• Sonuç bulunamadı

Lineer Regülatör Parametrelerinin Kalman Filtresi Kullanılarak En Çok Olabilirlik Yöntemiyle Tahmini

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Lineer Regülatör Parametrelerinin Kalman Filtresi Kullanılarak En Çok Olabilirlik Yöntemiyle Tahmini"

Copied!
8
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Lineer Regülatör Parametrelerinin Kalman Filtresi Kullanılarak En Çok Olabilirlik Yöntemiyle Tahmini

Esin KÖKSAL BABACAN* Levent ÖZBEK Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, İstatistik Bölümü

Özet: Bu çalışmada lineer regülatör probleminde bulunan kayıp fonksiyonunda bilinmeyen parametre olması durumunda bu parametrelerin en çok olabilirlik yöntemiyle tahmini ele alınmıştır. Bu amaçla, ilk önce durum-uzay modellerinde model parametrelerinin tahmini için en çok olabilirlik yöntemi, daha sonra lineer regülatör problemi ve çözümü ile ilgili bilgi, son olarak kayıp fonksiyonunda bulunan bilinmeyen parametrelerin en çok olabilirlik yöntemiyle tahmini verilmiştir. Simülasyon çalışması ile yöntemin işleyişi gözlemlenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Durum-uzay modeli, Kalman Filtresi, Lineer Regülatör.

Maximum Likelihood Estimation of Linear Regulator Parameters Using the Kalman Filter

Abstract: In this study, maximum likelihood estimation of loss function parameters in linear regulator problem is investigated. For this reason, in state- space models, maximum likelihood estimation of model parameters, linear regulator problem and this solution and maximum likelihood estimation of unknown parameters in loss function are explained. With simulation study working this giving method is observed.

Key Words: State-Space models, Kalman Filter, linear regüulator.

Kalman Filtresi ve En Çok Olabilirlik Yöntemi Ele alınan durum-uzay modeli,

n=0,1,2,...,N

olmak üzere

1

n n n n

x

+

= Ax + Bu + Gw

n n n

y = Hx + v

n 1 n n n

x

+

= Ax + Bu + Gw

n n n

y = Hx + v

biçiminde olsun. Burada,

x

n

R

q gözlenemeyen sistem durum vektörü,

y

n

R

m, sistem gözlem vektörü,

w

n

R

q ve

v

n

R

m birbirinden bağımsız sıfır ortalamalı ve

,

( )

0 ,

n k

Q n k

Cov w w

n k

 =

= 

 ≠

,

( ) ,

0 ,

n k

R n k

Cov v v

n k

 =

= 

 ≠

,

( )

0 ,

n k

Q n k

Cov w w

n k

 =

= 

 ≠

,

( ) ,

0 ,

n k

R n k

Cov v v

n k

 =

= 

 ≠

* ekoksal@science.ankara.edu.tr

(2)

kovaryans matrisli normal dağılıma sahip hata terimleri ve

u

n

R

p, sistem kontrol vektörüdür. Gözlenemeyen durum vektörünü tahmin etmek için Kalman Filtresi;

0 0

0

1

1

1 ' 1

(0)

[ ]

'( ' )

' ' ( ' ) '

n n n n n n

n n n

n n n n n

x x

P P

x Ax Bu AK y H x K P H HP H R

P AP A GQG AK HP H R K A

+

+

=

=

= + + −

= +

= + − +

$

$ $ $

0 0

0

1

1

1 ' 1

(0)

[ ]

'( ' )

' ' ( ' ) '

n n n n n n

n n n

n n n n n

x x

P P

x Ax Bu AK y H x K P H HP H R

P AP A GQG AK HP H R K A

+

+

=

=

= + + −

= +

= + − +

$

$ $ $

biçiminde verilir [1]. Burada,

P

n+1 denklemi Riccati denklemi olarak bilinir.

Burada verilen

A B G H Q , , , , ve R

matrislerinde bilinmeyen parametreler olabilir. Bu parametrelerin bütünü

Θ

vektörü ile gösterilsin.

y

n nin

{ y

n1

, y

n2

,..., y y

1

,

0

}

üzerine koşullu dağılımı, ortalaması

H x $

n ve varyansı

HP H

n

' + R

olan normal dağılıma sahip olduğundan negatif olabilirlik fonksiyonu [1, 2, 3];

( )

1

0

ln[det( ' )] ( ' ) ( )( ) '

N

n n

n n n n

n

J θ HP H R iz HP H R

y H x y H x

=

= ∑ + + + − $$

( )

1

0

ln[det( ' )] ( ' ) ( )( ) '

N

n n

n n n n

n

J θ HP H R iz HP H R

y H x y H x

=

= ∑ + + + − $$

biçiminde yazılır ve bilinmeyen parametrelerin en çok olabilirlik tahminleri bu fonksiyonun minimizasyonu ile elde edilir. Bunu elde edebilmek için negatif olabilirlik fonksiyonunun türevlerinin alınması gerekir.

(

n

)

n

y

n

H x

δ = − $ ( ) n

n n

'

δδ

δ δ

Γ =

0

1 ( )

1

N

n

N n

δδ δδ

=

Γ = Γ

+ ∑

( ) '

y n

P n = HP H + R

1 1 1

( ) ( ) ( )

n y y y

M = P

nP

n Γ

δδ

P

n

olmak üzere,

Θ

vektöründeki herhangi bir

θ

parametresine göre

J

fonksiyonunun türevi hesaplansın [3,4];

( )

( )

'

' 1

0 0

( ) (( ) )

N N

y n n

n n n y

n n

J P n

iz M iz δ δ P n

δ δ

θ θ θ θ

= =

∂ ∂ ∂

∂ = + +

∂ ∑ ∂ ∑ ∂ ∂

(1.3)

( )

( )

'

' 1

0 0

( ) (( ) )

N N

y n n

n n n y

n n

J P n

iz M iz δ δ P n

δ δ

θ θ θ θ

= =

∂ ∂ ∂

∂ = + +

∂ ∑ ∂ ∑ ∂ ∂

(1.3)

(3)

( )

1 0

G = ( )

N y

n n

iz P n M

=

θ

∑ ∂

ve

( )

'

' 1

2 0

G (( ) )

N

n n

n n y

n

iz δ δ P n

δ δ

θ θ

=

∂ ∂

= +

∂ ∂

olarak alınırsa,

J

1 2

G G θ

∂ = +

olur.

G

1 ifadesinden başlanırsa,

P n

y

( )

matrisinin türevinin alınması gerekir;

( ) '

( ' ' )

y n

n n

P n H P H R

P H H H HP

θ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) '

( ' ' )

y n

n n

P n H P H R

P H H H HP

θ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Buna göre,

M

n matrisi ile sondan çarpılıp izi alınırsa,

1

0

(2 ( ' ) ( ' ) ( ))

N

n

n n n n

n

P

H R

G iz P H M iz H M H iz M

θ θ θ

=

∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

1

0

(2 ( ' ) ( ' ) ( ))

N

n

n n n n

n

P

H R

G iz P H M iz H M H iz M

θ θ θ

=

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

elde edilir. Burada kovaryans matrisi,

1 '

1

' ' ( ' ) '

n n n n n

P

+

= AP A + GQGAK HP H + R

K A

P

n+1

= AP A

n

' + GQG ' − AK HP H

n

(

n

' + R )

1

K A

n'

'

nin türevi

' '

' '

1

' '

n n

n n

P A P A G Q G

P A A A AP QG G G GQ

θ θ θ θ θ θ θ

+

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

' 1 ' '

'

'

( ) ( )

' ( ' ) ' '

( )

n

' ( ) '

y n y

n n n n n n

n y n y n

P n K P n

A K K A A HP H R K A AK K A

K A

AK P n A AK P n K

θ θ θ θ

θ θ

∂ ∂

− ∂ − + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

− −

∂ ∂

' '

' '

1

' '

n n

n n

P A P A G Q G

P A A A AP QG G G GQ

θ θ θ θ θ θ θ

+

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

' 1 ' '

'

'

( ) ( )

' ( ' ) ' '

( )

n

' ( ) '

y n y

n n n n n n

n y n y n

P n K P n

A K K A A HP H R K A AK K A

K A

AK P n A AK P n K

θ θ θ θ

θ θ

∂ ∂

− ∂ − + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

− −

∂ ∂

olur.

G

2 ifadesi için,

( ) n ( y

n

H x

n

)( y

n

H x

n

) '

Γ

δδ

= − $ − $

(

n

)

n

y

n

H x

δ = − $

( ) n ( y

n

H x

n

)( y

n

H x

n

) '

Γ

δδ

= − $ − $

(

n

)

n

y

n

H x

δ = − $

olmak üzere

(4)

( )

'

(

n n n

)

n

n y H x

x H

δδ

δ

θ θ θ θ

∂Γ ∂ ∂ ∂

= − −

∂ ∂ ∂ ∂

$ $

(

n n n

)

'

n

y H x

x H

δ θ θ θ

∂ ∂ ∂

= − −

∂ ∂ ∂

$ $

( )

'

(

n n n

)

n

n y H x

x H

δδ

δ

θ θ θ θ

∂Γ ∂ ∂ ∂

= − −

∂ ∂ ∂ ∂

$ $

(

n n n

)

'

n

y H x

x H

δ θ θ θ

∂ ∂ ∂

= − −

∂ ∂ ∂

$ $

bu türevin

P

y1

( ) n

ile çarpılması ve izinin alınması ile,

µ µ

µ µ

' 1 ' 1

2 1 0

{( ) ( ) } ( )

N n n n n n

n n n n n y

n

x

y H x y H

G iz x H δ δ x H P n

θ θ θ θ θ θ

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − − + − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

µ µ

' 1 ' 1 ' 1

0

2 ( ( )) 2 ( ( )) 2 ( ( ))

N n n

n n y n y n y

n

y

H x

iz x δ P n iz δ P n iz H δ P n

θ θ θ

=

∂ ∂

= − + −

∂ ∂ ∂

µ µ

µ µ

' 1 ' 1

2 1 0

{( ) ( ) } ( )

N n n n n n

n n n n n y

n

x

y H x y H

G iz x H δ δ x H P n

θ θ θ θ θ θ

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − − + − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

µ µ

' 1 ' 1 ' 1

0

2 ( ( )) 2 ( ( )) 2 ( ( ))

N n n

n n y n y n y

n

H y x

iz x δ P n iz δ P n iz H δ P n

θ θ θ

=

∂ ∂

= − + −

∂ ∂ ∂

olur. Burada

$ x

n+1 türevi

1

( ) ( )

n n n n n

n n n

K y

x A x H x

x A δ n K x H

θ θ θ θ θ θ θ

+

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

$ $ $

$ $

n 1 n n n

( )

n

(

n n n

)

K y

x A x H x

x A δ n K x H

θ θ θ θ θ θ θ

+

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

$ $ $

$ $

dir.

G

1 ve

G

2 ifadelerinin toplanması ile log-olabilirlik fonksiyonu elde edilir [3, 4].

Parametre tahminleri hesaplandıktan sonra standart hataları aşağıdaki şekilde hesaplanır [4].

J

n

( ) θ = ln[det( HP H

n

' + R )] + iz y (

n

H x $

n

) '( HP H

n

' + R ) (

1

y

n

H x $

n

)

(1.4) olmak üzere;

'

( ) ( )

1

( ) ( (

n n

) )

n

J J

S diag θ θ

θ θ

∂ ∂

Θ = ∑ ∂ ∂

(1.5)

biçimindedir.

1 1 ' 1

( ) ( ) ( ) ( )

n y y n n y

M = P

nP

n δ n δ P

n

olmak üzere,

'

1

( )

1 ' 1

( ) ( ( )

y

) ( ) ( )

n n n

y y n n y

J P n

iz P n P n P n

θ δ δ

δ δ

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂ ∂

' 1

( )

1

( )

y

( )

n y y n

P n P n P n

δ δ

θ

− ∂

'

1 1 '

( )

1 ' 1

{(

y

( )

y

( )

n n

P n

y

)} {

n y

( )

n n y

( )

n

}

iz P n P n iz δ P n P n δ

δ δ δ δ

θ θ θ

∂ ∂

= − + +

∂ ∂ ∂

(5)

1 '

( )

1

{ P

y

n

n

} {

y

( )

n n

} iz M iz P n δ δ

θ θ

= +

∂ ∂

dır.

Lineer Regülatör

İndirimli stokastik regülator problemi göz önüne alınsın. Bu optimizasyon problemi,

{ }

(

' 1 ' 1 '

)

0

min E 2

n

n

n n n n n n

u n

x R x u Q u x Wu β

=

+ +

(2.1)

1

n n n n

x

+

= Ax + Bu + Gw

(2.2)

{ }

(

' 1 ' 1 '

)

0

min E 2

n

n

n n n n n n

u n

x R x u Q u x Wu β

=

+ +

(2.1)

x

n+1

= Ax

n

+ Bu

n

+ Gw

n (2.2) biçimindedir [4].

R

1,

Q

1,

W

,

A

ve

B

matrisleri

Θ

vektöründe bulunan parametrelere bağlı

olsunlar. (2.1) ile verilen fonksiyon kayıp fonksiyonu olarak adlandırılır ve kayıp fonksiyonunda bulunan

R

1 ve

Q

1 matrisleri simetrik ve negatif olmayan matrislerdir. Bu bölümde

G = 0

varsayılıp işlemler yapılacaktır. (2.1) ve (2.2) eşitliklerinde verilen matrislerin

Θ

vektöründe bulunan parametrelere göre türevlerinin bilindiği varsayılacaktır [4].

Bu lineer regülator probleminin çözümü

u

n

= − Fx

n ile verilir. Burada,

F = ( Q

1

+ β B P B '

1

) (

1

β B P A W '

1

+ ' )

(2.3)

F = ( Q

1

+ β B P B '

1

) (

1

β B P A W '

1

+ ' )

(2.3)

ve

P

1

= R

1

+ β A P A '

1

− ( W + β A P B Q '

1

)(

1

+ β B P B '

1

) (

1

β B P A W '

1

+ ' )

(2.4)

( )( ) (

1

)

1 1

'

1

'

1 1

'

1

'

1

'

P = R + β A P AW + β A P B Q + β B P B

β B P A W +

(2.4) şeklindedir [4]. Durum vektörü bilinmediğinde optimal kontrolü bulmak için, Kalman Filtresi ile durum tahmin edilerek

$

n

u

n

= − F x

olarak kullanılır.

Lineer Ragülatör parametrelerinin tahmini

Durum-uzay modelinde model denkleminde bilinmeyen parametrelerle birlikte optimal lineer regülator problemi için verilen kayıp fonksiyonunda da bilinmeyen parametreler olduğunda, durum vektörü,

1

n n n

x

+

= Ax + Bu

x

n+1

= Ax

n

+ Bu

n

olmak üzere, optimal kontrol

u

n

= − Fx

n olarak elde edildiğinden bunun yerine yazılmasıyla,

x

n+1

= Ax

n

+ B ( − Fx

n

)

1

( )

n n

x

+

= A BF x

x

n+1

= Ax

n

+ B ( − Fx

n

)

x

n+1

= ( ABF x )

n

biçiminde olacaktır.

Q

1 ve

R

1 matrisleri de bilinmeyen parametreler içerdiğinde bunların da tahmin edilmesi gerekir. Bu nedenle,

(6)

1

( )

n n

x

+

= A BF x

x

n+1

= ( A BF x − )

n

olmak üzere,

A

0

= ( A BF − )

alınarak benzer işlemler yapılabilir. Minimize edilecek fonksiyon burada aynıdır. Sistem geçiş matrisinde

A

yerine

A

0’ın alınmasıyla Kalman Filtresi eşitliklerinde değişimler olur ve

F

ve

P

1 matrislerinin hesaplanması gerekir. Buna göre Kalman Filtresi,

1

1 1 ' 1 ( ' 1 )( 1 ' 1 ) ( ' 1 ')

P =RA P AWA P B QB P B βB P A W+

1

1 1 1

( ' ) ( ' ')

F = Q + β B P B

β B P A W +

1

( ) ( ) [ ]

n n n n n

x

+

= A BF x − + A BF K y − − H x

$ $ $

'( ' )

1

n n n

K = P H HP H + R

1

(( ) ) (( ) ' ' ')

n n n n

P

+

= A BF − − K H P A BF − − H K

1

1 1 ' 1 ( ' 1 )( 1 ' 1 ) ( ' 1 ')

P =RA P AWA P B QB P B βB P A W+

1

1 1 1

( ' ) ( ' ')

F = Q + β B P B

β B P A W +

1

( ) ( ) [ ]

n n n n n

x

+

= ABF x + ABF K yH x

$ $ $

'( ' )

1

n n n

K = P H HP H + R

1

(( ) ) (( ) ' ' ')

n n n n

P

+

= A BF − − K H P A BF − − H K

biçiminde olur.

Bilinmeyen parametrelerin tümü

Θ

vektörü ile gösterilmek üzere,

A

0

= ( A BF − )

olduğundan

A

0 ın

Θ

da bulunan herhangi bir bilinmeyen

θ

parametresine göre türevi;

A

0

A B F

F B

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

= − −

∂ ∂ ∂ ∂

A

0

A B F F B

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

= − −

∂ ∂ ∂ ∂

ve F nin türevi;

(

1 1

)

1 1 1 1

' ( ' ' P ' )

F Q B B

Q β B P B β P B β B B β B P F

θ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

= − + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(

1

)

1 1 1 1

' '

' ( B ' P ' A W )

Q β B P B β P A β B A β B P

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂

(

1 1

)

1 1 1 1

' ( ' ' P ' )

F Q B B

Q β B P B β P B β B B β B P F

θ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

= − + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(

1

)

1 1 1 1

' '

' ( B ' P ' A W )

Q β B P B β P A β B A β B P

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂

olarak elde edilir [4]. Burada

P

1

θ

türevi yer aldığından bunun da hesaplanması gerekir,

(7)

( )( ) (

1

)

1 1 1 1 1 1 1

'

' ' ' ' '

F

P = R + β A P AW + β A P B Q + β B P B

β B P A W + 144444444444442 44444444444443

( )( ) (

1

)

1 1 1 1 1 1 1

'

' ' ' ' '

F

P = R + β A P AW + β A P B Q + β B P B

β B P A W + 144444444444442 44444444444443

olduğundan;

1 1

1 1

' ' '

P R A P A

P A A A A P

β β β

θ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1

1 1

( W A ' ' P ' ' B )

P B A A P F

β β β

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂

− + + +

∂ ∂ ∂ ∂

1

1 1

'( Q B ' ' P ' B )

F β P B β B B β B P F

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂

+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂

1

1 1

' '

'( B ' P ' A W )

F β P A β B A β B P

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂

− + + +

∂ ∂ ∂ ∂

' 1 1

0 0 0 1 0

' '

P R A ' B

A A A F P A

β β β

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

= + + −

∂ ∂ ∂ ∂

( )

1 1

' ' ' A W ' W ' ' Q

A F B P F F F F

β θ θ θ θ

∂ ∂ ∂

+ − − − +

∂ ∂ ∂ ∂

1 1

1 1

' ' '

P R A P A

P A A A A P

β β β

θ θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1

1 1

( W A ' ' P ' ' B )

P B A A P F

β β β

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂

− + + +

∂ ∂ ∂ ∂

1

1 1

'( Q B ' ' P ' B )

F β P B β B B β B P F

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂

+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂

'

1 1 1

'

'( B ' P ' A W )

F β P A β B A β B P

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂

− + + +

∂ ∂ ∂ ∂

0' 1 0 1

'

0

'

1 0

P R A ' B

A A A F P A

β β β

θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

= + + −

∂ ∂ ∂ ∂

( )

1 1

' ' ' A W ' W ' ' Q

A F B P F F F F

β θ θ θ θ

∂ ∂ ∂ ∂

+ − − − +

∂ ∂ ∂ ∂

olarak bulunur [4].

Simülasyon Çalışması Durum-uzay modeli,

1

n n n n

x

+

= Ax + Bu + Gw

n n n

y = Hx + v

1

n n n n

x

+

= Ax + Bu + Gw

n n n

y = Hx + v

biçiminde olmak üzere,

(8)

1.5 .5 .5 .5 A

n

 

=  

 − 

,

B

n

= [ .5 ;.5 ]

,

1 0

n

0 1

G  

=  

 

ve

H

n

= [ 2 0 ]

olarak alındığında,

[ ]

1

1.5 .5 1 0

.5 ; .5

.5 .5 0 1

n n n n

x

+

  x u   w

=   + − +  

 −   

[ 2 0 ]

n n n

y = x + v

( )

n

.3

2

Cov w = I

,

Cov v ( )

n

= .2

Cov w ( )

n

= .3 I

2,

Cov v ( )

n

= .2

durum uzay modeli göz önüne alınsın.

Burada regülatör problemi,

{ }

(

' 1 ' 1 '

)

0

min E 2

n

n

n n n n n n

u n

x R x u Q u x Wu β

=

+ +

biçiminde olmak üzere amaç,

11 1

21

.1 .4 R r

r

 

=  

 

,

Q

1

= q

1,

1 W   1

=  

 

matrislerinde bulunan bilinmeyen

r

11,

r

21,

q

1 parametrelerini belirlenmek olsun.

Burada verilen gerçek kontrol terimi

u

n,

{ } 0 ' '

( )

'

0

.4 .1 1

min E 1 .1 2

.5 .4 1

n

n

n n n n n n

u n

x x u u x u

=

     

+ +

     

   

 

kontrol problemine göre

u

n

= − Fx

n esasına göre elde edilmiş olsun. Bu kontrol altında yukarıda verilen durum-uzay modeline göre elde edilen

y

n gözlemleri kullanılarak bilinmeyen parametreler en çok olabilirlik yöntemine göre tahmin edilsin. Matlab programında negatif olabilirlik fonksiyonu oluşturulup bu fonksiyonun minimumunu alma işlemi sayısal optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan fminunc komutu ile yaptırılırsa parametre tahminleri;

r

11=0.3072,

r

21=0.5761,

q

1=0.1767 ve standart hataları sırayla 0.0115, 0.0124, 0.0283 olarak bulunur. Görüldüğü gibi değerler gerçek değerlere (

r

11=0.4,

r

21=0.5,

q

1=0.1) oldukça yakındır ve standart hataları da oldukça küçüktür.

Sonuç

Kimi zaman kayıp fonksiyonunda bulunan matrisler de bilinmeyen parametreler içerebilirler. Buna göre lineer raegülator problemi işletilirken bu parametrelerin de tahmini problemi ortaya çıkar. Kalman Filtresi kullanılarak bu parametreler en çok olabilirlik yöntemiyle tahmin edilebilir. Simülasyon çalışmasından da görüldüğü gibi tahmin değerleri gerçek değerlere oldukça yakındır ve standart hataları da oldukça küçüktür.

Kaynaklar

[1] Sweppe, F. C. 1973. Uncertain Dynamic Systems. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.

[2] Anderson, B. D. O. and Moore, J. B. 1979. Optimal Filtering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

[3] Wilson, D., A and Kumar, A. 1982. Derivative Computations for the Log Likelihood Function, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. AC-27, No. 1.

[4] Anderson, E. W., Hansen, P. L., MCGrattan, Sargent, T. J. 1995. Mechanics of Forming and Estimating Dynamic Linear Economies, unpublished manuscript, Stanford University, Hoover

Referanslar

Benzer Belgeler

Makalede önce Mesnevi’de yer alan hikâyeler örnek olay yöntemi ve bağlam temelli öğrenme yaklaĢımı açısından değerlendirilmeye çalıĢılmakta, sonrasında yönetim

approximately 1.7-fold, and the bleeding time returned to baseline within 60 minutes of cessation of magnesium sulfate infusion.On the other hand, platelet thrombi formation was

In this article we argue that given the socio-spatial transformation of gecekondu neighborhoods, trust is understood and experienced by rural-to-urban migrant women, as an

Bir başka­ sının tırnak yeme alışkanlığının farkına varan çocuk, öykünme yoluy­ la bu durumun farkına varmasıyla ise alışkanlık kalıcı hale

Bu nedenle bakteriyel kültürleri negatif olan pnömoni, hepatit, yaygın damar içi pıhtılaüma ve trombositopeni ile birlikte sistemik enfeksiyonu olan yenidoùan bebeklerde

Mütercimin yazmış olduğu girişte ilk olarak genel hatlarıyla İslam si- yaset düşüncesi hakkında bilgi verilmiş, bu çerçevede hükümranlık, Hz.. Peygamber’in aynı

NLÜ Türk bilim Öğretim Üyesi ve Gaze­ teci Yazar Şükrü Baban önceki gün 92 yaşında İstanbul’da öldü. Ördi- naryus Prof.. Sayfada) kuk öğrenim i

Bref, le rôle du professeur est varié, délicat, mais jamais sans intérêts et inutile; quand on pense combien sont importants le premier contact, la première impression, le professeur