Herhangi bir sayfanın eksik olup olmadığını kontrol ediniz

Matematik-Bilgisayar Bölümü

MB2001 Analiz II İsim Soyisim:

Bahar 2013-2014

Arasınav I Numara:

18 Mart 2014

Sınav Süresi: 105 Dakika İmza:

Bu sınav evrakı kapak ile birlikte toplam 5 sayfa ve 7 soru içermektedir. Herhangi bir sayfanın eksik olup olmadığını kontrol ediniz. Kapak sayfasının üzerinde istenilen bilgileri eksiksiz tamamlayınız ve sayfaların kopma ihtimaline karşın bu bilgileri her bir sayfaya yazınız.

Sınav süresi 105 Dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav süresince ders konularını içe- ren herhangi bir kitap ya da not ve hesaplayıcı cihaz kullanılması, cep telefonlarının açık tutulması yasaktır.

Cevap anahtarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar Bölümü panosuna asılacaktır.

Cevaplarda aşağıda belirtilen hususlara dikkat ediniz:

• Cevapları cümle kurarak yazınız. Sorulara sadece matematik sembolleri kullanarak çözüm yazmayınız.

• Cevaplarda herhangi bir “temel teorem” kullanıl- ması durumunda teoremin ifadesini belirtip uygula- nabilirliğini açıklayınız.

• İşlemlerinizi düzenli ve açık olarak ifade ediniz.

İşlem ve/veya açıklamalar ile desteklenmeyen bir ce- vaba doğru olsa dahi puan verilmeyecektir. Esas itiba- riyle doğru hesaplamalar ve açıklamalar ile desteklenen yanlış bir cevap kısmi puan alabilir.

• Çözümlerinizi eğer sorunun altındaki alan yetmez ise sorunun bulunduğu sayfanın arkasına yazabilirsiniz. Bu durumda çözümün sayfanın arkasında olduğunu soru- nun altına not ediniz.

Sağdaki tabloya yazı yazmayınız.

Başarılar.

Yrd. Doç. Dr. Emel Yavuz Duman

Soru Puan Alınan Puan

1 30

2 10

3 10

4 10

5 15

6 10

7 15

Toplam: 100

1. [1, 3] aralığında f (x) = −x² + 4x − 3 fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasında kalan R bölgesi göz önüne alınsın.

(a) (15 puan) Üst Riemann toplamının tanımını veriniz. [1, 3] aralığını 4 eşit parçaya ayırınız ve bu parçalanışa karşılık gelen üst Riemann toplamı yardımı ile R bölgesinin alanını yaklaşık olarak hesaplayınız (Not: Fonksiyonun grafiğini çiziniz. Üst Riemann toplamını teşkil eden dikdörtgenleri gösteriniz).

Çözüm. a, b ∈ R, a < b, [a, b] aralığının bir parçalanışı P = {x0, x1, · · · , xn}, j = 1, · · · , n için ∆x_j = x_j − x_j−1 ve f : [a, b] → R fonksiyonu sınırlı olsun. Mj(f ) = sup f ([xj−1, xj]) olmak üzere f fonksiyonunun P üzerindeki üst Riemann toplamı U (f, P ) = Pn

j=1Mj(f )∆xj olarak tanımlanır.

[1, 3] aralığı 4 eşit parçaya ayrıldığında oluşan parçalanış ∆x = ^b−a_n = ³⁻¹₄ = 0.5 olmak üzere P = {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0} şeklindedir. Fonksiyon [1, 2) aralığında monoton artan ve (2, 3] aralığında monoton azalan olduğundan P parçalanışına karşılık gelen üst Riemann toplamı

U (f, P ) = 0.5f (1.5) + 0.5f (2.0) + 0.5f (2.0) + 0.5f (2.5)

= 0.5[f (1.5) + 2f (2.0) + f (2.5)]

= 0.5[(−(1.5)²+ 4(1.5) − 3) + 2(−(2)²+ 4(2) − 3) + (−(2.5)²+ 4(2.5) − 3)]

= 1.75

olduğundan Alan(R) ≈ 1.75’dir.

(b) (15 puan) Belirli integralin tanımını kullanarak R bölgesinin alanını hesaplayınız (Not: [1, 3]

aralığını n eşit parçaya ayırınız ve x_j (j = 0, · · · , n) referans noktaları olarak alt aralıkların sağ uç noktalarını alınız.)

Çözüm. Eşit uzunluklu alt aralıklar ve x_j referans noktaları olarak sağ uç noktaları kullanı- lacağından ∆x = ^b−a_n = ³⁻¹_n = _n² ve x_j = a + j∆x = 1 +^2j_n, j = 1, · · · , n dir. Dolayısıyla belirli integralin tanımı kullanılarak alan aşağıdaki şekilde elde edilir.

Z 3 1

f (x)dx = lim

n→∞

n

X

j=1

f (x_j)∆x = lim

n→∞

n

X

j=1

−

 1 +2j

n

2

+ 4

 1 +2j

n



− 3

!2 n

= lim

n→∞

n

X

j=1



−4j² n² + 4j

n

 2

n = lim

n→∞

n

X

j=1



−8j² n³ + 8j

n²



= lim

n→∞



− 8 n³

n

X

j=1

j²+ 8 n²

n

X

j=1

j





= lim

n→∞



− 8 n³

n(n + 1)(2n + 1)

6 + 8

n²

n(n + 1) 2



= −8

6 · 2 +8 2 = 4

3 = 1.¯3.

2. (10 puan) f (x) =

Z ln(x+1) x−π

dt

cos t + 2 olduğuna göre f⁰(0) değerini bulunuz.

Çözüm. Leibniz Formülü kullanılarak (−1, ∞) aralığında diferansiyellenebilir v(x) = ln(x + 1), u(x) = x − π ve integrallenebilir f (t) = _{cos t+2}¹ fonksiyonları için

f⁰(x) = d dx

Z ln(x+1) x−π

dt

cos t + 2 = v⁰(x)f (v(x)) − u⁰(x)f (u(x))

= 1

x + 1

1

cos(ln(x + 1)) + 2− 1 cos(x − π) + 2 türevi elde edilir. Buna göre f⁰(0) değeri

f⁰(0) = 1

cos(ln 1) + 2 − 1

cos(−π) + 2 = 1

1 + 2− 1 1 + 2 = 0 olarak elde edilir.

3. (10 puan)

Z dx

(x²+ 9)(x²+ 3) integralini hesaplayınız.

Çözüm. İntegrali alınacak fonksiyon basit kesirlerine ayrılır ve paydalar eşitlenirse 1

(x²+ 9)(x²+ 3) = Ax + B

x²+ 9 +Cx + D

x²+ 3 = (Ax + B)(x²+ 3) + (Cx + D)(x²+ 9) (x²+ 9)(x²+ 3)

1 = (A + C)x³+ (B + D)x²+ (3A + 9C)x + (3B + 9D)

elde edilir. Buna göre A + C = 0, B + D = 0, 3A + 9C = 0, 3B + 9D = 1 olduğundan A = C = 0, B = −1/6 ve D = 1/6 bulunur. Dolayısıyla integral değeri

Z dx

(x²+ 9)(x²+ 3) =

Z −1/6 x²+ 9dx +

Z 1/6

x²+ 3dx = −1 6

Z dx

x²+ 3² +1 6

Z dx

x²+ (√ 3)²

= −1 6 1

3arctanx 3 +1

6

√1

3arctan x

√3 + c

= − 1

18arctanx 3 + 1

6√

3arctan x

√ 3 + c şeklinde elde edilir.

4. (10 puan) Z

tan³5xdx integralini hesaplayınız.

Çözüm. Burada tan²5x = sec²5x − 1 ve _dx^d(tan 5x) = 5 sec²5x olduğu kullanılırsa Z

tan³5xdx = Z

tan 5x tan²5xdx = Z

tan 5x(sec²5x − 1)dx

= Z

tan 5x sec²5xdx − Z

tan 5xdx

bulunur. Buna göre sağ yandaki ilk integral tan 5x = u için sec²5xdx = du/5 olduğundan Z

tan 5x sec²5xdx = 1 5

Z

udu = 1

10u²+ c₁ = 1

10tan²5x + c₁ ve sağ yandaki ikinci integral cos 5x = v için sin 5xdx = −dv/5

Z

tan 5xdx =

Z sin 5x cos 5xdx =

Z dv 5v = −1

5ln |v| + c2= −1

5ln | cos 5x| + c2

şeklinde elde edilir. Dolayısıyla integral değeri Z

tan³5xdx = 1

10tan²5x +1

5ln | cos 5x| + c olarak bulunur.

5. (15 puan) Z ∞

0

(1 − x)e^−xdx integralini hesaplayınız.

Çözüm. Verilen integral birinci tür genelleştirilmiş integraldir. Diğer taraftanR (1 − x)e^−xdx bir kısmi integraldir. Burada 1 − x = u için du = −dx ve e^−xdx = dv için −e^−x= v olduğundan

Z

(1 − x)e^−xdx = (1 − x)(−e^−x) − Z

(−e^−x)(−dx) = (x − 1)e^−x− Z

−e^−xdx

= (x − 1)e^−x+ e^−x+ c = xe^−x+ c elde edilir. Ayrıca lim_t→∞te^−t = limt→∞ t

e^t = limt→∞ 1

e^t = 0 limit değeri kullanıldığında Z ∞

0

(1 − x)e^−xdx = lim

t→∞

Z t 0

(1 − x)e^−xdx = lim

t→∞xe^−xt

0 = lim

t→∞te^−t− 0 = 0 bulunur.

6. (10 puan) Z ∞

1

sin x + 3

√x dx integralinin yakınsaklığını araştırınız.

Çözüm. Her x için −1 ≤ sin x ≤ 1 olduğundan 2 ≤ sin x + 3 ≤ 4 sağlanır. Buna göre x ≥ 1 için 2

√x ≤ sin x + 3

√x ≤ 4

√x eşitsizliği gerçeklenir. g(x) = 2

√x ve f (x) = sin x + 3

√x olsun.

Dolayısıyla Z ∞

1

√2

xdx = 2 Z ∞

1

x^−1/2dx integrali p = 1/2 < 1 olduğundan ıraksaktır. Bu sonuç aşağıdaki şekilde de elde edilebilir:

Z ∞ 1

g(x)dx = 2 Z ∞

1

x^−1/2dx = 2 lim

t→∞

Z t 1

x^−1/2dx = 4 lim

t→∞x^1/2   

t

1= 4 lim

t→∞(t^1/2− 1) = ∞.

Buradan R∞

1 g(x)dx ≤R∞

1 f (x)dx koşulunu sağlayan R∞

1 g(x)dx integrali ıraksak olduğundan R∞

1 f (x)dx integralinin de ıraksak olduğu Karşılaştırma Teoremi gereği elde edilir.

7. (15 puan)

Z x²

√16 − x²dx integralini hesaplayınız.

Çözüm. −π/2 ≤ θ ≤ π/2 olmak üzere x = 4 sin θ dönüşümü yapılsın. Buna göre dx = 4 cos θdθ, x²= 16 sin²θ ve√

16 − x²=p

16 − 16 sin²θ = |4 cos θ| = 4 cos θ olduğundan

Z x²

√

16 − x²dx =

Z 16 sin²θ

4 cos θ 4 cos θdθ = 16 Z

sin²θdθ = 16 Z 1

2(1 − cos 2θ)dθ

= 8 Z

(1 − cos 2θ)dθ = 8

 θ − 1

2sin 2θ



+ c = 8θ − 4 sin 2θ + c

elde edilir. Burada sin θ = ^x₄ olduğundan θ = arcsin^x₄ ve sin 2θ = 2 sin θ cos θ = 2 ^x₄
q

1 − ^x₄
2

eşitlikleri kullanılırsa

Z x²

√

16 − x²dx = 8 arcsinx 4 −1

2xp

16 − x²+ c sonucuna ulaşılır.