3.Etkinlik Örnekleri. 3.1 Çemberde Açı ve Uzunluklar

(1)

3.Etkinlik Örnekleri

3.1 Çemberde Açı ve Uzunluklar

GeoGebra programını açınız.

• Üstteki araçlar menüsünden “ merkez ve bir noktadan geçen çember” seçeneğini seçerek bir Çember oluşturunuz. A merkezli ve B noktasından geçen bir çemberiniz olacak.

• Bu etkinlikte sol taraftaki cebir penceresinden ve çizim tahtasındaki koordinat eksenlerinden yararlanmayacağımız için cebir penceresini kapatalım. Çizim tahtasının üzerinde sağ tuşa tıklayarak “eksenler” seçeneğindeki onay işaretini kaldıralım. Bu sayede daha yalın bir pencere elde etmiş olacaksınız.

• B noktası ile çemberin merkezini birleştiren bir doğru parçası çiziniz. Bunu, araçlar menüsünden “ doğru parçası” seçeneğini seçtikten sonra B ve A noktalarını tıklayarak yapabilirsiniz.

• Şimdi, “ dik doğru” seçeneğini seçip çemberin üzerindeki B noktasını ve

oluşturduğunuz doğru parçasını tıklayarak doğru parçasına dik bir doğru oluşturun.

(2)

• B noktasını sürükleyebilirsiniz. Bu dinamik ortamdan öğrencilerinizin nasıl yararlanabileceğini ve öğrencileriniz neleri gözlemlemeleri gerektiğini yazınız.

__________________________________________________________________________________

• Arzu ederseniz, araçlar menüsünden “ açı” seçeneğini tıklayıp BA doğru parçası ve sonradan elde ettiğiniz doğruyu seçerek ikisi arasındaki açının ölçüsünü görüntüleyebilirsiniz.

• Yeni bir pencere açınız. Önceki etkinlikte yaptığınız gibi bir çember oluşturunuz.

Bilgisayarınızın isimlendirmesine göre değişebilen A merkezli ve B noktasından geçen bir çember olacaktır.

• Çemberi 2 noktadan kesen bir CD doğru parçası çiziniz.

• Çember ile doğru parçasının kesişme noktalarını belirleyiniz. Bunun için araçlar menüsünden “ iki nesnenin kesişimi” seçeneğini seçip çember ve doğru parçasını

(3)

koyacaktır. Örneğimizde E ve F noktaları.

Elde ettiğiniz şekilde, CD doğru parçasını sürüklemeniz öğrencilerinizin neleri keşfetmelerine sebep olur? Yazınız;

__________________________________________________________________________________

• E ve F noktaları arası uzaklığı ölçüp aynı etkinliği tekrarlayabilirsiniz. (“ uzunluk veya uzaklık” seçeneğini seçip sırayla E ve F noktalarını tıklayınız).

• Yeni bir sayfa açınız ve aşağıdaki şekli GeoGebra ortamında oluşturunuz.

(4)

• Eğer şekli doğru oluşturduysanız, çember üzerindeki noktaları hareket ettirebilmelisiniz. Bu noktaları hareket ettirebilmek öğrencilerinizin neleri keşfetmesine imkân tanır? Yazınız.

__________________________________________________________________________________

• Bu şekli daha görsel hale getirmek ve öğrencilerinizin denemelerini kontrol etmelerine fırsat vermek için GeoGebra’dan nasıl faydalanabilirsiniz?

3.2 Doğru denklemlerine grafiksel yaklaşım

Koordinat sisteminde tanımlı bir (x,y) sıralı ikilisinin apsis ve ordinatı arasında birinci dereceden bir ilişki varsa ya da (ordinat x’in belli bir katından sayı ekleyip çıkartılarak elde ediyorsa) bu özelliğe sahip sıralı ikililerin düzlemde bir doğru oluşturduğunu görselleştirelim;

Not: Bu uygulamada GeoGebra’da serbestçe manipule edebileceğimiz bir değişkenin nasıl oluşturulduğunu öğreneceğiz. Bu değişken yardımı ile başka nesneleri kontrol edebileceğiz.

• Araç çubuğundan aracını seçelim ve çizim alanında boş bir yere tıklayalım.

• Açılan diyalog penceresinde değişkeni kontrol edecek “sürgü” adı verilen aracın özellikler penceresi açılır. Sürgünün adını t olarak belirleyelim.

(5)

• Ortasında küçük bir daire olan yatay bir doğru elde edeceksiniz. Küçük daireyi oynattığınızda sürgünün değeri değişecektir.

• Şimdi apsis t, ordinatı da 3t+4 (ya da istediğiniz herhangi bir birinci dereceden ilişki) olan bir nokta oluşturalım. Giriş çubuğuna (t, 3*t+4) yazıp enter tuşuna basın.

• Otomatik olarak isimlendirilen bir nokta elde edeceksiniz. Sürgüyü hareket ettirin ne gözlemliyorsunuz?

• Gözleminizi kolaylaştırmak için noktayı sağ tuş ile seçip açılan menüden “izi aç”

seçeneğini aktif hale getirin.

• Noktanın hangi kuralla yer değiştirdiğine öğrencilerinizin dikkatini çekiniz.

Uygulamamızı biraz daha geliştirelim:

• Genel anlamda her doğrusal denklemin y = mx + n tipinde yazılabileceğine dair hazırlık yaptıktan sonra GeoGebra’da m ve n isimli sürgüler oluşturun ve giriş

çubuğunu y = m*x + n yazıp sürgüleri kaydırın ne gözlemliyorsunuz? Öğrencileriniz bu sayede hangi ilişkileri fark edebilir?

İpucu: Ctrl+F tuşu ekrandaki izleri temizlemenin kısa yoludur.

3.3 Perspektif Çizimleri Görselleştirme

Son yıllarda öğretim programımıza giren bu konuda genellikle dikdörtgenler prizmasının farklı görünümlerinin perspektif çizimlerinin yapılması önerilmektedir. Tek nokta

(6)

perspektifi ve iki nokta perspektifi olarak ikiye ayrılan bu çizimler için birer tane dinamik model geliştirip farklı açılarda görünümlerini incelemek mümkündür.

3.3.1 Tek nokta perspektifi

Prizmanın ön yüzü çizim yapılacak düzleme paralel ize kullanılan çizim yöntemidir.

• GeoGebra’yı açın ve cebir penceresi ile çizim tahtasındaki eksenleri kapatıp klavuz çizgileri (Grid) görünür hale getirerek GeoGebra’yı kareli bir kâğıt haline getirin.

o Grid görünümünü elde etmek için boş bir alanda sağ tuşa tıklayın ve açılan menüden “grid” seçeneğini işaretleyin.

• GeoGebra aşağıdaki görünümü alacaktır.

• Yeni nokta aracını kullanarak 4 köşe nokta belirleyin ve bu noktaları birleştirerek bir dörtgen elde edin. Bu dörtgen prizmanın ön yüzü olacak.

• Şimdi diğer ayrıtları inşa edeceğiz. Öncelikle ufuk çizgisi görevini görecek bir doğru çizelim. (Doğrunun nerede olduğu önemli değil, yeter ki çizdiğimiz dörtgenin yatay ayrıtlarına paralel olsun.)

(7)

• Ufuk çizgisini temsil eden doğruyu fare ile yatay pozisyonu bozulmadan sürükleyebildiğinizden emin olun. (Doğruyu oluşturan noktaları gizleyebilirsiniz.)

• Ufuk çizgisi üzerine bir nokta koyun. Bu nokta sadece doğru üzerinde kaydırılabilir.

Kaybolunan nokta görevini görecek.

• Ön yüzdeki bütün noktaları bu doğruya birleştiren birer doğru parçası çizin ve bu doğruları kesikli bir görünüme ayarlayın. Bu doğrular da kaybolunan doğrular olacak.

• Şimdi arka yüzü oluşturmamız gerekiyor. Kaybolunan doğrulardan biri üzerinde bir nokta alın ve bu noktadan ön yüzü oluşturan doğrulara birer paralel doğru çizin.

Kullanacağınız araç:

• Bu doğruların diğer kaybolunan doğruları kestiği noktaları belirleyin. İki noktanın

kesişimi aracını kullanacaksınız. Bu noktaları belirledikten sonra doğruları gizleyin.

(8)

• Prizmayı oluşturmak için son bir noktaya daha ihtiyacımız var. Bu noktayı nasıl elde edebiliriz?

• Aşağıdaki şekle kendiniz ulaşmaya çalışın.

• Kaybolunan noktayı ve ufuk çizgisini hareket ettirerek farklı açılardan görünümleri inceleyebilirsiniz.

• Biçimsel düzenlemelerle daha estetik bir görünüm elde edebilirsiniz.

• Bildiğiniz gibi kaybolunan doğrular yardımcı doğrulardır. Bunları istediğiniz zaman görüntüleyebilir istediğiniz zaman gizleyebilirsiniz. Bu işlem için “nesneleri gösterme/saklama kutusu” aracını kullanın. Bu aracı seçin ve çizim tahtasında boş bir alana tıklayın. Açılan menüde onay kutunuzun yanında görüntülenmesini istediğiniz metni yazın ve yapım aşamasındaki nesneler listesinden kaybolunan doğruları seçip “uygula” düğmesine tıklayın.

• Artık aşağıdaki bir dinamik uygulamaya sahip olacaksınız.

(9)

3.3.2 İki nokta perspektifi

Eğer prizmanızın ön yüzü çizim yapılacak düzleme paralel değilse iki nokta perspektif çizimi yöntemini kullanabilirsiniz. Aşağıdaki dinamik yapıyı oluşturmaya çalışın.

3.4 Çevresi verilen en büyük alanlı dikdörtgen

Şimdi de klasik bir problemde ulaşmak istediğimiz sonucu görselleştirmeyi deneyelim.

Problem: Çevresi 20 br olan en büyük alana sahip dikdörtgenin kısa ve uzun kenarı kaçar br olur?

Öncelikle matematiksel bir hazırlık yapalım;

Not: Bilgisayar destekli matematik eğitiminde öğrencilerin kalem‐kâğıt uygulamalarına da sıklıkla başvurmaları önerilir. Bu sayede öğrenciler klasik çözümlerini dinamik ortamlarda test etme fırsatını değerlendirebilirler.

(10)

Kısa kenarını k, uzun kenarını u olarak isimlendireceğimiz dikdörtgende k ve u arasında 2(k+u) = 20 şeklinde bir ilişki olmalı. Değişkenlerden birini diğeri cinsinden k = 10 – u şeklinde yazalım.

GeoGebra’da u değişkenini bir sürgü yardımı ile kontrol ederek kısa ve uzun kenarları analitik düzlemde nokta tanımlayarak inşa edelim;

• Öncelikle değeri 0 ile 10 arasında değişen bir u sürgüsü oluşturun. (öğrencilerinize neden bu aralığı seçtik diye sorabilirsiniz.)

• Dikdörtgenimizin sol alt köşesi (0,0) noktası, sağ alt köşesi de (u,0) noktası olacak şekilde bu sıralı ikilileri giriş çubuğuna yazarak noktaları oluşturalım.

• Sürgüyü kaydırdığınızda B noktasının yer değiştirdiğini görebilmelisiniz.

• Şimdi sağ üst köşeyi oluşturmamız lazım. Bu noktanın koordinatlar nasıl olmalı?

• Aşağıdaki pencereyi elde edeceksiniz. Sürgünün nasıl bir etki oluşturduğunu kontrol edin.

• C noktasından y‐eksenine dik (veya x‐eksenine paralel) çizin ve bu doğrunun y‐ekseni ile kesiştiği noktayı belirleyin. Bu nokta da dikdörtgenimizin sol üst köşesi olacak. Son olarak doğruyu gizlemeyi unutmayın

(11)

• Çokgen oluşturma aracını kullanarak bu dört noktayı sırayla seçin ve dikdörtgeni elde edin.

• Elde ettiğiniz dikdörtgenin alanı ve kenar uzunlukları otomatik olarak cebir penceresinde görüntülenecektir. Sürgüyü kaydırarak en büyük alana ulaşıldığında kenar uzunlukları ne olduğu değerlendirilebilir.

• Opsiyonel bir uygulama: koordinatları (u, u*(10‐u)) olan bir nokta oluşturun. Bu noktanın ordinatı dikdörtgenin alan değerini temsil etmektedir. Bu noktayı sağ tuş ile seçerek seçeneğini işaretleyin ve sürgüyü oynatın. Ne gözlemlediniz?

3.5 Trigonometrik Oranlar

Dik üçgendeki trigonometrik oranları belirlemek 8. sınıf kazanımlarından birisi. Dinamik bir uygulama ile bu konuda öğrencilerinize hangi noktalarda yardımcı olmak istersiniz?

Biz bir dik üçgen oluşturalım ve bu üçgende açılar değiştiğinde değişen oranların, açıları sabit tutarak üçgeni büyütüp küçülttüğümüzde değişmediğini görselleştirelim;

• Koordinat eksenleri üzerine birer nokta koyalım. Bu noktalar üçgenin dik olmayan köşeleri olacak ve açıları değiştirmeye yarayacak. Noktaların başlık etiketlerini “açıyı değiştir” olarak düzenleyebilirsiniz.

• Açıları değiştirmeden büyütüp küçültebileceğimiz bir üçgene ihtiyacımız var.

• Bunun için eksenler üzerindeki noktaları birleştirerek bir doğru elde edelim.

(12)

• Bu doğruya paralel bir doğru çizelim.

• Şu ana kadar elde ettiğimiz noktalar arasında sadece orijindeki nokta üçgenimize ait bir köşe olacak. Diğer noktaları açıları kontrol etmek ve üçgeni büyütmek için kullanacağız. Bu sebeple diğer noktaların biçimlerini yukarıdaki şekilde olduğu gibi ayarlamak anlamlı olacaktır.

• İkinci çizdiğimiz doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirleyelim ve iki doğruyu da gizleyelim. Eksen üzerindeki noktalar ile orijin üzerindeki noktayı kullanarak üçgeni elde edebiliriz.

(13)

• Açıları ve kenar uzunluklarını şeklin üzerinde yazdırabilirsiniz. Sırasıyla ve araçlarını kullanın.

• GeoGebra otomatik olarak kenarları isimlendirecektir. Biz bu uygulamada kenar isimleri ile özel olarak ilgileneceğimiz için sırayla doğru parçalarının özelliklerini kullanarak kendimize ait isimler verelim.

• Kenar isimleri ile birlikte uzunluğun da görüntülenmesi için özellikler penceresinde etiketi göster seçeneğinin yanında başlık ve değer sekmesini seçelim.

• Şimdi hesap çizelgesi görünümünü açalım.

• Bu görünüm Excel tabloları gibi çalışmakla birlikte çizim alanındaki nesneler ile de etkileşim içindedir.

• A1, A2 ve A3 hücrelerine sırayla “hipotenüs”, “dik kenar‐1” ve “dik kenar‐2” yazalım.

• B1, B2 ve B3 hücrelerine de bu kenarların uzunluklarını yazdıracağız. Sırayla çizim alanında bu kenarlar için belirlenen isimleri yazalım.

• Aşağıdaki yapıyı oluşturarak oranları yazmak istediğimiz hücrelere de excel’de yaptığımız gibi formül girişleri yapalım. Örneğin; "DK1/hipotenüs" için B5 hücresine

=B2/B1 yazalım.

(14)

• Artık açıları değiştirdiğinizde oranların nasıl değiştiğini, açıları değiştirmeden üçgeni büyüttüğünüzde ise kenarların dinamik olarak değişmesine rağmen oranların sabit kaldığını görebilirsiniz.

3.6 Geometrik çizimler

Pergel ve cetvel kullanarak yapılan geometrik çizimleri de GeoGebra yardımı ile dinamik bir model haline getirebilirsiniz.

3.6.1 Kenarları verilen bir üçgeni çizme

Kenarları verilen bir üçgenin tek türlü çizilebileceğini biliyoruz. Bu üçgenin nasıl çizilebileceğine dair dinamik bir model oluşturalım;

• Köşeleri A, B ve C olan bir üçgen çizeceğimizi düşünelim ve bu kenar uzunluklarını kontrol etmek üzere pozitif değerlerde değişen ve isimleri AB, AC ve BC olan sürgüler oluşturalım.

• Çizim alanında istediğimiz yer bir A noktası koyalım ve “Merkez ve yarıçapla çember”

aracını kullanarak A merkezli AB yarıçaplı bir çember oluşturalım.

o ! Çemberin yarıçapı sorulduğunda sürgünün adı olan AB yazmanız yeterli

(15)

• AB sürgüsünü kaydırdığınızda çemberin genişleyip daraldığını gözlemleyin. Bu çemberin yarıçapı AB kenarı olacak. Çemberin sınırına bir B noktası yerleştirin ve B merkezli BC yarıçaplı bir çember daha çizin.

• Bu iki çemberin kesişim noktasını belirleyip elde edilecek C köşesi ile üçgeni oluşturabileceğimizi düşünebilirsiniz ama bu hatalı bir yaklaşım olur. Neden?

• A Merkezli AC yarıçaplı bir çember daha çizin. Bu çemberin yarıçapı da AC kenarını temsil edecek.

• C köşesinin hangi çemberlerin kesişimi olacağını söyleyebilir misiniz?

• Bu iki çemberin kesişim noktasını belirleyerek C köşesini de inşa edelim.

(16)

• Bu üç noktayı birleştirdiğinizde üçgeni elde etmiş olacaksınız. Sürgüler ile kenarları istediğiniz gibi ayarlayın.

• Kenarların bazı değerleri için üçgen elde edilemeyeceğini göreceksiniz. Bu durum hangi kavrama dikkat çekmek için bir fırsat oluşturur?

• Aşağıdaki gibi birer yazı eklemek acaba nasıl mümkün olur?

(17)

3.6.2 Açıortay doğrusunu oluşturma

• GeoGebra’yı açın ve eksenleri gizleyin. “İki noktadan geçen Işın‐ ” aracını kullanarak bir açı oluşturun. Bu açının ölçüsünü de yazdırmanız önerilir.

• Yine pergel olarak “merkez ve yarıçapla çember” aracını kullanacağız. Çizeceğimiz çemberlerin yarıçapını kontrol etmek üzere t ve s isimli birer sürgü oluşturalım.

• A köşesi merkezli ve t yarıçaplı bir çember çizelim.

• Elde edilen çember ile ışınların kesişim noktalarını belirleyelim. Bu noktaları merkez kabul eden ve her ikisinin de yarıçapı s olan iki çember çizelim ve bu çemberlerin ara kesit noktalarını belirleyelim.

(18)

• A köşesi ve bu iki nokta doğrusal olacaktır. Herhangi ikisini birleştiren bir doğrunun üçüncüsünden de geçeceğini ve bu doğrunun A açısının açıortayı olacağını görebilirsiniz.

• Elde edilen doğrunun açıortay olduğunu kontrol ediniz.

• Bu yapının dinamik özelliğinden yararlanarak pergel ve cetvel ile açıortay çizme becerisine yönelik ne gibi kazanımlar elde edebilirsiniz?

3.6.3 Eşkenar üçgen oluşturma

Benzer şekilde bir eşkenar üçgen oluşturmaya çalışınız.

3.6.4 Bir doğru parçasının orta noktasını bulma

Verilen bir doğru parçasının orta noktasını bulmaya çalışınız. Bunlara benzer başka geometrik çizimler yapabilir misiniz?

3.7 Fraktal

Geogebra, aynı işlemi arka arkaya defalarca tekrarlamak istediğinizde işinizi kolaylaştıracak bir opsiyona da sahiptir. Mevcut araçlara kullanıcı tanımlı bir araç ekleyebilir, bu yolla GeoGebra’nızı kişiselleştirebilirsiniz.

Bu opsiyonu kullanmaya yönelik, ilköğretim müfredatının da yeni bir konusu olan fraktalar çok güzel bir örnektir.

Örnek olarak, Pisagor ağacı denen aşağıdaki fraktalı oluşturalım;

(19)

Bir karenin üzerine ikizkenar dik üçgen yerleştirip, bu üçgenin dik kenarları üzerine birer kare çizelim ve bu işlemi her bir kare için tekrarlayalım. Yukarıdaki ağaca benzer fraktalı elde edeceksiniz.

• Öncelikle düzgün çokgen çizme aracını kullanarak bir kare çizelim

• Pisagor ağacını çizmek için gerekli olan ilk adımı (iterasyon) uygulayıp, bu adımda elde edilen ürünleri kullanarak iterasyonu kaydetmemiz gerekiyor.

o Çizdiğimiz ABCD karesinin üstteki iki noktasının A ve B olduğu varsayımı ile anlatıma devam edersek;

Karenin üstüne bir ikizkenar dik üçgen yerleştirmemiz gerekiyor. Bu üçgenin bir kenarı karenin bir kenarının 1/ 2 katıdır. Merkezleri A ve B olan ve yarıçapı karenin bir kenarının 1/ 2 katı olan birer çember çizip bu çemberlerin kesişim noktalarını işaretleyelim;

Çemberlerden birini elde etmek için gerekli komut: Çember[A, a/sqrt(2)]

Çemberlerin kesişim noktası olan E noktasını belirledikten sonra gizleyelim.

(20)

Şimdi E ve B noktaları ile A ve E noktalarını kullanarak birer kare oluşturalım

• Birinci iterasyonu gerçekleştirmiş olduk. Şimdi, bu işlem sırasında elde ettiğimiz ürünü çıktı olarak verecek bir araç oluşturacağız.

o Araçlar menüsünden Yeni Araç Oluştur seçeneğini seçiniz.

o Açılan pencerede, “Çıkış Nesneleri” sekmesindeki ilgili alana asıl ürünümüz olan iki kareyi ve noktaları temsil eden değişkenleri giriniz. (Bu işlemi açılır menüden yapabileceğiniz gibi, çizim tahtasında ilgili öğelerin üzerine tıklayarak da yapabilirsiniz.)

o “Giriş Nesneleri” sekmesinde, seçtiğiniz çıkış nesneleri için gerekli giriş nesneleri otomatik olarak belirecektir. Dilerseniz bunları arttırabilirsiniz.

o “Ad ve İkon” sekmesinde ise oluşturduğunuz araca isim verebilir ve bu araç seçildiğinde ne yapılması gerektiğine dair belirecek açıklamayı yazabilirsiniz.

Bilgisayarınızda yüklü olan bir resmi bu araç için ikon olarak da atayabilirsiniz.

(21)

o Seçenekler menüsünden seçeneğine tıklarsanız. Bundan sonraki GeoGebra pencerelerinde bu araç her zaman kullanıma hazır olacaktır.

o 4 iterasyon sonra elde edilen fraktal aşağıdaki gibidir;

Not: Siz de bu yöntemle çeşitli fraktalar elde edebilir veya var olan fraktalların kurallarında küçük değişiklikler yaparak farklı yapılar elde edebilirsiniz.

3.8 Klinometre modeli oluşturma

Sanal Matematik Laboratuarı’ndan (http://samala.pau.edu.tr) ulaşabileceğiniz klinometre modelinin nasıl oluşturulmuş olabileceğini anlamaya çalışınız.

3.9 İki nokta arasını istenen oranda parçalara ayırma

Sanal Matematik Laboratuarı’ndan (http://samala.pau.edu.tr) ulaşabileceğiniz iki nokta arasını istenilen sayıda eşit parçaya ayırma uygulamasının nasıl oluşturulduğunu anlamaya çalışınız.