d. x in 3 8x ifadesi

(1)

SaSayyıı İİffaaddeelleerriinnii YYaazzmmaa

Sayılar arasında sözcüklerle kurulan ilişkileri sembollerle anlatmak, matematik işlemlerinin yü- rütülmesinde büyük kolaylıklar sağlar. Böyle bir anlatımda, rakamlar veya sayılar yerine harfler de kullanılabilir.

Örneğin; “25’in 7 eksiğinin 2 katı” ifadesi 25, 7 ve 2 sayıları arasında sözlerle kurulmuş bir ilişkiyi anlatır. Bu ifade, sayı ifadesi olarak

“



²⁵⁷



²” biçiminde gösterilir.

Aşağıdaki sözlü ifadeleri matematiksel ifadelere dönüştürelim :

a. “5’in 3 fazlası”  5 3 b. “27’nin 12 eksiği”  27 12 c. “12’nin 5 katı”  12 5 d. “43’ün

5

1 i” 

5 43 1

e. “6’nın 4 katının 13 fazlası” 



⁶⁴



¹³ f. “15’in yarısının 3 eksiği” 



15:2



3 g. “21’in 5 fazlasının üçte biri” 

 

3 5 1 21 

Bir matematiksel ifadede sayılar yerine harfler de kullanılmışsa, bu matematiksel ifadeye harfli ifade de denir.

x bir gerçek sayı olmak üzere, aşağıdaki sözlü ifadeleri matematiksel ifadelere dönüştürelim : a. x’in 3 fazlası  x 3 b. x’in 7 eksiği  x 7 c. x’in 8 katı  8x d. x’in

3

2ü 

3 2x

e. x’in 3 katının 4 eksiği  3 x 4 f. x’in 2 eksiğinin 3 katı  3



x2



g. x’in 3 fazlasının 2 katının

4 eksiğinin üçte ikisi 



²



^x ³



⁴



3

2  

Harfli ifadelerde çarpanlar arasına genellikle nokta veya çarpı işareti konulmaz.

8x ifadesi 8 xanlamına;

3

2x ifadesi x 3 2 anlamına gelir.

a bir gerçek sayı olmak üzere, aşağıdaki matematiksel ifadeleri sözlü ifadelere dönüştürelim : a. 2 a 3  a’nın 2 katının 3 eksiği b. 3



a2



 a’nın 2 fazlasının 3 katı c. 4



3a2



5  a’nın 3 katının 2 eksiği- nin 4 katının 5 fazlası

d. 







 



 



 a1 2 3

2 4 3 5

2  a’nın

3

2ünün 1 fazlası-

nın 4

3ünün 2 eksiğinin 5 2i

3. 3 .1 1 D De en nk kl le em ml l er e r

(2)

Bir çiftlikteki develerle deve kuşlarının ayaklarının toplam sayısı n’dir.

Çiftlikteki develerin sayısı x olduğuna göre, deve kuşlarının sayısını gösteren matematiksel ifadeyi yazınız.

Ç Çöözzüümm

x tane devenin ayak sayısı 4x; deve kuşlarının ayak sayısı n 4x olur. Bir deve kuşunun iki aya- ğı olduğuna göre,

2 x 4

n  tane deve kuşu vardır.

Harfli ifadelere, geometriden örnekler verelim:

Eşkenar üçgenin kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir.

Bunun bir kenarının uzunluğunu a, çevresini Ç ile gösterirsek,

a 3 Ç a a a

Ç     olur.

Bir kenarının uzunluğu a olan karenin çevresi

a a a a

Ç   

a 4 Ç 

 olur.

Bir kenarının uzunluğu a olan düzgün beşgenin çevresi,

a a a a a

Ç    

a 5 Ç 

 olur.

Bir kenarının uzunluğu a olan düzgün altıgenin çevresi,

a a a a a a

Ç     

a 6 Ç 

 olur.

Tabanının uzunluğu a, eşit kenarlarının her birinin uzunluğu b olan bir ikizkenar üçgenin çevresi,

b b a

Ç  

b 2 a Ç 

 olur.

Bir dikdörtgenin karşılıklı kenarlarının uzunlukları a ve b ile gösterilirse;

çevresi,

b b a a

Ç   

b 2 a 2

Ç 





^a ^b



2

Ç 

 olur.

Bir kenarının uzunluğu a olan karenin alanını A ile gösterirsek,

a2

A a a

A     olur.

Karşılıklı kenarlarının uzunlukları a ve b olan dikdörtgenin alanı

b a

A   olur.

a A

a a

B C

a

A a

a

B C D

a

A a

a

B E D

a

C a

F a

a

B E D

a

a A a

b A

a b

B C

a

A a

b

B C D

b

a

A a

a

B C D

a

A a

b

B C D

b

(3)

Aşağıdaki sayı ifadelerinin değerlerini, harflerin verilen değerleri için bulunuz.

a. 2

x 3 2; 4 1 2 x 1 4 2

3  







 



 



 



b. ^x



^x² ³

 

^y^xy^y²



^;^x²^ve^y¹ ÇöÇözzüümm

a. Sayı ifadesindeki x yerine 2

3 koyalım:

 

2 4 1 1 4 2 3 2 4 1 2 1 2 2 3 4

3     







 



 



 



2 4 1 2 9 2 6 1 4

3    

 bulunur.

b. Sayı ifadesindeki x yerine 2 ve y yerine 1 koyalım:

 



²² ³

 ^{  }

¹



²

^{    }

¹ ¹²



2          



    

¹ ¹ ² ¹



² ¹ ³

2        



 bulunur.

Karşılıklı kenarlarının uzunlukları 12 cm ve 8 cm olan dikdörtgenin alanının ölçüsünü ve çevresinin uzunluğunu bulunuz.

ÇöÇözzüümm

Dikdörtgenin alanı, b

a A 

cm 8 cm 12

A 

 96 A 

 cm²;

Dikdörtgenin çevresinin uzunluğu,



a b



Ç 2



12cm 8cm



2

Ç    

40 Ç cm 20 2

Ç   

 cm olur.

1. Aşağıdaki sözlü ifadeleri, sayı ifadeleri biçi- minde yazınız.

a. 8’in 6 fazlasının 3 katı.

b. 9’un 4 katının 5 eksiği.

c. 11’in 3

2ünün 2 eksiğinin 5 katı.

d. 12’nin 3 fazlasının 4

3ünün 2 eksiği.

2. Aşağıdaki sözlü ifadeleri, matematiksel ifade biçiminde yazınız.

x bir gerçek sayı olmak üzere;

a. x’in 2 katı b. x’in 3 fazlası

c. x’in 4 katının 7 fazlası d. x’in 5 fazlasının 2 katı e. x’in

3

2ünün 2 eksiğinin 4 3ü

f. x’in 3 eksiğinin 5

2inin 5 fazlası

g. x’in 3 fazlasının 3 katının 3 eksiğinin 3 katı h. x’in

3 2ünün

3

2 fazlasının 3 2ünün

3 2 eksi-

ğinin 3 2ü

3. Aşağıdaki sayı ifadelerinde harfler birer ger- çek sayıyı gösterdiğine göre; bu ifadeleri sözlü ifadelere çeviriniz.

a. 3 x 5 b. ²



^a³



c. ⁵



ⁿ⁴



³ d.



⁵^k⁴



⁴

e. n 4 4 4

3

2  



 



  f.

5 2 5 2 5 a 2 5

2 







 



 



 

g.



^x²

 

 ^x^y



h.

3 b a² a



A

Al lı ış şt tı ır rm ma al la ar r 3 3. .1 1

a  12 cm

b  8 cm

(4)

4. Çevresinin uzunluğu x, uzun kenarının uzun- luğu y olan bir dikdörtgenin kısa kenarının uzunluğunu gösteren sayı ifadesini yazınız.

5. x km lik yolu, saatte a km hızla gidip saatte b km hızla dönen bir aracın toplam yolculuk süresini gösteren sayı ifadesini yazınız.

6. Alanının ölçüsü A, kenarlarından birinin uzunluğu x olan dikdörtgenin çevresinin uzunluğunu gösteren sayı ifadesini yazınız.

7. Bir sınıftaki öğrencilerin a tanesi erkektir. Kız öğrenci sayısı erkek öğrenci sayısından b fazla olduğuna göre, sınıftaki öğrenci sayısı- nı gösteren sayı ifadesini yazınız.

8. Ali’nin a lirası vardır. Can’ın parası Ali’nin pa- rasının n katının b lira fazlasına eşittir.

Buna göre, Ali ve Can’ın paralarının toplamı- nı gösteren sayı ifadesini yazınız.

9. Ardışık üç doğal sayıdan en küçüğü n ol- duğuna göre, bu üç sayının toplamını göste- ren sayı ifadesini yazınız.

10. Küçükten büyüğe doğru sıralanmış dört ar- dışık çift doğal sayıdan ikincisi n olduğuna göre, bu dört sayının toplamını gösteren sayı ifadesini yazınız.

11. Aşağıdaki sayı ifadelerinin değerlerini, harflerin verilen değerleri için bulunuz.

a. 6 2x

4 x 1 3

2  



 



  ;

4

x  1

b.



^a^²^b

 

^a² ^^b



^²^ab^;^a^^²^ve^{b }³

12. Bir dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu kı- sa kenarının uzunluğunun 2 katından 3 cm eksiktir. Dikdörtgenin kısa kenarı 5 cm oldu- ğuna göre, çevresinin uzunluğunu ve alanı- nın ölçüsünü bulunuz.

ÖnÖneermrmee

DoDoğğrruu yyaa ddaa yyaannllıışş,, kkeessiinn bbiir r yyaarrggıı bbiilldidirerenn iiffaaddeelle-e- r

ree öönneerrmmee ddeenniir.r.

Bir ifadenin önerme olması için; bir yargı bil- dirmesi ve bu yargının doğruluğunun ya da yan- lışlığının kesinlikle belli olması gerekir.

a. “58 13” ifadesi doğru bir yargı bildirir. Bu ifade bir önermedir.

b. “345” ifadesi yanlış bir yargı bildirir. Bu ifade bir önermedir.

c. “Türkiye’nin başkenti İstanbul’dur.” ifadesi yan- lış bir yargı bildirir. Bu ifade bir önermedir.

d. “Sinemaya gidelim” ifadesi bir yargı bildirmez.

Bir dilek belirtir. Bunun doğruluğundan ya da yan- lışlığında söz edilemez. Bu ifade bir önerme de- ğildir.

e. “Kaç yaşındasınız?” ifadesi bir yargı bildirmez.

Bu ifade bir önerme değildir.

f. “Kitap okuyunuz.” ifadesi bir yargı bildirmez. Bu ifade bir önerme değildir.

“BÜYÜK HARFLERLE YAZILAN HER ÖNERME YANLIŞTIR.” ifadesi bir yargı bildirir. Ancak, bu yargıya ne doğrudur ne de yanlıştır diyebilirsiniz.

(Nedenini tartışınız.)

Bu ifade bir önerme değildir.

A

Aççııkk ÖÖnneerrmmee

“2x15” ifadesinde x yerine 2 koyarsak,

“2215” doğru önermesini; x yerine 3 koyarsak “2315” yanlış önermesini elde ederiz.

“2x15” ifadesindeki x’e değişken veya bilinmeyen adı verilir.

(5)

İçİçiinnddeekkii dedeğğiişşkkeennlleerriinn alalacacaağğıı ddeeğğeerrlleerree gögörree,, dodoğğrruu yyaa ddaa yyaannllıışş oollababiilelenn öönneerrmmeellereree aaççııkk öönneerr-- meme ddeenniirr..

a. “3x27” ifadesi bir açık önermedir. x yerine 2 yazılırsa doğru bir önerme; 3 yazılırsa yanlış bir önerme elde edilir.

b. “x² 9” ifadesi bir açık önermedir. x yerine

3 yazılırsa doğru bir önerme; 5 yazılırsa yanlış bir önerme elde edilir.

c. “A iki ayaklıdır.” ifadesi bir açık önermedir. A yerine “tavuk” yazılırsa doğru bir önerme; “kedi”

yazılırsa yanlış bir önerme elde edilir.

Aşağıdaki ifadelere karşılık gelen açık önermeleri yazınız.

a. Bir sayının 3 katının 4 fazlası 19’dur.

b. Bir sayının 8 eksiğinin 5 katının 3 eksiği 12’dir.

c. Bir sayının 3 fazlasının 4 katı, bu sayının 4 ek- siğinin 5 katından 6 eksiktir.

d. Bir sayının 3

2ünün 5 fazlası, bu sayının 4 3ünün 3 eksiğinden küçüktür.

e. 30 kişilik bir sınıfta kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencilerin sayısının 2 katından 6 eksiktir.

a. Sayıya x dersek;

önerme, 3x419 olur.

b. Sayıya y dersek;

önerme, 5



y8



312 olur.

c. Sayıya t dersek;

önerme, ⁴



^t³



⁵



^t⁴



⁶ olur.

d. Sayıya p dersek;

önerme, p 3

4 5 3 3p

2    olur.

e. Erkek öğrencilerin sayısına x dersek;

kız öğrencilerin sayısı 30 x ve önerme, 30x 2x6 olur.

1. Aşağıdakilerden hangileri sayı ifadesi, hangileri doğru önerme, hangileri yanlış önerme, hangileri açık önermedir?

a. Bir babanın yaşı, 3 yıl arayla doğmuş iki çocuğunun yaşlarının toplamından küçüktür.

b. 4

1 3 2 4 3 3 



 



 

c. x

2 1 4 3 3

x 2  



 



 

d. 423



423



16 e. 2² 3²2xy² f. 23²32³ 0

g. a bir doğal sayı ise a³ a çifttir.

h. Adım Ali.

i. x² x

k. Bir sayının 3 eksiğinin 5 katı; 7’nin 3 faz- lasının 7 katına eşittir.

2. Aşağıdaki ifadelere karşılık gelen açık öner- meleri yazınız.

a. Bir sayının 2 eksiğinin 3 katı 12’dir.

b. Bir sayının 8 fazlasının 3

2ü bu sayıya eşit- tir.

c. Toplamları 24 olan iki sayıdan biri, diğe- rinin 3 katından küçüktür.

d. Bir musluğun dakikada akıttığı su miktarı, diğerininkinin 2 katından 1 litre fazladır.

e. Paralarının toplamı 50 milyon TL olan iki kişiden biri diğerine 6 milyon TL verince, pa- raları eşit olmaktadır.

A

Al lı ış şt tı ır rm ma al la ar r 3 3. .2 2

(6)

DeDennkklleemm

MaMatteemmaattiikskseell iiffaaddeellereriinn eeşşiitltliiğiğinnii bbiillddiirreenn aaççııkk öönneerr-- memelleerree ddeennkklleemm ddeenniirr..

Örneğin, 8 1 x

3   ; x² 26; 2y3 y4 açık önermeleri birer denklemdir.

B

Biirr ddeennkklleemmddee,, bbiilliinmnmeeyyeenniinn dedennkkllememii ddooğğrruullayayaann dedeğğeerrlleerriinnee ddeennkklleemmiinn kköökklleerrii,, kköökklleerriin n kküümmeessiinene dedennkkllememiinn çöçözzüümm kküümmeessii,, kökökkllererii bubullmmaakk içiçiinn yayappııllanan iişşllememllereree ddeennkklleemmi i ççöözzmmee ddeenniirr..

Örneğin;

8 1 x

3   denkleminde x yerine 3 koyulursa doğru bir önerme elde edilir.



³³¹⁸



O hâlde, x 3 değeri denklemin köküdür.

Denklemin çözüm kümesi de Ç  {3} dir.

Denklemler, içindeki bilinmeyenlerin sayısına ve bunların en büyük kuvvetine göre adlandırılır- lar. Bilinmeyenin en büyük kuvvetine denklemin derecesi denir.

Örneğin;

“2x53x1” denkleminde yalnız x bilinmeyeni vardır ve bunun kuvveti “1” dir. Böyle denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Bu açıklamaya göre;

“2x5y8” denklemi, birinci dereceden iki bilinmeyenli;

“x² x6 0” denklemi, ikinci dereceden bir bilinmeyenli;

“x² xy2y² 5” denklemi, ikinci dere- ceden iki bilinmeyenli birer denklemdir.

BiBirriinncci i DDeerrececeeddeenn BBiirr BBiilliinnmmeeyyeennllii D

Deennkklleemmlleer r

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin en sade biçimi;

a, b  R ve a  0 olmak üzere, ax  b  0 dır.

Burada x bilinmeyen, a ve b kat sayıdır.

axax  b b  00 DDeennkklleemmiinniinn ÇÇöözzüümmüü

Bir denklemi çözme işleminde şu temel ilke- lere dayanılır:

I. Bir eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenirse (ya da çıkarılırsa) eşitlik bozulmaz.

b

a  ise ac bc ve ac bc dir.

II. Bir eşitliğin iki tarafın aynı sayı ile çarpı- lırsa (ya da sıfırdan farklı bir sayı ile bölünürse) eşitlik bozulmaz.

b

a  ise ac bc ve c b c

a  dir.

Şimdi, eşitliğin bu özeliklerini kullanarak, 0

b

ax  denklemindeki x bilinmeyenini, eşitliğin bir yanında yalnız bırakmaya çalışacağız:

0 b

ax  denkleminin iki tarafına,

 

^b nin toplama işlemine göre tersi olan

 

^b yi eklersek;

b ax b 0 b b

ax      olur.

Bu denklemin iki tarafını, a’nın çarpma işle- mine göre tersi olan

a

1 ile çarparsak;

 

a x b a b

ax 1 a

1      bulunur.

Denklemin çözüm kümesi,









 a

Ç b olur.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin yalnız bir kökü vardır. Çözüm kümesi bir ele- manlıdır.

(7)

0 6 x

2   denklemini çözelim:

Eşitliğin iki tarafına 6 eklenirse, 6 x 2 6 0 6 6 x

2       olur.

Son eşitliğin iki tarafı 2

1 ile çarpılırsa,



6



x 3 2

x 1 2 2

1       elde edilir.

 

³

Ç  dir.

Denklemde x yerine 3 koyalım:

0 6 x 2  

 

3 6 0 2   



0 0 0 6

6   



 olup

3

x  değeri denklemi sağlar.

15 5 x

4   denklemini çözelim : 15

5 x 4  

20 x 4 5 15 5 5 x

4      



5 x 4 20

x 1 4 4

1    

 olur. ^{Ç }

 

⁵ ^dir.

5

x  değerinin denklemi sağladığını gösteriniz.

8 x 3 4 x

5    denklemini çözelim :

Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına, bilinenler diğer tarafına alınır.

x 3 8 x 3 x 3 4 x

5     

4 8 4 4 x 2 8 4 x

2       



2 12 x 1 2 2 12 1 x

2     

 6

x  bulunur. Ç 

 

6 dir.

6

x  değerinin denklemi sağladığını gösterelim:

8 x 3 4 x

5   

26 26 8 6 3 4 6

5      





2x 3



3



x 2



7

2     denklemini çözelim : Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliğinden yararlanarak parantezleri açalım.

7 x 7 6 x 3 6 x

4       bulunur.

 

⁷

Ç  dir.

7



²^x ¹



²

2 x

4    denklemini çözelim : 2

2 2 2 x 4 x

4      olur.

Bu sonuç, x in her gerçek sayı değeri için denklemin sağlandığını gösterir. Ç  R dir.

UyUyaarrıı

Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin yalnız bir kökünün bulunduğunu biliyorsunuz.

Bu denklemin ise sonsuz sayıda kökünün bulunduğunu görüyoruz.

Bu sizi şaşırtmasın.



²^x ¹



²

2 x

4    denklemi, birinci dereceden bir denklem gibi görünmesine rağmen, ger- çekte böyle değildir. Kısaltmalar yapılırsa;



2x 1



2 2

x

4   

2 2 x 4 x

4   



2 2 x 0  

 denklemi elde edilir.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemde, bilinmeyenin kat sayısı sıfır olmaz. Demek ki bu denklem birinci dereceden bir denklem değildir. Burada x yerine hangi sayıyı koyarsanız koyunuz, eşitlik sağlanır.

Kısaltmalar sonunda 0x23 gibi bir denklem elde edilseydi, bu denklemi sağlayan hiç- bir x değeri bulunmayacaktı.

(8)



³^x ¹



³



²^x ¹



³

2     denklemini çözelim : 3

3 3 3 x 6 6 x

6       olur.

Bu sonuç, x in hiçbir gerçek sayı değeri için denklemin sağlanamayacağını gösterir.

Ç   dir.

5 3 3 x

2  

denklemini çözelim :

İki tarafı, paydanın değeri ile çarpacağız.

15 3 x 2 3 5 5

3 x

5 2      



12 x 2 3 15 3 3 x

2      



6 x 2 12 x 1 2 2

1    

 bulunur. Ç 

 

6 dir.

6

 

3 7 x

7 x

5   

 

7



x 3



5x 35 7x 21 7

7 x

7 5        



x 7 21 x 7 x 7 35 x

5     



35 21 35 35 x 2 21 35 x

2       





 

14

2 x 1 2 2 14 1 x

2      



 7 x 

 bulunur.

 

7 Ç  dir.

2 1 6

1 x 2 3

2

x  

 

6 3 6

1 x 2 6

4 x 2 2 1 6

1 x 2 3

2 x

) 3 ( ) 1 ( ) 2 (

 

 



 

 

6 6 3 6

5 x 6 4 6 3 6

5 x

4   





 



5 3 5 5 x 4 3 5 x

4       



4 8 x 1 4 4 8 1 x

4     

 2 x 

 olur. ^{Ç }

 

² ^dir.

2 1 1 x

a x 2 x

a 



 

 denkleminin bir kökü 3 ise a kaçtır?

3

x  değeri denklemin bir kökü ise, denklemi sağlar. Denklemde x yerine 3 koyalım:

2 1 4

a 3 1 a 2 1 1 3

a 3 2 3

a  





 

 

 olur.

a bilinmeyeni cinsinden elde ettiğimiz bu yeni denklemin çözümü bize a değerini verecektir.

2 1 4

a 3 1

a  



4 2 4

a 3 4

a

4  





4 2 4

3 a 3 4 2 4

a 3 a

4  



 

 

2 3 a 4 3 4 2 4

3 a

4 3      





1 a 3 3 2 3 3 a

3      



 

3

a 1 3 1

a 1 3 3

1     

 bulunur.

P

Prraattiikk BBiillggiilleerr! !

Bir denklemde eşitliğin iki tarafına aynı sayıyı ek- lemenin; eşitliğin iki tarafını aynı sayı ile çarpma- nın nasıl sonuçlar verdiğini örneklerle gösterelim:

(9)

1. x30 denklemini çözelim:

3 x 3 0 3 3

x       olur.

Verilen denklemde eşitliğin sol tarafındaki

3 sayısı, eşitliğin sağına 3 olarak geçmiş oldu.

2. 2 x 5 denklemini çözelim:

2 x 5 2 5

x 1 2 2

1     bulunur.

Verilen denklemde eşitliğin sol tarafındaki 2 çarpanı, eşitliğin sağına bölen olarak geçmiş oldu.

3. 5

4

x  denklemini çözelim:

5 4 x 5 4 4

4x      bulunur.

Verilen denklemde eşitliğin solundaki 4 böle- ni, eşitliğin sağına çarpan olarak geçmiş oldu.

Öyleyse;

I. Bir denklemde, eşitliğin bir tarafındaki te- rim, işareti değiştirilerek eşitliğin diğer tarafına ge- çirilebilir.

II. Bir denklemde eşitliğin bir tarafındaki çar- pan, eşitliğin diğer tarafına bölen olarak geçirilebi- lir.

III. Bir denklemde eşitliğin bir tarafındaki bö- len, eşitliğin diğer tarafına çarpan olarak geçirile- bilir.

5 3 x

2   denklemini çözelim:

4 2 x

x 8 5 3 x 2 5 3 x

2          olur.

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a. 3



x3



15

b. 4x2



x3



6

c. 4



2x1



3



x1



7x3

d.



x4



42



2x3



42



x5



Ç Çöözzüümm a. I. yol



^x ³



¹⁵

3   3x915 24 x 3 9 15 9 9 x

3      



8 x 3 24 x 1 3 3

1    

 olur.

 

8 Ç  dir.

II. yol



x 3



15

3  

 

15

3 3 1 x 3 3

1   



3 5 3 3 x 5 3

x      

 8 x 

 olur.

III. yol

Pratik bilgilerimizi kullanalım:



x 3



15

3   x315:3 8 x 3 3 : 15

x   

 olur.

b. I. yol



^x ³



⁶

2 x

4    4x2x66 6 6 6 6 x 2 6 6 x

2       



2 12 x 1 2 2 12 1 x

2     



 

⁶

Ç olur.

6

x 

 dır.

II. yol



^x ³



⁶

2 x

4    4x2x66 6 x 2 : 12 x 6 6 x

2      

 olur.

c. I. yol



2x 1



3



x 1



7x 3

4     

3 x 7 3 x 3 4 x

8     



3 x 7 7 x

5   



x 7 3 x 7 x 7 7 x

5     



(10)

7 3 7 7 x 2 3 7 x

2       





 

4

2 x 1 2 2 4 1 x

2      





 

²

Ç olur.

2

x  

 dir.

II. yol



²^x ¹



³



^x ¹



⁷^x ³

4     

3 x 7 3 x 3 4 x

8     



Bilinmeyenleri eşitliğin soluna, bilinenleri sa- ğına alalım:

3 4 3 x 7 x 3 x

8     

 

²

: 4 x 4 x

2    



 2 x 

 olur.

d.



x4



42



2x3



42



x5



10 x 2 12 x 8 2 16 x

4      



2 16 10 12 x 2 x 8 x

4      



 

²

: 8 x 8 x

2    





 

⁴

Ç olur.

4

x  

 dir.

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a. 6

x 7 2 4x 3 3

2   

b. 10

1 6

x 5 5

1 x

2  

 

c.

    

4 13x



20 2 1 5 x x 2 4 2

3     

d. 2

2 5

1 x x 2

x 

 



a. I. yol

) 2 ( ) 12 ( ) 3 ( ) 4

( 6

7 1

x x 2 4 3 3

2   

12 12 14 x 24 12

x 9

12 8  

 





14 x 24 x 9

8  



8 14 x 24 x

9   





33 x 22 22 x

33 

 





















 3

Ç 2 olur.

3

x 2 dir.

II. yol

(3, 4, 6)_ekok  12 olduğundan paydalar eşitle- nirse ortak payda 12 olacaktır. O hâlde, eşitliğin iki tarafı (dolayısıyla her terimi) 12 ile çarpılırsa paydalar ortadan kalkar.

6 x 7 2 4x 3 3

2   

6 12 x 7 2 12 4x 12 3 3

122     



14 x 24 x 9

8  



22 x 33 8 14 x 24 x

9     





3 x 2 33

x 22  



 

 olur.

b. I. yol

) 3 ( ) 5 ( ) 6

( 10

1 6

x 5 5

1 x

2  

 

   

30 30 3 30

x 5 5 1 x 2

30 6     





3 x 5 25 6 x

12    



34 x 17 25 6 3 x

17     



 

2 Ç olur.

2

x 

 dir.

II. yol (5, 6, 10)_ekok  30

10 30 1 6

x 30 5 5

1 x

30 2   



 





2x 1



5



5 x



3

6    



(11)

34 x 17 3 x 5 25 6 x

12      



olur.

2 x 



c. I. yol

    

4 13x



20 2 1 5 x x 2 4 2 3

) 1 ( )

4 ( )

5 (









   

20 20 x 13 4 20

2 x 8 x 2

20 15  

 



 



x 13 4 16 x 8 x 15

30    



16 30 4 x 13 x 8 x

15     





10 x 10 10 x

10 

 











 

1 Ç olur.

1

x 

 dir.

II. yol (4, 5, 20)_ekok  20

    

4 13x



20 20 1 2 5 x 20 2 x 4 2

203       



2 x



8



x 2



4 13x

15     

x 13 4 16 x 8 x 15

30    



30 16 4 x 13 x 8 x

15     





10 x 10 10 x

10 

 









 1 x 

 olur.

d. 2

2 5

1 x x 2

x 

 



Kesrin pay ve paydasını 5 ile çarpalım:

 

10 2 1 x 2 x

x 5   



Her terimi 10 ile çarpalım:

20 1 x 2 x 5 x

10      7 : 21 x 21 x

7   

 3 x 

 olur.

 

³

Ç  dir.

1. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a. x73 b. x5 3 c. 11x 4 d. 3x 12 e. 59x f. 137x g. 3 x 18 h. 2 5x

a. 3x5 7 b. 122x4 c. 1354x d. 183x e. 2x33x4 f. 3x735x g. 177x 233x h. 54x127x

a. 3

3 5 x

2  

b. 4

4 4 x

5  

c. 1

6 x 3

7 

d. x 2

3 4

x  

e. 3 x

5 x 4

3  

f.

3 x 5 x 2 2

5 





4. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. Bulunan kökün denklemi sağladı- ğını gösteriniz.

a. 2



x4



5 b. ³



²^x³



²



^x²



^x²

c. 5



42x



4x3



3x



1 d. 3



4x3



2



6x5



0

e. ⁴²



^x¹



 ^x²



^x²



f. ⁵



⁶^x¹



¹⁰



³^x¹



⁵

A

Al lı ış şt tı ır rm ma al la ar r 3 3. .3 3

(12)

5. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. Bulunan kökün denklemi sağladı- ğını gösteriniz.

a. 1

6 5 4

x 3 3

x

2   

b. 3

7 x 2 3 5

3

x  

 

c.

 

2 5 4

1 x 2 3

1 x

x 2  

 



d.

 

20 11 3

2 x 2 4

3 x 2 5

x

3  

 



e.

     

12 x 1 2 6 3 2 5 3 x 5 2 x 4 2

3 









f.

 

6 1 3

4 x 2 2

1 x x 3 3

2  

 





6. Aşağıdaki denklemlerin köklerinden biri, yan- larında verilmiştir. Buna göre, denklemler- deki “a” değerlerini bulunuz.

a. ²



^x^a



³



²^x^a



³^x⁰^;^x²

b. ; x 3

6 1 2 x

2 a 1 x

1 a x

a   



 



 

c. ax² 



a1



x2a30 ; x1

D

Deennkklleemm YYaarrddıımmııyyllaa PPrroboblleemm ÇÇöözzüümmüü

Bir problemi denklemlerden yararlanarak çözmek için, önce probleme karşılık gelen açık önerme ya da denklem yazılır; sonra bu denklem çözülür.

SaSayyıı PPrroobblleemmlleerrii

Hangi sayının 2 katının 3 eksiği 15’tir?

“Hangi sayının 2 katının 3 eksiği 15’tir?” problemi;

“Bir sayının 2 katının 3 eksiği 15’tir.” açık öner- mesi ile aynı anlama gelir.

“Hangi sayı” ya da “bir sayı” ifadelerinin yerini dolduracak sayı bilinmemektedir. Bu sayıya x dersek, açık önermenin matematiksel ifadesi;

15 3 x

2   olur.

Bu denklemin çözümü, bize bilinmeyen sayıyı ve- rir.

15 3 x

2   2x153 2 : 18 x 18 x

2   

 9

x  olur.

Gerçekten; 92315 tir.

Toplamı 45 olan iki sayıdan biri, diğerinin 2 katına eşittir. Bu sayıları bulunuz.

Küçük sayıya x dersek; problem, “x sayısının, 2 katı ile toplamı 45’tir.” açık önermesine dönüşür.

Buna göre, x sayısını veren denklem;

45 x 2

x  olur.

3 : 45 x 45 x

3   

15

x  bulunur.

O hâlde,

küçük sayı x 15; büyük sayı 2 x 30 dur.

Toplamı 34 olan iki sayıdan birinin 2 katının 5 fazlası, diğerinin 3 katının 2 eksiğine eşittir. Bu sayıları bulunuz.

Sayılardan birine x dersek, diğeri 34 x olur.

x sayısının 2 katının 5 fazlası, 34 x sayısının 3 katının 2 eksiğine eşittir.



³⁴ ^x



²

3 5 x

2    

2 x 3 102 5 x

2    



(13)

95 x 5 5 2 102 x 3 x

2      



15 x 34 ve 19 x 5 : 95

x     

 olur.

Sayılardan biri 19, diğeri 15 tir.

Hangi sayının 3 eksiğinin 4

3ü 12’dir.

ÇöÇözzüümm Sayı x olsun.

 

3 12 4 3 x 12 3 4 x

3      

19 x 16 3

x   

 bulunur.

Hangi sayıdan 3 2ünün

4

1ü çıkarılırsa; bu sayının

4

3ünün 5 fazlası elde edilir?

Ç Çöözzüümm Sayı x olsun.

x sayısının 3 2ünün

4 1ü,

4 1 3

x2 ve x sayısının

4

3ünün 5 fazlası, 5 4

x3  tir.

Buna göre, 4 5 x 3 4 1 3 x 2

x     

12 5 x 9 x 2 x 5 12 4

x 3 6 x 1 x

) 3 ( ) 2 ( ) 12 (

 

 







60 x 12 5

x   

 bulunur.

Toplamı 126 olan iki sayıdan biri diğerinin 4 3üne eşittir. Bu sayıları bulunuz.

Sayılardan biri x ise diğeri 4

x 3 olur.

4 126 x 126 7 4

x 3 1 x

) 4 (









72 7 x

126 4

x   

 bulunur.

Sayılardan biri 72; diğeri 1267254tür.

Toplamı 78 olan iki sayıdan birinin 7

4si, diğerinin

3

2üne eşittir. Bu sayıları bulunuz.

Sayılardan biri x ise diğeri 78 x olur.



78 x



3 x 2 7 4

) 7 ( ) 3 (







78 x



12x 14 78 14x 14

x

12       



78 14 x 26 78 14 x 14 x

12      



42 26 x

78

x 14  



 bulunur.

Sayılardan biri 42; diğeri 784236 dır.

Duygu, parasının 3

2ü ile bir gömlek, kalan para-

sının 4

3ü ile bir pantolon aldıktan sonra; ilk para-

sının 4

3ü değerindeki bir ayakkabıyı alabilmek için Yeşim’e 240 lira borçlanıyor. Gömleğin, pantolonun ve ayakkabının fiyatlarını bulunuz.

3

1

(14)

Duygunun parası x lira olsun. Gömleğin fiyatı 3

x 2 ;

pantolonun fiyatı

4 3 3

x x 2 



 



  ; ayakkabının fiyatı

4 x 3 olur.

Bu paraların toplamı, Duygu’nun parasından 240 lira fazladır.

240 4 x

x 3 4 3 3

x x 2 3

x

2    



 



 



240 4 x

x 3 4 3 3 x 3

x

2     



3 240 x 240 2 x 3 x

x

2     



360 2 x

240 3

x   

 bulunur.

Buna göre,

gömleğin fiyatı 240 3

360

2 

lira;

pantolonun fiyatı

 

90

4 240 3

360   lira;

ayakkabının fiyatı da 270 4

360

3 

lira olur.

Ayşe, parasının 4

1ünü Nazlı’ya verince; Ayşe’nin parası Nazlı’nın parasının 2 katına eşit olmuştur.

Ayşe ile Nazlı’nın paralarının toplamı 450 liradır.

a. İlk durumda Ayşe’nin parası x lira ise, ikinci durumda Ayşe’nin ve Nazlı’nın paralarının miktar- larını veren sayı ifadelerini yazınız.

b. İlk durumda Ayşe’nin parasının miktarını veren denklemi yazınız.

c. İkinci durumda Nazlı’nın parası x lira ise, ilk durumda Ayşe’nin ve Nazlı’nın paralarının miktar- larını veren sayı ifadelerini yazınız.

d. İlk durumda Ayşe’nin ve Nazlı’nın kaçar liraları vardır?

ÇöÇözzüümm a.

b. II. durumda Ayşe’nin parası, Nazlı’nın parasının 2 katına eşittir.



 



  





 4

x x 450 4 2

x x

Denklemi çözerek, Ayşe’nin ilk durumdaki parası- nın miktarını bulunuz.

c.

d. II. durumda Ayşe ile Nazlı’nın paralarının topla- mı 450 liradır.

150 x 450 x x

2     lira olur.

Buna göre,

I. durumda Ayşe’nin parası 2 150 400 3

4   lira;

Nazlı’nın parası 450400 50 liradır.

Emre’nin kitaplığındaki romanların sayısının 3 2ü,

öykü kitaplarının sayısının 7

6sine eşittir. Roman- ların sayısı öykü kitaplarının sayısından 16 fazla olduğuna göre, Emre’nin kaç kitabı vardır?

Emre’nin x tane öykü kitabı varsa, x 16 tane ro- manı vardır.

 

^x

7 16 6 3 x

2  

 

x

7 21 6 16 3 x

212   



I. durum

II. durum

Ayşe’nin parası Nazlı’nın parası x

x 4

 x

x 450 

4 x x 450 

I. durum

II. durum

Ayşe’nin parası Nazlı’nın parası

x x 3 2

450 4



 2x

x 3 2 4

(15)

x 18 16 14 x

14    



16 14 x 18 x

14   



4 16 x 14

16 14 x

4 



 











 56 x 

 olur.

Emre’nin 56 tanesi öykü, 561672 tanesi roman olmak üzere 5672128 tane kitabı var- dır.

Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı erkek öğrencile- rin sayısının

8

3idir. Sınıfa 3 kız öğrenci katılır, sı- nıftan 1 erkek öğrenci ayrılırsa; kız öğrencilerin sayısı sınıftaki öğrenci sayısının

8

3i olacaktır.

Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?

Sınıftaki erkek öğrenci sayısına 8x dersek, kız öğ- renci sayısı 3x olur.

II. durumda kız öğrenci sayısı, toplam öğrenci sa- yısının

8

3i olacaktır.



3x 3 8x 1



8 3 3 x

3     



3x 3



3



11x 2



8    



6 x 33 24 x

24   



24 6 x 33 x

24   



2 x 18 x

9   



 bulunur.

Buna göre, sınıftaki öğrenci sayısı 11 x 22 olur.

Bir miktar parayı 3 kişi paylaşmıştır. Öyle ki, I. si paranın

3

1ünden 5 lira eksiğini; II. si 9

2undan 8 lira fazlasını; III. sü de I. nin aldığının 10 lira fazlasını almıştır. Paylaşılan para kaç liradır?

Paylaşılan para x lira olsun.

I. nin aldığı 



 



  5 3 x ;

II. nin aldığı 



 



  8 9

x

2 ;

II. nün aldığı 



 



 510 3

x lira olur.

Buna göre;

x 10 3 5

8 x 9

x 5 2 3

x 



 



  





 



 





 



 

x 3 5

8 x 9

x 5 2 3 x

) 3 ( )

3 (









8 9 x

x x 8 9 8

x

8     



72 x 9 8

x   

  liradır.

Bir işyerinde bir ustanın gündeliği, bir çırağın gün- deliğinin 3 katından 4 lira fazladır. Bu işyerinde 5 çırak ve 2 ustanın 7 günlük ücreti olarak 672 lira ödenmiştir. Bir çırak ile bir ustanın gündelikleri ka- çar liradır?

Bir çırağın gündeliği x lira olursa, bir ustanın gün- deliği 3 x 4 lira olur. 5 çırak ile 2 ustanın bir günde aldığı para,



³^x ⁴



2 x

5   lira;

7 günde alacağı para ise,

 



⁵^x ²³^x ⁴



7   liradır.

1 4

I. durum

II. durum

Kız öğrenci Erkek öğrenci

3 x 3 

3x

sayısı sayısı

8x

1 x 8 

(16)

 



⁵^x ²³^x ⁴



⁶⁷²

7   

7 : 672 8 x 6 x

5   



11 : 88 x 8 96 x

11    

 8

x  olur.

Bir çırağın gündeliği x 8 lira; bir ustanın günde- liği 3x428 liradır.

Ali, gömlekler ve pantolonlardan oluşan 8 parça giysi için 150 lira ödemiştir. Gömleklerin her birinin fiyatı 15 lira, pantolonların her birinin fiyatı 25 liradır. Ali, kaç gömlek kaç pantolon almıştır?

Ali, x tane gömlek almış ise 8 x tane pantolon almış olur.



⁸ ^x



¹⁵⁰

25 x

15   

150 x 25 200 x

15   





50

 

: 10



x 200 150 x

10      



 5

x  bulunur.

Ali 5 gömlek, 3 pantolon almıştır.

Bir sınıftaki sıralara, öğrenciler ikişer ikişer oturursa 5 öğrenci ayakta kalmakta; üçer üçer oturursa 3 sıra boş kalmaktadır.

a. Sıra sayısına x diyerek öğrenci sayısını veren sayı ifadesini ve sıra sayısını veren denklemi yazınız.

b. Öğrenci sayısına x diyerek, sıra sayısını veren sayı ifadesini ve öğrenci sayısını veren denklemi yazınız.

a. Sıra sayısına x dersek öğrenci sayısını veren ifade, ikişer ikişer oturma durumuna göre 2 x 5; üçer üçer oturma durumuna göre ³



^x³



olur.

Her iki durumda da öğrenci sayıları aynı olduğun- dan, sıra sayısını veren denklem;



^x ³



3 5 x

2    olur.

b. Öğrenci sayısına x dersek sıra sayısını veren ifade, ikişer ikişer oturma durumuna göre

2 5 x  ;

üçer üçer oturma durumana göre 3 3

x olur. Her iki durumda da sıra sayıları aynı olduğundan, öğ- renci sayısını veren denklem;

3 3 x 2

5

x  

olur.

Denklemleri çözerek, sınıftaki sıra sayısını ve öğ- renci sayısını bulunuz.

Eşit miktarlarda para ödeyerek bir kayık kiralayan 5 arkadaştan 2’si vazgeçince, kalanlar 6 şar lira daha fazla ödemek zorunda kalıyorlar. Kayık kaç liraya kiralanmıştır?

İlk durumda 5 kişiden her biri x lira ödeyecekken, ikinci durumda 3 kişiden her biri x 6 lira ödeye- cektir. Kayığın kira bedeli ilk durumda 5x lira, ikinci durumda 3



x6



lira olacaktır.



^x ⁶



3 x

5  

18 x 3 x 5 18 x 3 x

5     



9 x 2 : 18 x 18 x

2     

 lira olur.

Kayık, 5945 liraya kiralanmıştır.

Bir grup öğrenci bir halı sahayı bir saat için ki- ralayacaktır. Öğrencilerin her biri 12 lira verse pa- raları 12 lira eksik kalacak; 15 lira verse paraları 15 lira artacaktır. Halı sahanın bir saatlik kira bedeli kaç liradır?

Öğrenci sayısı x olsun. Halı sahanın kira bedeli birinci durumda 12 x 12; ikinci durumda 15 x 15 olur.

12 x 12 15 x

15    15x12x 1215 9

x 27 x

3   

 bulunur.

Öğrenci sayısı 9 ve halı sahanın bir saatlik kira bedeli de 12912120 lira olur.

(17)

1. Hangi sayının 3 eksiğinin 3 katı 18’dir?

2. Hangi sayının 2 fazlasının 2 katı ile 3 katının 3 fazlasının toplamı 25’tir?

3. Farkı 7 olan iki sayının toplamı 49’dur. Bu sayıları bulunuz.

4. Hangi sayının 7 eksiğinin 2 katı ile 3 katının 18 eksiğinin toplamı, bu sayıya eşittir?

5. Toplamı 90 olan iki sayıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 3, kalan 6 olmaktadır.

Bu sayıları bulunuz.

6. Toplamı 70 olan iki sayıdan biri, diğerinin 3 eksiğinin 2 katından 7 fazladır.

7. Ardışık dört tek sayının toplamı 64’tür.

8. Ardışık üç çift sayıdan en küçüğünün 3 katı, en büyüğünün 2 katının 10 fazlasına eşittir.

9. Hangi sayının 5 fazlasının 5

3i 21’dir?

10. Hangi sayının 2 katının 3 eksiğinin 3 2ü 34 tür?

11. Hangi sayının 3 1ü ile

4

3ünün toplamı 26’dır?

12. Hangi sayının 3

2ünün 3 fazlası, bu sayının

6

5 sına eşittir?

13. Hangi sayının 3 eksiğinin 7

2si, bu sayının 2

katının 6 fazlasının 5

1ine eşittir.

14. Hangi sayının 2 1si,

3 2ü ve

4

3ünün toplamı bu sayıdan 33 fazladır.

15. Toplamı 90 olan iki sayıdan birinin 4

3ü, diğe-

rinin 7

6sine eşittir. Bu sayıları bulunuz.

16. Toplamı 47 olan iki sayıdan birinin 5 2i diğe- rinden 2 fazladır. Bu sayıları bulunuz.

17. Bir sınıftaki kız öğrenci sayısı, sınıftaki öğ- renci sayısının

3

1ünden 3 fazla; erkek öğren-ci sayısı, sınıftaki öğrenci sayısının

10

7 un-dan 4 eksiktir.

Sınıfta kaç kız, kaç erkek öğrenci vardır?

18. Bülent parasının bir kısmını harcamıştır. Ka- lan parası, harcadığı paranın

5

3i olduğuna göre, Bülent parasının kaçta kaçını harca- mıştır?

19. Can’ın parası, Ali’nin parasının 7

5sinden 6 lira fazladır. Can, Ali’ye 13 lira verirse; Ali’nin parası Can’ın parasının 2 katı olacaktır.

Her birinin kaçar lirası vardır?

20. Dolunay, parasının 5

2i ile bir kitap; kalan pa-

rasının 5

2i ile bir kalem; kalan parası ile de bir defter almıştır.

Defterin fiyatı kalemin fiyatından 6 lira fazla olduğuna göre, her birinin fiyatını bulunuz.

A

Al lı ış şt tı ır rm ma al la ar r 3 3. .4 4

(18)

21. Toplamı 134 olan üç sayıdan II. si I. den 6 fazla olup III. sü I. nin 2 katına eşittir.

22. Üç sayıdan I. si II. nin 2 katı; II. si III. den 7 eksik; III. sü I. nin 3 katından 3 fazladır.

23. Serhan, 5 kalem ile 3 defter alarak 37 lira ödemiştir.

Bir defterin fiyatı, bir kalemin fiyatının 3 ka- tından 3 lira fazla olduğuna göre; bir defter ile bir kalemin fiyatlarını bulunuz.

24. 32 öğrencisi bulunan bir sınıfta, öğrenciler sıralarında ikişer kişi ya da üçer kişi olarak oturmaktadır. Sınıfta 13 sıra bulunduğuna göre, ikişer kişi oturulan sıra sayısı kaçtır?

25. Şükran tüm parasıyla 6 m kumaş almıştır.

Kumaşın metresi 3 lira daha ucuz olsaydı 8 m kumaş alabilecekti.

Şükran’ın kaç lirası vardı?

26. Bir balıkçı satın aldığı 25 kg balığın kilosunu, alış fiyatının 2 katının 2 lira eksiğine satarak 150 lira kâr etmiştir.

Balığın kilosu kaça satılmıştır?

27. Bir sınıfta, erkek öğrenci sayısı kız öğrenci sayısının 2 katından 1 eksik, kız öğrenci sa- yısının 3 katı erkek öğrenci sayısından 13 fazladır.

a. Kız öğrenci sayısına x diyerek, erkek öğ- renci sayısını veren iki ayrı sayı ifadesi yazınız.

b. Kız öğrenci sayısını veren denklemi ya- zınız.

c. Sınıftaki öğrenci sayısını bulunuz.

28. Bir sınıfa alınması kararlaştırılan bir kitaplık için, öğrenciler 22 şer lira toplarlarsa 28 lira eksik kalacak; 24 er lira toplarlarsa 24 lira ar- tacaktır.

a. Sınıftaki öğrenci sayısına x diyerek, ki- taplığın fiyatını veren iki ayrı sayı ifadesi yazınız.

b. Sınıftaki öğrenci sayısını veren denklemi yazınız.

c. Kitaplığın fiyatına x diyerek, sınıftaki öğ- renci sayısını veren iki ayrı sayı ifadesi yazınız.

d. Kitaplığın fiyatını veren denklemi yazınız.

e. Kitaplığın fiyatını ve sınıftaki öğrenci sa- yısını bulunuz.

29. Bir apartmanın ortak bir gideri için her dai- reden 20 lira toplanması kararlaştırılmıştır. 8 dairenin harcamaya katılamaması üzerine, diğer daireler 5 er lira daha fazla ödemek zorunda kalmıştır.

a. Daire sayısına x diyerek toplanacak para miktarını veren iki ayrı sayı ifadesi ya- zınız.

b. Daire sayısını veren denklemi yazınız.

c. Toplanacak para miktarına x diyerek, daire sayısını veren iki ayrı sayı ifadesi yazınız.

d. Toplanacak para miktarını veren denkle- mi yazınız.

e. Daire sayısını ve toplanacak para mikta- rını bulunuz.

30. 50 soruluk bir test sınavında 3 yanlış 1 doğ- ruyu götürecektir.

Bütün soruları cevaplayan bir öğrencinin 34 net doğrusu kaldığına göre, öğrenci kaç so- ruya yanlış cevap vermiştir?

31. Ali’nin parası Can’ın parasından 6 lira eksik;

Ali’nin parasının 2 katı Mert’in parasından 9 lira fazladır.

Mert, Ali’ye 8 lira, Can’a 2 lira verdiğinde üçünün de paraları eşit olacağına göre, her birinin parası kaçar liradır?

32. Arkadaşı ile iddiaya giren Hakan, gole çevir- diği her penaltı atışı için 30 lira kazanacak;

kaçırdığı her penaltı atışı için 50 lira kaybe- decektir.

10 atış sonunda Hakan 20 lira kaybettiğine göre, kaç gol atmıştır?

(19)

YaYaşş PPrroobblleemmlleerri i

Bir baba 48 yaşında, iki çocuğundan biri 12 diğeri 9 yaşındadır. Kaç yıl sonra, babanın yaşı çocuk- larının yaşları toplamının 2 katına eşit olur?

x yıl sonra, istenen olsun. x yıl sonra baba 48 x; çocuklar 12x ve 9x yaşında olur.



12 x 9 x



2 x

48     



²¹ ²^x



2 x

48   



x 4 42 x 48  



6 x 3 48 42 x 4

x    

 6 x 

 bulunur.

Bir babanın yaşı 2 yıl önce oğlunun yaşının 9 katı idi. 2 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 5 katı olacaktır.

a. Oğulun bugünkü yaşına x diyerek, babanın ve oğulun 2 yıl önceki yaşlarını; şimdiki yaşlarını; 2 yıl sonraki yaşlarını veren sayı ifadelerini bir tablo- da gösteriniz.

Oğulun bugünkü yaşını veren denklemi yazınız.

b. Babanın bugünkü yaşına x diyerek, babanın bugünkü yaşını veren denklemi yazınız.

c. Oğulun 2 yıl sonraki yaşına x diyerek, oğulun 2 yıl sonraki yaşını veren denklemi yazınız.

d. Oğulun 2 yıl öncesi yaşına x diyerek, babanın ve oğulun bugünkü yaşlarını bulunuz.

Ç Çöözzüümm a.

Oğulun bugünkü yaşına x deyip verilen bilgileri kullanarak, istenen sayı ifadelerini yazdık.

Bu sayı ifadeleri arasında henüz kullanmadığımız bir bağıntı daha var: Babanın 2 yıl sonraki yaşı ile 2 yıl önceki yaşı arasındaki fark 4’tür.

O hâlde, oğulun bugünkü yaşını veren denklem,



x 2



9



x 2



4

5     olur.

Denklemi çözerek, baba ve oğulun bugünkü yaş- larını bulunuz.

b.

Oğulun 2 yıl sonraki yaşı ile 2 yıl önceki yaşı ara- sındaki fark 4’tür.

Buna göre; babanın bugünkü yaşını veren denk-

lem, 4

9 2 x 5

2

x  

 

olur.

c.

2 yıl önce, babanın yaşı oğulunun yaşının 9 katı idi.

Buna göre, oğulun 2 yıl sonraki yaşını veren denklem, 5x49



x4



olur.

d.

İki yıl sonra, babanın yaşı oğulun yaşının 5 katı olacaktır:

2 yıl önce Şimdi

Babanın yaşı Oğulun yaşı



x 2



5 



x 2



9 

x 2 x 

2 2 yıl sonra x 



^x ²



²

9  

2 yıl önce Şimdi

5x 4 x 5 

2 x 

4 x 

x 2 yıl sonra

2 x 5 

2 yıl önce Şimdi

4 x 9 

9x

2 x  2 yıl sonra

2 x 9 

4 x 

x 2 yıl önce

Şimdi

9 2 x 

x 2 x 

2 x  2 yıl sonra

9 2 2 x 

5 2 x 

d. x in 3 8x ifadesi













 





















3. 3 .1 1 D De en nk kl le em ml l er e r







 



 

 



   



    



    

























 



A

Al lı ış şt tı ır rm ma al la ar r 3 3. .1 1



 



















A

Al lı ış şt tı ır rm ma al la ar r 3 3. .2 2





 

 

 





 

 

 

 









 







 ^{  }

^{    }