DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN KAPSAMI
Doğrusal Programlama, İkinci Dünya Savaşı esnasında müttefik devletlere asker, silah ve malzemenin en uygun yollarla taşınması amacı ile geliştirilmiş analitik bir planlama tekniğidir (Dantzig G.B., 1998, s.12-16). Metot daha sonra değişik amaçlar için kullanılmıştır. Bunların başında da işletme planlaması gelmektedir. İşletmelerde üretim faaliyetlerinin, belirlenen amaç doğrultusunda en uygun bileşimlerinin ortaya konulması ve bu yönde işletme planlarında yapılması gereken değişikliklerin belirlenmesinde, rasyon hazırlarken en az masraflı girdi bileşimlerinin bulunmasında, bölge ve ülke seviyesinde optimum kaynak kullanımı ve ürün bileşimlerinin seçilmesinde doğrusal planlamadan geniş biçimde yararlanılmaktadır. Metot, amacın nesnel (kantitatif) olarak ortaya konduğu her probleme uygulanabilir. Bu bir kâr maksimizasyonu veya masraf minimizasyonu problemi olabilir. Doğrusal programlama;
tarımda bitki ve hayvan ürünleri üretiminde, optimal üretim planlarının yapılmasında, münavebe sistemlerinin seçilmesinde, arazi kullanım planlamasında, kısacası amacın rakamlarla ifade edilebildiği her konuda da uygulanmaktadır. Tarım alanına ilişkin uygulama örnekleri ilerdeki bölümlerde verilecektir.
Girdiler arasındaki ikame oranları ve girdi-çıktı katsayıları sabit ise üretimde doğrusal bir ilişki söz konusudur. Doğrusal programlamada girdi ve çıktı ilişkileri böyledir. Bununla birlikte doğrusal olmayan ilişkilerin programa dahil edilmesinin yolları da vardır. Örneğin tarımdaki “azalan verim kanunu” gibi doğrusal olmayan ilişkileri, doğrusal programlamanın tekniği içinde değerlendirmek mümkündür.
Doğrusal programlama, normatif bir analiz tarzıdır. Normatif analizler, geliştirildikleri alan için bir norm belirlerler; mevcut durumu değil, olması gereken durumu yansıtırlar (tüketici teorisi, işletme teorisi, finansman kararları teorisi vb.).
Mevcut durumu yansıtan analizlere pozitif analizler denir. Pozitif analizlere örnek olarak regresyon analizlerini, girdi-çıktı tablolarını gösterebiliriz (Bannock at al 2003).
1
1.1 Doğrusal Programlama Yönteminin Kullanıldığı Alanlar
Doğrusal programlama; tarımda, gıda sanayiinde, petrol endüstrisinde, kimya endüstrisinde, imalat sanayiinde, ulaşım ve dağıtım sistemlerinde, finansmanda, sağlık sektöründe, madencilikte, iş gücü planlamasında, eczacılıkta, enerji ve sivil savunma alanlarında kullanılmaktadır (Williams H.P. 2003, s. 60-65). Doğrusal programlamanın açıklamasına geçmeden evvel pratik hayatta ne gibi problemlere uygulanabileceği konusunda fikir vermek üzere aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
Örnek 1. Bir firma iki şehirde (A ve B) konserve dolum tesisi işletmektedir. Firmanın üç büyük meyve üreticisinden almış olduğu teklifler aşağıdaki gibidir:
1.işletme (S1): 200 ton (11 TL/ton) 2.işletme (S2): 310 ton (10 TL/ton) 3.işletme (S3): 420 ton (9 TL/ton)
Bu işletmelerden temin edilecek meyvelerin firmaya nakliye maliyetleri (TL/ton) aşağıda verilmiştir:
Meyve alınacak üreticiler A tesisine nakliye masrafı B tesisine nakliye masrafı
S1 3 3.5
S2 2 2.5
S3 6 4
Tesis kapasiteleri ve iş gücü masrafları aşağıdaki gibidir:
A tesisi B tesisi Kapasite 460 ton 560 ton İş gücü masrafı 26 TL/ton 21 TL/ton
Konserve toptancılara tonu 50 liradan verilmektedir. Firma üretebileceği bütün ürünü bu fiyattan satabilmektedir.
Üretici işletmelerin her birinden, işleme tesislerinin her birine ne kadar taze meyve alınmalı ki, işletmenin elde edeceği kâr en fazla olsun?
Örnek 2. İşletme planı. Bir hayvancılık işletmesi, kaynak kullanım etkinliğini artıracak optimum işletme planı arayışındadır. İşletmenin üretim kısıtları şunlardır:
İşletme arazisi 27.3 hektardır. Bu arazinin hububat üretimine elverişli olan kısmı 20 hektardır. Münavebe planına bağlı olarak buğday üretiminin 3 hektardan fazla olmaması gerekmektedir.
Ahır kapasitesi 40 baş sığırla sınırlıdır. Ağıl kapasitesi de 20 koyundur.
Düveler ağılda barınacaktır. Bir düvenin yer talebi bir koyunun 3.2 katıdır.
Düvelerin sayısı, sığırların sayısının yarısı kadar olmalıdır.
İşletmede mevcut iş gücü potansiyeli nisan ayında 450 saat, mayıs-haziranda 600 saat, ağustosta 530 saat, eylülde 800 saat ve yılın tamamında 5000 saat ile sınırlıdır. İşletmenin üretim faaliyetleri dışındaki işler için (ev işleri vb.) harcadığı zaman aylar itibari ile sırasıyla 60; 70; 40; 150 saat ve yılın toplamı için 800 saattir.
İşletme komşu işletmelerden hektarı 60 liradan 2 hektar mera arazisi kiralayabilmektedir.
İşletmenin yürütebileceği faaliyetlerin arazi talepleri (ha) ve her faaliyetin sağlayacağı net gelirler ve iş gücü ihtiyaçları Tablo 1.1’de gösterildiği gibidir.
Tablo 1.1 Faaliyetlerin Kaynak Talepleri ve Brüt Gelirleri (TL/ha ve TL/baş)
Faaliyetler Arazi (ha)
İş gücü (saat/ha ve saat/baş)
Brüt gelir Nisan May-haz Ağustos Eylül Yıl
Arpa 1 12.0 20.0 8.0 55.0 187
Buğday 1 1.0 20.0 22.0 48.0 226
Süt sığırcılığı I 0.606 6.8 15.7 7.7 14.0 90.4 235 Süt sığırcılığı II 0.568 8.0 29.3 6.9 24.5 113.5 236 Süt sığırcılığı III 0.61 6.6 20.2 8.2 16.3 93.8 240
Düve 0.025 1.4 2.2 1.3 3.3 19.3 16
Koyun 1.8 2.4 1.4 4.3 24.7 56
Problem, belirtilen şartlar çerçevesinde işletmenin kârını en fazla yapan üretim faaliyetleri bileşiminin hesaplanmasıdır.
Örnek 3. Karışım problemi. Bir gıda maddesi, ham yağların rafine edilmiş karışımından elde edilmektedir. Ham yağlar, bitkisel (B1 ve B2) ve hayvansal (H1, H2, H3) olmak üzere iki grup altında toplanmıştır. Her iki grup yağ farklı yollarla rafine edilmektedir.
Ayda 200 tondan fazla bitkisel yağ, 250 tondan fazla hayvansal yağ rafine edilememektedir. Rafine işlemleri esnasında ürünün ağırlığında azalma yoktur ve rafine maliyeti ihmal edilebilir düzeydedir.
Nihai ürünün sertlik derecesinde teknolojik bir sınır bulunmaktadır. Sertlik derecesi birimine göre bu miktar 6’dan fazla, 3’den az olmamalıdır. Sertliğin karışım miktarı ile doğrusal ilişki içinde olduğu varsayılmaktadır. Ham yağların 1 tonunun maliyetleri ve sertlik dereceleri aşağıdadır:
B1 B2 H1 H2 H3
Maliyet (TL/ton) 110 120 130 110 115
Sertlik derecesi 8.8 6.1 2.0 4.2 5.0
Nihai ürünün 1 tonunun satış fiyatı 150 TL dir.
Üretici, ürününü ne şekilde üretmelidir ki elde edeceği kâr en fazla olsun?
Problemin eşitlikler halinde ifadesi Ek 1’de verilmiştir. Yukarıdaki problem, doğrusal programlamanın yaygın kullanım alanlarından bir diğerini oluşturmaktadır. Tabidir ki yaşadığımız dünyada bu tip problemler çok daha detaylı olarak karşımıza çıkmaktadır.
Örnek 4. Dağıtım problemi. Bir dağıtımcının Kars, Kocaeli ve Muğla’da üç konserve fabrikası bulunduğunu varsayalım. Fabrikalarda günde sırası ile 250, 500 ve 750 koli konserve yapılmaktadır. Dağıtımcının; Erzurum, Sivas, Konya, Adana ve İzmir’de beş satış mağazası vardır. Mağazalardan her biri günde 300 koli konserve satabilmektedir.
Dağıtımcı, üç fabrikanın her birinden beş satış noktasına, bir günde satabilecekleri kadar konserveyi, en az nakliye masrafı ile göndermenin yolunu araştırmaktadır.
Satış merkezlerine birim nakliye masrafları (TL/konserve)
Fabrikalar Erzurum Sivas Konya Adana İzmir
Kars 0.9 1.7 2.0 1.8 2.5
Kocaeli 2.5 1.8 1.4 1.6 0.9
Muğla 2.7 1.8 1.0 1.5 0.6
Problem, her bir fabrikadan satış mağazalarına dağıtılacak koli miktarlarını gösteren on beş faaliyet arasında, masrafı en az olanların seçilmesidir. Dağıtım planının uygulanabilir olması için bazı şartların yerine gelmesi gerekmektedir; bir kere üretim noktalarından mağazalara, mağazaların günlük satış miktarlarını aşan miktarlarda koli gönderilmemelidir. Buna ilave olarak üretim miktarları, fabrikaların günlük kapasitelerini aşmamalıdır.(Üretim ve dağıtımda satış mağazalarının her biri için bir, fabrikaların her biri için de yine bir sınırlayıcı faktörün olduğuna dikkat ediniz.) Bu şartları yerine getiren çok sayıda dağıtım planı bulunabilir ancak dağıtım masrafları farklıdır. Problem, dağıtım planları arasında masrafı en az olan optimum dağıtım planın seçimidir.
Örnek 5. Diyet problemi. Beş kişilik bir aile, aile reisinin mütevazı aylık geliri ile geçinmektedir. Aile bireylerin zevk ve ihtiyaçlarını karşılayan, gıda maddelerinin fiyatlarının da dikkate alındığı haftalık mönü ne olmalıdır? Evin reisinin günde 3000 kaloriye ihtiyacı vardır. Evin hanımının diyetli mönüsü günde 1500 kalori almasını gerektirmektedir. Çocukların günlük kalori ihtiyaçları da 3000, 2700 ve 2500 dür. Aile doktorunun önerisi üzerine, aile fertlerinin kalori ihtiyaçlarını karşılarken belli miktarlardan fazla yağ ve karbonhidrat almamaları, protein tüketimlerinin ise belli miktarların altına düşmemesi gerekmektedir. Hazırlanacak diyet, protein ağırlıklı olacaktır. Problem, gıda maddelerinin belirli bir tarihteki fiyatları dikkate alınarak, aile fertlerinin her biri için minimum masraflı haftalık mönülerin hazırlanmasıdır.
Problem, tipik bir doğrusal programlama problemidir; gıda maddelerinin satın alınması faaliyetlerle; alınması gereken gıda maddeleri miktarları programlarla; aile bireylerinin kalori ve vitamin ihtiyaçları ile tabip tarafından önerilen karbonhidrat, protein ve yağ tüketim miktarlarının alt ve üst limitleri sınırlılıklarla ifade edilecektir.
Belirtilen şartları sağlayan gıda maddesi bileşimi çok fazladır. Bununla beraber bu bileşimlerin maliyetleri aynı değildir. Amaç, toplam maliyeti en az olan bileşimi bulmaktır.
Problemin, aile fertlerinin her biri için olmak üzere beş ayrı problem şeklinde de ortaya konulması mümkündür (Dantzig 1998, s. 5).
Örnek 6. İşbaşı eğitim. Bir imalathane, bir malı üretmek üzere teklif verecektir. Üretimi yapılacak malın, belirli bir program dahilinde her hafta farklı miktarlarda teslim edilmesi talep edilmektedir. İmalathanenin sahip olduğu iş gücü bu talebi karşılayacak sayıda değildir. Bunun için yeni işçilerin alınması, iş başı eğitimden geçirilmeleri ve istihdam edilmeleri gerekmektedir. Mevcut iş gücü; üretim aşamasında kullanılabilir, yeni işçilerin işbaşı eğitiminde istihdam edilebilir veya üretimle eğitimi bir arada belli oranlarda yürütmekle görevlendirilebilir. Bütün ekip bir haftalık sürenin tamamını yeni işçilerin eğitimine ayırsa bile, yeterli miktarda kişiyi eğitememektedir. Ertesi hafta eski işçilerle birlikte eğitilmiş yeni işçiler üretime başlayabilir, eğitimde görev alabilir veya her iki işi bir arada yürütebilirler, bu böyle devam eder. Üretilen mal, bozulabilen bir maldır. Bu bakımdan teslim edilinceye kadar belirli bir maliyet karşılığında depolanması gerekmektedir. Problem, üretim, iş gücü kiralama ve depolama işlemlerinin maliyetini en aza indirmektir.
Bu da bir doğrusal programlama problemidir ancak son iki problemden farklı olarak faaliyetlerin zamanlamasını da içermektedir. Problemde yer alan faaliyetler;
üretim faaliyetinde görev alacak, eğitim faaliyetinde çalışacak ve kiralanacak haftalık işçi sayılarının belirlenmesidir. Faaliyetlerin miktarları, her hafta başındaki mevcut işçi sayıları ve eğitici-öğrenci oranı ile sınırlandırılmıştır. Anlaşma süresi içinde toplam üretim miktarı, en az kontratta taahhüt edilen miktara eşit olmalıdır. Üretim-eğitim programının çözüm örneği Şekil 1.1’de gösterilmiştir. Daha belirgin olarak ifade edilmesi gerekirse problem; işçilerin kiralanması ve eğitimi, eğitim ve üretim ile üretim alt ve üst limitleri arasında maliyeti en aza getirecek dengelerin kurulmasıdır.
İş gücü Çıktı
Birikimli çıktı Dağıtım gerekleri Toplam iş gücü
Eğitici sayısı
Eğitim ve üretimin başlangıcı Teslim tarihi
Şekil 1.1 Üretim, İş Gücü Kiralama ve Depolama Maliyetinin Programlanması
1.2 Doğrusal Programlamanın Öğeleri
Doğrusal programlama hesap tekniğini kullanarak yapılacak çözümlerde üç konuda nesnel verilere ihtiyaç vardır; amaç fonksiyonu, alternatif faaliyetler ve kaynak sınırlılıkları.
1.2.1 Amaç fonksiyonu
İşletmelerin ortak problemi, üretim aşamasına geçmeden önce maksimum geliri sağlayacak üretim bileşimini veya minimum masraflı girdi bileşimini belirlemektir.
İşletmelerin amacı bunlarla sınırlı değildir. Üretici, amaç fonksiyonuna başka ilavelerde de bulunabilir. Örneğin herhangi bir nedenle, belli bir alandaki yatırımlarını devam ettirmek isteyen bir işletmeci, üretim planında bu yatırıma - kârlı olmasa bile - öngördüğü oranda yer verebilir veya kârlı olsa bile, bir faaliyetin üretim miktarını çeşitli sebeplerle sınırlayabilir. Örneğin süt sığırcılığı kârlı olmasa bile, önceden yapılmış yatırımlardan dolayı (ahır, süt sağma makinesi vb.) işletme planına belli ölçeklerde de olsa dahil edilmek istenebilir. Arazi verimliliğini korumak için, işletme planında diğer ürünlerden daha kârlı olan faaliyetlere (çeltik gibi) sınırlar getirilebilir. Tabidir ki, işletme planını sınırlayan bu ve benzeri kısıtlamalar, optimum planın kârını da azaltacaktır.
1.2.2 Alternatif faaliyetler
Ortada çözüm bekleyen bir problem varsa, birden fazla çözüm alternatifi var demektir. Aksi takdirde problemin çözümü sıradandır. Doğrusal programlamada çözüm alternatifleri çok sayıdadır. Alternatiflerin az sayıda olduğu problemleri çözmek için basit bütçe yöntemleri yeterlidir. Bu tip problemleri çözmek için doğrusal programlamaya gerek yoktur. Bu notlarda verilen örneklerde faaliyetlerin 3-5 gibi sınırlı miktarlarda tutulmasının sebebi, doğrusal programlamanın çözüm tekniğini kısa yoldan göstermektir. Gerçekte işletme planları ile ilgili çözümlerde ve özellikle tarım sektörü ile ilgili planlamalarda alternatif faaliyetler ve bu faaliyetlerde kullanılan girdi miktarları çok fazladır.
Plana dahil edilecek faaliyetlerin, ayrıntılı biçimde tanımlanmaları gerekir. Bir faaliyet, diğerinden herhangi bir şekilde farklı ise, ayrı bir faaliyet olarak değerlendirilmelidir. Süt sığırcılığı ve et sığırcılığı ayrı faaliyetlerdir. İki farklı
tohumluğun kullanıldığı buğday üretimleri, ayrı faaliyetlerdir. Gübrelemeden yapılan mısır-mısır-yulaf-korunga (MMYK) münavebesi, gübre kullanılarak yapılan MMYK münavebesinden farklı bir faaliyettir. Bu örnekler çoğaltılabilir. Özetle, doğrusal programlama tekniğinde girdi-çıktı katsayıları farklı olan her faaliyet, ayrı bir faaliyet olarak tanımlanmalıdır.
Alternatif faaliyetler sadece üretim faaliyetlerinden ibaret değildir. Satma, satın alma, kiralama da, ayrı faaliyetler olarak plana dahil edilebilir. Programın amacına bağlı olarak üretim faaliyetlerinin, toprak hazırlığı, ekim, dikim, yabancı ot mücadelesi, hasat, harman gibi kısımlara ayrılarak plana dahil edilmeleri de mümkündür.
1.2.3 Kaynak sınırlılıkları
Genel olarak bütün planlarda işletmenin iş gücü ve sermaye varlığı, üretimi sınırlar. Kaynaklar sınırlı olmasaydı, planlamaya gerek kalmazdı. Üretim planına işletmecinin ön koşulları varsa onlar da dahil edilebilir. İşletmeci, kârlı olsa bile, bazı ürünleri yetiştirmeyi arzu etmeyebilir. Üretici bu tip ürünleri daha başlangıçta plana almayabileceği gibi, bunlara belirli üretim sınırlılıkları da getirebilir. Örneğin işletmeci ikiden fazla sığır bulundurmak veya 10 dekardan fazla yem bitkisi yetiştirmek istemeyebilir. Üretim sınırlılıkları, bir takım kanunî gereklerden de kaynaklanabilir.
Üretim kotaları bunlardan biridir. Bazı ürünlerin üretimi kotalarla sınırlandırılmış olabilir.
Bazı hallerde kaynak sınırlarının aylara, haftalara hatta günlere dağılmış olarak plana dahil edilmesi gerekmektedir. Tarımda işlerin mevsimlere, hava şartlarına bağlı olması bunu gerekli kılmaktadır. Bu durumda iş gücü ihtiyaçlarının aylık, haftalık hatta hayvancılıkta olduğu gibi günlük olarak belirlenmesi gerekir.
Kaynak sınırlılıkları ilerde açıklanacağı gibi eşitlik veya eşitsizlik (arazi60 dekar) şekillerinde gösterilebilir.
Kaynak sınırlılıklarının birlikte gerçekleştirilemeyeceği, birbirleriyle çeliştiği durumlarda çözümlere ulaşmak mümkün olmayabilir. Bu güçlüğü bertaraf etmek için
“sınırlılıkları mümkün olduğunca karşıla” anlamına gelen bir eşitlik modele dahil edilmelidir (Williams H.P., 2003, s. 28).
1.3 Faaliyetler ve Girdi-Çıktı Katsayıları
Doğrusal programlamada faaliyet veya aktivite, kaynakları üretime dönüştürme yöntemidir. Eğer iki faaliyet aynı kaynakları, aynı oranlarda kullanıyorlarsa planlama açısından aralarında fark yoktur ve aynı bir faaliyet gibi muamele görürler.
Üretimde kullanılan şeylere girdi denir. Bir birim girdi karşılığında elde edilen ürün miktarı, girdi-çıktı katsayısı olarak ifade edilmektedir. Tablo 1.2’de üç buğday üretim faaliyeti ve girdi-çıktı katsayıları gösterilmiştir. Birinci faaliyette dekara 2 kg.
gübre verilmiş ve 200 kg. buğday elde edilmiştir. İkinci faaliyette dekara 4 kg. gübre verilmiş ve 300 kg. buğday elde edilmiştir. Üçüncü faaliyette dekara 6 kg. gübre verilmiş ve 360 kg. buğday elde edilmiştir.
Faaliyetler tablo olarak gösterilebileceği gibi grafik şeklinde de gösterilebilir.
Şekil 1.2’de üretim fonksiyonu, Şekil 1.3’de de üretim faaliyetleri gösterilmiştir.
Yukarıdaki açıklamalardan da anlaşılabileceği gibi bu örnekte aynı ürün (buğday), planlamada üç ayrı faaliyetle ifade edilmektedir. Bunun sebebi buğday üretiminde kullanılan gübre miktarlarının birbirinden farklı olmasıdır (Dekara 2 kg, 4 kg ve 6 kg gübrenin kullanıldığı buğday üretim faaliyetleri). Faaliyetlerin doğrusallığına ve farklı eğimlere sahip olmalarına dikkat ediniz. Faaliyetlerin eğimleri farklıdır, çünkü kullandıkları girdi miktarları aynı değildir. Bir numaralı faaliyet (X1), verimi 100 kg/da olan buğday üretimini, iki numaralı faaliyet (X2), verimi 150 kg/da olan buğday üretimini, üç numaralı faaliyette (X3), verimi 180 kg/da olan buğday üretimini işaret etmektedir.
Tablo 1.2 Buğday Üretim Faaliyetleri ve Girdi-Çıktı Katsayıları Buğday
üretim faaliyeti
Girdi talepleri Üretim (kg/da)
Girdi-çıktı katsayıları (1 ton. buğdayın girdi talepleri)*
Arazi (da) Gübre (kg) Arazi Gübre
1 1 2 200 1/0.2 =5 2/0.2 = 10
2 1 4 300 1/0.3 =3.33 4/0.3 =13.3
3 1 6 360 1/0.36 = 2.77 6/0.36 = 16.66
* Genellikle tarımda girdi-çıktı katsayıları 1 dekar arazi için hesaplanmaktadır. Yukarıdaki örnekte girdi- çıktı katsayıları ürün cinsinden (1 ton buğdayın girdi ihtiyaçları olarak) hesaplanmıştır.
Şekil 1.2 Üretim Fonksiyonu ve Azalan Verimler
İşletmecinin sahip olduğu arazi miktarının 500 dekar ve en fazla 2.5 ton gübre alabilecek parası olduğunu varsayalım. İşletme bu girdilerin tamamını kullanırsa birinci buğday üretim faaliyetinde en fazla 100 ton, ikinci ve üçüncü buğday üretim faaliyetlerinde en fazla 150 ton ürün elde edebilir. İşletmecinin üçüncü buğday üretim faaliyetinde 180 ton ürün elde etmesini, kullanabileceği gübre miktarı engellemektedir.
Şekil 1.3 Alternatif Üretim Faaliyetleri ve 1 Kg. Ürün için Girdi Talepleri
0 50 100 150 200 250 300 350 400
0 1 2 3 4 5 6 7
Gübre (kg/da) Üretim (kg/da)
0 1 2 3 4 5
0 5 10 15 20
X1: 5 da arazi; 10 ton gübre
X2: 3.33 da arazi; 13.33 ton gübre
X3: 2.77 da arazi; 16.66 ton gübre
B
C
X1
X3
X2
Arazi (da)
Gübre (ton) A
Bu durum Şekil 1.4’den izlenebilir. Şekilde D ile gösterilen üretim miktarı, gübre sınırlılığından dolayı üretim imkânları sahasının dışına düşmektedir. Bu nokta 180 tonluk üretimi göstermektedir (500x360). Ancak bunun için gerekli gübre 3 tondur (500x6) ve işletmecinin elinde 2.5 ton gübre vardır. E noktasında üretim miktarı 150 tondur ve bu miktar üretim için arazinin tamamını kullanmak gerekmemektedir, bunun için 416.67 dekar arazi yeterlidir (150000/360). Bu üretim seviyesine ulaşmak için eldeki gübrenin tamamı kullanılmalıdır (6x416.67=2500 ton).
Kaynak sınırları içinde kalan bütün girdi bileşimlerinin (örneğin F bileşimi) ifade ettiği üretim seviyelerine ulaşılması mümkündür. Bu bileşimlerin kullanılması, üretimde artık kaynakların bulunduğunu işaret etmektedir. Üretim alanı sınırındaki bileşimlere de ulaşılabilir ancak üretim sınırları dışında kalan bileşimler üretilemez.
Şekil 1.4 Doğrusal Programlamada Üretim Sınırları
0 100 200 300 400 500 600
0 1 2 3 4
Arazi (da)
Gübre (ton)
A C
E
B D
F
1.4 Doğrusal Programlamanın Varsayımları
Doğrusal programlama tekniğinin uygulanmasında yapılan varsayımlar farklı kaynaklarda, değişik başlıklar altında açıklanmaktadır. Bununla birlikte yapılan varsayımları 4 başlık altında toplamak mümkündür: oransallık (proportionality), bölünebilme (divisibility), toplanabilme (additivity) ve riskin olmaması (certainty) (Heady and Candler 1973, Demirci 1985, McCarl and Spreen 1997). Bu varsayımlardan ilk ikisi (oransallık ve bölünebilme) temel nitelikteki varsayımlardır. Oransallık varsayımı, bazı kaynaklarda doğrusallık olarak da ifade edilmektedir.
Bu varsayımlara, pozitif değerler (non-negativity) varsayımı da ilave edilmektedir. Bu son varsayımla ürünlerin veya girdilerin negatif değerler almaları önlenmektedir (Dantzig G.B., 1998, s. 32).
1.4.1 Oransallık
Oransallık, karar değişkenlerinden her birinin bir biriminin amaç fonksiyonu üzerine etkisinin değişkenin bütün seviyeleri için sabit olması demektir (McCarl and Spreen 1997). Örneğin bir ürünün üretim miktarı ne olursa olsun, net fiyatı (brüt geliri) değişmez. Aynı şekilde 1 ton mısır yetiştirmek için gerekli iş gücü miktarı 6 saat ise, aynı şartlarda 2 ton mısır yetiştirmek için iş gücü miktarı 12 saat, 5 ton mısır için 30 saattir. Yine 1 dekar arazi 8 dakikada sürülebiliyorsa 10 dekar arazi 80 dakikada sürülür. Eğitilecek personel sayısını iki katına çıkarmak için, eğitmen sayısı da iki katına çıkarılmalıdır. Bu varsayıma göre bir faaliyetin farklı seviyelerinde ölçeğe getiri sabittir*.
Gerçekte girdi kullanımında ve girdi-çıktı ilişkilerinde, bir ürüne ait fiyatlarda sabit olmayan ilişkiler vardır. Örneğin ürün münavebesinde bir ürün kendisinden sonra gelen ürünün verimini artırdığında veya iş bölümünün yararlarından dolayı iş gücü artışına bağlı olarak bir noktaya kadar iş gücü verimi arttığında sabit ilişkiler ortadan kalkar. Yine üretim miktarı artan ürünlerin fiyatları düşebilir. Bu gibi durumlar için geliştirilmiş farklı programlar vardır (Demirci, R., 1985, Gartingel, R.S.,1972, Schrage,L.E.,1981, Taha, H.A., 1975, Zionts, S., 1973)
* Bu varsayıma göre doğrusallığın gerekli şartı f (kx)kf(x)tir. Buna göre örneğin
2
1 2
4 3 )
(x x x
f eşitliği, doğrusal planlama modelinin özelliği açısından doğrusallık varsayımını yansıtmamaktadır.
Doğrusal planlamanın doğrusallık varsayımı, uygulamada her zaman geçerli olmasa da, modellerin çözüm işlemlerini basitleştirdiğinden çoğu zaman tercih edilmektedir. Modele (amaç fonksiyonuna veya sınırlılıklara), doğrusal olmayan ilişkilerin dahil edilmesi mutlaka gerekli ise, doğrusal olmayan programlama (NLP) modeli kullanılmalıdır (Vanderbei R.J., 2000). Ancak bu modellerin çözümü daha güçtür.
Bazı planlama kitaplarında, doğrusal planlamanın varsayımları arasında, amaç fonksiyonunun doğrusal olması varsayımına yer verilmektedir (Dantzig G.B., 1998, s.
33). Bu varsayımla, amacın maksimum kâr olduğu planlamalarda harcamaların amaç fonksiyonunu negatif olarak, gelir getiren faaliyetlerin ise pozitif olarak etkilediği anlatılmak istenmektedir.
1.4.2 Toplanabilme
Bu varsayım, üretim faaliyetlerinde kullanılan kaynaklarla ilgilidir. Varsayıma göre faaliyetler tarafından tüketilen kaynak miktarlarının toplamı, kaynağın miktarı kadardır. Karar değişkenlerinden herhangi birinin amaç fonksiyonuna katkısı diğerlerinden bağımsızdır. Bu durum üretimi sınırlayıcı faktörler için de geçerlidir.
Bu varsayımla, kaynaklar arasında olabilecek etkileşimler (interaksiyon) dikkate alınmamaktadır. Örneğin su ile gübre arasında böyle bir etkileşim vardır. İş gücü ile makine-malzeme arasında da benzer etkileşimler olabilir. Bunlardan birinin kullanılan miktarı arttıkça, diğerinin etkinliği değişebilir.
Bu varsayımın dışına çıkıldığı durumların analize dahil edilmesi, doğrusal olmayan programlama teknikleri ile mümkündür.
1.4.3 Bölünebilme
Üretim faktörlerinin kullanılan miktarları ve elde edilecek ürün miktarları ondalıklı rakamlarla ifade edilebilir, yani üretim fonksiyonları süreklilik gösterir.
Örneğin 3,8 traktör, 5.1 iş gücünün kullanılması ve 67,86 süt sığırı veya 8286.93 şişe meyve suyu üretilmesi mümkündür. Bu varsayım önemli bir darboğaz teşkil etmez çünkü rakamları tam sayılı hale getirmek her zaman mümkündür. Örneğin, makine ve iş gücünü saat cinsinden ifade etmekle bu sağlanabilir. Üretim rakamları da belirli katsayılarla çoğaltarak tam sayılı hale getirebilir veya yuvarlak olarak ifade edilebilir
(68 süt sığırı, 8287 şişe vb.). Şekil 1.3’de faaliyetlerin noktalarla değil, doğrularla gösterilmesinin sebebi de budur.
Değişkenlerin ondalıklı değerler alması varsayımı da pratik problemlerin çözümüne uygun düşmeyebilir. Doğrusal planlama modeline dahil değişkenlerin bir kısmının veya tamamının tam sayılarla ifade edilmesi gerektiğinde kullanılacak model, tam sayılı programlama (IP) dır (Bertsimas D., Tsitsiklis J.N., 1997). Bu modellerin çözümü de, klasik doğrusal programlama modellerinin çözümünden daha karmaşıktır.
1.4.4 Riskin dikkate alınmaması
Doğrusal programlamanın varsayımlarından biri de planda kullanılan kaynak miktarları, girdi-çıktı fiyatları, verimler, üretim miktarları ve diğer katsayıların öngörülen düzeylerde gerçekleşecekleridir. Bu varsayım “tek değer beklentileri” olarak da ifade edilmektedir (Heady and Candler 1973, s. 18). Bu varsayımla plan da kullanılan verilerdeki değişme riski yok kabul edilmektedir. Özellikle tarım sektöründe risk çok fazladır. Üretim ile hasat arasında uzun bir zaman vardır. Girdi-çıktı katsayılarını, fiyatları tahmin etmek çok zordur. Sadece doğrusal programlama yönteminde değil, diğer planlama yöntemlerinde de (bütçe yönteminde olduğu gibi) çözüme ulaşmak için aynı varsayım yapılmaktadır*.
Sistem dışı değişkenlerin (egzojen değişkenler) sabit ve biliniyor kabul edilmesinden dolayı doğrusal programlamaya stokastik olmayan (non-stocastic) model de denmektedir. Bu varsayım, deterministik analizlere mahsus bir varsayımdır.
Egzojen değişkenler planlama öncesi tam olarak bilinmez, ancak istatistik metotlarla tahmin edilebilirler. Bu açıdan doğrusal programlamanın optimum sonuçları, egzojen değişkenlerin etkilerinin araştırıldığı hassasiyet analizleri ile test edilmelidirler.
Bu konuda da geliştirilmiş analizler vardır (Barry et al, 1984, Kolbin, V.V., 1977, Vajda, S., 1972).
* Son yıllarda bazı analiz yöntemleri ile gelecekte ortaya çıkabilecek değişiklikler, planlara dahil edilmektedir. Bu yöntemlerden ikisi karar ağacı yöntemi ve opsiyon analizidir. Bu yöntemler için bakınız: Howard Raiffa,1970, Decision Analysis – Introductory Lectures on Cchoices under Uncertainty, Addison-Wesley Publishing Co.Reading, Massachusetts
Martha Amram, Nalin Kulatilaka, 1999, Real Options, Managing Strategic Investment in an Uncertain World, Harvard Business School Press, Boston, Massachusetts.
1.5 Doğrusal Programlamanın Sınırlılıkları
Buraya kadar doğrusal programlama tekniğinin, işletme planlamasındaki yararlarına değindik. Buradan, doğrusal programlama tekniğinin işletme planlaması ile ilgili her konuya çözüm getirebileceği düşünülmemelidir. Aşağıda doğrusal programlamanın yetersiz kaldığı planlama konularına yer verilmiştir (Beneke and Winterboer, 1973, s.8-9).
Doğrusal programlama, işletme yöneticisine piyasada oluşabilecek fiyatlar hakkında bilgi vermez. Planlama yapmadan önce, piyasada oluşabilecek fiyatlar tahmin edilmekte ve optimum çözümün geçerliliği, yapılan fiyat tahminlerinin doğruluğuna bağlı kalmaktadır. Fakat bu noksanlık doğrusal programlamaya mahsus bir noksanlık değildir. Diğer planlama yöntemleri de, fiyatların önceden tahmin edilmesini gerektirir.
Faaliyetlerin ve girdilerin fiyatları arasındaki oranların yanlış tahmin edilmesi, ortaya çıkacak planların yararsız olması sonucunu doğurur.
Programlama, girdi-çıktı ilişkileri hakkında yeterli bir bilgi sağlamaz.
Planlamacı, tarla, bahçe ve hayvancılık faaliyetlerinin bir biriminin üretiminde ne kadar arazi, iş gücü, yem ve sermaye kullanacağına kendisi karar vermek durumundadır.
İşletme kayıtlarının tutulmadığı durumlarda bu konuda kesin tahminler yapmak zordur.
Program yapılırken bütün faaliyetlerin ve girdi fiyatlarının, teknik katsayıların geçerli olduğu varsayılmaktadır. Bir başka ifade ile planda yer alan faaliyetlere ait risklerin aynı olduğu kabul edilmektedir. Yapılan plan, işletmecinin risk tercihlerinin dikkate alınmadığı bir plandır. Bununla birlikte işletmeci riskli bulduğu faaliyetlere başlangıçta yer vermeyebileceği gibi, bu faaliyetlerin miktarlarını sınırlama seçeneğine de sahiptir.
Üretimi kısıtlayıcı faktörlerin bilinmesi de zordur. Plan, en azından bir yıl evvel yapılmaktadır. Uygulama esnasında iş gücü gerekleri aynı mı olacaktır? İhtiyaç halinde yeterli işçi bulunacak mı? Aile iş gücü ne kadar olacak? Yeteri kadar kredi temin edilebilecek mi? Bu ve bunun gibi soruların cevaplarını önceden vermek kolay değildir.
Doğrusal programlamanın oransallık varsayımına göre faaliyetlerin iş gücü talepleri, üretimi yapılacak miktarlarla orantılıdır yani ölçeğe getiri sabittir. Planlamada artan ve azalan verimin özelliklerini yansıtmak için, girdi-çıktı oranlarının değiştiği her faaliyet seviyesi için ayrı bir faaliyetin tanımlanması gerekir (1 dekar arazide sebze, 3 dekar arazide sebze gibi).
Azalan masraflara sahip faaliyetlerin de doğrusal programlama çerçevesinde değerlendirilmesi kolay değildir. Hayvancılıkta iş gücü masrafları örnek verilebilir.
Hayvan sayısı arttıkça, birim üretim başına düşen iş gücü ihtiyacı ve iş gücü masrafları azalmaktadır. Makineli tarımda da aynı durum vardır. İşlenen alan arttıkça birim alana düşen bir takım masraflar (amortisman, vergiler) azalır. Bunun gibi yüksek ve düşük kapasiteli makinelerin aynı plan içinde değerlendirilmesini sağlayacak programların da geliştirilmesi gerekir. Bu amaçla farklı planlar yapılarak sonuçlarının karşılaştırılması da düşünülebilir.
Kısıtlı sayıdaki değişken ihtiva eden planlama problemleri doğrusal programlamanın simpleks yöntemi kullanılarak elle çözülebilir. Planlanacak faaliyet sayıları fazla olduğunda çözümler doğrusal programlama paket programları (winQSB vd.) ile elde edilmektedir.
Ek 1.1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA YÖNTEMİNİN EŞİTSİZLİKLERLE İFADESİ
Doğrusal programlamanın uygulanacağı problem çözümlerinde amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı faktörler eşitsizlikler vasıtası ile sayısallaştırılır. Aşağıda bölümdeki karışım probleminde bunun nasıl yapıldığı gösterilmiştir.
Maksimum kârı sağlayacak ham madde miktarları, değişkenlerin önündeki katsayılarla ifade edilmektedir. Satın alınacak, rafine edilecek ve karıştırılacak olan B1, B2, H1, H2, H3’ün birim miktarları (ton/ay);xi, üretim miktarı y ile gösterilmektedir.
Amaç, net gelirin en fazla olmasıdır ve aşağıdaki gibi ifade edilir:
y x
x x
x
x 120 130 110 115 150
110 1 2 3 4 5
Rafine kapasiteleri, aşağıdaki sınırlılıklarla gösterilebilir:
250 200
5 4 3
2 1
x x x
x x
Nihai ürünün sertlik derecelerini de, aşağıdaki iki sınırlılıkla göstermek mümkündür:
0 3 5 2 . 4 2 1 . 6 8 . 8
0 6 5 2 . 4 2 1 . 6 8 . 8
5 4 3
2 1
5 4 3
2 1
y x x x
x x
y x x x
x x
Son olarak ilave edilmesi gereken bir sınırlılık daha vardır: buna göre nihai ürünün ağırlığı, bileşimindeki maddelerin toplam ağırlığına eşit olmalıdır:
5 0
4 3 2
1 x x x x y
x
Amaç fonksiyonunun, sınırlayıcı faktörler eşliğinde maksimum yapılması, doğrusal planlama problemimizi oluşturmaktadır.
