Zaman gecikmeli büyük güçlü rüzgâr türbinleri kanat açı kontrol sisteminin kararlılık analizi

T.C.

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ZAMAN GECİKMELİ BÜYÜK GÜÇLÜ RÜZGÂR TÜRBİNLERİ KANAT AÇI KONTROL SİSTEMİNİN KARARLILIK ANALİZİ

ÖMER TÜRKSOY

Mayıs 2016 YÜKSEK LİSANS TEZİ Ö.TÜRKSOY, 2016 DE ÜNİVERSİTESİ İMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C.

NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANA BİLİM DALI

ZAMAN GECİKMELİ BÜYÜK GÜÇLÜ RÜZGÂR TÜRBİNLERİ KANAT AÇI KONTROL SİSTEMİNİN KARARLILIK ANALİZİ

ÖMER TÜRKSOY

Yüksek Lisans Tezi

Danışmanlar Prof. Dr. Saffet AYASUN

Doç. Dr. Yakup HAMEŞ

Mayıs 2016

TEZ BİLDİRİMİ

Tez içindeki bütün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Ömer TÜRKSOY

ÖZET

ZAMAN GECİKMELİ BÜYÜK GÜÇLÜ RÜZGÂR TÜRBİNLERİ KANAT AÇI KONTROL SİSTEMİNİN KARARLILIK ANALİZİ

TÜRKSOY, Ömer Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Elektrik Elektronik Mühendisliği Ana Bilim Dalı

Danışman :Prof. Dr. Saffet AYASUN

İkinci Danışman :Doç. Dr. Yakup HAMEŞ Haziran 2016, 62 Sayfa

Bu tez çalışmasında, büyük güçlü rüzgâr türbinleri kanat açı kontrol sistemlerinde hidrolik basınç ünitesinden ve rüzgâr hız-yön bilgisi ölçümlerinden dolayı meydana gelen zaman gecikmesinin sistem dinamiği üzerine olan etkileri araştırılmıştır.

Çalışmanın birinci aşamasında, büyük güçlü rüzgâr türbinleri kanat açı kontrol sistemin sınırda kararlı olacağı maksimum zaman gecikmesi değeri literatürde bulunan üstel terimin yok edilmesi yöntemiyle hesaplanmıştır. Daha sonra bu zaman gecikmesine karşılık sistemin birim basamak cevabı Matlab/Simulink programı yardımıyla incelenmiştir. İnceleme sonucunda teorik olarak elde edilen değerler gerçek değerlere oldukça yakın olduğu görülmüştür. Çalışmanın ikinci aşamasında ise verilen bir zaman gecikmesi değeri için sistemin kararlı çalışabileceği kontrolör parametre uzayındaki bölge literatürde bulunan bir yöntemle bulunmuştur. Sistem beklenmeyen koşullardan dolayı her zaman istenilen durumlarda çalışmayabilir. Bu sebeple, sisteme fiziksel olarak kazanç-faz payı ifadesi ilave edilerek maksimum zaman gecikmesi hesaplanmış ve sistemin kararlılık bölgesi belirlenmiştir. Bunun sonucunda kazanç-faz paylarının analizlerde büyük öneme sahip olduğu gösterilmiştir.

Anahtar Sözcükler:Büyük güçlü rüzgâr türbinleri, kanat açı kontrolü, üstel terimin yok edilmesi metodu, maksimum zaman gecikmesi, kararlılık, kazanç-faz payı, MATLAB/SIMULINK.

SUMMARY

STABILITY ANALYSIS OF TIME DELAYED PITCH CONTROL SYSTEMS OF LARGE WIND TURBINES

TURKSOY, Omer Nigde University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Electrical Electronic Engineering

Supervisor : Professor Dr. Saffet AYASUN

Co-Advisor : Associate Professor Dr. Yakup HAMES

June 2016, 62 Pages

In this MSc thesis study, effects on the system dynamics of the time delay which is occurring due to the hydraulic driven unit and measurement of wind speed-direction in the pitch control of the large wind turbines have been investigated. In the first stage of the study the delay margins for stability of a pitch control system of large wind turbines have been theoretically computed by using elimination of the exponential term method.

After that, unit step-response of the system has been investigated by Matlab/Simulink program. Delay margin values that theoretically obtained were found to be quite close to the actual values. In the second stage of the study, stability region of the system in the controller parameter space was found by using a method in literature. The system may not always work in the desired state owing to unexpected conditions. For this reason, delay margin and stability region were also computed by taking into phase and gain margin. Results show that phase-gain margins have great significance in the stability.

Keywords: Large wind turbines, pitch control, elimination of exponential term, delay margin, stability, phase-gain margin, MATLAB/SIMULINK.

ÖNSÖZ

Bu yüksek lisans çalışmasında, büyük güçlü rüzgâr türbinleri kanat açı kontrol sistemlerinde meydana gelen zaman gecikmesinin sistem dinamiği üzerine olan etkileri araştırılmıştır. Bu amaçla, büyük güçlü rüzgâr türbinleri kanat açı kontrol sistemin sınırda kararlı olacağı maksimum zaman gecikmesi değeri literatürde bulunan üstel terimin yok edilmesi yöntemiyle hesaplanmıştır. Matlab/Simulink programı yardımıyla zaman gecikmesine karşılık sistemin birim basamak cevabı incelenmiştir. Benzetim çalışmaları sonucunda teorik olarak elde edilen değerlerin gerçek değerlere oldukça yakın olduğu görülmüştür. Bu verilerle sistemin kararlılık bölgesi literatürde bulunan bir yöntemle belirlenmiştir. Son olarak sisteme fiziksel olarak kazanç-faz payı ifadesi ilave edildikten sonra maksimum zaman gecikmesi değeri hesaplanmış ve sistemin kararlılık bölgesi yeniden belirlenmiştir. Bunun sonucunda kazanç-faz paylarının analizlerde büyük öneme sahip olduğu ortaya konulmuştur.

Yüksek lisans tez çalışmamın yürütülmesi esnasında, çalışmalarıma yön veren, bilgi ve tecrübesini esirgemeyen ve bana her türlü desteği sağlayan danışman hocalarım, Sayın Prof. Dr. Saffet AYASUN'a ve Sayın Doç. Dr. Yakup HAMEŞ’e ayrıca yüksek lisans tez çalışmam esnasında tecrübelerine başvurduğum Arş. Gör. Şahin SÖNMEZ’e en içten teşekkürlerimi sunarım.

İskenderun Teknik Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği bölümündeki değerli öğretim elemanlarına, maddi ve manevi destekleri ile her zaman yanımda olan aileme teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

ÖZET ... iv

SUMMARY ... v

ÖN SÖZ ... vi

İÇİNDEKİLER DİZİNİ ... vii

ŞEKİLLER DİZİNİ ... ix

ÇİZELGELER DİZİNİ ... xi

SİMGE VE KISALTMALAR DİZİNİ ... xii

BÖLÜM I ... 1

GİRİŞ ... 1

BÖLÜM II ... 6

ZAMAN GECİKMELİ RÜZGÂR TÜRBİN MODELİ ... 6

2.1 Rüzgâr Türbin Sisteminin Tanımı ve Yapısı ... 6

2.2 Zaman Gecikmeli Rüzgâr Türbin Sistemi ... 6

2.3. Kazanç-Faz Payı ... 12

BÖLÜM III ... 15

ÜSTEL TERİMİN YOK EDİLMESİ ... 15

3.1 Üstel Terimin Yok Edilmesi Metodu ... 15

3.1.1 Tek zaman gecikmeli durum ... 16

3.1.2 Orantılı zaman gecikmesi durumu ... 20

3.2. Üstel Terimin Yok Edilmesi Metodunun Rüzgâr Türbinine Uygulaması ... 24

3.2.1. Orijinal sistemin zaman gecikmesinin hesabı ... 24

3.2.2. Teorik zaman gecikmesi değerlerinin doğrulanması ... 29

3.2.3. Kazanç-Faz payı tabanlı zaman gecikmesi değeri hesabı ... 31

BÖLÜM IV ... 42

KARARLILIK BÖLGESİNİN BELİRLENMESİ ... 42

4.1. Metod ... 42

4.2 Zaman Gecikmeli Rüzgâr Türbini Kanat Açı Kontrol Sistemi Uygulaması ... 43

BÖLÜM V ... 55

SONUÇ VE ÖNERİLER ... 55

KAYNAKLAR ... 57 ÖZ GEÇMİŞ ... 61 TEZ ÇALIŞMASINDAN ÜRETİLEN ESERLER ... 62

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1.1. Zaman gecikmesine bağlı olarak karakteristik denklemin köklerinin

konumunun değişimi ... 4

Şekil 2.1. Yatay eksenli rüzgâr türbini ... 6

Şekil 2.2. Rüzgâr türbin sistemlerindeki kanat açı kontrol sisteminin blok diyagramı .... 7

Şekil 2.3. Rüzgar türbin sistemindeki kule ve kanat salınma yönlerinin şematik gösterimi (Suryanarayanan ve Dixit, 2005) ... 7

Şekil 2.3. Kazanç-Faz payının kontrol sistemine ilave edilmesi ... 13

Şekil 3.1. KP=5 , KI=-10 değerleri için sistem birim basamak cevabı ... 30

Şekil 3.2. KP=9, KI=-16 değerleri için sistem birim basamak cevabı ... 30

Şekil 3.3. Kazanç payı ifadesinin artmasıyla birim basamak cevabın değişimi (KP=5, KI=-10) ... 37

Şekil 3.4. Faz payı ifadesinin artmasıyla birim basamak cevabın değişimi (KP=5, KI=-10) ... 39

Şekil 3.5. Kazanç-Faz payı ifadelerinin aynı anda değişmesiyle birim basamak cevabın değişimi(KP=5,KI=-10) ... 40

Şekil 4.1. Zaman gecikmesi değeri τ =0.25s ,kazanç payı A= 1-2-3 değerleri ve faz payı φ= için kararlılık bölgesinin değişimi ... 470 Şekil 4.2. Zaman gecikmesi değeri τ =0.5s ,kazanç payı A= 1-2-3 değerleri ve faz payı 0 φ = için kararlılık bölgesinin değişimi ... 47

Şekil 4.3. Zaman gecikmesi değeri τ =1s ,kazanç payı A= 1-2-3 değerleri ve faz payı 0 φ = için kararlılık bölgesinin değişimi ... 48

Şekil 4.4. Zaman gecikmesi değeri τ =2s ,kazanç payı A= 1-2-3 değerleri ve faz payı 0 φ = için kararlılık bölgesinin değişimi ... 48

Şekil 4.5. Zaman gecikmesi değeri τ =0.25s ,kazanç payı A= 1 ve faz payı 0,5,15,30 φ = değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 49

Şekil 4.6. Zaman gecikmesi değeri τ =0.5s ,kazanç payı A= 1 ve faz payı 0,5,15,30 φ = değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 49

Şekil 4.7. Zaman gecikmesi değeri τ =1s ,kazanç payı A= 1 ve faz payı φ =0,5,15,30 değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 50

Şekil 4.8. Zaman gecikmesi değeri τ =2s ,kazanç payı A= 1 ve faz payı φ =0,5,15,30 değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 50 Şekil 4.9. Zaman gecikmesi değeri τ =0.25s ,kazanç payı A= 1,2 ve faz payı

0 150

φ = − değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 51 Şekil 4.10. Zaman gecikmesi değeri τ =0.5s ,kazanç payı A= 1,2 ve faz payı φ =0,15 değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 51 Şekil 4.11. Zaman gecikmesi değeri τ =1s ,kazanç payı A= 1,2 ve faz payı φ =0,15 değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 52 Şekil 4.12. Zaman gecikmesi değeri τ =2s ,kazanç payı A= 1,2 ve faz payı φ =0,15 değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 52 Şekil 4.13. Zaman gecikmesi değeri τ =0.25s kazanç payı A= 1,2 ve faz payı φ =0,15 değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 53 Şekil 4.14. Zaman gecikmesi değeri τ =0.25 2s− ,kazanç payı A= 1 ve faz payı φ = 0 değerleri için kararlılık bölgesinin değişimi ... 54

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 2.1. Rüzgâr türbin sistemi parametreleri ... 14 Çizelge 3.1. Üstel terimin yok edilmesi metoduyla elde edilen zaman gecikmesi

değerlerinin KP ve KI’ya göre değişimi ... 29 Çizelge 3.2. A=1 ve φ=0 değerleri için hesaplanan maksimum zaman gecikmesi değerleri ... 36 Çizelge 3.3. A=2 ve φ=0 değerleri için hesaplanan maksimum zaman gecikmesi değerleri ... 36 Çizelge 3.4. A= ve 3 φ=0 değerleri için hesaplanan maksimum zaman gecikmesi değerleri ... 37 Çizelge 3.5. A=1 ve φ=5 değerleri için hesaplanan maksimum zaman gecikmesi değerleri ... 38 Çizelge 3.6. A=1 ve φ=15 değerleri için hesaplanan maksimum zaman gecikmesi değerleri ... 38 Çizelge 3.7. A=1 ve φ=30 değerleri için hesaplanan maksimum zaman gecikmesi değerleri ... 39 Çizelge 3.8. A=2 ve φ=15 değerleri için hesaplanan maksimum zaman gecikmesi değerleri ... 40

SİMGE VE KISALTMALAR DİZİNİ

Simgeler Açıklama

τ Zaman gecikmesi

τ^∗ Maksimum zaman gecikmesi

KP Oransal kontrolör kazancı

KI İntegral kontrolör kazancı

β Kanat açısının değişim miktarı

ωc Pozitif reel kök

xt Kule ileri-geri sapma miktarı

xb Kanat salınma miktarı

µb Birinci kanat salınma modeli

µt Birinci kule ileri-geri salınma modeli

R Rotor yarıçapı

H Kule yüksekliği

v Rüzgâr hızı

,

µ

b r Kanat birim uzunluk kütlesi

,

µ

t z Kulenin birim uzunluk kütlesi

,

kb r Kanadın birim uzunluktaki sağlamlığı

,

kt z Kulenin birim uzunluktaki sağlamlığı

µb^•• Şekil modunun boşluğa göre ikinci türevini

Ω Türbin dönme hızı

ρ Hava yoğunluğu

P Nominal Güç

A Kazanç payı

φ Faz payı

BÖLÜM I

GİRİŞ

Yenilenebilir enerji kaynaklarına talebin artmasıyla birlikte, yenilebilir enerji kaynakları içerisinde en hızlı gelişen enerji üretim teknolojisine sahip (Vidal vd., 2012;

Jafarnejadsani vd., 2013; Chen vd., 2013), güvenilir ve minimum bakımla çalışabilen büyük güçlü rüzgâr türbin sistemleri büyük önem kazanmaktadır (Schuler vd., 2013).

Avrupa’da 2014 yılı içerisinde yeni kurulan santrallerin %43.7’ sini, yeni kurulan yenilenebilir enerji santrallerinin de %55.3’ünü rüzgar türbin sistemleri oluşturmaktadır (Gao ve Gao, 2016). Poultangari vd. (2012)’de verilen bilgilere göre, 2020’de dünyanın ihtiyacı olan elektriğin %10’u rüzgâr enerjisinden sağlanacaktır.

Rüzgâr türbini üretim kapasitesi artması, enerji dönüşüm sistemindeki maksimum güç performansı ve maksimum verim için gerçekçi, güvenilir ve güçlü kontrol stratejilerinin geliştirilmesini gerektirmektedir (Wang vd., 2011; Anjun vd., 2011). Sabit hızlı rüzgâr türbinleriyle, değişken kanat açılı ve değişken hızlı rüzgâr türbinleri kıyaslanınca, değişken kanat açılı ve değişken hızlı rüzgâr türbinleri dünya pazarının büyük çoğunluğunu oluşturmaktadır.

Rüzgâr türbini kontrolü literatürde yer alan birden fazla yöntemle yapılmaktadır. Bu metotlar; güçlü (robust) kontrol (Geng ve Yang, 2010), bulanık (fuzzy) kontrol (Van ve Lee, 2012), PI tabanlı kontrol (Wang vd., 2011), PID tabanlı kontrol (Anjun vd., 2011), yapay sinir ağı tabanlı kontrol (Liao vd., 2014) metotlarıdır.

Büyük güçlü rüzgâr türbin sistemlerinin kontrolünün en önemli parçası kanat açı kontrol sistemidir (Anjun vd., 2013). Rüzgar hızı nominal hızın altında olduğunda sistem, değişken hızlı rüzgar türbin sistemi gibi davranır ve maksimum enerji dönüşüm koşullarında çalışır. Rüzgar hızı nominal hızın üzerinde olduğunda ise sistem kanat açısını değiştirerek çıkış gücünün nominal değerde kalmasını sağlar (Wang vd., 2011;

Perng vd., 2014; Ren vd., 2016; Li vd., 2016).

Kanat açı kontrolü iki tip sürücü modeli ile gerçekleştirilebilir. Bunlar hidrolik basınç modeli ve elektrikli sürücü modelleridir. Büyük güçlü rüzgâr türbin sistemlerinde, elektrikli sürücü modelinden daha fazla tork sağlayan hidrolik basınç ünitesi kullanılmaktadır. Bu hidrolik basınç sürücüsü bir zaman gecikmesini ortaya

çıkarmaktadır (Gao ve Gao, 2016). Ayrıca rüzgâr hızı ve yön bilgisi gibi değerlerin ölçümünden kaynaklı zaman gecikmeleri de ortaya çıkmaktadır. Tüm bu zaman gecikmeleri, kontrol metotlarının parametrelerinin bulunması için geliştirilen birçok yönteme rağmen (Ziegler ve Nichols, 1942; Aström vd., 1993), analizlerin karmaşıklığını ve parametrelerin bulunmasını zorlaştırmaktadır.

Ortaya çıkan bu zaman gecikmeleri, sistem dinamiğini olumsuz etkileyerek kararsızlıklara sebep olmaktadır. Bu yüzden, zaman gecikmeleri, kontrolör tasarım ve sistem dinamiğinin analizinde dikkate alınmalı ve zaman gecikmesi içeren büyük güçlü rüzgâr türbin sistemlerinin karmaşık dinamik analizlerinin yapılmasına imkân verecek analitik yöntemler geliştirilmelidir. Özellikle, sistemin sınırda kararlı olacağı maksimum zaman gecikmesinin bilinmesi oldukça önemlidir. Seçilecek sistemin zaman gecikmesi sistemin sınırda kararlı olacağı maksimum zaman gecikmesinden küçük olması gerekmektedir. Rüzgâr türbin sisteminde ortaya çıkan bu zaman gecikmeleri kararsız bir etki oluşturarak rüzgâr türbininin verimini etkilemekte ve maksimum gücü takip etmekte sıkıntı oluşturmaktadır.

Literatürde, zaman gecikmeli sistemlerdeki maksimum zaman gecikmesini hesaplamak için, karakteristik denklemin tüm sanal köklerinin belirlenmesine dayalı birden çok yöntem vardır. Bu yöntemler şunlardır:

1) Üstel terimin yok edilmesi yöntemi (Walton ve Marshall, 1987)

2) Rekasius yerine koyma yöntemi (Fazelinia vd., 2007; Hertz vd., 1984; Olgac ve Sipahi, 2002; Olgac ve Sipahi, 2004; Rekasius, 1980)

3) Schur-Cohn (Hermite matris formu) (Chen vd., 1995; Gu vd., 2003; Fu vd., 2006) 4) Kronecker çarpım ve temel dönüşüm (Louisell, 2001)

5) Matris pencil - Kronecker toplam metodu (Chen vd., 1995; Gu vd., 2003; Fu vd., 2006; Su, 1995)

Bu yöntemler nümeriksel birbirinden olarak farklıdır. Literatürde bu çalışmaların detaylı olarak karşılaştırılması Sipahi ve Olgac (2005)’de verilmektedir.

Zaman gecikmeli büyük güçlü rüzgâr türbinleri kanat açı kontrol sisteminin kararlılık analizini yapabilmek için, sistemin karakteristik denkleminin köklerinin zaman gecikmesine bağlı olarak nasıl değiştiğinin incelenmesi gerekmektedir. Fakat zaman

gecikmeli sistemlerin karakteristik denkleminde bulunan zaman gecikmesinden dolayı üstel terim (e^−sτ) bulunmakta ve bu terim köklerin bulunması işlemini karmaşık hale getirmektedir. Üstel terimin bulunması karakteristik denklemin sonsuz adet kökü olmasına sebep olmaktadır. Sonsuz adet kökün zaman gecikmesine bağlı olarak değişimini incelemek oldukça zordur. Fakat kararlılık analizi için sonsuz adet kökün belirlenmesi gerekmemektedir. Kararlılık analizi için hangi kökün zaman gecikmesine göre nasıl değişeceğini incelemek yeterli olacaktır. Büyük güçlü rüzgâr türbini kanat açı kontrol sisteminin kararlı olabilmesi için karakteristik denklemin tüm köklerinin sanal eksenin sol yarı bölgesinde olması gerekmektedir.

Zaman gecikmesi içeren sistemlerdeki kararlılık çalışmalarının amacı, sistemin kararlı çalışabileceği parametre değerleri için gecikme koşullarının belirlenmesi ve sistemin kararlı çalışabileceği maksimum gecikme değerinin hesaplanmasıdır. Zaman gecikmesi τ ’nun değişimine göre karakteristik denklemin köklerinden bazılarının konumunu değişecektir. Bu değişimi ve sistemin bu zaman gecikmesiyle birlikte nasıl kararsız hale geleceği Şekil 1.1’ de gösterilmiştir. Sistemde herhangi bir zaman gecikmesi olmadığında (τ =0), kökler kompleks düzlemin sol yarı bölgesinde bulunmaktadır. Bu yüzden sistem kararlı olmaktadır. Zaman gecikmesi değeri arttığında kökler sol yarı bölgeden sağ yarı bölgeye doğru hareket etmektedir. Sonlu bir zaman gecikmesi değerinde (τ =τ^∗) kökler sanal ekseni keserek sağ yarı düzleme geçmektedir. τ =τ^∗ zaman gecikmesi değerinde sistem sınırda kararlı olmaktadır. Kararlılık analizi için köklerin hangi zaman gecikmesi değerinde sanal eksen üzerinde olduğunu belirlemek yeterlidir. Bu değer sistemin maksimum zaman gecikme değeridir. Yani sistem bu değere kadar kararlılığını korumaktadır. Zaman gecikmesi değeri biraz daha arttığında sistem kararsız olmaktadır. Sistem parametre değerleri için, maksimum zaman gecikmesine (τ =τ^∗) bağlı olan sistemin kararlılık sınırının belirlenmesi, sistem dinamiğini analiz etmek için büyük önem taşımaktadır.

δ

0 τ=

0 τ=

ω j

* τ

j

ω

c

τ1 τ2

τ τ τ₁= *−∆

τ τ τ₂= *+∆

2

1 τ* τ

τ < <

j ω

c

−

Şekil 1.1. Zaman gecikmesine bağlı olarak karakteristik denklemin köklerinin konumunun değişimi

Zaman gecikmesi içeren sistemlerde, sistemin kararlı çalışabileceği parametre değerlerinde gecikme şartlarının belirlenmesi ve sistemin kararlı çalışabileceği maksimum gecikme zamanının hesaplanması kararlılık çalışmaları açısından büyük önem taşımaktadır. Fakat pratikte büyük güçlü rüzgâr türbin sistemi kanat açı kontrol sistemi beklenmeyen durumlardan dolayı istenen koşullarda çalışmayabilir. Bu yüzden kararlılık analizine dâhil edilmesi gereken parametreler, istenilen sistem dinamiği performansını sağlayan kazanç ve faz paylarıdır (Chang ve Han, 1991; Tan, 2009;

Srivastava ve Pandit, 2016). Kazanç ve faz payları kontrol sisteminin dayanıklılığı ve dinamik performansıyla doğrudan ilişkilidir. Kazanç ve faz paylarına bağlı olarak, sistemin sınırda kararlı olacağı maksimum zaman gecikmesi (τ =τ^∗) değerine karşılık gelen kökler sanal eksenin sol yarı düzlemine kaymaktadır. Böylece sistemin kararlılık bölgesi değişmektedir. Bunun için analizler yeniden yapılıp sistemin belirlenen kazanç ve faz paylarında sahip olacağı yeni bir zaman gecikmesi değeri (τ =τ_GPM ) hesaplanması gerekmektedir. Daha sonra bu zaman gecikmesine karşılık gelen kararlılık bölgesi belirlenmelidir. Kazanç ve faz paylarının seçimi analizlerin gerçekçiliği ve güvenilirliği için oldukça önemlidir (Wang, 2012). Kazanç payı ve faz payı, kontrol sisteminde fiziksel olarak bulunan bir kısım değildir. Kontrol sistemine sanal olarak

ilave edilerek sistemin istenmeyen koşullar altında da kararlılığını garanti edecek sistem parametrelerinin hesaplanması için kullanılan bir yöntemdir.

Bu yüksek lisans tez çalışmasında; zaman gecikmelerinin sistem dinamiğine ve kararlılığına olan etkileri detaylı olarak araştırılıp Zaman Gecikmeli Büyük Güçlü Rüzgâr Türbin Sistemlerindeki Kanat Açısı Kontrol sistemlerinin kararlılığı için, literatürde bulunan Üstel Terimin Yok Edilmesi yöntemiyle maksimum zaman gecikmesi değeri teorik olarak hesaplanmıştır. Ayrıca kazanç ve faz payı gibi parametreler dikkate alınarak bu analizler yeniden yapılmıştır. Elde edilen teorik sonuçlar Matlab/Simulink programı kullanılarak sonuçlar doğrulanmıştır.

BÖLÜM II’de Zaman Gecikmeli Rüzgâr Türbin modeli ve yapısı hakkında temel bilgi verilmekte ayrıca meydana gelen zaman gecikmeleri ve kazanç ve faz payı gibi parametrelerin sistem kararlılığına olan etkileri anlatılmaktadır. BÖLÜM III’de zaman gecikmesinin teorik olarak hesaplanması için kullanılan Üstel Terimin Yok Edilmesi metodu açıklanmakta ve bu metodun büyük güçlü rüzgâr türbin sistemine uygulanması verilmektedir. BÖLÜM IV’de kararlılık bölgesinin belirlenmesinde kullanılan metod verilmesi ve bunun zaman gecikmeli büyük güçlü rüzgâr türbin sistemlerinin kanat açı kontrol sistemlerine uygulayarak kararlılık bölgesi belirlenmektedir. BÖLÜM V’de ise sonuçlar ve öneriler verilmiştir.

BÖLÜM II

ZAMAN GECİKMELİ RÜZGÂR TÜRBİN MODELİ

2.1 Rüzgâr Türbin Sisteminin Tanımı ve Yapısı

Yatay eksenli rüzgar türbin sisteminin en ilkel yapısı Şekil 2.1.’de verilmiştir. Genel olarak rüzgâr türbin sisteminin yapısında üç tane büyük çaplı kanat, kuvvetli bir rotor, sağlam bir kanat merkezi (hub) ve dişli kutusu bulunur. Rüzgâr türbin sistemleri geniş rüzgâr hızı aralığında çalışabilir. Bu yüzden çift beslemeli indüksiyon jeneratörü kullanılır. Rotor tarafı ve şebeke tarafı akımlar için iki portu bulunan AC-DC ve DC- AC dönüştürücüler kullanılmaktadır (Perng vd., 2014). Ayrıca kanat açı kontrol sürücüsü bulunmaktadır.

Şekil 2.1. Yatay eksenli rüzgâr türbini

2.2 Zaman Gecikmeli Rüzgâr Türbin Sistemi

Kontrol teorisi kullanılarak rüzgâr türbin sisteminin kanat açısı kontrolü PI tabanlı kontrolör ile tasarlamak için rüzgâr türbin sisteminin transfer fonksiyonu gerekmektedir. Şekil 2.2’de rüzgar türbin sistemlerindeki kanat açı kontrol sisteminin

blok diyagramı verilmiştir. Burada C(s) kontrolörünün transfer fonksiyonunu göstermekte, Gp(s) ise rüzgâr türbin sisteminin modelini göstermektedir.

Şekil 2.2. Rüzgâr türbin sistemlerindeki kanat açı kontrol sisteminin blok diyagramı

Suryanarayanan ve Dixit (2005)’deki verilen çalışmalarda şekilsel (modal) yaklaşımla analizler yapılmış ve kanat-kule sistemi iki dereceli serbest sistem olarak modellenmiştir. Bu dereceler kanadın salınma yönü ve kulenin ileri-geri yönlü hareketidir. Şekil 2.3’de şekilsel (modal) yaklaşım modelinin yapısı verilmiştir.

Şekil 2.3. Rüzgar türbin sistemindeki kule ve kanat salınma yönlerinin şematik gösterimi (Suryanarayanan ve Dixit, 2005)

Büyük güçlü rüzgâr türbinlerinin bileşenlerinin esnekliğinden dolayı kanat salınma hareketi, kulenin ileri-geri dönme hareketiyle birliktedir. Uygun bir çalışma noktasında, kanat-kule dinamiğinin lineerleştirilmiş modeli aşağıdaki gibi yazılabilir:

(2.1)

Burada sırasıyla kütle (mass), sönümlenme (damping) ve sağlamlık matrislerini göstermektedir. matrisi zorlanma (forcing) matrisini göstermektedir.

matrisindeki sırasıyla kule ileri-geri sapma modelini ve kanat salınmasını belirtmektedir. ise kanat açısının çalışma noktasından sapma miktarını belirtmektedir (Suryanarayanan ve Dixit, 2005).

[M], [C] ve [K] matrisleri aşağıdaki formlardadır.

0 0

t c

c b

t

b

t c

c b

t

b

m m

M m m

K k

k c c

C c c

F f f

 

=  

 

 

=  

 

 

=  

 

=   

 

[ ]

^{M ve}

[ ]

^K matrisleri aşağıda verildiği gibi kütle modeli ve kanat-kule sağlamlık modelinden elde edilmiştir.

2 , 0

, 0

2 , 0

2 , 0

, 0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

R

b b b r

R

c b b r

H

t t t z

R

b b b r

H

b b t z

m r m r dr

m r m r dr

m z m z dr

k r k r dr

k z k z dz

µ µ µ µ µ

••

••

=

=

=

 

=  

 

=  

∫

∫

∫

∫

∫

(2.2)

Burada µ^b µ_t sırasıyla birinci kanat salınma ve kule ileri geri salınma modlarının şekil modlarını göstermektedir. R rotor yarıçapını, H kule yüksekliğini göstermektedir. µ^{b r,}

,

µt z sırasıyla kanat ve kulenin birim uzunluktaki kütlesi, k_{b r,} ve k_{t z,} ise sırasıyla kanat ve kulenin birim uzunluktaki sağlamlığını göstermektedir. µ_b^•• şekil modunun boşluğa göre ikinci türevini göstermektedir.

Sönümlenme matrisi yapısal sönümlenme ve aerodinamik sönümlenme elemanlarından oluşmaktadır. Yapısal sönümlenme oranları verildiğinde, sönümlenme matrisindeki yapısal sönümlenme elemanları şöyle hesaplanır:

( ) ( )

2 2

b yapısal b b b

t yapısal t t t

c k m

c k m

ζ ζ

=

= ^(2.3)

Aerodinamik sönümlenme (kanat salınımı yüzünden kaldırma gücünün azalması) ve zorlanma vektörü doğada lineer olmayan formdadır. Çalışma koşullarında lineerleştirilmek zorundadır. Suryanarayanan ve Dixit (2005)’deki çalışmada, aerodinamik sönümlenme ve zorlanma vektörlerinin lineerleştirilmiş formaları verilmiştir. Bunlar sembolik olarak aşağıdaki gibidir:

( ) ( ) ( )

2

0

0

0

0

0

( ) ( )

( ) ( )

3 ( )

( ) ( )

( ) 3 ( )

R

b aero b

R

c aero b

R t aero

R

b b

R t

c d r r dr

c d r r

c d r dr

f f r r dr

f f r dr µ µ

µ

=

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

(2.4)

Burada;

( )

¹

( ) ( )

^cos

( ) [ ]( )

^sin

( )

2

l

r L r

d r rc r dC r C r

ρ d

α

   

= Ω     Φ + Φ ^(2.5)

( )

¹

( )

^{2 2 2}

2

dCl

f r c r r v r

ρ d

= − Ω + Ω α _(2.6)

Burada, Ω türbin dönme hızını, ρ hava yoğunluğudur.

r tan a v

r

 

Φ =  

 Ω ^(2.7)

Son olarak;

( ) ( ) ( ) ( )

b b aero b yapısal

t t aero t yapısal

c c c

c c c

= +

= + (2.8)

matrislerinin çalışma koşullarındaki elemanları belirlendikten sonra analizler için gerekli olan transfer fonksiyonu kolayca hesaplanabilir. Sembolik olarak, kanat açısından kule ileri-geri salınımına dayanan transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.

2

2 1 0

4 3 2

4 3 2 1 0

t( )

x

a s a s a

G s

b s b s b s b s b

β→

+ +

= + + + + ^(2.9)

Burada

Kanat açısı sürücü sistemi hidrolik basınç ünitesiyle sağlanmaktadır. Hidrolik basınç ünitesinden kaynaklı, rüzgâr hızı ve rüzgâr yönü ölçümlerinden kaynaklı, analizlerin karmaşıklığını arttıracak zaman gecikmeleri meydana gelmektedir. Bu zaman gecikmeleri rüzgâr türbin sisteminin dinamiğini olumsuz yönde etkileyerek sistemde

kararsızlığına sebep olmaktadır. Zaman gecikmesi dikkate alınarak rüzgâr türbin sisteminin transfer fonksiyonu yeniden ele alınırsa, Denklem (2.9)’e zaman gecikmesi parametresi ilave edilir ve Denklem (2.10) elde edilir. PI tabanlı kontrolörün transfer fonksiyonu da Denklem (2.11)’de verilmiştir.

2

2 1 0

4 3 2

4 3 2 1 0

( ) ^s

p

a s a s a

G s e

b s b s b s b s b

τ

+ + −

= + + + + ^(2.10)

( ) _p k^I C s k

= + s _(2.11)

Burada τ zaman gecikmesi parametresini göstermektedir. Şekil 2.2’de verilen sistemin transfer fonksiyonu çıkarılacak olursa

X:giriş, Y:çıkış, T(s):transfer fonksiyonu olmak üzere

(X −Y C s G s)( ( ). _p( ))=Y _(2.12a)

. ( ). _p( ) . ( ). _p( )

X C s G s −Y C s G s =Y _(2.12b)

. ( ). _p( ) . ( ). _p( )

X C s G s =Y+Y C s G s _(2.12c)

( ). ( )

( ) ( ). ( ) 1

p

p

C s G s T s Y

X C s G s

= =

+ (2.12d)

Sistemin kararlılık analizi için gerekli olan kısım transfer fonksiyonunda yer alan paydanın, yani karakteristik denklemin kökleridir. Karakteristik denklemin genel formatı denklem (2.13)’de verilmiştir.

( )s P s( ) Q s e( ) ^−sτ

∆ = + (2.13)

Denklem (2.12d)’deki transfer fonksiyonunun karakteristik denklemi çıkarılırsa:

( )s C s G s( ). _p( ) 1

∆ = + _(2.14)

2

2 1 0

4 3 2

4 3 2 1 0

( ) a s a s a ^s k s^p k^I 1

s e

b s b s b s b s b s

τ

− +

 + +   

∆ =  ⋅ +

+ + + +  

  ^(2.15)

Denklem (2.15)’de verilen karakteristik denklemin pay kısmı kararlılık analizlerinde kullanılan asıl karakteristik denklemdir. Asıl karakteristik denklemi denklem (2.16)’deki gibi yazılabilir.

(

4 ⁵ 3 ⁴ 2 ³ 1 ² 0

) (

2 ² 1 0

) ( )

( ) ( ) ( )

( ) .

s

s

p I

s P s Q s e

s b s b s b s b s b s a s a s a k s k e

τ

τ

−

−

∆ = +

∆ = + + + + + + + ⋅ + ^(2.16)

Bu karakteristik denklem, denklem (2.13)’de verilen formata uygun haldedir.

Analizlerde de bu formatta kullanılacaktır.

2.3. Kazanç-Faz Payı

Zaman gecikmesi içeren sistemlerde, sistemin kararlı çalışabileceği parametre değerlerinde gecikme şartlarının belirlenmesi ve sistemin kararlı çalışabileceği maksimum gecikme zamanının hesaplanması kararlılık analizi yapmak için büyük önem taşımaktadır. Fakat pratikte büyük güçlü rüzgâr türbin sistemi beklenmeyen koşullardan dolayı istenen durumlarda çalışmayabilir. Bu yüzden kararlılık analizine dâhil edilmesi gereken parametreler, istenilen sistem dinamiği performansını sağlayan kazanç ve faz paylarıdır (Chang ve Han, 1991). Kazanç ve faz payları kontrol sisteminin dayanıklılığı ve dinamik performansıyla doğrudan ilişkilidir. Kazanç ve faz paylarına bağlı olarak, sistemin sınırda kararlı olacağı maksimum zaman gecikmesi (τ =τ_GPM ) değerine karşılık gelen kökler sanal eksenin sol yarı düzlemine kaymaktadır. Böylece sistemin kararlılık bölgesi değişmektedir. Bunun için analizler yeniden yapılıp sistemin sınırda kararlı olacağı yeni bir zaman gecikmesi değeri (τ =τ_GPM) hesaplanması gerekmektedir. Daha sonra bu zaman gecikmesine karşılık gelen kararlılık bölgesi belirlenmelidir. Kazanç ve faz paylarının seçimi analizlerin gerçekçiliği ve güvenilirliği için oldukça önemlidir (Wang, 2012). Kazanç payı ve faz payı, kontrol sisteminde

fiziksel olarak bulunan bir birim değildir. Kazanç ve faz payları sisteme sanal olarak ilave edilerek istenmeyen koşullar altında da sistemin kararlılığını garanti edecek sistem parametrelerini hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir. Kazanç-faz payının kontrol sistemine eklenmesiyle oluşan blok diyagram Şekil 2.3’de verilmiştir. BuradaA kazanç payını φ ise faz payını ifade etmektedir.

Şekil 2.3. Kazanç-Faz payının kontrol sistemine ilave edilmesi

Kontrol sistemine kazanç-faz paylarının ilave edilmesiyle transfer fonksiyonu da değişir. Transfer fonksiyonu yeniden yazılacak olursa:

(X−Y C s G s A e)( ( ). ( ). ._p ^−jφ)=Y _(2.17a)

. ( ). ( ). ._p ^j . ( ). ( ) ._p ^j

X C s G s A e^−φ −Y C s G s A e^−φ =Y _(2.17b)

. ( ). ( ). ._p ^j . ( ). ( ). ._p ^j

X C s G s A e^{− φ} = +Y Y C s G s A e^−φ _(2.17c)

( ). ( ). . ( ) ( ). ( ). . 1

j p

j p

C s G s A e T s Y

X C s G s A e

φ φ

−

= = −

+ ^(2.17d)

Transfer fonksiyonu denklem (2.17d)’deki hale gelen sistemin kararlılık analizleri de bu transfer fonksiyonu yardımıyla yapılacaktır. Bu transfer fonksiyonun karakteristik denklemi, denklem (2.18)’deki gibi olur.

( )

( ) ( ) ( )

5 4 3 2

4 3 2 1 0

2

2 1 0

( , )

j s

p I

s b s b s b s b s b s a s a s a k s k A e ^φ e ^τ

τ

− −

∆ = + + + +

+ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ^(2.18)

Çalışmalarda kullanılacak rüzgâr türbin modeli katsayıları ve parametreleri Perng vd.

(2014)’teki çalışmalarında verildiği gibi Denklem (2.19) ve Çizelge 2.1.’de gösterilmiştir.

2

4 3 2 5

0.6219 8.7165 2911 ( ) 5.018 691.3 1949 1.15 10

s p

s s

G s e

s s s s

τ

− − − −

= + + + + × ^(2.19)

Çizelge 2.1. Rüzgâr türbin sistemi parametreleri

Parametreler Değerler Birim

Nominal Güç(P) 275 kW

Rotor Çapı(R) 27 m

Kule Yüksekliği(H) 42 m

Çalışma Koşulları Rüzgâr

Hızı(v) 15 m/s

Kanat Açısı(^o) 0 Deg

[6.848x10^-3 8.915x10^-2]^T -

BÖLÜM III

ÜSTEL TERİMİN YOK EDİLMESİ

3.1 Üstel Terimin Yok Edilmesi Metodu

Karakteristik denklemlerde bulunan üstel terimden (e^−τs) dolayı karakteristik denklem sonsuz adet köke sahip olmaktadır. Bu da kararlılık analizlerini oldukça karmaşık hale getirmektedir. Üstel terimin yok edilmesi yöntemi, en yüksek dereceden orantılı üstel terimleri elimine ederek basit bir polinoma dönüştüren bir analitik yöntemdir.

Üstel terimin elimine edilmesiyle karakteristik denklem daha basit hale indirgenmiş olur. Bu yüzden, kesin çözüm üretir ve yeni polinomun reel kökleri tam olarak karakteristik denklemin sanal köklerine eşit olur. İndirgenmiş polinom ayrıca gecikmeye bağlı olarak sistemin kararlılığını inceleme imkânı vermekte ve zaman gecikmesi açısından karakteristik denklemin köklerinin hareket doğrultusunu belirleyen önemli bir özelliği bulunmaktadır (Walton ve Marshall, 1987).

Üstel terimin yok edilmesi yöntemi yaklaşık metod değildir. Bu yöntemle yapılan analizlerde elde edilen sonuçlar, zaman düzlemindeki yöntemlere göre daha doğru sonuçlar vermektedir (Walton ve Marshall, 1987). Üstel terimin yok edilmesi yöntemi zaman gecikmesi içeren mekaniksel sistemlerde (Jalili ve Olgac, 1999; Filipovic ve Olgac, 2002; Ji, 2003; Sönmez vd., 2016a; Hamamcı ve Köksal, 2010) sistem kararlılığını incelemek için kullanılmıştır.

Herhangi bir sistemin asimptotik kararlı olması için gerekli ve yeter koşul, karakteristik Denklem (2.13) ile verilen eşitliğin tüm köklerinin sanal eksenin sol yarı bölgesinde bulunmasıdır. Fakat Denklem (2.13)’te de görüldüğü üzere karakteristik denklemde bulunan üstel terimden dolayı karakteristik denklem sonsuz adet köke sahip olmaktadır.

Sonsuz adet kökün değeri ve köklerin zaman gecikmesinin (τ) değişmesiyle nasıl değişeceğinin analiz edilmesi oldukça zor bir problemdir. Bu yöntemle, herhangi bir yaklaşım yapmadan karakteristik denklemdeki üstel terimi elimine ederek karakteristik denklem, üstel terim içermeyen yeni bir polinoma dönüştürülür. Elde edilen polinomun pozitif reel kökleri karakteristik denklemin sanal eksen üzerindeki köklerine eşit

olacaktır. Zaman gecikmeleri, pozitif τ sayısının tam sayı katları olduğu durumlarda gecikme değerleri orantılı zaman gecikmeleri olarak adlandırılır.

3.1.1 Tek zaman gecikmeli durum

Sistemin zaman gecikmesini hesaplamak için karakteristik denkleme ihtiyaç vardır.

Karakteristik denklem, Denklem (2.13)’de verildiği gibi:

( , )sτ P s( ) Q s e( ) ^−sτ 0

∆ = + = (3.1)

şeklinde yazılabilir. Karakteristik denklem ( , ) 0,∆ sτ = s ve τ ’ya bağlı olan bir fonksiyondur. Sistemin kararlı olabilmesi için, ∆ s( ,0)=0 karakteristik denkleminin tüm köklerinin sanal eksenin sol yarı bölgesinde bulunması gerekmektedir. τ zaman gecikmesi değerinin bazı sonlu değerleri için, ∆(s,τ)=0 denkleminin sanal eksen üzerinde kökü (s= jω_c) varsa (burada c, sanal eksen üzerindeki kökü ifade etmektedir), köklerin kompleks eşleniğinin simetrik özelliğinden dolayı aynı τ değeri için, ∆(−s,τ)=0 denkleminde de aynı kök değeri bulunmalıdır. Böylece, belirlenen τ değerleri için ∆(s,τ)=0 ve ∆(−s,τ)=0 denklemlerinin sanal eksen üzerinde ortak bir kökü vardır.

( , ) ( ) ( ) 0

( , ) ( ) ( ) 0

s

s

s P s Q s e

s P s Q s e

τ

τ

τ τ

∆ = + − =

∆ − = − + − = (3.2)

Denklem (3.2)'deki üstel terim elimine edilerek, aşağıdaki polinomal ifade elde edilir.

( ) ( ) ( ) ( ) 0

P s P s− −Q s Q s− = (3.3)

Denklem (3.3)'de s yerine jω_c yazılırsa, denklem (4.4);ω_c² polinomu elde edilir.

( _c2) ( _c) ( _c) ( _c) ( _c) 0

W ω =P jω P −jω −Q jω Q −jω = (3.4)

Denklem (3.1) 'deki zaman gecikmeli üstel terimli karakteristik denklem, üstel terim elimine edilerek Denklem (3.4)’deki şekle indirgenir. İndirgenmiş polinomun pozitif reel kökleri, (ω_c >0) Denklem (3.1)’de verilen karakteristik denklemin sanal eksen üzerindeki köklerine eşit olmaktadır.

Denklem (3.4) ile verilen polinomunun hiçbir reel kökü bulunmaz ise Denklem (3.1)ile verilen denklemin sanal eksen üzerinde herhangi bir kökü yoktur. Bu durumda zaman gecikmesi sistem kararlılığını etkilememekte ve tüm sonlu zaman gecikmesi değerleri için (τ ≥ 0) sistem kararlıdır.

Denklem (3.4) ile verilen polinomun en az bir adet pozitif reel kökü bulunabilir. Bu da Denklem (3.1) ile verilen karakteristik denklemin sanal eksen üzerinde bir adet eşlenik (s= ± jω_c) kökü vardır demektir. Bu durumda sistem zaman gecikmesine bağlı kararlıdır.

Bulunan pozitif reel kök ω_c için, maksimum zaman gecikmesi

τ

^*değerini hesaplamak için Denklem (3.2) kullanılarak Denklem (3.5)’deki gibi hesaplanır (Walton ve Marshall, 1987).

2 ; 0,1, 2,3...,

c c

r r

θ π

τ ω ω

∗ = + = ∞ (3.5)

Burada;

( )

( ) ( ^{( )} )

{ }

( )

( ) ( ( ) )

{ }

1 c c

c c

Im P j Q j

Tan

Re P j Q j

ω ω

θ ω ω

−

 

 

=  − 

(3.6)

Denklem (3.1)'e ait kökün, τ zaman gecikmesi değerinin arttırılmasıyla sanal ekseni kesmesi (s= jω_c), Denklem (3.4) ile elde edilen pozitif köklerin Re

[

ds dτ

]

'ya göre signum ifadesi yardımıyla belirlenebilir. Kritik durumdaki karakteristik köklerin sanal ekseni kesen köklere sahip olması için gerekli koşul köklerin sanal eksene doğru hareket etmeleridir (karşıtlık şartı). Bu durumda,

Re 0

s j cm

ds dτ _=ω

 

  ≠

  ^(3.7)

Burada, Re(• herhangi bir kompleks değişkenin reel kısmını göstermektedir. Signum ) ifadesi kökün durumuna göre köklerin hareket doğrultusunun (Root Tendency(RT)) belirlenmesine yardımcı olur.

Re

cm

c

s j

s j

RT sgn ds

ω d

τ ω

=

=

 

   

=     (3.8)

s, τ 'nun bir fonksiyonudur ve Denklem (3.1)'in τ 'ya bağlı olarak türevi alınacak olursa;

1 (s) 1 (s)

(s) (s)

ds dP dQ

d sP ds sQ ds s

τ

τ ^{= + − (3.9)}

Burada bulunan türev değerleri yerine yazılacak olursa;

( )

'( ) '( ) ( )

s

s s

ds Q s se

d P s Q s e Q s e

τ

τ τ

τ τ

−

− −

= + − ^(3.10)

Burada P s'( ) ve Q s'( ), P s( ) ve Q s( )'in s'e göre birinci dereceden türevini temsil etmektedir. Denklem (3.1) kullanılarak tekrardan ifade yazılırsa;

'( ) '( ) 1

( ) ( )

ds P s Q s

d s P s Q s τ

τ

 −

= −  − + 

  ^(3.11)

Denklem (3.11)'de s yerine jω_c yazılacak olursa ifadenin yeni hali aşağıdaki gibi olur;

'( ) '( ) 1

Re P( ) ( )

'( ) '( )

Re 1

( ) ( )

'( ) P'( ) = s Im 1

Q( ) ( )

c

c c

s j c

c c

c c

c c c

c c

c c c

P j Q j

RT sgn j

j Q j

P j Q j

sgn j P j Q j

Q j j

gn j P j

ω

ω ω

ω τ

ω ω

ω ω

ω ω ω τ

ω ω

ω ω ω

−

=

    

  

= −    − +  

   

= −    − + 

 −



  

  

  

 

(3.12)

Köklerin hareket doğrultusu (RT), τ zaman gecikmesi değerinden bağımsız olduğuna dikkat edilmesi gerekmektedir. Karakteristik denklemde s= jω_c yazıldığında, elde edilen ∆(jω_c,τ)=0 denklemini sağlayan her bir ω_c değerine bağlı olarak sonsuz sayıda τ elde edilmesine rağmen, bu noktalardaki köklerin özelliği daima aynı olacaktır. Denklem (3.12) basitleştirilirse köklerin RT bilgisi W(ω_c²) polinomundan kolaylıkla elde edilebilir (Walton ve Marshall, 1987). s= jω_c yazılarak W(ω_c²)=0 eşitliğini yapılırsa; Denklem (3.4)'den P j( ω_c) (P −jω_c)=Q j( ω_c) (Q −jω_c) eşitliği elde edilmiş olur. Buradan hareketle;

'( ) ( ) '( )

Im 1

( ) ( ) ( )

'( ) ( ) '( ) ( )

Im 1

( ) P( ) Im 1 '( ) (

c

c c c

s j

c c c c

c c c c

c c c

c c

c

Q j Q j P j

RT sgn

P j P j P j

Q j Q j P j P j

sgn P j j

sgn Q j Q j

ω

ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω

ω

=

   − 

=    − − 

   − − − 

=    − 

= ^{ }

(

− ⁾−P j^'( ωc^{) (}P −jωc⁾

)

^^

  

 

(3.13)

( _c) P( _c) ( _c)2 0

P jω −jω = P jω > 'dır. Sonuç itibariyle, Im( ) (z = z−z) 2j özelliği kullanılarak, herhangi bir kompleks

z

sayısı için, aşağıdaki gibi yazılabilir.

1 [( '( ) ( ) ( ) '( )

2

'( ) ( ) ( ) '( ))]

c c c c c

s j

c

c c c c

RT sgn Q j Q j Q j Q j

j

P j P j P j P j

ω ω ω ω ω

ω

ω ω ω ω

= = − − −

− − + −

(3.14)

Bütün bu ifadelerin neticesinde;

( )2

c c

RTs j_=ω =sgn W ′ω  ^(3.15)

Denklem (3.15) ile verilen ifade ω_c²'ye göre türevi göstermektedir. Zaman gecikmesi değerine bağlı olarak kökün incelenmesi üstel terimin yok edilmesi yönteminin önemli bir özelliğidir. Bu ifade, s= jω_c 'de τ₁=τ^*−∆τ 'dan τ₂ =τ^*+∆τ 'ya

(

0<

τ

<<1

)

kadar τ 'nun artışına bağlı olarak köklerin sanal eksen üzerindeki hareket doğrultusunu incelemek için basit bir yöntem vermektedir. RT değeri +1 olduğunda s= jω_c kökü sanal eksen üzerinden sağ yarı düzleme yani kararsızlık bölgesine geçmektedir. RT değeri -1 olduğunda s= jω_c kökü sanal eksen üzerinden sol yarı düzleme yani kararlılık bölgesine geçer.

3.1.2 Orantılı zaman gecikmesi durumu

Tek zaman gecikmeli durum için verilen metodlar, orantılı zaman gecikmesi içeren sistemlerin kararlılık analizine kolaylıkla uygulanabilir. Orantılı zaman gecikmesi içeren sistemin karakteristik denklemi aşağıda verilmiştir.

0

( , ) ⁿ _k( ) ^{k s} 0

k

sτ x s e^τ

=

∆ − =

∑

− = ^(3.16)

Orantılı zaman gecikmesi durumu için tek zaman gecikmeli duruma benzer olarak, karakteristik Denklem (3.16)’nın s= jω_c 'de bir çözümü mevcut ise, ∆(−s,τ)=0 eşitliği sağlanacaktır. Tek zaman gecikmeli durumda üstel terim ve zaman gecikmesi τ yok edilerek karakteristik denklem basit polinoma indirgenmişti. Benzer şekilde orantılı zaman gecikmesi durumunda da üstel terim ve zaman gecikmesi τ yok edilmesi gerekmektedir. Aşağıdaki verilen denklemlerde orantılı zaman gecikmesinde üstel terimin elimine edilmesi açıklanmıştır (Walton ve Marshall, 1987).

[ ]

(1)

0 1

0 0

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

n s n

n

k s

k n n k

k

s x s s x s e s

x s x s x s a s e

τ

τ

τ τ ⁻ τ

−

−

−

=

∆ = − ∆ − ∆ −

=

∑

− − − ^(3.17)

Daha sonra,

[ ]

(1)

0 1

0 0

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

n s n

n

k s

k n n k

k

s x s s x s e s

x s x s a s x s e

τ

τ

τ τ τ

−

−

=

∆ − = ∆ − − − ∆

=

∑

− − − ^(3.18)

Denklem (3.17) ve (3.18) ile verilen denklemlere bakıldığında, Denklem (3.16)’da j c

s= ω durumunda bazı τ değerleri için çözümü mevcut ise, aşağıda verilen karakteristik denklemlerin de çözümü olması gerekmektedir.

(1) 1 (1)

0

(1) 1 (1)

0

( , ) ( ) 0

( , ) ( ) 0

n

k s k

k n

k s k

k

s x s e

s x s e

τ

τ

τ τ

−

−

=

−

=

∆ = =

∆ − = − =

∑

∑

(3.19)

Burada,

(1)

( ) 0( ) ( ) ( ) ( )

k k n n k

x s =x −s x s −x s x ₋ − s (3.20)

Denklem (3.19)’da verilen orantılı zaman gecikmesin derecesi ( −n 1)'dir. Yeni bir matematiksel ifade tanımlanarak orantılı zaman gecikmesinin terimlerini yok etmek için bu işlemler benzer şekilde tekrarlanır (Walton ve Marshal, 1987).

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

r r r r r

k n r n r k

x ⁺ s =x −s x s −x ₋ s x _{− −} −s (3.21)

Karakteristik denklemin genel hali aşağıdaki gibi elde edilir.

( ) ( )

0

( , ) ^{n r} ( ) 0

r r k s

k k

sτ x s e ^τ

−

−

=

∆ =

∑

= ^(3.22)

Bu işlemleri sonlu sayıda n defa tekrarlayarak, en yüksek dereceye sahip orantılı terimler yok edilebilir. Bu terimlerin yok edilmesiyle aşağıdaki karakteristik denklem elde edilir.

( ) ( )

( ) 0 ( ) 0

n n

s x s

∆ = = (3.23a)

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

0ⁿ ( ) 0ⁿ ( ) 0ⁿ ( ) 1ⁿ ( ) 1ⁿ ( )

x s =x ⁻ −s x ⁻ s −x ⁻ s x ⁻ −s (3.23b)

j c

s= ω değerinde, Denklem (3.16)’da bazı τ değerleri için çözümü mevcut ise, Denklem (3.23a)'da da bir çözümü mevcuttur. Çünkü karakteristik Denklem (3.16)'nın sanal kökleri bu işlemler boyunca saklanır. Denklem (3.23b)'de s= jω_c değeri yerine yazılacak olursa, aşağıdaki ω_c² polinom ifadesi elde edilmiş olur.

2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

0 0 1 1

( _c) ⁿ ( _c) ⁿ ( _c) ⁿ ( _c) ⁿ ( _c) 0

W ω =x ⁻ −jω x ⁻ jω −x ⁻ jω x ⁻ −jω = (3.24)

Denklem (3.24) ile ifade edilen polinom ifadesi Denklem (3.4) ile verilen W(ω_c²) ifadesinin genelleştirilmesi ile elde edilir. Elde edilen bu polinom, Denklem (4.14)'ün sanal kökleri mevcutsa bu sanal köklerin belirlenmesini sağlamaktadır. Teorik olarak zaman gecikmesi değerleri Denklem (3.25)’teki gibi hesaplanabilir.

( )

( ) ( ^{( )} )

{ }

( )

( ) ( ( ) )

{ }

( 1) ( 1)

0 1

1

( 1) ( 1)

0 1

1 2

; 0,1, 2,...,

n n

c c

n n

c c c c

Im x j x j r

Tan r

Re x j x j

ω ω π

τ ω ω ω ω

− −

∗ −

− −

 

 

=  − + = ∞

(3.25)

Bununla birlikte, orantılı zaman gecikmeli durumun karakteristik denklemin köklerinin hareket doğrultusunu bulmak için Denklem (3.15) ile verilen ifade gibi bir denkleme ihtiyaç vardır. Walton ve Marshall (1987)'de belirtildiği gibi, ∆(s,τ)=0 denkleminde bir kökün hareket doğrultusu (RT), ∆⁽¹⁾(s,τ)=0 ifadesine karşılık gelen kök için aynıdır, aşağıdaki şart sadece s= jω_c'de kökün sanal eksendeki geçişi için geçerlidir.

(1)

0 ( ) 0( _c) (0 _c) _n( _c) (_{n c}) 0

x s =x −jω x jω −x jω x −jω > (3.26)

Birden fazla orantılı zaman gecikmesi içeren karakteristik denklemin köklerinin hareketi aşağıdaki denklemle belirlenebilir.