Biyoistatistik (Ders 9: Korelasyon ve Regresyon Analizi)

(1)

KORELASYON ve REGRESYON ANALİZLERİ

Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Sakarya Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı

uerkorkmaz@sakarya.edu.tr

SİSTEM, ALT SİSTEM ve SİSTEM DİNAMİKLERİ

Doğa bir ana sistemdir. Bu sistemin altsistemleri vardır. Biyolojik, Sosyo-ekonomik vb. sistemler. İNSAN yaşamı da bir sistemdir, Anatomik ve Fizyolojik (Kas- İskelet, Sinir, Dolaşım, Solunum, Boşaltım, Üregenital) Sistemler olarak alt sistemlere ayrılır.

Sistemler denge içinde çalışır. Dinamik sistemde bir takım girdiler (INPUT) ve Çıktılar (OUTPUT) vardır.

Girdilerin ve Çıktıların iç ve dış dinamikleri sistemin olumlu (sağlıklı) ya da olumsuz (hastalıklı) davranmasını sağlar. Doğada bir çok değişken birbirlerini etkileyerek değer alırlar. Doğada denge bir etkileşimler zinciri içinde gerçekleşir. Sistemler Dengeli ise Sağlıklı, değilse Hastadır.

SİSTEM MODELLEMESİ

Sistemler matematiksel, istatistiksel ya da benzeşimsel olarak modellenebilir.

Bu modelde sonuç/sonuçlar (cevap, response) çıktı, faktörler (faktor, predictor) girdi olarak yer alır.Girdilerin modeldeki etkileri, modelin dinamiğini belirler.

Neden-Sonuç (Girdi-Çıktı) ilişkilerini matematiksel olarak tanımlamak sistemin izlenmesi bakımından önemlidir. Doğada her oluşum bir sistem olarak ele alınarak modellenebilir, incelenebilir.

(2)

Modelleme, Regresyon ve Korelasyon



Değişkenler bazı faktör/faktörlerden pozitif ya da negatif yönde etkilenirler. Faktörlerin bazılarının etkisi çok yüksek iken (majör, birincil faktörler), bazılarının etkileri çok düşük düzeydedir (minör, ikincil faktörler).



Cevap değişkenleri etkileyen faktörlerin ortaya konması ve faktörlerin etki düzeylerinin belirlenmesi Regresyon ve Korelasyon yöntemleri aracılığı ile yapılır.



^Regresyon, ^iki ^ve ^daha ^fazla ^değişken ^arasındaki

matematiksel bağıntıyı denklemlerle ifade etmek ve değişkenlerin birbirlerinden etkilenme biçimini ve büyüklüğünü ortaya koymak için yararlanılan bir istatistiksel yöntemdir.



Korelasyon, değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü, derecesini ve önemini ortaya koyan istatistiksel yöntemdir.

Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ Slayt 4 / 111

TERİM ve TANIMLAR



Faktör:Bir hastalığın ortaya çıkmasında az ya da çok kesin etkisinin (neden, etken, sebep) bilindiği değişkenlerdir



Risk faktörü: Bir hastalığın ortaya çıkmasında katkısının olduğu bilinen, fakat bu faktörün mutlaka hastalığa yol açmasının söz konusu olmadığı faktörlerdir. Sigara, Yaş, Cins, Irk, Kimyasal ajanlar kanser’in birer risk faktörleridir.



Bağımlı değişken: Değeri başka değişkenlerin etkileri ile oluşan değişkenlerdir (dependent variable, response variable).



Bağımsız değişken: Değeri rasgele koşullar altında oluşan değişkenlerdir (Independent variable, Explanatory variable, Factor variable, Predictor variable). Bağımsız değişken, bağımlı değişkenin değişimi üzerinde az ya da çok etkili olan değişkendir.

Gözlem Sayısı

 Gözlem sayısı (n), bağımsız değişken sayısının en az 10 katı olmalıdır.

 İdeali ise, gözlem sayısının bağımsız değişken sayısının 20 katı olmasıdır.

 Bazı çalışmalarda sayı 40 katına kadar çıkmaktadır.

(3)

Model ve Değişkenlerarası Bağıntının Formulasyonu



Model : Bir problemin çözümünde ya da bir olayın açıklanmasında yararlanılan matematiksel ya da benzetimsel sembolik yaklaşımlara model adı verilir.



Model, genelde bir matematiksel eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde belirlenir.

) ( X f

Y  Y  

₀

 

₁

X

p p

X X

X

Y  

₀

 

₁

 

₂ ₂

 ...  

KORELASYON ve ÇEŞİTLERİ

Korelasyon (Correlation), değişkenler arasındaki ilişkinin yönünü, derecesini ve önemini ortaya koyan istatistiksel yöntemdir. Değişkenlerin sayısına ve hesaplama biçimine göre;



İkili (Bivariate) Korelasyon



Kısmi (Partial) Korelasyon



Çoklu (Multiple) Korelasyon



Setlerarası (Canonical) Korelasyon isimleri ile anılır.

(4)

BASİT KORELASYON ANALİZİ (PEARSON KORELASYON ANALİZİ)

İki değişken arasındaki ilişkiyi, önemini, yönünü inceleyen korelasyon yöntemidir. Korelasyon, korelasyon katsayısı ile ölçülür. r_XY ile gösterilir.

Önemlilik t testi ile belirlenir.



















 

























 









 







 









 

  



n

i n

i i i n

i n

i i i n

i

n

i i n

i i i i XY

n Y n Y

X X

n Y X Y X r

1

2

1 2 1

2

1 2

1

1 1

2 1

) 2 (

2  



  sd n

r n t r

Korelasyon Katsayısının Hesaplanması

*

* 001 . 0 , 8 ,

27 . 7

27 . 7 ) 932 . 0 ( 1

) 2 10 (

* 932 . 0

2





 

 

p sd

t t

932 . 03 0 . 1836

4 . 1711 4

. 2188

* 4 . 1540

4 .

1711  

 r

4 .

 2188 KT

Y

10 ) 774 62096 (



2 Y



KT

4 .

 1540 KT

x

4 .

 1711 CT

xy

SPSS’de KORELASYON ANALİZİ

(5)

Correlations

1.000 .932**

. .000

10 10

.932** 1.000

.000 .

10 10

Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N

Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N MAT_PUAN

ZEKA_P

MAT_PUAN ZEKA_P

Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

**.

Verilere basit doğrusal regresyon uygulanıyor ise korelasyon analizi sonuçları da regresyon çıktısı içinde yer alır.

Mat_P ve Zeka_P verileri Örneğimize regresyon uygulaması tekrarlanırsa sonuçlar aşağıdaki gibi elde edilir.

Correlations

1.000 .932**

. .000

10 10

.932** 1.000

.000 .

10 10

Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N

Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N MAT_PUAN

ZEKA_P

MAT_PUAN ZEKA_P

Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

**.

Model Summary

.932^a .869 .852 5.9898

Model 1

R R Square

Adjusted R Square

Std. Error of the Estimate Predictors: (Constant), ZEKA_P

a.

Coefficients^a

-11.925 12.415 -.961 .365

1.111 .153 .932 7.280 .000

(Constant) ZEKA_P Model

1 B Std. Error

Unstandardized Coefficients

Beta Standardi

zed Coefficien

ts

t Sig.

(6)

REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ

İki değişken arasındaki korelasyon katsayısı yeterince büyükse, kolay elde edilen bir x değişkeni değeri yardımıyla elde edilmesi zor olan bir y değişkeni değeri kestirilebilir.

Bu kestirim regresyon çözümlemesi yardımıyla yapılır.

REGRESYON YÖNTEMLERİ

Regresyon yöntemleri, modeldeki değişken sayısına, değişkenin ölçüm tekniğine göre farklı şekillerde sınıflandırılmaktadır.

1. Modeldeki değişkenler sürekli ve değişken sayısı k=2 ise (bir bağımlı (q=1), bir bağımsız değişken(p=1)) kurulacak regresyon modelleri



Basit Doğrusal Regresyon



Polinomiyal regresyon



Geometrik Regresyon



Üssel Regresyon



Basit doğrusal olmayan Regresyon (Nonlinear regresyon)

2.Modeldeki değişkenler sürekli (interval/orantılı) ve sayısı k>2 ise (bir bağımlı(q=1), iki ve daha fazla bağımsız değişken(p>2))



Çoklu (Multiple) Doğrusal Regresyon



Çoklu Doğrusal Olmayan (Multiple Nonlinear) Regresyon 3.Modeldeki bağımlı değişken nominal/ordinal/

nominalize interval ölçekli, bağımsız değişkenler orantılı/interval/ordinal/nominal ölçekli ve enaz iki kategorili iseler q=1 p=>1 ise ;



Lojistik Regresyon



Ordinal Regresyon



Robust Regresyon



Poisson Regresyon

(7)

BASİT DOĞRUSAL REGRESYON

Y bağımlı (response, dependent) değişken ve X bağımsız (belirleyici, predictor) değişken olmak üzere iki değişken arasındaki sebep-sonuç ilişkisini doğrusal bir model ile ortaya koyan yönteme basit doğrusal regresyon denir.

Basit doğrusal regresyon, iki değişken (Y, X) arasındaki neden-sonuç ilişkisini Y=a+bX biçiminde bir denklem (model) ile ortaya koyar.

BASİT DOĞRUSAL REGRESYON

Basit doğrusal regresyon uygulamak için;

1. n birimden Y ve X değişkenleri için veriler toplanır.

(X_i,Y_i). Verilerin aralıklı ya da orantılı ölçekli olması gerekir.

2. Verilerin XY ilişki grafiği çizilir. Grafikteki xy noktaları bir çember ya da elips içine alınır.

3. Eğer noktaları sınırlayan çerçeve bir elips ve elipsin asal (ana) ekseni ikincil (yan) ekseninden daha büyük ise veriler arasında basit doğrusal bir bağıntı olabileceği varsayılır.

4. Verileri temsil eden Y=a+bX doğrusunun denklemi hesaplanır.

BASİT DOĞRUSAL REGRESYON

(8)

a ve b Katsayılarının Hesaplanması

 

  





 









 







 









n

i

n

i i i

n

i

n

i i n

i i i

i

n X X

n Y X

Y X b

1

2

1 2 1

1 1

2 2 2

)

(

_i

i

i i i i i

X X

n

Y X X Y a X











  a  Y  b X

a ve b Katsayılarının Hesaplanması a ve b Katsayılarının Hesaplanması

n Y Y X

X

CT

_xy

 

_i _i

 ( 

ⁱ

)( 

ⁱ

)

n X X

KT

_x _i ⁱ

2

 ( )





n Y Y

KT

_y _i ⁱ

2 2

 ( )





x

xy

KT

ÇT b  /



 X n

X /



 Y n

Y /

X b Y a  

Modelin Önemliliği



Y=a+bX modelinin geçerliliğini belirlemek için Regresyon Analizi yönteminden yararlanılır.



Modelin önemliliği, belirlenen model ile Y’nin değişiminin X tarafından ne kadar açıklanabildiğinin kontrolu yapılır.



Modelin önemliliği aynı zamanda eğimin regresyon katsayısının önemliliğini ve iki değişken arasındaki korelasyonun da önemliliğini verir.

(9)

Tahminin Varyansı, b’nin Varyansı

2 )) (

(

²

2 . 2







 

 n

bX a S Y

S

_Y _X ⁱ ⁱ

 

 



 

 

X XY

y

KT

KT CT s n

2

( )

2 1

Y x

XY y

b

KT

KT KT CT

s n ( ) /

2

1

²

2

 



 

 



 



 

 

b’nin Önemliliği

H₀: b=0

Sd=n-2 t<t_0.05,sd P>0.05 n.s.

t>t_0.05,sd P<0.05 * t>t_0.01,sd P<0.01 **

t>t_0.001,sd P<0.001***

2

S

b

T  b  

Y x

XY y

b

KT

KT KT CT

s n ( ) /

2

1

²

2

 



 

 



 



 

 

Modelin Önemliliğinin Regresyon Analizi İle Belirlenmesi

Genel KT=Regresyon KT+Artık KT GKT=RKT+AKT

rsd=1

asd=n-2 X

XY

KT

CT RKT  ( ) 2 /

RKT KT

AKT 

_Y

 KT

Y

GKT 

(10)

DK sd KT KO F p

Regresyon 1 RKT RKO RKO/AKO

Artık n-2 AKT AKO - -

Genel n-1 GK_Y - - -

Regresyon Analizi Tablosu

F(rsd, asd)<F(0.05,rsd,asd) P>0.05 ns. Model önemsiz F(rsd, asd)>F(0.05,rsd,asd) P<0.05 * Model önemli.

F(rsd, asd)<F(0.01,rsd,asd) P<0.01 ** Model önemli.

F(rsd, asd)<F(0.001,rsd,asd) P<0.001 *** Model önemli.

10 Lise Öğrencisinin Matematik ve Zeka Puanları Öğr. No Mat_P (Y) Zeka_P (X)

1 86 75

2 67 70

3 90 94

4 94 98

5 53 63

6 61 68

7 86 86

8 76 82

9 98 98

10 63 70

T 774 804

Şekil: 10 Orta Okul Öğrencisinin Matematik ve Zeka Puanları İlişki Grafiği

(11)

Öğr.No Mat_P(Y) Zeka_P(X) Y2 X2 XY

1 86 75 7396 5625 6450

2 67 70 4489 4900 4690

3 90 94 8100 8836 8460

4 94 98 8836 9604 9212

5 53 63 2809 3969 3339

6 61 68 3721 4624 4148

7 86 86 7396 7396 7396

8 76 82 5776 6724 6232

9 98 98 9604 9604 9604

10 63 70 3969 4900 4410

T 774 804 62096 66182 63941 Tablo: 10 Lise Öğrencisinin Matematik, Zeka Puanları ve Gerekli Hesaplamalar

n Y Y X

X

CT_xy _i _i ( ⁱ)( ⁱ)







4 . 10 1711

) 774 )(

804

63941( 

xy CT

n X X

KT_x _i ⁱ

2

2 ( )







4 . 10 1540

) 804 66182 (

2



x KT

x

xy KT

ÇT

b /

4 . 1540 / 4 .

1711 b

111 .

1 b

4 . 80 10 /

804 

 X

4 . 77 10 /

774 

 Y

X b Y a  

4 . 80

* 11 . 1 4 . 77 

 a

92 .

 11

 a

X Y 11 . 92 1 . 111 *

Denklemi Regresyon







SPSS’de REGRESYON



SPSS veri sayfasında X ve Y verilerini farklı sütunlara giriniz



Analyze > Regression >Linearseçeneklerini tıklayınız.



İşlem penceresinde X ve Y değişkenlerini doğru tanımlayarak alanlara taşıyınız.



OK tıklayınız.

(12)

SPSS’de REGRESYON

(13)

ANOVA^b

1901.383 1 1901.383 52.997 .000^a

287.017 8 35.877

2188.400 9

Regression Residual Total Model 1

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Predictors: (Constant), ZEKA_P a.

Dependent Variable: MAT_PUAN b.

Coefficients^a

-11.925 12.415 -.961 .365

1.111 .153 .932 7.280 .000

(Constan ZEKA_P Model 1

B Std. Error Unstandardized

Coefficients

Beta Standardized

Coefficients

t Sig.

Dependent Variable: MAT_PUAN a.

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ

Amaçlar

 Kolay elde edilebilir bağımsız değişkenler yardımıyla zor elde edilen bağımlı değişken değerini kestirmek.

 Bağımsız değişkenlerden hangisi ya da hangilerinin bağımlı değişkeni daha çok etkilediğini belirlemek.

 Bağımlı değişken ile bağımsız değişkenler arasındaki karmaşık yapıyı tanımlamak.

 Diğer değişkenlerin varlığında katsayı kestiriminde bulunmak.

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZİ

Y bağımlı değişken ve X₁, X₂, ..., X_p bağımsız değişkenler olmak üzere değişkenler arasındaki sebep- sonuç ilişkisini matematiksel bir model olarak ortaya koyan yöntemeçoklu regresyon analiziadı verilir.

Bir bağımlı değişken ile bu değişkenin değişimi üzerinde etkide bulunan p sayıda bağımsız değişken arasındaki ilişkinin düzeyini belirleyen yönteme iseçoklu korelasyon analizidenilmektedir.

Genellikle çoklu regresyon ve korelasyon analizi birlikte ele alınan ve hesaplamaları birlikte yapılan karma yöntemlerdir.

(14)

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON

Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi, Y ile iki ve daha fazla açıklayıcı değişken arasındaki ilişkiyi

biçiminde inceler.

Verilere uyan modelin açıklayıcılık yüzdesi belirtme katsayısı R²ile belirlenir.

Regresyon analizi, modelin tutarlılığını; tahmin gücünü ve her bir değişkenin Y üzerindeki açıklayıcılığını test eder. Modelin belirleyicilik gücünü ifade eden R², aşağıdaki gibi hesaplanır.

p px b x b x b x b b

yˆ ₀ ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃...

Toplamı Kareler Genel

lamı KarelerTop gresyon

KT R RKT

Y

2 Re

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON

Çoklu belirtme katsayısı (R²) modele yeni bir değişken eklendiğinde artış gösterir. Modele yeni bir değişken eklenmesine rağmen paydanın değeri değişmezken payın değeri artar. Bu nedenle R² hesaplanırken değişken sayısına göre düzeltme yapılması gerekir.

Düzeltilmiş R²değeri (R²_düz), ya da

biçiminde hesaplanır















 



 

) 1 /(

) 1 ₂/(

2 2

N k N

y R

^duz

e

1 ) 1 )(

1 1 (

2 2



 

 N k

N

R

^duz R

1. BETA(Standartlaştırılmış regresyon katsayıları):

Modele katkısı daha fazla olan değişkenin BETA katsayısı daha büyük olur.

2. VIF: Çoklubağlantı olduğunda 15’in üzerindedir.

3. Çoklu korelasyon katsayısı (R): Bağımlı değişken ile bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini verir. 0 ile 1 arasında değişir.

4. Çoklu Açıklayıcılık Katsayısı (R²): Çoklu karelasyon katsayısının karesidir. Bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkeni açıklama miktarını verir.

DÖRT ÖNEMLİ İSTATİSTİK

Yrd. Doç. Dr. Ünal ERKORKMAZ 42

(15)

Uyarılar

 Bağımsız değişkenler arasındaki korelasyon katsayıları yüksek olmamalıdır.Yüksek ilişki çoklubağlantıya neden olur.

 Büyük R²ya da F istatistiğinin anlamlı olması modelin yeterliği ve geçerliği konusunda ayrıntılı bilgi vermez.

 Artıkların incelenmesi gereklidir. Aykırı, uzak, etkili gözlemler dikkatle incelenmeli, kestirime yönelik çalışmalarda modelin geçerliği

incelenmelidir.

Çoklu Regresyon Yöntemleri

 Tüm değişkenlerin modelde olduğu yöntem

 Değişkenlerin belli bir sırada modele eklendiği yöntem (hiyerarşik regresyon)

 Adımsal Regresyon (istatistiksel regresyon) yöntemleri

 İleriye doğru seçim (forward selection)

 geriye doğru çıkartma (backward elemination)

 Adım-adım regresyon (step-wise)

y x₁ x₂

2940 38 1

3130 38 0

2420 36 1

2450 34 0

, , ,

2841 36 0

y : Çocuğun Doğum ağırlığı (gr) x₁: Gebelik haftası

x₂: Annenin sigara içme durumu (1:içen, 0: İçmeyen)

ÖRNEK

(16)

Model Summary

,947^a ,896 ,889 115,53024

Model

1 R R Square

Adjusted R Square

Std. Error of the Estimate

Predictors: (Constant), X2, X1 a.

Çoklu Korelasyon katsayısı (R):

Bağımlı değişken ile bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini verir. 0 ile 1 arasında değişir.

Çoklu Açıklayıcılık Katsayısı (R²):

Çoklu karelasyon katsayısının karesidir. Bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkeni açıklama miktarını verir. 0 ile 1 arasında değişir.

ANOVA^b

3348720 2 1674359,837 125,446 ,000^a

387069,8 29 13347,235

3735790 31

Sum of

Predictors: (Constant), X2, X1 a.

Dependent Variable: Y b.

Regresyon modelinin anlamlılığına ilişkin tümel F istatistiği. Buna göre y değişkenindeki değişim iki bağımsız değişken tarafından açıklanabilmektedir.

Değişken b_j S(b_j) Beta t p

Sabit ‐2389,573 349,206 ‐6,843 0,000 x₁ 143,100 9,128 0,963 15,677 0,000 x₂ ‐244,544 41,982 ‐0,358 ‐5,825 0,000

Regresyon katsayıları

2 1

244 , 544 100

, 143 573 ,

ˆ 2389 x x

y    

(17)

Gebelik haftasındaki 1 haftalık artış çocuk doğum ağırlığında 143 gramlık artışa neden olmaktadır.

Sigara içen annelerin çocuk doğum ağırlığı içmeyenlere göre 244,5 gram daha düşüktür.

^

2 1

244 , 544 100

, 143 573 ,

ˆ 2389 x x

y    

x₁: Gebelik haftası = 34

x₂: Sigara içen bir anne için (1:içen, 0: İçmeyen):

olarak kestirilirken sigara içmeyen bir anne için:

olarak kestirilir.

y= 2475.83 gr

^ y= 2231 gr

^ KESTİRİM

2 1

244 , 544 100

, 143 573 ,

ˆ 2389 x x

y    

1 544 , 244 34 100 , 143 573 ,

ˆ   2389    

y

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON

Örnek: Rasgele seçilen 16 bireyin Günlük İçtiği Sigara Sayısı, YAŞ, BOY, AĞIRLIK ve SKB değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir

GİSS YAS (yil) BOY (cm) AGIRLIK (Kg) SKB (mm/Hg) 10

15 20 25 0 30 12 40 0 10 18 20 45 27 30

51 64 46 39 58 54 31 67 48 78 39 51 73 53 56

166 165 174 168 162 178 171 173 165 152 177 166 178 174 169

67.0 61.0 83.0 78.9 67.0 90.0 77.7 89.3 70.0 58.0 82.5 63.0 93.1 89.0 72.0

115 122 130 126 110 141 124 150 110 119 130 120 149 125 125

(18)

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON

SPSS’de çoklu regresyon analizi uygulamak için SKB, YAS, BOY, KILO ve GISS değerleri ayrı sütunlara girilir. Çoklu regresyon analizi uygulamak için Statistics>Regression>Linearseçenekleri tıklanır. Açılan ekranda Dependent alanına SKB değişkeni, Independent(s) alanına ise diğer dört değişken taşınır. OK tıklanır.

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON

(19)

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON

Variables Entered/Removed ^b

GISS, YAS, AGIRLIK, BOY^a

, Enter Model

1

Variables Entered

Variables

Removed Method

All requested variables entered.

a.

Dependent Variable: SKB b.

Model Summary

,942^a ,887 ,846 4,7942

Model 1

R R Square

Adjusted R Square

Std. Error of the Estimate Predictors: (Constant), GISS, YAS, AGIRLIK, BOY a.

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON

ANOVA^b

1990,918 4 497,729 21,655 ,000^a

252,832 11 22,985

2243,750 15

Sum of

Predictors: (Constant), GISS, YAS, AGIRLIK, BOY a.

Dependent Variable: SKB b.

Coefficients^a

53,292 65,883 ,809 ,436

,161 ,139 ,166 1,162 ,270

,170 ,448 ,100 ,379 ,712

,333 ,260 ,315 1,281 ,226

,521 ,182 ,562 2,872 ,015

(Constant) YAS BOY AGIRLIK GISS Model 1

B Std. Error Unstandardized

Coefficients

Beta Standardi

zed Coefficien

ts

t Sig.

Dependent Variable: SKB a.

ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON

(20)

x₁: Gebelik haftası = 34

x₂: Sigara içen bir anne için (1:içen, 0: İçmeyen):

olarak kestirilirken sigara içmeyen bir anne için:

olarak kestirilir.

y= 2475.83 gr

^ y= 2231 gr

^ KESTİRİM

2 1

244 , 544 100

, 143 573 ,

ˆ 2389 x x

y    

1 544 , 244 34 100 , 143 573 ,

ˆ   2389    

y

DOĞRUSAL OLMAYAN İLİŞKİLER

0,000 10 20 30 40

0,5 1,0 1,5

DOĞRUSALLAŞTIRILABİLEN BAZI DOĞRUSAL OLMAYAN İLİŞKİLER

b

x

b y 

₀ ₁^

y

x

1

0

log

log y  b  x b

Üstel Denklem

Doğrusal Denklem

(21)

0,000 10 20 30 40

0,500 1.000 1,500

b

x

b y 

₀ ₁

y

x Üstel Denklem

Doğrusal Denklem

1

0

log

log y  b  x b

* **

* *

*

* * *

* *

*

* * *

* * * *

*

* *

**

*

1

0

x b

b y 

Üstel Denklem

x b b

y log log log 

₀



₁

Doğrusal Denklem

ÖRNEK

Hastane gelişmişlik indeksi‐birim başına maliyet ilişkisi Hastane Gel. İndexi (x) BB Maliyet (y) log (y)

6 2,812 0,449

7 1,882 0,275

8 1,130 0,053

9 0,738 -0,132

10 0,425 -0,372

11 0,261 -0,583

12 0,181 -0,742

13 0,125 -0,903

14 0,079 -1,102

15 0,052 -1,284

16 0,029 -1,538

(22)

X- GELİŞMİŞLİK İNDEKSİ

18 16 14 12 10 8 6 4

Y- BİRİM BAŞINA MALİYET

3,0

2,5 2,0 1,5

1,0 ,5 0,0

b

x

b y 

₀ ₁^

X (BBM)

18 16 14 12 10 8 6 4

LOGY

,5

0,0

-,5

-1,0

-1,5

-2,0

x ile logy arasındaki doğrusal denklem:

logy= 1,6203-0,1959x

Antilog(1,6203) = 41,7157 Antilog(0,1959) = 1,57

x ile y arasındaki üstel denklem:

y   41 , 7157 ( 1 , 57 )

^x İstenirse buradan üstel denkleme geçiş yapılabilir:

(23)

Her iki yöntemle elde edilen kestirimler aynı sonucu verecektir.

Örneğin, x=11.5 için

logy= 1,6203-0,1959(11.5)= -0,63255

=Antilog(-0,63255)= 0,233

y  41 , 7157 ( 1 , 57 )

^x



= 41,7157(1,57) ^-11,5

= 0,233

yˆ

POLİNOMİYAL REGRESYON y=b

₀

+b

₁

x+b

₂

x

²

+b

₃

x

³

+...+b

_k

x

^k

x y x y x y x y x y

1,0 5,0 3,0 130 5,1 17,0 6,6 17,0 8,2 13,1 1,5 7,1 3,4 13,6 5,4 17,3 6,7 17,1 8,4 12,6 1,8 8,0 3,6 14,3 5,5 17,4 7,0 16,3

2,1 10,2 3,9 14,9 5,9 17,3 7,2 16,0 2,3 11,0 4,2 16,0 6 18,0 7,4 15,2 2,7 11,8 4,6 16,3 6,2 17,4 7,9 14,2

X

10 8 6 4 2 0

Y

20 18 16 14 12 10 8 6 4

(24)

Y

X

10 8 6 4 2 0 20

18

16 14

12

10

8 6 4

Observed Linear Quadratic

5862

2

, 0 6446 , 6 5828 ,

ˆ 1 x x

y    

F=1046,24 p<0,01

R²=0,989

LOJİSTİK REGRESYON

Lojistik regresyon; cevap değişkenin kategorik, ikili (binary, dichotomous), üçlü ve çoklu kategorilerde gözlendiği durumlarda açıklayıcı değişkenlerle neden sonuç ilişkisini belirlemede yararlanılan bir yöntemdir.

Açıklayıcı değişkenlere göre cevap değişkenin beklenen değerleri olasılık olarak elde edildiği bir regresyon yöntemidir.

Basit ve çoklu regresyon yönteminde bağımlı değişkenin normal dağılım göstermesi, bağımsız değişkenlerin normal dağılım göstermesi ve hata varyansının N(0,²) parametreli normal dağılım göstermesi gerekmektedir. Bu koşulları içermeyen veri setlerine basit ya da çoklu regresyon analizleri uygulanamaz.

LOJİSTİK REGRESYON

Lojistik regresyon analizi, sınıflama ve atama işlemi yapmaya yardımcı olan bir regresyon yöntemidir. Normal dağılım varsayımı, süreklilik varsayımı ön koşulu yoktur.

Bağımlı değişken üzerinde açıklayıcı değişkenlerin etkileri olasılık olarak elde edilerek risk faktörlerinin olasılık olarak belirlenmesi sağlanır.

(25)

LOJİSTİK REGRESYON

Doğada gözlenen fenomenlerin bazıları var‐yok, başarılı‐

başarısız gibi ikili biçimde sonuçlanırlar. Bazı sonuçlar ise yok‐

orta‐çok, hiç‐az‐çok, olumsuz‐olumlu‐çok olumlu biçiminde üçlü gözlem sonuçları olarak belirlenirler. Bazı sonuçlar ise çok sınıflı kategorik ya da sıralı ölçekli değerler olarak belirlenebilirler.

Bu sonuçların ortaya çıkmasında bir çok etken (faktör) rol oynar. Acaba faktörlerin değişimleri ve farklı kombinasyonları, sonucun görülmesi ya da görülmemesinde, oluşumun derecelendirilmesinde nasıl etkide bulunmaktadır?

Normal dağılım varsayımı kurulamayan durumlarda sonucun ortaya çıkması‐çıkmaması, hafif‐orta‐ağır olarak belirlenmesine açıklayıcı değişkenlerin etkileri nasıl ortaya konabilir?

LOJİSTİK REGRESYON

Toplumda bazı kişilerde kalp hastalığı görülürken bazılarında görülmemektedir. Toplumda birçok yönden benzer özellik gösteren bireylerin bazılarında X hastalığı görülürken diğerlerinde görülmemektedir. Niçin? Hangi etken ya da etkenler ne düzeyde bu sonuçların ortaya çıkmasına etki etmektedirler? Bir olayın ortaya çıkmasında bu etkenlerin bir risk faktörü olduğu ve bu etkenlerden hangilerinin önemli risk faktörleri olduğu nasıl belirlenebilir?

LOJİSTİK REGRESYON

Yukarıda sayılan sorulara cevap vermek için verilerin Lojistik Regresyon Analizi ile analiz edilmesi gerekir.

Lojistik regresyon, bağımlı değişkenin tahmini değerlerini olasılık olarak hesaplayarak, olasılık kurallarına uygun sınıflama yapma imkanı veren bir istatistiksel yöntemdir. Lojistik regresyon tablolaştırılmış ya da ham veri setlerini analiz eden bir yöntemdir.

(26)

) (0 1 1

0 1 0

1 1 ) 1

( _X _X

X

e e

Y e

P _ _ _ _









 

LOJİSTİK REGRESYON

Veri yapılarına göre kurulan lojistik modeller aşağıdaki gibi belirlenir.

İki değişkenli lojistik regresyon modeli;

Çok değişkenli lojistik regresyon modeli;

Z Z

Z

e e

Y e

P

_

 

1 1 ) 1

(

Burada Z, bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonudur.

p p

X X

X

Z  

₀

 

₁ ₁

 

₂ ₂

 ...  

Regresyon katsayılarının hesaplanması aşağıdaki gibi yapılır.

Burada Q(Y), Q(Y)=1-P(Y) olarak hesaplanır. Odds Ratio’nun P(Y)/Q(Y) olarak hesaplandığını hatırlayacak olursak her bir parametrenin Exp() değerleri OR değerleri olarak ele alınırlar. Böylece Exp(_p), Y değişkeninin X_pdeğişkeninin etkisi ile kaç kat daha fazla ya da yüzde kaç oranda fazla gözlenme olasılığına sahip olduğunu belirtir. _p katsayısının önemliliği aynı zamanda OR_p=Exp(_p)’nın da önemliliği olarak değerlendirilir.

p pX X

Y X Q

Y

P 











 



 



 ...

) (

)

ln ( ₀ ₁ ₁ ₂ ₂

p p p

pX X X X

X

X e e e e

Y e Q

Y

P        

) ...

( )

(  0^ 1 1^ 2 2^...^  ₀ ₁ ₁ ₂ ₂

LOJİSTİK REGRESYON

Lojistik regresyon analizinde üç temel yöntem vardır.



İkili (Binary) Lojistik Regresyon (BLOGREG, Binary Logistic Regression)



Sıralı (Ordinal) Lojistik Regresyon (OLOGREG, Ordinal Logistic Regression)



İsimsel Lojistik Regresyon (NLOGREG, Multinomial Logistic Regression)

LOJİSTİK REGRESYON

(27)

İkili Lojistik Regresyon (BLOGREG) Analizi

İkili cevap içeren bağımlı değişkenlerle yapılan lojistik regresyon analizidir. Bir ya da daha fazla açıklayıcı değişken ile ikili cevap değişken arasındaki bağıntıyı ortaya koyar.

Açıklayıcı değişkenler ya faktör değişkenlerdir ya da ortak değişkendir (covariate). Faktör değişkenler kategorik isimsel ölçeklidirler, ortak değişkenler ise sürekli değişken olmalıdır.

50 hasta üzerinde yapılan bir çalışmada, hastanın yaşı, cinsiyeti, yoğun bakımda kalış süresi ve önceden antibiyotik kullanımı değişkenleri kullanılarak yoğun bakım ünitesinde edinilmiş enfeksiyon belirlenmek istenmektedir.

ÖRNEK

Enfeksiy on (y)

Cinsiyet Yaş Kalış Sür.

(gün)

Önceden Antibiyoti

k K.

1 1 65 3 0

0 2 58 4 1

0 1 46 7 1

1 1 73 11 0

. . . . .

1:var 1:E 0: + 0:yok (Ref. Kat.) 2:B 1: -