AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7) DOI: 10.5578/fmbd.5424 Araştırma Makalesi / Research Article
Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi
Murat ATİK
Özel Zafer Lisesi, Afyonkarahisar.
e-posta: [email protected] Geliş Tarihi:21.03.2013; Kabul Tarihi:06.05.2013
Anahtar kelimeler İnmiş halkalar;
Yarıdeğişmeli halkalar;
Katı halkalar.
Özet
bir halka ve da nin bir endomorfizması olmak üzere eğer, , ∈ için = 0 olması ( ) = 0 olmasını gerektiriyor ise, bu durumda endomorfizmasına soldan yarıdeğişmelidir denir. Eğer bir halkasının soldan yarıdeğişmeli bir endomorfizması varsa, bu durumda halkasına soldan
−yarıdeğişmeli halka denir. Bu çalışmada yarıdeğişmeli halkalar için bilinen bir çok sonuç soldan
−yarıdeğişmeli halkalara genelleştirilecektir.
A Generalization of Semicommutative Rings
Key words Reduced Rings;
Semicommutative Rings; Rigid Rings.
Abstract
For an endomorphism of a ring , the endomorphism is called left semicommutative if = 0 implies ( ) = 0 for , ∈ . A ring is called left −semicommutative if there exists a left semicommutative endomorphism of . In this paper, varios results of semicommutative rings are extended to left −semicommutative rings.
© Afyon Kocatepe Üniversitesi
1. Giriş
Bu çalışma boyunca birimli bir halkayı ve aksi belirtilmedikçe da halkasının birimden ve sıfırdan farklı bir endomorfizmasını gösterecektir.
Eğer bir halkasının sıfırdan farklı eşkare elemanı yoksa, bu halkaya inmiş (reduced) bir halka denir.
(Lambek, 1971) de; , , ∈ için
= 0 ⟹ = 0
şartını sağlayan bir halkayı simetrik halka olarak adlandırmıştır. Diğer taraftan (Habeb, 1990) da,
, ∈ için
= 0 ⟹ = 0
gerektirmesini sağlayan halkaları sıfır değişmeli olarak isimlendirirken aynı şartı sağlayan halkalara (Cohn,1999) da terslenebilir (reversible) halkalar demiştir. Terslenebilir halkaların bir genelleştirmesi yarıdeğişmeli (semicommutative) halkalardır.
, ∈ için = 0 ⟹ = 0 oluyorsa bu halkasına yarıdeğişmeli bir halka denir. Her inmiş halka simetrik fakat bunun tersi doğru değildir. Her simetrik halka da yarıdeğişmeli bir halkadır.
Yarıdeğişmeli halkalarla ilgili günümüze kadar birçok çalışma yapılmıştır. Bunlardan bir kısmı kaynaklar bölümünde verilmiştir. Tekrar bir halkasının bir endomorfizması olmak üzere eğer
∈ için ( ) = 0 ⟹ = 0 veya denk olarak ( ) = 0 ⟹ = 0 oluyorsa bu durumda halkasına −katı ( −rigid) halka denir. (Krempa, 1996). Eğer bir −katı halka ise, bu durumda açık olarak inmiş bir halka ve bir monomorfizmadır.
2. Materyal ve Metot
Son yıllarda yarıdeğişmeli halkaların bir genelleştirilmesi (Başer,M. , Harmancı, A. ve Kwak, T.K. , 2008) tarafından yapılmıştır. Bu çalışmada;
bir halka ve ; nin bir endomorfizması olmak
Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 2 üzere, , ∈ için = 0 ⟹ ( ) = 0 şartını
sağlayan halkalar −yarıdeğişmeli halkalar olarak adlandırılmıştır. Bu çalışmada ise , ∈ için
= 0 ⟹ ( ) = 0 … . . ( )
özelliğini sağlayan halkalar dikkate alınmıştır. Şimdi;
= 0 | , , ∈ ℤ halkasının
0 = 0
0 0
ve
0 = 0 0
0
şeklinde tanımlanan endomorfizmalarını göz önüne alalım. Bu halkasının −yarıdeğişmeli olduğu yukarıda adı geçen makalede gösterilmiştir. Fakat bu halka ( ) özelliğini sağlamaz.
Gerçekten;
= 1 −1
0 0 , = 0 1
0 1 ∈ için = fakat
= 1 1
0 0 ∈ için ( ) = 0 2
0 0 ≠
Yani ( ) ≠ dır. Diğer taraftan halkasının endomorfizması ile birlikte ( ) özelliğini sağladığı
Örnek 3.5 de gösterilmiştir. Fakat bu halkası
−yarıdeğişmeli değildir.
Gerçekten;
= 1 1
0 0 , = 0 1
0 −1 ∈ için = fakat
= 0 1
0 1 ∈ için ( ) = 0 −2
0 0 ≠
Yani ( ) ≠ dır. Sonuç olarak
−yarıdeğişmeli halkaların sınıfı ile ( ) özelliğini sağlayan halkaların sınıfı birbirinden farklı, yani aralarında bir ilişki yoktur.
Yukarıdakilerin ışığı altında, biz bu çalışmada soldan
−yarıdeğişmeli halka kavramını tanımlayacağız.
Soldan −yarıdeğişmeli halkalar −katı halkaların bir genelleştirilmesi olduğu kadar yarıdeğişmeli halkalarında bir genişlemesi olacaktır. Böylece
−katı halkalar ile ilgili önceden bilinen pek çok sonuç bizim teoremlerimizin bir sonucu olarak elde edilecektir.
3. Soldan − yarı değişmeli Halkalar
Bu bölümdeki amacımız soldan −yarıdeğişmeli halka kavramını tanıtmak ve bu halka sınıflarının özelliklerini incelemek olacaktır. Soldan
−yarıdeğişmeli halka kavramı sadece −katı halkaların bir genelleştirmesi değil aynı zamanda yarıdeğişmeli halkalarında bir genelleştirmesidir.
Aşağıdaki tanımı vererek başlayalım.
Tanım 3.1. bir halka ve da nin bir endomorfizması olsun. , ∈ için
= 0 ⟹ ( ) = 0
oluyorsa, bu durumda ya ğ ş dir denir. Eğer halkasının soldan yarı değişmeli bir endomorfizması varsa, bu durumda halkasına − ğ ş halka denir.
; halkasının birim endomorfizması olmak üzere;
eğer soldan −yarıdeğişmeli ise, bu durumda açık olarak halkası yarı değişmelidir. Soldan
−yarıdeğişmeli bir halkanın ( ) ⊆ şartını sağlayan her bir alt halkasıda aynı zamanda soldan −yarıdeğişmeli bir halkadır.
Uyarı 3.2. bir soldan −yarıdeğişmeli bir halka olmak üzere , ∈ için = 0 olsun. Bu durumda ( ) = 0 ve özel olarak ( ) = 0 olur. soldan −yarıdeğişmeli halka olduğundan ( ) = 0 elde ederiz. Böylece tümevarım hipotezinden herhangi bir pozitif tamsayısı için
( ) = 0 ve ( ) = 0 olur.
Yukarıdaki tanımdaki gerektirmenin tersinin genellikle sağlanmadığını aşağıdaki örnekten görürüz. Aşağıdaki örnek aynı zamanda soldan
−yarıdeğişmeli olmayacak şekilde yarıdeğişmeli
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 3 bir halkasının bir endomorfizmasının var
olduğunu gösterir.
Örnek 3.3. = ℤ ⊕ ℤ halkası olsun. değişmeli ve inmiş halka olduğundan da yarıdeğişmeli bir halkadır. halkasının
: → , ( , ) = ( , )
şeklinde tanımlanan endomorfizmasını göz önüne alalım. Bu durumda açık olarak ; nin bir otomorfizmasıdır. = (1,0), = (1,0) ∈ için ( ) = 0 fakat = (1,0) ≠ 0 dır. Üstelik, soldan −yarıdeğişmeli değildir. Gerçekten;
(1,0), (1,0) ∈ için (1,0)(1,0) = (0,0) fakat
(0,0) ≠ (1,0) (1,1)(0,1) ∈ (1,0) (0,1) dir.
Teorem 3.4. Bir halkasının −katı olması için gerek ve yeter koşul nin inmiş soldan
−yarıdeğişmeli bir halka ve nın bir monomorfizma olmasıdır.
İspat. ; −katı bir halka olsun. Bu durumda kolayca görülebilir ki inmiş ve bir monomorfizmadır. Şimdi nin soldan
−yarıdeğişmeli olduğunu gösterelim.
Bunun için , ∈ ve = 0 olsun. ∈ keyfi olsun. inmiş olduğundan = 0 olur. Böylece
( ( ) ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) (0) = ( ) ( )0 = 0
olup, ; −katı olduğundan ( ) = 0 ve keyfi olduğundan da ( ) = 0 elde edilir.
Tersine olarak ∈ için ( ) = 0 olsun.
soldan −yarıdeğişmeli halka olduğundan
( ) ( ) = 0 ve özel olarak da ( ) ( ) = ( ) = 0
elde edilir. monomorfizma olduğundan = 0 ve inmiş olduğundanda = 0 bulunur ki, bu da bize nin −katı olduğunu gösterir.∎
Aşağıdaki örnek Teorem 3.4. deki “ bir inmiş halka” ve “ bir monomorfizma ” şartlarının kaldırılamayacağını gösterir.
Örnek 3.5. (1) ℤ tamsayılar halkası olmak üzere
= 0 | , ∈ ℤ
halkasını göz önüne alalım.
: → ,
0 = −
0
şeklinde tanımlansın. Açık olarak bir otomorfizmadır. halkasının inmiş olmadığı ve böylece de −katı olmadığı kolayca görülebilir.
= 0 , =
0 ∈ için = olsun. Buradan = 0 ve + = 0 olur. Keyfi bir ℎ
0 ℎ ∈ için
0
ℎ
0 ℎ 0
= − 0
ℎ
0 ℎ 0
= ℎ ℎ + − ℎ
0 ℎ
olur. = 0 ve ℤ tamsayılar halkası sıfır bölensiz olduğundan = 0 veya = 0 olur. Eğer = 0 ise, bu durumda = 0 olur. Böylece ( ) = olur. Eğer = 0 ise, bu durumda = 0 olur.
Böylece tekrar ( ) = olur. Sonuç olarak bir soldan β −yarıdeğişmeli halka olur.
(2) bir cisim ve = [ ] olsun.
: → , ( ) = (0) şeklinde tanımlanan fonksiyon açık olarak
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 4 halkasının bir endomorfizmasıdır. Bu durumda
halkası değişmeli tamlık bölgesi ve böylece de inmiş halka olur. Ayrıca, açık olarak bir monomorfizma değildir. ( ), ( ) ∈ için ( ) ( ) = 0 olsun.
Bu durumda ( ) = 0 veya ( ) = 0 olur.
Böylece ( ) = 0 veya ( ) = 0 olur. Sonuç olarak ( ) ( ) = 0 elde edilir ki bu da bize halkasının soldan −yarıdeğişmeli olduğunu gösterir. 0 ≠ ∈ için ( ) = 0 olduğundan halkası −katı değildir.
Eğer halkası bir tamlık bölgesi ise, bu durumda hem yarıdeğişmeli hem de nin her endomorfizması için soldan −yarıdeğişmeli dir.
Örnek 3.5(1) aynı zamanda tamlık bölgesi olmayan fakat soldan −yarıdeğişmeli bir halkasının var olduğunu gösterir.
Önerme 3.6. soldan −yarıdeğişmeli bir halka olsun. Bu durumda;
( ) (1) = 1 olması için gerek ve yeter koşul herhangi bir = ∈ için ( ) = olmasıdır.
( ) Eğer (1) = 1 ise, bu durumda abelian halkadır. (Yani deki tüm idempotentler merkezil dir.)
İspat. ( ) (1) = 1 olduğunu kabul edelim. Eğer
= ∈ ise, bu durumda (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olur. soldan −yarı değişmeli olduğundan ( ) (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 elde edilir. Özel olarak ( )(1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olur. ( )(1 − ) = 0 dan ( ) = ( ) elde edilir. (1 − ) = 0 dan 1 − ( ) = 0 ve böylece de ( ) = olur.
Sonuç olarak ( ) = bulunur. Tersi açıktır.
( ) (1) = 1 ve = ∈ olsun. ( ) deki gibi ( ) (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olduğunu görürüz. Böylece ( ) den dolayı (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olur. O halde her ∈ için (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olurki buradan
= = bulunur. Sonuç olarak bir abelian halkadır.∎
Örnek 3.7. =
0 | , , ∈ ℤ halkasını ve : → ,
0 = 0 0
0 endomorfizmasını göz önüne alalım.
= 0 , = 0 ∈ için =
olsun. Bu durumda = 0 ve böylece de = 0 veya = 0 elde ederiz. Bu ise ( ) = 0 olduğunu verir. Sonuç olarak soldan
−yarıdeğişmeli bir halkadır. (1) ≠ 1 ve nin abelian olmadığı açıktır.
Sonuç 3.8. Yarı değişmeli halkalar abelian dır.
bir halka ve de bir ( , ) −bimodül olsun. Bu durumda
( , ) = ⊕ = {( , )| ∈ , ∈ } kümesi bileşensel toplama ve
( , )( , ) = ( , + )
çarpma işlemi ile birlikte bir halkadır. Bu ( , )
halkası 0 | ∈ , ∈ matris
halkasına izomorftur. ; halkasının bir endomorfizması olmak üzere : ( , ) → ( , )
0 = ( ) ( )
0 ( )
fonksiyonu da ( , ) halkasının bir endomorfizmasıdır.
Örnek 3.9. Örnek 3.5.(1) deki soldan
−yarıdeğişmeli halkasını göz önüne alalım.
=
0 1 0 0
−1 1
0 −1
0 0 0 0
0 1
0 0
∈ ( , ),
=
0 1 0 0
1 1 0 0 0 1
0 0
0 1 0 0
∈ ( , )
için = dır. Fakat
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 5
=
1 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0
1 0
0 1
∈ ( , )
İçin ( ) =
0 1 0 0
1 −1
0 1
0 0 0 0
0 1
0 0
1 0 0 1
0 0
0 0
0 0 0 0
1 0
0 1
0 1 0 0
1 1 0 0 0 1
0 0
0 1 0 0
=
0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
≠
olduğundan ( ) ( , ) ≠ olur. Böylece ( , ) soldan −yarıdeğişmeli değildir.
Önerme 3.10. inmiş bir halka olsun. Eğer soldan −yarıdeğişmeli bir halka ise, bu durumda ( , ) soldan −yarıdeğişmeli halkadır.
İspat. İlk olarak nin inmiş bir halka olması için gerek ve yeter koşulun
" , ∈ için = 0 ⇒ = 0"
olduğunu gösterelim. Bunun için inmiş bir halka ve , ∈ için = 0 olsun. Bu durumda
= 0 dır.
Diğer taraftan ( ) = = 0 = 0 ve inmiş olduğundan = 0 bulunur. Tersine
" , ∈ ç = 0 ⇒ = 0"
olsun. nin inmiş olduğunu gösterelim. Bunun için
∈ için = 0 olsun. Buradan 1 = 0 olup hipotezden 1 = 0 yani = 0 bulunur. Sonuç olarak inmiş halka olur. Şimdi
= 0 , =
0 ∈ ( , ) için = olsun. Bu durumda = 0 ve + = 0 olur.
Böylece
0 = + = ( + ) = = 0
ve inmiş olduğundan = 0 ve böylece de
= 0 olur. soldan −yarıdeğişmeli halka
olduğundan ( ) = 0, ( ) = 0 ve ( ) = 0 olur. Sonuç olarak ( ) ( , ) = 0 olur ki bu da bize ( , ) nin soldan
−yarıdeğişmeli olduğunu gösterir.∎
Sonuç 3.11. Eğer bir −katı halka ise, bu durumda ( , ) soldan −yarıdeğişmeli bir halkadır.
İspat. Teorem 3.4. ve Önerme 3.10. dan açıktır.
Bir halkasının ( , ) aşikar genişlemesi
( ) = 0 0 0
| , , , ∈
halkasına genişletilebilir. Eğer : → bir homomorfizma ise, bu durumda
: ( ) ⟶ ( ),
0
0 0
=
( ) ( ) ( )
0 ( ) ( )
0 0 ( )
fonksiyonu da bir homomorfizmadır.∎
Örnek 3.12. Örnek 3.3. deki = ℤ ⊕ ℤ değişmeli inmiş halkasını ve bu halkanın ( , ) = ( , ) otomorfizmasını göz önüne alalım. Bu durumda ( ) halkası soldan −yarı değişmeli bir halka değildir. Gerçekten;
=
(1,0) (0,0) (0,0) (0,0) (1,0) (0,0) (0,0) (0,0) (1,0)
∈ ( ),
=
(0,1) (0,0) (0,0) (0,0) (0,1) (0,0) (0,0) (0,0) (0,1)
∈ ( )
için = dır. Fakat ( ) = =
olduğundan ( ) ( ) ≠ dır.
Önerme 3.13. bir inmiş halka olsun. Eğer soldan −yarıdeğişmeli bir halka ise, bu durumda
( ) = 0 0 0
| , , , ∈
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 6 halkası soldan −yarıdeğişmeli bir halkadır.
İspat.
= 0
0 0
, = 0
0 0
∈ ( ) için
= olsun.
Bu durumda aşağıdaki denklemleri elde ederiz.
(1) = 0, (2) + = 0, (3) + + = 0, (4) + = 0.
soldan −yarıdeğişmeli halka olduğundan (1) denkleminden ( ) = 0 olur.
(2) denkleminden ( + ) = ( ) ve inmiş halka olduğundan = 0 olur. Benzer olarak (4) denkleminden = 0 ve = 0 buluruz. Aynı zamanda (3) denkleminden
( + + ) = ( )
ve buradan = 0 elde edilir. Böylece (3) denklemi + = 0 haline gelir. Bu durumda
0 = ( + ) =
ve böylece = 0 ve buradan da = 0 olur.
soldan −yarıdeğişmeli olduğundan ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = 0
olur. Bunları kullanarak ( ) ( ) = olduğunu görebiliriz ki, bu da bize ( ) halkasının soldan
−yarıdeğişmeli halka olduğunu gösterir.
Sonuç 3.14.
([ , . , ., 2003, Ö 1.2. ]) bir inmiş halka olsun. Bu durumda ( ) halkası yarı değişmeli bir halkadır. ≥ 2 bir tamsayı olmak üzere bir −katı halkası için
( )
=
⎩⎪
⎨
⎪⎧
⎝
⎜
⎛ 0
0 0
⋯
⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 ⋯ ⎠
⎟
⎞| , ∈
⎭⎪
⎬
⎪⎫
olsun. Önerme 3.13. göz önüne alınarak ≥ 4 için ( ) halkasının da soldan −yarı değişmeli bir halka olacağı zannedilebilir. Fakat aşağıdaki örnek bu durumu ortadan kaldırır.
Örnek 2.15. bir − katı halka ve
( ) = 0
0 0
0 0 0
| , ∈
olsun. bir −katı halka olduğundan ([ ,
. , , . , . , 2000,
Ö 5]) gereğince her = ∈ için ( ) = dir. Böylece özel olarak (1) = 1 dir.
= 0 0
1 0
−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
∈ ( ),
= 0 0
0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
∈ ( )
İçin = dır. Fakat
= 0 0
0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
∈ ( )
İçin
( ) =
0 0
0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
≠
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 7 olduğundan ( ) ( ) ≠ olur. Yani ( )
halkası soldan −yarıdeğişmeli bir halka değildir.
Benzer şekilde ≥ 5 içinde ( ) halkasının soldan −yarıdeğişmeli bir halka olmadığı gösterilebilir.
Her bir ∈ Γ için bir halka ve lerde halkalarının endomorfizmaları olsun. Bu durumda
: ∏∈ →∏∈ , ( ) = ( ) şeklinde tanımlanan fonksiyonda ∏∈ halkasının bir endomorfizmasıdır.
Önerme 3.16. ∏∈ halkasının soldan
−yarıdeğişmeli olması için gerek ve yeter koşul her bir halkasının soldan −yarıdeğişmeli halka olmasıdır.
İspat. Açıktır.∎
Kaynaklar
Başer, M., Hong, C.Y. and Kwak, T.K., 2009. On Extended Riversible Rings. Algebra Colloquium, 16(1), 37-48.
Başer, M.,Harmancı, A. And Kwak, T.K., 2008.
Generalized Semicommutative Rings and Their Extensions. Bulletin of the Korean Mathematical Society, 45(2), 285-297.
Cohn, P.M., 1999. Reversible rings. Bulletin of the London Mathematical. Society, 31, 641-648.
Habeb, J.M., 1990. A note on zero commutative and duo rings. Mathematical Journal of Okayama University, 32, 73-76.
Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2000. Ore extensions of Baer and p.p.-rings. Journal of Pure and Applied Algebra, 151(3), 215-226.
Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2003. On skew Armendariz rings. Communications in Algebra, 31(3), 103-122.
Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2005. Extensions of generalized reduced rings. Algebra Colloquium, 12(2), 229-240.
Huh, C. , Lee, Y. and Smoktunowicz, A., 2002.
Armendariz rings and semicommutative rings.
Communications in Algebra, 30(2) 751-761.
Kim, N.K. and Lee, Y., 2000. Armendariz rings and reduced rings. Journal of Algebra, 223, 477-488.
Kim, N.K. and Lee, Y., 2003. Extensions of reversible rings. Journal of Pure Applied Algebra, 185, 207-223.
Krempa, J., 1996. Some examples of reduced rings.
Algebra Colloquium, 3(4), 289-300.
Rege, M.B. and Chhawchharia, S., 1997. Armendariz rings. Japan Academy. Proceedings. Series A.
Mathematical Sciences, 73, 14-17.
