Bertrand Paradoksu
Güncel Türkçe Sözlük (Ocak 2012, http://tdkterim.gov.tr/bts/) paradoks Fr. paradoxe
a. 1. Aykırı düşünce.
2. Çelişki.
3. fel. Düşünceler arasında tartışmaya açık, kesin bir yargı içermeyen karşıtlık.
Rasgelelik ve olasılık kavramlarını gerçek dünyadan ayrı düşünemeyiz.
Bunları, gerçek dünyadan kopuk ele alırsak Bertrand Paradoksu gibi durumlarla karşılaşırız.
Joseph Bertrand (1822-1900) olasılıklar hesabı isimli (Calcul des probabilités , Paris : Gauthier-Villars et fils, 1889) çalışmasında aşağıdaki problemi öne sürmüştür.
“Bir çemberde (dairede) rasgele seçilen bir kirişin uzunluğunun, bu çembere iç teğet olan eşkener üçgenin kenar uzunluğundan daha büyük olması olasılığı nedir?”
Bertrand, kirişin rasgele seçimi ile ilgili üç farklı yöntem ele alıp sorulan olasılığı hesaplamıştır.
Seçim Yöntemi I (Rasgele Uç Noktalar Yöntemi): Çember üzerinden “rasgele”
iki nokta seçilip bu noktaları birleştiren kiriş çizilsin.
Şekil-1 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Bertrand1-figure.svg
Olasılığın Hesaplanması: Eşkenar üçgen, köşelerinden birisi kirişin uç noktalarından birisi üzerine gelecek şekilde çizilsin. Kirişin diğer uç noktası, karşı kenarın yayı üzerine düşerse kiriş (kırmızı renkli bir kiriş) uzunluğu üçgenin kenar uzunluğundan büyük olur. Bunun olması olasılığı 1/3 ‘tür
Seçim Yöntemi II (Rasgele Yarıçap Yöntemi): “Rasgele” bir yarıçap ve bu yarıçap üzerinde “rasgele” bir nokta seçilip, yarıçapa dik olan kiriş çizilsin.
Şekil-2 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Bertrand2-figure.svg
Olasılığın Hesaplanması: Çemberin bir yarıçapı rasgele seçilsin. Eşkenar üçgen, kenarlarından birisi seçilen yarıçapa dik olacak şekilde çizilsin. Yarıçap üzerinde rasgele bir nokta seçilsin. Seçilen nokta üçgenin içinde kalırsa kiriş uzunluğu üçgenin kenar uzunluğundan büyük olur. Bunun olması olasılığı 1/2
‘dir (eşkenar üçgenin kenarı, kendisine dik olan yarı çapı ikiye bölmektedir).
Seçim Yöntemi III (Rasgele orta Nokta Yöntemi): Dairenin içinden “rasgele”
bir nokta seçilsin ve bu nokta kirişin orta noktası olacak şekilde kiriş çizilsin.
Şekil-3 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Bertrand3-figure.svg
Olasılığın Hesaplanması: Eşkenar üçgenin iç teğet çemberi çizilsin. Seçilen nokta bu iç teğet çemberin belirlediği dairenin içine düşerse kiriş uzunluğu üçgenin kenar uzunluğundan büyük olur. Bunun olması olasılığı 1/4 ‘e eşittir (küçük dairenin alanı büyük dairenin dörtte biridir).
Üçü de görünüşte geçerli olmakla birlikte üç farklı olasılık değeri ortaya çıkmaktadır. Dikkat edilirse, üç durumun her birinde “rasgele” sözcüğünün altında düzgün olasılık dağılımları bulunmaktadır. Yöntemin birindeki düzgün dağılım diğerinde düzgün değildir. Örneğin, dairenin içinden düzgün dağılıma göre rasgele seçilen kiriş orta noktaları (3. yöntem) için bu noktaların çemberin
merkezine olan uzaklıkları (2. yöntemde) düzgün dağılımlı değildir.
Olasılıkların farklı çıkması ile ilgili bu gerekçe aşağıdaki simülasyon sonuçlarında kendini apaçık olarak göstermektedir.
1. yöntemde kiriş orta noktalarının dağılışı
2. yöntemde kiriş orta noktalarının dağılışı
3. yöntemde kiriş orta noktalarının dağılışı
Şekil-4 http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox
Bertrand’ın yönelttiği soruyu bir kez daha göz önüne getirelim: “Bir çemberde (dairede) rasgele seçilen bir kirişin uzunluğunun, bu çembere iç teğet olan eşkener üçgenin kenar uzunluğundan daha büyük olması olasılığı nedir?”
Bertrand bu soru ile: “Kiriş uzunluğunu (rasgele değişkeni) veren mekanizma veya yöntem açık olarak belirtilmedikçe olasılıklar iyi açıklanamaz (tayin edilemez)” demek istemiş ve bunu paradoksal bir örnekle açıklamıştır.
Rasgele kiriş seçimindeki yöntem belirtildikten sonra problem iyi-sunulmuş (well-posed) bir problem haline gelmektedir.
Gerçek dünyada, bu üç yöntemdeki gibi kirişler ortaya çıkaran fiziksel mekanizma örnekleri:
Seçim Yöntemi I Uç Noktalar Yöntemi (Çember üzerinden “rasgele” iki nokta seçilmesi yöntemi)
Seçim Yöntemi II Yarıçap Yöntemi (Çemberin bir yarıçapını “rasgele”
seçip bu yarıçap üzerinde “rasgele bir nokta seçilmesi)
Seçim Yöntemi III Orta Nokta Yöntemi (Dairenin içinden “rasgele” bir nokta seçilmesi yöntemi)
Serbestçe dönebilen bir saat yelkovanını iki kez “rasgele”
çevirip duruşlardan sonra ok ucunun konumunu işaretlemek.
Serbestçe dönebilen bir saat yelkovanını bir kez “rasgele”
çevirip durduktan sonra, yelkovan kadar uzun bir ipliği kırıştırıp makasla bir yerinden “rasgele”
kesip, kesilen yeri yelkovan üzerinde işaretlemek.
Daireyi, çok küçük delikli (ince) bir elek haline getirip, küçük bir bilyeyi “rasgele” eleyip, geçtiği deliği işaretlemek.
Matlab programı Model
%Secim Yontemi I teta=0:.01:(2*pi);r=1;
plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on for i=1:200
teta1=2*pi*rand;teta2=2*pi*rand;
x1(i)=r*cos(teta1);y1(i)=r*sin(teta1);
x2(i)=r*cos(teta2);y2(i)=r*sin(teta2);
plot([x1(i) x2(i)],[y1(i) y2(i)],'-')
kirisuzunlugu(i)=sqrt((x1(i)-x2(i))^2+(y1(i)-y2(i))^2);
end
figure;hist(kirisuzunlugu)
oran=sum(kirisuzunlugu>r*sqrt(3))/size(kirisuzunlugu,2) ortanca=median(kirisuzunlugu)
ortalama=mean(kirisuzunlugu)
figure %kirislerin orta noktaları plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on plot((x1+x2)/2,(y1+y2)/2,'.')
%Secim Yontemi II
figure;plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on i=0;
for i=1:200
tetta=2*pi*rand;ro=r*rand;
a=ro*cos(tetta);b=ro*sin(tetta);
yy=eval(solve('y^2-(r^2-((a^2+b^2- b*y)/a)^2)=0'));
y1(i)=yy(1,1);y2(i)=yy(2,1);
x1(i)=(a^2+b^2-b*y1(i))/a;
x2(i)=(a^2+b^2-b*y2(i))/a;
plot([x1(i) x2(i)],[y1(i) y2(i)],'-')
kirisuz(i)=sqrt((x1(i)-x2(i))^2+(y1(i)-y2(i))^2);
end
figure;hist(kirisuz)
oran=sum(kirisuz>r*sqrt(3))/size(kirisuz,2) ortanca=median(kirisuz)
ortalama=mean(kirisuz)
figure %kirislerin orta noktaları plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on plot((x1+x2)/2,(y1+y2)/2,'.')
%Secim Yontemi III
figure;plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on i=0;
while i<200
a=-r+2*r*rand;b=-r+2*r*rand;
if (a^2+b^2<r^2)
yy=eval(solve('y^2-(r^2-((a^2+b^2-b*y)/a)^2)=0'));
i=i+1;
y1(i)=yy(1,1);y2(i)=yy(2,1);
x1(i)=(a^2+b^2-b*y1(i))/a;x2(i)=(a^2+b^2-b*y2(i))/a;
plot([x1(i) x2(i)],[y1(i) y2(i)],'-')
kirisuzunlugu(i)=sqrt((x1(i)-x2(i))^2+(y1(i)-y2(i))^2);
xort(i)=a;yort(i)=b;
end;end
figure;hist(kirisuzunlugu)
oran=sum(kirisuzunlugu>r*sqrt(3))/size(kirisuzunlugu,2) ortanca=median(kirisuzunlugu)
ortalama=mean(kirisuzunlugu)
figure %kirislerin orta noktaları plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on plot(xort,yort,'.')
>> [xx,yy] = solve('a*xx+b*yy-a^2-b^2=0','xx^2 +yy^2=r^2');
>> X1=xx(1,1);X2=xx(2,1);Y1=yy(1,1);Y2=yy(2,1);
X1 =(-b*(b^3+b*a^2+(-b^4*a^2-2*a^4*b^2+b^2*r^2*a^2-a^6+r^2*a^4)^(1/2))/(b^2+a^2)+a^2+b^2)/a Y1 =(-b*(b^3+b*a^2+(-b^4*a^2-2*a^4*b^2+b^2*r^2*a^2-a^6+r^2*a^4)^(1/2))/(b^2+a^2)+a^2+b^2)/a X2 =(-b*(b^3+b*a^2-(-b^4*a^2-2*a^4*b^2+b^2*r^2*a^2-a^6+r^2*a^4)^(1/2))/(b^2+a^2)+a^2+b^2)/a Y2 =(-b*(b^3+b*a^2-(-b^4*a^2-2*a^4*b^2+b^2*r^2*a^2-a^6+r^2*a^4)^(1/2))/(b^2+a^2)+a^2+b^2)/a
Seçim Yöntemi I için çıktılar:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Şekil-4 Seçim Yöntemi I ile rasgele seçilen 200 kiriş
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 10 20 30 40 50 60
Şekil-5 Seçim Yöntemi I ile rasgele seçilen 200 kirişin uzunluklarının histogramı
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Şekil-6 Seçim Yöntemi I ile rasgele seçilen 200 kirişin orta noktalarının serpilme çiziti
Seçim Yöntemi II için çıktılar:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Şekil-7 Seçim Yöntemi II ile rasgele seçilen 200 kiriş
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Şekil-8 Seçim Yöntemi II ile rasgele seçilen 200 kirişin uzunluklarının histogramı
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Şekil-9 Seçim Yöntemi II ile rasgele seçilen 200 kirişin orta noktalarının serpilme çiziti
Seçim Yöntemi III için çıktılar:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Şekil-10 Seçim Yöntemi III ile rasgele seçilen 200 kiriş
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Şekil-11 Seçim Yöntemi III ile rasgele seçilen 200 kirişin uzunluklarının histogramı
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Şekil-12 Seçim Yöntemi III ile rasgele seçilen 200 kirişin orta noktalarının serpilme çiziti
Eşkener üçgenin kenar uzunluğundan büyük uzunluklu kirişlerin simülasyon sonucu gözlenen oranı:
Yöntem I Yöntem II Yöntem III
oran = 0.3150 oran = 0.4750 oran = 0.2550
Kiriş uzunluğu ile ilgili simülasyon sonucu gözlenen ortalama ve ortanca:
Yöntem I Yöntem II Yöntem III
ortalama = 1.2386 ortanca = 1.3392
ortalama = 1.5313 ortanca = 1.6913
ortalama = 1.3034 ortanca = 1.3899
Kirişler Kiriş uzunluklarının histogramı Kiriş orta noktalarının saçılımı
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0
10 20 30 40 50 60
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 10 20 30 40 50 60 70 80
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Soru: Bir kilimin altında (neresinde ve ne kadar büyük olduğu bilinmeyen) çizilmiş bir daire bulunsun. Bir sopa bu kilimin üstüne “rasgele” atılsın. Daire ile sopanın kesişen kısmının uzunluğunun, dairenin içine çizilebilecek iç teğet eşkenar üçgenin kenar uzunluğundan daha büyük olması olasılığı nedir?
