastalar için uzun dönem akut bakım merkezleri maalesef bulunmuyor, çünkü yoğun bakım kavramı salt yoğun bakım yatağı olarak görülüyor … Yoğun

[r]

Bitki Besin Maddesi Zengin Kimyasal Özellikleri İyi. Çok

Konuşma sırasında olmakta olan, konuşmadan önce olmuş olan ya da daha yakın zamanda olacak olan olaylara referans göstermek dinleyicilerinizin de ilgili olduğu bir konuyu

Bunu bir örnekle açıklayalım: Kaçırılan, araba kazası geçiren ya· da cinsel saldırıya uğrayan bir çocuk, çeşitli korkular ve bunalımlar geliştirir.

İlgili Bakanlıklar gerek Birleşmiş Milletler (BM) İklim Değişikliği Raporu'nu hazırlayan dünya çapındaki 600'dan fazla bilim insan ı arasında olan, Hükümetlerarası

İnsanın vejetaryen olduğuna dair görüş ve kanıt bildirilirken en büyük yanılma biyolojik sınıflandırma bilimi (taxonomy) ile beslenme tipine göre yapılan

l~yların sakinleşmesine ramen yine de evden pek fazla çıkmak 1emiyorduk. 1974'de Rumlar tarafından esir alındık. Bütün köyde aşayanları camiye topladılar. Daha sonra