BAĞIMSIZLIK KAPULASINI İÇEREN KAPULA AİLELERİ, KAPULA TAHMİN YÖNTEMLERİ VE İSTANBUL MENKUL KIYMETLER BORSASINDA SEKTÖRLER ARASI BAĞIMLILIK YAPISI

KAPULA TAHMİN YÖNTEMLERİ VE İSTANBUL MENKUL KIYMETLER BORSASINDA SEKTÖRLER ARASI BAĞIMLILIK

YAPISI

Aslıhan ALHAN

DOKTORA TEZİ İSTATİSTİK

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HAZİRAN 2008 ANKARA

MENKUL KIYMETLER BORSASINDA SEKTÖRLER ARASI BAĞIMLILIK YAPISI adlı bu tezin Doktora tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.

Doç. Dr. Salih ÇELEBİOĞLU ……….

Tez Danışmanı, İstatistik Anabilim Dalı

Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile İSTATİSTİK Anabilim Dalında Doktora tezi olarak kabul edilmiştir.

Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK ……….

İstatistik, Ankara Üniveristesi

Doç. Dr. Salih ÇELEBİOĞLU ……….

İstatistik, Gazi Üniversitesi

Prof. Dr. Soner GÖNEN ……….

İstatistik, Gazi Üniversitesi

Prof. Dr. Hamza GAMGAM ……….

İstatistik, Gazi Üniversitesi

Doç. Dr. Gül ERGÜN ……….

İstatistik, Hacettepe Üniversitesi

Tarih: 24/06/2008

Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Doktora derecesini onamıştır.

Prof. Dr. Nermin ERTAN ……….

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

TEZ BİLDİRİMİ

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada orijinal olmayan her türlü kaynağa eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Aslıhan ALHAN

BAĞIMSIZLIK KAPULASINI İÇEREN KAPULA AİLELERİ, KAPULA TAHMİN YÖNTEMLERİ VE İSTANBUL MENKUL KIYMETLER

BORSASINDA SEKTÖRLER ARASI BAĞIMLILIK YAPISI (Doktora Tezi)

Aslıhan ALHAN

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Mayıs 2008

ÖZET

Kapulalar, en yalın ifade ile rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık yapısını ortaya koymak amacıyla kullanılmaktadır. Son yıllarda kapulaların istatistiksel özelliklerinin araştırılması artarak sürmekte ve kapula uygulamaları gün geçtikçe daha fazla yaygınlaşmaktadır. Bu çalışmada, bağımsızlık kapulasını içeren iki değişkenli kapula aileleri fonksiyonel yazılışları bakımından araştırıldı ve bugüne kadar geliştirilmiş olan tahmin yöntemleri incelendi.

Ayrıca kapula tahmin yöntemlerini örneklendirmek amacıyla, İstanbul Menkul Kıymet Borsası sektör endeks verileri kullanılarak sektörler arasındaki bağımlılık yapısı kapula tahmin yöntemleri ile ortaya konmaya çalışıldı.

Bilim Kodu : 205.1.066

Anahtar Kelimeler : Kapula, bağımlılık yapısı, tahmin yöntemleri, borsa endeksi, sektörler arası bağımlılık

Sayfa Adedi : 162

Tez Yöneticisi : Doç. Dr. Salih ÇELEBİOĞLU

COPULA FAMILIES INCLUDING INDEPENDENCE COPULA, ESTIMATION METHODS OF COPULAS AND INTER-SECTORAL DEPENDENCE STRUCTURE FOR ISTANBUL STOCK EXCHANGE

(PhD. Thesis)

Aslıhan ALHAN

GAZI UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY May 2008

ABSTRACT

In the most austere expression, copulas are used to introduce the dependence structure among the random variables. In recent years, the researchs on statistical and mathematical properties of copulas go on increasingly and the applications on copulas are becoming widespread more and more. In this thesis, the bivariate copula families including independence copula are investigated in respect of their functional forms and the copula estimation methods developed as yet are examined. In addition, so as to illustrate the copula estimation methods it is tried to expose the dependence structure between sectors to view by using the sectoral index data of Istanbul Stock Exchange.

Science Code : 205.1.066

Key Words : Copula, dependence structure, estimation methods, stock exchange, inter-sectoral dependence

Page Number : 162

Adviser : Assoc. Prof. Dr. Salih ÇELEBİOĞLU

TEŞEKKÜR

Bu çalışma sürecinde değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren danışman hocam Doç. Dr. Salih ÇELEBİOĞLU’na; tüm tez süresince değerli katkıları ve ayırdıkları zaman için Tez İzleme Komitesindeki değerli hocalarım Prof. Dr. Soner GÖNEN’e ve Doç. Dr. Gül ERGÜN’e; görüş ve düşüncelerinden yararlandığım, tezimde jüri üyeleliği yapmış değerli hocalarım Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK’e ve Prof.

Dr. Hamza GAMGAM’a teşekkürlerimi sunarım. Destekleriyle bana yol gösteren ve ilerlemem için teşvik eden Prof. Dr. Özkan ÜNVER’e minnettarlığımı sunarım.

Araştırmam için gerekli veriye ulaşmamı sağlayan İMKB Eğitim ve Yayın Müdürlüğü çalışanlarına ve Öğr. Gör. Oya Nefise TOKER’e yardımlarından dolayı çok teşekkür ederim.

Bu zorlu süreçte manevi destekleriyle beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan tüm çalışma arkadaşlarıma ve özellikle çok değerli arkadaşlarım Burcu Elmas MAMAK’a, Meltem ANAFARTA’ya, Funda KUTLU’ya ve Ali Alper AK’a da teşekkür ederim.

Son olarak, her zaman yanımda olan sevgili babam Battal ALHAN’a, annem Sultan ALHAN’a, kardeşlerim Neslihan ALHAN ve Alihan ALHAN’a fedakârlıklarından dolayı ve ayrıca adını yazamadığım tüm can dostlara sevgilerimle birlikte sonsuz teşekkürler.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... iv

ABSTRACT ... v

TEŞEKKÜR ... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

ÇİZELGELERİN LİSTESİ ... xiii

ŞEKİLLERİN LİSTESİ ... xv

SİMGELER VE KISALTMALAR ... xix

1.GİRİŞ ... 1

2.KAPULALAR VE ÖZELLİKLERİ ... 4

2.1.Kapulaların Uygulama Alanları ... 4

2.2. Kapulaların Temel Özellikleri ... 4

2.3. Kapulaların Tanımı ve Matematiksel Özellikleri ... 4

2.4. Sklar Teoremi ... 9

2.5. Sağkalım Kapulaları ... 11

2.6. Bir Kapulanın Duali ve Eşkapula ... 12

2.7. Kapulalar ve Simetri Özellikleri ... 12

2.8. Kapulalarda Sıralama ... 13

2.9. Arşimedyen Kapulalar ... 14

Sayfa

2.9.1. Arşimedyen kapulaların özellikleri ... 14

2.9.2. Üreticilerin özellikleri ... 15

2.10. Çok Değişkenli Kapulalar ... 15

3. BAĞIMLILIK YAPILARI VE KAPULALAR ... 19

3.1. Bağımlılık Yapıları ... 20

3.1.1. Uyumluluk ve eşmonotonluk (concordance ve comonotonicity) ... 20

3.1.2. Bölge (quadrant) bağımlılığı ... 22

3.1.3. Kuyruk bağımlılığı ... 23

3.2. Birliktelik Ölçüleri ve Kapulalar ... 24

3.2.1. Spearman’ın sıra korelasyonu (Spearman ρ_S) ... 25

3.2.2. Kendall τ değeri ... 26

3.2.3. Doğrusal korelasyon (Pearson korelasyon katsayısı (ρ )) ... 29

3.2.4. Gini bağımlılık katsayısı ... 30

3.2.5. Blomqvist β katsayısı ... 31

3.2.6. Schweizer-Wolff bağımlılık ölçüsü ... 31

3.3. Birliktelik Ölçülerinde Aranan Özellikler ... 33

4. BAĞIMSIZLIK KAPULASINI İÇEREN KAPULA AİLELERİ ... 35

4.1. Nokta Olarak İçeren Kapula Aileleri ... 35

4.1.1. İki değişkenli normal (bivariate normal) kapula ailesi ... 36

Sayfa

4.1.2. Joe kapula ailesi ... 36

4.1.3. Gumbel-Hougaard kapula ailesi ... 36

4.1.4. Fréchet-Mardia kapula ailesi ... 36

4.1.5. Cuadras-Augè kapula ailesi... 37

4.1.6. Ali-Mikhail-Haq kapula ailesi... 37

4.1.7. Gumbel-Bartnett sağkalım kapula ailesi ... 37

4.1.8. Farlie-Gumbel-Morgenstern (FGM) kapula ailesi ... 38

4.1.9. Kotz ve Johnson’ın ardıştırmalı (Iterated) FGM kapula ailesi... 38

4.1.10. Lin’in ardıştırmalı FGM kapula ailesi... 38

4.1.11. Asimetrik kapula ailesi ... 39

4.1.12. (4.2.7) kapula ailesi ... 39

4.1.13. (4.2.13) kapula ailesi ... 39

4.1.14. (4.2.17) kapula ailesi ... 40

4.1.15. B11 kapula ailesi ... 40

4.1.16. Çelebioğlu kapula ailesi ... 40

4.1.17. Asimetrik lojistik model kapula ailesi... 40

4.2. Limit Olarak İçeren Kapula Aileleri ... 41

4.2.1. Marshall-Olkin kapula ailesi ... 41

4.2.2. Raftery’nin sağkalım kapula ailesi ... 42

4.2.3. Plackett kapula ailesi ... 42

4.2.4. Clayton kapula ailesi ... 42

4.2.5. Frank kapula ailesi ... 42

4.2.6. (4.2.10) kapula ailesi ... 43

Sayfa

4.2.7. (4.2.11) kapula ailesi ... 43

4.2.8. (4.2.20) kapula ailesi ... 43

4.2.9. (4.2.22) kapula ailesi ... 43

4.2.10. Kimeldorf –Sampson kapula ailesi ... 44

4.2.11. Galambos kapula ailesi ... 44

4.2.12. Hüsler-Reiss kapula ailesi ... 44

4.2.13. BB1 kapula ailesi ... 44

4.2.14. BB2 kapula ailesi ... 45

4.3. Literatürde Yapılan Çalışmalar ... 46

4.3.1. Yoğunluk tartılama fonksiyonu (dwf) ve kapulalar ... 46

4.3.2. Pozitif bölge bağımlılığı (PQD) ve Lai ile Xie’nin çalışması ... 47

4.3.3. Amblard ve Girard’ın çalışması ... 50

4.3.4. Rodríguez-Lallena ve Úbeda-Flores’ın çalışması ... 52

4.4. Kapula Ailelerinin uvk_θ( vu, ) Biçimi ... 54

4.4.1. C u v_θ( , )=uvk u v_θ( , ) biçiminde yazılabilen aileler ... 54

4.4.2. C u v_θ( , )=uv w u v+ _θ( , ) biçiminde yazılabilen aileler ... 70

4.4.3. k u v_θ( , ) fonksiyonunun özellikleri... 76

4.4.4. Bağımsızlık kapulasını içeren kapula aileleri ve önemli birliktelik ölçüleri ... 79

5. KAPULA TAHMİN YÖNTEMLERİ ... 81

5.1. Parametrik Tahmin Yöntemleri ... 81

5.1.1. En çok olabilirlik yöntemi (MLE) ... 81

Sayfa

5.1.2. Marjinallere ilişkin çıkarsama yöntemi (IFM) ... 83

5.2. Yarı –Parametrik Tahmin Yöntemleri ... 87

5.2.1. Sözde en çok olabilirlik yöntemi (PMLE) ... 87

5.2.2. Sözde en çok olabilirlik fonksiyonunun sıra sayılarına dayalı tahmin yöntemi ... 88

5.2.3. Çok parametreli sözde en çok olabilirlik fonksiyonunu tahmin yöntemi ... 89

5.3. Parametrik Olmayan Tahmin Yöntemleri ... 89

5.3.1. Kendall τ değerine dayanan yöntem ... 90

5.3.2. Spearman ρ_S değerine dayanan yöntem ... 92

5.4. Diğer Tahmin Yöntemleri ... 94

5.5. Uyum İyiliği Testi ... 94

5.5.1. Ki-kare uyum iyiliği testi ... 94

5.5.2. Kolmogorov-Smirnov ve Anderson-Darling uyum iyiliği testi ... 95

5.5.3. Cramér-von Mises uyum iyiliği testi ... 96

5.6. Tahmin Yöntemlerinin Özellikleri ... 97

5.7. Simülasyon Çalışması ... 98

6. İMKB SEKTÖRLERİ ARASINDAKİ BAĞIMLILIK YAPISI ... 111

6.1. Piyasa Kavramları, Çeşitleri ve Özellikleri ... 111

6.2. İstanbul Menkul Kıymet Borsası (İMKB) ... 112

6.3. Borsa’nın Tanımı ve Görevi ... 113

6.4. Endeksler ... 114

Sayfa

6.4.1. Hisse senedi endeksleri ... 116

6.4.2. İMKB hisse senedi endeksleri ... 117

6.5. İMKB Sektör Endekslerinin Bağımlılık Yapısının Araştırılması ... 120

6.5.1. Veri kümesi ... 120

6.5.2. Aylık verileri kullanarak sektörler arası bağımlılık yapısının incelenmesi ... 123

6.5.3. Aylık veri kümesinin simülasyon ile incelenmesine bir örnek ... 133

6.5.4. Haftalık verileri kullanarak sektörler arası bağımlılık yapısının incelenmesi ... 135

7. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 138

KAYNAKLAR ... 141

EKLER ... 146

EK-1 w x y( , )fonksiyonunun özellikleri ve FGM kapula ailesi ... 147

EK-2 Sektörler arası aylık ve haftalık artış/azalış değerlerinin rakına ilişkin serpme diyagramları ... 149

EK-3 Aylık, haftalık ve günlük verilerin artış azalışlarına göre tanımlayıcı istatistikleri ... 158

EK-4 Aylık ve haftalık artış/azalışlara ilişkin tahmin edilen marjinal dağılımların parametreleri ... 159

EK-5 Tahminde karşılaşılan marjinal dağılımların özellikleri... 160

ÖZGEÇMİŞ ... 161

ÇİZELGELERİN LİSTESİ

Çizelge Sayfa Çizelge 4.1. Bağımsızlık kapulasını içeren kapula aileleri ile k u v_θ( , )ve

yoğunluk tartılama fonksiyonları ... 77 Çizelge 4.2. Bağımsızlık kapulasını içeren kapula aileleri ve bu ailelere bağlı

fonksiyonların özellikleri ... 78 Çizelge 4.3. Bağımsızlık kapulasını içeren kapula aileleri ve önemli birliktelik ölçüleri ... 80 Çizelge 5.1. Bazı kapula aileleri ve Kendall τ değerine dayalı parametre

tahminleri ... 91 Çizelge 5.2. Bazı kapula aileleri ve Spearman ρ değerine dayalı parametre

tahminleri ... 93 Çizelge 6.1. Mevcut endekslerin başlangıç değerleri... 119 Çizelge 6.2. Ulusal-Tüm ve Ulusal-Hizmetler sektörleri için tahmin edilen

kapula ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans

değerleri ... 124 Çizelge 6.3. Ulusal-Tüm ve Ulusal-Mali sektörleri için tahmin edilen

kapula ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans

değerleri ... 125 Çizelge 6.4. Ulusal-Tüm ve Ulusal-Sınai sektörleri için tahmin edilen

kapula ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans

değerleri ... 126 Çizelge 6.5. Ulusal-100 ve Ulusal-Hizmetler sektörleri için tahmin edilen

kapula ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans

değerleri ... 127 Çizelge 6.6. Ulusal-100 ve Ulusal-Mali sektörleri için tahmin edilen

kapula ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans

değerleri ... 128 Çizelge 6.7. Ulusal-100 ve Ulusal-Sınai sektörleri için tahmin edilen

kapula ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans

değerleri ... 129 Çizelge 6.8. Ulusal-Sınai ve Ulusal-Hizmetler sektörleri için tahmin edilen

kapula ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans

değerleri ... 130

Çizelge Sayfa

Çizelge 6.9. Ulusal-Sınai ve Ulusal-Mali sektörleri için tahmin edilen kapula

ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans değerleri ... 131 Çizelge 6.10. Ulusal-Hizmetler ve Ulusal-Mali sektörleri için tahmin edilen

kapula ailelerine ait parametre tahminleri ve beklenen frekans

değerleri ... 132 Çizelge 6.11. Ulusal-Tüm ve Ulusal-Hizmetler yapılan simülasyon çalışması

sonucunda elde edilen değerler ... 135 Çizelge 6.12. İMKB endeksleri haftalık yüzde değişimine ilişkin değişkenlere ilişkin gözlenen frekanslar, tahmin edilen Asimetrik Lojistik Model Kapula ailesine ait beklenen frekanslar ve Ki-kare

analiz sonuçları... 136

ŞEKİLLERİN LİSTESİ

Şekil Sayfa

Şekil 2.1. Fréchet-Hoeffding alt sınır kapulası grafiği ve düzey eğrileri ... 6

Şekil 2.2. Fréchet-Hoeffding üst sınır kapulası grafiği ve düzey eğrileri ... 6

Şekil 2.3. Bağımsızlık Kapulası ... 7

Şekil 2.4. Fréchet-Hoeffding alt üst sınırları ve bağımsızlık kapulası ... 8

Şekil 4.1. Cuadras-Augé kapula ailesi ... 54

Şekil 4.2. Cuadras-Augé kapula ailesinin bağımsız olduğu durum ... 55

Şekil 4.3. Cuadras-Augé kapula ailesinin k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 55

Şekil 4.4. Ali-Mikhail-Haq kapula ailesi ... 56

Şekil 4.5. Ali-Mikhail-Haq kapula ailesinin θ∈ −[ 1;0)iken k u v_θ( , ) fonksiyonu .... 56

Şekil 4.6. Ali-Mikhail-Haq kapula ailesinin θ∈(0;1] iken k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 57

Şekil 4.7. Gumbel-Barnett kapula ailesi ... 58

Şekil 4.8. Gumbel-Barnett kapula ailesinin k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 58

Şekil 4.9. Farlié-Gumbel-Morgernstern kapula ailesi ... 59

Şekil 4.10. Farlié-Gumbel-Morgernstern kapula ailesinin θ∈ −[ 1;0)iken k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 59

Şekil 4.11. Farlié-Gumbel-Morgernstern kapula ailesinin θ∈(0;1] iken k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 60

Şekil 4.12. Kotz ve Johnson’ın ardıştırmalı FGM kapula ailesi ... 60

Şekil 4.13. Kotz ve Johnson’ın ardıştırmalı FGM kapula ailesinin θ∈ −[ 1;0) iken k_θ( vu, ) fonksiyonu ... 61

Şekil 4.14. Kotz ve Johnson’ın ardıştırmalı FGM kapula ailesinin θ∈(0;1] iken k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 61

Şekil Sayfa Şekil 4.15. Kotz ve Johnson’ın ardıştırmalı FGM kapula ailesinin θ∈(0;1] iken

u,v∈[0;0,5]için k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 62

Şekil 4.16. Kotz ve Johnson’ın ardıştırmalı FGM kapula ailesinin θ∈(0;1] iken u,v∈[0,5;1]için k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 62

Şekil 4.17. Lin’in ardıştırmalı FGM kapula ailesi ... 63

Şekil 4.18. Lin’in ardıştırmalı FGM kapula ailesinin θ∈ −[ 1;0)iken k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 63

Şekil 4.19. Lin’in ardıştırmalı FGM kapula ailesinin θ∈(0;1]iken k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 64

Şekil 4.20. Marshall-Olkin kapula ailesi ... 64

Şekil 4.21. Marshall-Olkin kapula ailesinin α β, ∈(0;1) iken k_{α β,} ( , )u v fonksiyonu ... 65

Şekil 4.22. (4.2.10) kapula ailesi ... 66

Şekil 4.23. (4.2.10) kapula ailesinin k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 66

Şekil 4.24. Kimeldorf-Sampson kapula ailesi ... 67

Şekil 4.25. Kimeldorf-Sampson kapula ailesinin k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 67

Şekil 4.26. Galambos kapula ailesi ... 68

Şekil 4.27. Galambos kapula ailesinin k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 68

Şekil 4.28. Çelebioğlu kapula ailesi ... 69

Şekil 4.29. Çelebioğlu kapula ailesininθ∈ −[ 1;0)iken k u v_θ( , ) fonksiyonu ... 69

Şekil 4.30. Çelebioğlu kapula ailesinin θ∈(0;1] iken k u v_θ( , )fonksiyonu ... 70

Şekil 4.31. θ∈ −[ 1;0) iken w u v_θ ( , ) fonksiyonu ... 70

Şekil 4.32. θ∈ −[ 1;0)ve u v, ∈[0;0,5] olduğunda w u v_θ( , ) fonksiyonu ... 71

Şekil Sayfa

Şekil 4.33. θ∈ −[ 1;0)ve ,u v∈[0,5;1] olduğunda w u v_θ( , ) fonksiyonu ... 71

Şekil 4.34. θ∈(0;1] iken w u v_θ ( , ) fonksiyonu ... 72

Şekil 4.35. θ∈(0;1] ve u v, ∈[0;0,5] iken w u v_θ ( , ) fonksiyonu ... 72

Şekil 4.36. θ∈(0;1] ve ,u v∈[0,5;1] iken w u v_θ ( , ) fonksiyonu ... 73

Şekil 4.37. Asimetrik kapula ailesi ... 74

Şekil 4.38. Asimetrik kapula ailesinin b=1 ve a= −2 iken w u v_θ ( , ) fonksiyonu ... 74

Şekil 4.39. u v, ∈[0;0,5] iken w u v_θ( , ) fonksiyonu ... 75

Şekil 4.40. u v, ∈[0,5;1] olduğunda w u v_θ( , ) fonksiyonu ... 75

Şekil 5.1. θ =0, 4 için Farlie-Gumbel-Morgernstern kapula ailesi ... 100

Şekil 5.2. θ =0,8 için Farlie-Gumbel-Morgernstern kapula ailesi ... 101

Şekil 5.3. θ = −0,8 için Farlie-Gumbel-Morgernstern kapula ailesi ... 101

Şekil 5.4. θ = −0, 4 için Farlie-Gumbel-Morgernstern kapula ailesi ... 102

Şekil 5.5. θ =1 için Gumbel kapula ailesi ... 103

Şekil 5.6. θ =5 için Gumbel kapula ailesi ... 104

Şekil 5.7. θ =10 için Gumbel kapula ailesi ... 104

Şekil 5.8. θ =100 için Gumbel kapula ailesi ... 105

Şekil 5.9. θ =2 için Clayton kapula ailesi ... 106

Şekil 5.10. θ =5 için Clayton kapula ailesi ... 107

Şekil 5.11. θ = −0,5 için Clayton kapula ailesi ... 107

Şekil 5.12. θ = −1 için Clayton kapula ailesi ... 108

Şekil 5.13. θ =2 için Frank kapula ailesi ... 108

Şekil Sayfa

Şekil 5.14. θ = −2 için Frank kapula ailesi ... 109

Şekil 5.15. θ =18 için Frank kapula ailesi ... 109

Şekil 5.16. θ =-18 için Frank kapula ailesi ... 110

Şekil 6.1. İMKB sektör endekslerinin günlere göre değişimi ... 121

Şekil 6.2. İMKB Ulusal-Tüm endeksinin günlere göre değişimi... 121

Şekil 6.3. İMKB Ulusal-Hizmetler endeksinin günlere göre değişimi ... 122

Şekil 6.4. İMKB Ulusal-Mali endeksinin günlere göre değişimi... 122

Şekil 6.5. İMKB Ulusal-Sınai endeksinin günlere göre değişimi ... 122

Şekil 6.6. İMKB Ulusal-100 endeksinin günlere göre değişimi ... 123

Şekil 6.7. Ulusal-Tüm (u) ve Ulusal-Hizmetler (v)’ye ait serpme diyagramı ... 133

Şekil 6.8. Clayton kapula ailesinin τ =0,692 ve θ =4, 4935 için serpme diyagramı ... 133

Şekil 6.9. Gumbel kapula ailesinin τ =0,692 ve θ =3, 2468 için serpme diyagramı ... 134

Şekil 6.10. Frank kapula ailesinin τ =0,692 ve θ =11, 4 için serpme diyagramı ... 134

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama

β Blomqvist’in bağımlılık katsayısı

, ( ,

C C u v_θ ) Kapula

Cˆ Sağkalım kapulası

DomC C fonksiyonun tanım kümesi

dwf Yoğunluk Tartılama Fonksiyonu

,

f g Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları ,

F G Marjinal dağılım fonksiyonları

,

F G Marjinal sağkalım fonksiyonları

γ Gini bağımlılık katsayısı

H İki ya da daha fazla rastgele değişkenli dağılım

fonksiyonu

h İki ya da daha fazla rastgele değişkenli ortak

olasılık yoğunluk fonksiyonu

H Ortak sağkalım fonksiyonu

I [0;1] birim aralık

In [0;1]ⁿ birim n-küb

λU Üst kuyruk bağımlılık katsayısı

λL Alt kuyruk bağımlılık katsayısı

( , )

M u v Fréchet-Hoeffding üst sınırı (Min u v ) ( , ) ( , )

Π u v Bağımsızlık kapulası

Simgeler Açıklama

ϕ Arşimedyen kapulanın üreticisi

F, G

R R Marjinal dağılım fonksiyonlarının değer kümesi

S, C

ρ ρ Sperman ρ değeri

( , ),X Y _C

σ σ Schweizer-Wolff bağımlılık ölçüsü

, _C

τ τ Kendall τ değeri

( , )

W u v Fréchet-Hoeffding alt sınırı (Max u v( + −1,0)) ([ , ])

VC a b veya V_C( )B [ ; ]a b ’nin veya B’nin C hacmi

Kısaltmalar Açıklama

ALM Asimetrik Lojistik Modeli

FGM Farlie-Gumbel-Morgenstern Kapula Ailesi

IFM Marjinallere İlişkin Çıkarsama Tahmini

(Inference Functions for Margins)

ISE Istanbul Stock Exchange

İMKB İstanbul Menkul Kıymetler Borsası

KHK Kanun Hükmünde Kararname

LTD Sol Kuyruk Azalan

(Üst Kuyruk Bağımlı/Left Tail Decreasing)

MLE En Çok Olabilirlik Tahmini

(Maximum Likelihood Estimation)

NQD Negatif Bölge Bağımlılık

(Negative Quadrant Dependence)

PMLE Sözde En Çok Olabilirlik Tahmini

(Pseudo Maximum Likelihood Estimation)

PQD Pozitif Bölge Bağımlı

(Positive Quadrant Dependence)

Kısaltmalar Açıklama

RTI Sağ Kuyruk Artan

(Alt Kuyruk Bağımlı/Right Tail Increasing)

SPK Sermaye Piyasası Kurulu

1. GİRİŞ

Değişkenler arası ilişkiyi anlamanın bir diğer adı değişkenler arasındaki bağımlılık yapısını ortaya koymaktır. Bu ilişkiyi ortaya koymada İstatistik’te ve İstatistik’ten yararlanan bilimlerde çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Önceleri değişkenler arası ilişkiyi anlamada bağımsızlık kavramından sıklıkla yararlanılmıştır. Ancak daha çok bağımlı rastgele değişkenler araştırılmaya konu olmaktadır.

Çok değişkenli sonuçlar arasındaki ilişkileri anlamak ise, istatistik biliminde önemli problemlerden biridir. Bu ilişkiler geniş anlamda uygulamalı istatistik yöntemlerinden regresyon analizi yöntemi yardımıyla geliştirilmiştir. Regresyon analizi araştırmacıların açıklayıcı değişkenlerin etkisi üzerine odaklanmalarına olanak sağladığından, çok değişkenli analizin önemli bir bileşenidir. Uygulama alanı geniş olsa da, regresyon analizinde ilgilenilen bağımlı değişkenin temel ölçü olarak belirlenmesi ve bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkeni yeterince desteklemesi gerektiğinden, tek değişkenli regresyon analizinin kullanımı sınırlı düzeyde kalmıştır. Çok değişkenli dağılımlarda dağılıma konu olan değişkenler arasındaki bağımlılık yapısının daha iyi anlaşılması amacıyla son yıllarda istatistik literatüründe

“kapula” kavramı kullanılmaktadır. Hatta yine Schweizer’e göre, bağımlılık ciddî olarak dikkate alındığında, kapulalar doğal olarak işin içine girmekte ve bu gerçeğin bilinmesi büyük oranda İstatistik’le uğraşanlara kalmaktadır. Dolayısıyla her İstatistik kitabı kapulalarla ilgili bir kesim veya bir bölüm içerdiğinde, kapulalar olgunluk çağına ulaşacaktır [Schweizer, 2007].

Teknik bir ifadeyle, yani en kısa tanımıyla kapulalar, tek değişkenli marjinalleri [0;1]

aralığı üzerinde düzgün dağılıma sahip ve çok değişkenli dağılımları kendi tek değişkenli marjinallerine bağlayan fonksiyonlardır. Kapulalar rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık yapısını ortaya koyar. Bir bakıma ele alınan çok değişkenli dağılımın bağımlılık çatısı olarak ifade edilebilir. Kapulanın bir dağılımın bağımlılık yapısını, bir başka deyişle uygulama açısından çok değişkenli verilerin bağımlılık yapısını gösterdiği düşünülebilir. Kapula fonksiyonunun asıl amacı, gözlenen verilere en uygun düşen çok değişkenli dağılımı bağımlılık yapısını da ortaya

koyarak elde etmektir. Dolayısıyla bir kapula fonksiyonunun kendisi de çok değişkenli bir dağılım fonksiyonu olduğundan, bu işlevi yerine getirecek değerli bir araç olduğu söylenebilir. Ayrıca, kapulalar

i. ölçekten bağımsız bağımlılık ölçülerini çalışmanın bir yolu

ii. iki – ve dolayısıyla daha fazla – değişkenli dağılım ailelerini inşa etmede bir başlangıç noktası olması

nedenleriyle de ilginçtir.

Kapula Fonksiyonlarının Kısa Tarihsel Geçmişi

1940 yılında Hoeffding çok değişkenli dağılımlar, özellikleri ve bağımlılık ölçüleri üzerine bazı çalışmalar yapmıştır. 1959 yılında Sklar ilk defa kapulaların varlığını ortaya koymuş, bu fonksiyonların çok değişkenli dağılım fonksiyonlarıyla dağılımın bir boyutlu marjinalleri arasında bir bağıntı tanımlamaya yardımcı olduğunu göstermiştir. 1959 ile 1970 yılları arasında kapulalarla ilgili olarak pek çok sonuç, genellikle olasılık dağılım fonksiyonları uzayındaki ikili işlemlerle ilgili çalışmalar sırasında ve olasılıklı metrik uzayları teorisinin gelişimiyle ilişkili olarak elde edilmiştir. Bu arada iki boyutlu kapulaların rastgele değişken çiftleri arasında parametrik olmayan bağımlılık ölçülerini tanımlayabildiği keşfedilmiştir. 1974 ile 1990 yılları arasında kapula kavramı birkaç kez yeniden keşfedilmiş ve özellikle bağımlılık sorunu, sabit marjinaller ve monoton dönüştürmeler altında değişmez kalan rastgele değişkenlerin fonksiyonlarını içeren problemlerde, bu fonksiyonlar matematiksel istatistikte her zamankinden daha önemli bir rol oynamaya başlamıştır [Schweizer, 1991]. 1990 yılında kapula fonksiyonları ile ilgili ilk sempozyum gerçekleştirilmiştir. Bu sempozyumda sunulan makaleler 1991 yılında “Advances in Probability Distributions with Given Marginals, beyond the Copulas, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht” adıyla kitap olarak yayınlanmıştır. Bu sempozyumu takiben 1993’te Seattle’da sunulan makaleler 1996 yılında

“Distributions with fixed marginals and related topics” adıyla; 1996’da Prag’da sunulan makaleler 1997 yılında “Distributions with given marginals and moment problems” adıyla; 2000’de Barcelano’da sunulan makaleler 2002 yılında

“Distributions with given marginals and statistical modelling” adıyla kitap olarak

yayınlanmıştır. 1991 yılından günümüze kadar kapula fonksiyonlarının teorisi ve uygulamaları üzerinde birçok çalışma yapılmıştır ve yapılmaya devam etmektedir.

Hatta kapulalar üzerine bazı periyodikler özel sayı çıkarmışlardır. Bakınız: Extremes, Vol. 9, Num. 1, March, 2006 (Special Section: Copula Discussion); Journal of Hydrologic Engineering, Vol. 12, Issue 4, 2007 (Copulas in Hydrology). Kısaca özetlenecek olursa, kapula fonksiyonları finansal piyasalarda, risk analizinde, zaman serilerinin kullanıldığı analizlerde, hidroloji gibi yağışları konu edinen doğal bilimlerde, sıra istatistiklerinde, tıp istatistiklerinde, dolayısıyla bağımlılık yapılarını göz önüne alan uygulamalarda sıklıkla yer almakta ve bu uygulamalar günden güne çeşitlenmektedir.

Tez çalışması kapsamında yer alan konuların, bölümlere göre dağılımı aşağıdaki gibidir.

Tezin ilk bölümünü oluşturan Girişte, çalışmanın kapsamını içeren genel bir tanıtım yapıldı, kapulaların kısa bir tarihçesi verildi.

Tezin ikinci bölümünde kapulaların tanımları, temel özellikleri ve bazı kapula çeşitleri anlatıldı. Üçüncü bölümde bağımlılık yapıları, birliktelik ölçüleri ve bu ölçülerin kapulalarla ilişkileri anlatılmıştır. Dördüncü bölümde bağımsızlık kapulasını içeren kapula aileleri ve bu ailelerin fonksiyonel ifadeleri ile bu ailelere ilişkin yapılan çalışmalar anlatılarak kendi yaklaşımımızla elde edilen sonuçlar verilmiştir.

Tezin beşinci bölümünde bugüne kadar literatürde geçen kapula tahmin yöntemleri anlatılarak yapılan simülasyon çalışmasına ilişkin sonuçlar sunulmuştur. Altıncı bölümde İMKB sektör endeks verileri kullanılarak elde edilen sektörler arası bağımlılık yapısını özetleyen kapulaların tahmini verilmiştir.

Tezin son bölümünde ise yapılan çalışmalardan elde edilen sonuçlar verilmiştir.

2. KAPULALAR VE ÖZELLİKLERİ

Kapulalar, tek değişkenli marjinalleri [0;1] üzerinde düzgün dağılıma sahip ve çok değişkenli dağılımları bu tek değişkenli marjinallere bağlayan fonksiyonlardır.

Kapula fonksiyonları rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık yapılarını ortaya koyar.

2.1. Kapulaların Uygulama Alanları

Kapulaların, finansta, aktüeryada, portföy analizlerinde, risk analizlerinde, zaman serilerinde, hidrolojide, durdurma işlemlerinin kullanıldığı sağkalım analizlerinde ve tıp istatistiklerinde gittikçe artan sayıda uygulandığı görülmektedir.

2.2. Kapulaların Temel Özellikleri

1. Rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık yapısını yansıtması.

2. Bir değişkenli marjinal rastgele değişkenlerin azalmayan dönüştürmeleri altında değişmez kalması.

3. Eş monotonluk (comonotonicity), yani değişkenlerin aynı yönde değişimini yansıtması.

4. Aynı aile içindeki çok değişkenli dağılımların aynı veya ters yönde sıralanmasını yansıtmasıdır.

2.3. Kapulaların Tanımı ve Matematiksel Özellikleri

Bu bölümde, kapulalara ilişkin bazı notasyonlar ve temel kavramlar üzerinde durulacaktır. Çalışmamızda, öncelikle iki değişkenli dağılımlar ve iki boyutlu kapulalar üzerinde durulacaktır. Çok değişkenli (yani, üç ya da daha fazla değişken) olduğu durum daha sonraya bırakılmıştır.

2.1. Tanım (İki boyutlu kapula (veya kısaca kapula)) ]

1 , 0 [ ] 1 , 0 [ :

C ² → şeklinde tanımlanmış fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlarsa iki boyutlu kapula adını alır:

) v , u ( C

1. Her u v, ∈[0;1] için 0 ) , 0 ( ) 0 ,

(u =C v =

C (2.1)

ve

u u

C( ,1)= ve C(1,v)=v (2.2)

dir;

2. Her u u v v₁, , ,_{2 1 2}∈[0;1] için u₁ ≤u₂ ve v₁≤v₂ iken 0

) , ( ) , ( ) , ( ) ,

(u₂ v₂ −C u₂ v₁ −C u₁ v₂ +C u₁ v₁ ≥

C (2.3)

dır.

2.1. Teorem

C bir kapula olsun. Her kapulası, C ( , )u v ∈ için I² )

, min(

) , ( ) 0 , 1

max(u+v− ≤C u v ≤ u v (2.4) eşitsizliğini sağlar.

İspat: Bkz. Nelsen (1999)

) 0 , 1 max(

) ,

(u v = u+v−

W ve M(u,v)=min(u,v) ile gösterilirse, yukarıdaki teorem

) , ( ) , ( ) ,

(u v C u v M u v

W ≤ ≤ (2.5)

biçiminde ifade edilebilir. Bu eşitsizlikte geçen M’ye Fréchet-Hoeffding üst sınırı, W’ye Fréchet-Hoeffding alt sınırı denilmektedir. Şekil 2.1 ve Şekil 2.2, sırasıyla bu alt ve üst sınırların grafiklerini ve düzey eğrilerini göstermektedir.

0 0.25

0.5 0.75

10 0.25

0.5 0.75

1

0 0.25

0.5 0.75

1

0 0.25

0.5 0.75

^{0 0.2 0.4 0.6 0.8 1}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(a) (b)

Şekil 2.1. Fréchet-Hoeffding alt sınır kapulasının (W u v( , )) a) grafiği, b) düzey eğrileri.

0 0.25

0.5 0.75

10 0.25

0.5 0.75

1

0 0.25

0.5 0.75

1

0 0.25

0.5 0.75

^{0 0.2 0.4 0.6 0.8 1}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(a) (b)

Şekil 2.2. Fréchet-Hoeffding üst sınır kapulasının (M u v ) a) grafiği, b) düzey ( , ) eğrileri.

2.2. Tanım (Bağımsızlık)

Y

X ve sürekli rastgele değişkenlerinin marjinalleri F ve G, ve ortak dağılım fonksiyonu H olsun. X ileY ’nin bağımsız olması için gerek ve yeter koşul, her

( , )x y ∈ R2

) için

(2.6) (

) ( ) ,

(x y F x G y

H =

olmasıdır. Bir başka deyişle, sürekli rastgele değişkenleri bağımsızdır, ancak ve ancak bu değişkenlerin ortak dağılım fonksiyonuna karşı gelen kapula

’dir.

Y X ve

( , ) CXY u v =uv

Dolayısıyla, iki değişkenli bir dağılım fonksiyonuna karşı gelen uv

) v , u (

C = (2.7) kapulası bağımsızlığı ifade eder ve ( , )Π u v ile gösterilir.

0 0.25

0.5 0.75

10 0.25

0.5 0.75

1

0 0.25

0.5 0.75

1

0 0.25

0.5 0.75

^{0 0.2 0.4 0.6 0.8 1}

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(a) (b)

Şekil 2.3. Bağımsızlık kapulası ( ( , )Π u v ) a) grafiği, b) düzey eğrileri

Şekil 2.4. Fréchet-Hoeffding alt, üst sınırları ve bağımsızlık kapulası.

2.2. Teorem

ve

X Y , C_XY kapulasına sahip sürekli rastgele değişkenler olsun. α ve β sırasıyla ve

X Y rastgele değişkenlerinin değer kümesi üzerinde kesin monoton dönüşümler ise, o zaman aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. Eğer ve α β kesin artansa

( ) ( )_{X Y} ( , ) _XY( , ); C_{α β} u v =C u v

2. Eğer α kesin artan ve β kesin azalansa

( ) ( )_{X Y} ( , ) _XY( ,1 ); C_{α β} u v = −u C u − v

3. Eğer α kesin azalan veβ kesin artansa

( ) ( )_{X Y} ( , ) _XY(1 , ); C_{α β} u v = −v C − vu

4. Eğer ve α β’nın her ikisi de kesin azalansa

( ) ( )_{X Y} ( , ) 1 _XY(1 ,1 )

C_{α β} u v = + − +u v C −u − v dir [Nelsen, 1999].

t t

Π(u,v)

W(u,v)

M(u,v)

2.3. Tanım

2 0 0

( , ) ( , )

u v

A u vC C s t dtds s t

= ∂

∫∫

C C

A u v S u v

olmak üzere, herhangi bir kapulası genelde C C u v( , )= + biçiminde iki bileşenden oluşur.

Bu parçalara sırasıyla, kapulanın mutlak sürekli bileşeni ve tekil bileşeni denir. Eğer I üzerinde 2 C≡A_C yani, C ortak dağılım fonksiyonu olarak düşünüldüğünde

2C u v( ,

∂ ) u v∂ ∂ ile verilen bir ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahipse, C mutlak süreklidir; öte yandan I üzerinde ² C S≡ _C yani, I içinde hemen hemen her ² yerde ∂²C u v( , ) ∂u v∂ =0 C

SC

0 ( U

ise, tekildir. Diğer durumlarda mutlak sürekli bir bileşenine ve tekil bir bileşenine sahiptir. Bu durumda ne , ne de bir kapuladır; çünkü her ikisi de marjinallerine sahip değildir [Nelsen, 1999].

C

) 1 ,

AC

AC S_C

2.4. Sklar Teoremi

Bu teorem kapulaların doğuşuna ilişkin teorinin temel özelliğini vermektedir. Sklar teoremi, çok değişkenli dağılım fonksiyonları ve bu fonksiyonların tek değişkenli marjinalleri arasındaki ilişkilerde kapulaların oynadığı rolü ortaya koyar. Önce bir ve iki değişkenli dağılım fonksiyonlarının tanımını hatırlayalım.

2.4. Tanım

Tanım bölgesi R=R∪{−∞,∞}, genişletilmiş gerçek sayılar olan bir F dağılım fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar:

1. F azalmayan bir fonksiyondur.

2. F sağdan süreklidir.

3. F(−∞)=0 ve F(+∞)=1’dir.

2.5. Tanım

H fonksiyonu tanım bölgesi R olan iki değişkenli olasılık dağılım fonksiyonu ise ²

1. H fonksiyonu 2-artandır (dikdörtgenler üzerinde pozitif değerli bir hacim oluşturur).

2. H(x,−∞)=H(−∞,y)=0 ve H(+∞,+∞)=1 3. F(x)=H(x,+∞) ve G(y)=H(+∞,y) dir.

2.5. Teorem (Sklar Teoremi)

H, marjinalleri F ve G olan iki değişkenli bir dağılım fonksiyonu olsun. O zaman herx,y∈R için

(

)

) ,

(x y C F x G y

H = (2.8)

olacak şekilde bir C kapulası vardır. Eğer F ve G sürekli ise, C tektir; aksi halde, C, F ve G’nin değer kümelerinin kartezyen çarpımı (yani, ) üzerinde tek türlü tanımlanmıştır. Tersine, eğer C bir kapula ve F ile G marjinal dağılım fonksiyonlarıysa, o zaman H fonksiyonu marjinalleri F ve G olan bir ortak dağılım fonksiyonudur.

DomC R= F ×R_G

G

İspat: Bkz. Nelsen (1999)

2.1. Sonuç

H, marjinalleri F ve G olan ortak dağılım fonksiyonu ve C, tanım kümesi

F ve

DomC R= ×R H(x,y)=C

(

)

olsun. ve G ırasıyla F ve G’nin yarı tersleri (quasi-inverse) olsun. O zaman herhangi bir (u,v)∈

) (−1

F ⁽⁻¹⁾ s C Dom için

(

)

, ( vu

C F⁽ G⁽⁻¹⁾(v

} t )

ebas ≥

),

)(

1 u

−

x ( F

| x { ) H=

) t =

(2.9)

olur (Bir F dağılım fonksiyonunun yarı tersi, } t ) x ( F

| x { eküs (

F⁽⁻¹⁾ = ≤

ile tanımlanır; bu fonksiyon F’nin kantillerine karşı gelir.).

2.5. Sağkalım Kapulaları

İlgilenilen rastgele değişkenler bir yığındaki bireylerin veya nesnelerin ömürlerini temsil ettiğinde bir bireyin veya nesnenin x zamanının ötesinde yaşaması veya sağ kalması olasılığı sağkalım fonksiyonu (veya güvenirlik fonksiyonu)

( )

F x = − (1 F x)=P[X >x] ile verilir. Ömürlerle uğraşıldığında, rastgele değişkenin doğal değer aralığı sıklıkla [0, )∞ ’dur. Ortak dağılım fonksiyonu H olan bir (X,Y) rastgele değişken çifti için ortak sağkalım fonksiyonu ( , )H x y =P X[ >x Y, > y] ile verilir. H ’nin marjinalleri ( ,H x −∞ ve () H −∞ ),y olup bunlar sırasıyla tek değişkenli F ve G sağkalım fonksiyonlarına eşittir. Sklar teoreminde belirtildiği gibi bir değişkenli ve ortak sağkalım fonksiyonları arasında H x y( , )=C F x G yˆ( ( ), ( )) ilişkisi vardır. X ve Y’in kapulasının C olduğu varsayıldığında bu ilişki kapulası cinsinden

C

( , ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) 1 (1 ( ),1 ( )) H x y F x G y H x y

F x G y C F x G y

F x G y C F x G y

= − − +

= + − +

= + − + − −

biçiminde yazılabilir. Dolayısıyla fonksiyonu

ile tanımlanır , rastgele değişkenlerinin sağkalım kapulasını ifade eder.

ˆ : 2

C I →I

ˆ ( , ) 1 (1 ,1 )

C u v = + − +u v C −u −v X veY

2.6. Bir Kapulanın Duali ve Eşkapula

Kapulalar ve sağkalım kapulalarıyla yakından ilişkilendirilen diğer iki fonksiyon, bir kapulanın duali ve eşkapuladır. Bir kapulanın duali ile tanımlanan fonksiyonudur. Eşkapula ise

( , ) ( , )

C u v% = + −u v C u v (1 ,1 )

C u v

C% C u v^*( , ) 1= − − − ile tanımlanan fonksiyonudur. Bu fonksiyonların her ikisi de kapula değildir, ancak C, X ile Y rastgele değişkenler çiftinin bir kapulası ise kapulanın duali ve eşkapulanın her biri X ve Y’ye ilişkin özel bir olayın olasılığını ifade eder.

C*

2.7. Kapulalar ve Simetri Özellikleri

X bir rastgele değişken ve a bir gerçek sayı olsun. X a− ve a değişkenlerinin dağılım fonksiyonları aynıysa, yani herhangi bir

−X

x R∈ için ise,

[ ]

P X − ≤a x = P a X[ − ≤x] X , a çevresinde simetriktir, denir.

2.6. Tanım

X ile Y rastgele değişkenler ve ( , )a b , R ’de bir nokta olsun. ²

1. X ile Y rastgele değişkenleri sırasıyla a ve b çevresinde simetrikse, ( , )X Y ’ye ( , )a b çevresinde marjinal olarak simetriktir, denir.

2. X a− ile Y b− ’nin ortak dağılım fonksiyonu a X− ile b Y− ’nin ortak dağılım fonksiyonuyla aynıysa, ( , )X Y ’ye ( , )a b çevresinde ışınsal olarak simetriktir, denir.

3. (X a Y b− , − ),(X a b Y− , − ),(a X Y b− , − ) ve (a X b Y− , − ) dört rastgele değişken çifti bilinen ortak bir dağılıma sahipse, ( , )X Y ’ye ( , )a b civarında ortak olarak simetriktir, denir.

2.3. Teorem

X ile Y, ortak dağılım fonksiyonu H, marjinalleri sırasıyla F ve G, kapulası C olan sürekli rastgele değişkenler olsun. O zaman

X ile Y değiştirilebilir (exchangable)⇔ =F G veC u v( , )=C v u( , ) ( ( , )∀u v ∈I²)

dir. Her ( , )u v ∈ için ( , )I² C u v =C v u( , ) olduğunda C’ye basitçe simetriktir, denilir.

Kapulalarda simetriklik özellikleri geometrik olarak farklı şekillerde yorumlanabilir.

Burada bu konunun ayrıntısına girilmeyecektir.

2.8. Kapulalarda Sıralama

Daha önce de ifade edildiği gibi, Fréchet-Hoeffding sınırları eşitsizliği olarak bilinen ve her C kapulası için sağlanan

( , ) ( , ) ( , )

W u v ≤C u v ≤M u v , her ( , )u v ∈ için I

eşitsizliği kapulalar kümesi üzerinde kısmî bir sıralama verir. Daha açık bir ifadeyle, Fréchet-Hoeffding alt sınır kapulası her kapuladan küçüktür ve Fréchet-Hoeffding üst sınır kapulası her kapuladan büyüktür.

2.7. Tanım

1ve

C C₂ iki kapula olsun. Eğer her ( , )u v ∈ için I oluyorsa,

’den küçüktür (veya ’den büyüktür) denir ve (veya ) ile gösterilir.

1( , ) 2( , ) C u v ≤C u v

1 2

C pC

1, 2

C C C C₂, ₁ C₂ fC1

Kapulalar kümesine ilişkin bu kısmi sıralamaya uyum sıralaması denir. Her kapula çifti karşılaştırılabilir olmadığından bu sıralama kısmî bir sıralamadır. Bununla birlikte tamamen sıralı kapula aileleri de vardır. iken Cα β≤ _α pC_β oluyorsa, tamamen sıralı bir { }C_θ parametrik ailesine pozitif olarak sıralı, aksi halde

iken C_α C_β

α β≤ f ise negatif olarak sıralı denilir.

2.9. Arşimedyen Kapulalar

Arşimedyen kapulalar, kapula fonksiyonları içinde sıklıkla karşımıza çıkan geniş bir ailedir. Bunun nedenleri arasında

(1) Bu aileye ait kapulaların kolayca inşa edilebilmesi,

(2) Bu aileye ait kapulaların büyük değişkenlikleri içermesi, yani yansıtabilmeleri (3) Bu sınıfın üyelerinin cebirsel açıdan çok güzel özelliklere sahip olması

sayılabilir. Arşimedyen kapulalar özgün olarak İstatistik’te ortaya çıkmamış, üçgen eşitsizliğinin olasılı bir biçiminin geliştirilmesi çalışmalarının yer aldığı olasılı metrik uzaylarında ortaya çıkmıştır.

2.9.1. Arşimedyen kapulaların özellikleri

Arşimedyen kapula yaklaşımı, çok değişkenli bir kapulanın basit bir tek değişkenli fonksiyona (:üreticiye) indirgenmesine izin verir. Basitlik olması açısından, iki değişkenli bir kapula düşünelim. ϕ:I →[0,∞ , sürekli, kesin azalan, konveks ve )

(1) 0

ϕ = olacak şekilde bir fonksiyon olsun. ϕ’nin ters fonksiyonunu ϕ⁻¹ ile gösterelim ve

( , ) 1( ( ) ( )), , [0,1]

C u v_ϕ =ϕ ϕ⁻ u +ϕ v u v∈ için

fonksiyonunu tanımlayalım. Bu eşitlikle bir Arşimedyen kapula elde edilir ve ϕ, C_ϕ kapulasının üreticisi (toplamsal üreticisi) olarak adlandırılır. Bir üretici bir Arşimedyen kapulayı tamamıyla belirler. Arşimedyen kapulalar ilk defa 1986 yılında Genest ve MacKay tarafından çalışılmıştır.

2.9.2. Üreticilerin özellikleri

Kapulaların üreticisi kavramının özelliklerini matematiksel olarak ifade edelim.

1. ϕ(1) 0= ,

2. her t∈(0,1) içinϕ′( ) 0t < ’dır; yani, ϕ azalan bir fonksiyondur,

3. her t∈(0,1) içinϕ′′( ) 0t ≥ ’dır; yani, ϕ konveks (dışbükey) bir fonksiyondur.

2.4. Teorem

C, üreticisi ϕ olan bir Arşimedyen kapula olsun. O zaman aşağıdaki özellikler gerçeklenir:

1. C simetriktir; yani, ( , )C u v =C v u( , ) (her ,u v I∈ ; )

2. C birleşmelidir; yani, ( ( , ), )C C u v w =C u C v w( , ( , )) (her , ,u v w I∈ ; ) 3. Eğer c>0 herhangi bir sabitse, cϕ de C’nin üreticisidir.

[Nelsen, 1999].

2.10. Çok Değişkenli Kapulalar

Bu kesimde çok değişkenli kapulalar ve bununla ilgili tanımlamalar yapılacaktır.

Herhangi bir n pozitif tamsayısı için R ile genişletilmiş -uzay ⁿ n R R× × ×... R gösterilecektir. R ’deki noktalar için vektör notasyonu, sözgelimi ⁿ a=( , ,..., )a a_{1 2} a_n

ve b=( , ,..., )b b_{1 2} b_n kullanılacaktır. Her için k a_k ≤ olduğunda bu b_k a ile, her için olduğunda ise bu

≤b

k a_k <b_k a b< ile gösterilecektir. a≤ b iken, [a b, ],

1 1 2 2

[ , ] [ , ] ... [ , ]_{n n}

B= a b × a b × × a b -kutusunu (yani, kapalı aralığın Kartezyen çarpımını) ifade etsin. Bir

n n

B , -kutusunun köşeleri, her biri veya ’ya eşit olan

’lardan oluşan noktalarıdır. Birim -küb n

1 2

( , ,..., c= c c

ak b_k

ck c_n) n I , ⁿ I I× × ×... I

çarpımıdır. -yerli bir n H gerçek fonksiyonu tanım kümesi R ’nin bir alt kümesi ⁿ olan DomH ve değer kümesi RanH , R ’nin bir alt kümesidir.

2.8. Tanım ( boyutlu kapula (veya -kapula)) n

( , ), :[0;1]ⁿ

C u v C →

u∈ ( ) 0 C u = u

( ) _k C u =u u_k

, ([ , ]) 0

V a b ≥

([ , ]) ( )

C C

V a b =V B =

1, çift sa ) -1, tek sa c ⎧

= ⎨⎩

n

) I

ise ise

k ak

a [0;1] ( :C I

u

a b∈

sgn( )c H

∑

yıda için yıda için

k c

k c

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlarsa boyutlu kapula adını alır:

n

(

→

) c

=

=

n

1. Her [0;1]ⁿ için

, ’nun en az bir koordinatı 0 ise, (2.10) ve

, hariç ’nun bütün koordinatları 1 ise (2.11) dir.

2. a b≤ olan her [0;1]ⁿ için

(2.12)

C

dır.

Burada

ve

sgn(

k k

dir [Nelsen, 1999].

2.5. Teorem ( boyutlu Sklar teoremi) n

H , marjinalleri F F₁, ,...,₂ F_n olan boyutlu dağılım fonksiyonu olsun. O zaman her n x Rn

n

∈ için

1 2 1 1 2 2

( , ,..., )_n ( ( ), ( ),..., ( ))_n

H x x x =C F x F x F x (2.13)

olacak şekilde bir C, n-kapulası vardır. Eğer ’lerin hepsi sürekliyse, o zaman tektir; aksi halde C,

1, ,...,2 _n

F F F

1 DomF2 ... DomF

C DomF× × × _n

1 2,..., _n

F F F

üzerinde tek türlü belirlenmiştir. Tersine, C bir kapula ve dağılım fonksiyonlarıysa, o zaman “Eş. 2.13” ile tanımlanan fonksiyonu marjinalleri olan boyutlu bir dağılım fonksiyonudur.

n ,

H F F₁, ,...,₂ F_n n

İspat: Bkz. Nelsen (1999)

2.2. Sonuç

,

H C , ’ler Teorem 2.10.1’deki gibi olsun ve ’ler sırasıyla ’lerin yarı tersleri olsun. O zaman herhangi bir için

1, ,...,2 _n

F F F

1, ,...,2 _n

F F F

( 1) ( 1) ( 1)

1 , 2 ,..., _n F ⁻ F ⁻ F ⁻

u I∈ n

( 1) ( 1) ( 1)

1 2 1 1 2 2

( , ,..., )_n ( ( ), ( ),..., _n ( ))

C u u u =H F ⁻ u F ⁻ u F ⁻ u_n (2.14)

olur.

2.6. Teorem

C herhangi bir kapula olsun. Her , kapulası ve her n C n u I∈ için ⁿ

( ) ( ) ( )

W un ≤C u ≤M uⁿ (2.15)

sağlanır. Burada

{

}

( ) max ... 1,0

n

W u = u +u + +un− +n

{

}

( ) min , ,...,

n

M u = u u un

dir. Bu fonksiyonlar sırasıyla, boyutlu Fréchet-Hoeffding alt ve üst sınırlarını ifade eder.

n

İspat: Bkz. Nelsen (1999)

2.9. Tanım (Bağımsızlık)

H X₁

, marjinalleri olan boyutlu dağılım fonksiyonu olsun.

bağımsızdır, ancak ve ancak her

1, ,...,2 _n

F F F n

Xn

X ,...,

, ₂ x R∈ ⁿ için

dir. Bir başka deyişle, rastgele değişkenleri bağımsızdır, ancak ve ancak bu değişkenlere karşı gelen kapula

’dir.

1, ,..., )x2 x

( )= Πⁿ( )u

1( ) ( )...1 2 2

n x F x

...u_n (

H x

C u

( )

F F x

=

u u1 2

=

n n X₁,X₂,...,Xn

Çok değişkenli kapulalar özellikle ekonomi ve finans uygulamalarında önemli bir yer tuttuğundan, bu tür kapulaların inşası, geliştirilmesi ve tahmin yöntemleri üzerine de çok sayıda çalışmalar yapılmıştır. Bu çalışmalardan haberdar etmek için yalnızca aşağıdaki referansları veriyoruz: [Dolati, A., Ubeda-Flores, M.(2006), “Some new parametric families of multivariate copulas”, International Mathematical Forum, 1, 2006, no. 1, 17-25], [Durante, F., Quesada-Molina, J.J., Ubeda-Flores, M.(2007),

“On a family of multivariate copulas for aggregation processes”, Information Sciences, 177, 5715–5724], [Rodríguez-Lallena, R.A., Ubeda-Flores, M.(2003),

“Distribution functions of multivariate copulas”, Statistics & Probability Letters 64 (2003) 41–50], [Laforge, C.(2007), “Construction of multivariate copulas and the compatibility problem”, 1-8, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id

=956041], [Venter, G., Barnett, J., Kreps, R., Major, J., “Multivariate copulas for financial modeling”, 1-17, http://www.variancejournal.org/issues/01-01/103.pdf ], ve çok değişkenli Arşimedyen kapulaların inşası için Nelsen (1999)’a bakılabilir.

3. BAĞIMLILIK YAPILARI VE KAPULALAR

Bilimsel çalışmalarda genelde araştırılan, olayların bağımlılığı ya da aynı kapsamlı olayın farklı oluşumları arasındaki tutarlı bağımlılıktır. Bu bağımlılıklar sonucunda yasalar veya teoremler ortaya konarak bilimin ilerlemesi sağlanmaktadır. Bu nedenle bağımlılık yapıları ile sıklıkla ilgilenmekteyiz. Olaylar ve dolayısıyla rastgele değişkenler arasındaki ilişkileri ve bağımlılıkları keşfetmek amacıyla yaygın olarak yararlanılan birliktelik ölçüleri bazen yanlış kullanılmaktadır. Bu yanlışlıklar temelde verilerin sağlaması gereken varsayımları sağlamamasından kaynaklanır. Kapula fonksiyonları rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık yapısını gösterdiğinden, bağımlılık ölçüleri kapula yardımıyla ifade edilebilir. Dolayısıyla, kapulanın çok değişkenli bir dağılımın bağımlılık yapısını ve uygunsa, yani doğru seçilmişse, verilerin bağımlılık yapısını gösterdiği düşünülebilir. Ayrıca, kapula fonksiyonlarının, ölçekten bağımsız bağımlılık ölçülerini çalışmanın bir yolu ve çok değişkenli dağılım ailelerini inşa etmede bir başlangıç noktası olması nedeniyle, yaygın olarak yararlanılan bağımlılık ölçüsü olarak da düşünülebilir. Bunun yanı sıra, kapulalar kesin artan dönüşümler altında değişmezdir (bkz. s.8, Teorem 2.2) ve ortak dağılım fonksiyonu özelliklerini sağladığından bağımlılık yapıları incelenirken kullanılabilir.

Rastgele değişkenler arasında bağımlılık ilişkileri olasılık ve istatistikte çok geniş olarak çalışılan konulardan birisidir. Bağımlılık yapısının farklı biçimleri vardır ve bağımlılığa ilişkin bazı özel varsayımlar sağlanmadığında istatistiksel model tasarlanamayabilir. Uygulamada bağımlılık kavramı başlıca iki kategoride sınıflandırılabilir: Birincisi, gözlemler bir süreç sonunda ortaya çıktığında “zamana göre” bir bağımlılık tanımlanabilir. Bu durumda, Markov zinciri, martingale, mixing gibi bağımlılık kavramlarını tanımlayan koşullar, çoğunlukla “gelecek”, “geçmiş”

vb. kavramlar önemli bir rol oynayacak şekilde rastgele değişkenlerin ürettiği sıra veya zamana dikkat çeker. İkinci kategori bağımlılık, bir dereceye kadar simetrik olan rastgele değişkenlerin davranışlarını ele alır [Jogdeo, 1982].

En çok bilinen bağımlılık özelliği gerçekte “bağımlılık eksikliği” de denilen bağımsızlıktır. Eğer X ve Y

il

, ortak dağılım fonksiyonuna sahip sürekli rastgele değişkenlerse, o zaman

H e

X Y’nin bağımsızlığı H ortak dağılımının bir özelliği- yani, bu dağılım fonksiyonunun marjinallerinin çarpımına ayrıştırılması özelliğidir.

Buna göre, H bütün ortak dağılım fonksiyonlarının oluşturduğu kümenin Π kapulasıyla karakterize edilen özel altkümesine dahil olduğunda, X ile Y kesin olarak bağımsızdır. Ortak dağılım fonksiyonu Fréchet-Hoeffding sınırlarından birine eşit olduğu herhangi bir durumda, yani kapula M veya W olursa, iki rastgele değişkenden birinin diğerinin hemen hemen her yerde monoton bir fonksiyonu olduğu gözlenir. Dolayısıyla rastgele değişken çiftleri için “bağımlılık özelliği”, bütün ortak dağılım fonksiyonlar kümesinin özel bir altkümesi olarak düşünülebilir.

Tıpkı bağımsızlık özelliğinin bütün elemanları Π kapulasına sahip altkümeye karşı gelmesi gibi (ve benzer şekilde monoton fonksiyonel bağımlılığın M veya W kapulalarına karşılık gelmesi gibi), birçok bağımlılık özelliği kapulaları veya kapulaların basit özelliklerini belirleyerek betimlenebilir [Nelsen, 1999].

Bu kısımda rastgele değişkenler arasındaki ikinci kategoride yer alan bağımlılık yapıları ve bu yapılara ilişkin kullanılan birliktelik ölçüleri tanıtılacaktır.

3.1. Bağımlılık Yapıları

Bu kısımda, rastgele değişkenler arasındaki bağımlılık yapıları tanıtılmış ve bu yapıların kapula fonksiyonları ile nasıl ifade edildikleri incelenmiştir.

3.1.1. Uyumluluk ve eşmonotonluk (concordance ve comonotonicity)

Rastgele değişken çiftinin büyük değerleri büyük değerlere, küçük değerleri küçük değerlere karşılık geliyorsa, iki değişken uyumludur (concordant), denir. Bu tanımın matematiksel ifadesini şöyle verilebilir:

) ,

(x_i y_i ve ile (X,Y) sürekli rastgele değişken vektöründen iki gözlem gösterilsin.

) , (x_j y_j