DOĞAL SAYILARIN ORTAK KATLARI İki ya da daha fazla doğal sayının katları arasından ortak olanlarına, bu sayıların ortak katları denir.

(1)

1.Bölünebilme kuralları çarpanlar katlar 2 ile Bölünme Kuralı

Eğer bir sayının son rakamı 0, 2, 4, 6, 8 çift sayılarından birisi ise bu sayı 2 ile tam bölünür.

3 ile Bölünme Kuralı

Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için böleceğiniz sayıların rakamlarının toplamı 3 veya 3

sayısının katları (6, 9, 12, 18, 21 gibi) olmalıdır.

Bir sayıyı 4 ile tam olarak bölmek istiyorsanız o sayının son iki rakam ya “00” sayısı olacak yada 4’ün katları olacak.

Bir sayının son rakamı “0” veya “5” ile bitiyorsa o sayı 5 ile tam bölünür. Örneğin;

9645

Bir sayı hem 2 ile hemde 3 ile tam bölünüyorsa bu sayı aynı zamanda 6 ile de tam olarak bölünür.

Bir sayının rakamları toplamı 9 ve 9 sayının katları ise bu sayı 9 ile tam bölünebilir.

Çarpanlar ve katlar

Çarpan : Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu doğal sayılara o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için çarpanlara aynı zamanda bölenidir de diyebiliriz.

Katlar: Bir doğal sayının kalansız böldüğü sayıların tümüne o sayının katları denir.

Örneğin 2 sayısının katları: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

DOĞAL SAYILARIN ORTAK KATLARI

İki ya da daha fazla doğal sayının katları arasından ortak olanlarına, bu sayıların ortak katları denir.

ÖRNEK: 6 ve 4 sayılarının ortak katlarını bulalım.

# Öncelikle 6 ve 4 sayılarının katlarını ayrı ayrı yazalım:

6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … 4’ün katları : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …

# Şimdi bu katlardan ortak olanlarını işaretleyelim.

6’nın katları : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, … DOĞAL SAYILARIN ORTAK BÖLENLERİ İki ya da daha fazla doğal sayıyı aynı anda bölen sayılara, bu sayıların ortak böleni denir.

ÖRNEK: 36 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini bulalım.

# Öncelikle 36 ve 24 sayılarının bölenlerini ayrı ayrı yazalım:

36’nın bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

# Şimdi bu bölenlerden ortak olanlarını işaretleyelim.

36’nın bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

(2)

24’ün bölenleri : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

36 ve 24’ün ortak bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir.

ASAL SAYILAR

Pozitif çarpanları (bölenleri) sadece 1 ve kendisi olan 1’den büyük sayılara asal sayılar denir. Örneğin 13 sadece 1 ve 13 e bölünür.

ASAL ÇARPANLAR

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir.

1) ÇARPAN AĞACI

Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan

başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

2) BÖLEN LİSTESİ (Asal Çarpanlar Algoritması)

Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1’i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı,

çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal

çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni kısaca “EBOB“u denir.

a ve b tam sayılarının en büyük ortak böleni EBOB(a,b) veya (a,b)

ebob

şeklinde gösterilir.

EBOB (18, 12) = 2.3 = 6

EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) En az biri sıfırdan farklı iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı kısaca “EKOK“u denir.

a ve b tam sayılarının en küçük ortak katı

EKOK(a,b) veya (a,b)

ekok

şeklinde

gösterilir.

(3)

EKOK (18, 12) = 2.2.3.3 = 36 ÜSLÜ SAYILAR

a tam sayısını n kere kendisi ile çarpma işlemi: a.a.a.a….a.a.a = a

ⁿ

şeklinde

gösterilir. a

ⁿ

sayısı a’nın n. kuvveti veya a üssü n olarak okunur.BURAYI

EZBERLEYİN BU SENE ÇOK GEREKLİ OLACAK!!!!!!!

•

2² = 2 x 2 = 4

•

3² = 3 x 3 = 9

•

4² = 4 x 4 = 16

•

5² = 5 x 5 = 25

•

6² = 6 x 6 = 36

•

7² = 7 x 7 = 49

•

8² = 8 x 8 = 64

•

9² = 9 x 9 = 81

•

10² = 10 x 10 = 100

•

11² = 11 x 11 = 121

•

12² = 12 x 12 = 144

•

13² = 13 x 13 = 169

•

14² = 14 x 14 = 196

•

15² = 15 x 15 = 225

•

16² = 16 x 16 = 256

•

17² = 17 x 17 = 289

•

18² = 18 x 18 = 324

•

19² = 19 x 19 = 361

•

20² = 20 x 20 = 400

•

21² = 21 x 21 = 441

•

22² = 22 x 22 = 484

•

23² = 23 x 23 = 529

•

24² = 24 x 24 = 576

•

25² = 25 x 25 = 625

•

26² = 26 x 26 = 676

•

27² = 27 x 27 = 729

•

28² = 28 x 28 = 784

•

30² = 30 x 30 = 900

---TAM SAYILAR---

MUTLAK DEĞER: BİR SAYININ 0 A OLAN UZAKLIĞIDIR.her zaman pozitiftir.

TAM SAYILARDA TOPLAMA ÇIKARMA 1) İki işaret yan yana gelmemişse

a) (-5)+6 işaretler farklı ise büyük olandan küçük olan çıkarılır büyüğün işareti konur.6-5=1 büyüğün işareti -1.

b) (-5)-5 sayılar toplanır ortak işaret konur. 5+5=10 yanıt (-10)

2)İki İŞARET YAN YANA GELMİŞSE Aynı işaretler yan yana gelmişse + ya farklı işaretler yan yana gelmişse – ye çevrilerek 1. Kısımdakine çevirilir.

(-5)-(-7)=(-5)+7=2

(4)

---Tam sayılarda çarpma bölme---

İşaretlere bakılmaksızın çarpma / bölme işlemi yapılır daha sonra işaretleri aynı ise başına + farklı ise sonuna – konur.

TAM SAYILARIN KUVVETLERİ 1) PARANTEZİN ÜSSÜ

(-2)²=(-2).(-2)=4 (-2)³=(-2).(-2).(-2)=-8

Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif çift kuvvetleri pozitiftir.

2)Parantezsiz üs

-2⁴= bu ifade 2 üssü 4 ü bul başına – koy demek 2 üssü 4=16 olduğundan bu ifade -16 ya eşit olacak.

(-2⁴) üs ifadesi parentezin içinde olduğundan yukarıdaki ifade ile aynı olacak yani -16

-Ondalık sayılar-

Paydası 10 100 1000 olan kesirlerdir.

Virgülden sonra 1 basamak varsa paydada 10, 2 basamak varsa paydada 100, 3 basamak varsa paydada 1000 vardır.

Veya paydayı 10 100 1000 yaparak çevirebiliriz.

Ondalık sayılarda toplama çıkarma

Ondalık sayılarda toplama-çıkarma işlemleri virgüller de alt alta gelir ve sayılar toplanır veya çıkarılır.

(5)

Ondalık sayılarda çarpma işlemi

Çarpma işleminde virgül yokmuş gibi sayılar çarpılır. İşlem sonunda çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar çıkan sonuç sağdan sola virgül ile ayrılır.

Ondalık sayılarda bölme işlemi

İlk önce virgülden sonraki basamak sayıları(virgülden sonra 0 atarak) eşitlenir.Daha sonra virgül yokmuş gibi bölme işlemi yapılır.

Ondalık gösterimde çözümleme

Kesirler /rasyonel sayılar

Toplama -çıkarma

(6)

Tam sayıların altında gizli 1 paydası vardır.

ÇARPMA İŞLEMİ

BÖLME İŞLEMİ

Tam sayılardaki bölme işlemi göz önünde bulundurularak işlemin işareti belirlenir.

RASYONEL SAYILARIN KUVVETİ

Birinci kesir aynen yazılır ikinci kesir ters çevrilerek çarpılır.

Bir çokluğun kesir kadarı sayı ile kesir çarpılır.)1. tip

20 sayısının 3/5 i kaçtır?

20.³

5=60/5=12

Kesri verip tamamını sorarsa sayı kesre bölünür.2. tip

1/5 i 10 olan sayı kaçtır?

10:=10.5=50

(7)

Oran iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasıdır ve 3 farklı soru tipi vardır.

1) Oran sorarsa birinci söylenen paya 2.

Söylenen paydaya yazılır.

2.)oran ve değişkenlerden birini verirse genişletme yapılarak diğeri bulunabilir.

3)oran ve değişkenler arasındaki ilişki verilirse oranda pay ve payda k değişkeni ile çarpılır. Eşitlik oluşturarak k değeri bulunup sonuca ulaşılır.

Orantı doğru ve ters orantı Orantı

Doğru orantı

Biri artarken diğeri de artan ifadelerdir

çapraz çarpımlar birbirine eşittir.

1.240=3.80 Ters orantı

Biri artarken diğeri azalan ifadelerdir

Düz çarpımlar birbirine eşittir 1.6=2.3

Yüzdeler

Paydası 100 olan kesirdir % sembolü ile gösterilir.

1) Bir çokluğun yüzdesi (sayının kesir kadarı kesirler 1. Tip)

Sayı ile yüzde çarpılır5r4

300 ün yüzde 40 ı= 300.₁₀₀⁴⁰=3.40=120 2) Yüzdesi verip tamamını sorarsa

(kesirler 2.tip) Sayı yüzdeye bölünür.

Yüzde 40 ı 30 olan sayı kaçtı?

30: ⁴⁰

100=30. ¹⁰⁰

40=75

3) 20 sayısı 50 sayısının yüzde kaçıdır?

Bir sayıyı belirlli yüzde artırma ya da azaltma

(8)

Cebirsel ifadeler

İçerisinde en az bir bilinmeyen olan ifadelere cebirsel ifade denir.

,

3x+4 ifadesinde 4 için değerini sorarsa x yerine 4 yazmamız gerekiyor

3.4+4=16

Hiçbir zaman x3 yazılmaz 3x yazılır Benzer terimler arasında toplama çıkarma işlemi yapılabilir.

Parantez önünde katsayı varsa ilk önce dağıtılır

(9)

Parentez önünde katsayı varsa ilk önce dağıtılır.

Eşitlik ve denklem

Denklemi çözmek için bilinenler bir tarafa bilinmeyenler bir tarafa toplanır.

Önce parantezi dağıtıp daha sonra benzer terimleri bir araya getirmemiz gerekiyor.

Problemlerde her zaman küçük sayıya x diyeceğiz.

örüntüler

Sabit artışlı örüntülerde örüntünün genel terimini bulmak için ilk önce artış miktarını bulmamız gerekiyor n katsayısı artış veya azalış(azalırsa negatif katsayı) miktarıdır.

Geometri

İki noktayı birleştiren en kısa çizgi doğru parçasıdır. Doğru parçasının bir ucu sonsuza giderse ışın ili ucu sonsuza giderse doğru olur..

90 derecelik açı dik açıdır.

Doğru açı 180 derecedir.

Tam açı 180 derecedir.

Paralel doğrular arası uzUnluk her zaman sabittir . // sembolü ile gösterilir.

Parelel doğru kuralları

z nin köşelerindeki açılar birbirine eşittir.

M kuralı ve genel hali zikzak kuralı sağa bakan açılar toplamı sola bakan açılar toplamına eşittir.

(10)

U kuralı iki açının toplamı 180 dir

Kalem ucu kuralı 3 açının toplamı 360 derecedir.

Herhangi bir çokgende iç açı ile dış açı toplamı 180 derecedir.

Düzgün çokgende bütün kenar uzunlukları ve bütün açı ölçüleri birbirine eşittir.

n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı

(n-2).180 ile hesaplanır.

Tüm çokgenlerin dış açıları toplamı 360 derecedir.

Yamuk

en az iki kenarı birbirine paralel dörtgendir.

Yan kenarları birbirine eşit olursa ikizkenar yamuk olur.

Bir açısı 90 derece olursa dik yamuk olur.

Alanı alt taban ve üst tabanın çarpımının yükseklik ile çarpılarak 2 ye bölünmesiyle elde edilir.

Paralel kenar

Köşegenler (bir köşeden diğerine çizilen doğru parçası) birbirini ortalar.

Karşılıklı açıları birbirine eşit karşılıklı olmayan açılar ise birbirini 180 dereceye tamamlar.

Alanı taban . yükseklik formülü ile bulunur.

Eşkenar dörtgen

Paralel kenarın özelliklerine ek olarak Köşegenler (bir köşeden diğerine çizilen doğru parçası) birbirini ortalar.

(11)

Karşılıklı açıları birbirine eşit karşılıklı olmayan açılar ise birbirini 180 dereceye tamamlar.

Köşegenler açıyı 2 eş parçaya böler ve köşegenler birbirine diktir.

Alanı uzun ve kısa kenar çarpımı ile bulunur.

Dikdörtgen

Köşegenlerin böldükleri tüm doğru parçaları birbirine eşittir.

Kare

Köşegenler iç açıyı 2 eş 45 derecelik açıya böler.

Köşegenler birbirine diktir.

Alanı iki kenarının çarpımı ile bulunur.

Çember

Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu şekle çember denir.

Merkezin çember üzerindeki herhangi bir noktaya uzaklığı yarıçap (r) denir.

Çevresi 2πr formülü ile Alanı : πr²formülü ile bulunur.

Çember parçası ve daire dilimi

2πr.₃₆₀^𝛼

(12)

πr². ₃₆₀^𝛼

veri işleme açıklık

Ortalama

Mod

Medyan

Grafik türleri 1) Çizgi grafiği

(13)

2) Sütun grafiği

Verilerin sütun ile gösterilmesidir.

3) daire grafiği

Paydası 360 olan bir kesir modellemesi düşünün kesirlerde öğrendiklerimizden hiçbir farkı yok.

Sorularda paydayı 360 veya bölenleri olarak eşitlerseniz çok daha rahat çözeceksiniz.

Ölçü birimleri uzunluk

Alan

Hacim

Sıvı ölçüleri

(14)