13. DersÇıktı AnaliziAlternatif Sistemler Prof.Dr.Berna Dengiz BENZETİM

BENZETİM

Prof.Dr.Berna Dengiz

13. Ders

Çıktı Analizi

Alternatif Sistemler

11/15/21 2

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI



Benzetimin en önemli yararlarından birisi, uygulamaya koymadan önce alternatifleri karşılaştırmanın mümkün olmasıdır.



Alternatif sistem tasarımlarına örnekler:



Fabrika yerleşim tasarımları



Alternatif üretim planları



Malzeme taşıma konfigürasyonları



Stok politikaları

 Bu tür alternatif sistemlerin benzetim aracılığı ile karşılaştırılabilmeleri için uygun istatistiksel metodların kullanılması gerekir. Çünkü her alternatif tasarımı bir kere çalıştırarak elde edilen çıktılarla karar vermek hatalı bir yaklaşımdır.

 Aşağıdaki örnek tek bir deneme ile sonuca varmanın hatalı olduğunu göstermektedir.

 Örnek : Bir banka ATM istasyonu kurmayı planlıyor. Banka yöneticileri iki alternatif ile karşı karşıyadır.

11/15/21 4



1. Alternatif:



1 adet A makinası almak. Bu makina diğer makinadan 2 kat daha hızlı ancak fiyatı diğer makinanın 2 katıdır.



2. Alternatif:



2 adet B makinası almak. Her B makinasının hızı ve maliyeti A makinasının yarısı kadardır.



Her iki alternatifin maliyeti de banka için aynı

olduğundan dolayı yöneticiler en iyi servisi veren

alternatifi seçeceklerdir.

B u d u r u m d a M / M / 1 i l e M / M / 2 k u y r u k s i s t e m l e r i n i n k a rş ı l a ş t ı r ı l m a s ı s ö z k o n u s u d u r .

A B B

alternatif .

1 2 .alternatif

11/15/21 6



Müşteri Varış Oranı: =1 m/dakika (Poisson Dağılım)



A İçin Servis Zamanı : ( Üstel Dağılım)



B İçin Servis Zamanı: ( Üstel Dağılım)



Performans ölçütü : İlk 100 müşterinin kuyrukta ortalama bekleme zamanı.



Her alternatif için 100 bağımsız deneme yapılarak

kuyrukta ortalama bekleme zamanı tahmin edilmiştir.



^{1 0 0}



d A  1 . A l t e r n a t i f i n k u y r u k t a o r t a l a m a b e k l e m e z a m .



^{1 0 0}



d B  2 . A l t e r n a t i f i n k u y r u k t a o r t a l a m a b e k l e m e z a m . A n a l i t i k m o d e l l e r l e h e r i k i a l t e r n a t i f i ç i n k u y r u k t a o r t a l a m a b e k l e m e z a m a nı h e s a p l a n d ı ğ ı n d a ;



^{1 0 0}



^{4 . 1 3}

d A 



^{1 0 0}



^{3 . 7 0}

d B 

2 . a l t e r n a t i f i n s e ç i l m e s i g e r e k t iğ i g ö r ü l m e k t e d i r .

11/15/21 8

100 bağım sız denem enin her birisinde

^{dˆ 100A}

^{ } ve 

d^{ˆ 100}B

 tahm in edilir.

d^{ˆ 100}A

  ve

d^{ˆ 100}B

 

karşılaştırılarak m inim um olan seçilir.

Ancak bu yanlış bir yöntem dir.

D eney s eç ilen s is tem

1 3,80 4,6 A ya n lış

2 3,17 8,37 A ya n lış

3 3,96 4,18 A ya n lış

4 1,91 5,77 A ya n lış

5 1,71 2,23 A ya n lış

6 6,16 4,72 B d o ğ ru

7 5,67 1,39 B d o ğ ru

98 8,4 9,39 A ya n lış

99 7,7 1,54 B d o ğ ru

100 4,64 1,17 B d o ğ ru



¹⁰⁰



ˆ A

d ^dˆ _B



¹⁰⁰



11/15/21 10



Yapılan 100 denemenin 48’inde 2. Alternatif

seçilmiştir. Bu durumda analist yanlış karar

verecektir. Görüldüğü gibi benzetim çıktı verisi

stokastik olduğundan dolayı tek deney sonucuna

göre iki sistemin karşılaştırılması güvenilir bir

yaklaşım değildir.

İ ki Sistemin Performans Ölçütleri Arasındaki Farklılık İçin Güven

Aralığı

1 , 2 ;

i  i ç i n

1 , 2 , . . . . , ;

i i i n

x x x i . S i s t e m d e n e l d e e d i l e n n _I a d e t b ağ ı m s ı z ö z d e ş d ağ ı l m ı ş ö r n e k l e r o l s u n .

 

^;

i E x i j

  i . s i s t e m i ç i n p e r f o r m a n s ö l ç ü t ü n ü n b e k l e n e n d eğ e r i d i r .

A m a ç ;







¹ 



² i ç i n b i r g ü v e n a r a lı ğ ı o l u ş t u r m a k t ı r .

11/15/21 12

Ortalamaların Karşılaştırılması

a) Paired-t Güven Aralığı



n 



n1  n2; ise ; ( yani deney sayısı her iki sistemde eşit ise )

1, 2,....,

j  n _için; Z _j  x_1j  x_{2 j} yi tanımlamak üzere

x

^{1 j} _ve

x

2 j eşleştirilir.

1 2 1 11 21

2 12 22

3 13 23

...

j j j

Z x x Z x x

Z x x

Z x x

Z x x

    

 

 

 

x

1 j _{v e}

x

_{2 j} le r b ağ ım s ız ra s s a l d e ğ iş k e n le r o ld u ğ u n d a n ^{Z j} le r d e b ağ ım s ız ö z d e ş d a ğ ılm ış ra s s a l d e ğ iş k e n le rd ir.

 

^{j 1 2}

E Z      iç in g ü v e n a ra lığ ı o lu ş tu ra lım .

  n

Z Z

n

j

j n





 ¹

 

 

^{~ 30}

30

~ ₁

2

2 1



 

 _

n Z

n t

n n s

Z

 

_n

     

1

1

2

2











n

n Z Z

n s

n j

j

11/15/21 14

1 -  g ü v e n lik d ü z e y in d e g ü v e n a ra lığ ı ;

   

 





 



 





n

n t s

n Z

GA

n

2

1 2 ,

1 



A m a ç ilg ile n ile n p e r fo r m a n s ö lç ü s ü n ü n m in im iz a s y o n u is e ( m a liy e t , k u y r u k t a o rt a la m a b e k le m e z a m a nı g ib i) ;

G ü v e n a r a lı ğ ı “ 0 ” ı k a p s ı y o r s a ; G A = [ - , + ] ;

İ l g i l e n i l e n h e r i k i s i s t e m i n b i r b i r i n d e n f a r k s ı z d ı r .

 

¹



²

G ü v e n a r a lı ğ ı p o z i t i f b i r a r a l ı k i s e ; G A = [ + , + ] ;

İ k i s i s t e m b i r b i r i n d e n f a r k l ı d ı r . 1 . S i s t e m d a h a b ü y ü k b i r o r t a l a m a y a s a h i p t i r . B u n e d e n l e 2 . s i s t e m s e ç i l i r .

 

¹



²

G ü v e n a r a lı ğ ı n e g a t i f b i r a r a lı k i s e ; G A = [ - , - ]

İ k i s i s t e m b i r b i r i n d e n f a r k lı d ı r . 1 . S i s t e m d a h a k ü ç ü k b i r o r t a l a m a y a s a h i p t i r . B u n e d e n l e 1 . S i s t e m s e ç i l i r .

 

¹



²

11/15/21 16

Örnek:



(S, s) stok sisteminde iki stopk politikası karşılaştırılmak isteniyor. Amaç ilk 120 aylık çalışma peryodunda beklenen ortalama maliyeti enküçükleyen politikayı seçmektir.



1. Politika (S,s)=(20,40) ,



2. Politika (S,s)=(20,80).



Her iki politika için bağımsız 5’er deneme yapılarak

aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir.

J X_1J X_2J Z_J

1 126,97 118,21 8,76

2 124,31 120,22 4,09

3 126,68 122,45 4,23

4 122,66 122,68 - 0,02

5 127,33 119,40 7,83

X_İJ : i. politikanın j. tekrarlanmadaki aylık ortalama toplam maliyeti.

11/15/21 18

i . p o l i t i k a nı n j . t e k r a r l a m a d a k i a y l ı k o r t a l a m a t o p l a m m a l i y e t i ;

  4 ,98

5

1

5 







n Z Z ^j

j

     

20 , 1 12

5 5

5 1

2

2 











n Z Z

s ^j

j

% 9 0 g ü v e n l i k d ü z e y i n d e G A ;



^{1 . 65 8, .31}



5 20 . 98 12

.

4 _{4 0, .95}  



 



  t

GA 

Güven aralığı pozitif bir aralıktır . Amaç maliyeti enküçükleyen politikayı seçmek olduğundan 2. Politika seçilir. (



1

^ 

2₎

Not:: Z_j’ler bağımsız olmak zorundadır . ancak X_1j’lerin X_2j’lerden bağımsız olması gerekmez.

1 2

j j j

Z x x  

_için;

_{j  1 ,2 ,...., n}

_için

x

_{1j nin}

_x

_{2j ye bağımlı}

olduğu düşünülürse ;

11/15/21 20

       

 ^,  ⁰

cov 2

, cov

2 var

var var

2 1

2 1

2 1









j j

j j

j j

j

x x

x x

x x

Z

O l a c ağ ı n d a n d o l a y ı ^var

 

^Z _j a z a lı r .

B u d u r u m d a i s e e l d e e d i l e n g ü v e n a r a lı ğ ı k ü ç ü l ü r . G ü v e n a r a l ı ğ ı n ı n k ü ç ü k o l m a sı v e r i l e c e k k a r a r ı n h a s s a s o l m a s ı n ı s a ğ l a r .

   

 





 



 





n

n t s

n Z

GA

n

2

1, 2

1 



b) Düzenlenmiş İki örnekli-t Güven aralığı



Bu yaklaşımda ; 

₁

-

₂

için güven aralığı oluşturmada her iki sistemden elde edilen gözlemlerin eşleştirilmesi

gerekmez. Ancak x

_1j

’ler x

_2j

’lerden bağımsız olmalıdır.



1.durum

2

.

1

n her zaman geçerli de ğeğild

n   i r

  ^var   ^.

var x

_{1 j}

 x

_{2 j}

olarak kabul edilir

11/15/21 22

  ^{i için}

n x n

x

i n

j

ij i

i

i

2 , 1



¹







 

   

 

i f n

j

i i j

i

i

t

n s n

s x x

n

n x x

n s

i

~

1 ;

2 2 2 1

1 2

2 1

2 1 1

1 2 2















   

serbestlik derecesinin tahmini;

   

 

 

 

 ¹ 

1 ˆ

2

2

2 2 2

1

2

1 2 1

2

2 2 2

1 2 1

2 1

2 1



 





 





 

 





 





 





 



 



n n s

n n s

n s n

s f

n n

n n

11/15/21 24

 

^{   }

 





 



  





2 2 2

1 2 1

1 2 ˆ, 2

1 ^{1 2}

n s n

t s x

x

GA

^{n n}

f 

 

Welch Approach

ö r n e k :

S t o k s i s t e m i i ç i n v e r i l e n ö r n e k t e d e n e m e l e r b ağ ı m s ı z o l a r a k y a pı l d ı ğ ı i ç i n W e l c h y a k l a ş ı m ı k u l l a n a r a k i k i p o l i t i k a n ı n f a r k l ı o l u p o l m a dı ğ ı b e l i r l e n e b i l i r .

  ^{5 125 . 57}

1



x

^x

₂

  ^{5  120 . 59}

s

1 _{ }5 ²

 ⁴

s

_{2  5} ²

 3 . 76

99 . ˆ  7

f

t

_{7 ,993 0, .95}

 1 . 860

_.

% 9 0 g ü v e n l i k d ü z e y i n d e G A ; G A = [ 2 . 6 6 , 7 . 3 0 ] 2 . p o l i t i k a s e ç i l i r .

11/15/21 26

2 . D u r u m

n ₁  n ₂ v e

^var   ^x _{1 j} ^{ var}   ^x _{2 j} ^{  2}

x _{1 j}’ l e r x _{2 j}’ l e r d e n b ağ ı m s ı z d ı r .

 1 -  2 i ç i n 1 -  g ü v e n l i k d ü z e y i n d e g ü v e n a r a lı ğ ı ;

   

    _



 



  



   1 2

1, 2 2 2

2 1

1

var

2 1

x x

t n

x n

x

GA 

n n 

   

     

 

 



 













2 1

2 2

2 1

2

2 1

2 2

1 1

1 1

. 1 . 1

var var

var

n n

n n

x x

n x

n x







ˆ

²

 ?



     ^{ } 

ˆ 2

2 1

1

2 2

2 2

1

2 1

1 1

2

2 1











  





n n

n x

x n

x x

n j

j n

j

j



   

 

 







 







 

 



 





  

2 1

2 1

2 1, 2

2 2 2

1 1

1 ˆ 1

2

1

n n

t n

x n

x

GA 

n n _



11/15/21 28

Örnek:

Run 12 3 4 5 6 7 8 9 10

x

^

Alt114119 813 11 13 12 13 12 11.6 1.9 Alt21510151516 9 14 13 10 16 13.3 2.7

 a) sistem için düşünülen iki alternetif var. Her alternatif için düzenlenen benzetim programı 10 kez çalıştırılarak yukarıda verilen ortalama beklemeler elde edilmiştir. Alternatif

sistemlerin benzetim programları bağımsız olarak çalıştırılmıştır.

 i) iki sistemin ortalama beklemelerini karşılaştırmak üzere 0.90 güvenlik düzeyinde güven aralığını oluşturun.

 ii) yaklaşık 0.15 hassalık için yapılması gereken gözlem sayısını bulunuz.

 b) alternatif 1’in aynı kaldığı ve alternatif 2 için yeni

sonuçların elde edildiği düşünülerek ( burada alternatif 1 ve alternatif 2’nin i. çalışması benzer deney şartları altında

gerçekleştiriliyor. )

11/15/21 30

A lternatif 2 ’nin ye n i so n u çları aşa ğ ıd a v erilm e kted ir.

R u n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

x

^{var  x}

A ltern atif 2

1 6 1 5 1 0 9 1 5 1 5 1 6 1 4 1 3 1 0 1 3 .3 2 .7

i) iki sistem in ortalam a b eklem elerini karşılaştırm ak için 0 .9 0 gü ven lik dü zeyi için gü ven aralığın ı o luşturu n .

ii) 0 .1 5 gö reli h assasiyeti elde etm ek için gerekli d en em e sayısın ı b elirleyiniz

R u n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 Z V a r ( A 1 - A 2 )



_{j j}



j x x

Z  ₁  ₂ ^{- 1 1 - 6 - 7 - 3 2 - 1 - 1 3 - 4 - 1 .4 1 0 .9}



^{Alt 1 Alt 2}



^{2 1 1 3 6 4 9 9 4 1 1 9 1 6}

11/15/21 32

      _{   }

1 1

2 2 1

2

2



 







 



n

n Z n Z

n

n Z Z

n

s ^j

n

j

j

   _{10 9.}

9 1.

98 9

7.

1 10

127

²



 

 

% 9 0 g h ü v e n l i k d ü z e y i n d e G A ;

  _



 



 

10 9.

10

95.

0,

t 9

n Z

GA



  

 ^{ 1 7.} _ ^{1 833. 1 044.}   ^{  1 7.} _ ^{1 913.} 



 ^{ 3 . 613 ; 0 . 213} 

 GA

G A = [ - , + ] o l d uğ u n d a n d o l a y ı ( y a n i “ 0 ” ’ ı , k a p s a d ı ğ ı n d a n ) h e r i k i s i s t e m b i r b i r i n d e n f a r k lı d e ğ i l i d i r .

   

 

2 1, 2

1 2

1, 2 1

.   





 













^{ }





n n

n

x

n s t

x n

n n t s

 





 



^{10 .. 83315}

  

^{2 110 7. 9.2 360 . 065. 62 564}

2



 

  n

11/15/21 34

Run 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x S²(n) Z_j -2 -4 -1 -1 -2 -4 -3 -2 0 2 -1.7 3.34 (Z_j)² 4 16 1 1 4 16 9 4 0 4 59

i )

   

^{ }

_{  }

344.

9 3

7.

1 10

59 1

2 2 2

2    









n

Z n n Z

s ^{i n}

 

 

 





 



 





n

n t s

Z

GA

n n

2

1, 2

1 



  

^{1 7. 1 059.}



10 344.

833. 3 1 7.

1     



 



 



 ^{ 2 759. ;  0 641.} 

GA



G A = [ - , - ] o l d uğ u n d a n d o l a y ı  ₁ <  ₂ d i r . 1 . a l t e r n a t i f s e ç i l i r .

11/15/21 36

     

   

^{2 2}

2 2

1 2 , 1

7 , 1 15

, 0

34 , 3 833

, 15 1

,

0 

 







 n

x

n n t s

n 

 173

n

n>n

₀

olduğundan 173-10=163 adet ek deneme yapılır.

c ) a v e b s o n u ç l a rı n a g ö r e f a r k l ı s o n u ç l a r e l d e e t m e n i n n e d e n l e r i n e l e r d i r ? V e r i l e n d a t a yı k u l l a n a r a k a ç ı k l a y ı n ı z .

)2 1

( )2

( )1

( )

. )2

1 (

)2 (

)1 (

)

Alt Alt

Var Alt

Var Alt

Var b

ba ğağıms Alt

Alt Var

Alt Var

Alt Var

a













)2 ,1

( 2

)2 1

( Alt Alt Cov Alt Alt

Var  



)2 ,1

( .2

9.

10 34.

3   Cov Alt Alt

78.

2 3

34.

3 9.

) 10 2 ,1

(  

 Alt

Alt

Cov A y nı d e n e y ş a r t l a r ı i l e

11/15/21 38

VARYANS AZALTMA TEKNİKLERİ

 Stokastik sistemlerin benzetim çalışmalarında rassal girdilere karşılık rassal çıktılar elde edilir. Bu nedenle sonuçların analizi ve kullanılabilmesi için benzetim çıktı verisine uygun istatistiksel tekniklerin uygulanması gerekir. Ancak, büyük boyutlu benzetim modelleri; daha çok bilgisayar hafızası ve çalışma zamanı gerektirdiğinden dolayı, uygun istatistiksel analizin maliyeti yüksek olabilir. Bazen, çıktıların istatistiksel analizinin maliyeti yüksek olmakla beraber , elde edilen güven aralığının hassasiyeti de yetersiz olmaktadır. Bu nedenle analist, benzetimin etkinliğini arttırmak için olası yolları kullanmayı araştırmalıdır.

Varyansı

azaltmak için:

1 ) T e k r a r l a m a S a yı s ı A r t t ı r ı l a b i l i r .

   

n n t s

Hassasiyet Mutlak

n

2

1, 2

1 

 

 

 

 

x

n n t s

Hassasiyet

Göreli

ⁿ

2

1, 2

1 

 

^{ }

H a s s a s lı k d ü z e y i n i n e n f a z l a h a n g i d e ğ e r i a l m a s ı i s t e n i r s e b u n a g ö r e

11/15/21 40

2) Varyans azaltma Teknikleri

Bu tekniklerin amacı ilgilenilen performans ölçüsünün varyansını kontrol ederek tahmini değerini değiştirmek

Bu tekniklerin maliyeti tekrarlama yöntemine göre daha azdır, ve istatistiki etkinlik aşağıdaki tekniklerle sağlanır.

Varyans azaltma teknikleri;

1.) Ortak Rassal Sayılar ( Common Random Numbers ) 2.) Karşıt Değişkenler ( Antithetic Variates )

ORTAK RASSAL DEĞİŞKENLER

 Alternatif sistemlerin karşılaştırılmasında kullanılır.

 Bu teknikte temel fikir “ benzer deney koşulları altında” alternatif sistemleri karşılaştırmaktır.

 Böylece performansta gözlemlenen herhangi bir farklılığın, deney şartlarındaki dalgalanmalardan ziyade sistemlerdeki farklılıklardan oluştuğuna emin olabiliriz.

 Benzetimde “deneysel koşullar”, benzetim süresince kullanılan rassal değişkenlerle elde edilir.

 Bu teknikte benzer “deney koşulları” her bir alternatif sistemin benzetiminde aynı U(0,1) rassal sayıları kullanılarak elde edilir. ( Pozitif ilişki yaratılır.)



11/15/21 42

Örnek : İki sistem karşılaştırması

X

_ij

: i. sistemin j. denemsindeki performans ölçüsütün tahmini

Amacımız ;

^{  }

₁

^{ }

₂

^{ E}     ^x

_1j

^{ E x}

_2j

Her sistem için n deneme yapılırsa;

n j

x x

Z

_j



_1j



_2j

 1 , 2 ,...,

  ^Z

_j

^Var   ^x

_j

^Var   ^x

_j

^Cov  ^x

_j

^x

_j



Var 

₁



₂

 2

₁

,

₂

 

n

Z n

Z

n



j

 ¹  ’nın yansız tahmincisi

  ⁿ

Z

nın varyansı ;

       

n

x x

Cov n

x Var n

x

Z Var

Var

^{1j 2j}

2

^1j

,

^2j







2

;

1j

ve x

j

x

pozitif ilişkili ise ;

 ^x

_1j

^{, x}

_2j

 ^{ 0}

Cov

olacağından

^Z   ⁿ

nın varyansı azalır.

11/15/21 44

Örnek: İki sistemin karşılaştırılamsı.

Varışlararası zaman üretimi için her denemede aynı başlangıç genel rassal sayıları kullanılır.

Run 1 2 3 4 5 6 7

X_1j 1 3 2 5 4 2 1

X2j 1 3 2 5 4 2 1

Benzer deney şartları demek; bu olayın düzenlenmesi anlamına gelir.

2) KARŞIT DEĞİŞKENLER

Bu metot, bir sistemin benzetimi için kullanılır.

Denemeler arasında korelasyon oluşturulmaya çalışılır.

Ancak bu negatif korelasyondur.

Negatif korelasyonun elde edilmesi için, her bir deneme iki kere yapılır. Her bir denemenin birincisinde her hangi bir rassal değişkeni üretmek için U_k rassal sayısı kullanılırken ikinci denemede karşıt rassal değişken üretmek için 1-U_k rassal sayısı kullanılır.

11/15/21 46

Örnek:

 1. Denemede bir çift  2. Denemede bir çift

n. denemede bir çift

   

2

1 1

j j

j

X X X



   

^{ }

 

^{ }



^{   }



4

,

2 ^{1 2}

2 1

j j

j j

j

x x

Cov x

Var x

X Var

Var  



   

   

 1  2 2 2 1

2

2 1 1

1

.

n

n X

X

X X

X X

 

 

 

^{ }

 

^{ }



^{   }



n

x x

Cov x

Var x

X Var

Var _n ^{j j j j}

4

,

2 ^{1 2}

2

1  



   



x j^{1 ,} x j²



^{ 0}

Cov o l a c ağ ı n d a n v a r y a n s a z a l ı r . B u n u n i ç i n ;

 

^{ }

 

^{X   için}

u u

için X

u u

j i

j i

2 1

1, 0

~ 1

1, 0

~







y a n i j . d e n e m e d e n 1 . d e ^u _i ^{~ u}

 

^{0 1,}

j . d e n e m e d e n 2 . d e ^{1  u} _i ^{~ u}

 

^{0 1,}

k u l l a nı l a r a k n e g a t i f k o r e l a s y o n o l u ş t u r u l u r .