17. BÖLÜM
ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE)
SİLİNDİR
17.1. Tanım: Uzayda düzlemsel bir eğri ile bu eğrinin düzlemine paralel olmayan bir doğrusu alalım. Eğri üzerindeki her noktadan doğrusuna paralel olarak çizilen doğruların oluşturduğu yüzeye silindirik yüzey denir.
17.2. Tanım: Düzlemsel eğriye silindirik yüzeyin dayanak eğrisi, doğru- suna paralel eğri üzerindeki doğrulara da silindirik yüzeyin ana doğrusu denir.
17.3. Tanım: Dayanak eğrisi kapalı bir eğri olan silindirik bir yüzeyin ana doğrularını kesen ve birbirine paralel iki düzlem arasında kalan cisme silindir de- nir.
17.4. Tanım: Paralel düzlemlerin silindirik yüzeyin içinde kalan parçalarına silindirin tabanları, taban düzlemleri arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği, ta- banların çevrelerini birleştiren eğri yüzeye silindirin yanal yüzeyi denir.
17.5. Tanım: Bir dairesel silindirin iki tabanı arasındaki uzaklığa yükseklik denir.
Silindir tabanlarına göre adlandırılır. Dairesel silindir, eliptik silindir gibi.
Biz bu kısımda kapalı eğri olarak daire üzerine inşa edilensilindirleri inceleyeceğiz.
Benzer şekilde diğer eğriler de incelenir.
17.6. Tanım: Ana doğruları dik olan silindire dik silindir ya da dönel silin- dir, dik olmayan silindirlere eğik silindir denir.
Bir eğrinin, bir eksen etrafında 3600 döndürülmesiyle dönel cisimler oluşur.
Dönel cisimlerin, eksenlere dik düzlemler ile tüm kesitleri birer çemberdir.
Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edi- lir.
Bir silindir, taban kenarları sonsuz sayıda n-gen prizmalardır.
Bir dairesel silindirin düzlemle kesitlerinde şu özellikleri aşikârdır:
1. Dik dairesel silindirin tabanına paralel bir düzlemle ara kesiti tabanlara eş bir dairedir.
2. Bir dairesel silindir birbirine paralel düzlemlerle kesilirse, ara kesitler birbirine eş olur.
Dik Dairesel Silindirin Alanı
17.1. Teorem:Bir dik dairesel silindirin taban alanları ile taban çevresinin yüksekliğinin çarpımının toplamına eşittir.
) h r ( r 2 A
İspat: Dik dairesel silindir açılımı şekildeki gibidir. Silindirin açılımı bir dikdörtgen ve iki daireden oluşmaktadır. Dikdörtgenin ayrıtları 2r ve h dir. Buna göre dikdörtgen olan yanal alan,
rh 2 AY
dir. İki tane taban daireler vardır. O halde toplam alan, ) h r ( r 2 rh 2 r 2 A A
A T Y 2 dir.
Örnek: Taban yarıçapı 8 cm olan dik dairesel silindirin yüksekliği 15 cm dir. Buna göre silindirin yanal alanını ve toplam alanını bulunuz.
Çözüm: r8cm, h15cm
2
Y 2 rh 2 .8.15 240 cm
A
cm2
368 ) 15 8 ( 8 . 2 ) h r ( r 2
A
Eğik Silindirin Alanı
17.2. Teorem: Bir eğik dairesel silindirin taban alanları ile taban çevresini- nayrıtının çarpımının eğiminin sünüşünün toplamına eşittir.
) sin r ( r 2
A İspat: h h sin
sin
olduğundan, eğik silindirin yanal alanı,
2 rh 2 r sin
AY
dir. İki tane taban daireler vardır. O halde toplam alan,
) sin r ( r 2 sin r 2 r 2 A A
A T Y 2 dir.
Örnek: Bir dairesel eğik silindirin dik kesitinin yarıçapı 4 cm ve ana doğru- sunun uzunluğu 10 cm ise bu silindirin alanını bulunuz.
Çözüm: r 4cm, h10cm
2
Y 2 rh 2 .4.10 80 cm
A
cm 112 ) 10 4 ( 4 . 2 ) h r ( r 2
A
Örnek: Bir dairesel eğik silindirin yarıçapı 5 cm, eğimi 300, uzunluğu 16 cm ise bu silindirin yanal alanını ve toplam alanını bulunuz.
Çözüm: r5cm, 16cm, 300
2
Y 2 rh 2 .5.16.sin30 80 cm
A
cm2
130 ) 30 sin 16 5 ( 5 . 2 ) sin r ( r 2
A
Silindirin Hacmi
17.3. Teorem: Bir dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
İspat: Silindir özel bir prizma olduğunu yukarıda söylemiştik. Buna göre, h
r V 2 bulunur.
17.4. Teorem: Bir dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile ayrıtının sünü- sünun çarpımına eşittir.
İspat: Eğik silindirin yüksekliği hsin olduğundan,
r sin V 2 bulunur.
Örnek: Kenar uzunlukları 5 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgen kenarları etra- fında ayrı ayrı 3600 döndürülüyor. Oluşan silindirlerin alanlarını ve hacimlerini bulunuz.
Çözüm: Birinci dik silindir r5cm ve h8cmve ikinci dik silindir cm
8
r ve h5cmolduğundan,
2
28 200 cm
5
V
2
25 320 cm
8
V bulunur.
Örnek: Taban yarıçapları 10 cm ve 4 cm olan iki borunun yükseklikleri 20 cm dir. Bu içi boru küçük çaplı olan büyük çaplının içine taban merkezleri çakışık olacak şekilde yerleştiriliyor. İki boru arasına su dolduruluyor. İç kısımdaki boru alındığında suyun yüksekliğinin borunun içinde kaç cm olacağını bulunuz.
Çözüm: Büyük çaplı borunun hacminden küçük çaplı borunun hacmi çıkarı- lırsa suyun hacmi bulunur.
3 2
2 2
2 2
1h r h .10 .20 6 .20 1280cm
r
V
bulunur. İç kısımdaki boru alındığında suyun yüksekliği düşecektir, yeni durumu da suyun yüksekliği h olsun. Buna göre suyun yüksekliği,
cm 8 , 12 h h . 10 1280
h r
V12 2 olur.
Örnek:Taban çapı 6 cm, yüksekliği 15 cm bir dik silindir kavanoz bir mik- tar yağ vardır. Bu kavanoz 450lik açı yapacak şekilde eğildiğinde, yağın yüzeyi kabın ağırlığına dayanmaktadır. Buna göre suyun hacmi kaç cm2dir.
Çözüm: Kavanoz dik durumdan eğik duruma getirilirse şekildeki gibi EDC üçgeni ikizkenar dik üçgen olur.
cm 6 CD
EC
dir. Eğik şekil dik konuma getirilirse yağ yüzeyi, [ED] nun orta noktasından [CD]
na çizilen paralel olur. Buradan, A.K.A. eşlik teoremi gereği, cm
3 FC
EF ise h15312cm olur. Buna göre,
3 2
2h .3 .12 108cm
r
V
elde edilir.
KONİ
17.7. Tanım: Uzayda, düzlemsel kapalı bir C eğrisi ile, bu düzlemin dışında bir T noktası verilsin. T noktası ile C eğrisinin her noktasından geçen doğruların oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir.
17.8. Tanım: Konik yüzeyde tanımlı düzlemsel kapalı C eğrisine taban eğrisi (dayanak eğrisi), C eğrisinin düzlemi dışındaki T noktasına, bu konik yüze-
yin tepe noktası, tepe noktası ile C eğrisinin her noktasından geçerek konik yüzeyi oluşturan doğru parçasına ise, konik yüzeyin ana doğruları denir.
17.9. Tanım: Taban eğrisi kapalı bir eğri olan konik yüzeyin tüm ana doğ- rularını kesen bir düzlemle tepe noktası arasında kalan cisme koni denir.
Şekilde E düzlemi ile konik yüzeyin kesitine koninin tabanı, tepe noktası- nın tabana uzaklığına koninin yüksekliği, tabanının çevresini tepeye birleştiren eğri yüzeye de konininyanal yüzeyi denir.
Konikler tabanlarına göre; dairesel koni ya da eliptik şeklinde adlandırılır- lar.
17.10. Tanım: Tabanı daire olan ve yüksekliği tabanın merkezi ile tepe noktasından geçen koniye dik dairesel koni denir. Yükseklik ayağı taban merke- zinden geçmeyen koniye de eğik dairesel koni denir.
Dik dairesel konide bütün ana doğrular birbirine eşittir ve yüksekliği simetri eksenini oluşturur.
Örnek: Taban yarıçapı 5cm olan bir dik dairesel koninin ana doğrusunun uzunluğu 13 cm dir. Bu koninin simetri ekseninden geçen düzlemle ara kesiti olan üçgenin alanını bulunuz.
Çözüm: Bir dik dairesel koninin merkezinden geçen düzlemle kesiti ikizke- nar üçgendir. 5-12-13 üçgeninden h12cm
cm2
2 60 12 . 10 2
PO . ) AB B A T (
A
elde edilir.
17.1. Sonuç: Bir koninin, tepe noktası ile tabanını kesen düzlemle kesiti her zaman bir üçgendir.
17.2. Sonuç: Bir dairesel koninin tabanına paralel bir düzlemle kesiti yine bir dairedir.
17.5. Teorem: Bir dairesel koninin tabanına paralel bir düzlemle kesitinin yarıçapları oranı, tepe noktasından bu kesitlere olan uzaklıklarının oranına eşittir.
Tepe noktası T ve tabanı A1B1 çaplı daire olan koninin taban düzlemi ile O2 merkezli A2B2 çaplı çemberin düzlemi paralel olduğundan,
] O C //[
] O C
[ 1 1 2 2 ve[O1H1]//[O2H2] dir. A.A.A. benzerlik teoreminden TC2O2
TC1O1
olup,
1 2 1 1
2 2 1 2
r r C O
C O TO
TO
veTC2H2
TC1H1
olup,
1 2 1 2 1
2
h h TH TO TO
TO
dir. O halde,
1 2 1 2
h h r
r eşitliği ispatlamış olur.
Örnek: Yüksekliği 15 cm ve tabanının yarıçapı 6 cm olan bir koni, taban düzlemine paralel bir düzlemle tabandan 10 cm uzaklıkta kesiliyor. Düzlemde ko- ninin kesiti olan dairenin yarıçapını bulunuz.
Çözüm: 17.5. teoremden h1 15cm olduğundan h2 15105cmdir.
Buna göre,
1 2 1 2
r r h h
6 r 15
5 2 cm 2 r2 dir.
Dik Dairesel Koninin Alanı
Koni, taban kenar sayısı sonsuza yaklaşan bir piramittir. Bu yüzden koninin alan ve hacim hesaplarında piramidin alan ve hacim hesaplarını kullanarak ispat yapacağız.
17.6. Teorem: Bir dairesel koninin yanal alanı, taban çevresi ile ana doğru- sunun uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.
ra A
İspat: Koninin yan yüzeyini [AB], [BC], [CD], … , [EF] eş tabanlı üçgenle- re ayırırsak,
2
) EF DE CD BC AB (
AY h1
dir. Koninin tabanının kenar sayısı sonsuza giderse, a r1 olur ve EF
, DE , CD , BC ,
AB uzunlukları sıfıra yaklaşarak Yay(AF) nı oluştururlar.
r 2 ) AF (
Yay olduğundan,
2 ra r 2 .
AY a
bulunur.
17.3. Sonuç: Bir dik dairesel koninin alanı, )
r a ( r r ra
A 2 dır.
Örnek: Bir dik dairesel koninin taban yarıçapı 3 br ve yüksekliği 3 3br olduğuna göre, bu koninin yanal alanını ve toplam alanını bulunuz.
Çözüm: Yandaki şekilde, TOB dik üçgeninde Pisagor teoreminden,
2 2 2
3 ) 3 3 (
TB ise TB 6cm
bulunur. Dik dairesel koninin yanal alanı, br2
18 6 . 3 . ra
A toplam alan,
cm2
) 1 3 ( 9 ) 3 3 3 .(
3 . ) r a ( r
A
bulunur.
Örnek: Yandaki şekil, tepe noktası T ve ana doğrusunun uzunluğu 20 cm olan bir dik dairesel koninin yan yüzerinin açılımıdır. Buna göre bu koninin tabanı- nın yarıçap uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
AB yay parçasının uzunluğu koninin tabanının çevresine eşit olacağından; T mer- kezli dairenin çevresi 40 olup,
cm2
360 32 . 40 .
AB 288
dir. 2r32cmiser16cm bulunur. O halde koninin tabanının alanı,
2 2
2 .16 256 cm
r
A bulunur.
Dik Dairesel Koninin Hacmi
17.7. Teorem: Bir dairesel koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.
h 3 r V1 2
İspat: Dairesel koni, taban kenar sayısı sonsuza giden bir piramit olarak düşünebileceğinden, hacmi de piramitlerde olduğu gibi aban alan ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşit olur. Tabanının yarıçapı r, yüksekliği h olan dairesel koninin hacmi,
3 2
T r hbr
3 h 1 3A
V1
olur. (Bu formül hem dik hem de eğik koniler için geçerlidir.)
Örnek: Tabanının yarıçap uzunluğu 8 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 17 cm olan dik dairesel koninin toplam alanını ve hacmini bulunuz.
Çözüm: 5-15-17 üçgeninden, h15cm olur. Buna göre dik dairesel koni- nin toplam alanı,
cm2
200 ) 17 8 .(
8 . ) r a ( r
A
bulunur. Dik dairesel koninin yüksekliği h15cm olduğundan hacmi,
3 2
2 815 320 cm
3 h 1 3 r
V1
elde edilir.
Örnek: Şekilde ABCD bir iç bükey dörtgendir. AD[BC], AB 15cm, cm
13
BD ve BO OC12cm olduğuna göre, bu dörtgen AO doğrusu etrafı- na 180 döndürüldüğünde, oluşan cismin hacmini bulunuz. 0
Çözüm: ABCD içbükey dörtgeninin AO doğrusu etrafında 180 döndürül-0 mesiyle oluşan cisim, tabanı O merkezli, yarıçapı 12 cm olan daire ile yükseklikleri 5 ve 9 cm olan içiçe iki dik dairesel konidir. Büyük koninin hacmini V1 ve küçük koninin hacmini V2 dersek,
2 2
2 2
1 (12 .9 12 .5) 192 cm
3 V 1 V
V
bulunur.
Kesik Koni
17.11. Tanım: Bir koni taban düzlemine paralel bir düzlemle kesildiğinde kesit ile taban düzlemi arasında kalan cisme kesik koni denir. Kesik koninin kesite üst taban, iki taban arasındaki uzaklığa kesik koninin yüksekliği denir.
Kesik koniler dik ve eğik olmak üzere iki çeşittir.
Dik Dairesel Kesik Koninin Alanı
17.8. Teorem: Dik dairesel kesik koninin yanal alanı, tabanların çevreleri- nin toplamı ile ana doğrusunun uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.
) r r ( a .
AY 2 1
İspat: Kesik koninin yanal alanı, tepe noktası T ve tabanı O2 merkezli daire olan büyük koninin yanal alanı ile, tepe noktası T ve tabanı O1 merkezli daire olan küçük koninin yanal alanının farkına eşit olacağından,
1 1 2 2
Y ra ra
A (1)
dir. TBO2
TAO1
benzerliğinden,
1 2 1 2
r r a
a dir. Orantı özelliğinden,
1 2 1 2
1 2 1
1 2
2
r r
a r
r a a r a r a
dir. Buna göre,
1 2 2
2
r r
a r
a
olduğundan
1 2
2
2 r r
r . a a
(2)
1 2 1
1
r r
a r
a
olduğundan
1 2
1
1 r r
r . a a
(3)
olur. (2) ve (3) değerleri (1) de yerine yazılırsa,
1 2
1 1 1 2
2 2
Y r r
r . r a r r
r . r a A
(r r ) r
r a
. 2
1 2 2 1 2
.a(r2r1) bulunur.
17.4. Sonuç: Dik dairesel kesik koninin toplam alanı, alt ve üst tabanlarının alanları ile yanal alanının toplamına eşit olacağından,
) r r ( a . r r
A2212 2 1 dir.
Dairesel Kesik Koninin Hacmi
17.9. Teorem: Taban yarıçapları r1 ve r2 , yüksekliği h olan herhangi bir dairesel kesik koninin hacmi,
) r . r r r ( h 3 .
V1 22 12 2 1
dir.
İspat: Dairesel kesik koni, tabanlarının kenar sayıları sonsuza giden kesik piramit gibi düşünelim. Kesik piramidin hacminin,
1 2 1 2
1 G G .G ).h
G 3(
V1
olduğunu 16.13. teoremde ispatlanmıştı, G1 ve G2 alanlarını koni için bulup yazar- sak,
) r . . r . r . r . ( 3h
V1 12 22 12 22
) r r r r ( h 3 .
V1 12 22 1. 2 bulunur.
Örnek: ABCD dik yamuğunda m(Aˆ)900, DC4cm, cm
10 CB
AB dir.
Bu yamuğun [AD] kenarı etrafında 360 döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini 0 ve toplam alanını bulunuz.
Çözüm: ABCD dik yamuğu, [AD] kenarı etrafında 360 döndürülmesiyle 0 oluşan cisim, bir dik dairesel kesik konidir.
C noktasından, [AB] na bir dik inildiğinde, DC AH 4cm olacağından cm
6
HB ve CHB dik üçgeninde Pisagor teoreminden, CH DA 8cm bulu- nur. Buna göre, dik dairesel kesik koninin taban yarıçapları r1 10cm, r2 4cm ve yükseklik h8cm olduğundan, bu kesik koninin hacmi;
) r r r r ( h 3 .
V1 12 22 1. 2
.8(10 4 10.4) 3
1 2 2
416cm3
bulunur. Dönel kesik koninin toplam alanı ise;
) r r ( a . r r
A2212 2 1 10242.10(104) 256cm2
bulunur.
KÜRE
17.12. Tanım: Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerine küre yüzeyi, küre yüzeyi ile sınırlanan cisme de küre denir.
Uzayda alınan bu sabit noktaya kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi arasın- daki sabit uzaklığa kürenin yarıçapı, küre yüzeyinde alınan farklı iki noktayı bir- leştiren doğru parçasına kürenin kirişi, merkezden geçen kirişe de kürenin çapı denir.
Bir Küre İle Bir Düzlemin Birbirlerine Göre Konumları
Bir küre ile düzlemin birbirine göre üç farklı konumu vardır. Yarıçapı r ve kürenin merkezinin düzleme uzaklığı d olmak üzere;
1. dr ise, küre ile düzlemin ara kesiti boş kümedir.
2. dr ise, küre bir T noktasında düzleme teğettir. Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktadır. Bu noktaya değme noktası, düzleme de teğet düz- lemi denir.
3. dr ise, düzlem küreyi keser ve ara kesiti bir dairedir.
Bu ara kesit dairenin yarıçapı;
2 2
1 r d
AO
dır.
17.10. Teorem: O merkezli küre H noktasında E düzlemine teğet ise E
] OH
[ dir.
O merkezli küre ile E düzleminin ara kesiti H noktası [OH]E dir.
İspat: K noktasının küre düzleminin ara kesiti olan H noktasından farklı bir nokta olduğunu varsayalım. Bu durumda [OH]E olduğundan, OKH üçgeni dik üçgendir. Buradan OK OH olur. Oysa küre ile düzlem teğet olduğundan, düz- lem ile kürenin merkezi arasındaki en kısa uzaklık OK olur. Bu çelişkiden, H noktası K noktası ile çakışıktır.
17.11. Teorem: Bir küre yüzeyinin bir düzlemle ara kesiti bir çember, kü- renin düzlemle ara kesiti bir dairedir.
İspat: Merkezi O noktası ve yarıçapı r olan bir küre E düzlemi ile kesiliyor.
d, küre merkezinin düzleme uzaklığıdır. Küre ile düzlemin ara kesiti üzerinde alı- nan bir A noktası için, küre merkezinin düzleme uzaklığı, OO1 d ve
] AB [ ] OO
[ 1 olduğundan, AO1 r1 olmak üzere OAO1 dik üçgeninde Pisagor teoreminden;
2 1 2
1 OA OO
AO r1 r2d2
olur. O halde, ara kesit üzerindeki A noktaları, sabit O1 noktasına eşit uzaklıkta bulunurlar. Buna göre, ara kesit kümesi bir çemberdir. Bu çemberle sınırlanan düz- lemsel bölge de daire olur.
Örnek: Yarıçapı 13 cm olan bir kürenin merkezinden, d5cm uzaklıkta bulunan düzlemle ara kesiti bir dairedir. Bu dairenin alanını bulunuz.
Çözüm: Şekilde görüldüğü gibi OA d5cm ve OB 13cm olduğun- dan OAB dik üçgeninde, AB 12cm bulunur. A merkezli dairenin yarıçapı 12 cm olup alanı,
2
2 144 cm
r .
A bulunur.
Kürenin Alanı
17.12. Teorem: Yarıçap uzunluğu r olan bir kürenin alanı, A4.r2 dir.
İspat: Kürenin alanı, AB 2r çaplı yarım çemberin, [AB] etrafında 3600 döndürülmesiyle oluşan r yarıçaplı küre yüzeyinin alanıdır. Bu yarım çemberin
içine, herhangi bir yarım düzgün BCDEFA çokgenini çizelim. Bu düzgün çokgenin iç teğet çemberinin yarıçapına r' diyelim.
BCDEFA düzgün yarım çokgenin [AB] etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin alanına Y diyelim ve bu alan [AF], [FE], [ED], [DC], [CB] nın döndürülme- siyle oluşan alanların toplamına eşit olacağından,
B ' C ' r 2 ' C ' D ' r 2 ' D ' E ' r 2 ' E ' F ' r 2 ' AF ' r 2
Y
) B ' C ' C ' D ' D ' E ' E ' F ' AF ( ' r 2 Y
r 2
r ' r 4 Y
bulunur. Burada düzgün yarım çokgenin kenarlarının sayısı sonsuz sayıda artırılır- sa, [AB] çaplı yarım çember oluşur. Bu durumda yarım çokgenin çevresi [AB] çap- lı çemberin çevresine, r' yarıçapı r yarıçapına ve Y alanı da kürenin alanına erişir.
O halde, r'r için r2
4 r 2 . r . 2
A elde edilir.
17.5. Sonuç: Bir kürenin alanı bir büyük dairesinin alanının dört katına eşit- tir.
Kürenin Hacmi
17.13. Teorem: Yarıçapı r olan kürenin hacmi;
r3
3 V4
tür.
İspat: Bir (Or) küresine teğet olan E düzleminin üzerine, taban yarıçapı r ve yüksekliği 2r olan bir dik silindiri oturtalım. Silindirin merkezi T ise, silindirin ta- banlarının T ile ayrı ayrı belirttiği konileri silindirden çıkaralım. Silindirden geri kalan kısım ile kürenin hacmini karşılaştıracağız.
T den d uzaklığında (d r) ve E ye paralel olan F düzlemi ile bu cisimlerin arake- sitlerini inceleyelim.
Silindirden kalan parça ile F nin arakesiti, iç yarıçapı d ve dış yarıçapı r olan bir daire halkası; küre ile F nin arakesiti yarıçapı r2d2 olan bir daire olacaktır.
Bunların ayrı ayrı alanlarını bulalım. Halkanın alanı A1 ve dairenin alanı A2 olmak üzere,
2 2
1 r d
A ve A2( r2d2)2r2d2
olup A1A2 dir. Buna göre, silindirden kalan parça ile kürenin E ye paralel her düzlemle arakesitlerinin alanları eşit olmaktadır.
O halde, Cavalieri ilkesine göre bu katı cisimlerin hacimleri eşittir. Buna göre silindirin hacminden, belirtilen konilerin hacimlerini çıkarırsak geriye kürenin hacmi kalır.
koni silindir 2.V V
V
r 3 r .1 2 r 2 r
V 2 2
r3
3 V4
elde edilir.
Örnek: Hacmi alanına eşit olan kürenin yarıçapını bulunuz.
Çözüm: A4r2 ve r3 3 V 4
3
2 r
3 r 4 4
cm 3 r
Örnek: Yarıçapları 3 olan yarım küre ile bu yarım kürenin tabanını taban kabul eden ve tepe noktası küre yüzeyi üzerinde bulunan dik koninin alan ve ha- cimlerini bulunuz.
Çözüm: Yarım kürenin alanı ve hacmi sırasıyla,
2 2
2 1
1 .4 .3 18 cm
2 r 1 4 2.
A 1
3 3
3 1
1 .3 18 cm
3 .4 2 r 1 3 .4 2
V 1
dir. AO TO 3cm ve a AT 3 2cm olduğundan koninin alanı ve hacmi sırasıyla,
2
2 r(a r) .3(3 2 3) 9(1 2) cm
A
3 3
3
3 .3 9 cm
3 r 1 3 .
V 1
bulunur.
17.14. Teorem: Yarıçapı r1 ve r2 olan kürenin alanları oranı
2
2 1 2 1
r r A
A
ve
hacimleri oranı
3
2 1 2 1
r r V
V
dir.
İspat: A1 4r12 ve A2 4r22 olacağından
2
2 1 2 1
r r A
A
dir.
1 r13 3
V 4 ve 2 r23 3
V 4 olacağından
3
2 1 2 1
r r V
V
dir.
Küre Kuşağı
17.13. Tanım: Bir küre yüzeyinde paralel iki düzlem arasında kalan parça- sına küre tabakası denir.
Birbirine paralel düzlemsel kesitle kuşağında O1 ve O2 merkezli çemberler, küre kuşağında ise çemberlerdir. Bu düzlemsel kesitlere, küre kuşağının tabanla- rı, tabanlar arasındaki uzaklığına da küre kuşağının yüksekliği denir. Küre kuşağı alttan-üstten açık ve üstü açıktır.
17.15. Teorem: Küre kuşağının alanı, kürenin büyük çemberinin çevresinin uzunluğu ile küre kuşağının yüksekliğinin çarpımına eşittir.
r yarıçaplı h yüksekliğindeki küre kuşağının alanı A2rh
İspat: Verilen şekilde görülen küre kuşağı AB çember yayının O1O2 2r çapı etrafında döndürülmesiyle oluşur. Bu kuşağı alanı, Yay(AB) düzgün çokgen parçasının oluşturduğu alanının limiti olarak düşünelim. Bu durumda, r yarıçaplı bir küreden kesilen h yüksekliğindeki küre kuşağının alanı;
h . r . 2 O O . r . 2
A 1 2 olur.
Küre Kapağı
17.14. Tanım: Bir küre yüzeyinin bir düzlemle kesilmesi sonucu elde edi- len parçalardan her birine küre kapağı denir.
17.16. Teorem: Bir küre kapağının yarıçapı r ve yüksekliği h ise, bu küre kapağının alanı,
h . r . 2 A dir.
İspat: Şekilde görüldüğü gibi küre kapağı bir tabanı sıfır olan küre kuşağı olduğundan, küre kuşağının alan hesaplaması ile küre kapağının alan hesaplaması aynı olacağından,
h . r . 2 A bulunur.
Küre Kesmesi (Topacı)
17.15. Tanım: Bir daire kesmesinin kendisini kesmeyen bir çap etrafında döndürülmesinden oluşan cisme küre kesmesi (topacı) denir.
Küre kesmesi, ABDC küre kuşağı ile AOD ve BOC koni yüzeyleri tarafın- dan sınırlanan bir cisimdir. Küre kesmesi, tepeleri kürenin merkezinde, tabanları küre kuşağı üzerinde bulunan sonsuz sayıda konilerin toplamı şeklinde düşünülebi- lir.
17.17. Teorem: Bir küre kesmesinin yarıçapı r ve yüksekliği h ise, bu küre kesmesinin hacmi,
h 3 r V2 2
dir.
İspat: AOD ve BOC koni yüzeylerinin yanal alanları r olacağından küre kuşağının alanı A2rh olacağından, küre kesmesinin hacmi;
h 3 r rhr 2 32 Ar 1 3
V1 2 bulunur.
Küre Parçası
lanan cisme küre parçası denir. Yani küre parçası, içi boş küre kapağının içi dolu halidir. Küre parçasının yüzey alanı küre kapağıdır.
17.19. Teorem: Yarıçapı r, yüksekliği h olan küre parçasının hacmi, )
h r 3 ( 3 h
V1 2
dir.
İspat:
Küre parçası, (OBCA) küre kesmesiyle (OAB) konisinin hacimleri farkı olacağın- dan,
) h r ( 3 r h 1 3 r
V 2 2 12
olur. ACD dik üçgenini Öklid teoremi uygulanırsa r12 h(2rh) olacağından, )
h r )(
h r 2 ( 3 h h 1 3 r
V 2 2
) h r 3 ( 3 h
V1 2
bulunur.
Örnek: Yarıçapı 12 cm olan bir kürenin merkezinden 9 cm uzaklıkta bulu- nan bir düzlemle kesilerek elde edilen küre kapağının alanı ile küre parçasının hacmini bulunuz.
Çözüm: hCO1 1293cm ve r12cm sırasıyla küre kapağının alanı ve küre parçasının hacmi,
cm2
72 3 . 12 2 h . r . 2
A
3 2
2 3 (3.12 3) 99 cm
3 ) 1 h r 3 ( 3 h
V1
olur.
Küre Tabakası
17.17. Tanım: Bir kürede paralel iki düzlem arasında kalan parçasına küre tabakası denir. Küre kuşağı küre tabakasının yanal yüzü olup, küre kuşağı alttan ve üstten açıkken, küre tabakası ise kapalıdır.
Birbirine paralel düzlemsel kesitle kuşağında O1 ve O2 merkezli çemberler, küre tabakasında ise dairelerdir. Bu düzlemsel kesitlere, küre tabakasının taban- ları, tabanlar arasındaki uzaklığına da küre tabakasının yüksekliği denir.
17.20. Teorem: r yarıçaplı h yüksekliğindeki küre tabakasının hacmi, )
h r 3 r 3 .(
h 6 .
V 1 12 22 2
dir.
Bu teoremin ispatı okuyucuya bırakılmıştır.
17.18. Tanım: Bir kürenin bir çapından geçen iki yarım düzlem arasında kalan kısmında küre dilimi denir.
17.21. Teorem: Bir kürenin bir çapından geçen iki yarım düzlem arasındaki merkez açının ölçüsü α ise,
a) Küre diliminin yüzey alanı;
90 A r
2 1
b) Küre diliminin tüm alanı; 2
2
90 r A r
c) Küre diliminin hacmi;
270 V r
3
dir.
İspat: a) Düzlem arasındaki merkez açının ölçüsü α ise, 3600 alanı A4r2 ise
α0 alanı A1 dir.
……..
90 r r 360
4 A
2 2
1
olur.
b) Küre diliminin tüm alanı, kürenin merkezinden kesilen bir karpuz dilimi gibi düşünülürse, küre diliminin yüzey alanı ile iki yan yüzeyin alanı r yarıçaplı dairenin alanı olur.
2 2
2 2
90 r r 2
r 2 90
Ar
c) Küre diliminin hacmi,
3600 alanı r3
3
V 4 ise α0 alanı V1 dir.
270 r r 360
3 V 4
3 3
1
bulunur.
Örnek: Yarıçapı 6 cm olan bir kürede, merkez açısının ölçüsü 600 olan bir küre diliminin alanını ve hacmini bulunuz.
Çözüm: Sırasıyla küre diliminin alanını ve hacmini
2 2
2 2 2
cm 60 90 6
60 . r 6
90
Ar
3 3
3
cm 270 48
60 . 6 270
Vr bulunur.
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAVI SORULARI
1. Taban yarıçapı 1 ve 2, yüksekliği 3 olan kesik koninin hacmi nedir?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Çözüm:
r1 = 1 , r2 = 2 , h = 3 olduğuna göre, kesik konu hacim formülüne göre,
3(2 1 2.1) 7
3 ) 1 r r r r ( 3 h
V 1 12 22 1 2 2 2 br2
bulunur.
(1966 ÜSS) Cevap: C
2. Kenarları a ve b olan dikdörtgenin a kenarı etrafında dönmesinden mey- dana gelen silindir ile b kenarı etrafında dönmesinden meydana gelen silindirin hacimleri arasındaki oran nedir?
A)
1 B) 1 C) a
b D) 2 a
b E) 3 a b
Cevap:
Şekil 1 de yarıçap b, yükseklik a dır. V1 b2a Şekil 2 de yarıçap a, yükseklik b dır. V2 a2b dir. Taraf tarafa bölersek,
b a
a b V V
2 2
2 1
a b V V
2 1 olarak bulunur.
(1966 ÜSS) Cevap: C
3. Hacimleri eşit iki silindirin yan alanları arasındaki oran aşağıdakilerden hangisidir?
A) h h
B) r
r
C) r r
D) r r2
E) h h2
Çözüm: Silindirlerin hacmi V'r'2h' ve Vr2h olarak kabul edelim.
Hacimler eşit olduğundan V' = V ise 2
2
' r r h
'
h olur. Diğer taraftan bu iki silindirin yan alanları s’ ve s olsun. Bu takdirde,
' h ' r 2 '
s ve s2rh ' r
r ' r . r
r '.
r rh
' h ' r s
' s
2 2
bulunur.
(1967 ÜSS) Cevap: B
4. Çapı d olan kürenin hacmi çap cinsinden yazılsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
A) d3
3
v 4 B) d3 3
v2 C) d3 6
v1
D) d3
3
v1 E) d3 2 v1
Çözüm: Kürenin hacmi yarıçap r ise r3 3
v 4 dür. d = 2r 2
rd verildi-
ğinden 3
3
6 d 1 2 d 3
V 4
olarak bulunur.
(1968 ÜSS) Cevap: C
5. Dik kenarları x, y olan bir dik üçgen, önce x dik kenarı, sonra y dik kena- rı etrafında döndürülürse elde edilen konilerin hacimleri oranı aşağıdakilerden han- gisidir?
A) y x B)
y x 3 C)
y 3
x D) x y E)
y
x
Çözüm: Dik kenarları x, y olan bir dik üçgen, önce x dik kenarı, sonra y dik kenarı etrafında döndürülürse,
şekilleri elde edilir. x ekseni etrafında döndürülünce r = y , h = x olduğuna göre, x
3 y h 1 3 r
H1 1 2 2
y ekseni etrafında döndürülünce r = x , h = y olduğuna göre, y
3 x h 1 3 r
H2 1 2 2
bulunur. Bulunan bu konilerin hacimleri oranı,
x y y 3 x 1
x 3 y 1 H H
2 2
2
1
(1974 ÜSS) Cevap: D
6. Ayrıtlarından biri s uzunluğunda olan bir küpün içine, teğet bir küre çizi- liyor. Küpün bir köşesinin, kürenin yüzüne olan uzaklığı aşağıdakilerden hangisi- dir?
A) 2
) 1 3 (
s
B) 3
) 3 3 (
s
C) 3 s1 D) 2
2 s E)
2 3 s
Çözüm: Verilere göre,
şeklini çizelim. Buna göre, Kürenin yarıçapı
2
s
Köşeden kürenin merkezine uzaklığı 2
s
3
Köşeden kürenin yüzeyine uzaklığı
2 ) 1 3 ( s 2 s 2
s
3
dir.
(1974 ÜSS) Cevap: A
7. Bir silindirin yanal alanı 20 ve yüksekliği 10 birim olduğuna göre hacmi kaç birim küptür?
A) 2 B) 20 C) 10 D) 40 E) 200
Çözüm: Yanal alan = 2rh 20 = 2r.10 r = 1
Silindirin hacmi ise,
H = r2h = 12.10 = 10
olarak bulunur.
(1976 ÜSS) Cevap: C
8. Bir kürenin, merkezinden 4 cm uzaklıktaki kesitlerin çevresi 6 olduğuna göre bu kürenin yarıçapı kaç cm dir?
A) 5 B) 22 C) 6 D) 52 E) 8 Çözüm: Verilere göre
şeklini çizelim. Kesitin çevresi 6 olduğuna göre;
k 6 2
cm 3
k
dir. OKA dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanırsa, 25
3 4 k 4
r2 2 2 2 2 5
r olarak bulunur.
(1977 ÜSS) Cevap: A
9. Bir dönel koni, tabana paralel üç düzlemle kesilerek, yükseklikleri eşit olan dört parçaya ayrılıyor. Tepeden birinci parçanın hacminin ikinci parçanın hacmine oranı nedir?
A) 7
1 B) 6 1 C)
4
1 D) 3 1 E)
2 1
Çözüm:
Yüksekliği TN doğrusu olan koninin hacmi; MN TN 3
V1 1 2 Yüksekliği TR doğrusu olan koninin hacmi; PR TR
3 V2 1 2 TRP üçgeninde MN doğrusu orta tabandır. PR = 2MN
Üst koninin hacmi V1 iken alt koninin hacmi V2–V1 dir.
7 1 TN 3 MN
TR 1 ) MN 2 3 ( 1
TN 3 MN
1 V
V V
2 2 2
1 2
1
(1978 ÜSS) Cevap: A
10.
Yukarıda aynı merkezli ikişer çemberden oluşan I, II, III, IV, V şekillerinde dıştaki çemberler, eş (eşit) tabanlı beş dik koninin tabanlarını göstermektedir. İçteki çem- berler ise tabana eşit uzaklıktaki dik kesitlerin, taban üzerindeki dik izdüşümleridir.
Hangi şekilde gösterilen koninin yüksekliği en büyüktür?
A) I B) II C) III D) IV E) V Çözüm: Verilere göre
şekli çizilebilir.
(1981 ÖSS) Cevap: A
11.
Taban çapı 2R = 20 cm olan silindir biçimindeki bir kapta, başlangıçta 200 cm3 su vardır. Bu kaba yeniden su konmakta ve kaptaki suyun h yüksekliği, t zamanına göre
h = at+b
bağıntısı ile değişmektedir. Bu kaba su konmaya başladıktan 2 sn sonra suyun yük- sekliği 8 cm olduğuna göre, 3 sn daha sonra (beşinci saniye sonunda) suyun yük- sekliği kaç cm olur?
A) 32 B) 23 C) 19 D) 17 E) 14 Çözüm: r = 10 cm olduğundan başlangıçta
102h = 200
h = 2 cm
olarak bulunur. h = at+b bağıntısına göre b = 2 dir. Soruda 2 sn de 8–2 = 6 cm daha yükseldiğine göre, 3 sn de 9 cm daha yükselir. Buna göre toplam 17 cm daha yük- selir.
(1981 ÖSS) Cevap: D
12. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden 3
R uzaklıkta bir düzlemde kesi- liyor. Elde edilen kesitin alanı kaç R2 dir?
A) 9
8 B) 2 C) 3
4 D) 9
4 E) 3 8
Çözüm: Kürenin merkezi O, kesitin yarıçapı a, kesitin merkezi B olsun. Bu takdirde,
şekli çizilebilir. Şu halde
3 R 2 2 9 R R a
2
2
dir. Buna göre kesitin alanı,
2
2 R
9 a 8 A biçimindedir.
(1982 ÖYS) Cevap: A
13.
Yukarıdaki I. şekil taban çapı 4 cm, yüksekliği 10 cm olan bir silindir. Bu silindir- deki suyun yüksekliği h dır. Bu kap 450 lik açı yapacak biçimde eğildiğinde su dü- zeyi şekildeki gibi kabın ağzına dayanmaktadır. Buna göre h kaç cm dir?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 8 E) 5
Çözüm: 450 eğik silindirin boş kısmı ikizkenar dik üçgendir.
MNP üçgeni ikizkenar dik üçgendir. MN = MP = 4 cm dir. Şekil eski konu- ma getirilirse su yüzeyi olan NP nin orta noktasından MN ye çizilen paralel su seviyesi olur. Bu sebeple MT = 2 cm olup, h = 8 cm dir.
(1982 ÖYS) Cevap: D
14.
Şekildeki dik silindirde AB ana doğru, BD doğru parçası taban çapıdır. C taban çevresi üzerinde bir nokta,
AB = 8 cm BD = 10 cm CD = 8 cm olduğuna göre ACD üçgeninin alanı kaç cm2 dir?
A) 32 B) 36 C) 40 D) 44 E) 48
Çözüm: AB BD ve BC CD olduğundan “Üç dikme” teoreminden CD
AC dir. Pisagor teoreminden,
2 2
2 BC CD
BD
2 2
2 BC 8
10
6 BC ve
2 2
2 AB BC
AC
2 2 2
6 8
AC
10 AC ise
2 40 8 . 10 2
CD ) AC
ACD (
A
(1982 ÖYS) Cevap: C
15.
İç içe girilmiş ve yükseklikleri eşit, dik silindir biçimindeki iki kaptan dıştakinin çapı içtekinin çapının iki katıdır. İçteki kap ağzına kadar su ile dolu iken tabanına çok yakın bir delik açılırsa, ikisi arasındaki boşlukta su hangi yüksekliğe çıkar?
(İçteki kabın kalınlığı önemsenmeyecektir.)
A) 2
h B) 4
h C) 3
h D) 3
h
2 E) 4
h 3
Çözüm: İçteki küçük silindirin yarıçapı r olsun, buna göre dıştaki büyük si- lindirin yarıçapı 2r dir. Delik açıldıktan sonra suyun yüksekliği k olsun. Bu durum- da,
k ) r 2 ( h
r2 2
ise
4 k h olarak bulunur.
(1983 ÖSS) Cevap: B
16.
Yandaki şekilde küre için yerleştirilmiş silindirin yüksekliği 8 cm ve hacmi cm3
72 olduğuna göre, kürenin yarıçapı kaç cm dir?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
Çözüm:
r28 72 ise r3 dir. Pisagor teoremine göre,
2 2
2 AC AC
AB
2 2
2 h (2r)
) R 2
(
2 2
2 8 (2.3) R
4
5 R olarak bulunur.
(1983 ÖYS) Cevap: 5
17.
Şekilde P düzlemi üzerine konmuş kürenin çapı 10 cm, tabanı P üzerinde bulunan dik dönel koninin taban çapı da 16 cm dir. P düzleminden 8 cm uzaklıktaki bir Q düzleminin küre ve koni ile arakesit dairelerinin alanları eşit olduğuna göre, koni- nin yüksekliği kaç cm dir?
A) 32 B) 24 C) 20 D) 16 E) 12 Çözüm:
OAB dik üçgeninde;
2 2
2 AB OA
OB
2 2
2 AB 3
5
4 AB cm dir. Buna göre verilere göre,
4 CD
AB cm
olur. Ayrıca TPE üçgeni TCD üçgeni benzerdir.
DT ET CD
PE TC
TP
4 8 TC
CP
TC
4 8 TC
8 TC
8 TC cm
16 8 8 TC
PC cm
(1984 ÖYS) Cevap: D
18. 10 cm boyunda 1 cm çapında silindir biçimindeki 10 kalem beşerli iki sıra halinde, dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya konulacaktır. Bu kutunun hacmi en az kaç cm3 olmalıdır?
A) 300 B) 200 C) 150 D) 100 E) 50 Çözüm:
Kutunun hacmi, V2.5.10100cm2 dir.
(1984 ÖSS) Cevap: D
19. Yüksekliği 60 cm ve taban kenar uzunluğu a cm olan kare prizma su ile doludur. Yarıçapı a cm olan bir silindirin prizmadaki suyun tamamını alabilmesi için yüksekliği en az kaç cm olmalıdır? ( = 3 alınız)
A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 15 Çözüm:
Kare prizmanın hacmi V60a2 Silindirin hacmi Va2h
h a a
60 2 2 ise h20cm
(1987 ÖSS) Cevap: B
20. {(x,y):x0,xy2,3xy6} bölgesinin y–ekseni etrafında dön- mesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
A) 16 B) 3
64 C) 3
32 D) 3
16 E) 4 Çözüm:
Büyük koninin hacmi
8
3 6 . 2 V .
2 1
Küçük koninin hacmi
3 8 3
2 . 2 V .
2 2
İki koni arasındaki fark 1 2 br3 3 16 3 8 8 V
V
(1989 ÖYS) Cevap: D
21.
Taban alanı S olan yandaki dik konide, alanları S1, S2 olan tabana paralel iki kesit ve bu kesitlerin merkezleri verilmiştir. TC= 2 cm, TA= 1 cm ve S = S1 + S2
olduğuna göre, AB kaç cm dir?
A) 5 B) 2 C) 31 D) 21 E) 3 2 Çözüm: Verile koninin bir kesiti aşağıdaki şekildeki gibi olsun.
TAK üçgeni TCM üçgenine benzerdir.
2
2 1 TC
TA
4 1 S S2
4 S2 S
TBL üçgeni TCM üçgenine benzerdir.
2
2 x 1 TC
TC
4 ) x 1 ( S
S1 2
4
) x 1 ( S S
2 1
2
1 S
S S
4 ) x 1 ( S 4 S S
2
)2
x 1 ( 1 4
3 ) x 1
( 2 1 3 x
(1990 ÖYS) Cevap: C
22.
Şekildeki dönel koninin tepesi T, taban merkezi O, yüksekliği 3 cm, taban yarıçapı 4 cm dir. Çember üzerindeki A ve B noktaları O ve T ye birleştirilmiştir.
600
) B Oˆ A (
m , m(ATˆB) olduğuna göre cos değeri kaçtır?
A) 25 17 B)
25 19 C)
25
21 D) 5 3 E)
5 4
Çözüm: 3–4–5 üçgeninden TB 5 cm dir.
TAB üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa,
5 5 2.5.5.cos
42 2 2
25 cos17 bulunur.
(1993 ÖYS) Cevap: A
23. Kenarları, 60 cm ve 80 cm olan dikdörtgen biçimindeki karton, büküle- rek dik silindir biçiminde bir boru haline getirilecektir. Bükme işlemi uzun kenar ve kısa kenar üzerine yapıldığında elde edilecek iki farklı boru silindirin yan alanla- rı oranı kaçtır?
A) 1 B) 2
1 C) 3
2 D) 4 3 E)
5 4
Çözüm:
Yanal alan oranı, 80 1 . 60
60 . 80 olur.
(1995 ÖSS) Cevap: A 24. Taban yarıçapı 8 cm, yanal yüzeyinin alanı 96 cm2 olan bir dönel ko- ninin, yüksekliğinin bir ana doğrusuna oranı kaçtır?
A) 4
6 B) 3
5 C) 4
3 D) 3 2 E)
2 1
Çözüm: Koninin ana doğrusu a olsun. ra8a96a12
POB üçgeninde Pisagor teoreminden h282 122 h4 5 olur.
3 5 12
5 4 a
h
(1995 ÖSS) Cevap: B
25. Yanal alanı 135 cm olan bir dik koninin taban yarıçapı 9 cm dir. Bu koninin hacmi kaç cm3 tür?
A) 282 B) 292 C) 302 D) 312 E) 324
Çözüm: Koninin yanal alanı A135
9PB135 PB 15 cm
olur. POB dik üçgeninde, Pisagor teoremi uygulanırsa,
2 2
2 PO OB
PB
2 2
2 h 9
15 12 h cm bulunur. Koninin hacmi,
2 2
2 912 324 cm
3 h 1 3 r
V1 elde edilir.
(1998 ÖSS) Cevap: E
26.
Yukarıdaki şekil, ana doğrusunun uzunluğu a cm olan bir dik koninin açılımıdır.
Dik koninin hacmi 96 cm3 ve m(AOˆB)2160 olduğuna göre, OA OB a kaç cm dir?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 Çözüm:
Koninin çemberinin çevresi a 5 6 5 .3 a 360 2 .216 a 2
Ç
Koninin çemberinin yarıçapı a 5 r 6
2 ise 5
a r3
Pisagor teoreminden a2h2r2 ise 5
a h 4
Koninin hacmi
5 a 4 5
a 3 3 96 1 h 3 r H 1
2
2
ise a 10cm
(1998 ÖYS) Cevap: D
27.
Şekilde, taban yarıçapı 6 cm olan dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli kürenin yüzeyindedir. Dik koninin hacmi 216 cm3 olduğuna göre, küre- nin yarıçapı kaç cm dir?
A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15
Çözüm: r h
3 Vkoni 1 2
6 h
3 2161 2 h18cm
OHB dik üçgeninde HB 6 , OB R ve OH 18R olacağından Pisagor teo- reminden,
R2 62(18R)2 R10
elde edilir.
(1999 ÖSS-İ) Cevap: B
28. Denklemi 1
a y 3 x
olan doğru ve koordinat eksenleriyle sınırlı böl- genin x–ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan koninin hacmi 16 birim küptür.
Buna göre, a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) – 3 B) – 2 C) 0 D) 2 E) 4
Çözüm: 1
a y 3 x
ise (x 3)
3
ya doğrusu için 0
x için ya y0 için x3
Koninin hacmi formülünden;
h 3 r H1 2
3 3 a 161 2
4 a elde edilir.
(1999 ÖSS) Cevap: E
29.
Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 24 olan dik silindir biçimindeki bir kutunun alt tabanı üzerindeki A noktası ile üst tabanı üzerindeki B noktası aynı düşey doğru üzerin- dedir. Şeklideki gibi, A dan hareket edip kutunun yalnızca yanal yüzeyi tek bir do- lanım yaparak en kısa yoldan B ye giden bir karıncanın aldığı yol kaç cm dir?
A) 26 B) 25 C) 24 2 D) 25 3 E) 25 2
Çözüm: [AB] düşey doğrultusu boyunca silindiri kesersek, şekildeki B
B A
A dikdörtgeni elde edilir.
Karıncanın alacağı yol BA ve AB 24 dir.
Çemberin yarıçapı 5 cm olduğundan AA BB 2..510 dir.
B A
A dik üçgeni 5–12–13 kuralı gereği AB 26 olur.
(2000 ÖSS) Cevap: A
Yukarıdaki şekil, dik koni biçiminde idealleştirilmiş bir dağı; A ve B noktaları ise bu dağ eteğindeki iki köyü temsil etmektedir. Bu iki köyü birleştiren, dağ yüzeyi üzerindeki en kısa yol kaç km dir?
A) 3
B) 3
2 C) D) 3 E) 3
Çözüm: AT TB 3 ve m(ATB)60 olduğundan ATB eşkenar üçgen- dir. Buna göre AB 3 dir.
(2002 ÖSS) Cevap: E
31.
Şekildeki gibi, koni biçiminde bir kapak ile koni biçiminde bir gövdeden oluşan kapaklı bir cisim yapılacaktır. Kapak koninin yanal ayrıtı 3 cm, yanal alanı 24 cm2 dir. Gövde koninin yanal ayrıtı 12 cm olduğuna göre, yanal alanı kaç cm2 dir?
A) 96 B) 108 C) 116 D) 150 E) 384
Çözüm: r taban yarıçapı, a yanal ayrıt olmak üzere koninin yanal alanı ra
A dir.
Kapak koninin alanına göre 24.r.3 ise
8 r olur.
Gövde koninin alanı 8.12 96 .
A
cm2 dir.
(2003 ÖSS) Cevap: A
32.
Şekildeki dik koni, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesik ko- ninin yüksekliği, başlangıçtaki dik koninin yüksekliğinin
3
2 katı olduğuna göre, başlangıçtaki dik koninin hacmi, kesik koninin hacminin kaç katıdır?
A) 27
64 B) 26
27 C) 8
27 D) 4
9 E) 2 3
Çözüm: Başlangıçta dik koninin yüksekliği 3h ve başlangıçtaki dik koninin yarıçapı 3r olsun. Üstteki dik koninin yüksekliği h ve üstteki dik koninin yarıçapı r olur.
Başlangıçtaki dik koninin hacmi (3r) .3h 9 r h 3
1 2 2
Kesik koninin hacmi r h
3 h 26 3 r h 1 r
9 2 2 2
Başlangıçtaki dik koninin hacmi, kesik koninin hacmine oranı, 26
27 26 . 3 1 9 h 3 r 26
h r 9
2
2
olur.
(2004 ÖSS) Cevap: B
su doludur. Suyun 25 cm3 ü boşaltıldığında, su yüksekliği 2 cm azalmaktadır. Buna göre, tümüyle dolu bardakta kaç cm3 su bulunur?
A) 125 B) 135 C) 150 D) 225 E) 250 Çözüm:
2 cm lik su 25 cm3 10 cm lik su x
2 125 10 .
x 25 cm3
(2005 ÖSS) Cevap: A
34.
Şekildeki gibi, taban yarıçapı 1 metre, yüksekliği 2 metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor. Depoda biriken suyun derin- liği x metre olduğunda, depoda biriken suyun hacmi x türünden kaç metreküp olur?
A) 12 x3
B) 9 x3
C) 6 x3
D) 4 x3
E) 3 x3
Çözüm: Suyun oluşturduğu konini yarıçapı y olsun. Koninin kesiti şekildeki gibidir.
A.A.A. benzerliğine göre ADE ABC dir.
BC DE AB
AD
1 y 2 x
2 y x
Depoda biriken suyun hacmi,
2 2
2 x
12 x 1 2 x 3 x 1 3 y
v 1
elde edilir.
(2006 ÖSS) Cevap: A
35. Yarıçapı 3 cm olan O merkezli küre içine, ekseni küre merkezinden ge- çen 1 cm yarıçaplı dik dairesel silindir aşağıdaki gibi yerleştiriliyor.
Bu silindirin hacmi kaç cm3 tür?
A) 2
3 B) 3π C) 3 3 D) 4 2 E) 9π
Çözüm: ABO dik üçgenini çizelim.
2
BO h alalım.
Pisagor teoreminden 2
2
2 1
2
3 h
ise h4 2 olur.
r h .1.4 2 4 2
VSilindir 2 2 cm3
(2008 ÖSS) Cevap: D
36.
Yarıçap uzunluğu 6 cm olan yarım daire biçimindeki kâğıt parçası, A1 ve A2 nokta- ları şekildeki gibi çakışacak biçimde bükülerek tepesi O noktası olan bir dik koni oluşturuluyor. Bu koninin taban alanı kaç cm2 dir?
A) 6π B) 7π C) 8π D) 9π E) 10π
Çözüm: Yarım dairenin A1A2 yay uzunluğu 6 2
r
Ç 2 dir. Elde edilen bu veri, oluşan koninin tabanıdır. Yani koninin tabanın çevresi 6 dir.
Koninin tabanın yarıçapı 62r ise r3 cm Koninin taban alanı ATaban r2 .32 9
(2009 ÖSS) Cevap: D
37. Aşağıda verilen kahve yapma makinesi, taban yarıçapı 6 cm ve yüksek- liği 4 cm olan kesik koni biçimindeki A parçası ile taban yarıçapı 3 cm olan yete- rince yüksek silindir biçimindeki B parçasının şekildeki gibi birleştirilmesiyle oluş- turulmuştur.
Kahve makinesi boşken B nin üstünden A kısmının hacminin 3 katı su konuldu- ğunda B kısmında su kaç cm yükselir?
A) 2
35 B) 2
45 C) 3
19 D) 3
40 E) 3 56
Çözüm: Kesik koninin yarı çarpları r = 3 ve r = 6 dır.
.h(r r r .r)
3
VKesikKoni 1 22 12 2 1
.4(6 3 6.3)84 3
VKesikKoni 1 2 2
Kahve makinesi silindir şeklinde ve yarıçapı 3 cm dir. Kahve makinesi boş- ken B nin üstünden A kısmının hacminin 3 katı su konulduğunda, 2 katı kadar su miktarı B kısmında bulunacağından,
2.84168
dir. B kısmında suyun yüksekliği h ise, oluşturduğu silindirin hacmi formülünden,
.32.h 168 3 56 9
h 168
elde edilir.
(2009 ÖSS) Cevap: E
38.
Dik dairesel silindir biçiminde tamamı suyla dolu olan bir bardak, yatay düzlemle 30° lik açı yapacak biçimde şekildeki gibi eğildiğinde bardaktan bir miktar su dö- külüyor. Bardakta kalan su C ve D noktalarında dengeleniyor. Buna göre, bardak- tan kaç cm3 su dökülmüştür?