Bernsteın- stancu- chlodowsky polinomlarının yakınsaklık özellikleri

T.C

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

BERNSTEIN-STANCU-CHLODOWSKY POLİNOMLARININ YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ

ONUR ÖKTEN

ARALIK 2012

Matematik Anabilim Dalı Onur ÖKTEN tarafından hazırlanan BERNSTEIN- STANCU-CHLODOWSKY POLİNOMLARININ YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ adlı Yüksek Lisans Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. Kerim KOCA

Anabilim Dalı Başkanı

Bu tezi okuduğumu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdiğini onaylarız.

Doç. Dr. Ali ARAL Danışman

Jüri Üyeleri

Başkan : Prof. Dr. Kerim KOCA

Üye (Danışman) : Doç. Dr. Ali ARAL

Üye : Doç. Dr. Ali OLGUN

/ /2013

Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onaylamıştır.

Doç. Dr. Erdem Kamil YILDIRIM

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

i

ÖZET

BERNSTEIN-STANCU-CHLODOWSKY POLİNOMLARININ YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ

ÖKTEN, Onur Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Doç. Dr. Ali ARAL

Aralık 2012, 79 sayfa

Bu çalışma iki bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, Bernstein-Stancu-Chlodowsky tipli operatörlerin tanımı verilmiş ve sınırsız aralıklar üzerinde f ve f  ‘nin süreklilik modülü yardımı ile yakınsaklık özellikleri incelenmiştir. Ayrıca f ‘nin konveks ve artan olması durumda operatöründe konveks ve artan olduğu gösterilmiştir.

İkinci bölümde, bu operatörün türevi verilmiş ve Lipschitz uzaylarında türevin yakınsaklığı incelenmiştir.

Anahtar kelimeler: Bernstein-Stancu polinomları, süreklilik modülü, monotonluk

ii

ABSTRACT

CONVERGENCE PROPERTIES OF

BERNSTEIN-STANCU-CHLODOWSKY POLYNOMIALS

ÖKTEN, Onur Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M. Sc. Thesis

Advisor: Assoc. Prof. Dr. Ali ARAL December 2012, 79 pages This thesis consist of two section.

In first section, Bernstein-Stancu-Chlodowsky operators are given and we investigate approximation properties of these operators on unbounded intervals via the modulus of continuity of f and f .

Also, it is shown that if f is convex and increasing then these operators are also convex and increasing.

In second section, it is given that derivative of these operators and convergence of derivative of these operators are investigated.

Key Words: Bernstein-Stancu polynomials, modulus of continuity, monotonicity

iii

TEŞEKKÜR

Tezimin hazırlanması esnasında hiçbir yardımı esirgemeyen, biz genç araştırmacılara büyük destek olan ve tez çalışmalarım esnasında, bilimsel konularda daima yardımını gördüğüm değerli hocam, Sayın Doç. Dr. Ali ARAL’a, çalışmalarım esnasında beni daima destekleyen Kırıkkale Üniversitesi Matematik Bölümündeki değerli hocalarıma ve beni yalnız bırakmayan sevgili aileme teşekkür ederim.

iv

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET………...i

ABSTRACT……….……...ii

TEŞEKKÜR………...iii

İÇİNDEKİLER………iv

1. BERNSTEIN-STANCU-CHLODOWSKY TİPİNDEKİ OPERATÖRLERİN YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ...1

1.1. Giriş...1

1.2. Temel Kavramlar...3

1.3. Bernstein-Stancu-Chlodowsky Operatörlerinin Yakınsaklık Özellikleri...7

1.4. T_n,,



f;x



Operatörünün Şekil Koruma Özellikleri...12

2. YENİ BERNSTEIN-STANCU-CHLODOWSKY TİPİNDEKİ OPERATÖRLERİN AĞIRLIKLI YAKLAŞIMLARI...50

2.1. Giriş... 50

2.2. Ağırlıklı Yaklaşımlar...51

2.3. T_n,,



f;x



Operatörünün Türevindeki Yakınsaklık...63

KAYNAKLAR...78

1

1.BERNSTEIN-STANCU-CHLODOWSKY TİPİNDEKİ OPERATÖRLERİN YAKINSAKLIK ÖZELLİKLERİ

1.1. Giriş

Bernstein-Stancu tipli operatörlerin, Gadjiev ve Ghorbanalizadeh tarafından aşağıdaki genelleştirilmesi 2010 yılında tanımlanmıştır

 

^{1 :}

 

^.

)

; (

2 2 2

2

0 1

1 2

, ,

r n n r

r

n r n

n x

n n x n

n f r n

x n f S



 







 













 











 



 



 ^



^_ ^_ ^_





Burada,

2 2 2

2











 

  n

x n

n ,_k,_k,k 1,2 pozitif reel sayı ve

1 2 1

02    dir. Bu çalışmada, Korovkin teoremi kullanılarak düzgün yakınsaklık teoremi ispatlanmış süreklilik modülü yardımı ile yakınsaklık hızı verilmiştir. Aynı makalede operatörün iki değişkenli durumu da incelenmiştir.

1937 yılında Chlodowsky, Bernstein operatörünün sınırsız aralıklar üzerine bir genelleştirmesini tanımlamıştır

 

2 . Bu çalışmadan ilham alarak, Gadjiev ve Ghorbanalizadeh tarafından tanımlanan operatörün genişleyen sınırsız aralık üzerine bir genelleşmesi Aral ve Acar tarafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır

 

3 :

   

r n

n r

n n

r

n r n n

n b

x n

n n

b b x

n x r n f

x n f T



 









 

















 











 





 



 





2 2 2

2

0 1

1 3 3 2

,

, ;











 

 





n

n b

n x n

n b ₂

2 2

2











 

  ve

 

bn _n1 pozitif artan, n iken

 

bn ^ ve

0 n  b_n

özellikte ki bir dizidir.

2

Bu tezde T_n,,



f;x



operatörünün bazı şekil koruma özellikleri, yani f fonksiyonu



0,



aralığında artan (azalan) olduğunda, T_n,,



f;x



operatörünün de



0,



aralığında artan (azalan) olduğu ve f fonksiyonu



0,



aralığında konveks (konkav) olduğunda, T_n,,



f;x



operatörünün de



0,



aralığında konveks (konkav) olduğu verilmiştir.

Ayrıca T_n,,



f;x



operatörünün hem f ve f  fonksiyonlarının süreklilik modülü ile ilişkisi incelenmiş, hem de ^Tn_,,



^f;^x



operatörünün ağırlıklı yaklaşım özellikleri verilmiştir.



f x



T_n,, ; operatörünün bazı özel durumları aşağıdaki gibi verilebilir:

1. ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ 0 ve b_n 1 olduğunda klasik Bernstein polinomlarını,

2. ₁ ₂ ₃ ₁ ₂ 0 olduğunda klasik Bernstein Chlodowsky tipli polinomlarını,

3. ₂ ₃ ₂ 0 ve b_n 1 olduğunda D.D. Stancu tarafından 1968 yılında yayınlanan makaledeki klasik Bernstein-Stancu

polinomlarını

 

4 ,

4. ₃ 0 ve b_n 1 olduğunda A.D.Gadjiev ve

A.M.Ghorbanalizadeh tarafından yayınlanan makaledeki polinomların değiştirilmiş Bernstein-Stancu halini elde ederiz.

3

1.2. Temel Kavramlar

Bu bölümde tezde kullanacağımız bazı kavramları tanıtacağız.



0,



B2 uzayı ile

 

x M



^{1 x2}



f  _f 

eşitsizliğini sağlayan fonksiyonların sınıfını göstereceğiz. Burada M_f, f fonksiyonuna bağlı pozitif sabittir.

Burada C



0,



uzayı,



0,



aralığında sürekli fonksiyonların sınıfı olmak üzere



0,



 ₂



0,







0,



2 B C

C

ve

     











 

 









 2

2

*

2 0, 0, :lim1

x x C f

f C

x

ise tezde kullanacağımız ağırlıklı uzaylar olarak adlandıracağımız fonksiyon sınıfıdır.

Tanım 1.2.1:



a b





f : , herhangi bir fonksiyon ve a x₀  x₁ ...x_n b olsun.

Bu durumda ^f

 

^x₀ ^{ f}

 

^x₀ olacak şekilde f fonksiyonuna bağlı bölünmüş farklar tanımı

     

0

1 1

, 0 1

1 0

,..., ,...,

,...,

, x x

x x x f x x x f

x x f

n

n n

n 

  ^

eşitliği ile verilir.

4

Tanım 1.2.2:

h, pozitif sabit bir sayı olsun.^k_h ileri fark operatörü ve f ’in tanım aralığındaki

xn

x

x₀, ₁,..., noktaları ve her k için,

   

^,

0

j j

h f x  f x



  

1

  

^{, 0}

1   

^k_h^ f x_j ^k_hf x_j ^k_hf x_j h eşitlikleri yardımı ile verilir.

Bu tanımı göz önünde bulundurarak ileri fark operatörünü toplam ifadesi olarak aşağıdaki şekilde verebiliriz:

 

^x

    

^{f x}

 

^{x x jh}



f _{j s j}

k

s

k s s k k

h 1 , ₀ .

0









 _







olarak gerçeklenir.

Tanım 1.2.3:

Her ^x1^,x2



^a,b



için

  

₁  1

  

₂ 



 ₁ 



1



₂



,

 

0,1

f x f x f x x

eşitsizliğini sağlayan fonksiyona



^a,b



aralığında konveks fonksiyon denir.

Tanım 1.2.4:

X ve Y lineer uzayları birer fonksiyon uzayı ve

 f g L

f Y

X

L:  

dönüşümü, L operatörü olsun.

5

Her f 0 için

 

f 0

L

eşitsizliği sağlanıyorsa L operatörüne pozitif operatör denir.

Tanım 1.2.5:

L, lineer pozitif operatör ve her t için f

 

t g

 

t olsun. Bu durumda

 



f t x



L



g

 

t x



L ;  ;

eşitsizliği sağlanıyorsa L operatörüne monoton operatör denir.

Tanım 1.2.6:

Kabul edelim ki f fonksiyonu



^a,b



aralığında tanımlanmış sınırlı bir fonksiyon olsun. Keyfi  0 sayısı ve t, x



a,b



için



f



f

 

t f

 

x

x t







 

 sup ω ;

şeklinde tanımlanan ω



f;



fonksiyonuna, f fonksiyonunun



^a,b



aralığındaki süreklilik modülü denir.

Ayrıca süreklilik modülü tanımından aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1.  ve ₁  pozitif sayıları için ₂  ₁ ₂ ise



f;₁



ω



f;₂



ω 

olduğu açıktır. (Monoton özellik) 2. m bir doğal sayı olmak üzere



f;m



mω



f;



ω 

eşitsizliği sağlanır.

6

3. Keyfi  0 reel sayısı için



f;

 

1 

 

ω f;



ω  

eşitsizliği sağlanır.

4. Her ^{x, t}



^a,b



^için

 

^{t f}

 

^x



^{f t x}



f  ω ;  eşitsizliği sağlanır.

Tanım 1.2.7:



a b





f : , fonksiyonu verilsin. Her  0 sayısı ve her x, y



a,b



için





x y olduğunda

 

x  f

 

y  f

olacak şekilde ^{ }

 

^ sayıları bulunabiliyorsa f fonksiyonuna



a,b



üzerinde düzgün süreklidir denir.

Tanım 1.2.8:

Y X

L:  operatörü verilsin. D

 

L  X , L ’nin en geniş tanım kümesi olmak üzere her f D

 

L için



f x



_Y M f _X

L ; 

eşitsizliğini sağlayan M^ varsa L ye D

 

L de sınırlı operatör denir.

 



_{Y X}



Y

X M L f x M f

L  

 inf : ;

sayısına L operatörünün normu denir.

7

1.3. Bernstein-Stancu-Chlodowsky Operatörlerinin Yakınsaklık Özellikleri

Lemma 1.3.1:

Herhangi bir k0 tamsayısı için,

 

   













 





 





















 

 _











^{n k}

n

r k

h k k n

k n k

k

n b

k n f r k

n k n b

n k x n

f T

1 1 0

2 ,

,

1

!

; !











 

r n

k n r

k n n

r b

x k

n k n k

n b

x ^



 









 























 



2 2 2

2









eşitliği geçerlidir. Burada

1



  ^

k n

h b^{n k} , f ’e bağlı ileri fark operatöründeki

artma miktarıdır

 

5 . İspat:

  

 











 





 



 



n

r

n n

n b

n x r n f

x n f T

0 1

1 3 3 2

,

, ;



 

 





 

r n

n r

n n

r b

x n

n n

b

x ^











 

















 



2 2 2

2









operatöründe ₃ 0 ve ₃ 1 alındığında klasik anlamdaki Bernstein- Chlodowsky operatörüne dönüşür. Bu durumda;

   

r n

n r

n n r n

r

n n

n b

x n

n n

b b x

n f r n

x n f T



 









 

















 











 



 



 





2 2 2

2

0 1

1 2

,

, ;



















dir. T_n,,



f;x



operatöründe nnk yazılırsa;

  









 













 



 









 

k n

r

k n k

n k

n b

k n f r k

n k x n

f T

0 1

1 2

,

, ;











8

 

r k n

k n r

k n k n

r b

x k

n k n k

n b

x ^{ }

















 























 



2 2 2

2









olur. T_{nk,,}



f;x



operatöründe k -kez türev alırsak

 

 

b

 

P

 

x

k n f r k

n k x n

f T

k n

r

k n r k n k

n k

k

n













 















 



 









 

0 1

1 2

,

, ;











elde edilir. Burada,

 

r k n

k n r

k n k k

b x k

n k n k

n b

x dx x d P



















 























 



2 2 2

2









dır. Şimdi P

 

x fonksiyonuna Leibnitz kuralını uygularsak

 

r

k

n n k

b x x

f 













 



 2

2



 ve

 

r k n

k

bn

x k

n k x n

g

















 







 

2 2





olmak üzere

 

r

k

n n k

b x x

f 













 



 2

2





1

2 2 2

2 1 ^





















 











 















 



r

k n k n r

k

n b n k

x r b

k n b

x dx

d









 

2

2 2 2

2 2 2

2 1

1







 













 











 

 















 



r

k n k n r

k

n b n k

x r b

k r n b

x dx

d









  

3

2 2 3

2 2 3

3 1

2 1























 











 



 















 



r

k n k n r

k

n b n k

x r b

r k r

n b

x dx

d









yazılabilir ve benzer şekilde devam edilirse,

 











 















 













 















 







 r s

s k r

n b

x b

s r

r k

n b

x dx

d

s r

k n s

k n r

k n s s

, 0

1 ,

!

!

2 2

2

2 







bulunur. Böylece

9

 

r k n

k

bn

x k

n k x n

g





 









 







 

2 2





 

1

2 2 2

2 1 ^{  }









 









 



















  



 











 







 

r k n

k n k

n r

k n

k

n b

x k

n k n r b

k b n

x k

n k n dx

d









 

¹



2 2 2

2











 











 







 







r k n r k b n

x k

n k n dx

d ^{n k r}

k

 n



2

2 2

1 2 ^{  }















 





















r k n

k n k

n b

x k

n k n

b 



 

¹



²



2 2 3

3

















 











 







 







r k n r k n r k b n

x k

n k n dx

d ^{n k r}

k

 n



3

2 2

1 3 ^{ }



 









 



















 

r k n

k n k

n b

x k

n k n

b 



ifadelerinden aşağıdaki eşitlik kolaylıkla görülebilir:

r k n

k n s

k s k

b x k

n k n dx

d ^{ }

















 







 

2 2





    

s r n

k n s

k

k

n b

x k

n k n s b

r n r

k n r k n









 









 



















  

















2

1 2

1 ...

1 



 

 

s r n

k n s

k

k

n b

x k

n k n s r n

r k n b









 









 



























 

2 2

!

! 1





 

 

^.

, 0

! , 1 !

2 2













 











 



























 













n s r

n s b r

x k

n k n s r n

r k n b

s r n

k n s

k

k

n 



Bu durumda;

   

 

 

 

 



_{n k}



^{k s}

s s k

k

s n k

k

s n s r b

r k n b

s r x r

P _





 



























^! _! ¹ _!^{! 1}

0

10

r s n

k n s

r

k

n b

x k

n k n k

n b

x ^





 









 























 



2 2 2

2









 

 

 

   









 







 













k

s

s k k

s k

k

n n s r

r k n s r

r

b ₀ 1

!

!

!

! 1

r s n

k n s

r

k

n b

x k

n k n k

n b

x ^{ }





 









 























 



2 2 2

2









olarak bulunur. Bu ifade operatörde yerine yazılırsa

 

  _

^

 









 















 



 









 

k n

r

k n r k n k

n k

k

n b

k n f r k

n k x n

f T

0 1

1 2

,

, ;











 

 

 

   









 







 













k

s

s k k

s k

k

n n s r

r k n s r

r

b ₀ 1

!

!

!

! 1

r s n

k n s

r

k

n b

x k

n k n k

n b

x ^{ }

















 























 



2 2 2

2









_

^

  ^{ }







 

















 



 









 

k n

r

n s r k n k

n

n k b n

k n f r k

n k n

0 1

1 2

!

!







   

r s n

k n s

r

k n k

s

s k k

s k

k

n b

x k

n k n k

n b

x b









 



 









 























 

 















2 2 2

2 0

1 1









elde edilir. Şimdi, r yerine r  yazarsak bu durumda operatör, s

 



^{f x}



T_n^k_k,, ;

 

^k

k n k

n

b n

k n k

n k n











 





 









 



 1

!

2 !



 

r n

k n r

k n n

r n

r b

x k

n k n k

n b

x ^



  









 























 





2 2 2

2

0 







   



























 



k

s

k n s

k k

s b

k n

s f r

0 1

1 1





11

 













 



 





















 

 _









^{n k}

n

r k

h k k n

k n

k b n f r k

n k n b

n k n

1 1 0

1 2

!

!







 

r n

k n r

k n n

r b

x k

n k n k

n b

x ^















 























 



2 2 2

2









elde edilir.

Teorem 1.3.1:

,

f



a,b



aralığında konveks bir fonksiyon olması için gerek ve yeter şart f ’in ikinci merteben bölünmüş farklarının pozitif olmasıdır

 

5 .

İspat:

f ’in ikinci merteben bölünmüş farkları pozitif olsun.

Bu durumda a x₀  x₁ x₂ b olmak üzere

     

1 2

1 0 2

1 2

1 0

, , ,

, x x

x x f x x x f

x x

f 

 

olduğundan ^f



^x₀^,x₁^,x₂



^0 olması için ^f



^x₁^,x₂



^{ f}



^x₀^,x₁



^0 olmalıdır.

Bu durumda



^x₁^,x₂



^{ f}



^x₀^,x₁



^0

f 



^,

 

^,

 ^{       }

⁰

0 1

0 1

1 2

1 2

1 0 2

1 



 



 

 x x

x f x f x

x

x f x x f

x f x x f

^



^x₁ ^x₀

   

^{f x}₂ ^{ f}

 

^x₁

 

^{ x}₂ ^x₁

   

^{f x}₁ ^{ f}

 

^x₀



^



^x₁ ^x₀

   

^{f x}₂ ^{ x}₂ ^x₁

   

^{f x}₀ ^{ x}₂ ^x₀

  

^{f x}₁

 

     

   

₀

 

₁

0 2

1 2 2 0 2

0

1 f x f x

x x

x x x

x f x

x

x 



 



 

yazılabilir.

 



_{2 0}



1 2

x x

x x



 

 için

 



_{2 0}



0

1 1

x x

x x



 

 olduğundan

12

   

 

 



_{2 0}



¹

0 1 2 0 2

1 2 0 2

0 1 x

x x

x x x

x x

x x x

x

x 



 



 



 



elde edilir. Dolayısıyla



^x₁^,x₂



^f



^x₀^,x₁



⁰



¹

  

^{f x}₂ ^f

 

^x₀ ^f



^x₀



¹



^x₂



f         

 f,



a,b



aralığında konvekstir.

1.4. T_n,,



f;x



Operatörünün Şekil Koruma Özellikleri

Bu bölümde, Bernstein-Stancu-Chlodowsky operatörünün monotonluk ve konvekslik özelliklerini vereceğiz.

Teorem 1.4.1:



^



C² 0,

f ve f 

 

x ,



0,



aralığında monoton artan olsun. Eğer f

 

x ,



0,



aralığında konveks(konkav) fonksiyon ise n2 için T_n,,



f;x



operatörü



0,



aralığında konveks(konkav) dır

 

^{5 .}

İspat:



f x



T_n,, ; operatörünün önce birinci türevini hesaplarsak

   

r n

n r

n n

r

n r n n

n b

x n

n n

b b x

n x r n f

x n f T



 









 

















 











 





 



 



2 2 2

2

0 1

1 3 3 2

,

, ;











 

 





olmak üzere,