YARIİLETKEN TEKLİ ADIM KIRILMA İNDİSLİ LAZERLERDE OLASILIK VE KAYIP ORANLARI

YARIİLETKEN TEKLİ ADIM KIRILMA İNDİSLİ LAZERLERDE OLASILIK VE KAYIP ORANLARI

Mustafa TEMİZ, Mehmet ÜNAL ve Özgür Önder KARAKILINÇ

Pamukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü, 20020, Denizli

Geliş Tarihi : 01.04.2008 Kabul Tarihi : 09.09.2008

ÖZET

Bu çalışmada, yarıiletken tekli adım kırılma indisli lazerlerde en düşük modlu çift ve tek fonksiyonlu alanda olasılık ve kayıp oranları alfa yöntemi ile teorik olarak incelenmiş ve bulunan yeni formüllerin doğrulukları nümerik olarak gerçeklenmiş ve karşılaştırılmıştır: En düşük modlu çift ve tek fonksiyonlu alana ilişkin sonuçların az da olsa farklı oldukları görülmüştür. Çift ve tek fonksiyonlu alana ait bu hassas farklılıkların asimetrik ve simetrik durumlarda normalize yayılım sabitleri, bunlara bağlı olarak hapsedicilik faktörleri, bölgelere ait yayılım sabitleri, dalga numaraları gibi büyüklüklere de aynı hassasiyetle yansıdığı nümerik örneklerde açıkça görülmektedir. Fakat faz sabitleri, faz hızları, efektif indis ve aktif bölgenin enerji seviyelerinin, bölgelerin kırılma indisleri aynı kaldığı sürece, değişmediği gözlenmiştir.

Anahtar Kelimeler : Normalize frekans, Normalize yayılım sabiti, Efektif kırılma indisi.

PROBABILITY AND LOSS RATIOS IN SEMICONDUCTOR SINGLE STEP INDEX LASERS

ABSTRACT

In this work, probability and loss ratios for least mode even and odd fields in the semiconductor single step- index lasers with alpha method are theoretically have been studied and validities of novel found formulas are confirmed and compared with each other numerically: That the results for the least mode even and odd fields are also marginally different has been seen. These accurate differences on the asymmetric and symmetric cases have reflected to the quantities, such as normalized propagation constants, confinement factors depend on them, propagation constants of the regions, wave numbers are the same accuracy, has been understood in the numerical samples clearly. But, unless the refractive indices are changed, that phase constants, phase velocities, effective indices and energy levels of active region are the same has been evaluated.

Key Words : Normalized frequency, Normalized propagation constant, Effective refractive index.

1. GİRİŞ

Yarıiletken adım kırılma-indisli tekli asimetrik lazerler (YİAKİTALr) üç bölgeden meydana gelir.

Yarıiletken adım kırılma-indisli tekli asimetrik lazer (YİAKİTAL) için normalize yayılım sabiti (NYS)

α , malzemeye ilişkin yapısal bir parametre a

olduğundan, güç oranları ve alan olasılıkları, tek ve çift alanın her birinde, NYS α cinsinden ifade _a edilebilir. Alfaya dayalı olduğu için alfa metodu denilen bu yöntemle (Temiz, 2003), adım kırılma- indisli bir tekli asimetrik ya da simetrik lazerlerde bölgelere ait kırılma indisleri, aktif bölge genişliği

ve dalga boyunun verilmesi halinde lazere ilişkin bütün büyüklükler hesaplanabilmektedir (Temiz, 2003).

Bir YİAKİTAL Şekil 1’de verilen bir geometriye sahiptir. Uygulamada genel olarak nII〉nIII〉nI alınır.

III I, III I

II n n n

n

〉

= = alınırsa YİAKİTAL, yarıiletken adım kırılma-indisli tekli simetrik lazer (YİAKİTSL) adını alır. II bölgesine aktif bölge (AB), I ve III bölgelerine gömlek bölgesi (GB) denir.

Kırılma indisleri n , I n ve II n olan bir III

YİAKİTAL’in bölgelerine ait yayılım sabitleri (YS),

“a” indisi asimetriyi temsil etmek üzere, sırasıyla

2 Ia 2 za

Ia β k

α = − ,k =_Ia o I I

I n

λ n 2π c k

ωn = = (1)

2 za 2 IIa

IIa k β

α = − , _IIa ^II _{o II} n_II

λ n 2π c k

k =ωn = = (2)

2 IIIa 2 za

IIIa β k

α = − ,k =IIIa o III III

III n

λ n 2π c k

ωn = = (3)

ile ve bir YİAKİTSL’e ilişkin yayılma sabitleri ise

2 III I, 2 za III

I, β k

α = − ,k_I,III= ^I,III _{o I,III} n_I,III λ n 2π c k

ωn = = (4)

2 z 2 II

II k β

α = − , _II ^II _{o II} n_II

λ n 2π c k

k =ωn = = (5)

ile tanımlanır (Temiz v.d., 2008).

Elektron ve/veyâ delik yük taşıyıcıları, bir adım kırılma-indisli tekli lazer (AKİTL) geometrisinin aktif bölgesi (AB) içinde hapsolurlar. Bunların enerji durumları tek ya da çift fonksiyonlu elektrik alan ifadeleri ile temsil edilebilirler. Bir YİAKİTAL’in aktif bölgesinin en düşük modlu çift fonksiyonlu alanına ilişkin olarak

[

α (x )

]

,

exp A

EyI = I Ia +a (6)

a 2

x cosn A x cos A

E_{yII a IIa a} π

α =

= , n=1, 3, 5,... (7)

[

α (x )

]

exp A

E_yIII = _III − _IIIa −a , (8) ve aktif bölgesinin en düşük modlu tek fonksiyonlu alanına ilişkin olarak

[

α (x )

]

, exp

B

e_yI = _{I Ia} +a (9)

2a sin nπx B x sinα B

e_yII = _{a IIa} = _a , n=2,4,.6…,(10)

[

α (x )

]

exp B

e_yIII= _III − _IIIa −a (11) alanları geçerlidir (Temiz, 2001). Bir YİAKİTSL’de (6)-(8) ifadeleri

[

α (x )

]

exp A

E_yI,III = _I,III ± _I,III ±a , (12)

a 2 Acosnπx x Acosα

E_yII= _II = , n=1, 3, 5,... (13) ve (9)-(11) ifadeleri

[

α (x )

]

exp B

eyI,III = I,III ± I,III ±a (14)

a 2 Bsin nπx x Bsinα

e_yII = _II = , n=2, 4,.6…, (15)

şeklini alırlar (Temiz v.d., 2008). (12) ve (14)’deki (+) işareti I. bölge için ve (-) işareti III. bölge için alınacaktır. Burada GB’ne ait (6), (8), (9), (12) ve (14) alanlarına sönümlü (üstel) alanlar denir. Bu alanlar, taşıyıcıların AB’de hapsedilmelerini sağlar.

(6)-(15) alanları Schrödinger dalga denklemini sağlamaktadırlar (Temiz ve Karakılınç, 2004).

Gömlek Bölgesi (GB)

y z x

(II) n_II (I)

n_I

(III) nIII

-a 0 a

Aktif Bölge (AB) Farklı malzemeli jonksiyonlar

Şekil 1. Bir YİAKİTAL’in aktif ve gömlek bölgesi.

AB’deki alan olasılıklarının 1 olması için çift fonksiyonlu alanlar için Aa ve A sabitleri,

1 dx (x) E I

2 yII

II ∫

−

=

= a a

normalize ifadesinden hareket ederek YİAKİTAL’de

a a

IIa IIa

IIa IIa

a 2ζ sin2ζ

2α sin2α 2 α

A 2α

= +

= +

a

a , (16)

ve YİAKİTSL’de

sin2ζ 2ζ 2α sin2 α 2 α

A 2α ^II

II II

II

= +

= +

a

a (17)

olarak, (') işareti tek fonksiyonu temsil etmek üzere, Ba ve B sabitleri, I'_II ∫e_yII(x)²dx 1

−

=

= a a

normalize ifadesinden hareket ederek YİAKİTAL’de

sin2ζ 2ζ

2α sin2 α

2 α B 2α

a a

IIa IIa

IIa IIa

a = −

= −

a

a , (18)

ve YİAKİTSL’de

sin2ζ 2ζ

2α sin2 α

2 α

B 2α ^II

II II

II

−

=

−

= a a (19)

olarak hesaplanırlar (Temiz, 2002; Temiz ve Karakılınç, 2003).

Bu çalışmada YİAKİTAL ve YİAKİTSL’de en düşük modlu çift ve tek alanlara ilişkin olasılık ve kayıp oranları incelenecektir.

2. YİAKİTAL VE YİAKİTSL’DEKİ NORMALİZE FREKANSLAR

Taşıyıcıların YİAKİTAL ve YİAKİTSL’de enerji öz değerlerinin sırasıyla normalize ζ_a-η_a ve ζ-η koordinat sistemlerindeki parametrik değişkenleri (absis ve ordinatları)

ζa=αIIaa, ηIa=αIaa, ηIIIa=αIIIaa (20) ve

ζ=αIIa, ηI=η=αIa, ηIII=αIIIa (21) ile verilir. Bir YİAKİTSL’de gömlek bölgesine ait YS’leri ve enerji öz değerlerinin ordinatları arasında,

III I, III

I n n

n = = olması nedeniyle, sırasıyla,

III I, III

I α α

α = = , η_I=η_III =η_I,III =aα_I,III ilişkileri vardır. Bir YİAKİTAL’de (19)’daki tanımlar dikkate alınarak (1)-(3) denklemlerinden hareket ederek,

2 2 a

a η ζa

V = ⁺ (22)

bulunur. Burada, η ordinatı, _a η_a= (η_Ia²+η_IIIa²)/2 geometrik ortalaması ile alındığında,

2 )

V 1 IIIa²

2 Ia 2 IIa

a ⁼a (2k -k -k olarak hesaplanan normalize frekansta ortalamaya ilişkin çok küçük bir hata söz konudur ve bu hata bütün hesaplamalara yansır. Ancakη =a η alınması halinde hesaplanan Ia

2 Ia 2 IIa

a k -k

V =a için hatayı sıfırlamak

mümkündür. Bu seçim durumunda YİAKİTAL’e ait normalize frekans (NF) V_a ile YİAKİTSL’e ait NF V’nin aynı olacağına dikkat edilmelidir. Diğer

taraftan I²

2 II 2

I n n

NA = − olmak üzere,

2=

ηa (η ηIIIa²)/2

2

Ia + geometrik ortalaması

kullanıldığında Va yaklaşık olarak

a =

V (1/2)koaNAI[1+ 1+a_p]=koaNAa,

] [1 1 a_p (1/2)NA

NAa= I + +

(23)

olur. ηa=ηIaalındığında ise hata ortadan kalktığı için hesaplanan NF da hatasız olur. Asimetrik faktör adını alan a_p

) n )/(n n (n

a_p= _I²− _III² _II²− _I² (24) ile verilir (Bhattacharya, 1998). nI =nIII =nI,III ve

a=

η (η ηIIIa²)/2

2

Ia + =ηIa =ηI,III =η olması dolayısıyla, (22) ifadesinin YİAKİTSL’e ilişkin,

NA k

k - k

o

2 III I, 2 II 2 2 2 2 a

a η ζ η ζ

V V

a

a =

=

=

=

= + + (25)

olarak elde edildiğine dikkat ediniz. Burada, NA’ya YİAKİTSL’e ait nümerik açıklık denir (Iga, 1994).

Çalışmamız literatürdeki sonuçlarla uyumludur (Popescu, 2005). λ=0.5145x10^-6 m, nI,III=1.55, nII=1.57, 2a=1 µm=10000 A^o için bulduğumuz V=3.0506106640935 normalize frekansı, Popescu tarafından bulunan 3.05061 değeri ile uyuşmaktadır, hatta onun bulmuş olduğu sonuçtan daha hassastır.

Bulunan değerlerin ancak mantislerinde görülen bu ince hassasiyet pratik sonuçtan ziyade, kullandığımız metodun hassasiyetini vurgulamaktadır.

3. NORMALİZE YAYILMA SABİTİ, NYS

α_a

NYS α_a,

. 2, 1, 0,

m= …

− + +

+ −

=

−

a p a a

a a

a 1 α

α a arctan 1 α

arctan α α mπ

1

V , (26)

formülünden hesaplanabilir (Bhattacharya, 1998).

Bir YİAKİTAL’de (nI=nIII =nI,III) ap=0 alınırsa elde edilen YİAKİTSL’de

V=(ζ²+η²)^1/2 (27) olduğu hemen görülebilir. Bir YİAKİTSL’de NF ile NYS α arasındaki ilişki

α mπ]

1 [arctan α 1 α

V 1 +

−

= − , m=0, 1, 2,… (28)

ile bellidir (Iga, 1994). Aktif bölgedeki efektif kırılma indisi YİAKİTAL ve YİAKİTSL’de sırasıyla n_efa =β_za/k₀ ve n =_ef β_z/k₀ ile verilir.

4. ALAN OLASILIK (İHTİMALİYET) ORANLARI

Bir YİAKİTAL’de R(r) olasılık oranı, I ve III bölgelerindeki çift (tek) fonksiyonlu bir elektrik alanında toplam sönümlü alan olasılığının, I^ℓ (I'^ℓ), aktif bölgedeki elektrik alan olasılığına oranı olarak tanımlanır:

IIIa 2 III Ia 2 I 2

yII IIIa

2 III Ia 2 I

II

a 2α

A 2α A

dx (x) E

2α A 2α A

I

R I = +

∫

− +

=

= a

a

l (29)

dx (x) E 2 I dx, (x) E dx (x) E

I =⁻∫ _yI ² +^∞∫ _yIII ² _II= ∫ _yII ²

∞

−

a 0 a

a

l ,

IIIa 2 III Ia 2 I 2

yII III

2 III I 2 I

II

a 2α

B 2α

B dx (x) e

2α B 2α B

I'

r I' = +

∫

− +

=

= a

a

l (30)

dx (x) e 2 I' dx, (x) e dx (x) e I'

0

2 yII II 2 yIII 2

yI + ∫ ∫

∫ =

= ^{− ∞}

∞

−

a a

a

l

Burada, (') işareti sembolik olarak tek fonksiyonu temsil etmektedir. Aynı bir lazerde çift ve tek fonksiyonlu alanlarda NYS sabiti aynı olacağı için

α'

α = alınır ve dolayısıyla YİAKİTSL için (29) ve (30) ifadeleri sırasıyla

α η 1 α

R +

= − , (31)

ve

r η α

-α 1 α' η'

α' - 1

= −

= − (32)

olarak bulunur (Temiz, 2002; Temiz ve Karakılınç, 2003).

Bir YİAKİTAL’de kayıp olasılığının giriş olasılığına oranı K , çift fonksiyonlu elektrik alanı için _a

=

=

a i

a I

K I^l [A_I²/2α_Ia+A_III²/2α_IIIa]/[1+

Ia 2 I

2α A +

IIIa 2 III

2α A ], Ii=I +II Il, (33) olur. Benzer şekilde YİAKİTAL için tek fonksiyonlu elektrik alanında q oranı, _a

=

= _a

i

I' q

I'l [B_I²/2α_Ia+B_III²/2α_IIIa]/[1+ Ia 2

I/2α

B +

IIIa 2

III /2α

B ], I' =_i I' +II I , 'l (34) ve YİAKİTSL için q oranı

=

=q I' I'

i l

r 1 1

1 2α 1 η

1 α

+

− = +

− (35)

olarak bulunur (Temiz, 2002; Temiz ve Karakılınç, 2003). Şekil 1’deki YİAKİTAL’de I, II ve III bölgelerinin hapsedicilik faktörleri benzer şekilde tanımlanabilir. Bunlar o bölgelerin absorpsiyon sâbitlerini verirler. Dolayısıyla, çift fonksiyonlu elektrik alanı için absorpsiyon sâbitleri, L=1- α olmak üzere,

i I

I I =F =I

Ia 2 I

2α A _/[1+

Ia 2 I

2α A ₊

IIIa 2 III

2α

A _] (36)

i II

I

I = /[ ]

IIIa 2 III Ia 2 I

II 2α

A 2α 1 A 1

F = + + (37)

i III

I I =F =III

IIIa 2 III

2α A _/[1+

Ia 2 I

2α A ₊

IIIa 2 III

2α

A ] (38)

ve tek fonksiyonlu elektrik alanı için,

i I

I' I' =F' =_I

Ia 2 I

2α B _/[1+

Ia 2 I

2α B ₊

IIIa 2 III

2α

B _] (39)

i II

' ' I

I =F

'

_II=1/[1+

Ia 2 I

2α

B ₊

IIIa 2 III

2α

B (40)

i III

' ' I I =F ='_III

IIIa 2 III

2α B _/[1+

Ia 2 I

2α B ₊

IIIa 2 III

2α

B ] (41)

ifâdeleri kolayca bulunabilir (Temiz, 2002). Fi , i=1, 2, 3, olmak üzere, hapsedicilik faktörü, i. bölgenin modal hapsediciliğinin bir ölçüsüdür. Görüldüğü gibi, modal hapsediciliğin ölçüsü birimsizdir.

K +a F =1 ve _II q +_a F' =1 olur (Temiz, 2002; Temiz _II ve Karakılınç, 2003).

YİAKİTSL’de çift ve tek fonksiyonlu alanlarda I ve III bölgelerdeki hapsedicilik faktörleri için

ΓI=Γ_III

=

Γ_I,III= K 2

1 , Λ_I=Λ_III

=

Λ_I,III= q 2

1 (42)

elde edilir. Bu sonuç, AB’den I ve III gömlek bölgelerine geçen kayıp yüzdesinin YİAKİTSL’de eşit olarak paylaşıldığını gösterir ki, bu da bu bölgelerin kırılma indislerinin eşit olmasından kaynaklanır.

YİAKİTSL’de i. bölgenin modal hapsedicilik büyüklükleri, çift fonksiyonlu bir alan için Γ_j, j=I, II, III, ile ve tek fonksiyonlu bir alan için Λ_j, j=I, II, III, ile temsil edilebilir. Bu suretle bir YİAKİTSL’de için AB’de (37) ve (40) ifadeleri, çift ve tek fonksiyonlu alanlarda

II=

Γ 1 R

K 1 R 1 K 1 η

η α

= +

−

= + =

+ , (43)

II=

Λ 1 η 2α

α η

− +

− =

r q q r 1 1

1 = − =

+ (44) olarak bulunur. Burada da

K +Γ_II=1, q+

Λ

_II=1 (45) olduğu gösterilebilir (Temiz, 2002; Temiz ve Karakılınç, 2003).

5. ALAN KAYIP GÜÇ ORANLARI

Bir YİAKİTAL’de R (r_a a) güç oranı, I ve III bölgelerindeki çift (tek) fonksiyonlu bir elektrik alanında toplam sönümlü alan gücünün, P^ℓ (P'^ℓ), aktif bölgedeki alan gücüne oranı olarak tanımlanır:

−∫

−

∫

∞

−

∫ +

−

∞

−

−

=

=

=

+

a a

a a

dx ] (x) (x)H E (x) (x)H [E

dx ] (x) (x)H E (x) (x)H [E dx ] (x) (x)H E (x) (x)H [E

P R P P P

* xII

* yII xII

* xIII yIII

* yIII xIII

* xI yI

* yI xI

a II II III I

yII

l

(46)

Bu oranı alanın modülü cinsinden bulmak için, Ex=0 alınabilir ve

−∫

∫

∞

∫ +

−

∞

=−

= a

a a a

dx ] (x) (x)H [E

dx ] (x) (x)H [E dx ] (x) (x)H [E P R

P

* xII yII

* xIII yIII

* xI yI

a II

l (47)

olarak yazabiliriz. Bu, diğer taraftan

y/Z x E x H y/H E

Z=− → =− olduğundan, sırf E_y cinsinden olmak üzere,

∫

−

∫

∞

∫ +

−

∞

= −

a a

a a

dx ] (x) E Z [

1

dx ] (x) E Z [ dx 1 ] (x) E Z [

1 R

2 yII yxII e

2 yIII III e 2 yI yxI e a

yx (48)

ya da TE modunda çift alan için,

TE yxI

Ze =ZeyxII^TE=ZeyxIII^TE=

za o

β

ωµ olması nedeniyle (Temiz, 2003).

Ra=R

III III I

I I

=I +

∫

− +

=

∫

−

∫

∞

∫ +

−

∞

=−

a a a

a a a

dx (x) E

2α A 2α A

dx (x) E

dx (x) E dx (x) E

2 yII

III 2 III I 2 I

2 yII

2 yIII 2

yI

(49)

dx (x) E I

dx ) E I dx, (x) E I

2

yIII III

2 yII(x II 2 yI

I ,

=^∞∫

∫

−

∫ =

−

∞

−

=

a

a a a

(50)

ya da AB’de yapılan (5)’deki normalizasyon dolayısıyla

IIIa 2 III Ia 2 I II

a 2α

A 2α A I

R = I^l = + = l

l I

I I

II

= (51)

olur ki, bu sonuç YİAKİTAL’de R olasılık _a oranının AB’den gömlek bölgelerine toplam kaçak olasılığını verir. n_I =n_III =n_I,III için E_yI=E_yIII=E_yI,III’den hareket ederek ^II,III ∫^EyI,III^2dx

=∞ a

alınırsa, Ra bir YİAKİTSL için

=

=

→

=

=

III I,

2 III I, III

I, 2 III I,

II α

I A α

A I

R I l

l

α η 1 α +

− (52)

olarak bulunur. V>π/2 (Bhattacharya, 1998) halinde benzer yol izlenerek asimetrik bir dalga kılavuzunda ayrıca tek fonksiyonlu elektrik alanı için bulunan ra oranı ise

−∫

∫

∞

∫ +

−

∞

= −

−∫

∫

∞

∫ +

−

∞

= −

a a

a a

a a

a a

dx ] (x) e Z [

1

dx ] (x) e Z [ dx 1 ] (x) e Z [

1

dx ] (x) (x)e Z [e

1

dx ] (x) (x)e Z [e

dx 1 ] (x) (x)e Z [e

1 r

2 yII II o

yIII III o 2 yI I o

* yII yII II o

* yIII yIII III o

* yI yI I o

a

(53)

dx ] (x) e [ I'

dx ] (x) e [ dx

(x) e

2 yIII III

2 yII II 2

yI

I [ ] , I' ,

I'

∫

∞

=

∫

∞ −

−

∫ =

−

=

a

a a a

(54)

veyâ

TE yxI

Zo =ZoyxII^TE=ZoyxIII^TE=

za o

β

ωµ (Temiz, 2003) olduğundan,

∫

− +

=

∫

−

∫

∞

∫ +

−

∞

=−

= +

a a a

a a a

dx (x) e

2α B 2α B

dx 2 (x) e

dx (x) e dx (x) e I

I' r I'

2 yII

III 2 III I 2 I

yII

2 yIII 2 yI

'III III I a

(55)

ya da

IIIa 2 III Ia 2 I 2

yII III

2 III I 2 I

III III I

a 2α

B 2α

B dx (x) E

2α B 2α B I'

I'

r I' = +

∫

− + + =

= a

a

(56)

bulunur. n_I =n_III =n_I,III için e_yI=e_yIII=e_yI,III alındığında, bir YİAKİTSL için

III I,

2 III I,

α

r = B =

α η

-α 1

− (57)

olarak elde edilir. Sonuç olarak bir AKİTL’de alan güç kaybı alan kayıp olasılığına eşittir.

6. NÜMERİK DOĞRULAMA

Örnek olarak YİAKİTAL ve YİAKİTSL’de λ=1.55nm, a=10 A^o_, n_I=5.265, n_II=5.269 ve n_III=5.263 için hesaplanan normalize frekans, bölgelerin yayılım sâbitleri, dalga numaraları, alanların olasılık oranları ve hapsedicilik faktörleri, aktif bölgedeki faz sabiti, efektif kırılma indisi, empedans, ayrıca çukur içinde n=1 için enerji değerleri, Poynting gücü değerleri Tablo 1’de görülmektedir. V<π/2 olduğu için verilen bu örnekte tek fonksiyonlu çözüm yoktur.

Tablo 2’de λ=1.55 nm, a=10 A^o,

nI=nIII=5.24628709078381, nII=5.26943567971235, V=1.99999999999993 elde edilir. YİAKİTSL’e ait bu örnekte V> π/2 olduğu için bir adet çift fonksiyonlu ve bir adet tek fonksiyonlu çözüm vardır. Her iki çözüm için NYS α=0.73484373294553 aynıdır. Bu örnekte de çift ve tek alanlara ait normalize frekanslar, olasılık oranları, bölgelerin yayılma sabitleri ve dalga numaraları, faz hızları, faz sabitleri, hapsedicilik faktörleri, enerji değerleri, Poynting gücü değerleri incelenmiştir. Her iki tip YİAKİTAL ve YİAKİTSL’de α=η²/V²=sin²ζ geçerlidir.

YİAKİTAL’in bölgelerinde çift (Tablo I’de yalnız çift fonksiyonlu çözüm örneği vardır) ve tek fonksiyonlu çözümde, sırasıyla FI+FII+FIII=1, F' +I F' +II F' =1, III aktif bölgesinde Ka+FII=1, q' +a F' =1; II YİAKİTSL’in bölgelerinde ΓI+Γ_II+Γ_III=1, Λ_I+Λ_II +Λ_III=1 ve aktif bölgesinde K +ΓII=1, q+ΛII=1 eşitlikleri geçerlidir. (FI+FII+FIII=1, Ka+FII=1, Γ +I Γ +II Γ =1 III

ve K +Γ =1 eşitlikleri Tablo I’den; _II Γ +_I Γ +_II Γ =1 _III ve K +Γ =1, II Λ +I Λ_II +ΛIII=1 ve q +Λ =1 II

eşitlikleri ise Tablo 2’den gösterilebilir.)

Tablo 1. YİAKİTAL’de λ = 1.55 nm, a=10 A^o, nI=5.265, nII=5.269 ve nIII=5.263 için hesaplanmış büyüklükler.

Büyüklük Sembol Değer Sembol Değer

NF Va 0.832098660447801 V 0.832098660447801

NYS αa 0.374213472759047 α 0.374213472759047

Yayılım sabiti

αIa ^(1/m) 5.090196318455555x10⁸

αI⁼αIII⁼αI,III^(1/m) 5.090196318454843x10⁸ Yayılım sabiti

αIIa ^(1/m) 6.582455431788657x10⁸

αII^(1/m) 6.582455431788845x10⁸ Yayılım sabiti

αIIIa ^(1/m) 7.778803823714714x10⁸

αI⁼αIII⁼αI,III^(1/m) 5.090196318454843x10⁸ Dalga numarası k_Ia (1/m) 2.134256170471001x10¹⁰

kI⁼kIII⁼kI,III^(1/m) 2.134256170471001x10¹⁰ Dalga numarası kIIa (1/m) 2.135877637647047x10¹⁰ kII(2)(1/m) 2.135877637647047x10¹⁰ Dalga numarası kIIIa (1/m) 2.135877637647047x10¹⁰

kI=k_III=k_I,III(1/m) 2.134256170471001x10¹⁰ E. kırılma indisi

nefa 5.26649720961553

nef 5.26649720961553

Faz sabiti

βza 2.134863089532812x10¹⁰

βz 2.134863089532812x10¹⁰

E1 enerjisi E1a (eV) 84.62424518716327 E1 (meV) 84.62424518716327

Olasılık oranı

II

a I I

R = l/ 0.58607454801792

III

I

R= l/ 0.70851797105261

Olasılık oranı

Ka 0.36951261133994 K =I /l I_ia 0.41469740620644

Zeta

ζa 0.65824554317887 ζ 0.658245543178866

Eta

ηa 0.50901963184556 η 0.509019631845556

Empedans Z^TEyxII(Ω⁾ 13.59212631575098 Z^TEyxII(Ω⁾ 13.60860517189717

H. Faktörü F_I 0.22335582269388 F_I=F_III=F_I,III 0.20734870310322

H. Faktörü F_II 0.63048738866006 F_II 0.58530259379356

H. Faktörü FIII 0.14615678864606 FI=FIII=FI,III 0.20734870310322

Faz Hızı va (m/s) 5.696385815077663x10⁷ v (m/s) 5.696385815077663x10⁷

P.vek.değeri Sa (nW/nm²) 0.02120028973998764 S (nW/nm²) 0.02120028973998764 Genlik AI(V/m)* 1.899077557081782x10⁴ AI=AIII=AI,III 1.899077557081782x10⁴ Genlik AIII(V/m) 1.899077557081782x10⁴ AI=AIII=AI,III 1.899077557081782x10⁴

*Örnekte YİAKİTAL ve YİAKİTSL içn NYS sabiti aynı olduğu için AI=AIII=AI,III aynı değerdedir.

Tablo 2. YİAKİTSL’de λ= 1.55 nm, a=10 A^o_, n_I = n_III = 5.24628709078381, n_II = 5.26943567971235 için hesaplanmış büyüklükler.

Büyüklük Sembol (Çift f) Değer Sembol (Tek f.) Değer

NF V 1.99999999999993 V 1.99999999999993

NYS α 0.73484373294553 α 0.73484373294553

Yayılım sabiti

αI⁼αIII⁼αI,III(1/m) 1.714460536665083x10⁹

αI⁼αIII⁼αI,III(1/m) 1.714460536665165x10⁹ Yayılım sabiti

αII ^(1/m) 1.029866529322033x10⁹

αII ^(1/m) 1.029866529322026x10⁹ Yayılım sabiti

αI⁼αIII⁼αI,III^(1/m) 1.714460536665083x10⁹

αI⁼αIII⁼αI,III^(1/m) 1.714460536665165x10⁹ Dalga num.

kI⁼kIII⁼kI,III^(1/m) 2.126670578455404x10¹⁰

kI⁼kIII⁼kI,III^(1/m) 2.126670578455404x10¹⁰

Dalga num. kII (1/m) 2.136054247735259x10¹⁰ kII (1/m) 2.136054247735259x10¹⁰

Dalga num.

kI=k_III=k_I,III(1/m) 2.126670578455404x10¹⁰

kI=k_III=k_I,III(1/m) 2.126670578455404x10¹⁰ E. k. indisi

nef 5.26330760504941

nef 5.26330760504941

Faz sabiti

βz 2.133570129755679x10¹⁰

βz 2.133570129755679x10¹⁰

E1 enerjisi E1 (eV) 84.61823501571689 E1 (eV) 84.61823501571689

Olasılık oranı

III

I

R= l/ 0.10825778991391

I'II

I'

r= l/ 0.27067345726172

Olasılık oranı K

a iI

Il/

=

0.09768285943861 q=I' /l I'_ia 0.21301574823560

Zeta ζ 1.02986652932203 ζ' 1.02986652932203

Eta η 1.71446053666508 η' 1.71446053666508

Empedans Z^TE_yxII⁽Ω⁾ 13.60860517189717 Z^TE_yxII⁽Ω⁾ 13.60860517189717

H. Faktörü

ΓI⁼Γ =III ΓI,III 0.04884142971931

ΛI=Λ_III

=

Λ_I,III 0.10650787411780 H. Faktörü

ΓII 0.90231714056139

ΛII 0.78698425176440

H. Faktörü

ΓI⁼ΓIII =ΓI,III 0.04884142971931

ΛI=Λ_III

=

Λ_I,III 0.10650787411780

Faz Hızı v (m/s) 5.699837868343318x10⁷ v (m/s) 5.699837868343318x10⁷

P.vek. değeri S(nW/nm²) 0.02571823401707308 S (nW/nm²) 0.02571823401707290

Genlik AI=AIII=AI,III(V/m) 1.362364520214661x10⁴ BI=BIII=BI,III(V/m) 3.586188642311359x10⁴

7. SONUÇ

Bu çalışmada YİAKİTAL ve YİAKİTSL’de en düşük modlu çift ve tek alanlara ilişkin alan kayıp güç oranlarının alan olasılık oranlarına eşit olduğu gösterilmiştir. Olasılık ve kayıp oranlarına ait yeni formüller üretilmiş, incelenmiş ve bulunan sonuçların doğrulukları nümerik olarak gösterilmiştir. Bunun için önce NYS elde edilmiş, hapsedicilik faktörleri ve bölgelere ait olasılık ve kayıp oranları NYS’leri cinsinden bulunmuş ve bölgelerin yayılma sabitleri, dalga numaraları hesaplanmıştır. Sonuçta en düşük modlu tek ve çift alanlara ait bu büyüklükler arasındaki hassas farklar nümerik örneklerle ortaya konmuştur. Bu hassas farklar bilhassa 8 rakamlı mantislerde görülebilmektedir. Rakamlar arasında görülen çok küçük farklar, pratik sonuçlara etkisinden ziyade, kullanılan hesaplama yönteminin hassasiyetini vurgulamaktadır. Bununla beraber, sonuçlar incelendiğinde aynı kırılma indisli YİAKİTAL ve YİAKİTSL’de, kırılma indislerinin değişmediği sürece, AB’ye ait faz hızları, faz sabitleri, efektif indisler ve E₁ enerjilerinin de değişmediği görülmüştür.

8. KAYNAKLAR

Bhattacharya, P. 1998. Semiconductor Optoelectronic Devices, Prentice Hall.

Iga, K. 1994. Fundamentals of Laser Optics, Plenum Press, New York.

Popescu, V. A. 2005. Determination of Normalized Propagation Constant for Optical Waveguides by

Using Second Order Variational Method, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials. October 2005. 7 (5), 2783-2786.

Temiz, M. 2001. The Effects of Some Parameters of the Propagation Constant for Heterojunction Constructions on the Optical Modes, Laser Physics.

11 (3), 297-305.

Temiz, M. 2002. Impacts on the Confinement Factor of the Propagation Constants of Optical Fields in the Some Semiconductor Devices Laser Physics. 12 (7), 989-1006.

Temiz, M. 2003. The Review of Electromagnetic Fields and Powers in terms of Normalised Propagation Constant on the Optical Mode Inside Waveguide on the Heterojunction Constructions, Laser Physics. 13 (9), 1123-1137.

Temiz, M. ve Karakılınç, Ö.Ö. 2004. Yarıiletken Kuantum Çukurunda Elementer Modlarda Temel Parametreler ve Bazı Normalize Frekanslarda Enerji Özdeğer Noktaları, Hava Harp Okulu, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Enstitüsü. 1 (4), 61-73.

Temiz, M. and Karakılınç, Ö.Ö. 2003. A Novel Procedure and the Parameters for Design of Symmetric Quantum Wells in Terms of Normalized Propagation Constant as a Model α in the Single Mode, Journal of Aeronautics and Space Technologies. 1 (2).

Temiz, M., Karakılınç, Ö.Ö. and Ünal, M. 2008. A novel Theoretical Procedure to Detemine Absorption and Gain Coefficients in a Symmetric Single Step- Index Quantum Well Laser, Turkish Journal of Electrical Engineering and Computer Sciences (Elektrik). 16 (1).