VERİ ZARFLAMA ANALİZİNDE HOMOJEN AĞIRLIKLANDIRMA ÜZERİNE YENİ BİR YAKLAŞIM. Emine Demet MECİT DOKTORA TEZİ İSTATİSTİK

(1)

VERİ ZARFLAMA ANALİZİNDE HOMOJEN AĞIRLIKLANDIRMA ÜZERİNE

YENİ BİR YAKLAŞIM

Emine Demet MECİT

DOKTORA TEZİ İSTATİSTİK

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HAZİRAN 2012 ANKARA

(2)

bu tezin Doktora tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. İhsan ALP ……….

Tez Danışmanı, İstatistik Anabilim Dalı

Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile İstatistik Anabilim Dalında Doktora tezi olarak kabul edilmiştir.

Prof.Dr. Serpil EROL ……….

Endüstri Mühendisliği, Gazi Üniversitesi

Prof.Dr. İhsan ALP ……….

İstatistik, Gazi Üniversitesi

Prof.Dr. Reşat KASAP ……….

Prof.Dr. Hasan BAL ……….

Doç.Dr. Meral SUCU ……….

Aktüerya Bilimleri, Hacettepe Üniversitesi

Tarih: 08 / 06 /2012

Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onamıştır.

Prof. Dr. Bilal TOKLU ……….

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

(3)

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Emine Demet MECİT

(4)

VERİ ZARFLAMA ANALİZİNDE HOMOJEN AĞIRLIKLANDIRMA ÜZERİNE

YENİ BİR YAKLAŞIM (Doktora Tezi)

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Haziran 2012

ÖZET

Veri Zarflama Analizinde (VZA) etkinlik kavramı, ağırlıklı çıktılar toplamının ağırlıklı girdiler toplamına oranı ile tanımlanır. Maksimum etkinlik skorunu hesaplamak amacıyla, her bir karar verme biriminin (KVB) girdilerine ve çıktılarına farklı ağırlıklar atanır. Böylece, klasik VZA ağırlık esnekliğine izin verir. Bu nedenle, bazı KVB’lerin önemli girdilerine ve çıktılarına sıfır ağırlıklar atanabilir. Bu durumda, söz konusu girdiler ve çıktılar değerlendirmede ihmal edilir. Böylece, gerçekçi olmayan sonuçlar bulunur.

Ağırlık esnekliği problemini ortadan kaldırmak için, VZA’da ağırlık kısıtlamaları yapılır. Girdiler ve çıktılar üretimde birbirleri arasındaki korelasyonlar derecesinde ilişkilidir. Daha önceki çalışmalar, girdiler ve çıktılar arasındaki bu ilişkiyi dikkate almamıştır. Bu çalışmada, girdi ve çıktı değişkenleri arasındaki korelasyonlara göre ağırlıkların tanımlandığı, korelasyon katsayıları ile kısıtlamalı yeni VZA modelleri (CCRCOR, BCCCOR) önerilmiştir.

Önerilen modeller ile diğer VZA modelleri, iki farklı uygulama verisi kullanılarak ve bir simülasyon çalışması yapılarak karşılaştırılmıştır.

Simülasyon çalışmasında farklı girdi ve çıktı kombinasyonları dikkate

(5)

alınmıştır. Her bir kombinasyon kümesi için 1000 farklı deneme yapılmıştır.

Elde edilen sonuçlar, Spearman Testi ile karşılaştırılmıştır. Yapılan uygulamalarla ve simülasyonla elde edilen sonuçlar, CCRCOR ve BCCCOR modellerinin incelenen diğer ağırlık kısıtlama yöntemlerinden daha iyi olduğunu göstermektedir.

Bilim Kodu : 205.1.148

Anahtar Kelimeler : Veri Zarflama Analizi, Ağırlık Kısıtlamaları, Korelasyon Katsayısı, CCRCOR, BCCCOR

Sayfa Adedi : 111

Tez Yöneticisi : Prof.Dr. İhsan ALP

(6)

A NEW APPROACH ON THE HOMOGENEOUS WEIGHTING IN DATA ENVELOPMENT ANALYSIS

(Ph.D. Thesis)

GAZİ UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY June 2012

ABSTRACT

The concept of efficiency in Data Envelopment Analysis (DEA) is defined as

"weighted sum of outputs / weighted sum of inputs". In order to calculate the maximum efficiency score, each decision making unit (DMU) 's inputs and outputs are assigned to different weights. Hence, the classical DEA allows the weight flexibility. Therefore, the important inputs or outputs of some DMUs can be assigned zero weights. In this case, the inputs and outputs are neglected in this evaluation. So, the results are found unrealistic. In order to eliminate the problem of weight flexibility, weight restrictions are made in DEA. Inputs and outputs are related in the degree of correlation between each other in the production. Previous studies did not take into account the correlations between input and output variables. In our study, we proposed new DEA models restricted with correlation coefficients (CCRCOR, BCCCOR) that the weights were determined according to the correlations between input and output variables.

Suggested models are compared with the other DEA models on two different applications and a simulation study. In simulation study, we think different combinations of inputs and outputs. Each combinations of variables are conducted for 1000 different experiments. The results are compared with

(7)

Spearman Test. The results obtained with applications and simulation show that CCRCOR and BCCCOR models are better than the other weight restricted methods.

Science Code : 205.1.148

Key Words : Data Envelopment Analysis, Weight Restrictions, Correlation Coefficient, CCRCOR, BCCCOR

Page Number : 111

Adviser : Prof.Dr. İhsan ALP

(8)

TEŞEKKÜR

Yüksek Lisans eğitimime başladığım ilk günden Doktora eğitimimi tamamladığım bugüne kadar çalışmalarım ve sorunlarım sırasında her zaman sabrıyla beni destekleyen, zorlukları aşmamda yardımcı olan, doktora tezimin SCI kapsamında taranan dergilerden Hacettepe Matematik ve İstatistik dergisinde yayınlanmak üzere kabul edilmesi sürecinde düzeltmeleri ve değerli katkılarıyla sürekli beni yönlendiren danışmanım Gazi Üniversitesi İstatistik Bölüm Başkan Yardımcısı Sayın Hocam Prof. Dr. İhsan ALP’e, değerli tecrübeleri ve fikirleriyle ufkumu açan, engin hoşgörüleri ile çalışmalarımın kapsamının her tez izleme komitesi toplantısında daha da genişlemesini ve bilimsel olarak şekillenmesini sağlayan Doktora Tez İzleme Komitesi üyelerimden Gazi Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölüm Başkanı Sayın Hocam Prof. Dr. Serpil EROL’a ve Gazi Üniversitesi İstatistik Bölümü öğretim üyesi Sayın Hocam Prof.Dr. Hasan BAL’ a, jüri üyelerime, doktora tez çalışmam boyunca sürekli olarak hoşgörüsü, bana olan inancı ve tükenmeyen sabrıyla beni her zaman destekleyen, yol gösteren, değerli bilgilerinden her fırsatta yararlandığım Hacettepe Üniversitesi İstatistik Bölüm Başkanı Sayın Hocam Prof.Dr. Süleyman GÜNAY’a, tüm çalışma arkadaşlarıma, özellikle simülasyon için MATLAB programını öğrenme aşamasında yardımlarını esirgemeyen Öğretim Görevlisi arkadaşlarım Sayın Dr. Ayten YİĞİTER’e ve Sayın Dr. Murat BÜYÜKYAZICI’ya, ayrıca aileme, özellikle beni her zaman dinleyen, yardımlarını esirgemeyen canım ağabeyime, manevi desteğiyle beni hep motive eden ve tezi tamamlamamı çok isteyen yakında kaybettiğim rahmetli sevgili anneciğime şükranlarımı, teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Annemin Aziz Anısına

(9)

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... iv

ABSTRACT ... vi

TEŞEKKÜR………..viii

İÇİNDEKİLER...ix

ÇİZELGELERİN LİSTESİ ... .xii

ŞEKİLLERİN LİSTESİ ... xiv

SİMGELER VE KISALTMALAR……….xv

1. GİRİŞ ... 1

2. VERİ ZARFLAMA ANALİZİ (VZA) ...7

2.1. Klasik VZA Yöntemleri………7

2.1.1. CCR model………..7

2.1.2. BCC model………..9

3. VZA’DA AĞIRLIK KISITLAMASI……….11

3.1. Ağırlıklar Üzerinde Doğrudan Kısıtlamalar………14

3.1.1. I.Tip assurance region (ARI) ………14

3.1.2. II.Tip assurance region (ARII) ……….16

3.1.3. Mutlak ağırlık kısıtlamaları………...18

3.2. Değer Yargılarını Dikkate Almak İçin Gözlenen Girdi-Çıktı Düzeylerini Ayarlamak………19

3.2.1. Koni oran modeli (Cone ratio model)………....19

3.2.2. Golany yöntemi………..20

3.3. Ağırlıklı Girdileri ve Çıktıları Kısıtlamak………...20

(10)

Sayfa

4. AR ve KONİ ORAN YAKLAŞIMLARINA GEOMETRİK BAKIŞ…………...23

4.1. AR Yaklaşımının Amaçları……….23

4.2. AR Yaklaşımının Geometrik Gösterimi………..23

4.3. Koni Oran Modeli İçin Geometrik Gösterim………...28

5. AĞIRLIK KISITLAMASI MODELLERİ………...35

5.1. Korelasyon Katsayıları ile Ağırlık Kısıtlamalı Yeni Bir Yaklaşım (CCRCOR, BCCCOR Modeller)……….35

5.2. Analitik Hiyerarşi Süreci (AHS) ile Ağırlık Kısıtlamalı Bir Yaklaşım (AHSCCR, AHSBCC Modeller)………..38

5.3. Çok Kriterli Veri Zarflama Analizi (ÇKVZA)………....40

6. UYGULAMA……….41

6.1. Robotların Etkinliğinin Değerlendirilmesi Üzerine Bir Uygulama………….41

6.2. Çapraz Etkinlik Değerlendirmesine Bir Alternatif Olarak Bir CCRCOR Uygulaması………..44

6.2.1. CCRCOR ile karşılaştırılan modeller………46

6.2.2. Bir hastane verisi üzerinde uygulamalar………51

7. SİMÜLASYON………..60

8. SONUÇ VE ÖNERİLER ……….………..70

KAYNAKLAR………...74

EKLER ... ..80

EK-1 CCR, CCRCOR, AHSCCR ve ÇKVZA etkinlik skorları ve ağırlıklar... ..81

EK-2 CCR, CCRCOR, AHSCCR ve ÇKVZA karşılaştırması ... ..84

EK-3 BCC, BCCCOR ve AHSBCC etkinlik skorları ve ağırlıklar... ..85

EK-4 BCC, BCCCOR ve AHSBCC karşılaştırması ... ..87

EK-5 R=70’inci denemede farklı tercih katsayısı (L) matrisleri ile girdi yönlü AHSCCR karşılaştırmaları ... ..88

EK-6 R=70’inci denemede farklı tercih katsayısı (L) matrisleri ile çıktı yönlü AHSCCR karşılaştırmaları ... ..89

(11)

Sayfa EK-7 R=70’inci denemede farklı tercih katsayısı (L) matrisleri ile girdi yönlü AHSBCC karşılaştırmaları ... ..90 EK-8 R=70’inci denemede farklı tercih katsayısı (L) matrisleri ile çıktı yönlü AHSBCC karşılaştırmaları ... ..91 EK-9 R=70’inci denemede girdi yönlü modeller için etkinlik skorları ... ..92 EK-10 R=70’inci denemede çıktı yönlü modeller için etkinlik skorları... ..93 EK-11 R=70’inci denemede girdi yönlü CCR model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... ..94 EK-12 R=70’inci denemede çıktı yönlü CCR model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... ..95 EK-13 R=70’inci denemede girdi yönlü BCC model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... ..96 EK-14 R=70’inci denemede çıktı yönlü BCC model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... ..97 EK-15 R=70’inci denemede girdi yönlü CCRCOR model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... ..98 EK-16 R=70’inci denemede çıktı yönlü CCRCOR model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... ..99 EK-17 R=70’inci denemede girdi yönlü BCCCOR model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... 100 EK-18 R=70’inci denemede çıktı yönlü BCCCOR model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... 101 EK-19 R=70’inci denemede girdi yönlü AHSCCR model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar..………...………...102 EK-20 R=70’inci denemede çıktı yönlü AHSCCR model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... 104 EK-21 R=70’inci denemede girdi yönlü AHSBCC model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... 106 EK-22 R=70’inci denemede çıktı yönlü AHSBCC model için elde edilen

etkinlikler ve ağırlıklar ... 108 ÖZGEÇMİŞ………..110

(12)

ÇİZELGELERİN LİSTESİ

Çizelge Sayfa

Çizelge 4.1.Veri seti... 24

Çizelge 4.2. Değerlendirilen 6 tane KVB için CCR ve AR etkinlik skorları... 26

Çizelge 4.3. Doktor-hemşire örneği ile elde edilen Koni oran ve CCR etkinlik sonuçları... 34

Çizelge 6.1. Korelasyon katsayılar matrisi... 41

Çizelge 6.2. AHS tercih katsayıları matrisi... 41

Çizelge 6.3. Modellerden elde edilen etkinlik skorları... 42

Çizelge 6.4. n=27 KVB için Spearman test sonuçları ... 43

Çizelge 6.5. Genelleştirilmiş bir çapraz etkinlik matrisi... 47

Çizelge 6.6. Bir girdi ve üç çıktı ile 15 hastane verisi ... 52

Çizelge 6.7. Örnek 6.1’de 15 hastane için bir girdi ve üç çıktı arasındaki korelasyon matrisi ... 53

Çizelge 6.8. Örnek 6.1’de bir girdi ile 15 hastane için yapılan değerlendirmeler... 54

Çizelge 6.9. Bir girdi için CCRCOR ve CCR modeller ile elde edilen ağırlıklar ... 55

Çizelge 6.10. Örnek 6.2’de iki girdi ile 15 hastanenin girdileri ve çıktıları ... 57

Çizelge 6.11. Örnek 6.2’de 15 hastane için iki girdi ve üç çıktı arasındaki korelasyon matrisi... 57

Çizelge 6.12. Örnek 6.2’de iki girdi ile 15 hastane için yapılan değerlendirmeler... 58

Çizelge 6.13. Örnek 6.2’de iki girdi ile CCRCOR ve CCR ile yapılan değerlendirmeden elde edilen ağırlıklar... 59

Çizelge 7.1. R=70’inci denemede korelasyon matrisi ... 61

(13)

Çizelge Sayfa

Çizelge 7.2. AHS katsayılar matrisi 1... 61

Çizelge 7.6. 1000 farklı deneme tekrarı ile yapılan simülasyonun 70. denemesi için Spearman test sonuçları (3 girdi 3 çıktı durumunda)... 63

Çizelge 7.11. 1000 farklı deneme tekrarı ile yapılan simülasyon sonucunda ortalama Spearman test sonuçları ( 3 girdi 3 çıktı durumu )... 66

Çizelge 7.12. 1000 farklı deneme tekrarı ile yapılan simülasyon sonucunda ortalama Spearman test sonuçları ( 5 girdi 5 çıktı durumu ).………66

Çizelge 7.13. 1000 farklı deneme tekrarı ile yapılan simülasyon sonucunda ortalama Spearman test sonuçları ( 7 girdi 7 çıktı durumu )……….67

Çizelge 7.14. 1000 farklı deneme tekrarı ile yapılan simülasyon sonucunda ortalama Spearman test sonuçları ( 9 girdi 9 çıktı durumu )………..67

Çizelge 7.15. 1000 farklı deneme tekrarı ile yapılan simülasyon sonucunda ortalama Spearman test sonuçları ( 10 girdi 10 çıktı durumu )…….68

Çizelge 8.1. Spearman test sonuçlarına göre çeşitli durumlar için ortalama ilişki değerleri... 73

(14)

ŞEKİLLERİN LİSTESİ

Şekil Sayfa Şekil 4.1. VZA etkinlik sınırı ...25 Şekil 4.2. Çoklu uzayda AR gösterimi...26 Şekil 4.3. Konveks konilerin geometrik gösterimi ...29

(15)

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama

u Çıktı Ağırlığı

v Girdi Ağırlığı

x Girdiler

y Çıktılar

θ Etkinlik Skoru

k Değerlendirme Altındaki Karar Verme

Birimi (KVB)

s Çıktı Sayısı

m Girdi Sayısı

n Toplam KVB sayısı

 Sıfıra Yakın Çok Küçük Bir Sayı

c, d Analist Tarafından Seçilen Değerler

Ai ve B_i ARI’de Girdi Ağırlıklarının Oranları Üzerinde Sırasıyla Alt ve Üst Sınırlar

ar ve

br ARI’de Çıktı Ağırlıklarının Oranları Üzerinde

Sırasıyla Alt ve Üst Sınırlar

i ARII’de Çıktı Ağırlığı

ur’nin Girdi Ağırlığı vi’ye Oranı Üzerinde Üst Sınır

 j Her j için

i ve _i Mutlak Ağırlık Kısıtlamalarında Girdi Ağırlıkları Üzerinde Kullanıcının Belirlediği Sırasıyla Alt ve Üst Sınırlar

(16)

r ve

r Mutlak Ağırlık Kısıtlamalarında Çıktı

Ağırlıkları Üzerinde Kullanıcının Belirlediği Sırasıyla Alt ve Üst Sınırlar

W j Şekil 4.2’de Optimal Çarpan Uzayı

W Şekil 4.2’de Her Bir KVB’nin

W j

Çarpan Uzaylarının Bir Kümesi W₁m, W₂^m, W₃^m Şekil 4.2’de Doğrular

W₄m, W₆^m Şekil 4.2’de Noktalar

X1

 Örnek 4.2’de Makine Saatlerindeki Birim

Değişim X2

 Örnek 4.2’de İşgücü Saatlerindeki Değişim

O Orijin

V Örnek 4.2’de Girdi Çarpanları İçin Çok Yüzlü

Konveks Koni

U Örnek 4.2’de Çıktı İçin Kapalı Konveks Koni

E^m ve E^s Örnek 4.2’de Sınırlandırılmamış VZA Modelde Kullanılan Negatif Olmayan Bölgeler

X Koni Oran Modelinde Dönüştürülmüş Girdi

Matrisi

Y Koni Oran Modelinde Dönüştürülmüş Çıktı

Matrisi

1

 i ,

ci CCRCOR’da i’inci ve (i+1)’inci Girdi

Değişkenleri Arasındaki Korelasyon Katsayısı

r ,

pi CCRCOR’da i’inci Girdi Değişkeni ile r’inci

Çıktı Değişkeni Arasındaki Korelasyon Katsayısı

(17)

1

 r ,

br CCRCOR’da r’inci ve (r+1)’inci Çıktı

Değişkenleri Arasındaki Korelasyon Katsayısı

1

 i ,

ai AHSCCR’da i’inci ve (i+1)’inci Girdi

Değişkenleri Arasındaki AHS İkili Tercih Katsayısı

r ,

zi AHSCCR’da i’inci Girdi Değişkeni ile r’inci

Çıktı Değişkeni Arasındaki AHS İkili Tercih Katsayısı

1

 r ,

br AHSCCR’da r’inci ve (r+1)’inci Çıktı

Değişkenleri Arasındaki AHS İkili Tercih Katsayısı

d ÇKVZA’da Etkinsizlik Değeri

M ÇKVZA’da Maksimum Sapma

p Anlamlılık Düzeyi

*

w ik ÇEM’de Girdi İçin Optimal Çarpanların Kümesi

*

rk ÇEM’de Çıktı İçin Optimal Çarpanların Kümesi

E kj KVBk’nın Ağırlıklarını Kullanarak Hesaplanan

KVB_j’nin Çapraz Etkinliği

E j KVB_j İçin Çapraz Etkinlik Skoru

CI AHS’de Tutarlılık Göstergesi

CR AHS’de Tutarlılık Oranı

(18)

Kısaltmalar Açıklama

VZA Veri Zarflama Analizi

DEA Data Envelopment Analysis

DP Doğrusal Programlama

CCR Charnes Cooper Rhodes Modeli

KVB Karar Verme Birimi

DMU Data Making Unit

AR Güven Bölgesi (Assurance Region)

Ağırlık Kısıtlama Yöntemi

ARI I. Tip AR

ARII II. Tip AR

DK Değişim Katsayısı (Coefficient of Variation)

DKVZA Değişim Katsayısını Esas Alan VZA modeli

ÇKVZA Çok Kriterli Veri Zarflama Analizi

HPÇKVZA Hedef Programlama ve Çok Kriterli Veri Zarflama Analizini Birlikte Ele Alan Model

ÇKKVA Çok Kriterli Karar Verme Analizi

BCC Banker-Charnes-Cooper Modeli

min En Küçük (Minimum)

max En Büyük (Maksimum)

CCRCOR Bu Tez Çalışması ile Yeni Önerilen Korelasyon Katsayıları ile Ağırlık Kısıtlamalı CCR Model BCCCOR Bu Tez Çalışması ile Yeni Önerilen Korelasyon

Katsayıları ile Ağırlık Kısıtlamalı BCC Model

AHS Analitik Hiyerarşi Süreci

AHSCCR AHS Katsayıları ile Ağırlık Kısıtlamalı CCR Model

AHSBCC AHS Katsayıları ile Ağırlık Kısıtlamalı BCC Model

ÇEM Çapraz Etkinlik Değerlendirme Modeli

(19)

Kısaltmalar Açıklama

CCRÇE CCR Çapraz Etkinlik

SAAT Simetrik Ağırlık Atama Tekniği

(Symmetric Weight Assignment Technique)

AP Andersen Petersen Süper Etkinlik Yöntemi

SP Ağır Hastalar (Severe Patients)

RP Ayaktan Tedavi Olan Hastalar

(Regular Patients)

TU Eğitim Birimlerinin Sayısı

(The Number of Teaching Units)

(20)

1. GİRİŞ

Veri Zarflama Analizi (VZA), ilk olarak Charnes, Cooper, Rhodes (CCR) tarafından geliştirilen ve karar verme birimlerinin (KVB) etkinliklerinin değerlendirilmesinde kullanılan parametrik olmayan bir yöntemdir [Charnes ve ark., 1978]. Çoklu girdiler ve çoklu çıktılarla göreli etkinliği değerlendirebilen CCR model, Farrel (1957)’nin tek girdi-tek çıktı teknik etkinlik ölçümüne dayanarak geliştirilmiştir.

Klasik VZA, maksimum etkinlik skorlarını elde etmek amacıyla ağırlık esnekliğine izin verdiği için, gerçekte önemli olan bazı girdilere ya da çıktılara sıfır ağırlıkları atanabilmektedir. Söz konusu girdi ya da çıktının dikkate alınmadığı bu durumda, çoğunlukla dengeli dağılmayan ağırlıklar ve gerçekçi olmayan sonuçlar elde edilmektedir. Ağırlık esnekliğinden kaynaklanan bu sorunu yok etmek için literatürde ağırlık kısıtlamaları konusunda yapılmış farklı birçok yaklaşım vardır.

Yapılan çalışmaların çoğu KVB’lere karar vericinin tercih bilgisini katmaya çalışır.

Ağırlık kısıtlamaları ile ilgili ilk çalışma, Texas’ta kurulacak bir nükleer fizik laboratuvarının en iyi yerini belirlemek amacıyla yapılmıştır [Thompson ve ark., 1986]. Bu çalışmada, klasik VZA ile yapılan değerlendirmede, ağırlık seçiminin toplam esnekliği nedeniyle, bütün siteler (yerleşim yerleri) etkin bulunmuştur. Bunun üzerine yazarlar, doğru sınırlandırmayı yapabilmek için ağırlık kısıtlamaları ile analizi yeniden yaparak tek bir siteyi etkin bulmuşlardır. Böylece, tercih edilen yerlere ilişkin ağırlıklara kısıtlamalar konularak geliştirilen bu yaklaşıma Güven Bölgesi (Assurance Region) (AR) adı verilmiştir. Güven Bölgesi olarak adlandırılmasının nedeni, ağırlık bölgesini belirli bir alan ile sınırlayan kısıtlayıcılardan dolayıdır. Ağırlık uzayını küçültmek, VZA’nın sınıflandırma gücünü artırmaktadır. Thompson ve ark., çıktı ağırlıklarından bağımsız olarak girdi ağırlıklarını kısıtlamayı ARI ve diğer her bir birime göre girdi ve çıktı ağırlıklarını kısıtlamayı ARII olarak düşünmüşlerdir [Thompson ve ark., 1990]. Dyson ve Thanassoulis, ağırlıkların serbest seçimi üzerine kısıtlamalar yüklemek ve sıfır ağırlıkların kullanımını yok etmek amacıyla sübjektif ağırlık kısıtlamalarını kullanmışlardır [Dyson ve Thanassoulis, 1988]. Böylece, bu yazarlar, Büyükşehir’de

(21)

(Metropolitan) ve Londra’da yönetim otoritesinde etkili bölümleri oransal olarak değerlendirerek, uzman görüşü ile ağırlıklar üzerine doğrudan kısıtlamalar koymuşlardır. Thanassoulis ve ark., gebeliğin 20. haftasından doğuma kadar geçen fetüs hayatına ait (perinatal) korumanın değerlendirmesinde risk vb. faktörlerin (girdi ya da çıktı değişkenleri) bilinmeyen karşılıklarının dikkate alınması amacıyla bir ağırlık kısıtlaması çalışması yapmışlardır [Thanassoulis ve ark., 1995]. Allen ve ark.

ise, VZA’da değer yargılarını kullanma nedenlerini açıklamışlardır [Allen ve ark., 1997]. Li ve ark., VZA’da AR yaklaşımını, olimpik oyunlarda (6 farklı yıl için) gelir durumuna göre 4 farklı sınıfta yer alan (düşük gelir, orta gelirin altı, orta gelirin üstü ve yüksek gelir) ulusların performansını kıyaslamak ve ölçmek için kullanmışlardır [Li ve ark., 2008]. Çalışmada AR yaklaşımı ile girdilere ve çıktılara kazanılan madalya sayılarına göre önem verebilmek için iki değişkenin oranı belli bir aralıkta sınırlandırılmıştır (örneğin 1<

2 1

c

c <3 gibi). Podinovski, CCR modeline ağırlık

kısıtlamaları eklemenin KVB’lerin göreli etkinliğini düşük tahmin ettiğini savunmaktadır [Podinovski ve Athanassopoulos, 1998; Podinovski, 1999]. Böylece etkin olmayan KVB’ler için yanıltıcı hedef değerleri bulunabilmekte ve etkin emsallerin yanlış bir referans kümesi belirlenebilmektedir. Podinovski ve Athanassopoulos, bütün bu yan etkilerden kaçınmak için max/min VZA modeline ağırlık kısıtlamaları eklemeyi önermişlerdir [Podinovski ve Athanassopoulos, 1998].

Cook ve ark., VZA’da mutlak ağırlık kısıtlaması modellerinin ilk gerçek yaşam örneğidir [Cook ve ark., 1990]. Bir pilot VZA çalışması olan bu uygulama, 14 otoyol bakım devriyesinin etkinliğini ölçmek için yapılmıştır. Analizde 2 girdi, 2 çıktı bulunmaktadır. Thompson ve ark., ayrılabilir girdiler ve çıktılar için AR sınırlarını, teknik etkinlikten overall etkinliğe doğru geçişte modelin fiyatları (çarpanlar) üzerine yerleştirmişlerdir [Thompson ve ark., 1996a; Thompson ve ark., 1996b]. Charnes ve ark. ise, VZA modeliyle mali yönden sıkıntılı bazı bankaların etkin bulunmasını ya da gerçekte etkin olmayan bazı bankaların çok iyi olarak değerlendirilmesini bir problem olarak görerek Koni oran yaklaşımını önermişlerdir [Charnes ve ark., 1990].

Chilingerian ve Sherman, bir doktor çalışması modelini temsil eden konide faktör ağırlıklarını sınırlandırmak için, ağırlık kısıtlamalarını kullanmışlardır [Chilingerian

(22)

ve Sherman, 1997]. Bu koni, sağlık ocağı yöneticisi tarafından belirlenen kriter kullanılarak oluşturulmuştur. Sağlık ocağı yöneticisinin tercihi ile uyumlu olan doktorların (KVB) uygulama stilleri etkin olarak tanımlanmış ve tercih edilen koni içerinde tasarlanmıştır. Böylece, etkin KVB’lerin (doktorlar) uygulama stilleri, sağlık ocağı yöneticisi tarafından belirlenen kriteri karşıladığı için, AR/Koni oran modelinde ağırlık sınırlamaları, bu faktörlere atanan ağırlık değerlerini esas alacak şekilde tanımlanmıştır. Taylor ve ark. ise, Meksika bankalarının verimliliğini VZA’da AR etkinliği ile değerlendirmişlerdir [Taylor ve ark., 1997].

Beasley, ağırlıklı girdileri ve çıktıları sınırlandırmak için oransal ağırlık kısıtlamalarını önererek, 52 üniversitenin fizik ve kimya bölümlerini değerlendirmiştir [Beasley, 1990].

VZA modellerinin çoğunda kullanılan ağırlıklar, KVB’lerin girdi ve çıktılarının ölçümüne ve onların büyüklüklerine bağlıdır. Bazı durumlarda girdi ve çıktı ikilileri için ağırlık kümeleri arasında göreli karşılaştırmalar yapmak çok zor olabilir.

Örneğin, okul sistemleri karşılaştırıldığında, çok farklı birimlerin değerlendirilmesi ile iki değişken üzerine yerleştirilen ağırlıkları karşılaştırmak çok zordur. Mesela, okullar ve öğretmenler gibi. Buna benzer birçok örnekte, okullar ve öğretmenler arasında ikame oranı kesin değildir. Bu nedenle literatürde araştırmacıların birçoğu, girdilerin ve çıktıların göreli karşılaştırılmaları için kullanılması kolay ve birim değişmez (units invariant) olan sanal (virtual) ¹ ağırlık kısıtlaması ile uğraşmaktadırlar [Dimitrov ve Sutton, 2010]. Wong ve Beasley, sanal (virtual) ağırlık kısıtlaması yöntemini geliştiren ilk araştırmacılardır [Wong ve Beasley, 1990].

Sarrico ve Dyson ise, ARI ve ARII’de sanal ağırlıkların kullanımını tartışmışlardır [Sarrico ve Dyson, 2004].

1 Sanal (virtual) girdi/çıktı, bir KVB’nin girdiler/çıktılarının ağırlıklı toplamı olarak tanımlanır. Yani sanal (virtual) ağırlık terimi, girdi-çıktı için gözlenmiş verinin değeri ile söz konusu girdi-çıktı üzerine yerleştirilen ağırlığın çarpımından söz etmek için kullanılır. İlk olarak Wong ve Beasley tarafından önerilen bu yaklaşım, sanal (virtual) ağırlık kısıtlamaları olarak adlandırılmıştır [Wong ve Beasley, 1990]. Bu yazarlar, doğrudan ağırlıkları kısıtlamak yerine, ağırlıklı girdileri/çıktıları kısıtlamayı önermişlerdir.

(23)

Literatürde başka bir bakış açısıyla, bütün KVB’leri ortak bir ağırlık kümesi kullanmak zorunda bırakan yaklaşımlar da vardır. Roll ve Golany, KVB’lerin ortalama etkinliğini maksimum yapmak için ağırlıkların ortak bir kümesini bulan modeller önermişlerdir [Roll ve Golany, 1993]. Kao ve Hung, KVB’lerin ağırlıklarının ortak bir kümesini elde eden bir model geliştirmişlerdir [Kao ve Hung, 2005]. Halme ve ark., VZA’ya tercih bilgisini katmak için farklı bir yaklaşım geliştirmişler ve etkinlik kavramı olarak karar vericilerin değerlerini içeren, “değer etkinliği” terimini tanıtmışlardır [Halme ve ark., 1999]. Bu model, bütün KVB’lere ortak ağırlıklar üzerinden kısıtların bir kümesini oluşturmada faydalı olmuştur.

Korhonen ve ark. ise, R&D (araştırma ve geliştirme) enstitülerinde ve üniversitelerde akademik araştırmaların performans analizi için değer etkinliğinden yararlanarak sistematik bir yaklaşımı tanıtmışlarlardır [Korhonen ve ark., 2001].

Ayrıca, literatürde sıralama amaçlı ağırlık kısıtlama yaklaşımları da vardır. Bal ve ark., değişim katsayısını (DK) (coefficient of variation) girdi ve çıktı ağırlıkları için tanımlayıp, bunları CCR modelin amaç fonksiyonuna ekleyerek (minDK=-maxDK dikkate alarak), sıralama amaçlı yeni bir DKVZA modelini elde etmişlerdir [Bal ve ark., 2008]. Bu model, Li ve Reeves (1999)’un geliştirdiği ÇKVZA (Çok Kriterli Veri Zarflama Analizi) (Multiple Criteria Data Envelopment Analysis) ile aynı amaca hizmet etmektedir. Yani, DKVZA modeli VZA’nın ayırma gücünü geliştirmek için, daha güvenilir girdi ve çıktı ağırlıkları elde etmeyi sağlamaktadır.

DKVZA modeli, Li ve Reeves modeline karşıt olarak karar vericinin herhangi bir önsel bilgisine gerek olmadan çözülebilmektedir. Li ve Reeves modeli, çok amaçlı bir doğrusal programlama tekniği olduğu için, her zaman bütün amaçları sağlayan bir çözüm bulmak çok zor olmaktadır. Oysa Bal ve ark.’nın DKVZA modeli tek amaç fonksiyonuna sahiptir [Bal ve ark., 2008]. DKVZA modelinde kullanılan değişim katsayısı ile ortalamayla ilişkili ağırlıkların değişkenliği ölçülebilmektedir. Değişim katsayısının CCR modeline eklenmesi ile elde edilen yeni DKVZA modeli, etkin birimlerin sayısını azaltmakta ve daha dengeli (homojen) bir ağırlık dağılımı sağlamaktadır. Wang ve ark., ikili karşılaştırma matrislerinden en çok tercih edilen ağırlıkları üretmek için bir doğrusal programlama yöntemini önermişlerdir [Wang ve

(24)

ark., 2008]. Bal ve Örkçü, hedef programlamadan yararlanarak, VZA’da ağırlık dağıtımının dengeli bir şekilde gerçekleştirilmesini sağlayan bir model geliştirmişlerdir [Bal ve Örkçü, 2007]. HPÇKVZA (Hedef Programlama ile Çok Kriterli VZA) (Goal Programming Multiple Criteria Data Envelopment Analysis) adını verdikleri bu modelin, Li ve Reeves’in geliştirdiği ÇKVZA modelinden tek farkı, hedef programlamadan yararlanarak girdiler/çıktılar için istenen ve istenmeyen sapmaların bulunmasıdır. Burada amaç, istenmeyen sapmaların minimum yapılmasıdır. Bernroider ve Stix’in çalışmasında, KVB’leri sıralamak amacıyla, çok kriterli karar verme analizi (ÇKKVA) ile çarpan kısıtlamalı VZA birleştirilmiştir [Bernroider ve Stix, 2007]. Wu ve ark.’nın çalışmasında olimpiyatlarda ulusların performansını ölçmek için, çapraz etkinlik yöntemi (ÇEM) kullanılmıştır [Wu ve ark., 2009a]. Çapraz etkinliğin önemli bir avantajı, bütün KVB’leri sıralamak için kullanılabilmesidir. Çalışmada, 2 girdi değişkeni (bütçe ve nüfus) ve 3 çıktı değişkeni (altın, gümüş ve bronz madalya kazananların sayıları) bulunmaktadır.

Yapılan ağırlık kısıtlamaları ile gümüş madalya kazanan bir birimin bronz madalya kazanan bir birimden daha yüksek değerli olması ve en yüksek değerli olan birimin altın madalya kazanmış olması koşulları getirilmiştir. Soares, De Mello ve ark., olimpik oyunların sıralanmasında her bir kümeye ağırlık kısıtlamalı VZA’da çapraz etkinlik modelini kullanmışlardır [Soares, De Mello ve ark., 2009].

VZA’da ağırlık kısıtlamaları kullanıldığında bazen uygun olmayan çözümler elde edilmektedir. Estellita Lins ve ark., ağırlık kısıtlamaları ile VZA modelinde uygun olmayan çözümlerden kaçınmak için ağırlık kısıtlamalı VZA çarpan programlarında uygunluk koşullarını kuran bir teorem sağlamışlardır [Estellita Lins ve ark., 2007].

Bu tez çalışmasında korelasyon katsayıları ile kısıtlamalı yeni bir ağırlık kısıtlama yaklaşımı geliştirilmiştir. Önerilen yeni yaklaşımın amacı, ağırlık kısıtlamasında girdi ve çıktı değişkenlerine aralarındaki korelasyona göre ağırlıkların atanmasıdır.

Bu yöntemde her bir KVB, elde edilen ağırlıklara göre küme içerisinde bir sıra almaktadır. Çalışmada iki farklı uygulama ve bir simülasyon çalışması ile önerilen yeni modellerin (CCRCOR ve BCCCOR) geçerliliği diğer modellerle

(25)

karşılaştırılarak sınanmıştır. Ayrıca, sıralama açısından modellerin ne kadar uyumlu olduğunu test etmek için Spearman testi kullanılmıştır.

Birinci bölüm olan giriş bölümünde, çalışmanın amacı açıklanarak, literatürde daha önce ağırlık kısıtlaması konusunda yapılmış çalışmalara yer verilmiştir. İkinci bölümde, klasik VZA yöntemlerine (CCR ve BCC) değinilmiştir. Üçüncü bölümde daha önce literatürde ağırlık kısıtlaması konusunda yapılmış çalışmalar incelenerek, mevcut ağırlık kısıtlaması yöntemleri açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, AR yaklaşımının amaçlarına yer verilmiştir. Bununla birlikte, AR ve Koni oran yaklaşımları geometrik olarak örneklerle açıklanmıştır. Beşinci bölümde, korelasyon katsayıları ile ağırlık kısıtlamalı yeni yaklaşım modelleri (CCRCOR, BCCCOR), AHS ile ağırlık kısıtlamalı yaklaşım modelleri (AHSCCR, AHSBCC) ve ÇKVZA anlatılmıştır. Altıncı bölümün birinci kısmında robotların etkinliğinin değerlendirilmesi amacıyla, yeni önerilen korelasyon katsayı kısıtlamalı VZA modelleri (CCRCOR, BCCCOR), CCR, BCC, AHS kısıtlamalı VZA modelleri (AHSCCR, AHSBCC) ve ÇKVZA modelleri uygulanmıştır. Altıncı bölümün ikinci kısmında çapraz etkinlik, doğru etkinlik oranı, süper etkinlik, CCR ve CCRCOR yöntemleri ile bir uygulama yapılmıştır. Daha sonra bu yöntemlere Spearman testi uygulanarak elde edilen test sonuçları karşılaştırılmıştır. Yedinci bölümde yapılan simülasyon çalışması ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Sekizinci bölümde ise, sonuçlar verilmiştir.

(26)

2- VERİ ZARFLAMA ANALİZİ (VZA)

2.1. Klasik VZA Yöntemleri

2.1.1. CCR model:

CCR Model ilk olarak Charnes-Cooper-Rhodes tarafından geliştirilmiştir [Charnes ve ark., 1978]. Bu model maksimum etkinlik skorunu elde etmek amacıyla, değerlendirilen her bir KVB’nin girdi ve çıktılarına farklı ağırlıklar atayacak şekilde tasarlanmıştır. CCR model, ölçeğe göre sabit getiri varsayımını temel almaktadır.

Modelde u çıktı ağırlıklarını, v girdi ağırlıklarını, x girdileri, y çıktıları,  incelenen _k k’ıncı KVB için etkinlik skorunu göstermektedir.

Girdi yönlü CCR model

Kesirli programlama biçiminde girdi yönlü CCR model, Eş. 2.1’deki gibi formüle edilir.





 _m

i i ik

s

r r rk

k

x v

y u max

1

 1

Kısıtlar:

) n ,..., j ( x

v y u

m

i ij i s

r rj r

1 1

1

1  





 (2.1)

2 0

1,u ,...,u_s  u

2 0

1,v ,...,v_m 

v

(27)

Girdi yönlü CCR modelin (Bkz. Eş. 2.1) doğrusal programlamaya çevrilmiş hali ise Eş. 2.2’de verilmiştir.





s

r r rk

k u y

max

1



Kısıtlar:

1





 m

i ik ix v

) n ,..., j ( x

v y

u

m

i ij i s

r rj

r 0 1

1 1











(2.2)

2 0

1,u ,...,u_s 

u ,

2 0

1,v ,...,v_m  v

Çıktı yönlü CCR model

Kesirli programlama biçiminde çıktı yönlü CCR model, Eş. 2.3’teki gibi formüle edilmiştir.





  s

r

rk r m

i ik i k

y u

x v min

1

 1

Kısıtlar:

) n ,..., j ( y

u x v

s

r rj r m

i ij i

1 1

1

1  





 (2.3)

Çıktı yönlü CCR modelin (Eş. 2.3) doğrusal programlamaya çevrilmiş hali ise Eş.

2.4’teki gibidir:

(28)





m

i ik i

k v x

min

1



Kısıtlar:

1





 s

r uryrk

) n ,..., j ( y

u x

v

m

i

s

r

rj r ij

i 0 1

1 1











 

(2.4)

2 0

1,u ,...,u_s 

u ,

2 0

1,v ,...,v_m  v

2.1.2. BCC model

BCC model, CCR modele alternatif olarak, Banker, Charnes, Cooper tarafından geliştirilmiştir [Banker ve ark., 1984]. BCC modelin CCR modelden tek farkı modele konveksliği sağlamak için serbest işaretli olarak, girdi yönlü modelde u_k, çıktı yönlü modelde v_k değişkeninin yerleştirilmesidir. u_k ve v_k değişkenleri sayesinde BCC model, ölçeğe göre değişken getiri varsayımını esas almaktadır. Modelde u çıktı ağırlıklarını, v girdi ağırlıklarını, x girdileri, y çıktıları,  incelenen k’ıncı KVB için _k etkinlik skorunu göstermektedir.

Girdi yönlü BCC model

Girdi yönlü BCC model Eş. 2.5’te verilmiştir.

k s

r r rk

k u y u

max 





1



Kısıtlar:

1





 m

i vixik (2.5)

(29)

) n ,..., j ( u

x v y

u _k

m

i ij i s

r rj

r 0 1

1 1











0 ,..., , ₂

1 u u_s 

u ,

0 ,..., , ₂

1 v v_m 

v

uk işareti sınırlandırılmamış

Çıktı yönlü BCC model

Çıktı yönlü BCC model Eş. 2.6’da verilmiştir.

k m

i ik i

k v x v

min 





1



Kısıtlar:

1





 s

r uryrk

) n ,..., j ( v

y u x

v _k

s

r r rj

m

i i ij 0 1

1 1









 

(2.6)

0 ,..., , ₂

1 u u_s 

u , v₁,v₂,...,v_m 0 vk işareti sınırlandırılmamış

(30)

3. VZA’DA AĞIRLIK KISITLAMASI

Giriş bölümünde vurgulandığı gibi, VZA, KVB’lerin göreli etkinliklerini (ağırlıklı çıktıların ağırlıklı girdilere oranı) değerlendirmek için uygulanan matematiksel bir programlama yaklaşımıdır. Bu yöntemde, her bir KVB kendi etkinlik skorunu en büyük yapacak şekilde ağırlıklarını belirler. Analiz sonucunda değerlendirmeye alınan her bir girdi ya da çıktıya atanan ağırlıklar, analize katılan KVB’lerin her biri için birbirinden farklıdır. Bu sorunu gidermek için, literatürde VZA’da ağırlıklar üzerine kısıtlamalar yüklenmektedir. Böylece çeşitli KVB’ler için aynı faktöre verilen önemde değişme azalmaktadır. CCR modelde kısıtlar iki tipte orijinal modele yüklenir:

1) Her bir KVB’nin etkinlik oranı 1’i aşmamalıdır.

2) Her bir faktör ağırlığı pozitif olmalıdır.

Klasik VZA’da ağırlıklar üzerine belirli alt ve üst sınırlar yüklenmez. Bazı durumlarda VZA modelinin kısıtlanmamış biçimi istenmeyen sonuçlar verir. Çünkü herhangi bir girdi ya da çıktı üzerine diğerlerine göre ne kadar ağırlık yerleştirileceği konusunda hiçbir ön kısıtlama yoktur. VZA, her bir KVB’yi verilen kısıtlar altında en iyi etkinlik oranına uydurmayı amaçlarken, bazı ağırlıklara aşırı derecede küçük değerler atanabilir. Bazen de KVB’ler sadece birkaç değişken üzerine ağırlıkların hepsini yerleştirebilir. Bundan başka, bu model her bir KVB için ayrı çalıştırılırken, ağırlıkların kümesi



^{u ,}_r ^v_i



, çeşitli KVB’ler için çok farklı olacaktır. Literatürde ağırlıklandırma sorunları ile ilgili olarak çeşitli durumlara değinilmiştir [Roll ve ark., 1991; Dimitrov ve Sutton, 2010]:

a) Analize dikkatle seçilen önemli girdi ve çıktı değişkenlerinden bazısı, istenmeyen bir biçimde sıfır ağırlık alabilir [Roll ve ark., 1991].

b) Sınırlandırılmamış VZA modelinde her bir KVB için en çok tercih edilebilir ağırlıkların tanımlanması, bazı durumlarda bu KVB’nin en önemli eksikliklerini (en düşük çıktıları ve/veya en yüksek girdileri) gidermekle sonuçlanabilir.

(31)

Örneğin kazalardan kaçınmanın değerlendirilen KVB’ler için önemli bir çıktı olduğu durumu düşünelim. Yüksek kaza oranları ile çalışan birimler için bu model, bu faktöre çok düşük bir ağırlık atayabilir [Roll ve ark., 1991].

c) Bazı durumlarda ve belirli amaçlar için farklı birimler değerlendirildiği zaman, aynı faktöre oldukça büyük farklılıkta ağırlıkların atanması kabul edilemez [Roll ve ark., 1991].

d) Ağırlıklar için doğru alt ve üst sınırları belirlemek oldukça zordur. Bir karar verici, bir modele tercih (öncelik) bilgisine bağlı olarak ağırlık kısıtlamalarını yerleştirmek isteyebilir. Bu durumda, doğrusal programın çözümsüz (infeasible) hale gelmesi mümkündür. Bu problem, işlenmemiş (ham) ağırlıkların kısıtlanması ile daha çok yaygındır. Fakat bu durum sanal (virtual) ağırlıklarla da ortaya çıkabilir [Dimitrov ve Sutton, 2010].

Tüm bu zorlukların giderilmesi için, çeşitliliğine izin verilen faktör ağırlıklarına uygun sınırlamalar belirlenir.

Asmild ve ark., izleyen nedenler için ağırlıklar üzerinde kısıtlamalar yerleştirmenin uygun olabileceğini vurgulamışlardır [Asmild ve ark., 2007]:

1) Girdi-çıktı ağırlıkları serbestçe elde edildiğinde bazı ağırlıklara güvenilmeyen değerler atanabilir. Bu durum, aslında etkin olmayan bir KVB’nin etkin olarak değerlendirilmesine neden olur.

2) Bir veya daha fazla davranışsal amacın etkinliklerini değerlendirmek, ağırlıkların gerçek değerlerini veya fiyatlarını yansıtmak zorundadır.

Faktör ağırlıkları üzerine sınırlamalar yükleme, analize katılan KVB’lerin her biri için ağırlıkların birimsel kümelerini atamada VZA’nın esnekliğini sınırlandırır.

Ağırlıkları kısıtlamak, çözümsüzlük problemleri ve uygun kısıtlamalar üzerinde mevcut uzman görüşlerinin uyuşmaması nedeniyle zor bir görev haline gelebilir. Bir uç durum olarak hiçbir esnekliğe izin verilmediği zaman ağırlıkların ortak bir kümesi bütün KVB’leri değerlendirmek için uygulanabilir. Bu yaklaşım, genellikle

(32)

mühendislik ve ekonomik etkinlik analizlerinde kullanılır. Ortak ağırlık alındığında, bütün önemli faktörler değerlendirme sisteminde içerilir ve ek durumlara izin verilmez. VZA’nın uygun bir yaklaşım olduğu durumlarda böyle bir varsayım tipik olarak geçerli değildir. Çünkü, VZA’da, analize giren faktörler genelde sadece sınırlı sayıdadır. Bundan başka, KVB’ler arasında hedefler, politikalar gibi durumlar için sık sık düşündürücü değişimler vardır. Böylece, çeşitli faktörlere farklı derecede önem verilir. Bu durum, farklı KVB’ler açısından bakıldığı zaman, aynı faktörler için farklı ağırlıkları haklı çıkartmaktadır.

Ağırlıklar üzerinde sınırlamalar yüklemek, göreli etkinliklerin sayısını azaltmaktadır.

Ayrıca sınırlandırılmış modelle elde edilen etkinlikler sınırlandırılmamış yaklaşımla elde edilene eşit ya da daha küçüktür. Sınırlar tam olarak daraldığında ise, ağırlıkların ortak bir kümesi elde edilir [Roll ve ark., 1991].

Sübjektif yöntemler, uzman görüşlerine ve değer yargılarına dayanan yöntemlerdir.

Objektif yöntemler ise, uzman görüşleri ya da değer yargıları içermezler. Sübjektif yöntemler, uygun çözüm bölgesini etkilemektedirler. Eğer bir ağırlık kısıtlaması, doğrusal programın çözüm bölgesini etkilemezse bu ağırlık kısıtlamasının objektif olduğu söylenebilir [Dimitrov ve Sutton, 2010].

Ağırlıklandırma konusunda sübjektif yöntemlerde, objektif yöntemlerden farklı olarak, etkinlik değerlendirmesi süresince kullanılan değer yargılarının karar vericinin tercihlerini yansıttığı düşünülmektedir. Klasik VZA’da bile girdi-çıktı değişkenlerinin seçiminde değer yargıları bulunmaktadır [Charnes ve ark., 1978].

Örneğin, tam olarak sıfır ağırlığı veren değişkenler değerlendirmeden çıkarılmaktadır.

Değer yargıları, bir KVB’nin etkinliğini değerlendirmede girdiler ve çıktılar için optimal ağırlıkların seçimini etkilemektedir. Allen ve ark., VZA’da değer yargılarının kullanım nedenlerini maddeler halinde açıklamışlardır [Allen ve ark., 1997]:

 KVB’lerin girdi ve çıktı değerleri üzerinde öncelikli fikirleri birleştirmek,

(33)

 Belirli girdiler/çıktıların değerleri arasında bağ kurmak,

 Etkin ve etkin olmayan KVB’ler üzerinde öncelikli fikirleri birleştirmek,

 Değerlendirilen etkinlikte girdi/çıktı için marjinal ikame oranlarının tahmin edilmesi ve girdiler ve çıktılar için sıfır ağırlıklarının dikkate alınması durumu,

 Etkin birimler arasında sınıflandırmaya imkan tanımak.

Literatürde ağırlıklara kısıtlamalar yüklemek için kullanılan 3 farklı yaklaşım vardır.

[Allen ve ark., 1997]:

 Ağırlıklar üzerinde doğrudan kısıtlamalar (Assurance Region I (ARI), Assurance Region II (ARII), mutlak ağırlık kısıtlamaları),

 Değer yargılarını dikkate almak için gözlenen girdi ve çıktı düzeylerini ayarlamak (Koni oran modeli ve Golany yöntemi),

 Ağırlıklı girdileri ve çıktıları kısıtlamak [Allen ve ark., 1997].

3.1. Ağırlıklar Üzerinde Doğrudan Kısıtlamalar

Ağırlıklar üzerinde doğrudan kısıtlamalar yüklemek için literatürde yapılmış birçok çalışma vardır. Örneğin, en iyi nükleer fizik laboratuvarının yerini belirleme [Thompson ve ark., 1986], bölümlerin mali açıdan oransal olarak değerlendirilmesi [Dyson ve Thanassoulis, 1988], ordu etkinliği [Banker ve Morey, 1989], karayolu bakımından etkinlik [Cook ve ark., 1990], perinatal korumanın değerlendirilmesi [Thanassoulis ve ark., 1995], doktorların etkinliği [Chilingerian ve Sherman, 1997]

bu çalışmalardan bazılarıdır.

3.1.1. I. Tip assurance region (ARI)

ARI, girdi/çıktı değerleri (fiyatlar) üzerine tercih bilgisini katmak ya da girdi/çıktı değerlerinin göreli sıralamasını değerlendirmeye almak için kullanılır. Bu tür kısıtlamalarda alt ve üst sınırlar, girdi ya da çıktı ağırlıklarının oranları üzerine fiyat bilgisi kullanılarak yüklenir. [Thompson ve ark., 1990; Thompson ve ark., 1996a;

(34)

Thompson ve ark., 1996b; Taylor ve ark., 1997]. Bazı yazarlar, ARI kısıtlamaları yüklendiği zaman en azından bir tane etkin KVB’nin mevcut olacağını vurgulamışlardır [Charnes ve ark., 1990; Thompson ve ark., 1990]. AR modeli, teknik etkinlikten, genel (overall) etkinlik ölçümüne geçişi gösterir. Eğer fiyat bilgisi yoksa, girdilerin/çıktıların göreli önemi üzerinde uzman görüşü, sınırları belirlemek için kullanılır [Zhu, 1996]. ARI VZA modeli, matematiksel olarak Eş. 3.1’deki gibi gösterilebilir [Kabnurkar, 2001]:



 s

r uryrk

max

1

Kısıtlar:

1





 m

i vixik (3.1)

n j

x v y

u

m

i i ij

s

r r rj 0 1,...,

1 1









 

i p i

i B

v

A  v  i<p, i, p=1,…,m

r t r

r b

u

a  u  r<t, r, t=1,…,s







v_i i=1,…,m







u_r r=1,…,s

A ve i B , girdi ağırlıklarının oranları üzerinde alt ve üst sınırlardır. _i a ve _r b , çıktı _r ağırlıklarının oranları üzerinde alt ve üst sınırlardır. x ve ₁ y için ARI kısıtlamaları: ₁

i i

i B

v A v 

1

i=2,…,m

r r

r b

u a  u 

1

r=2,…,s (3.2)

(35)

Eş. 3.2’ deki AR kısıtlamaları hesaplama kolaylığı açısından Eş. 3.3’teki biçimde yazılabilir [Kabnurkar, 2001]:

1

1 v Bv

v

Ai  i  i i=2,…,m

1

1 u b u

u

ar  r  r r=2,…,s (3.3)

Bu tip kısıtlamalar, temelde Charnes ve ark. [Charnes ve ark., 1978; Charnes ve ark., 1985]’in marjinal ikame oranı kavramına dayanır. Pratik uygulamalarda, ARI’de sınırları oluşturmak, sadece uzman görüşünü [Beasley, 1990; Kornbluth, 1991] ya da fiyat maliyet bilgileri ile birlikte uzman görüşünü [Thompson ve ark., 1990;

Thompson ve ark., 1992] esas alır.

3.1.2. II. Tip assurance region (ARII)

ARII modelinde girdi ve çıktı ağırlıkları, birbirleriyle bağlantılıdır. Bu nedenle, bağlantılı AR kısıtlamaları (linked AR constraints) olarak da adlandırılır. Thompson ve ark., girdi ve çıktı ağırlıkları arasındaki bu bağlantıyı fark eden ilk yazarlardır [Thompson ve ark., 1990]. VZA’da etkinlik ölçümünde, değişkenlerin birimsel değerlerinden ziyade kombinasyonlarının dikkate alınması, girdi ve çıktı ölçümlerini birbirine bağlayan birçok VZA uygulamasında gereklidir [Allen ve ark., 1997].

Örneğin, Thanassoulis ve ark. (1995), bu yaklaşımla yapılmış bir çalışmadır. ARII modelleri,

 Bir girdiye göre bir çıktının göreli önemi üzerine bilgiyi katmak [Thanassoulis ve ark., 1995]

 KVB’lerin verimliliğini tanımlamak [Thompson ve ark., 1996b]

amaçları için kullanılabilir. ARII yaklaşımında sınırlar, çıktı ağırlıklarının girdi ağırlıklarına oranları üzerine kurulur. ARII ile yapılan VZA değerlendirmeleri bazen çözümsüzlükle sonuçlanabilir [Allen ve ark., 1997].

(36)

ARII VZA modeli, matematiksel olarak Eş. 3.4’teki gibi gösterilebilir [Allen ve ark., 1997]:



 s

r uryrk

max

1

Kısıtlar:

1





 m

i ik ix v

n j

x v y

u

m

i ij i s

r rj

r 0 1,...,

1 1











(3.4)

r i iv u









v_i i=1,…,m







u_r r=1,…,s

Eş. 3.4’te ,  , çıktı ağırlığı _i u ’nin girdi ağırlığı _r v ’ye oranı üzerinde üst sınırdır. _i

Uygun ARII geliştirme yöntemleri, dünya çapında petrol şirketlerinin değerlendirilmesi [Thompson ve ark., 1994] ve sağlık hizmetinin çıktı kalitesinin değerlendirilmesi [Thanassoulis ve ark., 1995] gibi bazı çalışmalarda kullanılmıştır.

Thompson ve ark., değerlendirmede kurumsal/endüstri raporları ile elde edilen piyasa fiyatlarından yararlanmışlardır [Thompson ve ark., 1994]. Thanassoulis ve ark., ölüm üzerinde çevresel etkilerin belirlenmesiyle İngiltere’de perinatal bakım birimlerinin değerlendirilmesi amacıyla, tıbbi sonuçların perinatal bakım kalitesini yansıtabilmesi için standartlaştırılmış bir hayatta kalma (survival) oranını (riskli bebeklerin hayatta kalma oranını) kullanmışlardır [Thanassoulis ve ark., 1995].

Hayatta kalma oranı, iki değişken ile VZA modeline katılmıştır. Böylece, riskli bebeklerin sayısı, bir girdi iken, hayatta kalma sayısı bir çıktı olarak alınmıştır.

Hayatta kalma sayısının ağırlığının, riskli bebeklerin sayısının ağırlığı ile bağlantılı olması gereklidir. Aksi takdirde, bir birim, gerçek hayatta kalma oranı ne olursa olsun kendi etkinlik oranını artırmak için, riskli bebeklerin sayısını az ya da hayatta

(37)

kalma sayısını fazla açıklar. Hayatta kalma sayısı ya da riskli bebeklerin sayısı için herhangi bir ağırlık verildiğinde, gerçek hayatta kalma oranını yansıtacak etkinlik tahminlerinin elde edilmesini sağlamak için, Thanassoulis ve ark., bu iki ilişkili değişken için eşit ağırlıklar vermeyi önermişlerdir [Thanassoulis ve ark., 1995].

3.1.3. Mutlak ağırlık kısıtlamaları

Mutlak ağırlık kısıtlamaları, analizde ihmal edilen ya da olması gerekenden fazla ağırlıklandırılan girdi ve çıktıları önlemek için geliştirilmiştir [Allen ve ark., 1997].

Mutlak ağırlık kısıtlamaları, girdi-çıktı ağırlıkları üzerine alt ve üst sınırlar yükler [Roll ve ark., 1991; Roll ve Golany, 1993]. Bazen mutlak ağırlık kısıtlamaları ile çözümsüzlük elde edilebilir. [Allen ve ark., 1997]. Bu yaklaşımı kullanmadaki temel güçlük, sınır değerlerinin belirlenmesidir. Mutlak ağırlık kısıtlamaları ile bir CCR modeli Eş. 3.5’teki gibi gösterilebilir [Allen ve ark., 1997]:





 m

i i ik

s

r r rk

x v

y u max

1 1

Kısıtlar: (3.5)

n ,..., j x

v y u

m

i i ij

s

r r rj

1 1

1

1  





i i i v 



r r

r u 









vi i=1,…,m







ur r=1,…,s

(38)

Eş. 3.5’te,

i ve

i girdi ağırlıkları üzerinde kullanıcının belirlediği sırasıyla alt ve üst sınırlardır. _rve _r ise, çıktı ağırlıkları üzerinde sırasıyla alt ve üst sınırlardır.

Mutlak sınır değerlerinin tahmininde fiyattan başka gerçek doğal bir dayanağın olmaması nedeniyle, bu tip yaklaşımlara literatürde büyük önem verilmiştir. Bazı yazarlar, analizde yer alan KVB’lerden elde edilen göreceli bilgiye dayanan alternatif yaklaşımlar önermişlerdir. Örneğin, Roll ve ark. (1991), Roll ve Golany (1993), Dyson ve Thanassoulis (1988) bunlardan bazılarıdır.

3.2. Değer Yargılarını Dikkate Almak İçin Gözlenen Girdi-Çıktı Düzeylerini Ayarlamak

Bölüm 3.1’ deki doğrudan ağırlık kısıtlamaları, orijinal VZA modeline ilave kısıtlar eklenerek yüklenmektedir. Bu bölümde ise, değer yargılarını dikkate almak için gözlenen girdi-çıktı düzeylerini ayarlamak üzere yapılan ağırlık kısıtlamaları ile mevcut girdi-çıktı verisi bir vektörle çarpılır ve yeniden düzenlenerek yüklenir.

Literatürde bu amaçla yapılmış çalışmalardan bazıları şu şekildedir: Bankaların birleşik performansı [Charnes ve ark., 1990], ticaret oyunları [Kornbluth, 1991], senetlerin seçimi [Cook ve ark., 1992]. Dönüştürülmüş girdi-çıktı verisi ile ağırlık kısıtlamaları yapmak için kullanılan iki yaklaşım vardır: Koni oran modeli, Golany yöntemi.

3.2.1. Koni oran modeli (Cone ratio model)

Charnes ve ark., tarafından önerilen Koni oran modeli, analize uzman görüşüne ait bilgiyi katmaktadır [Charnes ve ark., 1990]. Bu model, karar verici tarafından belirlenen koşulları sağlayan etkin KVB’lerin optimal sanal çarpanları ile aralıklandırılmış bir koniyi oluşturmayı içerir [Charnes ve ark., 1990]. Koni oran modeli, grafiksel ve matematiksel gösterimi açısından Bölüm 4’ te ayrıntılı olarak incelenecektir.