ZAMAN SERİLERİ ANALİZİ
Doç.Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü
Hafta 6
ZAMAN SERİLERİNDE
OTOREGRESİF SÜREÇ: AR(P)
3. Otokorelasyon Katsayısı
• Otokorelasyon, gözlemlenen değerler arasındaki benzerliğin zamansal gecikmenin bir fonksiyonu olarak ifade edilmesidir.
• Seri değerlerinden hesaplanarak elde edilen otokorelasyon katsayıları farklı zaman değerlerindeki gözlem değerleri arasındaki ilişkiyi gösteren katsayılardır.
• Bu katsayılar zaman serilerinin sahip olduğu özelliklerin önemli bir göstergesidir.
• Bir serinin komşu değerleri ile arasındaki bağımlılığın derecesini ortaya koyar.
• Zaman serilerindeki iç bağımlılık otokorelasyon katsayıları ile ölçülebilmektedir.
• Eğer zaman serisinde serisel bir korelasyon mevcut ise trend analizi yapılmadan önce giderilmesi gerekir. Aksi halde seride trend yokken, trendin var olduğu sonucu ortaya çıkabilir.
• Bunu belirlemek için önce k-aralıklı otokorelasyon katsayısı hesaplanır.
𝑟 𝑘 = 𝑛−𝑘 𝑖=1 (𝑦 𝑖 − 𝑦 )(𝑦 𝑖+𝑘 − 𝑦 ) 𝑦 𝑖 − 𝑦 2
𝑛 𝑖=1
, 𝑘 = 1,2, …
3. Otokorelasyon Katsayısı
Burada, 𝑦
𝑖zaman serisi verileri, 𝑁 veri sayısıdır.
𝑟
𝑘, 0 ≤ 𝑟
𝑘≤ 1 arasında değerler alır, 0 zaman serisinin bağımsız olduğu,
1 ise otokorelasyon olduğu anlamına gelir.
Otokorelasyon katsayısı, tek-yönlü Hipotez Testi ile test
edilir.
𝑟
𝑘𝑡𝑎𝑏𝑙𝑜 = −1 + 1.645 𝑁 − 𝑘 − 1 𝑁 − 𝑘
𝑁 veri sayısı 𝑘 ise aralık
SONUÇ: Eğer elde edilen korelasyon katsayısı (𝒓
𝒌) %95 istatistik güven ile hesaplanan sınır değerden (𝒓
𝒌𝒕𝒂𝒃𝒍𝒐 ) büyükse zaman serisinin içerisinde serisel bir korelasyon olduğu sonucuna varılır.
Bu durumda serisel korelasyonun seri içerisinden çıkarılması gerekmektedir.
3. Otokorelasyon Katsayısı
Hipotez Testi
Regresyon modelinde Y(t) bağımlı değişkeni bağımsız değişkenlerin fonksiyonu olarak modellenir.
OTOREGRESİF SÜREÇ: AR(P) ve REGRESYON MODELİ
Otoregressive süreçte ise; Y(t) bağımlı değişkenlerini kendi geçmiş değerleriyle ilişkilendirilmektedir.
Dolayısıyla modeli oluşturan değişkenler birbiriyle sıkı bir
ilişki içerisinde olmaktadır.
Bir değişkenin geçmiş değerlerinin içerdiği
bilgiye dayanarak gelecek değerleri hakkında ön bilgi edinilebilir. Bu şekilde değişkenin geçmişini yansıtan bilgi yalnızca kendi değerlerine göre
modellenirse otoregresif süreç söz konudur.
p. Derece Otoregresif Süreç
OTOREGRESİF SÜREÇ: AR(P)
p. Derece Otoregresif Süreç AR(p)
𝑣𝑡: Ortalaması sıfır, sabit varyanslı otokorelasyonsuz rassal değişken(düzeltmeler)
𝐘
𝐭+ 𝐯
𝐭= 𝐚 + 𝐛
𝟏𝐘
𝐭−𝟏+ 𝐛
𝟐𝐘
𝐭−𝟐+ 𝐛
𝟑𝐘
𝐭−𝟑+ ⋯ . +𝐛
𝐩𝐘
𝐭−𝐩𝑎 : 𝑌𝑡’nin ortalamasıdır.
𝑏𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑝 ): Bilinmeyen otoregressif parametreler
p. Derece Otoregresif Süreç AR(p)
Serinin ortalaması sıfır olduğu varsayılmıştır. Eğer 𝐘
𝐭serisinin ortalaması (µ) sıfırdan farklıysa
𝐘
𝐭= 𝐲
𝐭-µ değeri yazılır.
𝐘
𝐭−𝟏, 𝐘
𝐭−𝟐, 𝐘
𝐭−𝟑, . . , 𝐘
𝐭−𝐩değerleri 𝐘
𝐭’nin geçmiş gözlem değerleridir.
𝐛
𝟏, 𝐛
𝟐, 𝐛
𝟑, . . , 𝐛
𝐩katsayıları ise AR modelinin model katsayılarıdır.
𝐚 değeri aksi belirtilmedikçe sıfırdır.
AR(1) Süreci
𝐘
𝐭= 𝐚 + 𝐛
𝟏𝐘
𝐭−𝟏+ 𝐞
𝐭𝒂 : 𝒀𝒕’nin ortalamasıdır. a =0 ise Yt ‘nin ortalaması 0’dır.
Otoregresif parametrenin değeri
𝐛𝟏 <1 ise süreç durağandır.
𝐛𝟏 =1 ise (durağan değildir) serinin varyansı sabit olmaz ve zamanla büyür.
𝝈𝒀𝟐 = 𝝈𝒆𝟐 𝟏 − 𝝈𝒃𝟐 Durağan bir AR(1) sürecinde
Zaman serisi sürecinin gözlenen değerlerinin tamamını aşağıdaki biçimde ifade edebiliriz
AR(p) Sürecinin Tahmini
𝐘
𝐩+𝟏+𝒗
𝐩+𝟏= 𝐚 + 𝐛
𝟏𝐘
𝐩+ 𝐛
𝟐𝐘
𝐩−𝟏+ 𝐛
𝟑𝐘
𝐩−𝟐+ ⋯ . +𝐛
𝐩𝐘
𝟏𝐘
𝐩+𝟐+𝒗
𝐩+𝟐= 𝐚 + 𝐛
𝟏𝐘
𝐩+𝟏+ 𝐛
𝟐𝐘
𝐩+ 𝐛
𝟑𝐘
𝐩−𝟏+ ⋯ . +𝐛
𝐩𝐘
𝟐…
…
𝐘
𝐓+𝒗
𝐓= 𝐚 + 𝐛
𝟏𝐘
𝐓−𝟏+ 𝐛
𝟐𝐘
𝐓−𝟐+ 𝐛
𝟑𝐘
𝐓−𝟑+ ⋯ . +𝐛
𝐩𝐘
𝐓−𝐩Bu denklem sisteminin matris notasyonunda gösterimi 𝒀 + 𝑽 = 𝑨𝑿
AR(p) Sürecinin Tahmini
𝒀 + 𝑽 = 𝑨𝑿
𝑌 =
𝑌𝑝+1 𝑌𝑝+2 𝑌𝑝+3
… 𝑌𝑇
𝑉 =
𝑣𝑝+1 𝑣𝑝+2 𝑣𝑝+3
… 𝑣𝑇
𝑋 = 𝑎 𝑏1 𝑏2 𝑏3
… 𝑏𝑝
𝐴 =
1 𝑌𝑝 𝑌𝑝−1 1 𝑌𝑝+1 𝑌𝑝 1 𝑌𝑝+2 𝑌𝑝+1 1 𝑌𝑝+3 𝑌𝑝+2 1 . . . . 1 𝑌𝑇−1 𝑌𝑇−2
𝑌𝑝−2 . . 𝑌1 𝑌𝑝−1 . . 𝑌2 𝑌𝑝 . . 𝑌3 𝑌𝑝+1 . . 𝑌4 . . . . . . 𝑌𝑇−3 . . 𝑌𝑇−𝑝
𝑿 = 𝑨 𝑻 𝑨 −𝟏 𝑨 𝑻 𝒀
𝐕 = 𝐀𝑿 − 𝒀
m0 = VTV T − p − 1
Qxx = ATA −1
AR(p) Sürecinin Tahmini
Regresyon Düzeltmeleri
Otoregressif parametrelerin ters ağırlık matrisi Birim ölçünün ortalama hatası
𝒏 = 𝑻 ölçü sayısı,
𝒑 otoregressive süreç derecesi
𝒖 = 𝒑 + 𝟏 otoregressive süreç bilinmeyen sayısı
𝐾𝑥𝑥 = 𝑚02𝑄𝑥𝑥 Otoregressif parametrelerin varyans-kovaryans matrisi
AR sürecinin derecesinin belirlenmesinde:
p değerlerini arttırarak ilave parametreli yeni bir AR süreci tahmin edilir.
İlave edilen yeni parametrenin anlamlılığı test edilir.
AR(p) Sürecinin Derecesi Nasıl
Belirlenir?
AR(p) Süreci Parametrelerinin Anlamlılığı Testi
m𝑎 = m0 qx1x1 mb1 = m0 qx2x2
Otoregressif parametrelerin ortalama hataları mb2 = m0 qx3x3
mbp = m0 qxp+1xp+1
… … …
H0: E bi = 0
“bi otoresressive parametresi anlamsızdır”
Hs: E*bi+ ≠ 0
“bi otoresressive parametresi anlamlıdır”
1. Hipotez Kurulur;
AR(p) Süreci Parametrelerinin Anlamlılığı Testi
T
𝑏i= 𝑏
im
𝑏ib= 1, 2, 3,..,p
2. Test Büyüklüğü Hesaplanır;
T<tn−u,1−α
(tek yönlü test için) T<tn−u,1−α
(çift yönlü test için) 2
3. Tablo Değeri ve Test Büyüklüğü Karşılaştırılır;
H0
hipotezinin
reddedilemeyeceğine ve HS
hipotezinin kabul edilemeyeceğine karar verilir.
%95 istatistik güvenle “𝒃𝒊 otoregressive parametresi anlamsızdır” kararı geçerlidir.
T>tn−u,1−α
(tek yönlü test için) T>tn−u,1−α
(çift yönlü test için) 2
HS
hipotezinin
reddedilemeyeceğine ve H0
hipotezinin kabul edilemeyeceğine karar verilir.
%95 istatistik güvenle “𝒃𝒊 otoregressive parametresi anlamlıdır” kararı geçerlidir.
