Üç Boyutlu Cisimler. Prizmalar. Piramitler. Küre YGS-LYS GEOMETRİ

MG

YGS-LYS GEOMETRİ

Üç Boyutlu Cisimler

Prizmalar

Piramitler Küre

M G

M U S T A F A G Ü R B Ü Z

ÜÇ BOYUTLU CĠSĠMLER

A)PRĠZMALAR

Paralel iki düzlemde bulunan eĢ kapalı iki geometrik Ģeklin karĢılıklı elemanlarının birleĢtirilmesiyle oluĢan cisimlere Prizma denir.

Prizmaların Genel Özellikleri

Prizmayı oluĢturan eĢ geometrik Ģekillere prizmanın tabanları denir.

ABCD  A’B’C’D’



CH=BK=h



AA’=BB’=CC’=DD’=l



AA’∕∕BB’∕∕CC’∕∕DD’







dik olmayan prizmaya eğik prizma denir. Prizmalar tabanlarına ve eğik veya dik olmalarına göre adlandırılırlar.



=90 ise dik prizma



PRMN dik kesit; A(PRMN)=A(ABCD).cos veya A(PRMN)=A(ABCD).sin



EĞĠK PRĠZMALAR

1. Kare Eğik Prizma

Tabanı bir kenarı a olan kareden oluĢan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile  açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.

Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek, Prizmanın yüksekliği h =l x Sin olur.

Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak Ģekilde oluĢan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.

Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise, a'=a.sin  kadardır.

2. Eğik Silindir

Tabanı bir daire olan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile  açısı yapacak kadar eğilirse eğik silindir elde edilir.

Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile  açısı yapan eğik silindirde yükseklik;









Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eĢittir.















DĠK PRĠZMALAR

Alt ve üst tabanları paralel eĢ Ģekillerden oluĢan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir.

Prizmalarda yan yüzeyleri birleĢtiren ayrıtlara yanal ayrıt denir.

[AA'], [BB'], [CC'], [DD'] yanal ayrıtlardır.

Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eĢittir. Cismin yüksekliğine h dersek;

h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.

Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluĢturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur. Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.

Bütün Dik Prizmalarda;







Örnek Sorular

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13)

14)

1. Dikdörtgenler Prizması

Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karĢılıklı ikiĢer ikiĢer eĢ olan altı adet dikdörtgenden oluĢan prizmadır.

Hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır.

Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikiĢer katlarının toplamıdır.

Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köĢeyi birleĢtiren doğru parçasına cisim köĢegeni denir. Cisim köĢegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez.

Sadece bir yüzeyden geçen köĢegene o yüze ait yüzey köĢegeni denir. Burada köĢegenlerin uzunlukları;







a

 b

 c



a

 b

b

 c

a

 c

Örnek Sorular

1. Yüzey köĢegenlerinin uzunlukları

4 3,5 2 ve 30

2. Ayrıtları 3,2 ve 1 ile orantılı olan bir

dikdörtgenler prizmasının cisim köĢegeni

3 14

dir. Buna göre prizmanın hacmi kaç cm³ tür?

3. Farklı yüzlerinin alanları 12 cm, 8 cm ve 6 cm

olan dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm³ tür? 4. Ayrıtları 2,3 ve 4 ile orantılı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi 192 cm tür. Bu prizmanın alanı kaç cm² dir?

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

2. Kare Dik Prizma

Tabanı kare olan dik prizmalara kare dik prizma denir. Yan yüzü dört adet eĢ dikdörtgenden oluĢur.

Örnek Sorular

1. Taban ayrıtları 3 cm ve yüksekliği 7 cm olan kare dik prizmanın hacmini, yanal alanını ve tüm alanını bulunuz.

2.







3. Küp

Bütün ayrıtları birbirine eĢit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri karedir.

 Hacim = a³







Örnek Sorular

1. Bir ayrıtı 5 cm olan küpün alanını, yüzey

köĢegenini, cisim köĢegenini ve hacmini bulunuz. 2. Alanları oranı

4

9

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

4.Üçgen Dik Prizmalar

Prizmalar tabanlarının Ģekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.

Üçgen prizmalar tabanını oluĢturan üçgene göre isimlenir.

a. EĢkenar Üçgen Dik Prizma

EĢkenar üçgen prizmanın tabanları eĢkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eĢ dikdörtgenden oluĢur.

b. Dik Üçgen Prizma

Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluĢur.



a

3 4





a

3 4  3ah



a

3 4 .h







b.c

2



b.c

2 .h

Örnek Sorular

1. Taban ayrıtları 4 cm ve yüksekliği 10 cm olan bir eĢkenar üçgen dik prizmanın hacmini, yanal alanını ve tüm alanını bulunuz.

2. Taban ayrıtları 3 cm ve yüksekliği 7 cm olan ikizkenar dik üçgen prizmanın hacmini, yanal alanını ve tüm alanını bulunuz.

3. Bir taban ayrıtı 2 cm ve yüksekliği 10 cm olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmini yanal alanını ve tüm alanını bulunuz.

4. 5.

6.

5. Silindir

Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.







 Tüm alan = 2rh+ 2r²



Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında 360 döndürüldüğünde silindir elde edilir. Bu nedenle silindire dairesel silindir de denir.

Bir Silindir tabanına paralel bir düzlemle kesilirse arakesit tabanla eĢ bir daire; tabana dik bir düzlemle kesilirse arakesit bir dikdörtgen olur.

Bir dik Silindir içi su dolu iken bulunduğu düzlemle  açısı yapacak Ģekilde eğik tutulursa su seviyesi yere paralel olana kadar su dıĢarı akar. Bu paralellik sebebiyle yandaki açı eĢitliği bulunur.

Örnek sorular

1. Taban yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 12 cm olan dairesel silindirin hacmini ve alanını bulunuz.

2. DıĢ yarıçapı 5 cm, iç yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 10 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki borunun dolgu kısmının hacmini ve alanını bulunuz.

3. Kenarları 6 cm ve 2 cm olan ABCD dikdörtgeninin [BC] kenarı etrafında 60 döndürülmesiyle oluĢan cismin hacmini bulunuz.

4. Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 10 cm olan silindirin içinde bir miktar su vardır. Bu silindirin içine ayrıtları 4 cm olan bir demir küp atıldığında, demir küp suya tamamen batmakta ve su seviyesi küpün üst yüzeyine kadar yükselmektedir. Buna göre demir küp atılmadan önce silindirdeki suyun yüksekliğini hesaplayınız.(=3 alınız)

5. Bir dik silindirin yan yüzleri yontularak en büyük hacimde bir düzgün altıgen tabanlı prizma elde ediliyor. Buna göre silindirin hacminin prizmanın hacmine oranını hesaplayınız.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

B)PĠRAMĠTLER

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dıĢında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleĢtirilmesi sonucunda oluĢan cisme piramit denir.

T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluĢturan Ģeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.











Örnek sorular

1. 2.

3.

 taban alanı x yükseklik Hacim

 3

1.Kare Piramit

Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluĢur.

Ġkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eĢittir.

Örnek sorular

1. 2.

3. 4.

5. 6.

 a

HK  2



2

2 2

a

PK h

2

       



a .h

Hacim

 3

2. Düzgün Dörtyüzlü

Dört yüzü de eĢkenar üçgenlerden oluĢan cisme düzgün dörtyüzlü denir. Yükseklik tabanı oluĢturan üçgenin ağırlık merkezine iner. Bu özellile birlikte özel üçgenler kullanılarak aĢağıda verilen formüller elde edilir.

3. Düzgün Sekizyüzlü

Bütün ayrıtları birbirine eĢ ve yüzeyleri sekiz eĢkenar üçgenden oluĢan cisme düzgün sekizyüzlü denir.

Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği

a 3 2

Cismin ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluĢtuğunu düĢünürsek;

 Alan  2a

3



a

2 Hacim

 3



Cisim yüksekliği a 6 2



2

a 3

Alan 4. a 3

 4 



a

2 Hacim

 12

4. Koni

Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.

Burada taban yarıçapı |OB| = r Cisim yüksekliği |TO| = h olur.

|TA| = |TB| = a uzunluğuna ana doğru denir.

TOB dik üçgeninde, h² + r² = a² bağıntısı vardır.

Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.

 YanalAlan   .r.a



r .h

Hacim

3

 

 r

360 a

 

Örnek sorular

1) Yarıçapı 10 cm olan ve merkez açısı 216 olan bir daire dilimi yanal yüz olacak Ģekilde kıvrılarak bir koni elde ediliyor. Bu koninin yüksekliğini ve hacmini bulunuz.

2) Bir küpün hacminin içine sığabilecek en büyük koninin hacmine oranını bulunuz.

3) 4) BĠR DĠK YAMUĞUN DÖNDÜRÜLMESĠ

Üçgensel Ģekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.

ġekildeki ABC dik üçgeninin |BC| kenarı etrafında döndürülmesi ile |AB|

yarıçaplı ve yüksekliği |BC| olan koni elde edilir.

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

5.Kesik Piramitler

Kesik piramitlerde hesaplama yapmak için cisim yukarısından piramide tamamlanır.

Örneğin; sağdaki tamamlanmıĢ konide, [O₁B] // [O₂D] olduğundan ^{1 1}

2 2

PO r

PO  r

Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı ¹

2

r

r

olduğundan, alanlar oranı

2 1

2

r r

   

 

3

1 1

2 2

V r

V r

    

 

C) KÜRE

Uzayda bir noktadan eĢit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir. O merkezli R yarıçaplı kürede;





1. Küre Dilimi:

[KL] çap; m(AOB) = 

ġekildeki gibi kesilip çıkarılan küre dilimi için;



4 r

Küre diliminin Hacmi = . 3 360

 

 Küre diliminin alanı = 4 r .

r

360

   

2. Küre Kapağı:

Yandaki Ģekildeki gibi olan Küre parçasının hacmi

2

3  R .h

4.Dairenin döndürülmesi

Bir tam daire çapı etrafında 180 döndürülürse tam küre;

Bir yarım daire çapı etrafında 360 döndürülürse tam küre;

Bir çeyrek daire yarıçapı etrafında 360 döndürülürse yarım küre elde edilir.

Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle

kesildiğinde kesit alanının daire Ģeklinde olduğu görülür. Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir.

Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek

|OP|²+ r² = R² eĢitliği vardır.





Örnek sorular

1. Bir kürenin yarıçapı 20 arttırıldığında alanı yüzde kaç artar?

2. Metal bir küre eritilip tekrar kalıba dökülerek 8 yeni eĢ küre yapılıyor. Buna göre küçük kürelerin alanları toplamının

baĢlangıçtaki kürenin alanına oranı kaçtır?

3. Ġçi dolu bir yarım kürenin tüm alanı

108cm ise hacmi kaç cm³ tür? 4. Yarıçapı 5 cm olan bir kürenin içinde bulunan ve yüksekliği 8 cm olan bir silindirin hacmi en çok kaç cm³ tür?

5. 5cm uzunluğundaki bir çubuğa en çok 3 cm uzaklıktaki noktaların kapladığı hacim kaç cm³ tür?

6. Yüksekliği taban çapına eĢit olan bir dik silindirin içine sığabilecek en büyük kürenin hacminin silindirin hacmine oranı kaçtır?

7. Yarıçapı 10 cm olan bir kürenin

merkezinden 8 cm uzaklıktaki kesitini taban kabul eden en büyük koninin hacmi kaç cm³ tür?

8. Taban yarıçapı 6 cm ve ana doğrusu 10 cm olan koninin içine yerleĢtirebilecek en büyük kürenin yarıçapı kaçtır?

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

ÜÇ BOYUTLU CĠSĠMLERĠN YÜZEYĠNDEN GEÇEN EN KISA YOL HESABI

Bir üç boyutlu cismin yüzeyinden geçen kısa yol sorulduğunda cisim üzerinden geçilecek yüzeyler için iki boyutlu olarak açılır. Bu açılımda üzerinden geçilecek yüzeylerin sırasına dikkat edilir. Daha sonra istenen kısa yol çizilerek iki boyutlu geometri kuralları ile hesaplama yapılır.

1. 2.

3. 4.