22 1.5.2 Konvolüsyon

𝑋 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 negatif değerler almayan kesikli bir rastgele değişken olsun. Bu durumda 𝑆 de negatif değerler almayan bir rastgele değişken olur.

𝑆 = 𝑋 + 𝑋

𝑃(𝑆 ≤ 𝑥) =?

𝑆 = 𝑋 + 𝑋 = 𝑥 olsun. Bu durumda 𝑋 , 𝑗 değerini 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑥, 𝑋 , 𝑥 − 𝑗 değerini alır.

(𝑋 ve 𝑋 birbirinden bağımsız)

𝑃(𝑆 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥 − 𝑗)𝑃(𝑋 = 𝑗)

𝑆 = 𝑆 + 𝑋 (𝑆 ve 𝑋 bağımsızdır)

𝑃(𝑆 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑆 ≤ 𝑥 − 𝑗)𝑃(𝑋 = 𝑗)

ve genel olarak

𝑃(𝑆 ≤ 𝑥) = 𝑃(𝑆 ≤ 𝑥 − 𝑗)𝑃(𝑋 = 𝑗) (1) biçiminde elde edilir.

𝑃(𝑆 = 𝑥) = 𝑃(𝑆 = 𝑥 − 𝑗)𝑃(𝑋 = 𝑗)

𝑋 ’in dağılım fonksiyonu 𝐹 ve 𝑓 = 𝑃(𝑋 = 𝑗) olsun.

𝐹

(𝑥) = 𝑃(𝑆 ≤ 𝑥) (n katlı konvolüsyon) Bu durumda (1) eşitliği

𝐹

(𝑥) = 𝐹

(𝑥 − 𝑗) 𝑓

23 olur. Burada 𝐹

= 𝐹 ve 𝐹

(𝑥) = 0, 𝑥 < 0

1, 𝑥 ≥ 0 dır.

Benzer şekilde 𝑓

(𝑥) = 𝑃(𝑆 = 𝑥) olarak tanımlanırsa

𝑓

(𝑥) = 𝑓

𝑓

olur. Burada 𝑓

= 𝑓 ‘dir.

𝐹, (0, ∞)da sürekli bir dağılım olduğunda n katlı konvolüsyonlar aşağıdaki gibi yazılır:

𝐹

(𝑥) = 𝐹

(𝑥 − 𝑦) 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 ve

𝑓

(𝑥) = 𝑓

(𝑥 − 𝑦) 𝑓(𝑦)𝑑𝑦

Örnek: {𝑋 } rastgele değişkenleri birbirinden bağımsız ve ortalaması 1 𝜆 ⁄ olan üstel dağıma sahiptir. 𝑆 ’nin dağılımı nedir?

Çözüm: 𝑛 = 2 olsun.

𝑓

(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑦) 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝜆 𝑒

𝜆𝑒 𝑑𝑦

= 𝜆 𝑒 𝑑𝑦 = 𝜆 𝑒 1 𝑑𝑦

= 𝜆 𝑒 𝑥

⟹ 𝑆 = 𝑋 + 𝑋 ~𝛾(2, 𝜆)

𝑛 = 3 olsun. 𝑆 = 𝑆 + 𝑋

24

𝑓

(𝑥) = 𝑓

(𝑥 − 𝑦) 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓

(𝑦) 𝑓(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦

= 𝜆 𝑒 𝑦𝜆𝑒

𝑑𝑦 = 𝜆 𝑒 𝑦𝑑𝑦

= 𝜆 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 1

2 𝜆 𝑒 𝑥

⟹ 𝑆 ~𝛾(3, 𝜆) olur. O halde 𝑛 için 𝑆 ~𝛾(𝑛, 𝜆) ‘dir.

1.5.3 Kesikli Rastgele Değişkenler için Ardışık Yineleme

𝑋 kesikli ve negatif olmayan değerler alan bir rastgele değişken olsun. Ardışık olarak 𝑆 ’nin olasılık fonksiyonunu hesaplamak mümkündür.

𝑓 = 𝑃(𝑋 = 𝑗) ve 𝑔 = 𝑃(𝑆 = 𝑗), 𝑗 = 0,1,2, …

𝑋 ‘in olasılık üreten fonksiyonu 𝑃 ,

𝑃 (𝑟) = 𝑟 𝑓

𝑆 ’nin olasılık üreten fonksiyonunu 𝑃

𝑃 (𝑟) = 𝑟 𝑔

ile gösterilsin. Moment çıkaran fonksiyondaki gibi aralarındaki ilişkiden

𝑃 (𝑟) = [𝑃 (𝑟)]

yazılır. 𝑟’ye göre türev alınırsa

𝑃 (𝑟) = 𝑛[𝑃 (𝑟)] 𝑃 (𝑟)

elde edilir. Her iki taraf 𝑟𝑃 (𝑟) ile çarpılırsa,

25

𝑟𝑃 (𝑟)𝑃 (𝑟) = 𝑟𝑃 (𝑟)𝑛[𝑃 (𝑟)] 𝑃 (𝑟)

= 𝑛𝑟[𝑃 (𝑟)] 𝑃 (𝑟)

𝑟 𝑓 𝑟 𝑘𝑟 𝑔 = 𝑛 𝑟 𝑔 𝑟 𝑗𝑟 𝑓

𝑟 𝑓 𝑘𝑟 𝑔 = 𝑛 𝑟 𝑔 𝑗𝑟 𝑓

𝑔 ifadesini bulabilmek için yukarıdaki eşitliğin her iki tarafında 𝑟 katsayısı elde edilsin. Gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra yukarıdaki ifade,

𝑥𝑔 𝑓 + (𝑥 − 𝑗)𝑓 𝑔 = 𝑛 𝑗𝑓 𝑔 olur. Buradan 𝑔 çekilirse,

𝑔 = 1

𝑓 (𝑛 + 1) 𝑗

𝑥 − 1 𝑓 𝑔 olarak elde edilir. Burada 𝑔 = 𝑓 ‘dir.

Örnek: {𝑋 } rastgele değişkenleri birbirinden bağımsız aynı dağılımlıdır. Olasılık fonksiyonu 𝑓 = 𝑃(𝑋 = 𝑗)

𝑓 = 0.4 𝑓 = 0.3 𝑓 = 0.2 𝑓 = 0.1

ile verilsin. 𝑆 = ∑ 𝑋 olsun. Ardışık olarak 𝑃(𝑆 = 𝑟), 𝑟 = 1,2,3,4 hesaplayınız.

Çözüm:

𝑔 = 𝑃(𝑆 = 0) = 𝑓 = (0.4) = 0.0256 𝑓 = 0, 𝑗 = 4,5,6, …

𝑔 = 1 𝑓

5𝑗

𝑥 − 1 𝑓 𝑔

26 𝑔 = 1

𝑓

5𝑗

1 − 1 𝑓 𝑔 = 1 𝑓

(5)(1)

1 − 1 𝑓 𝑔 = 1

𝑓 4𝑓 𝑔 = 0.0768

𝑔 = 1 𝑓

5𝑗

2 − 1 𝑓 𝑔 = 1 𝑓

5

2 − 1 𝑓 𝑔 + (5 − 1)𝑓 𝑔 = 0.1376

𝑔 = 1 𝑓

5𝑗

3 − 1 𝑓 𝑔 = 1 𝑓

5

3 − 1 𝑓 𝑔 + 10

3 − 1 𝑓 𝑔 + 15

3 − 1 𝑓 𝑔 = 0.1840

𝑔 = 1 𝑓

5𝑗

4 − 1 𝑓 𝑔 = 1 𝑓

5

4 − 1 𝑓 𝑔 + 10

4 − 1 𝑓 𝑔 + 15

4 − 1 𝑓 𝑔 + 5𝑓 𝑔 = 0.1905