Kümeler- Alıştırma ve Problemlerin Çözümleri

Alıştırmalar ve Problemler – 2.1

1. a. – Ne kadar büyük?

Küme belirtmez.

b. Küme belirtir.

c. – Hangileri?

Küme belirtmez.

d. Belirttiği küme ’dir.

e. Hiçbir küme kendi kuvvet kümesini içer- mez. O hâlde, yazılabilecek hiçbir küme “bü- tün kümelerin kümesi” olamaz.

f. Küme belirtir.

2. a. 0 b. 1 c. 1 d. 3 e. 3 f. 3 g. 3 h. 5

3. a.  ,  b.  ,  c.  ,  d.  ,  e.  ,  f.  , 

4. a.   k ;  b b.   5 ;  1 c.   {3} ;  3 d.  

e.   1, 3, 4, 6 f.   c, d ;  a

5. ,

     

^{ , a ,}

 

^{a ,}



^{,a ,}

 

^{, a ,}

   

^{a a ,}

  



^{,a, a}

  

6. a. Yanlış b. Yanlış c. Doğru d. Doğru e. Yanlış f. Doğru g. Yanlış h. Doğru

7. ^A



a,b,c,d , B







b,c,d,e,f , C







c,d,e



8. a. b.

c. d.

9. a. Önce A   nin gerekli koşul olduğunu gösterelim :

A  A 

Hipoteze göre A   dir. Diğer taraftan A

  olduğundan A   olur.

( AB ve BA ise AB)

A    A   olduğunu gösterelim : A   ise, AA olduğundan A   olur.

O hâlde; A  A  teoremi ispat- lanmıştır.

b. “



^AB

 

^{ BC}



^



^AC



”  önerme- sinin niceleme mantığındaki karşılığı,

   

x, x A x B x B x C

         

^



^{xAxC}



 olup önermeler mantığındaki karşılığı,

     

 

pq  qr  pr  dir.

 önermesi ancak p1 ve r0 iken yanlış olabilir.

Bu durumda;  önermesi, q iken 1



^{1 1}

 

^{1 0}

 

^{1 0}



^{0 0 1}

        

  ;

q0 iken



^{1 0}

 

^{0 0}

 

^{1 0}



^{0 0 1}

        

  olup bir

totolojidir. O hâlde;

“^_



^AB

 

^{ BC}



^_^



^AC



^”

önermesi doğrudur.

A B

C 4

2 3 1 5

A B

C 1

4 2

5 3

6

A B

C a

b

d c

A B

C 3

6 5 2

1

4

10. a. 6 1 6

 

  

b. 6 6 5 2 2 1 15

  

 

  

  c. 6 6 5 4

3 3 2 1 20

   

 

   

 

d. 6 5 6

 

  

11. a. 2⁶64 b. 2⁶64 c. 2⁵32 d. Tüm alt kümelerin sayısından, 3 ve 5’in bulunmadığı alt kümelerin sayısı çıkarılır.

2⁷2⁵128 32 96

e. Tüm alt kümelerin sayısından, 3 ve 5’in birlikte bulunduğu alt kümelerin sayısı çıkarılır.

2⁷2⁵96

f. 2’nin bulunduğu, 3 ve 5’in bulunmadığı alt kümelerin sayısı 2⁴; 2’nin bulunmadığı, 3 ve 5’in bulunduğu alt kümelerin sayısı 2⁴; hem 2’nin hem de 3 ve 5’in bulunduğu alt kümelerin sayısı

24 olup toplam sayı 3 2 ⁴48 dir.

12.



^a,b,c

 

^{ a,c,e}

  

^{ 2 b2 ;}

     

   

   

   

a,c,e c, d, e 4 c 4 ; a,b, c 2, 4,5 a 5 ; a,c,e 3, 4,5 e 3 ; c,d, e 1,3,5 d 1 bulunur.

   

  

  

  

13. a. 3 b. 10 c. 15

d. ⁿ 8

2 1 255 n 8 ; 28 2

      

 

14. K kümeleri, ^B



1,2,3,4,5,6,7



kümesinin 1 ve 2’yi bulunduran alt kümeleridir.

Bunların sayısı da 2⁵32 dir.

15. a. K kümeleri, ^C



1,2,3, 4,5,6,7,8,9



kümesi- nin 1, 2, 3, 4, 5 ve 6’yı bulunduran alt kümeleridir.

Bunların sayısı da 2³8 dir.

b. 2²4

16. ^{s A}

 

x dersek, s B

 

x 3 olur.

x x 3

x x x x

x x 3 4 x 7

2 3 2 80

2 3 2 80 8 2 3 2 8 80

8

5 2 8 80 2 2 2 2 2

x 7 bulunur.

   

         

        

 

17. a. A kümesinin iki elemanı 3 2 3

 

  

değişik

biçimde seçilebilir. Her seçim için 4 3 4

 

   değişik alt küme yazılacağından, istenen sayı

3 4 12 olur.

b. B kümesinin, A kümesinde elemanı bulun- mayan 5 elemanlı alt kümesi yoktur. A kümesinin bir elemanının bulunduğu alt kü- melerin sayısı 4

3 3

4

  

 

tür. A’nın iki elema- nının bulunduğu alt kümelerin sayısı 12 idi.

Buna göre, istenen sayı 12 3 15 olur.

c. A kümesinin iki elemanının bulunduğu alt kümelerin sayısı 4

2 6

 

  

dır.

Buna göre, A’nın en az iki elemanının bulunduğu alt kümelerin sayısı 12 6 18 olur.

d. B’nin 5 elemanlı tüm alt kümelerinde A’nın en az bir elemanı bulunur.

7 7 7 6

5 2 2 21

    

  

   

   

18. Küme n elemanlı olsun.

   

      

     

9

9

x

n n n 1 n 2

3 2 3 2 1 2

n 3 n n 1 n 2 n 3 n 4 3

5 4 3 2 1 5

5 4 2

n 3 n 4 6 5

n 3 n 4 3

n 9 bulunur.

9 9 9 9 9

.... 2

0 1 2 3 9

x 2 1 9 36 x 466

   

      

   

 

     

 

      

 

 

         

     

         

         

   





En az 3 elemanlı alt kümelerin sayısı 466 olur.

Alıştırmalar ve Problemler – 2.2

1. a.



2,3 b.

 

1,2,3,5,6 c.

 

^2,4



d.



1,4,5 e.

 

6,7,8,9 f.

 

0,1,2, 4,6,7,8,9



g. A C A C olduğunu görünüz.

^{A C }



^1,2,5,6



h.



3,5 i.

 

1,2,3,5 j.

  

^1,2

k.



1,2, 4 l.

  

1 m.



^3,4,5



n. BCC B olduğunu görünüz.

^{BC}

 

⁶

o.



0,7,8,9 p.

 

1,2, 4 r.

 

^{1,2, 4}



s.



0,7,8,9 t.

 

0,1,3,7,8,9 u.

 

^{1,3, 4,5}



2. a.



b,c b.

 

a,b,c,e c.

 

^a,d



d.



a,c,e e.

 

a,b,c f.

 

^a,b,c



g.



c,e h.

 

a,b,c i.

 

^a,b,c



j.

 

d k.

 

b l.

 

^d

m.



c,d,e n.

  

c o.



b,c,d p.

  

^c

3. a. b.

c. d.

e. f.

4. a. ^_



^AB

 

^{ AC}

 

^{ BC}



^_^



^ABC



b. ^_^A



^BC



^_^_^B



^AC



^_^_^C



^AB



^_

veya ^_



^{A B}



^C_^_^C



^AB



^_

c. ^_



^{A B}



^C_^



^ABC



d. ^_



^AC



^B_^



^AC



e. ^_



^AB



^C_^



^CA



f.



^AC



^B

g. ^_^A



^BC



^_^



^CA



h.



^BC

 

^{ CA}



i.



^AB

 

^{ C B}



j. ^_



^AC



^B_^_



^BC



^A_

5. a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

A B

C a

b d

e c

g f

A B

C

1 3 4

5 2

6

A B

C b

c d

a

e

A B

C 1

7 5

6 2

4 3

A B

C

b e

d c

f a

A B

C 5

8

7 3 4

6 2

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

k. l.

6. a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

k. l.

7. a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

k. l.

8. a.



a,b,c,d,e



b.



^{1,2,3, 4}



c.



^4,5



^d.



^b,d,f



9. a.



^b,c



^b.



1,2,3, 4,5,6



A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C C

A B

A B

C

A B

C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

10.



^AB

 

^{ BC}



^{kümesinin A}



^BC



kümesine eşit olduğunu görünüz.

 

^1,2

11.



^{A B}

 

^{ B C}



kümesinin



^AB

 

^{ BC}



kümesine eşit olduğunu görünüz.



a,b,c,d,e



12. a. ^A



^BC

 

^{ A B}

 

^{ AC}



^A



^BC

 

^{ b,c}



b. ^A



^BC

 

^{ A B}

 

^{ AC}



^A



^BC

 

^{ a,b,c,d}



c. Venn şemasından



^AB

 

^{ AC}

 

^{ A B}

 

^{ AC}

 

^{ a,d}



olduğunu görünüz.

13. a.



^{A  }

 

^AB



^A



^AB



^{A A}_ ^



^AB



^_

b.



^AB

 

^{ AE}

 

^{ AB}



^A

^{AB}_



^AB



^A_

c.



^{A  }

 

^AE



^{AAE}

d.



^AE

 

^{ AB}

 

^{ B }



 

A

A A B B A B

     



e. ^A



^AB



^{A f.}



^AB



^BB

14. Verilen ifadeleri, önce küme işlemlerinden yararlanarak sadeleştirelim :

a.



^AB

 

^{ AB}



^A



^BB



^{AE A}

b.



^AB

 

^{ AB}

 

^{ AB}



^_^A



^BB



^_^



^AB

 

^{ A  }

 

^AB



 AAB 

c.



^AB

 

^{ BC}



^{AB }_



^AB

 

^{ BC}



^_

d. ^A



^BA



^A



^BA



^A



^AB



A A 



AB





e. A



AB



A



AB



A



AB



^



^AA

 

^{ AB}



^{  }



^AB



^{ AB}

f.



^{A B}

 

^{ A B }



^{ABAB }

g.



^{A B}

 

^{ AB}

 

^{ AB}



^AB

^_



^AA

 

^{ AB}



^_^{BABBE}

E

h. ^_^A



^BA



^_^{B}_^A



^BA



^_^B

^



^AA

 

^{ AB}



^B



^AB



^B

^



^AB

 

^{ BB}

 

^{ AB}



^{ }

AB AB

i.



^AB

 

^{ AB}



^{A}_



^AA



^B_^A

^{  }



^B



^{ABA BA}

j. ^_^A



^AB



^_^



^AB



 

^



^{AAB}

 

^{ AB}



^{  }



^AB



^{ AB}

k. ^_^A



^AB



^_^_^A



^AB



^_

 



^{A A}

 

^{A B}

 

^{A A B}



A B

   

      

 

       AB

Venn şemasından yararlanarak sadeleş- tirmeyi, yalnız g.’deki ifade üzerinde yapa- cağız.

Diğerlerini, “Etkinlik-2.34” ten de yarar- lanarak siz yapınız.

g. A B  A B



^{A B}

 

^{ AB}



^{ E}

15. Taralı bölgenin,



^{A B}

 

^{A C}

 

^{A B}

 

^{A C}



        

   

olduğunu görünüz.



1,2,3, 4,5,6

 

 2,3, 4

 

 1,5,6



A B

C

A B

16. a.



^AC

 

^{ AB}



kümesinin elemanları, yalnız C kümesinin elemanlarıdır. O hâlde, en dar C kümesi,

 

C 5,6,7 olabilir.

b. En dar B kümesi, ^B

 

^1,2

en geniş A kümesi, ^A



^{3, 4}



^olur.

17.



^AB

 

^{ AB}



^{E ve}



^AB

 

^{ AB}



^A

olduğunu görünüz.

Buna göre;

^E



1,2,3,4,5,6,7,8,9 , A







1,3,5,7,9



 

ve A  2,4,6,8 olur.

18. Venn şemasından yararlanacağız :

AB ve AB kümeleri yazılır.



AB 



kümesinden yararlanarak B A

kümesi, B kümesinden yararlanarak A B kümesi yazılır. ^AB



^1,2,6,7,8



^olur.

19. a. ^{s A}



^B



en çok 15 olabilir.

b. ^{s A}



^B



en az 13 olabilir.

c. ^{s A}



^B



^{s A B}



^



^{s B}



^A



^{s A}



^B



^

ve ^{s A}



^B



^{s A}

 

^{s B}

 

^{s A}



^B



^{ dir.}

 ve  den

     

     

s A B s B A s A B

s A s B s A B

    

   

     

10 s A B 16 s A B s A B 3

        

bulunur. Bu değer  de yerine konulursa,

   

s AB 16 3 s AB 13 olur.

d. s(A) en çok 12 olabilir.

e. ^{s A}



^{ B}



^4

olur.

f. ^{s(A)3s A}



^B



8 x 3x

  

x 4

 

 

s AB 15 g. ^{s A}



^B



^16

4x 16 x 4 olur.

s(B) 7 dir.

 

 



h. s(B) en az 6 olabilir.

20. a. ^{s A}



^BC



^17

dir.

b. ^{s A}



^BC



^{x deyip}

AB, AC, BC kümelerinin eleman sayılarını dikkate alarak, bunların alt kümelerinin eleman sayılarını yazalım.

(Şekilde)

   

s ABC 2 ve s A 6 olduğundan, 2 3 x3xx6x2 olur.

Artık her alt kümenin eleman sayılarını yazabiliriz. (Şekilde) Buna göre,

 

s ABC 12 dir.

A B

5 6 7 C

A B

8 7

2 1 6 3 4 5

6 1 8

A B

5 7 1

A B

7 5 1

A B

2 3 4

A B

8 x 3

A B

3x3 3 x

A B

7 1 5

A B

2 3x 3x x 4x

A B

C

2 3

2

6

4

A B

C

2 1

1

1

3

A B

C

2 2

21. a. Taralı bölgeye karşılık gelen küme,

   

C A B A B C

      

    dir.

Bu da



7,3,4 olur.



b. Taralı bölgeye karşılık gelen küme,



^{A B}



^C



^{A B}



    

  dir.

Bu da,

 

1,2 olur.

22. a. ^C



^{x, y, z}



^olsun.



^2,3

 

^{ x, y, z}

 

^{ 1,3,5}

 

^{ x, y,z}



eşitliğinde x, y, z den biri 1, biri 2, biri 5 olmalıdır.

Buna göre, istenen C kümesi ^C



^1,2,5



^olur.

b. ^C



^{x, y, z}



^olsun.



^2,3

 

^{ x, y, z}

 

^{ 1,3,5}

 

^{ x, y,z}



eşitliğinde;

I. x, y, z nesneleri 1, 2, 3, 5’ten farklı nesneler olarak seçilebilir. Örneğin,

 

C 4,6,8 olabilir.

Bu durumda kesişim kümesi  olur.

II. x, y, z’den biri 3, diğerleri 1, 2 ve 5’ten farklı olarak seçilebilir. Örneğin, ^C



^{3, 4,6}



olabilir.

Bu durumda kesişim kümesi {3} olur.

c. ^C



^{x, y, z}



^olsun.



^2,3

 

^{ x, y,z}

 

^{ 1,3,5}

 

^{ x, y,z}



önermesinde x, y, z’den biri 2 olmalıdır. Diğerleri rastgele yazılabilir. Örneğin; ^C



^2,3,7



olabilir.

d. ^C



^{x, y, z}



^olsun.



^2,3

 

^{ x, y,z}

 

^{ 1,3,5}

 

^{ x, y,z}



önermesinde;

I. x, y, z nesneleri 1, 2, 3, 5’ten farklı seçilebilir.

Örneğin, ^C



^4,7,9



olabilir. Bu durumda önerme    biçiminde sağlanmış olur.

II. x, y, z den biri 1 ya da 5 olarak veya ikisi 1 ve 5 olarak seçilebilir. Örneğin;

 

 

 

1 2 3

C 1, 4,8 , C 5,7,9 , C 1,5,9 olabilir.







Bu durumda, önerme   K biçiminde sağlanmış olur.

III. x, y, z’den biri 3, diğerleri 2’den farklı her nesne olarak seçilebilir.

Örneğin, ^C



^{3, 4,5}



olabilir.

Bu durumda, önerme

  

^{3  3,5}



^biçi-

minde sağlanmış olur.

23. ^{s A}



^B



^{s A}



^B



^{s A B}



^



olduğunu görü- nüz. Buna göre,

     

s A B s A B s BA 30 10 20 dir.

     

3 s A B  4 s A B 2 s B A eşitliğinde

   

s A B 4k dersek, s BA 6k ve

 

s AB 3k olur.

 

4k6k20k2 olup s A B 8 ve

 

s AB 6 bulunur.

Buna göre, ^{s A}

 

^{8 6 14 tür.}

24. a. ^AB



^{x x400 ve x12k, kZ}



^olur.

(Neden?)

 

s AB 33 tür.

b. A B kümesi, 4’e bölünen ancak 6’ya bölünemeyen 400’den küçük doğal sayıların kümesidir.

4 ile bölünebilen, 400’den küçük doğal sayıların sayısından, hem 4’e hem 6’ya - 12’ye- bölünebilen doğal sayıların sayısını çıkaracağız.

Buna göre;

   

s A B  100 1 3366 olur.

c. B A kümesi, 6’ya bölünen ancak 4 ile bölünemeyen 400’den küçük doğal sayıların kümesi ile 400  x  600 aralığında olup 6 ile bölünebilen do-ğal sayıların kümesinin birleşimidir.

   

s BA 66 33  100 66

 

s B A 67

   dir. (Açıklayınız.) d. ^{s A}



^B



^{s A B}



^



^{s A}



^B



^{s B}



^A



 

 

s A B 66 33 67 s A B 166 dır.

    

  

400 12 33 4

400 4 0 100

400 12 4 33

25.



^AB

 

^{ AB}

 

^{ AA}

 

^{ BB}



^E

olduğundan, ^E



1,2,3,4,5,6,7



olur.

a. Yandaki Venn şemasına göre,

 

 

B A E A B

B A 4 olur.



   

  

AB

b. ^{A B E}



^AB



 

   

 

A B 1, 2 olup

A B A B B A

A B 1, 2, 4 bulunur.

  

    

  

A B

26. a. ^A



^BA



^A



^BA



A A B

B



  

  

  b. ^A



^BA



^A



^BA



   

 

E

A B A A

A B E

    

  

 A B





c.



^{A B}

 

^{ AB}

 

^{ AB}

 

^{ AB}





^{A A}

 

^{B B}



A



   

  







d.



^{A B}



^A_



^AB

 

^{ AB}



^_^A

   

   

 

   

 

A

A B A B A

A A B A B

A A B

A A A B

A B

    

 

    

 

  

 

   

   

 A B





e. “



^AB



^



^AC



^



^BC



^{” }

önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı,

“^{x, x}



^AxB



^_



^{xAxC}



^



^{xBxC}



^_{ ” }

dir.

 önermesinin herhangi bir a değeri için yo- rumlaması

“



^{aAaB}





^{a A a C}



^{a B a C}

 

         ”  olur.

aAp , aBq , aC diyerek r  önermesini önermeler mantığında

"



^pq



^_



^pr



^



^{q r}



^_{ “} ^biçiminde

sembolleştirebiliriz.  önermesinin bütün yorumlamaları



^pq



^_



^pr



^



^{q r}



^_  biçiminde olur.

 önermesi ancak q0 ve r0 iken yanlış olabilir. Bu durumda, önerme



^p0



^



^p0



^{ olur. 1}

Öyleyse,  önermesi bir totolojidir. O hâlde;



^AB



^



^AC



^



^BC



önermesi doğru- dur.

f. “



^AB



^



^AC



^



^BC



^{” }

önermesinin önermeler mantığındaki karşılığının

“



^pq



^_



^{p r}



^



^{q r}



^_“  olduğunu ve

 önermesinin bir totoloji olduğunu gös- teriniz. Bu durumda,  önermesi doğru olur.

g. f’deki gibi yapınız.

h. I. yol

“AB  AB”  önermesinin önermeler mantığındaki karşılığının

“^_



^pq



^0_^



^pq



”  olduğunu ve  önermesinin bir totoloji olduğunu gösteriniz.

II. yol

Önce “ AB” önermesinin gerekli koşul olduğunu gösterelim :

 

   

A B A B B B

A B A B B B B

A B A B B

 

        

  

        

 

      

 AB  AB

Şimdi de “ AB” önermesinin yeterli koşul olduğunu gösterelim :

   

A B A B B B

A B A B

A B A B A B

 

    

     

         

 

 AB AB   O hâlde;

 AB  ABönermesi doğrudur.

A B

E

A B

E

i. ABC ise; “^A



^{AB ve B}



^



^AB



^”

önermesinde AB yerine C konulursa,

" AC ve BC” elde edilir. O hâlde;



^ABC



^



^AC

 

^{ BC}



önermesi doğ- rudur.

j. ABC ise; “ ABA ve ABB” öner-mesinde AB yerine C konulursa,

" CA ve CB” elde edilir. O hâlde;



^ABC



^



^CA

 

^{ CB}



^önermesi

doğru-dur.

k. I. yol

“



^CA

 

^{ CB}



^C



^AB



^{” }

önermesinin önermeler mantığındaki karşılığının

“^_



^pq

 

^{ pr}



^_^_^p



^{q r}



^_^{” }

olduğunu ve  önermesinin bir totoloji olduğunu gösteriniz.

II. yol

“



^AB



^



^ABA



^{” ve}

“



^ABC



^



^CA

 

^{ BA}



^”

teoremlerinden yararlanacağız.

Önce “^C



^AB



” önermesinin,

“



^CA

 

^{ CB}



^” önermesinin gerekli koşulu olduğunu gösterelim :

CA ise ACC  ve CB ise BCC  dir.

 de eşitliğin solundaki C yerine BC konulursa, ABCC  elde edilir.

 önermesine göre, ^C



^AB



^dir.

Böylece,



^CA

 

^{ CB}



^C



^AB



^{ olduğu}

ispatlanmış olur.

Şimdi de “^C



^AB



” önermesinin,

“



^CA

 

^{ CB}



” önermesinin yeterli koşulu olduğunu gösterelim :

 

^{ABCC}

C AB

^



^CA

 

^{ CB}



^

 ve  ten



^CA

 

^{ CB}



^C



^AB



elde edilir.

l. “



^AB



^



^ABB



^{” ve}

“



^ABC



^



^AC

 

^{ BC}



^”

teoremlerinden yararlanarak, k’deki gibi is- patlayınız.

m. ABABB  dir.

“^A



^BA



^AB” olduğunu b’de ispatla- mıştık.  de AB yerine ^A



^BA



konulursa,



^AB



^_^A



^BA



^B_ ^bulunur.

n. I. yol

Önermeler mantığından yararlanınız.

II. yol

“



^AB



^



^ABB



^{” ve}

“



^ABC



^



^AC

 

^{ BC}



^”

teoremlerinden yararlanacağız.

AC ise ACC  ve BC ise BCC  dir.

 de eşitliğin solundaki C yerine BC konulursa, ABCC  elde edilir.  önermesine göre,

ABC dir. Böylece,



^AC

 

^{ BC}



^



^AB



^C olduğu ispat- lanmış olur.

o. I. yol

Önermeler mantığından yararlanınız.

II. yol

“ ABABA” ve

“



^ABC



^



^CA

 

^{ CB}



^”

teoremlerinden yararlanacağız.

   

   

   

A B A ve C D C

A C A B C D

A C A C B D

    

     

     



A B ve C D

A C B D

 

  

r. p’deki gibi ispatlayınız.

Alıştırmalar ve Problemler – 2.3

1. Gülü olanların kümesi G, karanfili olanların kümesi K olsun.

     

s KM 12, s G 9, s K 7 olduğundan

       

s KM s G s K s GK

 

 

12 9 7 s G K s G K 4 olur.

    

  

2. A gazetesini alanların kümesi A, B gazetesini alanların kümesi B olsun.

     

s AB 23, s A s B 32 olduğundan

 

s AB 32 23 9 olur.

Yalnız bir gazete alanlar 23 9 14 kişidir.

3. İngilizce bilenlerin kümesi İ, Almanca bilenlerin kümesi A olursa Venn şeması yandaki gibi olur.

Gruptakilerin sayısı en az 13’tür.

4. ^{s R}



^M



^{s R}

 

^{s M}

 

^{s R}



^M



^.

   

s R M 13 16 8 s R M 21

        olur.

Kurslara gitmeyen öğrenci sayısı, 30 21 9  dur.

5. Bisikleti olanların kümesi B, bilgisayarı olanların kümesi C olsun.

 

s BC x dersek,

 

s BC 18xx 17 x35x ve bunlardan birine sahip olmayanların sayısı,

   

s BC 32 35x x3 olur.

Şemadaki harfli ifadelere dikkat edilirse, 3  x  17 olacağı görülür.

a. En az 3’ünün;

b. En çok 17’sinin hem bisikleti hem bilgisayarı olabilir.

6. Verilen bilgiler yandaki Venn şemasına

yüklenmiştir.

 

s MT 17

X 4 X 3 17 X 8

       bulunur.

Yalnız matematikten kalan öğrenci sayısı 8’dir.

7. Verilen bilgiler Venn şemasına yüklenmiştir.

Buna göre, yalnız İki dersten kalan

öğrenci sayısı 10 7 6  23 olur.

8. ^{s İ}

 

^{s M}

 

^{7, s İ}

 

^{ 12 dir.}

       

s İ s İ s M s M E

       

s M 7 12 s M s M s M 19

       olur.

9. ^{s A}



^B



^{3s A}



^B



6 x 8 3x x 7 olur.

Grupta, 6 7 8 21

   

 

   kişi vardır.

10. Verilenlere göre Venn şeması yandaki gibidir.

Grup 20 kişidir.

11. ^A^B^GE veya B



E

 

 AG



12. ^M ^AE veya A



E



M 13. Verilen bilgiler yandaki

Venn şemasına yüklenmiştir.

 

s E 32 olduğundan

10xx6 x 5x32x4 olur.

Yalnız matematikten kalan öğrenci sayısı 6’dır.

İ A

E

1 6 6

?

B C

E

18  x x 17  x

x  3

M T

x 4 x  3

A B

7 10

5 6

C

A B

6 x 8

A B

8 4 7 1

C

M F

E

10  x x 6  x 5x

14. Verilen bilgilere göre, Venn şeması yandaki gibi olur.

 

s E 30 olduğundan

x 4

x 4 4 6 30 x 17

3

        ’dir.

Yalnız İngilizce bilenler 17 kişidir.

15. Sınıftaki öğrenci sayısı 10x, iki dersten de başarılı olan öğrenci sayısı y ile gösterilerek Venn şeması yandaki

gibi düzenlenir. ^{s E}

 

^10x olduğundan 6xyy8xyy 12 10xx3 bulunur.

Sınıftaki öğrenci sayısı 30’dur. y 12 0 ve 6xy0 olacağı dikkate alınırsa 12  y  18 olur.

İki dersten de başarılı olanların sayısı en çok 18 olabilir.

16. Kızların kümesi K, erkeklerin kümesi E, gözlüklülerin kümesi G, gözlüksüzlerin kümesi G olsun. Sınıftaki Öğrenci sayısına 10x,

gözlüklü erkek sayısına y dersek Venn şema- sı yandaki gibi olur.

a. Sınıftaki öğrenci sayısı 10x olduğundan, 10x3xyy3y6xy

x 3

  olur. Sınıftaki öğrenci sayısı 30’dur.

b. y  0 ve 3xy0 olması gerektiğinden 0  y  9 olur. Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenci sayısı en çok 9’dur.

17. A gazetesini alanların kümesi A, B gazetesini alanların kümesi B, dairelerin kümesi E olsun.

Yalnız B gazetesini alanların sayısına x dersek, şema yandaki gibi düzenlenir.

 

s E 40 olduğundan,

x66x 12 40x8 bulunur.

A gazetesini alanların sayısı 20’dir.

18. İki dili de bilenlerin sayısına x, yalnız Fransızca bilenlerin sayısına y diyerek Venn

şeması yandaki gibi düzenlenir.

 

2x x 2 x y 2 2x x y 15



    

   

denklemlerinden y3 bulunur.

19. Verilen bilgiler Venn şemasına yüklenmiştir.

 

s E 32 olup 18 17 2x x 32

x 3

2x 6 bulunur.



   

 

 

20. Verilen bilgiler Venn şemasına yüklenmiştir.

x x 4 x 4 28 x 12 bulunur.

    

 

21. Sınıftaki öğrenci sayısı 100x ile gösterilerek, verilen bilgiler şemaya yüklenir.

35x 40x 20x 2 100x 5x 2

35x 14 bulunur.

   

 

 

22. Kesirlerin paydaları eşitlenir.

3 9 2 8

4 12 ; 3 12

Gruptaki kişi sayısı 12x ile gösterilerek, verilen bil-giler şemaya yüklenir.

16 9x 16 16 x 12x x 4 16 x 12 bulunur.

      

  

23. Alman erkeklerin sayısı x ile gösterilerek, verilen bilgiler şemaya yüklenir.

Türk kadınların sayısı, Alman erkeklerin sayısından 1 fazladır.

M T

E

6x  y y 8x  y y  12 İ

E

x 4

6

A x  4

3  4

G G

3x  y y  3 6x  y y

K E

A B

E

x  6 6 x 12

A F

2x x y

Bis. Bil.

E

18  2x 2x x

17  2x

K T

x x  4 x  4

M R

E 35x 40x

2 20x

A İ

16 9x  4 16  x

T A

x 8  x x 1 E

K

24. Ev sayısı 100x ile gösterilerek, verilen bilgiler şemaya yüklenir.

50x 45x 4 5x 4

 

 

bulunur.

a. 100x80 olur. b. 5x 16 20 olur.

25. Verilenlere dikkat edilirse; çözüm Venn şemasını gerektirmemektedir.

       

   

 

s A 20, s B 23, s C 27, s A B 12, s A C 13, s B C 15 ve

s A B C 40 2 38 dir.

    

   

    

         

     

s A B C s A s B s C s A B s A C s B C s A B C

      

      

 

 

38 20 23 27 12 13 15 s A B C s A B C 8 bulunur.

         

   

26. Yalnız piyano çalanların sayısına x dersek, yalnız gitar çalanların sayısı 11 x ; yalnız keman çalanların sayısı

8x olur.

Gitar veya keman çalanların sayısı 19 olduğuna göre,

8 x 1 4   2 3 11 x   19x5 bulunur.

O hâlde, toplulukta 24 kişi vardır.

27. Sınıftaki öğrenci sayısı 10x ile gösterilip boş olan kümeler taranarak, verilen bilgiler tabloya yüklenir.

B dersinden kalanların sayısı, C dersinden kalanların sayısından 6 fazla olduğuna göre;

5x3x6x3 olur.

O hâlde; A dersinden kalanların sayısı, 5x8 3x 711 dir.

28. Yandaki Venn şemasında küçük harfler, bulundukları bölgelere karşılık gelen kümelerin eleman

sayılarını göstermektedir.

Verilen bilgilere göre, Aşağıdaki denklemler yazılır.

b c z t   16  a b c  11  a c y t 14  xyzk13  a b x t   16 

 

11

2 a b c xxz3t46 

 ve  dan xyz3t24  ;

 ve  den 3t k 11  elde edilir.

 denkleminde k en az 1 olabileceğinden t de en az 4 olabilir.

TV Tel

E

45x  16 16 5x  16

50x  16

P G

K x 3 11  x

8  x 1 4

2

A B

C 2x

5x  8 8 3x  7

7

R Ş

D a x b

c y k

z t

+