BÖLÜM 5
ÖZEL DAĞILIMLAR
Bu bölümde, olasılık ve istatistikte öne çıkan bazı dağılımlar ele alınacaktır. Öncelikle, olasılık dağılımlarının burada bahsedilen dağılımlarla sınırlı olmadığını belirtelim. Johnson ve Kotz (1970) dağılımlar ile ilgili dört ciltlik bir kitap yayınlamıştır. Bunlardan birinci cildi tek değişkenli kesikli dağılımlar, ikinci ve üçüncü ciltleri tek değişkenli sürekli dağılımlardan oluşmaktadır. Dördüncü cilt çok değişkenli istatistik dağılımlarını içermektedir. Olasılık dağılımları da rasgele değişkenlerde olduğu gibi kesikli ve sürekli dağılımlar olarak ayrı ayrı incelenecektir. Rasgele değişkenler ve dağılımları ikinci bölümde ayrıntılı olarak incelendiğinden, burada seçilen özel dağılımların bazı özellikleri üzerinde durulacaktır. Ayrıca, çok değişkenli normal dağılım, özellikle iki değişkenli normal dağılım üzerinde de durulacaktır. Bazı dağılım aileleri (üstel aileler) de bu bölümde yer verilecek konular arasındadır.
5.1. Tek Değişkenli Kesikli Dağılımlar 5.1.1. Bernoulli Dağılımı
Sadece iki sonucu (başarı-başarısız, doğru-yanlış gibi) bulunan deneylere Bernoulli deneyi denir. Bir Bernoulli deneyinin örnek uzayı iki elemandan oluşan bir kümedir. Yani, örnek uzay { , } w w 1 2 olup
0 1
:
( ) 0 ,
1 , X
w X w w w
w w
olarak tanımlanan X fonksiyonuna Bernoulli rasgele değişkeni denir ve değer kümesi {0,1}
D X dir. Bu fonksiyonun bir rasgele değişken olduğu ikinci bölümde gösterildi.
Genellikle, {Başarı} yerine { : ( ) 1} w X w ve ({Başarı}) P veya ({ : ( ) 1}) P w X w yerine
de kısaca ( P X yazılır. ( 1) P X başarı olasılığına p denirse, 1) q olmak üzere 1 p
Bernoulli rasgele değişkeni için olasılıklar,
( ) x 1 x , 0,1 P X x p q x
formülü ile hesaplanır. D X {0,1} ve x D X için P X ( x ) p q x 1 x olmak üzere, Bernoulli rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,
( ) ,
( ) 0 , . .
P X x x D X
f x d y
dir. Dağılımın olasılık fonksiyonu ile dağılım fonksiyonunun grafikleri Şekil (5.1.1) de verilmiştir.
Şekil 5.1.1 Bernouilli dağılımının olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu (p=0.6)
Bu olasılık fonksiyonu kısaca,
( ) x 1 x , 0,1
P X x p q x
şeklinde ifade edilecektir. 0 için p başarı olasılığını göstermek üzere, Bernoulli p 1 dağılımı için X ~ Bern p gösterimi kullanılacaktır. ( )
Bernoulli dağılımının bütün momentleri başarı olasılığına eşittir. Yani, k sonlu bir tamsayı ( k ) olmak üzere,
1 0
( k ) ( ) 0. ( 0) 1. ( 1) ( 1)
x
E X x P X x P X P X P X p
dir. Buradan, dağılımın varyansı
2 2 2
( ) ( ) [ ( )] (1 )
Var X E X E X p p p p p q ve moment çıkaran fonksiyonu da t için
1
0
( ) ( t X ) t x ( ) t
X x
M t E e e P X x q p e
dir. Benzer şekilde, karekteristik fonksiyonu X ( ) t q p e it , çarpımsal moment çıkaran
fonksiyonu da N X ( ) t E t ( X ) q p t dir. X ~ Bern p dağılımı için, ( )
1
( ) X ( )
t
d N t
E X p
d t
olup diğer bütün çarpımsal momentler sıfırdır. Yani,
( 1) 0
E X X , E X X ( 1)( X 2) ,…, 0 E X X ( 1)( X 2)...( X k ) 0
dır. Kümülant üreten fonksiyonu K X ( ) ln( t M X ( )) t olup, kümülantlardan ilk üç tanesi
1 d (ln( t ) | t 0 p e t t | t 0 ( )
K q p e p E X
d t q p e
2
2 2 (ln( ) | 0 2 | 0 ( )
( )
t t
t t t
d p q e
K q p e pq Var X
d t q p e
3 2
3 3 0 4 0
( ) 2( )
(ln( ) | | 2 (1 2 )
( )
t t t t t
t t t t
d p q e q pe q pe pe pqe
K q p e pq qp pq p
d t q p e
şeklinde hesaplanmıştır. Diğerleri ardışık olarak hesaplanır.
5.1.2. Binom Dağılımı
Bir Bernoulli deneyi, her denemede başarı olasılığı aynı olacak şekilde birbirinden bağımsız olarak n kez tekrarlansın. Böyle bir deneye Binom deneyi denir. X rasgele değişkeni Binom deneyindeki başarıların sayısı olarak tanımlandığında, X in değer kümesi
{0,1, 2,3,..., }
D X n olur. Bernoulli denemesinde başarıyı B , başarısızlığı da B ile c gösterirsek, Binom deneyinde x tane başarı,
şeklinde gözlenebilir. Bu x tane başarı, şekilde de görüldüğü gibi C n x ( , ) farklı şekilde dizilebilir. Her bir denemede başarı olasılığı aynı ise, başarısızlık olasılığı da aynıdır. Buna göre, başarı olasılığı p ( ( ) P B , p q ) olmak üzere, Binom deneyinde x tane 1 p başarı elde etme olasılığı x 0,1, 2,3,..., n için,
( ) n x n x
P X x p q
x
...
c c c c c
B B B B B B B B B B
2. başarı 3. başarı x. başarı
1. başarı
ile hesaplanır. Buradan, X in olasılık fonksiyonu, D X {0,1, 2,3,..., } n olmak üzere,
( ) ,
( ) 0 , . .
P X x x D X
f x d y
dir. Binom dağılımı için X ~ Binom n p gösterimi kullanılacaktır. ( , ) X ~ Binom (3,0.6) dağılımının olasılık fonksiyonu ile dağılım fonksiyonunun grafiği aşağıdadır (Şekil (5.1.2)).
Şekil 5.1.2 Binom dağılımının olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu (n=3 ve p=0.6)
Bir Bernoulli deneyi birbirinden bağımsız olarak n defa tekrarlansın. X birinci 1 denemedeki başarıların sayısı, X ikinci denemedeki başarıların sayısı ve 2 X de . n n denemedeki başarıların sayısı olsun. Bu rasgele değişkenlerin toplamı, Bernoulli deneyinin n kez tekrarlanmasında gözlenen başarıların sayısı olur. Bu rasgele değişkenlerin her biri bağımsız Bernoulli rasgele değişkenidir. Bernoulli deneyinin n kez tekrarlanmasında gözlenen başarıların sayısı X olsun. Her i için X ler 0 ya da 1 değerlerini aldığından i X lerin toplamı X in değer kümesi olur. Yani bir Binom rasgele değişkeni, bağımsız i
Bernoulli rasgele değişkenlerinin toplamıdır.
Düzgün bir paranın üç defa atılması deneyini göz önüne alalım. Burada örnek uzay,
YYY YYT YTY TYY TTY TYT YTT TTT , , , , , , ,
olup, üzerinde tanımlanan sigma cebir
nın kuvvet kümesi ( U ( ) ) olsun. Ayrıca A U için ( ) P A n A ( ) / 8 denirse, ( , , ) U P bir olasılık uzayı olur. Bu deneyde, X gelen turaları (veya yazıları) sayan bir rasgele değişkendir. Buna göre, deneme sayısı sabit olup her bir denemede tura gelmesi olasılığı aynıdır. Denemeler birbirinden bağımsız ise X , Binom rasgele değişkenidir. Yani,
~ ( 3, 1/ 2)
X Binom n p olup olasılık fonksiyonu, 3 1 1 3
( ) , 0,1, 2,3
2 2
x x
P X x x
x
dır. Bu olasılık fonksiyonu bazen
X x 0 1 2 3
( )
P X x 1/ 8 3 / 8 3 / 8 1/ 8
şeklinde de ifade edilir.
~ ( , )
X Binom n p olmak üzere olasılık fonksiyonu, ( ) n x n x , 0,1, 2,3,...,
P X x p q x n
x
şeklinde verildiğinde fonksiyonun bir olasılık fonksiyonu olduğu
0 0
( ) ( ) 1
n n
x n x n
x x
P X x n p q p q
x
şeklindeki Binom açılımından ( p q 1 ) açıktır. Dağılımın momentlerinin doğrudan hesabı biraz karmaşıktır. Örneğin, dağılımın birinci momenti, yani beklenen değeri
0 0 0
1 1
0 0
( ) ( ) !
!( )!
( 1)! ( 1)!
( 1)!( )! ( 1)!( )!
n n n
x n x x n x
x x x
n n
x n x x n x
x x
n x n
E X x P X x x p q p q
x x n x
np n n
p q np p q
x n x x n x
1 1
1 1
0 0
1
( 1)!
!( 1 )!
( )
n n
y n y y n y
y y
n
n n
np p q np p q
y n y y np p q n p
dir. Binom rasgele değişkeni bağımsız Bernoulli rasgele değişkenlerinin toplamı olarak düşünüldüğünde dağılımın beklenen değeri daha kolay hesaplanır. X X 1 , 2 , , X n aynı p başarı olasılığına sahip bağımsız Bernoulli rasgele değişkenleri olmak üzere
1 2 n
X X X X rasgele değişkeni de başarı olasılığı p olan Binom dağılımına sahiptir. Her i için ( E X i ) olduğundan ~ p X Binom n p dağılımının beklenen değeri, ( , )
1 2 1 2
( ) ( n ) ( ) ( ) ( n ) ...
E X E X X X E X E X E X p p p n p dir.
Beklenen değerlerin var olması halinde, rasgele değişkenlerin toplamının beklenen
değeri, beklenen değerlerinin toplamına eşittir. Eğer rasgele değişkenler bağımsız ise, rasgele
değişkenlerin toplamının varyansı da varyanslarının toplamıdır. Yani, X ve Y sonlu
beklenen değer ve varyansa sahip iki rasgele değişkenler ise,
( ) ( ) ( )
E X Y E X E Y Var X Y ( ) Var X ( ) Var Y ( ) 2 Cov X Y ( , ) dir.
Şimdi, bu eşitliklerin doğru olduğunu gösterelim. X , Y kesikli ve olasılık fonksiyonu (sürekli ise toplam yerine integral gelir) ( P X x Y , y ) olmak üzere ( E X Y ) beklenen değeri
( ) ( ) ( , )
X Y
x D y D
E X Y x y P X x Y y
( , ) ( , )
X Y
x D y D
x P X x Y y y P X x Y y
( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( )
X Y Y X
X Y
x D y D y D x D
x D y D
x P X x Y y y P X x Y y
x P X x y P Y y E X E Y
olur. Yani, ( E X Y ) E X ( ) E Y ( ) dir. Benzer şekilde varyans da,
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) [( ) ] [ ( )]
[ 2 ] [( ( )) ( ( )) 2 ( ) ( )]
[ ( ) ( ( )) ] [ ( ) ( ( )) ] 2[ ( ) ( )]
( ) ( ) 2 ( , ) Var X Y E X Y E X Y
E X Y XY E X E Y E X E Y
E X E X E Y E Y E XY E X E Y
Var X Var Y Cov X Y
dir.
1 , 2 , , n
X X X bağımsız Bernoulli rasgele değişkenleri olduğundan, i için j ( i , j ) 0
Cov X X dır. Dolayısı ile Binom dağılımının varyansı,
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ...
n
n
Var X Var X X X
Var X Var X Var X pq pq pq n p q
dir. Diğer taraftan, Bernoulli dağılımının moment çıkaran fonksiyonu ( )
i
X t
M t q pe olduğundan Binom dağılımının moment çıkaran fonksiyonu da,
1 1 1
( ) ( ) ( )
n i
n n t t n
X X X X
i i
M t M t M t q pe q pe
olarak bulunur. Kümülant üreten fonksiyonu,
( ) ( ) ln( ( )) ln[( t n ) ] ln( t )
X X
K t t K t q pe n q pe
olup kümülantlar
0 n ( )
n X n
t
d K t K d t
eşitliği ile hesaplanır. Kümülantlardan ilk dört tanesi,
1
0 0
( ) ( )
( )
X t
t t t
d K t n p e
K n p E X
d t q p e
2 2 2
2 2 2 2
0 0
( )
( ) ( )
(1 ) ( )
t t
X t t
t t
d K t n p e n p e
K n p np
d t q p e q p e
np p n p q Var X
3 2 2 3 3
3 3 2 3
0 0
2 3
( ) 3 2
( ) ( ) ( )
3 2
t t t
X t t t
t t
d K t n p e n p e n p e
K d t q p e q p e q p e
n p np n p
4 2 2 3 3
4 4 2 3
0 0
( ) 3 2
( ) ( ) ( )
t t t
X
t t t
t t
d K t n p e n p e n p e
K d t q p e q p e q p e
2 3 4
7 12 6
n p np n p n p
olarak hesaplanmıştır. Dağılımın çarpımsal moment üreten fonksiyonu ise,
0 0 0
( ) ( X ) n x ( ) n x x n x n ( ) x n x ( ) n
X x x x
n n
N t E t t P X x t p q t p q q p t
x x
olup dağılımın çarpımsal momentlerinden ilk üç tanesi ( p q ) 1
1 1 1
( ) X ( ) ( ) n
t t
d N t
E X n q p t p n p
d t
,
2 2 2
2 1
1
( ( 1)) X ( ) ( 1) ( ) n ( 1)
t t
d N t
E X X n p n p q p t p n n p
d t
,
3 3 3 2
3 1
1
2 3
( ( 1)( 2)) ( ) ( ) ( 3 2)
( 3 2)
X n t t
d N t
E X X X n p q p t n n
d t
n n n p
olarak hesaplanmıştır.
n için X rasgele değişkenlerinin moment çıkaran fonksiyonu n ( )
X n
M t , sıfır
noktasının her komşuluğunda bir X rasgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonuna (
X ( )
M t diyelim) yakınsıyorsa, X lerin dağılım fonksiyonlarının dizisi de X in dağılım n fonksiyonuna yakınsar. Yani,
lim ( ) ( )
X n X
n M t M t
ise lim ( ) ( )
X n X
n F x F x
dir.
Rasgele değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonu bazen olmayabilir. Böyle durumlarda karekteristik fonksiyonu kullanılır. n için X rasgele değişkenlerinin n
karekteristik fonksiyonları ( ( )
X n t
) bir X rasgele değişkenin karekteristik fonksiyonuna (
X ( ) t
) yakınsıyorsa, dağılım fonksiyonları da yakınsar. Yani, lim ( ) ( )
X n X
n t t
ise lim ( ) ( )
X n X
n F x F x
dir.
5.1.3. Çok Terimli Dağılım (Multinomial Distribution)
Bernoulli deneyinde sadece iki sonuç vardır. Olabilir sonuçlarının sayısı ikiden fazla olan deneyler Bernoulli deneyi değildir. Örneğin, bir kavanozun içinde k farklı renkte top bulunsun. Bu kavanozdan çekilen topun tekrar yerine konulması koşulu ile n tane top çekelim. Buna göre, her bir denemede siyah top gelmesi olasılığı aynıdır. Kırmızı veya sarı top gelmesi olasılıkları da aynıdır. Dolayısı ile, deneyin birbirinden ayrık k farklı sonucu vardır. Siyah top gelmesi olayı E ise 1 X de gelen siyah topların sayısı olur. Kırmızı top 1 gelmesi olayı E ise 2 X kırmızı topların sayısını, 2 E de sarı top gelmesi olayı ise 3 X , sarı 3 topların sayısı olarak tanımlanabilir. Denemeler birbirinden bağımsız ve herbir denemede siyah top gelmesi olasılığı ( E olayının gerçekleşmesi olasılığı) aynıdır. Buna göre, 1 X 1 rasgele değişkeninin değer kümesi D ile X 1 X rasgele değişkeninin değer kümesi aynıdır ( 2
1 2 {0,1, 2,3,..., }
X X
D D n ).
1 , 2 ,..., k
E E E ler bir deneyin ayrık sonuçları olsun. ( , X X 1 2 , , X k ) bağımsız rasgele
değişkenleri de E olaylarının kaç defa gözlendiğini saysın. Yani, n bağımsız denemede i
X rasgele değişkeni 1 E olayının kaç defa gözlendiğini, 1 X de 2 E olayının kaç defa 2
gözlendiğini saysın. ( ) P E i p i olmak üzere, ( X X 1 , 2 , , X k ) rasgele vektörünün olasılık fonksiyonu x 1 x 2 ... x k , n p 1 p 2 ... p k , 1 x i 0,1, 2,..., n ve i 1, 2,..., k için
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
, , , ! ...
! !... !
x k
x x
k k k
k
P X x X x X x n p p p
x x x
dir. Şimdi bunun bir olasılık fonsiyonu olduğunu gösterelim. i 1, 2,3,.., k için p x i , i ve x 1 x 2 ... x k olmak üzere çok terimli Binom açılımı, n
1 1
1 1 2
1 2
...
1 2 1 2
0 0 0 1 2
( ... ) ... ! ...
! !... !
k k
k
n x x
n n x x x x
k n k
x x x k
p p p n p p p
x x x
şeklindedir. Bunun için,
1 1
1
1 2 1 2 1 2
1 0
( ... k ) n ( ( ... k )) n n x ( ... k ) n x
x
p p p p p p n p p p
x
1 2
1 1 1 2
2
2 2 3 1 2 3
2 0
( ... k ) n x ( ( ... k )) n x n x x ( ... k ) n x x
x
p p p p p n x p p p
x
olup, böyle devam ederse,
1 1
1 1 2
1 2
... 1 1 1
1 2 1 2
0 0 0 1 2
( ... ) ... k ... ... ... k
k
n x x
n n x k x x x
k n k
x x x k
n x x
n x
p p p n p p p
x x x
elde edilir. Bununla birlikte,
1 2 1
1 2
1
1 2 3
1 2 1
1
1 1 2 1 2 1 2 1 2 3
... ...
( ... )!
( )!
! !
!( )! !( )! ... !( ... )! ! ! !... !
k k
k
k k k
n x x x
n x x n n x
x x x x
n x x x
n x
n n
x n x x n x x x n x x x x x x x
olduğundan
1 1
1 1 2
1 2
1 1
1 1 2
1 2
... 1 1 1
1 2 1 2
1 2
0 0 0
...
1 2
0 0 0 1 2
( ... ) ... ... .. ..
... ! ...
! !.. !
k k
k
k k
k
n x x
n n x k x x x
k n k
k
x x x
n x x
n n x x x x
x x x k k
n x x
n n x
p p p p p p
x x x
n p p p
x x x
şeklinde çok terimli Binom açılımı elde edilmiş olur. p 1 p 2 ... p k olduğundan, 1
1 1
1
1 2
...
1 1 2 2
0 0 0
... k , , ,
k
n x x
n n x
k k
x x x
P X x X x X x
1 1
1 1 2
1 2
...
1 2
1 2
0 0 0 1 2
... ! ... ( ... ) 1
! !... !
k k
k
n x x
n n x
x
x x n
k
x x x k k
n p p p p p p
x x x
olup x 1 x 2 ... x k , n p 1 p 2 ... p k , 1 x i 0,1, 2,..., n ve i 1, 2,..., k olmak üzere
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
, , , ! ...
! !... !
x k
x x
k k k
k
P X x X x X x n p p p
x x x
şeklinde verilen fonksiyon bir olasılık fonksiyonudur.
Örnek 5.1.1 Bir kavanozda 5 siyah, 4 kırmızı ve 3 sarı top vardır. Çekilen topları tekrar yerine koyarak kavanozdan 6 top çekelim. Çekilen topların 3 siyah, 2 kırmızı ve 1 sarı olması olasılığını hesaplayalım. Burada olaylar her bir deneme için
1 {siyah top çekilmesi}
E , E 2 {kırmızı top çekilmesi} , E 3 {sarı top çekilmesi}
olarak yazıldığında E , 1 E ve 2 E olayları örnek uzayın bir parçalanmasını oluşturur. Her 3 bir olayın gerçekleşme olasılıkları ( n ) 6
1 ( ) 5 /12 1
p P E , p 2 P E ( 2 ) 4 /12 , p 3 P E ( 3 ) 3 /12 şeklinde olup aranan olasılık,
1 2 3 6! 5 3 4 2 3 1 6!(5 )(4 )(3) 3 2 6 625
3, 2, 1 0.121
3! 2!1! 12 12 12 3!2!1!(12) 5184 P X X X dır
5.1.4. Geometrik Dağılım
Bağımsız Bernoulli denemelerine ilk başarıyı elde edinceye kadar devam edelim. X ilk başarıyı elde edinceye kadar yapılan denemelerin sayısı olsun. Bu durumda denemeler
son deneme
1 tane başarısız deneme
. . . .
c c c c c
x
B B B B B B
şeklinde olacaktır. Binom deneyinde n deneme sayısı sabit olup bu n denemedeki
başarıların sayısı ile ilgileniyoruz. Oysa, geometrik deneyde başarı sayısı sabir (bir) olup bu
başarıyı elde edinceye kadar yapılan denemelerin sayısı ile ilgileniyoruz. x . denemede
başarı elde etmek için x defa başarısız denemenin gerçekleşmiş olması gerekir. Buna 1 göre, X in olasılık fonksiyonu, p başarı olasılığını göstermek üzere q için, 1 p
( ) x 1 , 1, 2,3,...
P X x p q x
şeklinde olur. Bu olasılık fonksiyonuna sahip X rasgele değişkenine Geometrik dağılıma sahiptir denir ve X ~ Geometrik p veya ( ) X ~ Geo p ile gösterilir. ( )
Bu fonksiyon,
1 1
1 1 1 0
( ) 1
1
x x y
x x x y
p p
P X x p q p q p q
q p
olduğundan bir olasılık fonksiyonudur. Dağılımın ilk iki momenti,
1
1 1 1 1
( ) ( ) x x x
x x x x
d d
E X x P X x x p q p q p q
dq dq
2 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 (1 )
d d q d q q q p
p p p p
dq q dq q dq q q p p
ve
2 2 2 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1
2 2
( ) ( )
1 1
1 1 (1 )
x x x
x x x x
x x x
x x x
d d
E X x P X x p x q p x q p x q
dq dq
d d d d d
p x q p q q p q q
dq dq dq dq dq
d d d q q
p q p
dq dq q dq q p
olarak hesaplanmıştır. Buradan dağılımın varyansı da,
2
2
2 2 2
1 1
( ) ( ) ( ) q q
Var X E X E X
p p p
şeklinde bulunur.
Şekil 5.1.3 Geometrik dağılımının olasılık fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu(p=0.3)
Dağılımın moment çıkaran fonksiyonu ise e t (1/ ) q ve t için,
1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
1
t X t x t x x t x t
X t
x x x
p p e
M t E e e P X x e p q qe
q q q e
şeklinde hesaplanmıştır.
Örnek 5.1.2 X ~ Geometrik p olsun. ( ( ) P X n ) olasılığı,
1 1
1 0
(1 )
( ) 1 ( ) 1 1 1
1
n n n
x y n
x y
p q
P X n P X n p q p q q
q
ve s t için { : ( ) 0 w X w s } { : ( ) w X w olup ( t } P X s X | koşullu olasılığı t )
| ( , ) ( ) ( )
( ) ( )
s s t
t
P X s X t P X s q
P X s X t q P X s t
P X t P X t q
olduğundan
( | ) ( )
P X s X t P X s t
özelliğine sahiptir. Kesikli dağılımlar içerisinde bu özelliğe (memoryless) sahip tek dağılım Geometrik dağılımdır
Teorem 5.1.1 Negatif değerler almayan kesikli X rasgele değişkeninin geometrik dağılıma sahip olması için gerek ve yeter koşul bütün n ler için,
| ( )
P X x n X x P X n özelliğinin sağlanmasıdır.
İspat: X ~ Geometrik p olsun. X in olasılık fonksiyonu ( ) ( ) x 1 , 1, 2,3,...
P X x p q x
olup Örnek (5.1.2) den ( P X s ) q s dir. Buradan,
,
| ( )
( ) ( )
x n n
x
P X x n X x P X x n q
P X x n X x q P X n
P X x P X x q
elde edilir. Böylece, ispatın gerek koşulu ispatlanmış olur. Şimdi, negatif değerler almayan kesikli X rasgele değişkeni bütün n ler için
| ( )
P X x n X x P X n
özelliğini sağlasın. Buradan ( P X olduğu açıktır. Bununla birlikte, 1) 1
( 1) ( ) ( 1)
P X x P X x P X ve ( x P X x ) P X ( x 1) P X ( x ) eşitlikleri de sağlanır. ( P X diyelim. Diğer taraftan 1) q
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1, )
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
1 1| ( 1) 1
P X x P X x P X x P X x P X x X x
P X x P X x P X x P X x
P X x X x P X q
olduğundan, ( P X x 1) (1 q P X ) ( x ) eşitliği elde edilir. Benzer şekilde,
( 1) (1 ) ( ) (1 ) ( 1) ( )
(1 ) ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) ( 1)
(1 ) ( 2) ( 2)
P X x q P X x q P X x P X x
q P X x q P X x q q P X x
q q P X x P X x
2
(1 ) ( 2) (1 ) ( 2)
(1 ) ( 2) . . . (1 ) x x q q P X x q P X x
q q P X x q q p q
dir. Dolayısı ile, X rasgele değişkeni, P X ( x ) p q x 1 , x 1, 2,3,... şeklinde bir olasılık fonksiyonuna sahip olduğundan Geometrik dağılıma sahiptir
Teoremin ispatı (özellikle yeter koşul) matematiksel tümevarımla da yapılabilirdi (birinci baskıda yapıldığı gibi). Teoremden aşağıdaki sonucu yazabiliriz.
Sonuç: Negatif değerler almayan kesikli X rasgele değişkeninin geometrik dağılıma olması için gerek ve yeter koşul bütün k için ( 0 P X k n X | n ) P X ( k ) özelliğini sağlamasıdır.
İspat: ( P X k n X | n ) koşullu olasılığı
| P X k n X , n P X k n P X k n X n
P X n P X n
olup X Geometrik dağılıma sahip ise olasılık fonksiyonu ( ) x 1 , 1, 2,3,...
P X x p q x veya P X ( x ) p q x , x 0,1, 2,3,...
şeklindedir. ( P X k n ) p q k n ve ( P X n ) q n olduğundan bu koşullu olasılık için
| P X k n p q k n n k ( )
P X k n X n p q P X k
P X n q
elde edilir. Dolayısı ile teoremin gerek kısmı ispatlanmıştır. Diğer taraftan, negatif değerler almayan kesikli X rasgele değişkeni P X k n X | n P X ( k ) özelliğine sahip ise, X in olasılık fonksiyonunun
( ) x , 0,1, 2,3,...
P X x p q x
şeklinde olduğununun gösterilmesi gerekir. Önce, P X k n X | n P X ( k ) ise
( ) ( ) ( )
P X k n P X k P X n (*)
olduğu açıktır. Şimdi bu özelliğe sahip kesikli X rasgele değişkeninin geometrik dağılıma sahip olduğunu tümevarım ile gösterelim. n için (*) eşitliği 1
( 1) ( ) ( 1)
P X k P X k P X
şeklinde yazılabilir. p P X ( ve 0) q olsun. 1 p k için olasılık fonksiyonu, 1
( 1)
P X p q olur. (*) ifadesinde ( P X olasılığı 1)
( 1) ( 0) ( 1) ( 0) 1 ( 1) ( 0) 1 ( 0)
P X P X P X P X P X P X P X p q olup iddia k için doğrudur. İddia k m 1 için doğru olsun. Yani, ( P X m ) p q m olsun. Bu durumda, P X ( m 1) p q m 1 olduğunun gösterilmesi gerekir. Bunun için (*) eşitliği m için tekrar yazıldığında, 1
1
( 1) ( ) ( 1) ( )[1 ( 1)]
( )[1 ( 0)] m [1 ] m
P X m P X m P X P X m P X
P X m P X pq P pq
elde edilir. Yani, negatif değerler almayan kesikli bir X rasgele değişkeni,
| ( )
P X k n X n P X k
özelliğine sahipse, olasılık fonksiyonu ( P X x ) p q x , x 0,1, 2,... şeklindedir. Bu da ispatı tamamlar
Bilindiği gibi, bağımsız Bernoulli denemeleri tekrarlandığında, deneme sayısının sabit
ve her denemede başarı olasılığının aynı olduğu varsayıldı. Gözlenen başarıların sayısı X
Binom dağılımına sahiptir. Bağımsız Bernoulli denemelerinde başarı sayısı sabit (ilk başarı)
ise, yapılan denemelerin sayısı ( Y ), ~ Y Geo p dir. Buna göre, bu iki dağılım arasında bir ( )
ilişkinin olması beklenir. X ~ Binom n p ise, X in olasılık fonksiyonu ( , )
( ) n x n x , 0,1, 2,3,...,
P X x p q x n
x
dir. Geometrik dağılımda başarı sayısı 1 olup denemelerin sayısı Y in olasılık fonksiyonu
( ) ( ) x 1 , 1, 2,3,...
g x P Y x p q x dir. Binom dağılımında, 1 başarı elde etme olasılığı
( 1) n 1
P X n p q olup n x için bu olasılık P X ( 1) x p q x 1 dir. O halde,
~ ( , )
X Binom n p ve n x için olasılık fonksiyonu ( ) f x ise, ( ) ( ) / x 1 , 1, 2,3,...
g x f x x p q x
şeklinde Geometrik dağılımın olasılık fonksiyonuna dönüşür.
Çift Geometrik Dağılım:
Eğer X ~ Geo p ise, olasılık fonksiyonu, ( )
( ) x 1 , 1,2,3,... , 0 1, 1
P X x p q x p q p
şeklinde olup rasgele değişkenin ilk iki momenti ile varyansının
1
1 1
( ) ( ) x 1
x x
E X xP X x xpq
p
2 2 2 1
1 1 2
( ) ( ) x 1
x x
E X x P X x x pq q
p
2 2
2 2 2
1 1
( ) ( ) ( ( )) q q
Var X E X E X
p p p
olduğunu biliyoruz. Buradan,
1 1
1 1 1 2
1/
x x x
x x x
p
q q q
xq xp q xp q
p p p
2 2
