HEDEF PROGRAMLAMA
Doç. Dr. İhsan KAYA YTU Endüstri Mühendisliği Bölümü
Hedef Programlama
Hedef programlama yaklaşımında, sistemlerin birden fazla ve genellikle birbiriyle çatışan hedeflerinin olması durumu söz konusudur.
Örneğin; bir işletmede üretim oranının belirli bir etkinlik seviyesinin üstünde olması arzu edilirken, işçi ve makine sayısının daha az bir seviye düşürülmesi istenebilir.
Bu şekilde birbiriyle çakışabilen hedefleri optimal bir şekilde gerçekleştiren bir çözüm elde etmek mümkün olmayabilir.
Bunun yerine hedeflerin ağırlıklarına veya önceliklerine uygun bir çözüm arayışına gidilebilir.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Hedef programlamada temel düşünce; bütün hedefleri tek bir hedefe dönüştürmektir.
Sonuçta elde edilen çözüm birbiriyle çatışan hedefler için optimal olmayabilmektedir.
Ancak, bu teknik problemin geneli için “etkin çözüm” olarak adlandırılan en iyi çözümün elde edilmesini sağlar.
Hedef Programlama
Herhangi bir problemin formülasyonun da mümkün olduğu kadar sağlanması gereken ve geçici olabilmekle birlikte kesin olarak belirlenen ihtiyaca hedef denir.
Hedef programlama ise; göreli önem derecesine göre ağırlıklandırılan birçok hedeften negatif, pozitif veya her iki yöndeki sapmaları eş zamanlı olarak minimize etmeyi amaçlayan bir çok amaçlı doğrusal programlama çözüm tekniğidir.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Hedef Programlama Modeli
Min z = d1–+ d1+ + d2–+ d2+ . . . dm– + dm+
a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn+ d1– – d1+ = T1 a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn+ d2– – d2+ = T2
dm–
am1x1+ am2x2+ ... + amnxn+ – dm+ = Tm
xj 0 (j=1, 2, ..., n)
di–, di+ 0 (i=1, 2, ..., m)
Ti = inci hedefin değerini
di– = inci hedeften negatif yöndeki sapma miktarını di+ = inci hedeften pozitif yöndeki sapma miktarını
Hedef Programlama Modeli
Hedef programlama modelinin genel yapısındaki amaç fonksiyonunda yapılacak bazı değişikliklere göre, hedef programlama aşağıdaki şekilde iki gruba ayrılır.
1. Önceliksiz (ağırlıklı) hedef programlama.
2. Öncelikli hedef programlama.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Ağırlıklı hedef programlama olarak da bilinen önceliksiz hedef programlamada her hedef için bir ağırlık belirlenerek bu ağırlıklara göre amaç fonksiyonu oluşturulur. m adet hedeften oluşan bir hedef programlama probleminin inci hedefi;
Min Gi (i= 1, 2, ..., m) ise;
Min z = w1 G1 + w2G2 + ...+ wmGm
Örnek: Bir otomobil firması yeni ürettiği bir model için televizyonda reklam yayınlamayı planlamaktadır. Otomobil firmasının reklam şirketine bildirdiği hedefler aşağıda sıralanmıştır.
1. Reklamı en az 40 milyon yüksek gelirli izlemelidir. (YG hedefi) 2. Reklamı en az 60 milyon orta gelirli izlemelidir. (OG hedefi) 3. Reklamı en az 35 milyon düşük gelirli izlemelidir. (DG hedefi) Reklam şirketi futbol maçı veya sinema arasında reklam düzenleyecektir. Otomobil şirketinin reklam bütçesi ise en fazla 600 birimdir. Reklamın kuşaklara göre bir dakikasının maliyeti ve dakikada ulaşılabilecek izleyici sayısı Tabloda verilmiştir. Bu verilere göre ve yukarıdaki üç hedefi dikkate alacak şekilde reklam planlaması yapılacaktır.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
İzleyici Sayısı (milyon kişi/dk.)
Maliyet (birim / dk.)
YG OG DG
Futbol 7 10 5 100
Sinema 3 5 4 60
Tablo Reklam Şirketi Problemi Verileri
Min (veya Maks) z = 0 x1 + 0 x2 (veya herhangi bir amaç fonksiyonu) 7 x1 + 3 x2 40 (YG kısıtı)
10 x1 + 5 x2 60 (OG kısıtı) 5 x1 + 4 x2 35 (DG kısıtı) 100 x1 + 60 x2 600 (Bütçe Kısıtı)
x1 , x2 0
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
1. Reklamı izlemeyen 40 milyonun altındaki her 1 milyon (YG) için, firmanın satış gelirlerinde 200 birim kayıp ortaya çıkmaktadır.
2. Reklamı izlemeyen 60 milyonun altındaki her 1 milyon (OG) için, firmanın satış gelirlerinde 100 birim kayıp ortaya çıkmaktadır.
3. Reklamı izlemeyen 35 milyonun altındaki her 1 milyon (DG) için, firmanın satış gelirlerinde 50 birim kayıp ortaya çıkmaktadır.
(DG kısıtı)
= 35 d
3+– d
3–+ x
24 + x
15
(OG kısıtı)
= 60 d
2+– d
2–+ x
25 + x
110
(YG kısıtı)
= 40 d
1+– d
1–+ x
23 + x
17
di ¯ = i nci hedeften eksik olan miktar (negatif yöndeki sapma miktarı) (i=1, 2, 3)
d
1+= i nci hedeften fazla olan miktar (pozitif yöndeki
sapma miktarı) (i=1, 2, 3)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
(j=1,2) (i=1,2,3)
0 x
j, d
i–, d
i+(Bütçe Kısıtı)
600 x
260 + x
1100
(DG kısıtı)
= 35 d
3+– d
3–+ x
24 + x
15
(OG kısıtı)
= 60 d
2+– d
2–+ x
25 + x
110
(YG kısıtı)
= 40 d
1+– d
1–+ x
23 + x
17
(Amaç fonksiyonu) 50d
3–+ 100 +
Min z = 200 d
1–d
2–Optimal Çözüm:
Bu modelin optimal çözümü; z=250, x1=6, x2=0, d1– = d2– = d2+= d3+=0 ve d1+=2, d3– =5 bulunur.
Bu sonuca göre reklam şirketi 6 dakikalık bir reklam hazırlamalı ve bunun tamamını maç arasında yayınlamalıdır.
Bu yayın sonucunda; (d1+=2 olduğu için) 40+2=42 milyon yüksek gelirli, (d2–
=d2+=0 olduğu için) 60 milyon orta gelirli ve (d3– =5 olduğu için) 35–5=30 milyon düşük gelirli seyirciye ulaşılır.
Ayrıca reklamlar otomobil firmasının hedeflediği miktardan daha az düşük gelirli insana ulaşacağından, firma 5(50)=250 birim satış gelirlerinden kayba uğrar.
Bu sonuca göre 1nci hedef fazlasıyla, 2nci hedef tam olarak karşılanır ancak, 3ncü hedef karşılanamaz.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
(j=1,2) (i=1,2,3,4)
0 x
j, d
i–, d
i+(Bütçe Kısıtı)
= 600 +
x
260 + x
1100
(DG kısıtı)
= 35 d
3+– d
3–+ x
24 + x
15
(OG kısıtı)
= 60 d
2+– d
2–+ x
25 + x
110
(YG kısıtı)
= 40 d
1+– d
1–+ x
23 + x
17
(Amaç fonksiyonu) +
50d
3–+
100 +
Min z = 200 d
1–d
2–d
4–– d
4+d
4+Optimal Çözüm:
Reklam şirketi 7.66 dakikalık (7 dakika 40 saniyelik) bir reklam hazırlamalı,
Bunun 4.33 dakikalık (4 dakika 20 saniyelik) kısmını maç arasında,
3.33 dakikalık (3 dakika 20 saniyelik) kısmını ise sinema arasında yayınlamalı,
Bu yayın sonucunda; 40.33 milyon yüksek gelirli, 60 milyon orta gelirli ve 35 milyon düşük gelirli seyirciye ulaşılır.
Firma, reklam bütçesini 33.33 birim artırmak suretiyle hedeflediği tüm seyirci kitlesine ulaşabilir.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA
Öncelikli hedef programlamada karar vericinin en önemliden (1nci hedeften) en önemsize (m nci hedefe) doğru hedeflerini sıralaması gerekmektedir.
i hedefine ait değişkenin amaç fonksiyonu katsayısı olarak Pi kullanılacak olursa;
P1 >> P2 >> P3 >> …>>Pm
(j=1,2) (i=1,2,3,4) x
j, d
i–, d
i+ 0
(Bütçe Kısıtı)
600 x
260 + x
1100
(DG kısıtı)
= 35 d
3+– d
3–+ x
24 + x
15
(OG kısıtı)
= 60 d
2+– d
2–+ x
25 + x
110
(YG kısıtı)
= 40 d
1+– d
1–+ x
23 + x
17
(Amaç fonksiyonu) P
3d
3–+ P
2+ P
1Min z = d
1–d
2–Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Örnek: Makine Satın Alma Problemi
Bir işletme üretim sürecinde kullanılmak üzere CNC, torna, freze ve testere tezgah alımı planlanmakta olup bunun için toplam 3500 birim ödenek ayrılmıştır. Probleme ait veriler aşağıda verilmiştir.
Makine Satın alma Problemi Verileri
Cinsi Birim
Maliyet
Bakım – İşletme Gideri
Etkinlik Puanı
İhtiyaç
CNC 600 4 6 5
Torna 250 3 4 5
Freze 150 2 5 10
Testere 40 1 3 20
Bu satın alma problemi ile ilgili hedefler öncelik sırasına göre aşağıda verilmiştir.
1. Toplam etkinliğin en az 80 puan olması.
2. Yıllık toplam bakım ve işletme giderinin mümkün olduğu kadar 70 birimi aşmaması.
3. CNC makine ihtiyacının mümkün olduğu kadar tam olarak karşılanması.
4. Diğer makine ihtiyaçlarının ise ihtiyaç miktarından az olmayacak
şekilde karşılanması.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
(herhangi bir amaç fonksiyonu)
0 x4 , x3 ,
x2 ,
x1
(bütçe kısıtı) 3500
x4 40 + x3 15
0 + x2 25
0 + x1 600
(testere kısıtı) 20
x4
(freze kısıtı) 10
x3
(torna kısıtı) 5
x2
(CNC kısıtı) = 5
x1
(bakım–işletme kısıtı) 70
x4 + x3 2 + x2 3 + x1 4
(etkinlik kısıtı) 80
x4 3 + x3 5 + x2 4 + x1 6
Min (maks) z =
= 20 d6+ – d6– +
x4 (testere)
(freze) = 10 d5+ – d5– x3
(torna) = 5 d4+ x2 +
(CNC) = 5 d3+ – d3– x1 +
(bakım–işletme) = 70
d2+ – d2– + x4 x3 + 2 + x2 3 + x1 4
(etkinlik) = 80
d1+ – d1– + x4 + 3 x3 5 + x2 4 + x1 6
d4– –
+
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Bu hedef için negatif yöndeki sapma miktarı istenmeyen değişim miktarıdır.
Min Z1 = d1–
Hedef 2. Yıllık toplam bakım–işletme maliyetinin en fazla 70 birim olması, Min Z2 = d2+
Hedef 3. CNC ihtiyacının tam olarak karşılanması.
İhtiyaç miktarı 5 adetin mümkün olduğu kadar altındaki veya üstündeki bir miktarda CNC satın alınmamalıdır.
Min Z3 = d3– + d3+
Hedef 4. Diğer makine ve teçhizatlarının en az ihtiyaç miktarı kadar karşılanması.
Mümkün olduğu kadar belirlenen ihtiyaç miktarlarından az sayıda makine ve teçhizatı alınmamalıdır.
Min Z4 = d4– + d5– + d6–
Min z= P1d1– +P2d2+ +P3d3– +P3d3+ +P4d4– +P4d5– +P4d6– Tüm hedefler için amaç fonksiyonu belirlendikten sonra,
P1 >> P2 >> P3 >> P4
Optimal Sonuç
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Bu problemin optimal çözümü; x1=4, x2=0, x3=2, x4=20, d1+ =14, d2– =30, d3–
=1, d4– =5, d5– =8 ve d1– = d6– = d2+= d3+= d4+= d5+= d6+=0 bulunur.
Bu tedarik faaliyetinin sonucunda; (d1+=14 olduğu için) 80+14=94 puanlık toplam etkinliğe ulaşılır ve (d2– =30 olduğu için) 70–30=40 birimlik toplam bakım–işletme maliyetine katlanılmak zorunda kalınır.
Bu durumda 1 ve 2nci hedefler fazlası ile sağlanmış olur. Ancak hedeflenen miktardan 1 adet eksik CNC tedarik edileceğinden, 3ncü hedef sağlanamaz.
25
Optimal sonuca göre 4 adet CNC, 2 adet freze ve 20 adet testere makine satın alınmalıdır.
94 puanlık toplam etkinliğe ulaşılır.
40 birimlik toplam bakım–işletme maliyetine katlanılır.
Hedeflenen miktardan 1 adet eksik CNC tedarik edileceğinden, 3ncü hedef sağlanamaz.
Testere hedeflendiği miktarda tedarik edilmesine rağmen, yeterli freze tedarik edilemeyeceğinden ve 8 adet eksik freze tedarik edileceğinden 4ncü hedef kısmen sağlanmış olur.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA 27
üretimine geçmeyi planlamaktadır. Üretmeyi planladığı iki tür şekerleme de şeker, fındık ve çikolata içermektedir.
Firmanın mevcut günlük stoklarında 200 kg şeker, 40 kg fındık ve 60 kg da çikolata bulunmaktadır. A türü şekerleme %15 fındık ve % 15 çikolata içermelidir. B türü şekerleme de en az %20 fındık içermektedir. A türü şekerlemenin kilosu 50 kuruşa (0.2 lira), B türü şekerlemenin kilosu da 20 kuruşa (0.5 lira) satılmaktadır.
Firma günlük karının en az 1000 lira olmasını hedeflemektedir. Yanı sıra, A türü şekerlemeden de günde en çok 3 ton üretilmesini hedeflemiştir.
Bu problemin doğrusal hedef programlama modelini kurunuz?
Çözüm
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA 29
Kâr ve üretim hedeflerine ilişkin hedefler modelde hedef kısıtları olarak yer almıştır.
Amaç fonksiyonunda ise kâr hedefinin altında kalınmak istenmediğinden d1-
değişkeni, üretim hedefinin de altında kalınmak istenmediğinden d2+ değişkeni toplamları en küçüklenmektedir.
Çözüm
Hedef Programlama Modellerinin Çözümü
Öncelikli hedef programlama problemleri simpleks metodun bir uzantısı olan hedef programlama simpleksi ile çözülebilir.
Normal simpleks tablosunda sadece bir amaç satırı var iken, m hedef bulunan bir hedef programlama simpleks tablosunda her hedef için bir amaç satırı olmak üzere toplam m adet amaç satırı vardır.
Her amaç fonksiyonu ilgili hedefteki istenmeyen yöndeki sapmadan doğan cezayı (maliyeti) temsil etmektedir.
Buna göre herhangi bir i hedefinin amaç fonksiyonu değerinin sıfırdan büyük olması (zi>0), i hedefinde istenmeyen yönde bir sapma olduğunu gösterir.
zi değeri sıfıra yaklaştıkça hedefe yaklaşılmakta olup, zi=0 ise i hedefi elde edilmiş demektir.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Tablo : Reklam Problemi İçin Başlangıç Hedef Programlama Simpleks Tablosu
Satır TD Katsayılar
x1 x2 d1+ d2+ d3+ d1– d2– d3– s4 STD
(YG) z1 0 0 0 0 0 –P1 0 0 0 0
(OG) z2 0 0 0 0 0 0 –P2 0 0 0
(DG) z3 0 0 0 0 0 0 0 –P3 0 0
(YG) ? 7 3 –1 0 0 1 0 0 0 40
(OG) ? 10 5 0 –1 0 0 1 0 0 60
(DG) ? 5 4 0 0 –1 0 0 1 0 35
Bütçe s4 100 60 0 0 0 0 0 0 1 600
Aşama-2
Satır TD Katsayılar
x1 x2 d1+ d2+ d3+ d1– d2– d3– s4 STD
(YG) z1 7P1 3P1 –P1 0 0 0 0 0 0 40P1
(OG) z2 10P2 5P2 0 –P2 0 0 0 0 0 60P2
(DG) z3 5P3 4P3 0 0 –P3 0 0 0 0 35P3
(YG) d1– 7 3 –1 0 0 1 0 0 0 40 (40/7 min.)
(OG) d2– 10 5 0 –1 0 0 1 0 0 60 (60/10)
(DG) d3– 5 4 0 0 –1 0 0 1 0 35 (35/5)
Bütçe s4 100 60 0 0 0 0 0 0 1 600 (600/100)
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Satır TD Katsayılar
x1 x2 d1+ d2+ d3+ d1– d2– d3– s4 STD
(YG) z1 0 0 0 0 0 –P1 0 0 0 0
(OG) z2 0 5P2/7 10P2/7 –P2 0 –10P2/7 0 0 0 20P2/7 (DG) z3 0 13P3/7 5P3/7 0 –P3 – 5P3/7 0 0 0 45P3/7
(YG) x1 1 3/7 –1/7 0 0 1/7 0 0 0 40/7
(OG) d2– 0 5/7 10/7 –1 0 –10/7 1 0 0 20/7
(DG) d3– 0 13/7 5/7 0 –1 –5/7 0 1 0 45/7
Bütçe s4 0 120/7 100/7 0 0 –100/7 0 0 1 200/7
Aşama-3
Satır TD Katsayılar
x1 x2 d1+ d2+ d3+ d1– d2– d3– s4 STD
(YG) z1 0 0 0 0 0 –P1 0 0 0 0
(OG) z2 0 –P2 0 –P2 0 0 0 0 –P2/10 0
(DG) z3 0 P3 0 0 –P3 0 0 0 –P3/20 5P3
(YG) x1 1 3/5 0 0 0 0 0 0 –1/100 6
(OG) d2– 0 –1 0 –1 0 0 1 0 –1/10 0
(DG) d3– 0 1 0 0 –1 0 0 1 –1/20 5
Bütçe d1+ 0 6/5 1 0 0 –1 0 0 7/100 2
Aşama-4
Tabloya göre 3ncü hedefin amaç satırındaki tek pozitif katsayı x2 değişkeninin katsayısı (P3) olduğuna göre, bu hedefe yaklaşmanın tek yolu x2 değişkeninin temele girmesidir.
Ancak bu sütundaki 2nci hedefin amaç satırındaki katsayısının negatif olduğu görülmektedir (–P2). Bu sebeple x2 değişkeninin temele girmesi daha öncelikli bir hedef olan 2nci hedeften sapmayı artırır. Ayrıca 3ncü hedefin amaç satırında pozitif değere sahip başka katsayı olmadığından elde edilen bu tablo aynı zamanda optimal çözüm tablosudur.
Bu problemin optimal çözümü; z=5P3, x1=6, x2=0, d1– = d2– = d2+= d3+=0 ve d1+=2, d3– =5 bulunur.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Min z
1= d
1–7 x
1+ 3 x
2+ d
1–– d
1+= 40 10 x
1+ 5 x
2+ d
2–– d
2+= 60 5 x
1+ 4 x
2+ d
3–– d
3+= 35
100 x
1+ 6 x
2 600
x
j, d
i–, d
i+(j=1, 2) (i=1, 2, 3) 0
Öncelikli Hedef Programlama Problemlerinin Bilgisayar ile Çözümü
Min z
2= d
2–7 x
1+ 3 x
2+ d
1–– d
1+= 40 10 x
1+ 5 x
2+ d
2–– d
2+= 60 5 x
1+ 4 x
2+ d
3–– d
3+= 35
100 x
1+ 6 x
2 600
d
1–= 0 x
j, d
i–, d
i+(j=1, 2) (i=1, 2, 3) 0
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
ile Çözümü
Min z
2= d
3–7 x
1+ 3 x
2+ d
1–– d
1+= 40 10 x
1+ 5 x
2+ d
2–– d
2+= 60 5 x
1+ 4 x
2+ d
3–– d
3+= 35
100 x
1+ 6 x
2 600
d
1–= 0
d
2–= 0
x
j, d
i–, d
i+(j=1, 2) (i=1, 2, 3) 0
Öncelikli Hedef Programlama Problemlerinin Bilgisayar
ile Çözümü
Son hedefin diğer hedeflerden küçük bir ayrıcalığı olup, bu hedefin optimal çözümü aynı zamanda öncelikli hedef programlama modelinin de optimal çözümüdür.
Bu modelin optimal çözümü ise; z=5 x1=6, x2=0, d1– = d2– = d2+= d3+=0 ve d1+=2, d3– =5 bulunur.
Bu model gerçekleştirilmesi gereken son hedefi ifade ettiğine göre, bu modelin optimal çözümü aynı zamanda öncelikli hedef programlama modelinin optimal çözümüdür.
Hedef Programlama-Doç. Dr. İhsan KAYA
Kaynakça
Wayne L. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms, Thomson, 2004
Hamdy A. Taha, Operations Research: An Introduction, Prentice Hall, 2000.
White, D.J., Operational Research, John Wiley &Sons, 1987.
Yöneylem Araştırması Ders Kitabı, 2012, KHO Yayınları.
Prof. Dr. B. Fethi ŞENİŞ, Yöneylem Araştırması-1, T.C. Anadolu Üniversitesi Yayını No: 2528
