DumlupÕnar Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi SayÕ 33,

9

DEKEN KESTL KRLERDE ELASTK ERNN SONLU FARKLAR YÖNTEM LE HESABI

Mustafa Halûk SARAÇOLU, Mahmud Sami DÖVEN, Burak KAYMAK

Dumlupnar Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, naat Mühendislii Bölümü, Kütahya, mhaluk.saracoglu@dpu.edu.tr, msami.doven@dpu.edu.tr, burak.kaymak@dpu.edu.tr

ÖZET

Deiken kesitli kiriler, inaat, makine, havaclk ve uzay gibi mühendislik alanlarnda yaygn olarak kullanlmaktadr. Bu çalmada, deiken kesitli kirilerde çökmeler ile buna sebep olan d yükler arasnda kurulan dördüncü dereceden diferansiyel denklemler sonlu farklar yöntemi ile çözümlenmitir.

Bu amaçla bir bilgisayar program gelitirilmitir. Literatürde konu ile ilgili yer alan örneklerin gelitirilen bilgisayar program ile çözümü sonucunda sonlu fark bölüm says ile deiken kesitli kiriin belirli noktasndaki çökme deeri arasndaki ilikiler tablo ve grafikler eklinde sunulmutur. Bu sonuçlar sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen sonuçlarla karlatrlmtr.

Anahtar Kelimeler: Deiken kesitli kiri, çökme, elastik eri, sonlu farklar yöntemi.

DETERMINING THE ELASTIC CURVES OF BEAMS HAVING VARIABLE SECTIONS BY FINITE DIFFERENCE METHOD

ABSTRACT

Beams with variable thickness are commonly used in engineering fields such as civil, mechanical and aerospace engineering. In this study, relation between the deflection of beams with variable thickness and load is expressed as fourth order differential equations and calculated by finite difference method.

Calculations were made by a developed computer program. Relationship between finite difference mesh number and deflection value at the specific point of beam with variable thickness were presented in tables and graphs as a result of the solutions of examples by developed computer program. Results have been compared with the ones obtained from the finite element analysis.

Keywords: Beams with varying cross section, deflection, elastic curve, finite difference method.

1. GR

Mühendislik bilimleri alanlarndaki problemler Ksmî Diferansiyel Denklemler kurularak matematiksel olarak modellenir. Modellenen bu problemlerin çözümü için uygulanan çeitli saysal yöntemler vardr. Bu yöntemlerin banda Sonlu Farklar Yöntemi, Snr Eleman Metodu, Sonlu Elemanlar Metodu gelmektedir.

Sonlu farklar yönteminde snr artlarnn gerçeklemesi kesin iken diferansiyel denklemin salanmas

yaklaktr. Tüm yöntemlerde sonuca ulaabilmek için oluturulan dorusal denklem takmlar bir ekilde çözülmelidir. Bilgisayarlarn kullanlmasyla denklem takm çözümleri ksa sürede elde edilebilmektedir.

10

Programlama tekniine ve problemin tipine bal olarak deien denklem takmlarnn çözümleri birbirlerine göre çeitli farkllklar göstermektedir.

Sonlu farklar yöntemi kullanlarak oluturulan dorusal denklem takmlarnda katsay matrisi bant matris özellii göstermektedir. Sonlu farklar yönteminin bir özellii olarak sonlu fark bölüm says ile elde edilen yaklak çözümün doruluu arasnda bir iliki vardr. Sonlu fark bölüm says ne kadar fazla ise elde edilen yaklak çözüm de doruya o kadar yakndr. Bu durum sonucunda oluturulan katsaylar matrisinin büyüklüü artar. Kabul edilebilir dorulua sahip sonuçlar elde etmek için sonlu farklar yöntemi çok sayda düüm noktas ile analiz yapmay gerektirmektedir. Gerekli bilgisayar kapasite ihtiyac dorusal denklem takmnn büyüklüü ile orantl olarak artar. Ancak, iyi bir programlama teknii ile bu ihtiyaç azaltlabilir.

Dier yöntemlerden farkl olarak sonlu farklar yönteminde katsay matrislerinin sfr deerine sahip eleman saysnn fazla olmas bu çalmada gelitirilen programn bir avantaj olarak kullanlmtr.

Mühendisliin pek çok alannda karlalabilen deiken kesitli kiriler için bugüne kadar pek çok aratrmac bu konuda çalmalar yapmlardr. Daha çok sonlu elemanlar yöntemi kullanlarak yaplan bu çalmalar arasnda sonlu farklar yöntemi kullanlarak yaplanlar çok fazla deildir [1-17].

S. Li, J. Hu, C. Zhai ve L. Xie yaptklar çalmada; uyarlanabilir deplasman enterpolasyon fonksiyonlu kiri

eleman kullanarak baz analizler gerçekletirmilerdir. Deiken kesitli, deiken malzeme özellikli gibi farkl örnekler çözerek sonuçlar irdelemilerdir [1]. S. T. Wasti, yapt çalmada eni sabit fakat yükseklii dorusal olarak deien prizmatik olmayan bir eleman çok sayda prizmatik elemanla modelleyerek analiz etmi ve kabul edilebilir düzeyde sonuçlar almtr [2]. T. Tankut, kirisiz döeme yaplarn hesab için yeni bir yöntem isimli çalmasnda, deney sonuçlarn deiken kesitli kiri kavramna dayanarak deerlendirmi

ve oldukça gerçekçi sonuçlar elde etmitir [4]. Cook R. D. vd., deiken kesitli bir konsol kiriin sonlu elemanlar metodu ile analizi için problemin her birisi sabit kesitli olan çok sayda elemana ayrarak modellenebileceinden söz etmilerdir [5]. Xu Y. ve Zhou D., çalmalarnda statik yükler altnda iki ucundan basit mesnetli çok açklkl ve deiken kesitli kirilerin gerilme ve yer deitirme hesaplarn

yapmlardr [6]. Ayn yazarlar bir baka çalmalarnda, basit mesnetli deiken kesitli piezoelektrik kirileriniki boyutlu analizlerini yapmlardr [7]. F. Romano ve G. Zingone, dorusal ve (binom eklinde) parabolik olarak deien derinlikte ve dorusal olarak deien genilikte eilme kirileri için kapal-form çözümler sunmulardr [8]. Z. Girgin, E. Demir ve C. Kol, Dorusal deiken kesitli bir kiriin titreim problemini genelletirilmi diferansiyel quadrature metodu ile incelemilerdir [9]. A.K. Ashok ve S.B.

Biggers çalmalarnda; Newmark’n saysal yöntemini kullanarak prizmatik olmayak kiri-kolon elemanlar

için rijidlik matrisi üreten bir algoritma sunmulardr. Bu algoritma ile bir bilgisayar program gelitirerek elde ettikleri sonuçlarn uygun olduu sonucuna ulamlardr [10]. H. Al-Gahtani ve M. Khan, genel snr koullarndaki prizmatik olmayan kiriler için kesin analiz sunmulardr. Dorusal ve parabolik olarak deien kesitlerdeki kiriler için temel çözümler elde etmi ve sonuçlar iki saysal örnek ile test etmilerdir [11]. T.J. Kotas çalmasnda; düey yükleme altnda düzgün olmayan eilme rijidliklerine sahip hiperstatik kirilerin analizi için oldukça rahat bir yöntem gelitirmitir. Buna göre kirilerde iki nokta snr deer problemi çözümü için saysal çözüm tekniini sunmutur [12]. R. Attarnejad veA. Shahba yazdklar

makalede prizmatik olmayan döner kirilerin serbest titreim analizinde diferansiyel dönüüm yönteminin uygulanmasn açklamlardr. Çaltklar kiriler Euler-Bernoulli kirileridir. Bu yönteme göre kiri

boyunca herhangi iki keyfî fonksiyonla deien kesit alan ve atalet momenti modellenebilmektedir. Bundan dolay bu yöntem pek çok mühendislik uygulamasnda kullanlabilir [13]. M. Veiskarami ve S. Pourzeynali, analitik bir yaklamla deiken kesitli basit kirilerin çökmesi için tesir çizgisi gelitirmilerdir. Bunun için Green’in fonksiyonunu uygulamlardr [14]. M. Brojan, T. Videnic ve F. Kosel, çalmalarnda özel malzemelerden üretilmi farkl fonksiyonlarla tanmlanm deiken kesitli konsol kirilerin ekil deitirmelerini ve büyük yer deitirmelerini incelemilerdir [15]. M. Brojan, M. Cebron ve F. Kosel,

11

dorusal olmayan elastik malzemeden yaplm prizmatik olmayan konsol kirilerin büyük deplasmanlarn

çalmlardr. Elde ettikleri nümerik sonuçlar ile daha önceden yaplm olan çalma sonuçlar ve laboratuvar deneyleri sonuçlar ile uyumlarn deerlendirmilerdir [16]. S.A. Hamoush, M.J. Terro ve W.M.

Mcginley, eksenel ve düey kuvvetlerin birlikte etki ettikleri prizmatik olmayan elemanlarn elastik ve elastik ötesi davranlarn ortaya koymulardr. Deiken kesitli elemanlarn sehimlerini göstermek için eim-sehim ilikilerine dayanan sonlu fark teknii uygulamlardr [17].

Deiken kesitli kiriler havaclk ve uzay, makine, inaat gibi mühendislik alanlarnda sk olarak kullanlmaktadr. Bu çalmada düey yükle yüklenmi deiken kesitli kirilerde elastik eriler incelenmitir. Bilgisayarlarn gelimesiyle yaplan analiz sonuçlar ksa sürede elde edilebilmektedir. Bu avantaj kullanlarak, çalma kapsamnda C++ dili yardmyla bir bilgisayar program gelitirilmi ve sonuçlar gelitirilen bu bilgisayar program kullanlarak elde edilmitir.

2. MATERYAL VE METOT

Tayc çubuun ekseni yükleme sonrasnda ilk konumuna göre deiir ve elastik eri adn alr. Tayc

çubuk sistemlerin statik hesabnda elastik eri önemli bir yer tutar. Elastik eri probleminde önemli olan çökme deerleri (˜ሺšሻ) ile buna sebep olan yükler (“_୷ሺšሻ) arasnda bir bant kurmaktr (ekil 1).

ekil 1. Eilme kirii ve “ dx ” boyundaki ekil deitirme durumu.

ekil 1 ’ de görülen kirite erilik diferansiyel geometriden

ଵ

_౰ൌ_ୢ୶^ୢమ୴_మ (1)

eklinde yazlabilir. Dier taraftan, kiri teorisinden [18]

ୢ^మ୴

ୢ୶^మൌ_୉୍^୑౰

౰ (2)

olduu bilinmektedir. Burada erilik yarçap :_୸ , eilme momenti :_୸ ve eilme rijitlii :_୸ ile ifade edilmektedir. Denklem 2 ’nin x ’e göre iki defa türevi alndnda elde edilen diferansiyel denklem kiri

eksenine dik olarak etki eden yayl yük“_୷’nin bir fonksiyonu olarak ortaya çkar:

12

ୢ^ర୴

ୢ୶^రൌ^ି୯_୉୍^౯

౰ (3)

Sabit kesitli kirilerde atalet momenti ୸ሺšሻsabit iken deiken kesitli kirilerde atalet momenti, çökme fonksiyonu ˜ሺšሻ ve eilme momenti fonksiyonu_୸ሺšሻgibi“x” eksenine göre deien bir fonksiyon olacaktr:

ୢ^మ

ୢ୶^మቀ_ୢ୶^ୢమ୴_మቁ ൌ_ୢ୶^ୢమ_మቀ_୉୍^୑౰

౰ቁ (4)

Çökmelerin türevleri, çubua ait geometrik ve mekanik tipten büyüklükler ile orantldr.

˜ሺšሻ çökmeler

˜^ሺšሻ eimler veya kesit dönmeleri

୸˜^ሺšሻ ୸ eilme momenti

୸˜^ሺšሻ െ୷ kesme kuvveti

_୸˜^୴ሺšሻ െ“_୷ yayl yükün iddeti

Bir problemde çökme fonksiyonu˜ሺšሻbelirlenmi ise, ardk türevlerle eimi, eilme momentini, kesme kuvvetini ve düey yükleri bulmak mümkündür. Bunun aksine, saylan fonksiyonlardan her hangi biri verilmi ise, yukarya doru entegrasyonla çkmak mümkün olur; fakat her integral admnda denklemlere eklenecek yeni integral sabitlerini belirtmek gerekir; bunlar da ancak snr artlarndan bulunabilir [18].

Eer yük fonksiyonu biliniyorsa buna bal olarak eilme momenti fonksiyonu ୸ሺšሻ elde edilebilir. Atalet momenti_୸ሺšሻdeiken kesitli kiriin deiim fonksiyonuna göre hesaplanmaldr. Yükseklii “x” eksenine göre deien dikdörtgen kesitli bir kirite atalet momenti kübik olarak deiecektir. Buradan çökme fonksiyonu ˜ሺšሻ’in dördüncü dereceden türevi, elde olunanlarla ifade edilebilir.

ୢ^ర୴

ୢ୶^రൌ_ୢ୶^ୢమ_మቀ_୉୍^୑౰

౰ቁ (5)

Denklem 5 ’te verilen dördüncü dereceden diferansiyel denklemde çubuk eksenine dik dorultudaki yer deitirmeler (çökmeler:v) bilinmeyenlerdir. Denklemin çözümü için bu çalmada sonlu farklar yöntemi kullanlmtr. Bu durumda Denklem 5 ’in sonlu farklar yöntemindeki ifadesi u ekildedir:

ୢ^ర୴

ୢ୶^రൌ^{୴೓షమିସ୴೓షభା଺୴}_ሺο୶ሻ^೓_ర^{ିସ୴೓శభା୴೓శమ}ൌ െ“௬ሺšሻ (6) Sonlu farklar yönteminde çözüm için diferansiyel denklem ayrklatrlr ve saysal olarak çözülür. Türevlerin yerine saysal deerlerin konulmas ayrklatrma sonunda elde edilen düüm noktalarndaki fonksiyon deerlerinin kullanlmasyla olur. Bu ekilde düüm noktasna bal olarak denklemler oluturulur. Elde edilen bu denklemler dorusal denklem takm eklinde çözülerek her nokta için bilinmeyen ˜ሺšሻ deerleri elde edilir.

Sonlu farklar yönteminde snr artlarnn gerçeklemesi kesindir fakat diferansiyel denklemin salanmas

yaklaktr. Kirilerin sonlu farklar yöntemine göre çözümünde ilk olarak kiri belirli sayda eit parçaya bölünerek sonlu fark a noktalar oluturulur. Kiriin mesnetlerindeki snr artlarna göre baz sanal sonlu fark a noktalarna ihtiyaç olabilir. Bu durumda fiktif sonlu fark a noktalar için gerekli deerler gerçek sonlu fark a noktalarnda yazlan deerler cinsinden tarif edilir (Çizelge 1).

13

Deiken kesitli kiriin sonlu farklarla çözümü için kiri ekseni yönündeki bölüm says “ n ” olmak üzere sonlu fark a oluturulur. Sonlu farklar yönteminde bölüm says arttkça ˜ሺšሻ deerleri kesin sonuca daha da yaklamaktadr. Deiken kesitli kirite hesaplanan en büyük ˜ሺšሻdeerleri ile “ n ” bölüm says

arasndaki ilikiyi gösteren bir grafik çizildiinde teorik olarak grafik yataya teet haline gelmesi gerekir. Bu teetin grafiin ˜ሺšሻ eksenini kestii deer en doru ˜ሺšሻ deeri olacaktr.

Çizelge 1. Dördüncü dereceden diferansiyel denklemin ve baz snr artlarnn sonlu fark ifadeleri.

Sonlu farklar yöntemi ile deiken kesitli kirilerde elastik erinin hesab için C++ dilinde bir bilgisayar program gelitirilmitir. Bu programn ak emas ekil 2’de verilmektedir. Gelitirilen bilgisayar program

ilk olarak dördüncü dereceden diferansiyel denklemi (Denklem 3) oluturmaktadr. Bunun için ilk olarak kullancdan sonlu fark bölüm says “ n ”deerini almaktadr. Gelitirilen bilgisayar program, sonlu fark bölüm says “ n ” deerine göre katsay matrisini, çökmelerin tutulaca bilinmeyenler vektörünü ve kar

taraf bilinenler vektörünü oluturmaktadr. Oluturulan bu matrisler, dördüncü dereceden diferansiyel denklemin sonlu farklar ifadesine göre tarif edilmektedirler. Dorusal denklem takmnn katsay matrisi, Çizelge1‘den de görülebilecei gibi ሾͳǡ െͶǡ ͸ǡ െͶǡ ͳሿ katsaylarndan oluan bant genilii 5 olan kare bir matristir. Bu matrisin banda ve sonunda bulunan baz deerler snr artlarna göre farkllklar gösterebilmektedir (Çizelge 1). Sa taraf bilinenler vektöründe ise yük deeri “୷ , eilme rijitlii ୸ ve sonlu fark ifadesindeki deiken kesitli kiriin uzunluu “ L” nin sonlu fark bölüm says “ n ”ye bölümünden elde edilen οš ൌ  Τ deerinin dördüncü dereceden ifadesi ሺοšሻ^ସ yer almaktadr. Bilgisayar programnn sistematik olarak oluturduu dorusal denklem takm Gauss Eliminasyon Yöntemine göre çözümlenmektedir. Buna göre dorusal denklem takmnn katsay matrisi kar taraf vektörü ile beraber üst üçgen hale getirilmekte ve daha sonra geriye doru çözüm yaplarak bilinmeyenler elde edilmektedir.

k – 2 k – 1 k k + 1 k + 2

j – 1 j j + 1

i – 1 i i + 1

k 1 k 1 k

k 2 k 2 k 1 k

v v 2 v

v v 4 v 4 v

 

  

 

 

h – 2 h – 1 h h + 1 h + 2

4

h 2 h 1 h h 1 h 2

4 4

d v v 4 v 6 v 4 v v

d x x

       

SINIR ARTI SONLU FARK FADES

Ara Nokta

Ankastre Mesnet

Sabit / Hareketli Mesnet

Serbest Uç

i+1 i-1

v = v

j+1 j-1

v =v

14

Bir döngü ile sonlu fark bölüm says “ n ” periyodik olarak arttrlarak hesaplanan ˜ሺšሻ deerlerinden kritik olan deer elde edilmektedir. Hesaplanan ˜ሺšሻ deerlerinin arasndaki bal yüzde hata ile kabul edilen hata snr deeri tespit edilmektedir. Kabul edilen hata snr deerine göre doru deeri verecek olan sonlu fark bölüm says “ n ” deerine bu ekilde karar verilmektedir.

Doru deeri verecek olan sonlu fark bölüm says “n” deerine göre program tekrar çaltrlarak deiken kesitli kiri boyunca çökme deerleri hesap edilmektedir. Hesaplanan bu deerlerden deiken kesitli kiriin elastik erisi grafik olarak çizilebilmektedir.

ekil 2. Gelitirilen bilgisayar programnn ak emas.

n n periyot

çökme deeri v

Sonlu fark noktalarnn yer deitirmeleri

Deiken kesitli kiriin elastik eri grafii

bal yüzde hata 0.01 den küçük mü ?

H E

Gauss eliminasyon

DUR BALA

Sonlu fark bölüm says n Malzeme özellikleri Geometrik özellikler

x vektoru b vektoru





15 3. ÖRNEKLER VE TARTIMA

Genilii sabit, yükseklii dorusal olarak deien iki adet konsol kiri ile deiken kesitli bir adet basit kiriin elastik erisi örnek olarak incelenmitir. Konsol kiriin birincisi düzgün yayl yükle yüklü iken ikincisi ucundan tekil yükle yüklüdür. Basit kiri ise bir adet tekil yükle beraber düzgün yayl yükle yüklüdür. Bu örnekler, gelitirilen bilgisayar program kullanlarak sonlu farklar yöntemi ile analiz edilmi

olup her biri ayr balklar altnda aada detayl olarak açklanmtr. Sonlu fark bölüm says “ n ” deerine karar verilirken kullanlan bal yüzde hata deerleri aadaki ekilde hesaplanmaktadr.

„ƒŽ›üœ†‡Šƒ–ƒ ൌ ቚ^୴೔శభ_୴^ି୴೔

೔శభ ቚ ൈ ͳͲͲ (7)

Ayrca, her bir örnek için yüklü çubuklara ait elastik eriler gelitirilen bilgisayar program ile ve sonlu elemanlar yöntemi ile çalan SAP 2000 v15 paket program ile hesaplanm ve karlatrmal olarak grafikler eklinde sunulmutur.

3.1. Düzgün Yayl Yükle Yüklenmi Deiken Kesitli Konsol Kiri

Bu problem için uç noktann˜ሺšሻdeeri kesin çözüm ile kyaslanmtr[1]. ekil 3’de gösterildii gibi kiri

genilii sabit „ ൌ ͷͲͲ ve yükseklii deiken Šሺšሻ ൌ Š_଴െ ʹݔ ʹͷΤ eklindedir. Burada Š_଴ൌ ͳͲͲͲ

konsol kiriin ankastre mesnetli ucundaki kesit yüksekliidir. Elastisite modülü  ൌ ʹͳͲͲͲͲƒ, üzerinde tad düzgün yayl yük “ ൌ ʹͲͲȀ ve uzunluu  ൌ ͳͲͲͲͲ’dir (ekil 3).

ekil 3. Düzgün yayl yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kiri.

Kiriin sonlu fark bölüm says“ n ” artrlarak hesaplanan uç noktasnn˜ሺšሻdeerleri vuç Çizelge 2’de verilmi ve bu deerler kullanlarak ekil 4’teki grafik çizilmitir.

16

Çizelge 2. Düzgün yayl yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kirite˜ሺš ൌ ሻçökme deerleri.

Bu problemde ˜ሺšሻdeerine karar verilirken bal hata yüzdesinin 0.01 olduu nokta dikkate alnmtr.

Buna göre n=1400 için hesaplanan 60.9354mm deeri, düzgün yayl yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kirite uç noktann doruya en yakn ˜ሺšሻ deeridir. Bu deer, 60.92mm olankesin çözüm [1]

deerinden % 0.025 farkllk göstermektedir. Pratik olarak bu çökme deerleri ayn kabul edilmelidir.

ekil 4. Düzgün yayl yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kirite ˜ሺš ൌ ሻdeerleri.

Elde edilen bu sonuca göre karar verilen n=1400 deeri için yükten dolay konsol boyunca oluan elastik eri

ekil5’te görülmektedir.

60.8 60.9 61.0 61.1 61.2 61.3 61.4 61.5 61.6 61.7 61.8

0 400 800 1200 1600 2000 2400

Uç noktann çökme deeri ( mm )

Sonlu Fark Bölüm Says ( n ) n ܞ࢛ç

[mm]

Bal hata [%]

200 61.6642

400 61.1061 0.9133

600 61.0027 0.1695

800 60.9665 0.0594

1000 60.9497 0.0276

1200 60.9407 0.0148

1400 60.9354 0.0087

1600 60.9317 0.0061

1800 60.9294 0.0038

2000 60.9267 0.0044

17

ekil 5. Düzgün yayl yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kiriin elastik erisi.

3.2. Tekil Yükle Yüklenmi Deiken Kesitli Konsol Kiri

Bu problem için uç noktann ˜ሺšሻdeeri kesin çözüm ile kyaslanmtr[2]. ekil 6 ’da gösterilen deiken kesitli konsol kiriin genilii ( b ) sabitͳ ve yükseklii Šሺšሻ ൌ ሺ͵ ͷΤ ሻ ൅ ͵ݔ ʹͲΤ olarakseçilmitir. Burada ሺ͵ ͷΤ ሻ‡–”‡ konsol kiriin serbest ucundaki kesit yüksekliidir. Elastisite modülü  ൌ ʹ ൈ ͳͲ^଻ Τ ^ଶ

,

ekil 6. Tekil yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kiri.

0 10 20 30 40 50 60 70

0 2000 4000 6000 8000 10000

Çökme deeri ( mm )

Ankastre mesnetten uzaklk ( mm )

Buçalma

SonluElemanlarYöntemi

y

x P

y

z

b

h (x)

L

hi hk

18

Çözümde P tekil yükünün küçük bir alanda konsantre olarak etki ettii düünülmütür. Kiriin sonlu fark bölüm says“ n ” artrlarak hesaplanan uç noktasnn ˜ሺšሻdeerleri vuç Çizelge 3’te verilmi ve bu deerler kullanlarak ekil 7 ’deki grafik çizilmitir.

Çizelge 3. Tekil yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kirite˜ሺš ൌ Ͳሻdeerleri.

n ܞ࢛ç

[mm]

Bal hata [%]

1000 -1.1298

2000 -1.1353 0.4827

3000 -1.1371 0.1601

4000 -1.1380 0.0808

5000 -1.1386 0.0483

6000 -1.1389 0.0316

7000 -1.1392 0.0228

8000 -1.1394 0.0176

9000 -1.1395 0.0132

10000 -1.1397 0.0105

Bu problemde ˜ሺšሻdeerine karar verilirken bal hata yüzdesinin 0.01 olduu nokta dikkate alnmtr.

Buna göre n=8000 için hesaplanan– 1.1394mm deeri, tekil yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kirite uç noktann doruya en yakn ˜ሺšሻdeeridir. Bu deer, – 1.2115 mm olan kesin çözüm [2] deerinden % 5.951 farkllk göstermektedir.

ekil 7. Tekil yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kirite ˜ሺš ൌ Ͳሻdeerleri.

-1.142 -1.140 -1.138 -1.136 -1.134 -1.132 -1.130 -1.128

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Uç noktann çökme deeri ( mm )

Sonlu Fark Bölüm Says ( n )

19

Elde edilen bu sonuca göre karar verilen n=8000 deeri için yükten dolay konsol boyunca oluan elastik eri

ekil 8 ’de görülmektedir.

ekil 8. Tekil yükle yüklenmi deiken kesitli konsol kiriin elastik erisi.

3.3. Deiken Kesitli Basit Kiri

Bu problem için tekil yükün etki ettii noktann ˜ሺšሻdeeri kesin çözüm ile kyaslanmtr [3]. ekil 9’da gösterilen deiken kesitli basit kiriin toplam uzunluu 8 m’dir. Kiri üzerinde deiken kesitlere ait eilme rijitlikleri ile yükleme durumu ekil 9 ’da verilmitir.

ekil 9. Deiken kesitli basit kirii.

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

0 1000 2000 3000 4000

Çökme deeri ( mm )

Uç noktadan uzaklk ( mm )

Buçalma

SonluElemanlarYöntemi

20

Hesaplanan ˜ሺš ൌ ʹሻdeerinin kiriin sonlu fark bölüm says“ n ”ile deiimi incelenmitir. Bu deiim Çizelge 4’te verilmi ve bu deerler kullanlarak ekil 10’daki grafik çizilmitir.

Çizelge 4. Deiken kesitli basit kiriin dörtte bir noktasndaki ˜ሺšሻdeerleri.

Bu problemde ˜ሺšሻdeerine karar verilirken bal hata yüzdesinin 0.01 olduu nokta dikkate alnmtr.

Buna göre n=4000 için hesaplanan (– 153.055 / EI ) deeri, deiken kesitli basit kirite uç noktann doruya en yakn çökme deeridir. Bu deer,(– 153.5 / EI) olan kesin çözüm [3] deerinden % 0.29 farkllk göstermektedir.

n ۳۷ כܞ࢏

[kNm³]

Bal hata [%]

500 -153.187

1000 -152.762 0.2782 1500 -152.982 0.1438 2000 -153.026 0.0288 2500 -153.105 0.0516 3000 -152.978 0.0830 3500 -153.041 0.0412 4000 -153.055 0.0091 4500 -153.094 0.0255 5000 -153.015 0.0516 5500 -153.048 0.0216 6000 -153.051 0.0020 6500 -153.073 0.0144 7000 -153.013 0.0392

21

ekil 10. Deiken kesitli basit kiriin dörtte bir noktasndaki EI ˜ሺšሻdeerleri.

Elde edilen bu sonuca göre karar verilen n=4000 deeri için yükten dolay basit kiri boyunca oluan elastik eri ekil 11’de görülmektedir.

ekil 11. Deiken kesitli basit kiriin elastik erisi.

-153.25 -153.15 -153.05 -152.95 -152.85 -152.75 -152.65

0 2000 4000 6000 8000

Dörtte bir noktasnn EI x çökme deeri ( m/ EI)

Sonlu Fark Bölüm Says ( n )

-250 -200 -150 -100 -50 0

0 2 4 6 8

EI x çökme deeri ( m / EI )

Sabit mesnetten uzaklk (m)

Buçalma

SonluElemanlarYöntemi

22 4. SONUÇ

Bu çalmada deiken kesitli kirilerin sonlu farklar yöntemi ile elastik erisinin hesab C++ dilinde gelitirilen bir bilgisayar program yardmyla üç farkl örnek için gerçekletirilmitir.

Elde edilen bulgular maddeler halinde aada belirtilmitir.

x Deiken kesitli kiriin çökme fonksiyonu ˜ሺšሻ , eilme momenti fonksiyonuܯ_௭ሺšሻ ve eilme rijitlii ܫ௭ሺšሻ cinsinden ifade edilmi ve elde edilen dördüncü dereceden diferansiyel denklemin çözümü için sonlu farklar yöntemi kullanlmtr.

x Belirli bir noktadaki ˜ሺšሻçökme deeri ile sonlu fark bölüm says “ n ” arasndaki ilikiyi gösteren bir grafik çizilmi ve bu grafie göre˜ሺšሻçökme deerinin doru sonuca en yakn olduu deer elde edilmitir. Bu deer tespit edilirken sonlu fark bölüm says “ n ” ile hesaplanan ˜ሺšሻçökme deerleri arasndaki bal yüzde hata snr deeri dikkate alnmtr.

x Farkl snr artlarna sahip yüklü eilme çubuklar için sonlu eleman yöntemi ile elde edilmi olan çökme deerleri, sonlu farklar yöntemi ile çalan ve bu çalmada kullanlan bilgisayar programna ait deerlerle karlatrldnda, sonlu farklar yöntemi ile tatminkâr sonuçlarn elde edilebilecei görülmütür.

23 KAYNAKLAR

[1] S. Li, J. Hu, C. Zhai, L. Xie, “Static, vibration, and transient dynamic analyses by beam element with adaptive displacement interpolation functions”, Mathematical Problems in Engineering, 2012, 1 (2012).

[2] S. T. Wasti, “Prizmatik olmayan kiri sonlu elemanlar”, Yap Mekanii Semineri 2004, Eskiehir Osmangazi Üniversitesi Mühendislik-Mimarlk Fakültesi naat Mühendislii Bölümü, Eskiehir (2004).

[3] W.M.C. McKenzie, "Examples in Structural Analysis”, Taylor & Francis, NY, USA, 790 (2006).

[4] T. Tankut, “Kirisiz döeme yaplarn hesab için yeni bir yöntem”, MO,41 (1970).

[5] R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt, "Concepts and Applications of Finite Element Analysis", John Wiley, New York, U.S.A., 784 (1989).

[6] Y. Xu, and D. Zhou, “Elasticity solution of multi-span beams with variable thickness under static loads”, Applied Mathematical Modelling, 33, 2951 (2009).

[7] Y. Xu, and D. Zhou, “Two-dimensional analysis of simply supported piezoelectric beams with variable thickness ”, Applied Mathematical Modelling, 35, 4458 (2011).

[8] F. Romano, and G. Zingone, “Deflection of beams with varying rectangular cross section”, Journal of Engineering Mechanics, 118(10), 2128 (1992).

[9] Z. Girgin, E. Demir, C. Kol, “Genelletirilmi diferansiyel quadrature metodunun kirilerin serbest titreim analizine uygulanmas”, Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, 10(3), 347 (2004).

[10] A. K. Ashok, and S. B. Biggers, “Stiffness matrix for a non-prismatic beam-column element”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 10(5), 1125 (1976).

[11] H. Al-Gahtani, and M. Khan, “Exact Analysis of Nonprismatic Beams”, Journal of Engineering Mechanics, 124(11), 1290 (1998).

[12] T.J. Kotas, “A Numerical Solution for Non-Prismatic Beams with Arbitrary Transverse Loading and End Restraint Conditions”, The Structural Engineer, 47(11), (1969).

[13] R. Attarnejad, and A. Shahba, “Application of Differential Transform Method in Free Vibration Analysis of Rotating Non-Prismatic Beams”, World Applied Sciences Journal, 5(4), 441 (2008).

[14] M. Veiskarami, and S. Pourzeynali, “Green’s function for the deflection of non-prismatic simply supported beams by an analytical approach”, Estonian Journal of Engineering, 18(4), 336 (2012).

[15] M. Brojan, T. Videnic, F. Kosel, “Large deflections of nonlinearly elastic non-prismatic cantilever beams made from materials obeying the generalized Ludwick constitutive law”, Meccanica, 44(6), 733 (2009).

24

[16] M. Brojan, M. Cebron, F. Kosel, “Large deflections of non-prismatic nonlinearly elastic cantilever beams subjected ton non-uniform continuous load and a concentrated load at the free end”, Acta Mechanica Sinica, 28(3), 863 (2012).

[17] S.A. Hamoush, M.J. Terro, W.M. Mcginley, “Elastic and inelastic analysis of non-prismatic members using finite difference”, Kuwait Journal of Science, 29(2), 165 (2002).

[18] M. nan, "Cisimlerin Mukavemeti”, TÜ, stanbul, Türkiye, 560 (1988).