ANKARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
DOKTORA TEZĠ
HĠGGS BOZONU’NUN STANDART MODEL ÖTESĠ BAĞLAġIMLARININ FOTON ĠNDÜKLÜ SÜREÇLERDE ĠNCELENMESĠ
Gülistan AKKAYA SELÇĠN
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
ANKARA 2018
Her hakkı saklıdır
ii ÖZET
Doktora Tezi
HĠGGS BOZONU‟NUN STANDART MODEL ÖTESĠ BAĞLAġIMLARININ FOTON ĠNDÜKLÜ SÜREÇLERDE ĠNCELENMESĠ
Gülistan AKKAYA SELÇĠN
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman: Prof. Dr. Ġnanç ġAHĠN
Bu çalıĢmada, standart model ötesi HZ ve H bağlaĢımlarını incelemek için LHC, gelecekteki lineer çarpıĢtırıcısı ve gelecekteki 100 TeV proton-proton çarpıĢtırıcısının tek Higgs bozonu üretimindeki potansiyelleri çalıĢılmıĢtır. Bu üçlü bağlaĢımlar LHC (√ =14 TeV), çarpıĢtırıcısının e modu (√ =0.5 TeV ve √ =1 TeV) ve 100 TeV proton-proton çarpıĢtırıcısında sırayla q→Hq, e→He ve
→H→(/Z) alt süreçleri üzerinden incelenmiĢtir. Etkin lagranjiyen metodu kullanılmıĢ ve her bir çarpıĢtırıcı için standart model ötesi Higgs bağlaĢımları üzerindeki sınırlar %95 güvenilirlik düzeyinde elde edilmiĢtir. Analizler çeĢitli integre edilmiĢ luminositeler ve altı farklı senaryo için yapılmıĢtır. Sonuçlar birbiriyle karĢılaĢtırılmıĢ ve böylece bu çarpıĢtırıcıların, standart model ötesi Higgs bağlaĢımlarını ölçmedeki kapasiteleri belirlenmiĢtir.
Ocak 2018, 95 sayfa
Anahtar Kelimeler: Etkin lagranjiyen, Anormal bağlaĢımlar, Standart model ötesi, Higgs bozonu, Foton indüklü süreçler
iii ABSTRACT
Ph.D. Thesis
SEARCH FOR ANOMALOUS HĠGGS COUPLĠNGS IN PHOTON INDUCED PROCESSES
Gülistan AKKAYA SELÇĠN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics
Supervisor: Prof. Dr. Ġnanç ġAHĠN
In this work, the potential of single Higgs boson production at the Large Hadron Collider(LHC), at e mode of future linear collider and at future 100 TeV proton- proton collider have been studied to probe non-standard HZ and H couplings. These triple couplings have been investigated through q→Hq, e→He and →H→(/Z) subprocesses at LHC (√ =14 TeV) , at e mode of future linear collider(√ =0.5,
√ =1 TeV) and at future 100 TeV proton-proton collider respectively. An effective lagrangian method has been used and obtained 95% confidence level sensitivity bounds on non-standard Higgs couplings for each colliders. The analyses have been done for various integrated luminosities and for six different scenarios. The results have been compared with each other and so the capability of probing non-standard Higgs couplings at these colliders have been determined.
January, 2018, 95 pages
Key Words: Effective lagrangian, Non-standard couplings, Beyond standard model, Higgs boson, photon-induced processes.
iv
ÖNSÖZ VE TEġEKKÜR
Bu tez çalıĢmasının her sürecinde kendisinden görmüĢ olduğum büyük desteğinden ötürü değerli danıĢman hocam sayın Prof. Dr. Ġnanç ġAHĠN‟e (Ankara Üniversitesi Fizik Anabilim Dalı) teĢekkürü bir borç bilirim.
Gülistan AKKAYA SELÇĠN Ankara, Ocak 2018
v ĠÇĠNDEKĠLER
TEZ ONAY SAYFASI
ETĠK ... i
ÖZET...ii
ABSTRACT...iii
ÖNSÖZ VE TEġEKKÜR...iv
SĠMGELER VE KISALTMALAR DĠZĠNĠ ... vi
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ...viii
ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ ... xii
1. GĠRĠġ ... 1
2. KURAMSALTEMELLER ... 3
2.1 Temel Parçacıklar ve Temel Kuvvetler... 3
2.2 Relativistik Kuantum Mekaniği Denklemleri ... 6
2.2.1 Klein-Gordon Denklemi ... 7
2.2.2 Dirac Denklemi ... 9
2.2.3 Maxwell Denklemi ... 15
2.2.4 Proca Denklemi ... 17
2.3 Standart Model ve Yeni Fizik ... 18
2.3.1 Elektrozayıf EtkileĢmeler Ġçin Standart Model ... 20
2.4 Standart Modelin Eksiklikleri ... 37
2.5 Etkin Teoriler ... 38
3. ÇEġĠTLĠ PARÇACIK ÇARPIġTIRICILARINDA STANDART MODEL ÖTESĠ HZ VE H BAĞLAġIMLARININ ĠNCELENMESĠ ... 41
3.1 Standart Model Ötesi HZ ve H BağlaĢımları ... 41
3.2 Büyük Hadron ÇarpıĢtırıcısında Higgs Bozonunun Tek Üretimi ... 45
3.3 Gelecek Parçacık ÇarpıĢtırıcılarında Tek Higgs Üretim Süreçleri ... 62
3.3.1 100 TeV enerjili proton-proton çarpıĢtırıcısında foton-proton etkileĢmesi Ġle tek üretim ... 62
3.3.2 Elektron-pozitron çarpıĢtırıcısında foton-elektron etkileĢmesi ile tek Üretim... 66
3.3.3 100 TeV enerjili proton-proton çarpıĢtırıcısında foton-foton füzyonu ile tek Üretim ... 78
4. SONUÇ VE TARTIġMA ... 88
KAYNAKLAR ... 90
ÖZGEÇMĠġ ... 95
vi
SĠMGELER DĠZĠNĠ
Elektron Pozitron Müon Tau
Elektron Nötrinosu Müon Nötrinosu Tau Nötrinosu u Yukarı Kuark d AĢağı Kuark s Garip Kuark c Tılsımlı Kuark b Taban Kuark t Üst Kuark
γ Foton W W Bozonu
Z Z Bozonu Foton Alanı
Alanı Z Alanı H Higgs Alanı
g S 2) EtkileĢme Sabiti g′ 1) EtkileĢme Sabiti Y Zayıf Hiperyük
Zayıf Ġzospin Weinberg Açısı α Ġnce Yapı Sabiti
Elektronun kütlesi Higgs Bozonun Kütlesi
vii Kısaltmalar
SM Standart Model LHC Large Hadron Collider
ILC International Linear Collider EPA EĢdeğer Foton YaklaĢımı KM Kütle Merkezi
viii
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
ġekil 2.1 Potansiyelin skaler alanlara göre grafiği ... 26
ġekil 2.2 Higgs bozonunun W ve Z bozonları ile olan etkileĢmeleri ... 30
ġekil 2.3 Üçlü ve dörtlü Higgs bozonu bağlaĢımı... 30
ġekil 3.1 Higgs bozonunun ile etkileĢmesinden oluĢan SM loop diyagramları ... 43
ġekil 3.2 Higgs bozonunun Z ile etkileĢmesinden oluĢan SM loop diyagramları... 44
ġekil 3.3 p-p çarpıĢmasında q Hq alt süreci için temsili diyagram ... 48
ġekil 3.4 ɤq Hq süreci için ağaç mertebesi Feynmann diyagramları ... 49
ġekil 3.5 Kütle merkezi çerçevesinde ɤq Hq süreci için temsili diyagram ... 51
ġekil 3.6 pppppHqX sürecinin ağaç mertebesi diyagramları için tesir kesitinin anormal Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 54
ġekil 3.7 pppppHqX sürecinin ağaç mertebesi diyagramları için tesir kesitinin SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 54
ġekil 3.8 pppppHqX sürecinin ağaç mertebesi diyagramları için tesir kesitinin SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 55
ġekil 3.9 pppppHqX sürecinin ağaç mertebesi diyagramları için tesir kesitinin SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 55
ġekil 3.10 pppppHqX sürecinin SM loop katkılı tesir kesitinin SM ötesi HiggsbağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 56
ġekil 3.11 pppppHqX sürecinin SM loop katkılı tesir kesitinin SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 56
ġekil 3.12 pppppHqX sürecinin SM loop katkılı tesir kesitinin SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 57
ġekil 3.13 pppppHqX sürecinin SM loop katkılı tesir kesitinin SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 57
ġekil 3.14 ÇeĢitli LHC luminositeleri için % 95 güvenilirlik düzeyinde bağlaĢımlarının sınırları ... 61
ġekil 3.15 ÇeĢitli LHC luminositeleri için % 95 güvenilirlik düzeyinde bağlaĢımlarının sınırları ... 61
ġekil 3.16 Üç farklı luminosite ve 0.015< <0.15 akseptans aralığı için % 95 güvenilirlik düzeyinde bağlaĢımlarının sınırları ... 64
ġekil 3.17 Üç farklı luminosite ve 0.015< <0.15 akseptans aralığı için % 95 güvenilirlik düzeyinde bağlaĢımlarının sınırları ... 64
ġekil 3.18 Üç farklı luminosite ve 0.0015< <0.5 akseptans aralığı için %95 güvenilirlik düzeyinde bağlaĢımlarının sınırları ... 65
ix
ġekil 3.19 Üç farklı luminosite ve 0.0015< <0.5 akseptans aralığı için % 95
güvenilirlik düzeyinde bağlaĢımlarının sınırları ... 66 ġekil 3.20 Elektron-pozitron çarpıĢmasında Weizsacher-Williams yoluyla
üretilen foton demetinden e He alt sürecinin oluĢumu ... 67 ġekil 3.21 Ters Compton Saçılması yoluyla üretilen foton demetinden e
He alt sürecinin oluĢumu ... 67 ġekil 3.22 ɤe He süreci için ağaç mertebesi Feynmann diyagramları ... 70 ġekil 3.23 sürecinin SM loop katkılı tesir kesitinin
SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 71 ġekil 3.24 sürecinin SM loop katkılı tesir kesitinin
SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 72 ġekil 3.25 sürecinin SM loop katkılı tesir kesitinin
SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 72 ġekil 3.26 sürecinin SM loop katkılı tesir kesitinin
SM ötesi Higgs bağlaĢımına göre değiĢim grafiği ... 73 ġekil 3.27 ɤe b ̅e sürecinin arkaplan diyagramları ... 73 ġekil 3.28 ÇeĢitli luminositeler için %95 güvenilirlik düzeyinde
bağlaĢımlarının sınırları ... 75 ġekil 3.29 ÇeĢitli luminositeler için %95 güvenilirlik düzeyinde bağlaĢımlarının sınırları ... 75 ġekil 3.30 ÇeĢitli luminositeler için %95 güvenilirlik düzeyinde
bağlaĢımlarının sınırları ... 77 ġekil 3.31 ÇeĢitli luminositeler için %95 güvenilirlik düzeyinde bağlaĢımlarının sınırları ... 77 ġekil 3.32 p-p çarpıĢtırıcısında ɤɤ→H sürecinin oluĢumu ... 78 ġekil 3.33 H Z ve H süreçlerinin oluĢumu ... 79 ġekil 3.34 ÇeĢitli ileri dedektör akseptansları için pp pp pHp pZp
sürecinin tesir kesitinin SM ötesi bağlaĢımına gore değiĢim
grafiği ... 82 ġekil 3.35 ÇeĢitli ileri dedektör akseptansları için pp pp pHp pZp
sürecinin tesir kesitinin SM ötesi bağlaĢımına gore değiĢim
grafiği ... 83 ġekil 3.36 ÇeĢitli ileri dedektör akseptansları için pp pp pHp pZp
sürecinin tesir kesitinin SM ötesi bağlaĢımına gore değiĢim
grafiği ... 83 ġekil 3.37 ÇeĢitli ileri dedektör akseptansları için pp pp pHp pp
sürecinin tesir kesitinin SM ötesi bağlaĢımına gore değiĢim
grafiği. ... 84
x
ġekil 3.38 Sol panelde, √ kütle merkezi enerjili ve luminositeli p-p çarpıĢtırıcısında % 95 güvenilirlik düzeyinde SM ötesi bağlaĢımının sınırları, sağ panelde ise aynı sınırlar LHC için
verilmiĢtir. ... 85 ġekil 3.39 % 95 güvenilirlik düzeyinde parametre uzayındaki
duyarlılık limitleri sol panelde 100 TeV pp çarpıĢtırıcısı için, sağ
panelde ise LHC için verilmiĢtir ... 86 ġekil 3.40 % 95 güvenilirlik düzeyinde parametre uzayındaki
duyarlılık limitleri sol panelde 100 TeV pp çarpıĢtırıcısı için, sağ
panelde ise LHC için verilmiĢtir ... 86 ġekil 3.41 % 95 güvenilirlik düzeyinde parameter uzayındaki
duyarlılık limitleri sol panelde 100 TeV pp çarpıĢtırıcısı için, sağ
panelde ise LHC için verilmiĢtir ... 87
xi
ÇĠZELGELER DĠZĠNĠ
Çizelge 2.1 Elektrik yükleri, lepton sayıları ve kütlelerine göre leptonlar ... 5
Çizelge 2.2 Özelliklerine göre kuarklar ... 5
Çizelge 2.3 Temel kuvvetler ve bu kuvvetlerin taĢıyıcı bozonları ... 6
Çizelge 2.4 Ailelerine göre kuark ve leptonlar ... 21
Çizelge 2.5 Temel fermiyon ve skaler bozon alanlarının özellikleri ... 22
Çizelge 3.1 ÇeĢitli LHC luminositeleri ve senaryolar için %95güvenilirlik düzeyinde ve bağlaĢımlarının sınırları ... 60
Çizelge 3.2 ÇeĢitli senaryolar ve 0.015< <0.15 akseptans aralığı için % 95 güvenilirlik düzeyinde ve bağlaĢımlarının sınırları ... 63
Çizelge 3.3 ÇeĢitli senaryolar ve 0.0015< <0.5 akseptans aralığı için % 95 güvenilirlik düzeyinde ve bağlaĢımlarının sınırları ... 65
Çizelge 3.4 ÇeĢitli senaryolar için %95 güvenilirlik düzeyinde ve bağlaĢımlarının sınırları ... 74
Çizelge 3.5 ÇeĢitli senaryolar için %95 güvenilirlik düzeyinde ve bağlaĢımlarının sınırları ... 76
1 1. GĠRĠġ
Standart Model, maddeyi oluĢturan temel parçacıklar ve bu parçacıkların etkileĢmesinde rol alan dört kuvvetten (Ģiddetli kuvvet, elektromagnetik kuvvet, zayıf kuvvet ve kütle- çekim kuvveti) üçünü (Ģiddetli kuvvet, elektromagnetik kuvvet, zayıf kuvvet) açıklayabilen ve parçacık fiziğinde temel olarak kabul edilen bir modeldir. SM çok sayıda bilim insanının katkılarıyla 20.yy „ın ikinci yarısında oluĢturuldu. Önce, 1961‟de Shelden Glashow zayıf ve elektromagnetik etkileĢmelerin birleĢtirilmesine dair önemli çalıĢmalar gerçekleĢtirdi. Daha sonra 1967‟de Abdus Salam ve Steven Weinberg tüm parçacıklara kütle kazandıran Higgs mekanizmasını Glashow‟un kuramı ile birleĢtirerek elektrozayıf kuramı bugünkü haline getirdi. Güçlü etkileĢim ise 1970‟lerde kuarkların varlığının doğrulanmasından sonra pekçok bilim insanının katkılarıyla son halini aldı.
SM, güçlü ve elektrozayıf etkileĢmeleri baĢarılı bir Ģekilde incelese de bazı noktalarda yetersiz kalmaktadır. Örneğin kütle çekimini açıklayamaması yada serbest parametrelerin değerlerini öngörememesi bunlardan sadece birkaçıdır. Dolaysıyla SM‟nin bu eksiklerini gidermesi amacıyla SM ötesi fizik arayıĢına girilmiĢtir. SM ötesi fiziği iki Ģekilde incelemek mümkündür : Model bağımlı inceleme, model bağımsız inceleme. Bu çalıĢmada SM ötesi Higgs bağlaĢımlarının model bağımsız çerçevede efektif lagranjiyen tekniği ile incelenmesi ele alınmıĢtır. Efektif lagranjiyen tekniği ile SM bir düĢük enerji teorisi halini alır. Yani düĢük enerjilerde SM, yüksek enerjilerde SM ötesi fizik geçerlidir.
Foton-foton ve foton-proton çarpıĢmaları sonucu gerçekleĢen foton indüklü süreçler SM ötesi fiziği araĢtırmak, özelllikle de Higgs bozonunun foton içeren bağlaĢımlarını incelemek için oldukça elveriĢlidir. Higgs bozonları, SM‟de elektron, müon gibi fermiyonlar ile W ve Z bozonlarına kütle kazandırma mekanizmasında yeralırlar.
Dolaysıyla Higgs bozonunun SM ötesi bağlaĢımlarının incelenmesi, elektrozayıf simetri kırılması ve kütle üretimi mekanizmalarının test edilmesi açısından büyük öneme sahiptir.
2
Büyük Hadron ÇarpıĢtırıcısı (Large Hadron Collider) yüksek ıĢınlılık (L=1034cm-2s-1) ve yüksek enerjiye (E=14 TeV) sahip bir hadron çarpıĢtırıcısı olarak SM ötesi fizik ile ilgili çok zengin istatistiklere ulaĢabilmektedir. Özellikle 2007 yılından itibaren yine aynı Ģekilde bir hadron çarpıĢtırıcısı olan Fermilab Tevatron‟un CDF gurubu tarafından foton indüklü reaksiyonların deneysel olarak gösterilmesi ile LHC‟nin de foton indüklü reaksiyonlarda kullanılabilme potansiyeli kesinlik kazanmıĢtır.
Higgs bozonunun ayar bozonları ile etkileĢme köĢelerine gelebilecek SM ötesi fiziğin muhtemel katkıları, sadece LHC‟nin değil aynı zamanda gelecekte kurulması planlanan birçok çarpıĢtırıcının da fizik programları içersinde yeralmaktadır. Bunlardan biri gelecekte kurulması düĢünülen 100 TeV‟lik proton-proton çarpıĢtırıcısı, diğeri ise doğrusal elektron-pozitron çarpıĢtırıcısı olan ILC (International Linear Collider) dir.
ILC‟deki foton indüklü reaksiyonların proton artığı içermemesi ve bundan dolayı proton-proton çarpıĢtırıcılarına göre daha temiz kanallar vermesi onu daha avantajlı hale getirmektedir.
Bu tez çalıĢmasında LHC ve 100 TeV‟lik proton-proton çarpıĢtırıcısında qHq ve ILC‟de eHe süreçleri incelenmiĢtir. ÇalıĢmanın son kısmında ise yeni bir süreç ele alınmıĢtır. 100 TeV‟lik p-p çarpıĢtırıcısında foton-foton füzyonu ile münhasıran (exclusive) Higgs bozonu üretimi incelenmiĢtir. Üretilen H bozonunun ɤɤ veya ɤZ bozonlarına bozunumu ele alınmıĢtır. Tüm bu süreçlerde gözlenen Higgs köĢelerine (HZ ve H) SM ötesinden gelebilecek katkılar etkin lagranjiyen metodu çerçevesinde çalıĢılmıĢtır. Elde edilen sonuçlar birbiri ile karĢılaĢtırılarak gelecekte kurulması planlanan çeĢitli çarpıĢtırıcıların fizik programlarına katkı sağlama potansiyelleri tartıĢılmıĢtır.
3 2. KURAMSAL TEMELLER
2.1 Temel Parçacıklar ve Temel Kuvvetler
Temel parçacıklar, bilinen hiçbir alt yapısı olmayan yani iç yapısını göremediğimiz parçacıklardır. Bu parçacıklar evreni oluĢturan maddelerin temel yapıtaĢıdır.
20.yüzyılın sonlarına doğru yapılan yüksek enerjili çarpıĢma deneylerinde birçok temel parçacık keĢfedildi. Temel parçacıkları açıklayan deneysel olarak ispatlanmıĢ teori Standart Model olarak bilinir. SM‟ye göre temel parçacıklar fermiyonlar ve bozonlar olmak üzere ikiye ayrılır.
Fermiyonlar, Fermi-Dirac istatistiğine uyarlar yani spini buçuklu olan ( ћ/2, 3ћ/2,...) olan parçacıklardır. Pauli dıĢarlama ilkesine uyarlar. Bozonlar ise Bose-Einstein istatistiğine uyan yani spini tamsayı olan (0, ћ , 2ћ ,...) parçacıklardır . Fermiyonlar antisimetrik dalga fonksiyonlarına, bozonlar ise simetrik dalga fonksiyonlarına sahiptir.
SM‟de iki tane temel fermiyon grubu mevcuttur. Bunlar kuarklar ve leptonlardır.
Kuark modeli Murray Gell Mann ve George Zweig tarafından birbirinden bağımsız olarak 1964 yılında ortaya atılmıĢtır. Spinleri ½ ve elektrik yükleri 2/3 veya -1/3 olan parçacıklar olup bilinen 6 çeĢni kuark (u,d,s,c,b,t) ve bunların antileri ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ) sözkonusudur. Kuarklar renk yükü, elektrik yükü, spin ve kütle gibi özelliklere sahip olduklarından dört temel kuvvetin (elektromanyetik, güçlü, zayıf, gravitasyon) tümüyle de etkileĢmeye girerler.
Üç kuarkın biraraya gelerek oluĢturduğu parçacıklara baryon denir. Proton ve nötron birer baryondur. Tüm baryonlar baryon sayısı denilen bir kuantum sayısına sahiptir ve baryon sayısının her süreçte korunumu sözkonusudur. Bir kuark ve bir antikuarktan oluĢan parçacıklara ise mezon denir.
4
Spin‟i 1/2 olan ve elektrik yükleri 0 veya -1 olan temel parçacıklara lepton denir.
Bilinen 6 lepton vardır. Bunlar elektron, elektron nötrino, müon, müon nötrino, tau ve tau nötrinodur. Elektrik yüksüz leptonlar olan nötrinolar yalnızca zayıf etkileĢmeye girerler. Yüklü leptonlar ise güçlü etkileĢme haricinde tüm etkileĢmelere girerler.
Temel parçacıklar arasındaki etkileĢmeler temel kuvvetler sayesinde gerçekleĢmektedir.
Evrendeki dört temel kuvvet Ģiddetlerine göre büyükten küçüğe doğru sırayla güçlü çekirdek kuvveti, elektromagnetik kuvvet, zayıf çekirdek kuvveti ve kütleçekim kuvvetidir. Bunlardan kütle çekimi dıĢındaki diğer üç kuvvet SM çerçevesinde birleĢtirilebilmektedir. Dört temel kuvvetin taĢıyıcı parçacıklarına ayar bozonları denir.
(Foton, gluon, W ve Z bozonları ve graviton). Kütle çekimi kuvvetinin taĢıyıcı parçacığı olan graviton henüz deneysel olarak gözlenememiĢtir.
Elektromagnetik kuvvet ve kütleçekim kuvvetinin taĢıyıcı parçacığı kütlesiz olduğundan sonsuz erimli, zayıf çekirdek kuvvetinin taĢıyıcı parçacığı kütleli olduğundan yalnızca çok kısa mesafelerde etkilidir. Gluonlar, güçlü kuvvetin taĢıyıcı parçacığı olup renk hapsi mekanizmasına sahiptirler. Bundan dolayı da güçlü kuvvet yine kısa mesafelidir.
Zayıf kuvvetin taĢıyıcıları vektör bozonlar olarak adlandırılan W ve Z bozonlarıdır. W bozonun spini 1, yükü ise ± e‟dir. Z bozonunun spini 1, elektrik yükü ise yoktur.
Ayrıca Z bozonunun kütlesi W bozonununkinden daha büyüktür. Zayıf ve elektromagnetik kuvvetler arasındaki iliĢki, 1960‟ larda Steven Weinberg ve Abdus Salam tarafından birbirinden bağımsız olarak geliĢtirildi. Kuram oluĢturulurken öncelikle bu iki kuvvetin taĢıyıcı parçacıkları tek bir ayar bozonu olarak birlikte düĢünülür daha sonra kendiliğinden simetri kırılması mekanizması yardımıyla zayıf kuvvetin taĢıyıcı parçacıkları olan W ve Z bozonları kütle kazanırken, elektromagnetik kuvvetin taĢıyıcı parçacığı olan foton kütlesiz kalır. Böylece elektrozayıf kuvvet ortaya çıkmıĢ olur.
Yukarda bahsedilen fiziksel olguların tümü çizelge 2.1-2.3‟te özetlenmiĢtir:
5
Çizelge 2.1 Elektrik yükleri, lepton sayıları ve kütlelerine göre leptonlar
Çizelge 2.2 Özelliklerine göre kuarklar
Kuarklar Elektrik
Yükleri S C B T Kütleleri
u 0 0 0 0 MeV
d 0 0
0 0 MeV
c 0 +1 0 0 1.27 0.03 GeV
s -1 0 0 0 MeV
t 0 0 0 +1 173.21±0.51 GeV
b 0 0 -1 0 GeV Leptonlar Elektrik Yükleri Lepton Sayıları Kütleleri
-
0,51 MeV
- 105,66 MeV
- 1777 MeV
-
-
- -
- -
6
Çizelge 2.3 Temel kuvvetler ve bu kuvvetlerin taĢıyıcı bozonları
Kuvvet Etkilenen
Parçacıklar Aracı Bozon Elektrik
Yükü Kütle
Güçlü Kuvvet Kuarklar Gluon (g) 0 0
Elektromagnetik Kuvvet
Yüklü
Parçacıklar Foton () 0 0 Zayıf Kuvvet Kuarklar ve
Leptonlar
W, Z bozonları
( ve 0
Kütleçekim
Kuvvet
Tüm kütleli
Parçacıklar Graviton 0 0
Son gözlenen bozon olan Higgs bozonunun ise elektrik yükü ve spini sıfır olup kütlesi 125 GeV‟dir. Kısaca h veya H ile gösterilir.
Temel parçacıklar arasındaki etkileĢmeleri incelemek için 1900‟lü yıllarda kuantum mekaniği teorisi öne sürülmüĢtür. Bir kuantum sisteminin uzaya ve zamana bağlı değiĢimini ifade eden Schrödinger denklemi Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger tarafından oluĢturulmuĢtur. Bu denklem, bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi verir fakat relativistik parçacıkları açıklamak için uygun değildir. Bundan dolayı relativistik parçacıkların sağlayacağı kuantum mekaniği denklemleri geliĢtirilmiĢtir.
2.2 Relativistik Kuantum Mekaniği Denklemleri
Schrödinger denklemi mikro düzeyde relativistik olmayan sistemleri baĢarı bir Ģekilde
açıklasa da relativistik parçacıkların hareketlerini iyi bir Ģekilde açıklayamaz. Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi,
⃗ = ⃗⃗⃗ ⃗ (2.1)
7
Ģeklinde ifade edilir. Görüldüğü gibi bu denklem relativistik kovaryant bir formda değildir. Denklemin sol tarafı 1.mertebeden türev içerirken sağ taraf konuma göre ikinci mertebeden türev içerir. Fakat relativistik bir denklem zamana ve konuma göre aynı mertebeden türevler içermelidir. Dolaysıyla relativistik parçacıklara da uyan denklem arayıĢlarına girilmiĢtir.
Parçacıkların spinine bağlı olarak birçok relativistik kuantum mekaniği denkleminden bahsetmek mümkündür.
2.2.1 Klein-Gordon Denklemi
Klein-Gordon denklemi ilk kez Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından 1926 yılında, spini sıfır olan parçacıkları tanımlamada kullanılmıĢtır. Bu denklemi elde etmek için enerji-momentum bağıntısından yola çıkılır:
⃗ (2.2)
Denk.(2.2)‟de enerji ve momentum ifadeleri yerine aĢağıdaki operator formları yazılarsa;
⃗⃗⃗⃗→ ⃗⃗⃗⃗ (2.3)
olur. Burada seçilirse Klein-Gordon denklemi aĢağıdaki forma dönüĢür:
(+ ) = 0 (2.4)
Burada ile gösterilen ifadeye D‟alambert iĢlemcisi denir ve = Ģeklinde ifade edilir. D‟alambert iĢlemcisi Lorentz dönüĢümleri altında invaryant yapıda olduğundan Klein-Gordon denklemi Lorentz değiĢmezdir.
8
Klein-Gordon denklemi için de olasılık yoğunluğu ve olasılık akısını hesaplamak için denklemi ve ϕ ile çarparsak;
=0 (2.5)
Ģeklinde süreklilik denklemi elde edilir. Burada olasılık akısı ;
⃗ ⃗⃗⃗ϕ- ϕ ⃗⃗⃗ (2.6)
olasılık yoğunluğu;
* ( ) ( ) + (2.7)
Ģeklindedir.
Görüldüğü üzere olasılık yoğunluğu hem pozitif hem negatif değerler alabilir. Bu problem 1934 yılında Pauli ve Weisskopf tarafından akısının önüne − e çarpanı konulup yük akım yoğunluğu olarak nitelenerek çözümlenmiĢtir. Böylece artık ρ hem pozitif hem negatif değerler alabilen yük yoğunluğudur.
Klein-Gordon denklemi için serbest parçacık çözümleri;
(2.8)
Ģeklinde ifade edilen düzlem dalgalardır. Bu çözümler denk.(2.4)‟de yerine yazılırsa bu çözümlere karĢılık gelen enerji özdeğerleri;
√| ⃗| (2.9)
9
Ģeklinde bulunur. Görüldüğü gibi çözümler hem pozitif enerjili hem de negatif enerjili durumları içermektedir. Negatif enerjili çözüm problemini 1950‟de Feynman ve Stülckberg, zamanda ters yönde ilerleyen parçacıklar veya eĢdeğer olarak zamanda ileri yönde ilerleyen pozitif enerjili karĢı parçacıklar olarak yorumladılar. Bu önemli yorum, doğada her parçacığa karĢılık bir de karĢı parçacığın (anti parçacık) bulunması gerektiği sonucunu doğurur. Böylece Feynman diyagramlarının da temeli atılmıĢ olur.
Negatif enerji yoğunluğu ve negatif enerji özdeğerleri problemlerinin üstesinden gelmek amacıyla 1927 yılında Dirac, bugün Dirac denklemi adıyla bildiğimiz, relativistik bir dalga denklemi ileri sürdü ve denkleme Dirac denklemi adını verdi.
2.2.2 Dirac Denklemi
1927 yılında Dirac tarafından, Klein-Gordon denklemindeki negatif olasılık yoğunluğu ve negatif enerji sorunlarını gidermek için ve ⃗⃗⃗ „ya göre çizgisel yapıda bir relativistik denklem önerilmiĢtir.
Dirac denklemini elde etmek için Schrödinger denkleminden yararlanılır:
i = H (2.10)
Dirac, denklemi düzenlemek için Hamiltoniyeni Ģu Ģekilde yazmıĢtır:
H= ⃗⃗⃗ ⃗ +m = -i ⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗ +m (2.11)
Böylece denklem aĢağıdaki halini alır:
10
( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (2.12)
Burada ⃗⃗⃗ = ( ) olmak üzere ve matris, ise sütun vektördür. Bu denklemin göreli olarak Klein-Gordon denklemine benzemesi için (i ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
) terimi ile çarpılmalıdır.
* ∑ ∑( ) ∑( )
+
(2.13)
Denklemin Klein-Gordon denklemini sağlaması için aĢağıdaki Ģartları sağlaması gerekir:
= 2
= 0
= =1 (2.14)
Görüldüğü gibi ve katsayıları sıra değiĢtirmediklerinden matristirler. Ayrıca hamiltonyenin hermitsel olmasından ötürü ve da hermitseldir. Bu koĢullara uyan en küçük mertebeli matrisler ise 4x4 „lük matrislerdir. Bu matrisler 2x2‟lik Pauli spin matrisleri ve birim matris cinsinden ifade edilebilir. ve matrislerinin yazılmasında farklı temsiller mevcuttur. Bunlardan birincisi Dirac-Pauli temsili olmak üzere aĢağıdaki gibi ifade edilir:
⃗⃗⃗ =* ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + =* + (2.15)
Burada ⃗⃗⃗⃗‟lar Pauli spin ve I birim matris olmak üzere aĢağıdaki gibi ifade edilirler:
= *
+ , = * + , = *
+ , I= *
+ , (2.16)
11
Bir diğer temsil ise Weyl temsili olmak üzere aĢağıdaki gibi ifade edilir:
⃗⃗⃗ =* ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + , =* + (2.17)
( 2.12) denklemini soldan ile çarparsak
( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) (2.18)
=1 olduğundan;
( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) (2.19
yazılabilir. Böyle bir denklemi aĢağıdaki gibi Lorentz kovaryant formda yazmak mümkündür:
(i = 0 (2.20)
Burada ‟ler aĢağıdaki gibi tanımlanan 4x4‟lük Dirac matrisleridir.
( , ⃗⃗⃗ ) (2.21)
Dirac matrisleri Pauli-Dirac temsilinde;
* + , ⃗ * ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + (2.22)
Weyl temsilinde ise;
* + , ⃗ * ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ + (2.23)
Ģeklinde tanımlanırlar.
12
Standart temsil olarak adlandırılan Pauli-Dirac temsili ve Weyl temsili birbirlerine;
, S = √ * + (2.24)
Ģeklindeki üniter dönüĢümle bağlıdırlar.
Dirac matrisleri parçacık fiziğinde oldukça kullanıĢlı matrisler olup aĢağıdaki özellikleri sağlarlar:
{ ; *
+
Tr[ =
, , (2.25)
Ayrıca Dirac matrisleri kullanılarak bazı tanımlar da yapılabilir:
( )
{ 0 (2.26)
matrisinin Weyl temsilindeki açık formu aĢağıdaki gibidir:
* + (2.27)
Dirac denkleminin serbest çözümleri;
13
= (2.28)
Ģeklindedir. Burada parçacığın spin bilgisini içeren 4x1 formunda sütun matrislerdir. Dirac denkleminin serbest çözümlerini bulmak için bu matrislerin belirlenmesi gerekir. (2.28) eĢitliği Dirac denkleminde yerine yazılırsa;
(2.29)
denklemi elde edilir.
özvektörlerini bulmak için aĢağıdaki özdeğer denklemini kullanalım:
HU= ⃗⃗⃗ ⃗ +m)U= EU (2.30)
Parçacığın durgun olduğu durumda ( ⃗ Pauli-Dirac temsili dikkate alındığında;
* + (2.31)
olur. Buradan özdeğerler E=m, m, -m, -m ; özvektörler ise:
( ) , ( ) , ( ) ( ) (2.32)
Ģeklindedir. Bu çözümlerden ilk ikisi E>0 durumundaki parçacıkları, son ikisi ise E<0 olan parçacıkları tanımlar.
Parçacık hareketli iken ( ⃗ ;
[ ⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗ ⃗ ] ( ) ( ) (2.33)
14 Buna göre;
⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗ ⃗ (2.34)
yazılabilir.
E>0 çözümleri için alınıp ‟ler aĢağıdaki gibi tanımlanırsa;
( ) , ( ) (2.35)
Buna göre;
⃗⃗⃗ ⃗
(2.36) olduğu görülür. Böylece pozitif enerjili (E çözüm asağıdaki gibidir:
(
⃗⃗⃗ ⃗
) (s = 1,2) (2.37)
Burada N normalizasyon katsayısı olup aĢağıdaki normalizasyon koĢulundan bulunabilir:
(2.38)
Diğer taraftan alınırsa;
⃗⃗⃗ ⃗
(2.39)
15
olur. Böylece negatif enerjili (E çözüm asağıdaki gibidir:
(
⃗⃗⃗ ⃗
| |
) (s = 1,2) (2.40)
Buna göre standart temsilde Dirac denkleminin parçacık için serbest çözümleri ;
√ (
)
, √ (
)
(2.41)
antiparçacık için serbest çözümleri ise;
√ (
)
, √ (
)
(2.42)
Dirac denklemi eylem ilkesinden de elde edilebilir. Dirac lagranjiyeni;
̅ -m ̅ (2.43)
Ģeklinde tanımlanır. Bu ifade aĢağıdaki (2.44) denkleminde yerine yazılarak Dirac denklemi elde edilebilir:
̅ ( ̅ ) = 0 (2.44)
2.2.3 Maxwell Denklemi
Ġskoç fizikçi ve matematikçi James Clerk Maxwell tarafından oluĢturulan ve kütlesiz, spin-1 parçacıklar olan fotonun sağladığı denklemlerdir. Kavramsal olarak Maxwell
16
denklemleri elektrik ve manyetik alanların yükler ve akımlar tarafından nasıl değiĢtirildiği ve üretildiğni tanımlamaktadır.
Maxwell denklemlerinin türev ifadeleri aĢağıdaki gibidir:
⃗⃗⃗ ⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (2.45)
Maxwell denklemlerini relativistik formda yazmak için elektromagnetik alan tensöründen yararlanılır:
[
] (2.46)
Buna göre alan tensörünün bileĢenleri ve (i,j=1,2,3) Ģeklinde tanımlanabilir. Böylece Homojen Maxwell denklemleri antisimetrik yapıdaki elektromagnetik alan tensörü cinsinden aĢağıdaki gibi ifade edilir:
- (2.47)
Buradaki dörtlü vektör potansiyel olmak üzere aĢağıdaki gibi tanımlanır;
⃗) (2.48)
Homojen olmayan Maxwell denklemleri aĢağıdaki gibi ifade edilir;
(2.49)
17
Buradaki dörtlü akım yoğunluğudur. Buna göre (2.47) ve (2.49) denklemleri gözönünde bulundurularak aĢağıdaki ifade elde edilebilir:
( ) (2.50)
Bu denklem ayar dönüĢümü altında invaryant yapıda değildir. Lorentz ayarının seçilmesi ile (2.50) denklemi boĢlukta aĢağıdaki gibi ifade edilir:
(2.51)
, foton alanı olarak düĢünüldüğünde (2.51) denklemi boĢlukta foton alanının hareket denklemidir. Foton kütlesiz ve spini 1 olan bir parçacık olduğundan yalnızca iki serbest- lik derecesi vardır. Fakat için sadece Lorenz ayarı seçildiğinden, bu alan üç serbestlik derecesine sahiptir. Bu problem, Coulomb ayarı yada ıĢıma ayarı olarak bilinen aĢağıdaki ayar koĢulunun seçilmesi ile ortadan kaldırılır:
, ⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗ = 0 (2.52)
Foton alanı için lagranjiyen aĢağıdaki gibi ifade edilir:
(2.53)
Bu ifade Euler-Lagrange denkleminde yerine yazılıp Lorenz koĢulu uygulanarak (2.51) denklemi elde edilir.
2.2.4 Proca Denklemi
Kütleli ve spini 1 olan parçacıklar için yazılan denklemdir. Proca denklemi;
; - (2.54)
18
Buradaki Proca alanıdır. Görüldüğü gibi Proca denklemi, Maxwell denklemlerinin kütleli halidir. Denklemin diverjansı alınırsa;
(2.55)
ifadesi elde edilir. Proca denklemi kütleli alanlar için yazıldığından olması gerekir. Buna göre Proca denklemi, Lorenz ayar koĢulunu kendiliğinden sağlamaktadır. „nün tanımından yola çıkılarak Proca denklemi açıkça ‟ye bağlı olarak ifade edilebilir:
(2.56)
Görüldüğü gibi, Proca alanı Klein-Gordon denklemine oldukça benzer bir denklemi sağlamaktadır.
Proca lagranjiyeni aĢağıdaki gibi ifade edilir:
(2.57)
Bu ifade Euler-Lagrange denkleminde yazılarak Proca denklemi elde edilir. Bu ifadedeki nün reel olduğu durum nötral spin-1 alanlara karĢı gelmektedir. Yüklü alanlar için alanı kompleks olduğundan kütle terimi Ģekinde ifade edilmelidir.
2.3 Standart Model Ve Yeni Fizik
Atomaltı parçacıkların yarı ömürleri çok kısa olduğundan normal koĢullarda gözlemlenemezler. Bundan dolayı, parçacık hızlandırıcılarında, yüksek elektriksel alan etkisi ile hızlandırılmıĢ parçacıkların manyetik alan etkisi ile odaklanarak çarpıĢtırılması ile ortaya çıkan farklı parçacıklar incelenebilir hale getirilmeye çalıĢılır. Bu deneylerin
19
yapılmasında gereksinim duyulan enerji miktarlarının çok büyük olmasından dolayı parçacık fiziği yüksek enerji fiziği olarak da adlandırılır.
SM, yüksek enerji fiziğinde temel parçacıkları ve bu parçacıkların arasındaki etkileĢimleri açıklayan en güncel kuramdır. SM, Weinberg-Salam tarafından geliĢtirildiği için nadiren, Weinberg-Salam modeli de denir. SM‟nin en büyük baĢarısı iki temel kuvvet olan elektromagnetik kuvvet ve zayıf kuvveti elektrozayıf kuvvet olarak birleĢtirmesidir. Güçlü kuvvet ise ayar değiĢmezliğiyle teoriye dahil edilmeye çalıĢılsa da baĢarısız olunmuĢtur. Öte yandan kütleçekimi kuvveti de bu çerçevede henüz diğer kuvvetlerden ayrık bir durumda bulunmaktadır.
SM‟nin inĢasında kullanılan temel teori kuantum alan teorisidir. Kuantum alan teorisinde parçacıklar kuantumlu alan denilen operatörler ile temsil edilir. Parçacıkların
serbest hareketleri ve diğer parçacıklarla olan etkileĢmelerini betimleyen nicelik lagrange yoğunluğudur. Bir Lorentz değiĢmezi olan lagrange yoğunluğu bu çalıĢmada lagranjiyen olarak adlandırılacaktır. Parçacıkların hareket denklemlerini elde etmek için lagranjiyen için yazılan eyleme varyasyon ilkesi uygulanır.
∫ , δS=0 (2.58)
( ) = 0 (2.59)
Kuantum alan teorisi, parçacıkların etkileĢme lagranjiyenlerini elde etmek için yeterli değildir. Bunun için, SM‟nin temeli olan ayar teorileri kullanılmaktadır. Buradaki temel düĢünce, yapılan belli dönüĢümler altında lagranjiyenin değiĢmez kalmasıdır. Ayar dönüĢümleri lokal ve global olmak üzere ikiye ayrılır: Belirli bir uzay ve zaman noktasına bağlı olmayan dönüĢümlere global ayar dönüĢümleri denir ve bir alanı için aĢağıdaki Ģekilde ifade edilir:
20
, (2.60)
Burada bir parametre ve T ayar grubunun üreticisidir. Belirli bir uzay ve zaman noktasına bağlı olan dönüĢümlere ise yerel ayar dönüĢümleri denir.
(2.61)
Ayar dönüĢümleri altında lagranjiyenin invaryant olması, bu sistemin belli bir simetriye sahip olduğu anlamına gelmektedir. Bu durum Noether teoremi ile açıklanmaktadır. Bu teoreme göre,bir fiziksel sistemde her sürekli düzgün simetrinin oluĢturacağı etkiye iliĢkin korunan bir nicelik sözkonusudur. Buna göre, global ayar simetrisi yük korunum yasasını doğurur. Örneğin; global ayar simetrisi sonucu elektrik yükü korunumu, global ayar simetrisi sonucu hiperyükün ve zayıf izospinin korunumu (Y “hiperyük‟‟ ve L “sol” anlamına gelir), global ayar simetrisi sonucu renk yükü korunumu (C “renk‟‟anlamına gelir) sözkonusudur.
Yerel ayar simetrisi ise gözlemlenebilir kuvvetlerin varlığını doğurur. Örneğin; elektrik yükü elektromagnetik kuvvetin kaynağı, zayıf izospin ve hiperyük elektrozayıf kuvvetin kaynağı, renk yükleri kuvvetli etkileĢmenin kaynağıdır. Gravitasyonel etkileĢmelerin taĢıyıcı bozonu olan graviton ise henüz gözlenememiĢtir.
SM bir ayar teorisidir. Elektromagnetik ve zayıf kuvvetlerin birleĢtirilmesi ile oluĢan elektrozayıf kuvvet yerel ayar simetrisi ile modele dahil edilir. Güçlü etkileĢmeler için ise ayar grubu „dir. Buna göre SM‟nin temel ayar grubu
Ģeklindedir.
2.3.1 Elektrozayıf EtkileĢmeler Ġçin Standart Model
Bu ayar modeli, kuvvet taĢıyıcı vektör bozonları olan bozonlarını,üç kuark ve üç lepton ailesi, skaler bir bozon olan Higgs bozonunu içerir. Modelde sağ-elli fermiyonlar singletler, sol-elli fermiyonlar ise dubletler ile gösterilmektedir.
21 Çizelge 2.4 Ailelerine göre kuark ve leptonlar
1. Aile 2. Aile 3. Aile
Leptonlar
( ) ( ) ( )
Kuarklar
( ) ( ) ( )
Bu modelde skaler bozon bir izospin dubleti olarak aĢağıdaki gibi gösterilir:
Φ =( ) (2.62)
Burada ve sırayla yüklü ve yüksüz skaler alanı gösterir.
Elektrozayıf etkileĢmelerin ayar grubu ‟dir. Tüm alanlar ayar dönüĢümü altında dönüĢürken yalnızca sol elli fermiyonların oluĢturduğu dubletler ile skaler bozonlar ayar dönüĢümü altında dönüĢür. Çünkü sağ elli fermiyonlar izospin yükü taĢımazlar yani izospin uzayında birer singlettirler.
Herhangi bir fiziksel süreçte baryon sayısı B ve lepton sayıları ayrı ayrı korunmalıdır. Herhangi bir baryonun yada mezonun yükü izospinin üçünçü bileĢeni , acayiplik sayısı S ve baryon sayısı B‟ye bağlıdır. Yük ve B tüm etkileĢmelerde, S ise sa-
dece güçlü ve elektromagnetik etkileĢmelerde korunur. ise S‟ nin korunduğu etkileĢmelerde, yani güçlü ve elektromagnetik etkileĢmelerde korunmalıdır.
22
Y zayıf hiperyük olmak üzere, Y = B + S olarak tanımlanır. Zayıf izospin, hiper yük ve elektrik yükü birbirine ünlü Gell-Mann –Nishijima formülü ile bağlıdır;
(2.63)
Çizelge 2.5 Temel fermiyon ve skaler bozon alanlarının özellikleri
Y Q
( ) (
) -1
( )
0 0 -2 -1
( ) (
) (
) 0 0 0 0
( ) (
) +1
( )
Çizelgede 2.5‟deki sağ elli ve sol elli parçacıklar matrisi kullanılarak aĢağıdaki gibi ifade edilir:
(2.64)
(2.65)
Elektrozayıf teori için 1.aile fermiyonlarına ait lagranjiyen ifadesi aĢağıdaki gibidir;
(2.66)
23
(2.66) denklemindeki her bir terim Ģu Ģekilde verilir:
+i ̅ (2.67)
+i ̅ ̅ (2.68)
( )( (2.69)
- ( ̅ ) ( ̅ ) - ( ̅ )
(2.70)
Burada lepton kinetik terimi, kuark kinetik terimi, skaler bozonların kinetik ve potansiyel terimi ve son olarak Yukawa terimini göstermektedir. Dikkat edilirse 1.
aile için yazılan lagranjiyende m ̅ Ģeklindeki kütle terimi yeralmaz. Çünkü bu terim global ayar simetrisi ve yerel ayar simetrisini bozar. (2.67)‟de yazılan lagranjiyen global ayar simetrisini sağlarken lokal ayar simetrisini sağlamaz. Skaler bozonlar ve fermiyonlar için yerel ayar dönüĢümleri aĢağıdaki gibidir:
-i ⃗ ⃗⃗⃗ exp( ) ; (2.71)
(2.66) denklemi ile verilen lagranjiyene (2.71) ile verilen dönüĢüm uygulanırsa kısmi türevlerden kaynaklanan ek terimler ortaya çıkar. Buna göre, lagranjiyene lokal ayar değiĢmezliğini kazandırmak için kısmi türevleri, kovaryant türevleri ile yerdeğiĢtirmelidir.
kovaryant türevleri , ve alanları için;
⃗ ⃗ + 2.72)
24 Ģeklinde, ve alanları için ise;
+ (2.73)
Ģeklinde tanımlanır.
(2.72) ve (2.73) denklemlerinde yer alan ⃗ ve ifadeleri ayar alanlarıdır. Bu ayar alanları kovaryant türevin içersine, lokal ayar değiĢmezliğini sağlamak için konulmuĢtur. Fiziksel olmayan bu alanlar lokal ayar dönüĢümleri altında aĢağıdaki gibi dönüĢürler:
⃗ ⃗ + ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ x ⃗ (2.74)
+ (2.75)
⃗ ve alanlarının kinetik terimleri de lagranjiyene eklenmelidir fakat bu alanların kütle terimleri ⃗ ⃗ ve biçiminde olup lokal ayar simetrisini bozmaktadır.
Bundan dolayı bu alanların kütle terimleri lagranjiyene yazılmaz. ⃗ ve alanlarının kinetik terimleri aĢağıda tanımlanan lagranjiyen ile verilir:
= ⃗ ⃗ (2.76)
(2.77)
⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (2.78)
ve ⃗ tensörleri için lokal ayar dönüĢümleri aĢağıdaki gibidir:
→ (2.79)
25
⃗ → ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ (2.80)
Buna göre tüm dönüĢümler sonucu 1. aile fermiyonları için lokal ayar değiĢmezliğini sağlayan lagranjiyen ifadesi;
D +i ̅ D + D +i ̅ D ̅ D D D
(2.81)
biçiminde yazılır. Dikkat edilirse bu lagranjiyen lepton, kuark ve ayar bozonlarının kütle terimlerini içermemektedir. Bu duruma çözüm bulmak için kendiliğinden simetri kırılması ve Higgs mekanizmasından yararlanılır. Higgs mekanizmasına göre tüm vakum Higgs alanıyla dolu olup parçacıkların bu alanla etkileĢmesi sonucu kütle kazandıkları kabul edilir. Higgs alanı için yazılan lagranjiyenindeki potansiyel terimini ele alalım:
(2.82)
Denklemdeki ‟li terim Klein-Gordon denklemindeki kütle terimine benzer fakat onun zıt iĢaretlisidir. Buradaki λ‟lı terim ise skaler alanın kendisiyle olan dörtlü etkileĢmesidir. Ayrıca ile gösterilen alanlar, kompleks skaler alanların SU(2) dubletleri olup aĢağıdaki gibi ifade edilmektedir:
Φ =( ) = √ (
) (2.83)
potansiyelinin minimum olduğu değerleri bulalım:
( )
= 0 ; (2.84)
Potansiyelin minimumu aĢağıda verilen hiperküre yüzey denklemi üzerindedir:
26
(2.85)
ġekil 2.1 Potansiyelin skaler alanlara göre grafiği
ġekil 2.1‟den anlaĢıldığı üzere potansiyelin taban durumu dejeneredir. Bu dejenereliği ortadan kaldırmak için taban durumlarından herhangi birini;
√ (2.86) Ģeklinde seçeriz. Kuantum alan teorisinde taban durumu;
⟨ | | ⟩ √ ( ) (2.87)
Ģeklinde ifade edilir. Böylece yapılan seçimle birlikte vakumun simetrisi kırılır fakat simetrisi kalır. Simetri kırılması herhangi bir dıĢ etki olmaksızın gerçekleĢtiğinden „kendiliğinden simetri kırılması‟ olarak nitelendirilir.
Pertürbasyon teorisine göre, fiziksel alanlar taban durumu üzerindeki tedirgenmeler olarak düĢünüldüğü için buradaki fiziksel beklenti vakum durumunun beklenen değerinin sıfır olması gerekliliğidir. Bu durum (2.87) denklemi ile çeliĢtiği için buradan
ve alanlarının fiziksel olmadığı sonucu ortaya çıkar.
27
Buna göre ‟yi fiziksel alanlar olarak kabul edilen ⃗ ve H alanları cinsinden yeniden tanımlayalım:
⃗ ⃗⃗ (
√
) (2.88)
Buna göre potansiyelin minimum olduğu taban durumu, ⃗ ve H fiziksel alanlarının vakum beklenen değerlerinin sıfır olduğu durumdur.
⟨ | | ⟩ ⟨ | | ⟩ (2.89)
Burada tanımlanan H‟ye Higgs bozonu, ⃗ „ye ise Goldstone bozonları denir. Bir fiziksel sistemin serbestlik derecesi yapılan dönüĢümler neticesinde mutlaka sabit kalmalıdır.
Elektromagnetik kuvvet uzun menzilli olduğundan aracı bozonu olan foton kütlesizdir.
Bununla birlikte zayıf kuvvet kısa menzilli olduğundan aracı bozonları kütlelidir.
Dolaysıyla ayar bozonlarından üçü kütleli olmalıdır. Bu da sistemin serbestlik derecesini üç arttırır. Lagranjiyenin serbestlik derecesini sabit bırakacak yeni bir ayar seçimi;
⃗⃗⃗ ⃗(x) , (x) = 0 (2.90)
olmak üzere alanlar üzerindeki ayar dönüĢümü
-i ⃗ ⃗⃗⃗ exp( ) ; (2.91)
Ģeklinde yapılsın. OluĢturulan bu ayar seçimine üniter ayar denir. Ayar seçimi sonucu ayar bozonları kütle kazanırken kütlesiz olan Goldstone bozonları yok olur.
28
Üniter ayar seçimi ile birlikte skaler alanı aĢağıdaki formda yazılır:
(
√
) (2.92)
Üniter ayar seçimi sonrası alanlar genellikle “ „ ” üst indisi ile gösterilir. Ancak bundan sonraki ifadelerde bu indis kullanılmayacak ve alanlar, üniter ayar seçimi sonrası alanlar anlamında olacaktır.
Üniter ayar seçimi yapılıktan sonra skaler bozonların kinetik terimi aĢağıdaki biçimi alır:
( )( = ( ) [ ⃗ ⃗ ( ) ]
(2.93)
Bu ifadede yer alan bozon alanları olan (i=1, 2, 3) ve fiziksel alanlar değillerdir.
Fiziksel alanlar, bu alanların bir karıĢımı olup aĢağıdaki gibi ifade edilmektedir:
√ (2.94)
√ (2.95)
= (2.96)
= (2.97)
Bu bağıntılardaki ve ifadeleri aĢağıdaki gibi verilir:
29 =
√
(2.98)
=
√
(2.99)
Buradaki Weinberg açısı olup değeri arcsin(√ )‟dir. , ve fiziksel alanları zayıf kuvvetin ara bozonları olan ve Z bozonlarına karĢılık
gelirken, fiziksel alanı ise elektromagnetik kuvvetin ara bozonu olan fotona karĢılık gelir. Bu fiziksel alanların (2.93) denkleminde yerine yazılmasıyla aĢağıdaki bağıntı elde edilir:
( )( = ( ) ( ) ( √ )
( ) (2.100)
Bu bağıntıdan ayar alanlarının kütleleri açık bir Ģekilde;
, √ , (2.101)
olarak görülür.
(2.100) ifadesi hem ve Z bozonlarının kütle terimlerini içerir, hem de Higgs bozonunun bu bozonlar ile etkileĢmelerini içerir.
30
ġekil 2.2 Higgs bozonunun W ve Z bozonları ile olan etkileĢmeleri
Üniter ayar seçimi ile skaler bozonların potansiyel terimi de değiĢir;
+ (2.102)
Görüldüğü gibi bu potansiyel ifadesi, skaler Higgs bozonunun kütlesini ve kendi kendisiyle olan üçlü ve dörtlü etkileĢmelerini içermektedir. Higgs bozonunun kendisi ile olan etkileĢmeleri Ģekil 2.3‟de gösterilmektedir.
Skaler Klein-Gordon lagranjiyeni göz önünde bulundurularak Higgs bozonu için kütle terimi ifadesi (2.102) denkleminden aĢağıdaki gibi bulunur:
√ (2.103)
ġekil 2.3 Üçlü ve dörtlü Higgs bozonu bağlaĢımı
31
ġimdi de ayar bozonlarının kinetik terimini yani ayar bozonlarının birbirleriyle olan üçlü ve dörtlü etkileĢmelerini ele alalım:
= (2.104)
= (2.105)
= (2.106)
= (2.107)
Burada,
- , (2.108)
biçiminde ifade edilir.
(2.104)‟deki lagranjiyen ifadesi fiziksel alanlar olarak bilinen , ve cinsinden yazılmalıdır. Bu alanlar için tanımlanan alan tensörleri aĢağıdaki gibidir:
(2.109)
(2.110)
(2.111)
Buna göre bu tanımlarla birlikte (2.104) denklemindeki ve lagranjiyenleri aĢağıdaki gibi yazılabilir:
(2.112)
32
( (
(2.113)
( )
(2.114)
1. lepton ve kuark ailesi için yazılan lagranjiyeni tüm aileleri kapsayacak genelleĢtirmek gerekirse, kendiliğinden simetri kırılması ve üniter ayar seçimi sonrası üç lepton ve üç kuark ailesi için kinetik terim ifadesi aĢağıdaki gibidir:
(2.115)
∑
∑
√ ( ) ( )
(
√
) ( ) √ ( ) ( )
√ ( ) ( ) (2.116)
( )
( )
√ ( ) ( )
(
√
) ( ) ( ) (
√
) ( ) ( )
√ ( ) *( ) + ( )
33
√ ( ) *( ) + ( ) (2.117)
Burada h.c. solundaki terimin hermitsel eĢleniği anlamına gelmektedir. “L”veya “R” alt
indisi olmayan fermiyon alanları, hem sol hem de sağ elli durumları taĢımaktadır.
lagranjiyeni temel lepton ve kuarkların kinetik terimlerini ve bu alanların ayar alanları ile olan etkileĢmelerini kapsamaktadır. Görüldüğü gibi, bozonları sadece sol elli fermiyonlarla etkileĢirken, Z ve A bozonları hem sol hem de sağ elli fermiyonlar ile etkileĢir. Aynı zamanda lagranjiyen çeĢni değiĢtiren yüksüz akımları içermemektedir. Bunun dıĢında, farklı kuark aileleri arasındaki etkileĢmeler yoktur. Bu durumun nedeni ise kuarkların kütle özdurumlarında değil de zayıf özdurumlarda bulunmalarıdır.
Buna göre, daha önce yazılan tek aileli durum Yukawa lagranjiyenini üç aileli duruma genelleĢtirirsek,
( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
34
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
( ̅ ) ( ̅ ) ( ̅ )
(2.118)
(2.118) denkleminden görüldüğü üzere, farklı lepton aileleri arası çapraz terimler bulunmamaktadır. Nedeni ise bu durumun, lepton sayısının korunum yasasına aykırı olmasıdır. Kuarklarda ise bu türden bir korunum yasası sözkonusu olmadığından lagranjiyen ifadesinde farklı kuark aileleri arası karıĢımlar yani çapraz terimler mevcuttur. Bahsedilen çapraz terimlere örnek olarak;
( ̅ ) √ ̅ √ ̅ √ ̅ √ ̅
(2.119)
terimi verilebilir. Burada birinci ve ikinci terim farklı iki ailedeki d ve s kuarkın birbirine dönüĢümünü, üçüncü ve dördüncü terimler ise d ve s kuarkın Higgs bozonu ile etkileĢmesi sonucu birbirine dönüĢümünü göstermektedir.
Bu etkileĢmeler fiziksel olarak anlamsızdır. Bunun esas nedeni ise, bu lagranjiyende kuarkların kütle özdurumlarında bulunmamasıdır. Kuarklar için Yukawa lagranjiyeni;
√ [( ) ̃ ( ) ( ) ( )] (2.220)
Buradaki ̃ ve matrisleri köĢegen formda olmayan kuark kütle matrisleridir:
35
̃ ̃ *
+ *
+ (2.221)
Bu matrisler köĢegenleĢtirilerek kütle özdurumlarına geçilebilir. Böylece Yukawa lagranjiyenindeki fiziksel olarak anlamsız olan terimlerden kurtulabilmek mümkün hale gelir.
Kompleks elemanlı köĢegen olmayan herhangi bir M matrisi, S ve T gibi iki üniter matrisle Ģöyle köĢegenleĢtirilebilir:
; S,T: üniter matrisler (2.222)
Kütle matrisleri, kuark sektörlerine göre değiĢtiği için bunların köĢegenleĢtirme matrisleri de farklıdır. Buna göre üniter dönüĢüm matrisleri ve Ģeklinde gösterilir.
KöĢegenleĢtirmeden sonraki lagranjiyen ifadesi aĢağıdaki gibidir:
√ [( ) ̃ ( )
( ) ( )]
(2.223) Buna göre kuark alanları için kütle özdurumları;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(2.224)
36
Kütle özdurumlarına geçiĢ yapıldığında, kuark alanları için kütle terimleri ve bu alanların Higgs bozonuyla etkileĢme terimleri gelmektedir.
Kütle özdurumlarına geçildiğinde elektromagnetik ve nötral akım etkileĢmeleri değiĢmez kalır. Fakat yüklü kuark akımlarının ayar bozonu W ile olan etkileĢmeleri, farklı kuark sektörlerini içerdiğinden, kütle özdurumlarına geçildiğinde bu terimler değiĢirler:
√ ̅ ̅ ̅ ( ) . (2.225)
Bu ifadedeki ve matrisleri farklı kuark ailelerine ait oldukları için;
(2.226)
durumu sözkonusudur. ifadesine Cabibbo-Kobayashi-Maskawa matrisi denir ve kısaca CKM ile gösterilir. Bu matris sayesinde farklı ailelerde yer alan kuarklar birbirlerine karıĢmıĢ olurlar:
( ) (
) ( ) (2.227)
CKM matrisi 3× 3‟lük bir matris olup elemanları kompleks değerlidir. Bu matris fiziksel beklentilere uygun olarak aĢağıdaki gibi yazılabilir:
(
) (2.228)
Burada ve , 1 3 Ģeklindedir.
