Gerilme kavramı Zemin tabakalarının kendi ağırlıkları ve uygulanan dış yükler, zemin içindeki herhangi bir elemanda gerilmeler oluştururlar. Mekanikte

Gerilme kavramı

• Zemin tabakalarının kendi ağırlıkları ve uygulanan dış yükler, zemin içindeki herhangi bir elemanda gerilmeler oluştururlar.

• Mekanikte gerilme, birim alana uygulanan yükün şiddeti olarak tanımlanmaktadır.

• Yüklenen bir elemanını göz önüne alırsak, A kesit alanına dik yönde uygulanan yük δF_N ise, normal gerilme,

A F

A

d

s d

d lim

=

A F

A

d

t d

d lim 0

= ®

kesit alanı düzleminde uygulanan kesme kuvveti δFs ise, kayma gerilmesi

Not: zemin mekaniğinde basınç gerilmeleri pozitif olarak kabul edilir.

Zemin kütlesine etkiyen gerilme

Alan = A

s = F/A

X X

Zemin kesiti

F

Zeminin suya doygun olduğu kabul edilmiştir, bütün boşluklar su ile doludur.

ZEMİNDE DÜŞEY GERİLMELER

w w

d w k

w v

z z

u

z z

z

g

g g

s

) (

) (

-

=

- +

=

• Toplam düşey gerilme bu elemanın üzerinde yer alan toplam malzeme ağırlığının yol açtığı basınca eşit olmaktadır.

• Zemine ucu açık bir boru yerleştirilmesi durumunda göz önüne alınan eleman içindeki su basıncı , boru içinde yükselen su kolonu ağırlığına eşittir.

• Bu hidrostatik basınç zemin mekaniğinde boşluk suyu basıncı olarak tanımlanmaktadır.

Zeminin bir sürekli ortam olarak davrandığını kabul ederek, Şekil ’de gösterilen zemin yüzünden z derinliğinde bir elemanda oluşan gerilmeleri inceleyelim.

Yeraltı suyu zemin yüzünden z_w derinliğinde olup, zemin birim hacim ağırlıklarının şekilde gösterildiği gibi g_k , g_d ve suyun birim hacim ağırlığının ise g_w olduğunu kabul edelim.

g_d g_d

z Zemin tabakası, g

A

A z Az A

P

Az

g g

s = = =

P

Zeminde bir A noktasında düşey gerilme

p

z

s_vz Ds

s

= Düşey gerilme

Ds

= Dış yüklerden dolayı ilave gerilme artışı

Ø Zemin yüzünden belli bir derinlikte ve yer altı su tablasının altındaki bir zemin elemanını etkileyen basınçlar,

Ø Toplam düşey basınç ve

Ø Boşluk suyu basıncı olarak tanımlanmıştır.

Ø Zeminin davranışı, üzerindeki toplam düşey basınç yanında büyük oranda boşluk suyu basıncı tarafından da etkilenmektedir.

Ø Zeminin yük altında sıkışması, şekil değiştirmesi ve kayma gerilmelerine karşı direnci gibi ölçülebilen bütün mühendislik davranışları efektif gerilmeler tarafından kontrol edilmektedir.

Ø Bu gerçek ilk defa Terzaghi (1936) tarafından fark edilmiş ve efektif gerilme kavramı geliştirilmiştir.

Ø Bu kavrama göre, tamamen suya doygun bir zeminde efektif gerilme aşağıdaki gibi ifade edilmiştir.

Efektif Gerilme Kavramı

- u

¢ = s

s

z

Zemin tabakası, g_d su, g_w

Efektif gerilme ve boşluk suyu basıncı

P’_i Pu_i P

A

A u

Pu P

A

P

+ + =

=

= å

å _s

s

s = toplam gerilme;

s’ = efektif gerilme

u = boşluk suyu basıncı

• Zemin iskeletini oluşturan danelerin temas noktalarında ortaya çıkan kuvvetler toplamının toplam kesit alanına bölünmesi ile elde edilen ortalama gerilmenin efektif gerilmeye eşit olduğu söylenebilir. Ancak, daneler arası temas noktalarındaki kuvvetleri hesaplamaya veya ölçmeye olanak yoktur.

- u

¢ = s

s

• Pratikte, efektif gerilme doğrudan ölçülmeyip kolaylıkla ölçülebilen toplam gerilme ile boşluk suyu basıncı arasındaki fark alınarak

hesaplanmaktadır ve toplam gerilmenin zemin iskeleti tarafından taşınan bileşeni olduğu kabul edilmektedir.

• Zeminin tamamen kuru olması durumunda, boşluklar tamamen hava ile dolu olacağı ve havanın sıkışabilirliği zemin iskeletine göre çok daha fazla olduğu için efektif gerilme toplam gerilmeye eşit olacaktır.

- u

¢ = s s

s

s ¢ =

Düşey Gerilmelerin ve Boşluk Suyunun Derinlikle Değişimi

• Tabii zeminler genellikle tabakalı bir ortam oluşturular.

• Bu durumlarda değişik tabaka kalınlıkları boyunca düşey basınç artışlarını bulmak için hesaplarda her tabakaya ait (zemin kuru, ıslak veya su altında olmasına bağlı olarak) zeminin kuru, ıslak (tabii) veya suya doygun birim

hacim ağırlıklarının kullanılması gerekir.

-

+

Kapiler Bölge

u

u

Her durumda boşluk suyu basıncı, YASS’den itibaren lineer olarak artacaktır.

Kapiler bölgedeki su çekme gerilmelerinin etkisinde bulunduğu için negatif gerilme

(zemin mekaniğinde kullanılan işaret kuralına göre) altındadır.

z Zemin tabakası, g

z

s

s

Zemin tabakası 1, g₁

Zemin tabakası 2, g₂

Zemin tabakası 3, g₃

z₁

z₂

z₃

z

s_v

g₁z₁

g₁z₁ + g₂z₂

g₁z₁ + g₂z₂ + g₃z₃ Tabakalı zeminlerde düşey gerilme profili

A

B

C

z zemin, g_d su, g_w

z

s_v

s_v= gz_w +g_d(z-z_w)

u=g_w(z-z_w) s_v^’=gz_w+(g_d-g_w)(z-z_w) z_w

s_v=gz_w

A

zemin, g

Yeraltı su seviyesi ile düşey gerilme profili

ZEMİN İÇİNDE OLUŞAN YANAL GERİLMELER

v h K s s =

Zeminin kendi ağırlığından kaynaklanan yanal gerilmeler o noktadaki düşey gerilmenin şiddetine bağımlıdır ve σ

olarak adlandırılır

Burada boyutsuz parametre K yanal toprak basıncı katsayısı olup , değeri zemin cinsine, gerilme tarihçesine vb. faktörlere bağlı olarak değişmektedir.

Yanal deformasyon göstermeyen bir zemin tabakası için yatay ve düşey efektif gerilme arasındaki ilişki

v

h K s

s ¢ = ₀ ^¢

Burada K

sükûnetteki yanal toprak basıncı katsayısı adını alır.

Tabii zeminler için K

=0.4 – 3.0 arasında değerler alabilir.

YÜZEY YÜKLEMELERİNİN YOL AÇTIĞI DÜŞEY GERİLMELER

Zemin yüzünde uygulanan bir yükten dolayı ise zemin kütlesi içindeki noktalarda gerilme artışları meydana geleceği açıktır. Bu bölümde, uygulanan bu dış yüklerin yol açtığı gerilmeler incelenecektir.

Zemin yüzüne yakın bir yapı temelinden aşağıdaki zemin tabakalarına iletilen düşey gerilmelerin z₁ ve z₂ derinliklerinde dağılımı gösterilmiştir.

Derinlik arttıkça gerilmelerin şiddeti azalmakta, buna karşılık yük daha geniş bir alana yayılmaktadır (gerilme dağılımını gösteren eğrilerin altındaki alanın sabit kaldığını görebiliriz).

Bu gerilmelerin gerçek dağılımını saptayabilmek için uygulanan yükün şiddetini, yük uygulanan alanın boyutları ile biçimini ve zemin özelliklerini bilmemiz gerekir.

BASİTLEŞTİRİLMİŞ ÇÖZÜM

Etkilenen bölgenin sınırlarını gösteren doğruların eğimi 2 (düşey) : 1 (yatay) olduğu kabul edilmiştir. Bu doğruların yatayla yaptığı açının 60° olacağı gibi bir varsayımda da

bulunulabilinir.

Uygulanan yükten etkilenen bölgenin yanal sınırları hakkında bir kabulde bulunduktan sonra, ikinci bir basitleştirici varsayım olarak herhangi bir z derinliğindeki düşey

gerilmenin şiddetinin üniform olacağını kabul edebiliriz.

z derinliğindeki düşey gerilme

L = Temelinin uzun kenar boyutu, B = Temel genişliği

I = Tesir katsayısı (boyutsuz)

Tesir katsayısı sadece temel boyutlarının ve derinliğin fonksiyonu olup, boyutsuz bir katsayısıdır.

Uygulanan basıncı bu katsayı ile çarparak istenilen derinlikteki düşey basınç artışını bulabiliriz.

2 : 1 (2 düşey:1 yatay) gerilme dağılımı yöntemi

( ^a )( ^a )

s

L 2 z tan B 2 z tan

q LB B

L q LB

z

= = + +

D

B L

q

B’

L’

z

Ds_z

a

Eğer tana = 1/2

( ^{L z LB} )( ^{B z} )

z

q

+

= +

D s

ELASTİK ÇÖZÜMLER

• Zeminlerdeki gerilme yayılışını analitik olarak bulmak için, zeminin elastik bir malzeme gibi davrandığı varsayımında bulunarak elastisite teorisinden yararlanmak mümkündür.

• Zeminlerin malzeme davranışının elastik olmadığını bilmemize rağmen, düşey gerilmelerin hesabında bu yaklaşımın pratikte yeterli sonuçlar verdiği kanıtlanmıştır.

• Boussinesq (1885) yüzeyinde bir düşey nokta kuvvet etkiyen homojen,

Burada, I_p nokta kuvvet için tesir katsayısı olup

x

y

z

x z

y

L Q

Ds_y

Ds_x Ds_z

Boussinesq Çözümü – Nokta Yük Çözümü

r

( )

z

I

z Q z

r

z Q

2 2

/ 2 5 2

3

2

3 =

= +

D s p

ELASTİK ÇÖZÜMLER

Burada dikkatimizi çekmesi gereken bir husus, elastisite teorisinden

yararlanarak elde edilen çözümlerde, düşey gerilme dağılımlarının zeminin malzeme özelliklerinden (elastisite modülü ve Poisson oranı gibi) bağımsız olmasıdır.

Düşey gerilmeler sadece uygulanan yükün şiddetine ve geometrik parametrelere bağlı olarak değişmektedir.

Yapılardan zemine aktarılan yükler genellikle temeller vasıtası ile aktarıldığı için, nokta yük için elde edilen gerilme dağılımları birçok inşaat mühendisliği probleminde gerçekçi olmamaktadır.

Fakat, nokta yük çözümlerinin entegrali alınarak yayılı yüklerin zeminlerde yol açacağı gerilme dağılımlarını bulmak mümkün olmaktadır.

Bu yöntemle, biçimi geometrik olarak tanımlanabilen (dairesel, dikdörtgen,

vb.) yayılı yükler için elde edilmiş hazır çözümler mevcuttur.

x

y

z

dy dx

y x

Ds_z

q

Dikdörtgen yüklü alan nedeniyle gerilme artışı hesabı

ú ú û ù ê ê

ë é

÷ ÷ ø ö ç ç

è æ

+ -

+

+ + +

÷÷ ø çç ö

è æ

+ +

+ +

+ +

+

+ +

= p

1 1 2

1 2 1

1 2

4 1

2 2 2

2

2 2

1 2

2

2 2

2 2 2

2

2 2

n m n

m

n m

tan mn n

m

n m

n m n

m

n m

I mn

z

= qI D s

z x

m = / n = y / z

Üniform Yüklü Bir Dikdörtgen Alan İçin Düşey Gerilmeleri Veren Tesir Katsayısı Değerleri

A

1 2

3 4

Örnek 1

[ ^I

^I

^I

^I

]

z

= q + + +

D s

Örnek 2

A

=

A

1 2 -

A

3 4

[ ^I

^I

^I

^I

]

z

= q + - -

D s

Üniform Yüklü Dairesel Alan İçin Düşey Gerilmeleri Veren Tesir Katsayısı Değerleri

Uzun Bir Dolgu Yükü Altında Düşey Gerilmeleri Veren Tesir Katsayıları

Üçgen Bir Yükleme Altında Düşey Gerilmeleri Veren

Tesir Katsayıları

BİR NOKTADA GERİLME DURUMU VE MOHR DAİRESİ

Zemin içinde herhangi bir A noktasından sonsuz sayıda düzlem geçirilebilir.

BİR NOKTADA GERİLME DURUMU VE MOHR DAİRESİ

O noktasından geçen ve yatayla q gibi bir açı yapan bir düzlem üzerinde etkiyen kuvvetlerin bileşkesini, bu düzleme dik ve paralel iki bileşenine ayırabiliriz

Eğer AC uzunluğunu birim uzunluk olarak kabul edersek, yatay ve düşey yöndeki denge denklemlerini

şeklinde yazabiliriz.

(AC alanı birim alan olarak alınırsa, AB alanı (1xcosθ) ve BC alanı (1 x sinθ) olacaktır).

Yukarıda verilen denge denklemlerinin çözümünden,

Bu bağıntıların karesini alıp, ikisini toplarsak

Bu denklem, merkezi ve yarıçapı olan bir dairenin denklemini oluşturmaktadır.

Bu daire σ – τ düzleminde çizildiği zaman mekanikte Mohr gerilme dairesi olarak bilinen daireyi elde ederiz. Mohr gerilme dairesi, denge durumundaki herhangi bir noktada etkiyen gerilme durumunu grafiksel olarak gösteren çok yararlı bir araçtır.

denklemini elde ederiz.

Yatay ve düşey düzlemler asal gerilme düzlemleri olduğu için bunlar üzerinde kayma gerilmesi etkimemekte (τ_xy = τ_yx = 0) ve Mohr dairesi çiziminde bu düzlemlere etkiyen normal gerilmeler yatay eksen üzerinde yer almaktadır.

Mohr gerilme dairesi iki boyutlu durum için gösterilmiştir (En büyük ve en küçük asal gerilme düzlemleri için).

Ara asal gerilmeyi de hesaba katmak istersek, σ₁ ve σ₂ ile σ₂ ve σ₃ için de iki ayrı Mohr dairesi daha çizebiliriz

Kutup Noktası

Kutup Noktası = Gerilmeleri (normal ve kayma) bilinen bir Mohr noktasından bu gerilmelerin etkidiği düzleme çizilen paralelin kestiği yerdir.

Bu nokta bilinirse; bu noktadan, üzerindeki gerilmelerin belirlenmek istendiği düzleme çizilen paralelin Mohr dairesini kestiği noktanın koordinatları, aranan gerilmeleri verir.

Zemin mekaniği’nde işaretler

Kutup Noktası

Kutup Noktası

Kutup Noktası

Kutup Noktası

Bazı problemlerde ise asal gerilmelerin doğrultusu ve şiddeti belirsiz olabilir.

Eğer birbirine dik iki düzlem üzerindeki normal ve kayma gerilmeleri biliniyorsa, asal

gerilmelerin şiddeti ve bunların etkidiği düzlemlerin eğimi yine Mohr daireleri yardımı ile bulunabilir.

Asal gerilmeler belirlendikten sonra herhangi başka bir düzlem üzerindeki gerilmeler kolaylıkla bulunabilir.

Yatay ile α gibi bir açı yapan düzlem ile buna dik doğrultudaki düzlemde etkiyen normal ve kayma gerilmeleri gösterilmiştir.

Mohr dairesi ile en büyük asal gerilme ile en küçük asal gerilmenin şiddeti ve

etkiledikleri düzlemler gösterilmiştir.

ÖRNEK 5.9

Zemin içinde bir noktada yatay düzlem üzerine etkiyen en büyük asal gerilme σ1 = 520 kPa, düşey düzlem üzerine etkiyen en küçük asal gerilme σ3 = 120 kPa olması durumunda yatayla 35° açı yapan bir düzlem üzerinde etkiyen gerilmeleri saptayınız.

ÇÖZÜM

Problemi Mohr gerilme dairesi yardımı ile çözebiliriz. Yatay ve düşey düzlemler asal gerilme düzlemi olduğu için, σ1 ve σ3 yatay eksen üzerinde yer alacaktır.

σ₁ noktasından en büyük asal gerilmenin etkidiği düzleme (yatay düzlem) paralel çizilecek bir doğrunun Mohr dairesini kestiği nokta (örnekte σ₃ noktası) kutup noktası vermektedir. Kutup noktasından yatayla 35° açı yapacak şekilde çizilen doğrunun Mohr dairesini kestiği noktanın koordinatları ise θ = 35° düzlemi üzerinde etkiyen normal ve kayma gerilmelerini

vermektedir.

σ_θ = 390 kPa ve τ_θ= 186 kPa

ÖRNEK 5.10

Zemin içinde bir noktada etkiyen asal gerilmelerin şiddeti Örnek 5.9’daki ile aynı değerde, fakat en büyük asal gerilme düzlemi yatayla 20° açı yapan bir düzlem olması durumunda en büyük asal gerilme düzlemi ile 35° açı yapan bir düzlem üzerinde etkiyen gerilmeleri saptayınız.

ÇÖZÜM

Problemin çözümünde yine Mohr dairesi çiziminden yararlanabiliriz.

Burada en büyük asal gerilme düzlemi yatayla 20° açı yapmaktadır. s₁ noktasından yatayla 20° açı yapacak şekilde çizilen doğrunun Mohr dairesini kesitiği nokta kutup noktasını

vermektedir. Kutup noktasından en büyük asal gerilme düzlemi ile 35° açı yapacak şekilde çizilen doğrunun Mohr dairesini kestiği noktanın koordinatları ise o düzlem üzerinde etkiyen gerilmeleri vermektedir. Elde edilen sonuçların Örnek 5. 9’daki değerler ile aynı olduğu

gözlenmektedir. Bunun nedeni, eleman üzerinde etkiyen gerilmelerin aynı olması sadece elemanın uzayda 20°’lik bir dönüşe uğramasıdır. Fakat üzerinde etkiyen gerilmelerin

saptandığı düzlemin aynı düzlem olmadığına dikkat etmemiz gerekir.

Birbirini dik iki düzlem üzerinde

etkiyen gerilme durumunun bilinmesi halinde, diğer düzlemler üzerinde etkiyen gerilme durumları Mohr dairesi

yardımı ile bulunabilmektedir. Asal gerilmelerin şiddeti ve doğrultusu aşağıda gösterilmiştir.

KAYNAKLAR

Özaydın, K. (2011), Zemin Mekaniği, Birsen Yayınevi, Güncelleştirilmiş Baskı, İstanbul.

Uzuner, B. (2007), Temel Zemin Mekaniği, Derya Kitabevi, Trabzon.

Boussinesq, J. (1885) Appilcation des Potentiels á L’Étude de L’Equilibre et due Mouvement dels Solides Elastiques, Gauthier-Villars,Paris.

Duncan, J. M. and Buchigani, A. L. (1976) “An Engineering Manual for Settlement Studies,”

Geotechnical Engineering Report, University of California at Berkeley, U. S. A.

Holtz, R. D. and Kovacs, W. D. (1981) An Introduction to Geotechnical Engineering, Prentice- Hall, Inc., New Jersey.

Newmark, N. M. (1942) “Influence Charts for Computation of Stresses in Elastic

Foundations,” University of Illinois Engineering Experiment Station Bulletin, Series No. 338, Vol. 61, No. 92, Urbana, Illinois, Reprinted 1964.

Osterberg, J. O. (1957) “Influence Charts for Computation of Stresses in a Semi-infinite Mass Due to an Embankment Loading,” Proc. 4th Int. Conf. on Soil Mech. and Foun. Eng., London, Vol. 1, 393-394.

Skempton, A. W. (1960) “Terzaghi’s Discovery of Effective Stress”, From Theory to Practice in Soil Mechanics, John Wiley and Sons, Inc., New York.

Taylor, D. W. (1948) Fundamentals of Soil Mechmanics, John Wiley and Sons, Inc., New York.

U. S. Navy (1971) “Soil Mechanics, Foundations and Earth Structures”, NAVFAC Design Manual DM-7, Washington D. C.