Ekonometrik Modelleme

(1)

Ekonometrik Modelleme

Model Belirtimi ve Tanısal Sınamaları

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları

Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2011) Ekonometrik Modelleme (Sürüm 2,0)

(2)

Açık Lisans Bilgisi

˙I¸sbu belge, “Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported” (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur.

Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması ko¸sulu ile özgürce kullanılabilir, ço ˘galtılabilir ve de ˘gi¸stirilebilir.

Creative Commons örgütü ve “CC-BY-NC-SA” lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ekonometri ders notlarımın güncel sürümüne

“http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz.

A. Talha Yalta

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011

(3)

Ders Planı

1 Belirtim Hatalarının Niteli ˘gi

Belirtim Hatası Türleri ve Bunların Sonuçları

2 Belirtim Hatalarının Sınanması Kalıntıların ˙Incelenmesi Katsayı Anlamlılık Sınamaları RESET ve LÇ Sınamaları

3 Modellemeye ˙Ili¸skin Konular

Yuvalı-Dı¸sı Modellerin Sınanması Model Seçim Ölçütleri

Dı¸sadü¸senler ve Eksik Gözlemler

(4)

Ders Planı

(5)

Model Belirtim Konusu

KDBM’nin 9. varsayımı, kullanılan modelin “do ˘gru” belirtilmi¸s oldu ˘gudur. Bu varsayım altında ¸su ana kadar katsayı tahmini ve buna ili¸skin sınamalar üzerine odaklanılmı¸stı.

Ancak, e ˘ger model do ˘gru belirtilmediyse“model belirtim hatası”

(model specification error) ya da“model belirtim yanlılı ˘gı”

(model specification bias) sorunu ortaya çıkar.

Bu bölümde ¸su sorulara yanıt arayaca ˘gız:

1 Uygulamada kar¸sıla¸sılan belirtim hataları nelerdir?

2 Bu hatalar hangi sonuçları do ˘gurur?

3 Belirtim hataları nasıl saptanabilir?

4 Düzeltmek için ne gibi önlemler alınabilir?

5 Alma¸sık modeller arasında nasıl seçim yapılır?

(6)

Model Belirtim Konusu

Model belirtimi konusu, uzmanlar arasında zaman zaman bakı¸s ayrılıkları da olabilen geni¸s bir alandır. Ancak yaygın görü¸se göre çözümlemede kullanılacak model ¸su özellikleri ta¸sımalıdır.

1 Onanırlık:Model çıkarımlarının kabul edilebilir olması.

2 Kuram ile uyumluluk:Modelin iktisat dü¸süncesi açısından anlamlı olması.

3 Açıklayıcı de ˘gi¸sken dı¸stürelli ˘gi:Ba ˘glayanların hata terimi ile ilintisiz olması.

4 De ˘gi¸stirge de ˘gi¸smezli ˘gi:De ˘gi¸stirge tahminlerinin farklı örneklemlerde de ˘gi¸smemesi.

5 Veriler ile ba ˘gda¸sma:Kalıntıların tümüyle rastsallık, di ˘ger bir deyi¸sle“beyaz gürültü”(white noise) özelli ˘gi göstermesi.

6 Kapsayıcılık:Modelin açıklama gücü bakımından alma¸sık modeller içinde en iyisi olması.

(7)

Belirtim Hatası Türleri

Bir modelin yukarıda sözü edilen özellikleri kaybetmesine yol açabilecek dört önemli hata türü ¸sunlardır:

“Atlanan de ˘gi¸sken hatası”(omitted variable error)

“˙Ilgisiz de ˘gi¸sken hatası”(irrelevant variable error)

“Yanlı¸s i¸slev biçimi”(wrong functional form)

“Ölçüm hataları yanlılı ˘gı”(measurement errors bias)

¸

Simdi bu sorunları ve neden oldukları olumsuz sonuçları kısaca ele alalım.

(8)

Modeli Eksik Belirtme

Atlanan de ˘gi¸sken hatasını açıklamak için, a¸sa ˘gıdaki üç de ˘gi¸skenli modelin “do ˘gru” oldu ˘gunu varsayalım:

Y_i = β₁+ β₂X_2i + β₃X_3i +u_i

Bunun yerine ise a¸sa ˘gıdaki“eksik belirtimli model”(under specified model) kullanılsın:

Y_i = α₁+ α₂X_2i +v_i

X₃’ün X₂’ye göre ikili ba ˘glanımındaki e ˘gim katsayısı b₃₂ olsun. Bu durumda ¸su e¸sitli ˘gin geçerli oldu ˘gu gösterilebilir:

E ( ˆα₂) = β₂+ β₃b₃₂

E¸sitlik gösteriyor ki α₂, β₂’nin yanlı bir tahmincisidir.

Örnek olarak, X₃’ün Y üzerindeki etkisi (β₃) ile X₃’ün X₂ üzerindeki etkisi (b₃₂) aynı anda artı de ˘gerli ise, ˆα₂yukarı do ˘gru yanlı olacak ve gerçek β₂’den hep yüksek çıkacaktır.

(9)

Modeli Eksik Belirtme

¸

Simdi de ˆα₂’nın ve ˆβ₂’nın varyanslarını kar¸sıla¸stıralım:

var( ˆα₂) = σ²

P x_2i² var( ˆβ₂) = σ² P x_2i²(1 − r₂₃²) βˆ₂, her ne kadar yansız olsa da, daha büyük varyanslıdır.

X₂ve X₃arasındaki e¸sdo ˘grusallı ˘gın göstergesi olan ilinti katsayısının karesi arttıkça, aradaki fark da artmaktadır.

Anla¸sılıyor ki yanlılık ve varyans arasında bir“ödünle¸sim”

(trade off) bulunmaktadır.

Bu durumda yüksek e¸sdo ˘grusallık altında X₃’ü modelden çıkartıp, yanlı olsa da, ˆβ₂yerine ˆα₂kullanmak ye ˘glenebilir.

Di ˘ger yandan, iktisat kuramına dayanarak olu¸sturulan bir modelden de ˘gi¸sken çıkartmanın zorunlu kalmadıkça asla önerilmedi ˘gi unutulmamalıdır.

(10)

Modeli Eksik Belirtme

Özetle, modelde bulunması gereken X₃de ˘gi¸skenini atlamak ¸su sonuçları do ˘gurmaktadır:

1 Hatalı modeldeki sabit terim mutlaka yanlıdır ve tutarsızdır.

Di ˘ger bir deyi¸sle, örneklem büyüdükçe yanlılık yok olmaz.

2 Hatalı modeldeki di ˘ger α₂, α₃, . . . katsayıları da yanlıdır.

3 E ˘ger X₃ile atlanılmayan bir de ˘gi¸sken arasındaki e ˘gim sıfır ise (örne ˘gimizdeki b₃₂ =0 durumu), o zaman katsayı yanlı olmaz. Ancak uygulamada bu durum neredeyse hiç yoktur.

4 Yanlı katsayı tahminlerinden dolayı alı¸sıldık güven aralıkları ve önsav sınama sonuçları yanıltıcı olabilir.

5 Hatalı modelde varyanslar genellikle daha küçüktür. Ancak yanlılık sorunu oldu ˘gu için, hatalı modelin ye ˘glenebilmesi e¸sdo ˘grusallı ˘gın çok yüksek oldu ˘gu durumlar ile sınırlıdır.

(11)

Modeli A¸sırı Belirtme

˙Ilgisiz de˘gi¸sken hatasınının sonuçlarını gösterebilmek için,

¸simdi de do ˘gru modelin ¸su oldu ˘gunu varsayalım:

Y_i = β1+ β2X_2i+u_i

Ara¸stırmacı ise a¸sa ˘gıdaki“a¸sırı belirtimli”(over specified) modeli kullanmakta diretiyor olsun:

Y_i = α₁+ α₂X_2i + α₃X_3i +v_i

˙Ilgisiz de˘gi¸sken eklemenin katsayılar üzerindeki etkisi ¸söyledir:

1 Hatalı modeldeki tüm katsayı tahminleri yansız ve tutarlıdır.

2 Bu nedenle alı¸sıldık güven aralıkları ve önsav sınamaları geçerlidir.

3 Di ˘ger taraftan katsayılar etkin de ˘gildir. Di ˘ger bir deyi¸sle, varyanslar do ˘gru modeldekilerden daha büyüktür.

(12)

Modeli A¸sırı Belirtme

A¸sırı belirtimli modeldeki ˆα2tahmininin etkin olmadı ˘gını, varyansları kar¸sıla¸stırarak görebiliriz:

var( ˆβ2) = σ²

P x_2i² var( ˆα2) = σ² P x_2i²(1 − r₂₃²) Do ˘gru modelde X₃olmadı ˘gı için paydada (1 − r₂₃²) teriminin yer almadı ˘gına dikkat ediniz.

Hatalı modelde ise ˆα2varyansı görece yüksek çıkacaktır.

Aradaki fark X₃ile X₂arasındaki ilinti katsayısının karesi ile do ˘gru orantılıdır.

Demek ki ilgisiz bir de ˘gi¸sken eklemek tahmin sonuçlarının kesinli ˘gini azaltmak gibi ciddi bir sonuca yol açabilmektedir.

Ayrıca, bilimde en az karma¸sık açıklama ye ˘glendi ˘gi için, Model belirtiminde“tutumluluk ilkesi”(parsimony principle) her zaman özen gösterilmesi gereken önemli bir konudur.

(13)

Ölçüm Hataları

Ölçüm hataları bir model belirtim hatası de ˘gildir. Ancak do ˘gurabilece ˘gi sonuçlar ekonometrik modellemede ölçüm hatalarını da dikkate almayı gerekli kılar.

¸

Simdiye kadar olan varsayımımızın aksine, çözümlemede kullandı ˘gımız veriler

“kaydedici hatası”(clerical error),

“atanan de ˘gerler”(assigned values),

“yuvarlama”(rounding),

“içde ˘gerleme”(interpolation),

“dı¸sde ˘gerleme”(extrapolation)

gibi nedenlerden dolayı kesin do ˘gru olmayabilir.

˙Ikincil kaynaklar tarafından yayınlanan verilerde yer alan hataları bilmek oldukça güçtür. Ço ˘gu çalı¸sma böyle verilere dayandı ˘gı için, uygulamada bu hata ile sıkça kar¸sıla¸sılır.

(14)

Ba ˘gımlı De ˘gi¸skendeki Ölçüm Hataları

Ba ˘gımlı de ˘gi¸skendeki ve açıklayıcı de ˘gi¸skenlerdeki ölçüm hatalarının etkileri farklıdır. Öncelikle ¸su modele bakalım:

Y_i = β₁+ β₂X_i+u_i

Burada Y Friedman tarafında öne sürülen“kalıcı tüketim”

(permanent consumption) harcamasını, X ise cari geliri göstermektedir.

Gerçekte kavramsal bir araç olan kalıcı tüketim do ˘grudan ölçülemedi ˘gi için, elimizde, gözlenebilen tüketime dayalı ¸su de ˘gi¸sken vardır:

Y_i^∗ =Y_i+v_i

Yukarıdaki v , Y^∗’daki ölçüm hatalarını gösteren rastlantısal bir terimdir.

(15)

Ba ˘gımlı De ˘gi¸skendeki Ölçüm Hataları

Y yerine Y^∗ kullanıldı ˘gında tahmin edilen model ¸su olur:

Y_i^∗ = β₁+ β₂X_i+ _i

Görülüyor ki yukarıdaki ba ˘glanımda katsayılar aynı ve do ˘gru ¸sekilde tahmin edilebilmektedir.

Di ˘ger taraftan, _i =u_i− v_i biçimindeki bile¸sik hata teriminin varyansı daha yüksektir:

var(u_i − v_i) =var(u_i) +var(v_i) +2cov(u_i,v_i)

Öyleyse ba ˘gımlı de ˘gi¸skendeki ölçüm hataları katsayı nokta tahminlerini etkilememekte ancak güven aralıklarının geni¸s olmasına yol açarak etkinli ˘gi azaltmaktadır.

(16)

Açıklayıcı De ˘gi¸skenlerdeki Ölçüm Hataları

Açıklayıcı de ˘gi¸skende yer alan ölçüm hatalarına yönelik olarak, ¸simdi de ¸su modeli ele alalım:

Y_i = β₁+ β₂X_i+u_i

Bu modelde Y cari tüketim, X ise“kalıcı gelir”(permanent income) olarak tanımlanmı¸stır.

Kalıcı gelir de do ˘grudan ölçülemedi ˘gi için, uygulamada gözlenebilen gelire dayalı bir de ˘gi¸sken tanımı kullanılır:

X_i^∗ =X_i+w_i

Burada w_i, X_i^∗’deki ölçüm hatasını göstermektedir.

(17)

Açıklayıcı De ˘gi¸skendeki Ölçüm Hataları

X yerine X^∗kullanılması a¸sa ˘gıdaki modele yol açar:

Y_i = β₁+ β₂(X_i+w_i) +u_i Y_i = β₁^∗+ β₂^∗ X_i +z_i

Buradaki bile¸sik hata terimi z_i =u_i+ β₂w_i biçimindedir.

˙Içerdi˘gi β₂teriminden dolayı, z_i, KDBM’nin hata terimi ve açıklayıcı de ˘gi¸skenlerin ili¸skisiz oldu ˘gu varsayımını çi ˘gner.

Öyleyse açıklayıcı de ˘gi¸skenlerdeki ölçüm hataları ciddi bir sorundur, çünkü yukarıdaki durumda SEK tahminleri hem yanlı hem de tutarsızdır.

Bu yanlılık sorununu gidermek zordur. Ba¸svurulabilecek bir yol“araç de ˘gi¸skenler”(instrumental variables) yöntemidir.

E ˘ger ölçüm hataları küçükse, ki bunu bilebilmek güçtür, uygulamada sorunu gözardı etmek zorunda kalınabilir.

En do ˘gru yol hatasız, do ˘gru ölçülmü¸s verilerle çalı¸smaktır.

(18)

Ders Planı

(19)

Belirtim Hatalarının Sınanması

Görgül çalı¸smada kullanılan modelin “do ˘gru” oldu ˘gu kesinlikle bilinemez. Bu nedenle, önce kurama dayanılır ve bir konunun özünü yakaladı ˘gı dü¸sünülen model belirtilip tahmin edilir.

Daha sonra eldeki model çe¸sitli sınamalar ve alma¸sık modeller ile kar¸sıla¸stırılarak de ˘gerlendirilir ve yeterlili ˘gine karar verilir.

Uygulamada modelleme sorunlarını saptamada kullanılabilecek geleneksel yöntemlerden bazıları ¸sunlardır:

Kalıntıların incelenmesi Katsayı anlamlılık sınamaları Ramsey RESET sınaması Lagrange Çarpanı sınaması

(20)

Belirtim Hatalarının Sınanması

Konuya ili¸skin olarak toplam üretim maliyeti örne ˘gini ele alalım. “Do ˘gru” model a¸sa ˘gıdaki küplü i¸slev olsun:

Y_i = β₁+ β₂X_i+ β₃X_i²+ β₄X_i³+u_i

Yukarıdaki model “do ˘gru” oldu ˘guna göre, a¸sa ˘gıda verilen do ˘grusal ve kareli modelleri kullanmak belirtim hatasına yol açacaktır:

Y_i = α₁+ α₂X_i+v_i

Y_i = λ₁+ λ₂X_i+ λ₃X_i²+w_i

Varsayımsal veriler kullanarak hatalı belirtimin yol açtı ˘gı yakı¸stırma sorunlarını sınayalım.

(21)

Belirtim Hatalarının Sınanması

-50 0 50 100 150 200 250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Üretim

Girdi

VARSAYIMSAL VERİLERE DAYALI TOPLAM ÜRETİM İŞLEVİ, KÜPLÜ MODEL Y = 13,1 - 2,05X + 0,100X^2 - 0,000606X^3

(22)

Belirtim Hatalarının Sınanması

-50 0 50 100 150 200 250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Üretim

Girdi

VARSAYIMSAL VERİLERE DAYALI TOPLAM ÜRETİM İŞLEVİ, DOĞRUSAL MODEL Y = -30,8 + 2,55X

(23)

Belirtim Hatalarının Sınanması

-50 0 50 100 150 200 250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Üretim

Girdi

VARSAYIMSAL VERİLERE DAYALI TOPLAM ÜRETİM İŞLEVİ, KARELİ MODEL Y = -7,49 + 0,964X + 0,0173X^2

(24)

Belirtim Hatalarının Sınanması

-50 0 50 100 150 200 250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Üretim

Girdi

VARSAYIMSAL VERİLERE DAYALI TOPLAM ÜRETİM, DOĞRUSAL VE KARELİ MODELLER

Y = -30,8 + 2,55X Y = -7,49 + 0,964X + 0,0173X^2

(25)

Kalıntıların ˙Incelenmesi

Ba ˘glanım kalıntıları, özellikle de yatay kesitsel verilerde, model belirtim hatalarını saptamak için yararlı bir görsel tanı aracıdır.

Önemli bir de ˘gi¸skenin atlanması ya da yanlı¸s i¸slev biçimi seçimi gibi sorunlar oldu ˘gunda kalıntılar da dikkat çekici örüntüler sergiler.

Bir sonraki sayfada görülece ˘gi üzere, hatalı yakı¸stırılan do ˘grusal ve kareli modellere ait kalıntı çizitleri çevrimsel salınımlar göstermektedir.

Kareli modelde kalıntılar do ˘grusal ba ˘glanıma göre belirgin biçimde azalmaktadır. Do ˘gru yakı¸stırılan küplü modelde ise kalıntılar iyice azalmakta ve dalga görüntüsü de ortadan kaybolmaktadır.

(26)

-20-10 10 20 30 40 50 0

5 10 15 20

Kalıntı

GÖZLEM NO'SUNA GÖRE KALINTILAR, DOĞRUSAL MODEL

-20-10 10 20 30 40 50 0

5 10 15 20

Kalıntı

GÖZLEM NO'SUNA GÖRE KALINTILAR, KARELİ MODEL

-20-10 10 20 30 40 50 0

5 10 15 20

Kalıntı

GÖZLEM NO'SUNA GÖRE KALINTILAR, KÜPLÜ MODEL

(27)

Katsayı Anlamlılık Sınamaları

Modelde yer alan ilgisiz bir de ˘gi¸skenin yanlı tahminlere yol açmayıp, yalnızca katsayı varyanslarının büyümesi gibi daha az ciddi bir soruna yol açtı ˘gını anımsayalım.

Bu nedenle a¸sırı belirtimin sınanması ve düzeltilmesi eksik belirtim sorunu yanında görece daha kolaydır.

A¸sa ˘gıdaki modeli ele alalım:

Y_i = γ₁+ γ₂X_i+ γ₃X_i²+ γ₄X_i³+ γ5X_i⁴+z_i

Bu modelde X⁴de ˘gi¸skenin gerçekten anlamlı bir katkıda bulunup bulunmadı ˘gını saptamak için alı¸sıldık t ve F sınamalarından yararlanılabilir.

(28)

Katsayı Anlamlılık Sınamaları

Örnek olarak, küplü model ¸su sonuçları vermektedir:

Yˆi = 13,1307 − 2,0503 Xi + 0,1009 X_i² − 0,0006 X_i³ öh (1,0705) (0,1030) (0,0026) (1,88e–05) p (9,21e–11) (1,17e–14) (3,38e–20) (1,01e–18)

˙Ilgisiz de˘gi¸sken içeren modele ait tahminler ise ¸söyledir:

Yˆi = 14,2905 − 2,3622 Xi + 0,1169 X_i² − 0,0009 X_i³ +1,49e–06 X_i⁴ öh (1,1463) (0,1805) (0,0082) (0,0001) (7,32e–07) p (1,36e–10) (5,93e–11) (1,44e–11) (3,27e–06) (0,0558)

Görüldü ˘gü gibi, a¸sırı belirtimli modelde yer alan γ5tahmini büyüklük olarak sıfıra çok yakındır ve α = 0.05 düzeyinde anlamlı da de ˘gildir.

Bu noktada, X⁴’ün yanında X³de ˘gi¸skeninin de ilgisiz olup olmadı ˘gını anlamak istersek H₀: γ₄= γ5=0 sınırlamasını F sınaması ile sınayabiliriz.

Bu do ˘grultuda hesaplanan F = 604,4 sınama istatisti ˘ginin p de ˘geri 6,327 × 10⁻¹⁸oldu ˘gu için, sıfır önsavı reddedilir.

(29)

Ramsey RESET Sınaması

Modelleme hatalarına ili¸skin olarak J.B. Ramsey“Ba ˘glanım Denklemi Belirtim Hatası Sınaması”(Regression Equation Specification Error Test), kısaca RESET adını verdi ˘gi genel bir sınama önermi¸stir.

Bu sınama yakla¸sımını açıklamak içinP ˆu_i veP ˆu_iYˆ_i’nın zorunlu olarak sıfır oldu ˘gunu anımsayalım ve toplam üretim i¸slevi örne ˘gimizdeki do ˘grusal modele geri dönelim:

Y_i = α₁+ α₂X_i+v_i

Yukarıdaki hatalı modele ait ˆv_i kalıntılarını alıp yakı¸stırılan Yˆ_i’lere kar¸sı çizersek, düzenli bir örüntü ortaya çıkar.

Bu durum ise yakı¸stırılan de ˘gerler ilk ba ˘glanımda açıklayıcı de ˘gi¸sken olarak dikkate alınırlarsa R²’nin yükselece ˘gi anlamına gelir.

(30)

Ramsey RESET Sınaması

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

0 50 100 150 200

v Şapka

Y Şapka

KALINTILAR VE YAKIŞTIRILAN DEĞERLER, DOĞRUSAL MODEL

(31)

Ramsey RESET Sınamasının Adımları

Ramsey RESET sınamasının adımları ¸söyledir:

1 Sınanacak model tahmin edilir ve yakı¸stırılan de ˘gerler kaydedilir.

2 Önceki çizitte de görülebildi ˘gi gibi, ˆv ve ˆY arasındaki ili¸ski do ˘grusal-dı¸sı olabilmektedir. Bu nedenle ˆY_i’ların kareleri ve gerekli oldu ˘gu dü¸sünülüyorsa küpleri ilk modele açıklayıcı de ˘gi¸skenler olarak katılır ve ba ˘glanım yeniden hesaplanır.

3 Yeni modele eklenen de ˘gi¸skenlerin R²’yi anlamlı biçimde artırıp artırmadı ˘gı bilindik F sınaması ile sınanır:

F = (R_yeni² − R_eski² )/m (1 − R_yeni² )/(n − k )

4 Hesaplanan F sınama istatisti ˘gi anlamlı ise, belirtim hatası olmadı ˘gını öne süren sıfır önsavı reddedilir.

(32)

Lagrange Çarpanı Sınaması

“Lagrange çarpanı”(Lagrange multiplier) ya da kısaca“LÇ”

(LM), RESET sınamasına benzeyen alma¸sık bir yöntemdir.

Adından, kısıtlamalı bir eniyileme sorusundaki Lagrange çarpanları yöneyine dayandı ˘gı anla¸sılan LÇ, uygulamada seyrek olarak bu yolla hesaplanır.

Sınamada ba ˘gımlı de ˘gi¸sken olarak tahmin edilen hatalar kullanılır ve bunların X ’ler ve X², X³gibi de ˘gi¸skenlere göre ba ˘glanımı tahmin edilir.

Hata teriminin sıfır ortalamalı ve özilintisiz beyaz gürültü oldu ˘gu varsayımı nedeniyle, açıklayıcı de ˘gi¸skenler anlamlı olmamalıdır.

Dikkat:LÇ kavu¸smazsal bir sınamadır. Di ˘ger bir deyi¸sle, sonucuna ancak büyük örneklemlerde güvenilebilir.

Dikkat:Kullanılan ek de ˘gi¸sken sayısına özen gösterilmeli ve a¸sırı belirtimli bir modeli sınamaktan kaçınılmalıdır.

(33)

Lagrange Çarpanı Sınamasının Adımları

SEK’in aynı zamanda EO tahmincisi oldu ˘gunun varsayılabildi ˘gi durumlar için, LÇ sınamasının adımları ¸söyledir:

1 Model tahmin edilir ve ˆv_i kalıntıları kaydedilir.

2 Model e ˘ger hatalı ise, eldeki kalıntıların do ˘gru modelde yer alması beklenen terimler ile ili¸skili olması gereklidir. Buna göre, örnek olarak, ¸su yardımcı ba ˘glanım hesaplanabilir:

vˆ_i = θ₁+ θ₂X_i+ θ₃X_i²+ θ₄X_i³+ _i

3 Yukarıdaki ba ˘glanıma ait gözlem sayısı ve R²çarpımının kavu¸smazsal olarak dı¸slanacak de ˘gi¸sken sayısı kadar sd ile χ²da ˘gılımına uydu ˘gu gösterilmi¸stir. Do ˘grusal-dı¸sılık sınandı ˘gı için X kalır, X²ve X³ise dı¸slanır.

4 nR²çarpımı hesaplanır. Bu sınama istatisti ˘gi anlamlı ise, sınırlı ba ˘glanımın do ˘gru oldu ˘gu sıfır önsavı reddedilir ve ba¸staki modelde belirtim hatası oldu ˘gu sonucuna varılır.

(34)

Ders Planı

(35)

Yuvalı-Dı¸sı Modellerin Sınanması

Model belirtim sınamaları ba ˘glamında,“yuvalı”(nested) ve

“yuvalı-dı¸sı”(non-nested) model ayrımı önemlidir.

¸

Su iki modeli ele alalım:

Model A :Y_i = α₁+ α₂X₁+u_i

Model B :Y_i = α₁+ α₂X₁+ α₃X₂+ α₄X₃+v_i

Model A, B içinde yuvalıdır çünkü onun özel bir durumudur.

¸

Simdi de a¸sa ˘gıdaki modelleri kar¸sıla¸stıralım:

Model C :Y_i = α1+ α2X₁+ β3X₂+u_i Model D :Y_i = β₁+ β₂Z₁+ β₃Z₂+v_i

Model C ve Model D yuvalı-dı¸sıdır çünkü biri di ˘gerinin özel bir durumu olarak türetilemez.

Böyle modeller arasında kar¸sıla¸stırma yapmak için alı¸sıldık t ve F sınamalarından farklı bir yakla¸sım gereklidir.

(36)

Yuvalı-Dı¸sı Modellerin Sınanması

Model C ve Model D gibi iki yuvalı-dı¸sı model arasında seçim yapmak için kullanılabilecek bir yakla¸sım, a¸sa ˘gıdaki

“melez”(hybrid) modeli tahmin etmektir:

Model E : Y_i = λ₁+ λ₂X₁+ λ₃X₂+ λ₄Z₁+ λ₅Z₂+w_i Görüldü ˘gü gibi, yukarıdaki model di ˘ger iki modele yuvadır.

Bu durumda, e ˘ger λ₂= λ₃=0 ko¸sulu geçerli ise Model D do ˘grudur. E ˘ger λ₄= λ₅=0 geçerliyse Model C do ˘gru olur.

Her iki ko¸sul da alı¸sıldık F sınaması ile kolayca sınanabilir.

Bu sınamaya“yuvalı-dı¸sı F sınaması”(non-nested F test) adı verilir.

(37)

Yuvalı-Dı¸sı Modellerin Sınanması

Uygulaması kolay olsa da yuvalı-dı¸sı sınamaların bazı sakıncaları da vardır.

Öncelikle X ve Z ’lerin yüksek ilintili olma olasılı ˘gı vardır ve bu da çoklue¸sdo ˘grusallık sorununa yol açar.

Model C’yi temel alalım ve buna Z₁ve Z₂’yi ekleyelim. E ˘ger bu de ˘gi¸skenler R²’yi anlamlı biçimde yükseltmezse, Model D’yi reddederiz. Ancak e ˘ger Model D’yi temel alıp X₁ve X₂’nin katkısını anlamlı bulmazsak, bu sefer de Model C’yi reddederiz. Yani sonuç ilk modele göre de ˘gi¸sebilmektedir.

Son olarak, yapay olarak belirtilen F yuva modeli büyük bir olasılıkla iktisadi anlam içermeyecektir.

(38)

Model Seçim Ölçütleri

Yuvalı olsun ya da olmasın, alma¸sık modeller arasında seçim yapmak için bir yöntem de belli bir ölçüyü temel almaktır.

Ara¸stırmacılar tarafından ba¸svurulan yaygın“model seçim ölçütleri”(model selection criteria) ¸söyle sıralanabilir:

“R-kare Ölçütü”(R-square Criterion, R²)

“Ayarlamalı R-kare”(Adjusted R-square, ¯R²)

“Akaike Bilgi Ölçütü”(Akaike Information Criterion, AIC)

“Bayesçi Bilgi Ölçütü”(Bayesian Information Criterion, BIC)

“Hannan-Quinn Ölçütü”(Hannan-Quinn Criterion, HQC) Tüm bu ölçütler KKT’yi enazlamaya dayanır. Ayrıca, R²dı¸sında hepsi de açıklayıcı de ˘gi¸sken sayısında“tutumlu”(parsimonious) olmayı ödüllendiricidir.

AIC, BIC ve HQC özellikle zaman serileri modellerinde gecikme uzunlu ˘gunu saptamada yaygın olarak kullanılmaktadır.

(39)

R-kare Ölçütü

Bilindi ˘gi gibi, R²belirleme katsayısı 0 ve 1 arası de ˘gerler alır ve a¸sa ˘gıdaki ¸sekilde hesaplanır:

R²= BKT

TKT =1 − KKT TKT

R²ölçütünün ba¸slıca sakıncası, bunun bir“örneklem içi”

(in sample) yakı¸smanın iyili ˘gi ölçütü olmasıdır.

Di ˘ger bir deyi¸sle, R²’si yüksek diye modelin“örneklem dı¸sı”

(out of sample) gözlemleri iyi yordayaca ˘gına güvenilemez.

˙Ikinci bir zayıf nokta ise iki R²’nin kar¸sıla¸stırılabilmesi için ba ˘gımlı de ˘gi¸skenlerin aynı olması zorunlulu ˘gudur.

Son olarak, modele yeni bir de ˘gi¸sken eklendi ˘ginde aslında yordama hata varyansları artıyor olsa da R²yükselir.

(40)

Ayarlamalı R-kare Ölçütü

1971 yılında Henry Theil tarafından geli¸stirilen ayarlamalı R-kare tanımını anımsayalım:

R¯²=1 − KKT/(n − k )

TKT/(n − 1) ya da =1 − (1 − R²)n − 1 n − k Bilindi ˘gi üzere burada n örneklem büyüklü ˘günü ve k de açıklayıcı de ˘gi¸sken sayısını göstermektedir.

Yukarıda görüldü ˘gü gibi, ¯R²modele açıklayıcı de ˘gi¸sken eklemeyi cezalandırır ve bu nedenle R²’den küçük çıkar.

Modeller arası kar¸sıla¸stırma açısından ¯R²daha iyidir ama kar¸sıla¸stırmanın geçerli olabilmesi için burada da ba ˘gımlı de ˘gi¸skenlerin aynı olması zorunlulu ˘gu unutulmamalıdır.

(41)

Akaike Bilgi Ölçütü

Akaike ölçütünü 1974 yılında Hirotugu Akaike geli¸stirmi¸stir.

Birden çok AIC tanımı vardır. Enküçük kareler tahmininde gretl, Akaike’nin kendi tanımına dayalı ¸su formülü kullanır:

AIC = −2`(ˆθ) +2k

Burada `(ˆθ), de ˘gi¸stirge tahminlerinin bir i¸slevi olan ençok log olabilirli ˘gi göstermektedir.

AIC ne kadar küçükse yakı¸sma da o kadar iyidir. Modeller kar¸sıla¸stırılırken AIC de ˘geri dü¸sük olan ye ˘glenir.

2k teriminin AIC de ˘gerini yükseltti ˘gine ve böylece de ˘gi¸sken eklemeyi ( ¯R²’den daha çok) cezalandırdı ˘gına dikkat ediniz.

AIC ölçütünün en büyük üstünlü ˘gü hem örneklem içi hem örneklem dı¸sı ba¸sarımı kar¸sıla¸stırmada kullanılabilmesidir.

Hem yuvalı hem yuvalı-dı¸sı modellerde yararlıdır.

(42)

Bayesçi Bilgi Ölçütü

Bu ölçüt 1978 yılında Gideon Schwarz tarafından önerildi ˘gi için Schwarz ölçütü olarak da bilinir. Formülü ¸sudur:

BIC = −2`(ˆθ) +k log n

Örneklemle birlikte `(ˆθ)da arttı ˘gından dolayı, modele yeni eklenen bir de ˘gi¸sken için AIC ölçütünün verdi ˘gi ceza büyük örneklemlerde yetersiz kalabilmektedir.

BIC ise, AIC formülü ile kar¸sıla¸stırılınca görülebildi ˘gi gibi, modele de ˘gi¸stirge eklemeyi daha ciddi ¸sekilde cezalandırır.

(43)

Hannan-Quinn Ölçütü

Tutumlu modelleri AIC’ten daha fazla ödüllendiren bir di ˘ger ölçüt de 1979 yılında Hannan ve Quinn tarafından önerilen HQC’dir:

HQC = −2`(ˆθ) +2k log log n

Hannan ve Quinn, yinelemeli logaritma kanununa dayanan HQC’nin alma¸sıklarından üstün oldu ˘gunu savunmu¸slardır.

HQC kullanımı, di ˘ger iki ölçüt gibi yaygındır. Ancak, bu üç ölçütten birinin di ˘gerlerinden üstün oldu ˘gu tartı¸smalıdır.

AIC, BIC, ve HQC hesaplamasında kullanılan formüller bilgisayar yazılımından yazılımına farklılık gösterebildi ˘gi için, asıl önemli olan nasıl yorumlanacaklarını bilmektir.

Gretl’da her üç ölçüt için de küçük de ˘gerler daha iyidir.

(44)

Dı¸sadü¸senler

Modelleme açısından önemli bir ba¸slık da“dı¸sadü¸senler”

(outliers) konusudur.

uˆ_i = (Y_i− ˆY_i) ¸seklinde tanımlanan kalıntıların, ba ˘glanım do ˘grusuna olan dikey uzaklı ˘gı gösterdi ˘gini anımsayalım.

Belli bir model ba ˘glamında, di ˘ger gözlemlere oranla fark edilir ¸sekilde büyük kalıntıya sahip gözlemlere dı¸sadü¸sen denir.

Bu tür gözlemler önemlidir çünkü kaldıraç etkisi yaratarak ba ˘glanım do ˘grusunu kendilerine do ˘gru çekebilirler.

Ba ˘glanım do ˘grusunu kayda de ˘ger biçimde de ˘gi¸stiren böyle gözlemlere“etkili gözlem”(influential variable) adı verilir.

Dikkat:Belli bir veri setinde birden fazla dı¸sadü¸sen olabilir.

(45)

Dı¸sadü¸senler

Dı¸sadü¸senleri saptamanın en temel yolu çizim yöntemidir çünkü bu gözlemler ba ˘glanım do ˘grusundan uzaklıklarıyla dikkat çekerler.

Biçimsel yöntemler de vardır. Gretl ve benzer ekonometri yazılımlarında, etkili gözlemleri bulmaya ve bunlara ait kaldıraç etkisini hesaplamaya yönelik i¸slevler de bulunur.

Saptandıktan sonra, dı¸sadü¸senler konusunda nasıl bir yol izlenece ˘gine karar vermek daha zor bir sorudur.

Basitçe dı¸sadü¸senleri örneklemden çıkartmak ve geriye kalan gözlemlere odaklanmak dü¸sünülebilir.

Di ˘ger taraftan, dı¸sadü¸sen gözlemin sıradı¸sı bir durumdan kaynaklandı ˘gı ve di ˘ger gözlemler tarafından sa ˘glanamayan bir bilgi içerebilece ˘gi de unutulmamalıdır.

(46)

Dı¸sadü¸senler

-50 0 50 100 150 200 250

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Üretim

Girdi

KALDIRAÇ ETKİSİ YÜKSEK BİR DIŞADÜŞENİN YOL AÇTIĞI HATALI TAHMİNLER

Y = 17,3 - 3,02X + 0,139X^2 - 0,000979X^3 Y = 13,1 - 2,05X + 0,100X^2 - 0,000606X^3

(47)

Eksik Gözlemler

Uygulamada kimi zaman kar¸sıla¸sılan bir durum da veri setinde

“eksik gözlemler”(missing observations) bulunmasıdır.

Bu durumun nedenleri ¸sunlar olabilir:

Anket verilerinde katılımcıların yanıtsız bıraktı ˘gı sorular Panel veri setlerinde zaman içerisinde ayrılan katılımcılar Güvenlik ya da özel bilgilerin korunması amacıyla gizli tutulan gözlemler

Çe¸sitli ekonomik ya da siyasi nedenlerle bazı dönemlerde yapılamayan anketler ya da hesaplanmayan makro veriler Veri setinde bir de ˘ger bile eksik olsa ba ˘glanım hesaplanamaz.

Özellikle küçük örneklemlerde eksik veriler veri setinin daha da küçülmesi gibi ciddi bir soruna neden olabilirler.

(48)

Eksik Gözlemler

Farklı ailelerin tüketimlerini gelir, servet, e ˘gitim gibi çok sayıda de ˘gi¸sken ile açıklayan bir model dü¸sünelim.

Anket verilerinde ise farklı X de ˘gi¸skenleri için farklı birkaç aileye ait gözlemlerde eksiklik olsun.

Di ˘ger tüm bilgiler tamken, örnek olarak, yalnızca e ˘gitim verisi eksik olan aile veri setinden çıkarılmak zorundadır.

Böyle ailelerin varlı ˘gı örneklemi gözle görülür biçimde küçültebilece ˘gi gibi yanlılı ˘ga da neden olabilir.

Örneklemi küçültmek yerine, eksik olan birkaç veri atama yolu ile tamamlanabilir.

“Atanan de ˘gerler”(assigned values), eksi ˘gi olan de ˘gi¸skene ait örneklem ortalama ya da ortanca de ˘geri olabilir.

Dikkat:Dı¸sadü¸senler ve eksik gözlemler konusunda atılan adımlar, sonuçlar raporlanırken mutlaka açıklanmalıdır.

(49)

Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev

Ödev

KitaptanBölüm 13“Econometric Modeling: Model Specification and Diagnostic Testing” okunacak.

Önümüzdeki Ders

Nicel Tepki Ba ˘glanım Modelleri