ZAMAN SERİSİ ANALİZLERİ İÇİN TEMEL KAVRAMLAR PROF. DR. VEDAT CEYHAN

PROF. DR. VEDAT CEYHAN

ZAMAN SERİSİ

ANALİZLERİ İÇİN TEMEL

KAVRAMLAR

 Merkezi eğilim ölçüleri

 Dağılım ölçüleri

 Olasılık, olasılık dağılımı ve beklenen değer

 Tahmin

 Hipotez testi süreci

 Doğrusal regresyon

 Doğrusal korelasyon

İstatistik kavramlar

 Aritmetik ortalama

Normal dağılım gösteren serilerde tipik bir ölçüdür.

 Tepe değeri (mod)

Kesikli değişkenlerde oldukça kullanışlıdır. Subjektif

yaklaşımlarda önemli bir parametredir. (Üçgen dağılımda kullanacağız)

 Ortanca değer (medyan)

Tercih ölçeklerinin değerlendirilmesinde oldukça kullanışlıdır.

Normal dağılım göstermeyen serilerde önemli bir ölçüdür.

 Ağırlıklı ortalama

İlgili seride rakamların ortalamaya katkılarının farklı olduğu durumlarda kullanılır. (Delphi metodunda kullanacağız)

Merkezi eğilim ölçüleri

 Mutlak değişim

1) Değişim genişliği

2) Varyans ve standart sapma

 Nispi değişim

1) Değişim katsayısı

Dağılım ölçüleri

 Serideki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark.

 Bir birimi var ve karşılaştırma yapabilmek için grup sayıları eşit olmalı. Bu sebeple artık kullanmıyoruz.

 Minimum ve maksimum değerleri kullanıyoruz.

Uç değerlerin tespitinde kullanıyoruz. Üçgen dağılımda kullanacağız.

Değişim genişliği

 Aritmetik ortalamadan sapmaların karelerinin toplamıdır.

 Tahmin ve hipotez testi sürecinde çok kullanılmaktadır.

 Hesaplanması çok kolaydır. Zaten bilgisayar yapıyor.

Ana kitle Örnek

Varyans

N N x x







2 2

2

) (

 1

)

( ²

2 2









n

n x x

S

 En yaygın kullanılan dağılım ölçüsüdür

 Gözlemlerin ortalamaya yakınlığını gösterir.

 Gözlemlerin birimi (dekar, TL vb) ne ise, standart sapmanın birimi de aynıdır. Gözlem sayılarının eşit olmasına gerek yok

 Varyansın toplam gözlem sayısına oranlanması ve bu değerin karekökünün alınmasıyla elde ediliyor.

Ana kitle Örnek

Standart sapma



 

 Chebyhsev teoremi

Normal dağılım göstermeyen serilerde

 Deneysel yaklaşım

Normal dağılım gösteren serilerde

Standart sapma nasıl kullanılır?

 Nispi değişimi ortaya koyar.

 Birimi yoktur.

 Gözlem sayısının eşit olmasına gerek yoktur.

 Hesaplanması çok kolaydır.

Değişim katsayısı

100

 .

  DK

 Olasılık kavramı

 Olasılık yaklaşımları

1) Klasik olasılık yaklaşımı 2) Nispi frekans yaklaşımı 3) Subjektif olasılık yaklaşımı

 Sürekli ve kesikli olasılık dağılımları

 Subjektif olasılık dağılımları (üçgen dağılım)

 Beklenen değer

Olasılık ve olasılık dağılımı

 Bernoulli’ye göre olasılık, gelecekteki bir olay hakkındaki beklentinin kuvvetinin bir ölçüsüdür.

 Keynes ise olasılığın olaylarla ilgili değil, düşüncelerle tanımlanmasının doğru olacağını savunmuştur

(Parzen, 1960).

 Özellikleri

1) 0 ile 1 arasında değişir.

2) Olasılıkların toplamı «1» dir.

Olasılık kavramının tanımı

 Klasik olasılık yaklaşımı (zar örneği)

 Nispi frekans yaklaşımı (en yaygın kullanılan yaklaşım)

 Subjektif olasılık yaklaşımı (üçgen dağılım)

Olasılık yaklaşımları

 Olayların meydana gelme sayısını hesaplamaya dayanır.

 Denemeler bağımsızdır. Yani bir denemenin sonucu diğerini etkilemez.

 Deneme sayısı artırıldıkça nispi frekans yaklaşımıyla bulunan olasılık, gerçek olasılığa yaklaşmaktadır.

Nispi frekans yaklaşımı (1)

 

P 

Nispi frekans yaklaşımı (2)

Otomobil f Nispi frekans Olasılık

Normal Hatalı

490 10

490/500=0.98 10/500=0.02

0.98 0.02

500 1.00

 Bu yaklaşıma göre olasılığın temeli “sezgiler” dir.

 Subjektif olasılık 0 ile 1 arasında değişmekte olup, belirsiz olayın sonucu hakkında bireysel inanç

derecelerini yansıtmaktadır.

 Doğrudan doğruya kişilerin verdiği ifadelerden elde edilebildiği gibi, üçgen dağılım vb. gibi metotlar ile de elde edilebilmektedir

Subjektif olasılık

 Olasılık dağılımları olasılık değerlerinin sunumunu

sağlamakta ve dağılımın genel formunun belirlenmesinde kullanılmaktadır.

 Karakteristikleri 1) ortalama

2) varyans

3) eğrilik katsayısı 4) diklik katsayısı

Olasılık dağılımı (1)

 Tablo formunda

 Grafik olarak

 Matematik eşitlik olarak

Olasılık dağılımının gösterim biçimleri (1)

Tablo formunda olasılık dağılımı

Otomobil sayısı

Frekans Nispi frekans

Olasılık

0 1 2 3 4

850 490 470 160 30

0.425 0.245 0.235 0.080

0.015

0.425 0.245 0.235 0.080

0.015

N 2000 1.00 1.00

Grafik şeklinde olasılık dağılımı

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 5

Otomobil sayısı (X) Olasılık [P(X)]

P = 0.538 – 0.1349X + 0.0061X² (R² = 0.9516)

Matematik olasılık gösterimi

 Kesikli olasılık dağılımları 1) Binomiyal dağılım

2) Hipergeometrik dağılım 3) Poisson dağılımı

 Sürekli olasılık dağılımları 1) Normal dağılım

2) Üstel dağılım 3) Uniform dağılım

4) Diğer sürekli olasılık dağılımları

 Subjektif dağılımlar 1) Üçgen dağılım

Olasılık dağılımları

 Olasılık fonksiyonu üçgene benzeyen sürekli bir olasılık dağılımıdır.

 En küçük değer (a), en büyük değer (b) ve tipik değer (c) olmak üzere üç temel karakteristiği var.

 Normal dağılım göstermeyen, çarpık dağılıma sahip değişkenler için üçgen dağılım oldukça uygun bir yaklaşımdır.

Üçgen dağılım (1)

Üçgen dağılım (2)

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Üçgen dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu

 Ortalaması

 Varyansı

Üçgen dağılım (3)

 Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Üçgen dağılım (4)

 Tesadüfi değişkene ait dağılımın tam orta noktasıdır.

 Sürekli tesadüfi değişkenlerde beklenen değer, bir dağılımın ortalamasına eşittir.

 Kesikli tesadüfi değişkenlerde beklenen değer hesaplanırken olasılıkların, değerler ile çarpılması yoluyla bulunur.

Beklenen değer

 Tahmin kavramını tanımı

 Tahmin süreci

 Tahmin tipleri

1) Tek dönemlik tahminler a) Nokta tahmini

b) Aralıklı tahmin

2) Belirli bir periyotta gerçekleştirilen (kümülatif) tahminler a) Nokta tahmini

b) Aralıklı tahmin

 Tahminin özellikleri

Tahmin

 Ana kitle değerlerini örneğe dayanarak belirlemektir.

 Tahmin eğer zaman serisi verileriyle yapılıyorsa

“projeksiyon/geleceği tahmin” adını almaktadır.

Tahminin tanımı

 Örneği seçmek

 Örneğe giren bireylerden bilgileri toplamak

 Örneğe ait istatistikleri hesaplamak

 Ana kitle parametresinin değerini belirlemek

Tahmin süreci

1) Tek dönemlik tahminler a) Nokta tahmini

b) Aralıklı tahmin

2)Belirli bir periyotta gerçekleştirilen (kümülatif) tahminler a) Nokta tahmini

b) Aralıklı tahmin

Tahmin tipleri

 n>30 ise

 n<30 ise

Ortalama için tahmine ait en büyük hata (E)



x

zS



x

tS

n

x

   

Örnekleme dağılımının standart hatası

İstenen güven derecesini ifade eden tablo değerleri

Oran için tahmine ait en büyük hata (E)

n pq

p



 

z

x



İstenen güven derecesini ifade eden tablo değeri

Orana ait örnekleme dağılımının standart hatası

 Ortalama için

 Oran için

Nokta tahmini





x

zS

x

 



x

tS

x ^{n  30}



p ± z 

x

S np  5 nq  5

 Ortalamaya ait

- E < X < +E

 Orana ait

- E < p < +E

Aralıklı tahmin



x



x



p p^

Üst sınır

Alt sınır

Üst sınır

Alt sınır

 Sapmasızlık

Ana kitle parametresi ile örnekten hesaplanan istatistik arasındaki fark

 Etkinlik

Tahminlerin, mümkün olduğunca ana kitle parametresine yığılması

 Tutarlılık

Örnek hacmi arttıkça, tahminlerin giderek ana kitle parametresine yığılması

Tahminin özellikleri

Sapmasız ve sapmalı tahmin

b



b b



b Sapmasız tahmin Sapmalı tahmin

Etkin ve etkin olmayan tahmin

b



b b



b Etkin tahmin Etkin olmayan tahmin

Tutarlı ve tutarsız tahmin

n1

n2



b Tutarlı tahmin (n1>n2)

 Hipotezlerin oluşturulması

 Hipotez testinde kullanılacak test dağılımının seçilmesi

 Kabul ve red bölgelerinin belirlenmesi

 Test istatistiğinin hesaplanması

 Karar verilmesi

Hipotez testi süreci

 İstatistikte bir şeyin doğru olduğunu ispatlamak yerine, onun yanlış olduğunu ispatlamak esastır.

 Başlangıç hipotezi daima ana kitleye ait ilk ifadenin doğru olduğunu kabul etmektedir.

Hipotezlerin oluşturulması (1)

 Bir firma bir meşrubat şişesinin ortalama olduğunu 120 ml olduğunu savunuyorsa, ve örnek alınan şişelerin

ortalaması 119 ml ise hipotezler:

 Başlangıç hipotezi

 Alternatif hipotez

Hipotezlerin oluşturulması (2)

120

0 :  

H

120

1 :   H

 Z dağılımı

 T dağılımı

 dağılımı

 F dağılımı

Test dağılımının belirlenmesi (1)

 2

Test dağılımının belirlenmesi (2)

Test dağılımı Test adı

Binomial

Ki kare

F

t

z

Binomiyal (n<26, p=0.5) İşaret testi (<26 fark)

Ki kare testi

Pearson olağanlık katsayısı Friedman 2 yönlü varyans analizi

Tek yönlü kolmogorov-simirnov testi (n1+n2<60) Kruskal-Wallis testi

McNemar testi Medyan testi Phi katsayısı

Varyans ve kovaryans analizi

2 ve daha fazla grupta eş varyans analizi Çoklu korelasyon

Çoklu regresyon

Regresyon katsayılarının testi 2 gruplu ortalama karşılaştırmaları Pearson korelasyon katsayısı Spearman Rho

Kendall tau c

Eğrilik katsayısının testi Diklik katsayısının testi Mann-Whitney U (n1+n2<20) İşaret testi (>25 fark)

Wilcoxon testi (>25 fark)

Kabul ve red bölgeleri (Çif taraflı test)

Kabul bölgesi

Red bölgesi Red bölgesi

C1  C2

Kritik nokta Kritik nokta

ÇİFT TARAFLI

Kabul ve red bölgeleri(tek taraflı test)

Kabul bölgesi

Red bölgesi

 C1

Kritik nokta TEK TARAFLI (Pozitif)

Kabul ve red bölgeleri(tek taraflı test)

Kabul bölgesi

Red bölgesi

C1  Kritik nokta

TEK TARAFLI (Negatif)

Ne zaman tek taraflı? Ne zaman çift taraflı?

Çift taraflı test

Tek taraflı test

Sol uç Sağ uç

Başlangıç hipotezinin işareti (H0)   veya   veya 

Alternatif hipotezinin işareti (H1)  ^{< >}

Red bölgesi Her iki uçta Sol uçta Sağ uçta

 Her birinin formülü eğitim notlarında var!!!!!!!!!!

Test istatistiğinin hesaplanması

 Korelasyon

Ekonomik değişkenler arasındaki ilişkinin varlığını, yönünü ve kabaca kuvvetini gösterir. Sebep sonuç ilişkisi göstermez.

 Regresyon

Ekonomik değişkenler arasındaki sebep-sonuç ilişkisini yani fonksiyonel ilişkileri gösterir.

Regresyon/korelasyon

 Sabrınıza ve ilginize teşekkür ederim!!!!

Katkı ++++++

Soru ?????????????

Eleştiri #########

vceyhan@omu.edu.tr