ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ BİLİŞSEL RADYO AĞLARI İÇİN DEĞİŞİM NOKTASI ANALİZİNE DAYALI GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA Selçuk TAŞCIOĞLU ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

BİLİŞSEL RADYO AĞLARI İÇİN DEĞİŞİM NOKTASI ANALİZİNE DAYALI GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA

Selçuk TAŞCIOĞLU

ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ANKARA 2011

Her hakkı saklıdır

TEZ ONAYI

Selçuk TAŞCIOĞLU tarafından hazırlanan “Bilişsel Radyo Ağları için Değişim Noktası Analizine Dayalı Geniş Bant Spektrum Algılama” adlı tez çalışması 06/09/2011 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman: Doç. Dr. Ziya TELATAR

Jüri Üyeleri:

Başkan : Doç. Dr. Emre AKTAŞ Hacettepe Üniversitesi

Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı

Üye : Doç. Dr. Ziya TELATAR Ankara Üniversitesi

Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı

Üye : Doç. Dr. Erkan AFACAN Gazi Üniversitesi

Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı

Üye : Yrd. Doç. Dr. Murat Hüsnü SAZLI Ankara Üniversitesi

Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı

Üye : Yrd. Doç. Dr. Asım Egemen YILMAZ Ankara Üniversitesi

Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Özer KOLSARICI Enstitü Müdürü

i ÖZET Doktora Tezi

BİLİŞSEL RADYO AĞLARI İÇİN DEĞİŞİM NOKTASI ANALİZİNE DAYALI GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA

Selçuk TAŞCIOĞLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Ziya TELATAR

Bu tezde, radyo iletişim sinyalleri için yeni bir geniş bant spektrum algılama yaklaşımı önerilmektedir. Önerilen yaklaşımda, gözlenen radyo frekans (RF) spektrumunun parçalı sabit bir fonksiyon olarak modellenebileceği varsayılır ve RF güç spektrumu, model parametrelerinin sonsal örnekleri ile oluşturulan sinyal spektrumu gerçekleştirimlerinin beklenen değeri olarak kestirilir. Elde edilen kestirim, spektrumun kaba bir gösterimi olup algılama başarımını artırmak için bu kestirimden ayrıntılı tarama parametreleri çıkarılabilir. Kullanıcı frekansları, bant genişlikleri ve sinyal güç seviyeleri hakkındaki önsel bilgiye ihtiyaç duymayan yöntem, ilgilenilen geniş bandın düzensiz parçalı ve heterojen yapıda olduğu bilişsel radyo sistemleri için uygundur. Elde edilen spektrum karakteristikleri hesaplama karmaşıklığını azaltmak ya da sonraki veriler için kestirim ve öngörüm doğruluğunu artırmak için kullanılabilir. Önsel bilginin iyileştirilmiş başarım için kullanılabiliyor olması, bilişsel radyo ağının çalıştığı ortam hakkında önsel bilginin bir radyo ortam haritası ile sağlanabildiği durumda, çekici bir özelliktir.

Önerilen geniş bant spektrum algılama yöntemini değerlendirmek ve benzetimlerle başarımını ölçmek için çeşitli metrikler tanımlanmıştır. Benzetim sonuçları, geleneksel FFT-tipi spektrum analizi tekniklerine göre önerilen yöntemin, çözünürlük ve/veya tepki süresi açısından avantajlar sunduğunu göstermektedir. Ayrıca, gürültü belirsizliğinin yöntemin algılama başarımına etkisi değerlendirilmiş ve yöntemin, belirsizlik durumunda da dayanıklı bir geniş bant spektrum algılama yöntemi olarak kullanılabileceği gösterilmiştir.

Eylül 2011, 105 sayfa

Anahtar Kelimeler: Bilişsel radyo, dinamik spektrum erişimi, geniş bant spektrum algılama, Bayes çoklu değişim noktası analizi, Markov zinciri Monte Carlo.

ii ABSTRACT Ph. D. Thesis

CHANGEPOINT ANALYSIS BASED WIDEBAND SPECTRUM SENSING FOR COGNITIVE RADIO NETWORKS

Selçuk TAŞCIOĞLU Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Electronics Engineering Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ziya TELATAR

In this thesis, a novel wideband spectrum sensing approach is proposed for the detection of radio communication signals. In the proposed approach, it is assumed that the monitored RF spectrum can be modeled as a piece-wise flat function and RF power spectrum is estimated as the posterior expectation of the realizations of the underlying signal spectrum obtained through the simulated samples drawn from the joint posterior distribution of the model parameters. The obtained estimation is a coarse description of the spectrum that can be further utilized to extract fine scanning parameters to improve sensing performance. The technique doesn’t rely on a priori knowledge of user frequencies, bandwidths and power levels; therefore it is suitable for cognitive radio systems where the wideband spectrum of interest is likely to be fragmented and heterogeneous. On the other hand, the technique allows the utilization of acquired spectral characteristics to reduce the computational complexity or to improve the accuracy of estimations and predictions for future data. The fact that the proposed technique can utilize prior knowledge for improved performance is an attractive feature for cognitive radio networks for which a radio environment map (REM) can provide prior knowledge about the environment the network operates.

Several metrics have been defined for the assessment of the proposed technique and the performance has been evaluated through simulations. The simulation results show that the proposed technique offers advantages over the conventional FFT-type spectrum analysis methods in terms of resolution and/or latency. The impact of the noise uncertainty on the detection performance has also been evaluated and it is shown that the technique can be used as a robust wideband spectrum sensing tool even under noise uncertainty.

September 2011, 105 pages

Key Words: Cognitive radio, dynamic spectrum access, wideband spectrum sensing, Bayesian multiple changepoint analysis, Markov chain Monte Carlo.

iii

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR

Günümüz iletişim sistemlerinde mobil cihaz kullanımının giderek yaygınlaşması ve bu cihazların kullanım amacının zaman içinde sadece ses iletişiminden çoklu ortam uygulamalarına uzanan değişimi, kıt bir kaynak olan spektrumda sıkışıklığa yol açmaktadır. Bu nedenle, spektrumun mevcut statik tahsisine dayalı kullanım modeli yerine daha verimli ve etkin kullanımına olanak sağlayan, dinamik erişim yaklaşımı önerilmektedir. Dinamik erişim ağlarında çalışacak kablosuz haberleşme cihazları, bulunduğu radyo ortamını algılama, uygun iletim bandı bulma ve iletim parametrelerini kanala göre uyarlama gibi yeteneklere sahip bilişsel radyolardır.

Bilişsel radyo ağları, henüz araştırma-geliştirme sürecinin ilk aşamalarında olmasına rağmen gelecek nesil kablosuz iletişim sistemlerinin ihtiyaçlarını karşılaması konusundaki ümit verici yönü nedeniyle, dünya çapında spektrum yönetim politikalarının yeniden değerlendirilmesine neden olmuştur. Bu ağlar üzerinde çalışacak uygulamaların hayata geçirilmesindeki zorlukların aşılması için bilimsel ve düzenleyici çalışmalar yoğun olarak devam etmektedir.

Günümüzde gerçekleştirilebilir durumda olan yazılım tanımlı radyo, farklı iletişim standartlarına sadece yüklenen bir yazılım ile uyum sağlayabilme özelliğiyle bilişsel radyolar için gerekli alt yapıyı sunmaktadır. Ayrıca, artan hesaplama gücü birçok ileri istatistiksel sinyal işleme tekniğinin kablosuz haberleşme alıcılarına uygulanabilmesine olanak sağlamaktadır.

Bu tez kapsamında, bilişsel ağlarda birincil görev olan radyo ortamının izlenerek öğrenilmesi ve uygun iletim kanalının bulunması için bir geniş bant spektrum algılama yöntemi geliştirilmesi amaçlanmıştır.

Tez çalışması, Kanada Haberleşme Araştırma Merkezi’nde (CRC, Ottava, Kanada) devam eden bir proje kapsamında yürütülmüştür. TÜBİTAK Yurt Dışı Araştırma Burs Programı desteği ile çalışmaların bir kısmının tamamlandığı Haberleşme Araştırma Merkezi bir yıl süre ile ziyaret edilmiştir.

Tez konumun belirlenmesi aşamasında beni bu konuya yönlendiren; bilgi, fikir ve önerileri ile tez ve makale çalışmalarımın her aşamasında büyük bir özveri ile destek olan ve çalışmalarımı uzmanlıkla yönlendiren, yüksek lisans çalışmalarımdan bu yana bana ayırdığı değerli zamanı, öğrettikleri, anlayışı ve yardım severliği ile desteğini hep hissettiğim Sayın Dr. Oktay ÜRETEN’e (Communications Research Centre, Ottawa, Canada) içten teşekkürlerimi sunarım. Kendisinin desteği olmaksızın tezin bu hale gelmesi mümkün olmazdı.

Bir yıllık araştırma bursu süresince bilgi ve tecrübesi ile tez konusunun olgunlaşmasında büyük katkısı olan, her türlü deneysel çalışma olanağını sağlayarak, bu çalışmaların yürütülmesinde özveri ile emek harcayan Sayın Dr. Nur SERİNKEN’e (Communications Research Centre, Ottawa, Canada),

iv

Doktora öğrenimimin ders aşamasında tanıma fırsatı bulduğum, fikirleri ve bilimsel yaklaşımı ile beni akademik çalışmalar konusunda isteklendiren Sayın Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK’e (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü),

İstatistik konularında bilgi ve görüşlerini paylaşan, tez için yaptığı yorum ve düzeltmelerle katkıda bulunan Arş. Gör. Özlem TÜRKŞEN’e (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü),

Tez çalışması süresince yapılan tez izleme toplantılarına katılan ve fikirleri ile katkıda bulunan Sayın Doç. Dr. Emre AKTAŞ ve Sayın Yrd. Doç. Dr. Murat Hüsnü SAZLI’ya, Doktora öğrenimim süresince önerileri ile beni yönlendiren, çalışma sonuçlarının yayınlanması için beni teşvik eden ve bu konuda emek harcayan; fikirleri, tecrübesi ve anlayışıyla her zaman destek olan tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Ziya TELATAR’a, Manevi desteklerini her zaman olduğu gibi tez çalışması süresince de hissettiğim aileme Teşekkür ederim.

Selçuk TAŞCIOĞLU Ankara, Eylül 2011

v

İÇİNDEKİLER

ÖZET ... i 

ABSTRACT ... ii 

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR ... iii 

KISALTMALAR DİZİNİ ... vii 

ŞEKİLLER DİZİNİ ... viii 

ÇİZELGELER DİZİNİ ... x 

1. GİRİŞ ... 1 

2. KURAMSAL TEMELLER ... 10 

2.1 Bayes Sonuç Çıkarımı ... 10 

2.1.1 Önsel dağılım ... 11 

2.1.2 Bayes sonuç çıkarımında integral problemi ... 13 

2.2 Bayes Yaklaşımı ile Çoklu Değişim Noktası Algılama ... 13 

2.3 Dağılımlardan Rasgele Örnek Üretme Yöntemleri ... 16 

2.3.1 Kabul-Ret örnekleme yöntemi ... 18 

2.3.2 Önem örnekleme yöntemi ... 19 

2.4 Markov zinciri Monte Carlo Yöntemleri ... 20 

2.4.1 Markov zincirleri ... 21 

2.4.2 Metropolis-Hastings algoritması ... 23 

2.4.3 Öneri Dağılımı ... 25 

3. BAYES YAKLAŞIMIYLA GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA ... 27 

3.1 Geleneksel Geniş Bant Spektrum Algılama Yöntemlerinin Kısıtları... 27 

3.2 Periodogramın Örneklem Özellikleri ... 29 

3.3 Parçalı Sabit Güç Spektrumu Modeli ... 31 

3.4 Geniş Bantlı Spektrumun Bayes Çoklu Değişim Noktası Analizi ... 35 

3.4.1 Olabilirlik fonksiyonu ... 36 

3.4.2 Önsel dağılımlar ... 37 

3.4.3 Bayes eğri kestirimi ... 38 

3.5 Tersinir Atlamalı Markov Zinciri Monte Carlo Yöntemi ... 41 

3.6 RJMCMC Algoritmasının Yakınsaması ... 50 

4. GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA BAŞARIM ÖLÇÜTLERİ ... 51 

vi

4.1 Başarım Ölçütleri ... 51 

4.1.1 Algılama ve yanlış alarm oranı ... 51 

4.1.2 Hata kareleri ortalaması ... 52 

4.1.3 Model derecesi kestirim hatası ... 53 

4.2 Önerilen Yöntemin Başarımının Bir Benzetim Örneği ile Gösterilmesi ... 53 

5. GÜRÜLTÜ VARYANSI KESTİRİMİ ... 60 

5.1 σ² parametresi için önsel ve öneri dağılımları ... 62 

5.2 σ² parametresi için örnek üretme algoritması ... 64 

6. BULGULAR ... 68 

6.1 RJMCMC Algoritması Algılama Başarımı ... 68 

6.2 Önsel Bilginin Algılama Başarımına Etkisi ... 70 

6.3 Gürültü Belirsizliğinin Bayes Algılayıcı Başarımına Etkisi ... 73 

6.3.1 Eğri kestirimi başarımı ... 75 

6.3.2 Algılama başarımı ... 77 

6.3.3 Model derecesi kestirim hataları ... 80 

6.4 Kestirilen Gürültü Varyansı ile Algılama Başarımı ... 81 

7. SONUÇ ... 86 

KAYNAKLAR ... 89 

EKLER ... 96 

EK 1 Spektrum Kullanımı Ölçüm Sonucu ... 97 

EK 2 Y =e^X Dönüşümü için Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Hesabı ... 98 

EK 3 Yüksekliği Değiştirerek İlerleme için Kabul Olasılığı ... 99 

EK 4 Konumu Değiştirerek İlerleme için Kabul Olasılığı ... 100 

EK 5 Değişim Noktası Ekleyerek İlerleme için Önsel Oran ... 101 

EK 6 σ² Parametresi için Öneri Dağılımı ... 102 

EK 7 Bazı Türkçe Terimlerin İngilizce Karşılıkları ... 103 

ÖZGEÇMİŞ ... 104 

vii

KISALTMALAR DİZİNİ

FFT Fast Fourier Transform (Hızlı Fourier Dönüşümü) MAP Maximum a Posteriori (En Büyük Sonsal)

MCMC Markov Chain Monte Carlo

MMAP Marginal Maximum a Posteriori (Marjinal En Büyük Sonsal) MSE Mean Square Error (Hata Kareleri Ortalaması)

MTM Multi Taper Method

REM Radio Environment Map (Radyo Ortam Haritası) RF Radio Frequency (Radyo Frekansı)

RJMCMC Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo (Tersinir Atlamalı Markov zinciri Monte Carlo)

ROC Receiver Operating Characteristics (Karar İşletim Grafiği) SNR Signal-to-Noise Ratio (Sinyal Gürültü Oranı)

WRAN Wireless Regional Area Network (Telsiz Bölgesel Alan Ağı)

viii

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1 İki değişim noktası için ortak sonsal yoğunluk (Ruanaidh ve

Fitzgerald 1996) ... 15 

Şekil 2.2 Kabul-ret örnekleme yönteminin grafiksel gösterimi ... 19 

Şekil 2.3 Önem örnekleme yönteminin grafiksel gösterimi ... 20 

Şekil 2.4 Metropolis-Hastings algoritması akış şeması ... 24 

Şekil 2.5 Hedef dağılımın Ν(0,1) ve öneri dağılımın: a. Ν(X|0.1), b. Ν(X|10) ve c. Ν(X|0.5) olduğu durumlar için 500 yinelemede Metropolis algoritması ile elde edilen örnek değerleri (c’de düşey çizginin solundaki örnekler alıştırma örnekleri olarak kabul edilir)... 26 

Şekil 3.1 Tipik bir radyo spektrumu ve model parametreleri (Gürültü bölüt yükseklik değerleri {h0, h2, h4, h6, h8} sıfırdır.) ... 34 

Şekil 3.2 Periodogram, Welch, MTM ve Bayes kestirimleri ... 40 

Şekil 3.3 RJMCMC algoritması ilerleme türleri: a. yüksekliği değiştirerek, b. konumu değiştirerek, c. ekleyerek, d. azaltarak ilerleme ... 42 

Şekil 4.1 SNR seviyeleri 3, 20, 6 ve 14 dB olan dört kullanıcının yer aldığı örnek bir güç spektrumu ... 54 

Şekil 4.2 Model derecesinin sonsal dağılım kestirimi ... 55 

Şekil 4.3 Değişim noktası yerlerinin sonsal dağılım kestirimleri ... 55 

Şekil 4.4 Bölüt yüksekliklerinin sonsal dağılım kestirimleri ... 56 

Şekil 4.5 Periodogram ve Bayes kestirimi ... 57 

Şekil 4.6 Kullanıcı SNR seviyelerinin [3 20 6 14] dB (siyah çubuk) ve [10 27 13 21] dB (beyaz çubuk) olduğu durumlar için model derecesi kestirim hatası histogramları ... 58 

Şekil 4.7 Pilot çalıştırmada yinelemeler boyunca elde edilen MSEyakınsama değerleri (Düşey çizgi alıştırma yineleme sayısını gösterir.) ... 59 

Şekil 4.8 Pilot çalıştırmada yinelemeler boyunca elde edilen sonsal dağılımın logaritmik değerleri (Düşey çizgi alıştırma yineleme sayısını gösterir.) ... 59 

Şekil 5.1 Sınırlandırılmış birbiçimli logσ² dağılımı ... 62 

Şekil 5.2 (σ^{2 ( )})^t = ve 1 η² =1 için karesel ölçek parametresi σ ’nin öneri ² dağılımı ... 63 

Şekil 5.3 σ² için üretilen örnek değerleri ve bu örnekler kullanılarak elde edilen gürültü varyansı kestirimi (Düşey noktalı çizginin solunda kalan örnekler alıştırma örnekleri olarak alınır.) ... 66 

Şekil 5.4 σ² için sonsal dağılım kestirimi ... 67 

ix

Şekil 5.5 Gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlarda elde

edilen spektrum kestirimleri ... 67  Şekil 6.1 Periodogram ve Bayes kestirici için ROC eğrileri ... 69  Şekil 6.2 Ardışık iki spektrum çerçevesi: a. birinci, b. ikinci çerçeve ... 71  Şekil 6.3 RJMCMC yineleme sayısı ile algılama başarımı ilişkisi (Pm değerleri

her iki durum için yaklaşık eşit çıkmaktadır.) ... 73  Şekil 6.4 Örnek bir periodogram için {-3,0,3} dB gürültü belirsizliği

durumlarında elde edilen Bayes eğri kestirimleri ... 75  Şekil 6.5 Gürültü belirsizliği durumunda kullanıcı SNR seviyesine karşı MSE

değerleri ... 76  Şekil 6.6 Gürültü gücü belirsizliğine karşı MSE değerleri ... 77  Şekil 6.7 Kullanıcı SNR seviyesine karşı ıskalama sezimi ve yanlış alarm oranları 79  Şekil 6.8 Gürültü belirsizliğine karşı ıskalama sezimi ve yanlış alarm oranları ... 79  Şekil 6.9 Model derecesi kestirim hatası için birikimli dağılım fonksiyonu ... 80  Şekil 6.10 Model derecesi kestirim hatasının SNR ile değişimi ... 81  Şekil 6.11 Farklı SNR seviyelerinde gerçek ve kestirilen gürültü varyansı

değerleri ... 82  Şekil 6.12 Farklı SNR seviyelerinde gürültü varyansının kesin bilindiği ve

kestirildiği durumlar için eğri kestirimi başarımı ... 83  Şekil 6.13 Farklı SNR seviyelerinde gürültü varyansının kesin bilindiği ve

kestirildiği durumlar için ROC eğrileri (SNR={2,4,6,8,10} dB

aşağıdan yukarıya) ... 84  Şekil 6.14 SNR seviyesinin 2 dB (üstteki) ve 20 dB (alttaki) değerleri için gürültü

varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlarda model derecesi kestirim hatası histogramları ... 85 

x

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 3.1 Periodogram ordinatlarının sinyal ve gürültü hücrelerinde ortalama ve varyans değerleri ….………. 33 Çizelge 4.1 Periodogram ve Bayes kestirimi için algılama ve yanlış alarm

oranları………57

1 1. GİRİŞ

Kablosuz iletişim sistemlerinde sunulan hizmetlerin ve yüksek hızlı veri iletişimi gereksiniminin sürekli artması, spektrumun daha etkin ve verimli kullanımını zorunlu hale getirmektedir. Talebin sürekli artması, kıt bir kaynak olan spektrumda sıkışıklığa neden olurken diğer taraftan birçok lisanslı spektrum bandının uzun zaman aralıklarında kullanılmadığı rapor edilmektedir (Anonymous 2002). Yapılan çeşitli ölçümler sonucu spektrumun zamanda ve uzayda düşük yoğunlukta kullanıldığının gözlenmesi (Ek 1), spektrum boşluğu kavramının tanımlanmasına neden olmuştur. Lisanslı bir kullanıcıya önceden tahsis edilmiş ancak belirli bir zaman ve coğrafyada lisans sahibi tarafından kullanılmayan bant spektrum boşluğu olarak tanımlanmaktadır. Kullanım oranı düşük spektrum bantlarının dinamik erişime açılarak bilişsel radyo adı verilen kablosuz haberleşme sistemleri tarafından kullanılması, spektrum yetersizliği problemi için bir çözüm olarak önerilmektedir.

İlk olarak Mitola tarafından 1999 yılında ortaya atılan bilişsel radyo kavramı, çalıştığı elektromanyetik ortamı algılayarak, kullanılmayan frekans bantlarını tespit eden ve radyo çalışma parametrelerini bu bantlarda yayın yapabilecek şekilde uyarlayabilen radyo veya sistem olarak tanımlanır. Bilişsel radyo ağları kapsamında, kendisine frekans tahsis edilen ve kullanım önceliği bulunan kullanıcılar birincil kullanıcı, spektrumu algılayarak kullanılmayan kanallarda lisanslı kullanıcılara zararlı girişime neden olmadan yayın yapan kullanıcılar da ikincil kullanıcı olarak adlandırılır. İkincil kullanıcılar uygun iletim kanalı arayabilen, taşıyıcı frekansı, modülasyon türü ve verici gücü gibi radyo parametrelerini bulduğu kanal şartlarına göre gerçek zamanlı olarak yeniden yapılandırılabilen bilişsel özelliklere sahip olmalıdır.

Bilişsel radyoların zararlı girişime neden olmadan yayın yapabilmesi için spektrum boşluklarının doğru tespit edilmesi gerekir. Iskalama sezimi (miss detection), lisanslı kullanıcılar için zararlı girişime neden olurken; yanlış alarm (false alarm), spektrum verimliliğini azaltacağı için dayanıklı bir spektrum algılama yönteminin geliştirilmesi önemlidir. Spektrum algılama, belirli bir coğrafi bölgede spektrum kullanımı ve birincil kullanıcıların varlığı hakkında bilgi elde etmek olarak ifade edilebilir. Bu bilgi, coğrafi konum belirleme ile birlikte bir veri tabanı kullanılarak elde edilebileceği gibi spektrum

2

algılamanın bilişsel radyolarda gerçekleştirilmesiyle de elde edilebilir. Daha geniş uygulama alanı ve daha düşük alt yapı gereksinimi nedeniyle çalışmalar, bilişsel radyoların bu görevi gerçekleştirmesi üzerine yoğunlaşmıştır. Bu yüzden bilişsel radyolar, spektrumu izlemek (spectrum monitoring) amacıyla bir güç spektrumu kestirimi yapmak zorundadır.

Güç spektrumu kestirimi; spektrum izleme, spektrum test ve ölçümü gibi radyo uygulamaları için önemli bir araçtır. Spektrum kestiriminde genel olarak kestirimin doğruluğu ve tepki gecikmesi (latency) arasında bir ödünleşim söz konusudur. Daha doğru kestirim yapılması, gözlem süresinin uzamasını gerektirir. Pratikte, tepki gecikmesi ve doğruluk arasındaki denge, uygulamanın özelliği göz önünde bulundurularak belirlenir. Örneğin, bilişsel radyo ağlarında çok düşük sinyal seviyeli birincil kullanıcıların algılanması hedefleniyorsa güç spektrumu kestiriminin doğruluğu önem taşır. Diğer taraftan spektrumun ayrıntılı algılanması yerine, sadece spektral bölgelerin kabaca bölütlere ayrılması amaçlanıyorsa geniş bantlı spektrumun hızlıca elde edilmiş kaba bir gösterimi yeterli olacaktır. Bu sebeple, doğruluk ve tepki gecikmesi arasında dengeyi sağlayabilen bir spektrum kestirici tercih edilir. Pratikte ihtiyaç duyulan diğer bir özellik ise hesaplama karmaşıklığının az olmasıdır. Tepki gecikmesi az olduğu halde hesaplama karmaşıklığı çok fazla olan bir algılayıcı, spektral değişimlere hızlı cevap veremeyebilir. Bu durum, fırsatçı spektrum erişim sistemlerinde hızlı bir şekilde boşaltılamayan kanalda birincil kullanıcılara zararlı girişime yol açar.

Bu tez çalışmasında amaç, dinamik spektrum erişim uygulamalarına uygun, pratik bir spektrum algılama yöntemi geliştirmektir.

Bu bölümde, tez çalışmasında ele alınan geniş bant spektrum algılama problemini daha iyi tanımlayabilmek ve önerilen yöntemin avantajlarını ortaya koyabilmek için öncelikle, literatürde önerilen spektrum algılama yöntemlerinden bazıları özetlenecektir.

Daha sonra, geniş bant spektrum algılama problemi ve bu amaçla önerilen bazı yeni yaklaşımlar ele alınacaktır. Son olarak, tez kapsamında önerilen yöntemin mevcut yöntemlere göre avantajlarına yer verilecektir.

3

Lisanslı kullanıcı sinyali bilindiğinde, beyaz gürültü kanalında en iyi algılayıcı uyumlu süzgeçtir (Proakis 2001). Uyumlu süzgecin avantajı, verilen belirli bir yanlış alarm veya ıskalama oranının diğer yöntemlere kıyasla daha kısa sürede elde edilebilmesidir (Tandra ve Sahai 2005). Uyumlu süzgeçleme, alınan sinyalin demodülasyonunu gerektirdiğinden birincil kullanıcı sinyallerinin bant genişliği, darbe biçimlendirme, çalışma frekansı, modülasyon tipi gibi bütün karakteristik özelliklerinin bilinmesi gerekir. Bu nedenle, önsel bilgi bulunmayan bilişsel ağ yapısına uygun değildir. Ayrıca, bütün sinyal tiplerini algılayabilecek yapıda tasarlanacak bir bilişsel radyonun boyutları pratikte kullanılamayacak kadar büyük olur (Cabric vd. 2004).

Bilinmeyen sinyallerin toplanır gürültü içinde algılanmasında yaygın olarak kullanılan yöntem enerji algılayıcıdır (Urkowitz 1967). Belirli bir frekans bandı için hesaplanan enerji, gürültü tabanına bağlı bir eşik seviyesi ile karşılaştırılarak birincil kullanıcının varlığı hakkında karar verilir. Sinyal hakkında önsel bilgi gerektirmemesi ve geniş bant spektrum algılamada kullanılabilmesi nedeniyle enerji algılayıcı konusunda çok fazla çalışma yapılmıştır. Enerji algılama, gürültü varyansı bilindiğinde en iyi yöntem olmakla birlikte, Sonnenschein ve Fishman (1992) yöntemin gürültü gücü belirsizliğine karşı duyarlı olduğunu göstermişlerdir. Bu çalışmada, yayılı spektrum sinyallerinin geniş bant enerji algılayıcı ile algılanması için gerekli SNR seviyesinin gözlem süresinden bağımsız olarak sadece gürültü belirsizliğinin bir fonksiyonu haline gelmesiyle, algılamanın gürültü belirsizliği durumunda zorlaştığı gösterilmiştir. Tandra ve Sahai (2008) bu etkiyi ölçebilmek için SNR duvarı (SNR wall) kavramını tanımlayarak, bu seviyenin altında kanalın gözlem süresine bakılmaksızın algılayıcının dayanıklı olamayacağını göstermişlerdir. Ayrıca, genel sinyal sınıfları ve algılama algoritmaları için gürültü belirsizliği etkisinin kapsamlı analizini yapmışlardır. Cabric vd. (2006) kontrollü bazı deneylerle gürültü belirsizliği etkisini deneysel olarak incelemişlerdir.

Spektrum algılama amacıyla kullanılan diğer bir yöntem dönemli-durağan (cyclostationary) özellik algılayıcıdır. Gürültünün aksine kullanıcı sinyalleri; sinüzoidal taşıyıcılar, darbe dizileri, atlamalı diziler veya döngüsel öntakılar kullanılarak elde edildiğinden, sinyallerin kendisinde ya da ortalama ve özilinti gibi istatistiklerinde periyodiklik özelliği vardır. Dönemli-durağanlık olarak adlandırılan bu özellik, ilintisiz

4

ve geniş anlamda durağan rasgele süreç olan gürültü ile modülasyonlu sinyallerin ayırt edilmesinde kullanılabilir (Kim vd. 2007, Cabric vd. 2004). Uzun gözlem süresi ve pratik uygulamalar için hesaplama karmaşıklığının fazla olması yöntemin dezavantajlarıdır. Dönemli-durağan özellik algılayıcı, sinyallerin gürültüden ayırt edilmesinde, gürültü varyansı belirsizliğine karşı enerji algılayıcıya göre daha dayanıklıdır (Gardner 1988).

Dönemli-durağan özellik algılayıcı, Ortogonal Frekans Bölüşümlü Çoğullama (Orthogonal Frequency Division Multiplex-OFDM) sinyalleri gibi ayırt edici özelliğe sahip birincil kullanıcı dalga biçimlerinin algılanmasında avantaj sağlar. Dinamik spektrum erişimi yaklaşımında sürekli değişen spektrum boşluklarında yayın yapabilecek esnek yapıya sahip olması nedeniyle OFDM, bilişsel radyo sistemleri için aday bir modülasyon türü olarak değerlendirilmektedir (Haykin 2005). Bu nedenle, gelecek nesil kablosuz sistemlerde OFDM tabanlı birincil kullanıcıların doğru algılanması önemli olacaktır. Chaudhari vd. (2009), OFDM sinyallerindeki çevrimsel öntakının (cyclic prefix) özilinti fonksiyonunda meydana getirdiği özellikleri kullanarak, OFDM tabanlı birincil kullanıcıların algılanması için bir yöntem önermişlerdir. Chen vd. (2009), frekans bölgesi pilot simgeleri kullanan OFDM sistemleri için bir spektrum algılama yöntemi önermişler ve önerdikleri yöntemin başarımını, algılama amacıyla çevrimsel öntakı kullanan yöntemle kıyaslamışlardır.

Üreten ve Taşcıoğlu (2009), OFDM sistemleri için eşzamanlama pilot tasarımı probleminin bazı özelliklerini ortaya koyarak, bu özelliklerin spektrum kısıtlarının sürekli değiştiği bilişsel radyo sistemleri için dinamik pilot tasarımında kullanılabileceğini belirtmişlerdir. Pilot taşıyıcıların spektrum algılama amacıyla kullanıldığı durumda, kanal şartları değiştikçe eşzamanlama başarımı ile birlikte spektrum algılama başarımının da dinamik pilot tasarımı yöntemiyle korunabileceği değerlendirilmektedir.

Haykin (2005) tarafından çoklu pencereleme (multitaper) yöntemi spektrum boşluğu algılama amacıyla önerilmiştir. Bu çalışmada, önerilen algoritmanın en büyük olabilirlik güç spektrumu tahmin edicisine bir yaklaşım olduğu ve geniş bantlı sinyaller için yaklaşık en iyi olduğu gösterilmiştir. Çoklu pencereleme yöntemi, hesaplama

5

karmaşıklığı açısından en büyük olabilirlik tahmin edicisine göre avantajlı bir yöntemdir.

Bilişsel radyolar için spektrum algılama yöntemleri, farklı boyutlarıyla Yücek ve Arslan tarafından kapsamlı olarak incelenmiştir (Yücek ve Arslan 2009).

Bilişsel radyo uygulamaları için spektrum algılama konusundaki araştırmaların büyük çoğunluğu tek bir frekans kanalında birincil kullanıcının algılanması konusunda yoğunlaşmıştır. Ancak gelecekte bilişsel radyonun, iletişim parametreleri hakkında önsel bilginin olmadığı, heterojen ağlarla çevrili bir ortamda çalışması ve geniş bantlı spektrum algılama yapabilmesi beklenmektedir. Açık spektrum erişimi yaklaşımında fırsatçı kullanıcıların bant genişliği ve frekans tahsisi gibi parametreleri spektrumun uygunluğuna göre zaman içinde değişecektir. Frekans ve bant genişliği tahsisi gibi kanallara bölme (channelization) bilgisinin olmadığı bir ortamda algılama başarımı azalacaktır. Tarama tipi bir algılayıcı için sabit tarama bant genişliği küçük seçildiğinde tarama süresi uzayacak, tarama bandı büyük seçildiğinde ise çözünürlük kaybı olacak ve alıcı bant genişliği içindeki artan gürültü gücü algılama başarımını azaltacaktır. Ayrıca, sinyal güç seviyelerinin büyük bir aralıkta dinamik olarak değiştiği durumda sinyal algılama karmaşıklığı artacaktır. Örneğin, algılama amacıyla kullanılacak uygun eşik seçimi zor bir problem haline gelecektir.

Datla vd. (2007, 2009), sabit bir tarama çözünürlüğü kullanan geleneksel uyarlanır olmayan geniş bant spektrum algılama yaklaşımlarının etkinliğinin düşük olabileceğini belirterek, ilgilenilen spektrum karakteristiklerine göre parametrelerini uyarlayan bir spektrum algılama yöntemi önermişlerdir.

Hur vd. (2006), geniş bant spektrum algılama verimini artırmak için kaba ve ince algılama (coarse and fine sensing) aşamalarından oluşan bir yaklaşım ileri sürmüşlerdir.

Kaba algılamada, dalgacık dönüşümü ile geniş bantlı spektrum üzerinde çok çözünürlüklü (multi-resolution) algılama özelliği sağlanır. İlk aşamada, belirli bir eşik değerinin üzerinde enerjiye sahip olan spektrum bölütleri belirlenerek, bu bölütler modülasyonlu sinyallerin özelliklerine göre karar verilen ince algılama aşamasına iletilir.

6

Quan vd. (2007, 2009) geniş bant spektrum algılama yaklaşımı olarak, enerji algılamaya dayalı çok bantlı ortak algılama (multiband joint detection) yöntemini önermişlerdir. Bu yöntem, her anda tek bir frekans bandında enerjinin algılanması yerine, dar alt bantlarda enerji seviyelerinin ortak algılanması esasına dayanır. Ortak algılama problemi, spektral verimliliği artırmak ve girişimi azaltmak için dar bant algılayıcıların birlikte en iyilenmesi olarak formüle edilmiştir. Gorcin vd. (2009) çok bantlı algılamada uyarlanır eşik seçimi için yeni bir yöntem önermişlerdir. Eşik değeri kestirimi, alınan sinyalin birinci ve ikinci istatistiklerinin fonksiyonu kullanılarak yapılmıştır. Önerilen yöntemde, gürültü varyansı ve SNR kestirimi gerekmediğinden kanaldan ya da durağan olmayan gürültüden kaynaklanan bozulma etkileri azaltılmıştır. Hoseini ve Beaulieu (2010) çok bantlı ortak algılama yaklaşımında algılama süresi ve dar bantlı algılayıcıları bir arada en iyileyerek, geniş bant spektrum algılama için yeni bir yöntem önermişlerdir. Hossain ve Champagne (2011) çok bantlı ortak algılama yöntemini, alt bantların kullanımı arasında ilinti olduğu durumda incelemişlerdir.

Taherpour vd. (2008, 2009) geniş bantlı spektrum algılama amacıyla, spektrumun çok sayıda alt banda bölünmesi ve her alt bant için genelleştirilmiş olabilirlik oranı algılayıcısı kullanımını önermişlerdir. Düşük hesaplama karmaşıklığı üstünlüğünün yanı sıra potansiyel kullanıcı bant genişlikleri hakkında önsel bilgi olması durumunda, önerilen gruplama yaklaşımı ile yöntemin algılama başarımının önemli derecede artacağı belirtilmiştir.

Lopez-Valcarce ve Vazquez-Vilar (2009) incelenen geniş spektrum bandında gürültü ve sinyal güç seviyelerinin yinelemeli bir yöntemle en büyük olabilirlik kestirimini elde ederek, algılama yapan bir yöntem önermişlerdir.

Geniş bant spektrum izleme işlemi, kenar algılama problemi olarak da ele alınabilir.

Fırsatçı radyolar, spektrumun ayrıntılı yapısından ziyade kullanılmayan parçalarıyla ilgili olduğundan, kenar algılama yaklaşımı ile örtüşmeyen spektrum bantlarının frekans konumlarının belirlenmesi ve güç spektrumu seviyelerine göre bu bantların beyaz, gri ve siyah bölgeler olarak kategorilere ayrılması hedeflenir. Bu yaklaşımda bütün geniş radyo bandı, ardışık frekans alt bantlarının dizisi olarak modellenir. Her alt bandın düzgün (smooth) spektral karakteristikleri komşu alt bantlardan süreksiz değişikliklerle

7

ayrılır. Spektrum boşluklarının yerleri ve yoğunluğu hakkında bilgi taşıyan süreksizlik noktaları dalgacık analizi (Tian ve Giannakis 2006), faz-alan bölütleme (Eslami ve Sadough 2010), çoklu değişim noktası analizi (Taşcıoğlu ve Üreten 2009) ile belirlenebilir.

Tian ve Giannakis (2006) dalgacık dönüşümü tabanlı spektrum algılama yönteminde, gürültülü güç spektrumu örneklerinden dalgacık genliğinin yerel en büyük elemanlarını seçerek, frekans bantlarının kenarlarını elde etmişlerdir. Ancak yalıtılmış dürtüler, çok dar bantlı girişim ve çevre gürültüsü de yerel en büyük değer üretilebileceği için bu yöntem sahte kenarlara hassastır.

Eslami ve Sadough (2010) görüntü işlemede kullanılan faz-alan bölütleme (phase-field segmentation) yöntemi ile güç spektral yoğunluğu kestirimi üzerinde süreksizlikleri belirlemişlerdir. Kestirilen güç spektrumu için tanımlanan faz-alan fonksiyonelinin çözülmesiyle yumuşatılmış spektrum ve kenar yerleri bilgisini içeren bir sinyal birlikte elde edilir.

Bu tez çalışmasında, geniş bantlı spektrumda radyo iletişim sinyallerinin izlenmesi amacıyla, periodogram spektrum kestiricisine dayalı bir spektrum algılama yöntemi geliştirilmiştir. Bu yöntemde, incelenen geniş bantlı spektrum verisinin Bayes çoklu değişim noktası analizi gerçekleştirilerek, yumuşatılmış bir spektrum kestirimi elde edilir. Model parametreleri hakkında istatistiksel sonuç çıkarımı, parametrelerin ortak sonsal dağılımından örnek üretilmesini sağlayan tersinir atlamalı Markov zinciri Monte Carlo (Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo - RJMCMC) yöntemi kullanılarak yapılmıştır. Bu kestirim, spektrum boşluklarının belirlenmesinde kullanılabileceği gibi daha detaylı bir spektrum algılama gerekli olduğunda, spektrum çözümleyiciler için ince tarama parametrelerinin belirlenmesinde önsel bilgi sağlayabilir. Kullanıcı frekansları, bant genişlikleri ve spektral güç seviyeleri hakkında önsel bilgiye ihtiyaç duyulmadan algılama yapılabilmesi, geliştirilen yöntemin farklı karakteristiklere sahip heterojen ağlarla çevrili bir bilişsel radyo ortamında spektrum boşluklarının algılanmasında kullanılabileceğini gösterir.

Bu tezin literatüre katkıları ve özgün değeri aşağıdaki gibi özetlenebilir:

8

- Geniş bant spektrum algılama yöntemi: Bayes çoklu değişim noktası analizine dayalı, yeni bir geniş bant spektrum algılama yöntemi geliştirilmiştir.

- Dinamik ortamda öğrenme ve uyarlanma: Geleneksel güç spektrumu kestirim yöntemlerinde yeni kestirim değeri, önceki kestirimlerden bağımsızdır. Önerilen yöntemde, spektrum hakkında önceki verilerden elde edilen ya da dışarıdan sağlanan bir bilgi (örneğin, radyo ortam haritasının kullanılması) gelecek kestirimlerde doğruluğu artırmak veya hesaplama karmaşıklığını azaltmak amacıyla kullanılabilir. Bu özellik, değişen ortamlarda daha iyi uyarlanma olanağı sağlar.

- Yinelemeli güç spektrumu kestirimi: Geleneksel yöntemlerle güç spektrumu kestirimi sabit sayıda hesaplama ile gerçekleştirilirken, önerilen yöntemde kestirim doğruluğu yineleme sayısı ile artırılabilir.

- Periodogram yumuşatma: Ham periodogram, kullanılan örnek sayısı arttıkça kestirim varyansının azalmamasından dolayı güç spektrumu için iyi bir tahmin edici değildir.

Mevcut varyans azaltıcı çözümlerde, ortalama alma işlemi ile kestirim yanlılığı ya da tepki gecikmesi (kestirim yapmak için gerekli süre) artar. Tezde önerilen yöntemle veri uzunluğunu ya da gecikmeyi artırmadan yumuşatma yapmak mümkündür.

- Gürültü varyansı kestirimi: Gürültü varyansı, diğer model parametreleri birlikte örnekleme tabanlı bir yaklaşımla kestirilir. Gürültü gücünün doğru ölçülemediği ya da dinamik olarak değiştiği kanallarda birçok algılayıcı istenilen özelliklerini koruyamazken, geliştirilen yöntemle gürültü bilgisine ihtiyaç duyulmadan spektrum algılama gerçekleştirilebilir.

Tez, yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez çalışmasının amacı ve kapsamı belirtilerek, konu ile ilgili daha önceki çalışmalar özetlenmiştir.

İkinci bölümde, önerilen yöntemin anlaşılmasını sağlayıcı kuramsal bilgiler sunulmuştur. Öncelikle, Bayes sonuç çıkarımı ve çoklu değişim noktası analizinde Bayes yaklaşımı konularında bilgiler verilmiştir. Daha sonra, temel örnekleme algoritmaları ile dağılımlardan rasgele örnek üretilmesi konusuna değinilmiştir. Son

9

olarak, özelikle çok boyutlu ve karmaşık Bayes integrallerinin hesaplanmasında kullanılan Markov zinciri Monte Carlo yöntemleri konusu detaylandırılmıştır.

Üçüncü bölümde, geniş bant spektrum algılama amacıyla geleneksel olarak kullanılan yöntemlerin kısıtlarına değinilmiştir. En basit spektrum kestirim yöntemi olan periodogramın örneklem özellikleri verilerek, kullanılan parçalı sabit RF spektrum modeli açıklanacaktır. Model parametreleri için önsel dağılımlar ve olabilirlik fonksiyonu tanımlanarak, Bayes çoklu değişim noktası analizine dayalı olarak geliştirilen geniş bant spektrum algılama yöntemi anlatılmıştır. Bu bölümde son olarak, model parametreleri için sonsal dağılımından örnek üretilmesi amacıyla kullanılan RJMCMC algoritması verilmiş ve algoritmanın yakınsama ölçütü tanımlanmıştır.

Dördüncü bölümde, önerilen geniş bant spektrum algılayıcıyı değerlendirmek ve başarımını ölçmek için çeşitli ölçütler tanımlanmıştır. Örnek bir spektrum verisi için RJMCMC algoritması ile model parametreleri için üretilen sonsal örnekler kullanılarak, parametrelerin sonsal dağılım kestirimleri ve elde edilen geniş bantlı spektrum kestirimi sunulmuştur.

Beşinci bölümde, gürültü varyansının kestirimi için önerilen örnekleme tabanlı yaklaşım açıklanmıştır. Gürültü varyansı parametresi için önsel ve öneri dağılımları tanımlanarak, örnek üretme algoritması verilmiştir.

Altıncı bölümde, tanımlanan başarım ölçütlerine göre yöntemin algılama başarımı çeşitli benzetimlerle ölçülmüştür. Spektrum hakkında elde edilen bilginin, sonraki analizlerde önsel bilgi olarak kullanılmasının algılama başarımı üzerindeki etkisi incelenmiştir. Gürültü belirsizliğinin ve gürültü varyansı kestiriminin algılama başarımına etkisinin belirlenmesi için gerçekleştirilen benzetim sonuçları sunulmuştur.

Yedinci bölümde, geliştirilen yöntemin genel bir değerlendirmesi yapılmış ve yöntemin hayata geçirilebilmesi için izlenmesi gereken adımlar tartışılmıştır. İleride bu konuda yapılabilecek çalışmalar ile ilgili öneriler sunulmuştur.

10 2. KURAMSAL TEMELLER

Bu bölümde, tezin bütününde kullanılan yöntemlerin anlaşılmasını sağlamak için kuramsal bilgilere yer verilmiştir. Bu bölüm, dört alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde, Bayes sonuç çıkarımı ve önsel dağılımlar hakkında genel bilgiler verildikten sonra, bu yaklaşımda karşılaşılan integral problemi tanımlanmıştır. İkinci alt bölümde, çoklu değişim noktası algılama problemlerinin Bayes yaklaşımı ile analizi özetlenmiştir.

Üçüncü alt bölümde, Bayes sonuç çıkarımındaki integral problemlerinin çözümünde kullanılan Monte Carlo yöntemleri ve dağılımlardan rasgele örnek üretmek amacıyla kullanılan temel örnekleme algoritmaları verilmiştir. Son alt bölümde ise, özellikle çok boyutlu ve karmaşık Bayes integrallerinin hesaplanmasında kullanılan Markov zinciri Monte Carlo (MCMC) yöntemi, Markov zincirleri, Metropolis-Hastings algoritması ve örnekleme yöntemlerinde kullanılan öneri dağılımı konuları ele alınmıştır.

2.1 Bayes Sonuç Çıkarımı

İstatistiksel model parametreleri bilinmeyen bir sabit olarak ele alınabildiği gibi belirli bir olasılık dağılımına sahip bir rasgele değişken olarak da ele alınmaktadır. Bu yaklaşımlardan ilki klasik, ikincisi Bayes yaklaşımı olarak isimlendirilir (Öztürk vd.

2006). N boyutlu gözlem vektörü y ile ve model parametresi θ ile gösterilsin. Gözlem değerleri bağımsız ve p(.|θ) dağılımından gelmek üzere örneklemin dağılımı

( ) ( )

1

| |

N i i

p θ p y θ

=

=

∏

y (2.1)

biçiminde verilir. Gözlem değerlerinin ve parametrenin bir fonksiyonu olan p( | )y θ , θ verildiğinde y gözleminin olasılık yoğunluk fonksiyonudur; veri gözlendiğinde ise, sadece θ’nın fonksiyonu olan olabilirlik fonksiyonudur (likelihood function).

θ’nın önsel dağılımı p(θ) olmak üzere y ve θ’nın ortak dağılımı

(

) (

) ( )

p yθ = p y θ p θ (2.2)

11 olur. Bu durumda örneklemin marjinal dağılımı

( ) ( )

( ) |

p p θ p θ θd

Θ

=

∫

y y (2.3)

eşitliği ile verilir. Gözlemden sonra parametreler hakkındaki bilgiyi özetleyen sonsal dağılım p(θ|y) Bayes kuramı ile

( ) ( ) ( )

( )

| p p

p p

θ θ

θ = y

y y (2.4)

biçiminde tanımlıdır. p(θ) gözlemden önce parametreler hakkındaki önsel bilgiyi, p(y) model seçiminde kullanılan Bayes kanıtını (evidence) ve p(y|θ) olabilirlik fonksiyonunu gösterir. Bayes kuramına göre sonsal dağılım, önsel dağılımın gözlem değerleri ışığında güncellemesi olarak düşünülebilir.

Sonsal dağılıma göre hesaplanan beklenen değer, bu gözlemleri üreten dağılımdaki θ için bir kestirici olarak kullanılabilir.

( )

ˆB p | d

θ θ θ θ

Θ

=

∫

istatistiğine θ’nın Bayes kestiricisi ya da sonsal ortalama kestiricisi (posterior mean estimator) denir.

2.1.1 Önsel dağılım

Önsel dağılım, rasgele değişken olarak kabul edilen parametreler hakkında veri gözlenmeden önce bilinen bilgiyi özetleyen dağılımdır. Önsel dağılımlar, Bayes analizinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Problemin yapısına göre farklı türde önsel dağılımlar kullanılabilir. Örneğin, gözlemden önce bilginin olmadığı ya da güvenilir olmadığı durumda düzgün önseller (flat priors) kullanılabilir. Bilgi içermeyen (noninformative) bu önseller kullanıldığında önsel bilginin, sonsal dağılım üzerindeki

12

etkisi en aza indirilmiş olur. Genel olarak, geçmiş verilerden elde edilen bilgi içeren önseller sonsal dağılım üzerinde daha güçlü bir etkiye sahiptir.

Genellikle konum parametresi (location parameter) için birbiçimli önsel dağılım kullanılır. k bir sabit olmak üzere birbiçimli önsel dağılım

( )

pθ =k (2.6)

biçiminde ifade edilir. Bu durumda Bayes yaklaşımıyla parametre için yapılan enbüyük sonsal (maximum a posterior-MAP) tahmin değeri en büyük olabilirlik (maximum likelihood) tahmin değeri ile aynıdır.

Eşitlik (2.6) ile tanımlı birbiçimli önsel dağılım standartlaştırılamadığı (non- normalizable) için özellikle model seçimi durumunda kullanılamaz. Çünkü Bayes kanıtı k sabitine bağlıdır. k keyfi bir sabit olduğunda model seçimi de keyfi olacaktır.

Parametre tahmini açısından bakıldığında ise sonsal dağılımın standart olması şartı aranmaz. Sonsal dağılımın şekli ve en büyük değeri aldığı konum önemlidir.

Ölçek parametreleri (scale parameters) söz konusu olduğunda durum biraz farklıdır.

Ölçek parametresi, yayılım ölçüsü olduğundan her zaman pozitif değerlidir. Jeffreys (1939) ölçek parametresinin logaritmasının birbiçimli olduğunu varsaymıştır:

(log )

p σ = (2.7) k

Bu durumda, σ parametresinin dağılımı Ek 2’de verilen (A.2) eşitliği kullanılarak doğrusal ölçekte

( ) k p σ

= (2.8) σ

olarak verilir. Bu önsel dağılım, Jeffreys önseli olarak bilinir.

13 2.1.2 Bayes sonuç çıkarımında integral problemi

Bütün Bayes çıkarımları θ’nın fonksiyonlarının sonsal beklenen değerleri ile gerçekleştirilebilir. Sonsal beklenen değer

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

|

|

f p p d

E f p p d

θ θ θ θ

θ θ θ θ

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦

∫

∫

y y

y (2.9)

eşitliği ile tanımlıdır. Bayes sonuç çıkarımındaki temel problem, eşitlik (2.9)’daki integrallerin özellikle çok boyutlu durumlar için analitik çözümünün çoğu zaman imkansız olmasıdır. Analitik çözümün mümkün olmadığı durumlarda sayısal integral yöntemlerine başvurulur. Rasgele sayı üretme ilkesine dayalı Monte Carlo yöntemleri de bu amaçla kullanılır. Monte Carlo yöntemlerinden bazıları bölüm 2.3 ve 2.4’te ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

Eşitlik (2.9)’da θ sürekli olabileceği gibi kesikli bir rasgele değişken de olabilir. Bu durumda integraller toplama dönüşür. Ayrıca θ, kesikli ve sürekli rasgele değişkenleri ortak olarak içeren bir vektör de olabilir.

Uygulamada çoğu problemde sonsal dağılım, standart olmayan bir dağılım olarak karşımıza çıkar. Sonsal dağılımın standart hale getirilmesi (2.9) eşitliğinde paydadaki integralin çözümünü gerektirir. Bu integral ise kısıtlı sayıda basit durum dışında çözülemez.

2.2 Bayes Yaklaşımı ile Çoklu Değişim Noktası Algılama

Genel anlamda bir veri üzerinde değişim noktası, örneklem dağılım fonksiyonunun kendisinin ya da bir parametresinin değiştiği nokta olarak tanımlanabilir. Değişim noktası algılama ve değişim noktası konumu kestirimine, konuşma işareti bölütleme (Andre-Obrecht 1988, Punskaya vd. 2002), imgelerde ayrıt sezimi (Basseville 1981), sismik işaret işleme (Nikiforov ve Tikhonov 1986), telsiz vericilerinin algılanması (Üreten 2000) gibi birçok alanda rastlamak mümkündür.

14

Bu alt bölümde, önce Carlin vd. (1992) tarafından tek bir değişim noktası algılama için tanımlanan Bayes değişim noktası modeli verilecektir. Daha sonra, Stephens (1994) tarafından çoklu değişim noktası problemleri için önerilen Bayes yaklaşımı özetlenecektir.

1 2

( , ,..., )Y Y Y_n

=

Y bağımsız Yi rasgele değişkenlerinden oluşan bir örneklem ve {1,..., }

s∈ n örneklemin olasılık yoğunluk fonksiyonunun değiştiği nokta olarak tanımlansın. f(. | )θ ve g(. | )η sırasıyla örneklemin değişim noktasından önceki ve sonraki olasılık yoğunluk fonksiyonları olmak üzere, örneklem dağılımı

( ) ( )

~ .| , 1,...,

~ .| , 1,...,

i

i

Y f i s

Y g i s n

θ η

=

= + (2.10)

biçiminde tanımlanabilir. Bu durumda olabilirlik fonksiyonu

( ) ( ) ( )

1 1

, , ^s _i| ⁿ _i|

i i s

p θ η f Y θ g Y η

= = +

=

∏ ∏

Y | s (2.11)

olur. θ η ve s parametrelerine birer önsel dağılım verilerek, problem Bayesçi çatı altına , taşınır. Bu parametreler için ortak önsel dağılım p( , , )θ η s olmak üzere, veri ve parametrelerin ortak dağılımı

( )

( , , , ) | , , ( , , )

p Y θ η s = p Y s θ η pθ η s (2.12)

ifadesiyle verilir. Veri gözlendiğinde ( , , )θ η s ’nin ortak sonsal dağılımı (2.11) ifadesi ile orantılıdır. Parametrelerin marjinal sonsal dağılımı bulunmak istendiğinde, genellikle analitik olarak hesabı mümkün olmayan marjinalleştirme integralleri ile karşılaşılır.

Değişim noktası algılama problemi için en büyük sonsal kestirim değeri elde etmek istendiğinde, s Y| marjinal sonsal dağılımını bulmak için θ ve η üzerinden integral gerekecektir. Bu tür problemlerde örnekleme tabanlı çözümler önerilmiştir (Gelfand ve Smith 1990, Gelfand vd. 1990, Carlin vd. 1992).

15

Değişim noktası sayısı birden fazla olduğunda, algılama problemi daha karmaşık bir hale gelir. Örneğin doğrusal modellenen bir veri için kestirilmesi gereken doğrusal parametre sayısı, değişim noktası sayısı ile artacaktır. Doğrusal parametreler ve gürültü varyansı parametresi marjinalleştirme integrali yoluyla analizden çıkarılsa bile, değişim noktası sayısı birden fazla olduğunda ortak sonsal dağılım fonksiyonlarının optimizasyonu kolay bir problem değildir. Şekil 2.1’de iki değişim noktası için örnek bir ortak sonsal dağılım fonksiyonu gösterilmiştir.

Carlin vd. (1992) tarafından tek değişim noktası problemlerinde Bayes sonuç çıkarımı için önerilen Gibbs örnekleyici yaklaşımı, Stephens (1994) tarafından çoklu değişim noktası problemlerine genelleştirilmiştir. Bu çalışmada, örneklem dağılımı parametresinin m farklı noktada değiştiği kabul edilerek, değişim noktası yerleri için sonuç çıkarımının yapılacağı sonsal dağılım

(

) (

) ( ) (

)

1

, ,..., | , | , ,..., , | , ,...,

n

m i m m

i

p s s s ψ p Y s s s θ p θ ψ p s s s dθ

=

∝

∫ ∏

Y (2.13)

Şekil 2.1 İki değişim noktası için ortak sonsal yoğunluk (Ruanaidh ve Fitzgerald 1996)

Birinci değişim noktası 0

60 40

80 20

100

0 20

40 60

80 100

İkinci değişim noktası 

Olasılık yoğunluğu 

16

biçiminde tanımlanmıştır. Burada, θ örneklem dağılımının parametresini, ψ ise ( | )

pθ ψ önsel dağılımının parametresini (hyperparameter) gösterir.

Eşitlik (2.13)’te integrali alınan fonksiyon, parametrenin doğrusal olmayan fonksiyonlarını içerdiğinde ya da parametre sayısının birden fazla olduğu durumda, integralin analitik hesabı çoğu zaman mümkün olmaz. Ayrıca, sayısal integral yöntemleri ile de yüksek hesaplama karmaşıklığı nedeniyle sonuca ulaşılması oldukça zordur. Bu problemi, işlem yükü açısından hesap edilebilir duruma getirmek için Gibbs örnekleyici kullanımı önerilmiştir (Stephens 1994). Bu yöntemle örnekleme probleminin boyutu, her adımda bütün değişim noktaları için örnek üretmek yerine, koşullu dağılımdan tek değişim noktası için örnek üretilmesiyle etkin bir şekilde azaltılır.

Değişim noktası sayısının bilinmediği durumda, parametre kestirimi problemi yanında model seçimi problemi de ortaya çıkmaktadır. Bu amaçla, ilk olarak Green (1995) tarafından Bayes model belirlemeyi mümkün hale getiren tersinir atlamalı Markov zinciri Monte Carlo (Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo, RJMCMC) örnekleme yöntemi önerilmiştir. Bu yöntem ve yöntemin tez kapsamında ele alınan geniş bant spektrum algılama problemine uygulanması, üçüncü bölümde ayrıntılı olarak verilecektir.

2.3 Dağılımlardan Rasgele Örnek Üretme Yöntemleri

Olasılıksal modeller yardımıyla problem çözümünde tam sonuç çıkarımı her zaman mümkün olmamaktadır. Böyle durumlarda çıkarımın bazı yaklaşımlar kullanılarak yapılması söz konusudur. Bu amaçla, bir modelde rasgele sayıların kullanılması ile yapılan çözümlemeler Monte Carlo benzetimi olarak adlandırılmaktadır. Daha geniş kapsamda rasgelelik içeren tüm çözüm yöntemleri, Monte Carlo yöntemleri olarak bilinmektedir (Öztürk ve Özbek 2004). Bu yöntemle bir olasılık dağılımından rasgele sayı üretilmesi işlemine “örnekleme” (sampling) denir.

Monte Carlo yöntemleri ile çözülen problemleri iki gruba ayırmak mümkündür (MacKay 1998). Birincisi, x rasgele değişkenlerden oluşan bir vektör olmak üzere,

17

verilen bir p(x) olasılık dağılımından rasgele örnek üretilmesidir. İkinci ise, olasılık dağılımı p(x) ile verilen x rasgele vektörünün bir fonksiyonu olan f(x)’in beklenen değerinin yaklaşık olarak hesaplanmasıdır. Örnek üretilmek istenen p(x) dağılımı, hedef dağılım (target distribution) olarak adlandırılır. Bu tez kapsamında hedef dağılım, model parametrelerinin sonsal dağılımıdır.

Sadece sürekli rasgele değişkenler söz konusu olduğunda, beklenen değer

[ ] ( ) ( )

E f =

∫

biçiminde tanımlanır. Analitik hesabı her zaman mümkün olmayan (2.14) eşitliğindeki integral için p(x) dağılımından üretilen bağımsız rasgele örnekler x^(r) (r=1,...R) kullanılarak

( )

1

ˆ 1 ^{R r}

r

f f

R =

=

∑

biçiminde yaklaşık değer hesabı yapılabilir. İntegralin değeri rasgele sayılar yardımıyla yaklaşık olarak hesaplandığı için bu yöntem, Monte Carlo integrasyonu olarak isimlendirilir. Bağımsız x^(r) örnekleri p(x) dağılımından üretildiğinde, ˆf için beklenen değer, E f[ ]^ˆ = E f[ ] olacaktır. Yani ˆf kestiricisi doğru ortalamaya sahiptir.

Kestiricinin varyansı,

( [ ] )

ˆ 1

var f E f E f

R ⎡ ⎤

⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.16)

eşitliği ile verilir. Eşitlik (2.16)’ya göre kestirici varyansı, f(x) fonksiyonunun p(x) dağılımı altındaki varyansının 1/R katıdır. Üretilen örnek sayısı arttıkça kestiricinin varyansı azalır. Bu durum, Monte Carlo yöntemlerinin önemli bir özelliğini ortaya koyar: Monte Carlo kestiriminin doğruluğu, örnekleme işleminin gerçekleştirildiği uzayın boyutundan (x’in boyutundan) bağımsızdır. İlke olarak, üretilen az sayıda örnek ile yüksek bir doğruluk sağlanabilir. Ancak, üretilen bütün örnekler bağımsız

18

olmayabilir. Bu durumda etkin örneklem büyüklüğü, görünen örneklem büyüklüğünden çok daha az olabilir.

Genellikle, bazı basit dağılımlar dışında, bir dağılım fonksiyonundan örnek üretilmesi kolay bir problem değildir. Özellikle, çok boyutlu dağılımlar söz konusu olduğunda, örnek üretme problemi daha da zorlaşır. Çok boyutlu problemlerde kullanılan MCMC yöntemine geçmeden önce, temel örnekleme yaklaşımlarından kabul-ret örnekleme (rejection sampling) ve önem örnekleme (importance sampling) yöntemleri verilmiştir.

2.3.1 Kabul-Ret örnekleme yöntemi

Örnek üretmenin basit olmadığı bir p(x) dağılımı ele alınsın. Ayrıca, verilen bir x için p(x)’in standartlaştırma katsayısı (normalizing constant) dışında değerinin hesaplanabildiği düşünülsün. Z bilinmeyen standartlaştırma katsayısı olmak üzere bu durum

( ) p( ) p = %Zx

x (2.17)

biçiminde ifade edilebilir. Burada, hedef dağılım p x( )’in standartlaştırılmamış biçimi olan p% x( )’in verilen bir x için değeri hesaplanabilmektedir.

Kabul-ret yöntemi, örnek üretmenin daha kolay olduğu bir q(x) öneri dağılımı (proposal distribution) seçimine dayanır. Yöntemin görsel olarak ifade edilebilmesi için tek değişkenli dağılım ele alınırsa, şekil 2.2’de görüldüğü gibi, bütün x değerleri için

( ) ( )

kq x ≥ %p x olacak biçimde sabit bir k değeri tanımlanır. Öncelikle, q(x) öneri dağılımından bir x0 rasgele sayısı ve daha sonra [0,kq(x0)] aralığından birbiçimli olarak bir u değeri üretilir. Bu iki rasgele sayı, iki boyutlu yüzeyde bir nokta seçimi olarak düşünülebilir. Bu noktalar, kq(x) eğrisi altında birbiçimli dağılıma sahiptirler. Eğer

( )0

u> %p x ise x0 değeri reddedilir, aksi durumda x0 kabul edilir. Şekil 2.2’de gölgeli alana düşen rasgele sayı çiftleri reddedilmektedir. Kabul edilen x ve karşılık gelen u rasgele değerleri p x%( ) eğrisi altında birbiçimli dağılıma sahiptir. Dolayısıyla kabul

19

Şekil 2.2 Kabul-ret örnekleme yönteminin grafiksel gösterimi

edilen noktaların x eksenindeki değerlerinin yoğunluğu p x%( ) ile orantılı olmalıdır. Buna göre üretilen örnekler, p(x) dağılımından üretilmiş bağımsız örneklerdir (MacKay 1998).

Bu yöntemin başarısı, öneri dağılımının hedef dağılıma benzerliği ile artmaktadır. Öneri dağılımı, hedef dağılımdan çok farklı ise üretilen rasgele sayı çiftlerinin çoğu reddedilecektir. Ayrıca şekil 2.2’den görüldüğü üzere, k katsayısı arttıkça ret oranı artacaktır. Bu yüzden k’nın kq x( )≥ %p x( ) koşulunu sağlayacak biçimde mümkün olduğunca küçük seçilmesi gerekir (Bishop 2006).

2.3.2 Önem örnekleme yöntemi

Önem örnekleme yöntemi ile eşitlik (2.15) ile verilen beklenen değer kestirimi gerçekleştirilir. Ancak bu yöntem, bir dağılımdan doğrudan sayı üretilmesi amacıyla kullanılmamaktadır. Kabul-ret örneklemede olduğu gibi rasgele sayı üretmenin kolay olduğu bir q(x) öneri dağılımı belirlenir. Tek değişkenli durum için örnek dağılımlar şekil 2.3 ile verilmektedir. Öneri dağılımdan üretilen {x^{( )r} } örnekleri kullanılarak beklenen değer için bir yaklaşım

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

E f f p d

f p q d

q

=

=

∫

∫

x x x

x x x x

x

( )

( )

( )

1

1 ^{R r} r

r r

p f

R

∑

x (2.18)

x p(x) ^~

kq(x)

kq(x₀)

u₀

x₀

20

Şekil 2.3 Önem örnekleme yönteminin grafiksel gösterimi

biçiminde verilir. Bu yöntemde de seçilen öneri dağılımının hedef dağılıma uyumu yaklaşımın başarımını artırır. Kabul-ret örnekleme yönteminden farklı olarak üretilen bütün örnekler saklanarak, her biri p(x^{( )r} ) / (q x^{( )r} ) önem ağırlık katsayıları ile çarpılır.

Böylece hatalı dağılımdan örnek üretilmesinden kaynaklanan yanlılık düzeltilir.

2.4 Markov zinciri Monte Carlo Yöntemleri

Markov zinciri Monte Carlo, çok boyutlu ve karmaşık problemlerde istatistiksel sonuç çıkarımı için kullanılan genel ve güçlü bir yöntemdir. Karmaşık problemlerde, öneri dağılımının hedef dağılıma benzerliğinin sağlanması zor olduğundan temel örnekleme yöntemleri kullanılamaz.

Kabul-ret örnekleme ve önem örnekleme yöntemlerinden farklı olarak, her adımda yeni örneğin üretildiği q(x|x^(t)) öneri dağılımı, son “durum”a (state) bağlı bir fonksiyondur.

Burada durum, ilgilenilen rasgele değişken x’in her adımda aldığı değerdir. Her yeni durumun sadece bir önceki duruma bağlı olması, üretilen x⁽¹⁾,x⁽²⁾,x⁽³⁾... örnek dizisinin bir Markov zinciri oluşturduğunu gösterir. MCMC yönteminde öneri dağılımının hedef dağılıma benzemesi koşulu yoktur. Herhangi xA ve xB durumları için q(xA|xB) pozitif olduğu sürece t→ ∞ için x^(t)’nin dağılımı hedef dağılım p(x)’e yakınsayacaktır. Ancak, yakınsama hızı öneri dağılımının seçimine göre değişecektir.

Hedef dağılımın p( )x = %p( ) /x Z biçiminde ifade edildiği ve verilen bir x için p% x( )’in değerinin hesaplanabildiği durumu yeniden ele alalım. Zincir x^(t) durumundayken

x p(x)

q(x)

f(x)

21

önerilen x^* örneğinin kabul edilip edilmeyeceğine ilişkin ölçüt, klasik Metropolis algoritmasında

( ) ( )

( )

*

*

, min 1, p ( )_t

α = ^⎛⎜ p ^⎞⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

%

% x x x

x (2.19)

kabul olasılığı ifadesiyle verilmiştir (Metropolis vd. 1953). Metropolis algoritmasında öneri dağılımı simetrik kabul edilir. Yani, bütün xA ve xB değerleri için q(xA|xB)=q(xB|xA) olur. Bu tür bir dağılıma örnek, üretilmiş olan son örnek değerini ortalama olarak kabul eden bir Gauss dağılımı olabilir.

Eşitlik (2.19) ile hesaplanan kabul olasılığı α, (0,1) aralığında birbiçimli dağılımdan üretilen u sayısı ile karşılaştırılır. Eğer α>u koşulu sağlanıyorsa üretilen örnek kabul edilir ve yeni örnek değeri x^(t+1)= x^* olur. Aksi durumda, önerilen örnek atılır ve yeni örnek değeri bir önceki değeri alır, x^(t+1)= x^(t). Bu ölçüte göre p(x) değerinde artışa neden olan örnekler seçilmektedir.

Kabul-ret yönteminin tersine MCMC ile üretilen örneklerin bağımsız olduğu söylenemez. MCMC yönteminde Markov süreci özelliği gereği üretilen durum dizisinde her örnek değeri bir önceki değere bağlı bir olasılık dağılımına sahip olduğundan ardışık örnekler ilintilidir. Bağımsız örnekler elde edilmek istenirse üretilen örneklerden eşit M aralıklı olanları alınabilir. Yeterince büyük M değeri için seçilen örnekler yaklaşık olarak bağımsız olur (Bishop 2006).

2.4.1 Markov zincirleri

Rasgele bir süreç için x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾,..., x^(t-1) geçmiş durumlar ve x^(t) şimdiki durum verilmiş olsun. x^(t+1) gelecek durumun koşullu dağılımının, geçmiş durumlardan bağımsız olduğu ve sadece şimdiki duruma bağlı olduğu rasgele değişkenler dizisine Markov zinciri denir. Bir Markov zinciri için koşullu dağılım, matematiksel olarak

( 1) ( ) (0) ( 1) ( )

( ^t | ^t ,..., ) ( ^t | ^t )

p x ⁺ x x = p x ⁺ x (2.20)