Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

AN ASYMPTOTIC FORMULA FOR THE SUM OF THE NEGATIVE EIGENVALUES OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL OPERATOR GIVEN IN INFINITE INTERVAL

Özlem BAKŞİ

^*1

, Sedi İSMAYİLOV

²

1Yıldız Teknik Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Davutpaşa-İSTANBUL

2Azerbaycan Teknik Üniversitesi, Atomatika ve Hesaplama Teknikasi Fakültesi, Matematik Bölümü, AZERBAYCAN

Geliş/Received: 08.03.2005 Kabul/Accepted: 05.10.2005

ABSTRACT

Asymptotic formul is founded for the sum of negative eigenvalues of the operator L in L₂

[

0,∞

)

space, where L formed by l(y)=

(

p(x)y′(x)

)

′−q(x)y(x) differantial expression and y(0)=0 bounded condition,

Keywords: Self-adjoint operator,Negative eigen value, Spectrum, Asymptotic MSC number/numarası: 34B24.

SONSUZ ARALIKTA VERİLMİŞ İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERANSİYEL OPERATÖRÜN NEGATİF ÖZDEĞERLERİNİN TOPLAMI İÇİN ASİMTOTİK FORMÜL

ÖZET

[

0,^∞

)

L2 uzayında l(y)=

(

p(x)y′(x)

)

′−q(x)y(x) diferansiyel ifadesi ve y(0)=0 sınır koşulu ile oluşturulan L operatörünün negatif özdeğerlerinin toplamı için asimptotik formül bulunmuştur.

Anahtar Sözcükler: Kendine eş operatör, Negatif özdeğer, Spectrum, Asimtotik.

1. GİRİŞ ) (x

p ve q(x) [0,∞ aralığında tanımlı ve aşağıdaki koşulları sağlayan herhangi iki fonksiyon ) olsun.

1) c₁≤ p(x)≤c₂ olacak şekilde c1^,c2^{∈ ,}

( )

^0∞ sabitleri vardır.

2) p(x) fonksiyonu monoton azalmayandır ve sürekli türeve sahiptir.

3) q(x) fonksiyonu sürekli, pozitif değerli ve monoton azalandır.

4) lim ( )=0

∞

→ q x

x

D(L) ile

a) )y(x ve y′(x) fonksiyonları her sonlu

[ ]

^{0,a (}a∈ ,

( )

0∞ ) aralığında mutlak süreklidir.

* Sorumlu Yazar/Corresponding Autor: e-posta: baksi@yildiz.edu.tr, tel: (0212) 449 15 28

Sigma

2005/4

Journal of Engineering and Natural Sciences

Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

b) 0y(0)=

c)

(

p(x)y′(x)

)

′∈L₂(0,∞) koşullarını sağlayan tüm y∈ L₂(0,∞) fonksiyonlarının kümesini gösterelim.

) , 0 ( ) (

:D L → L₂ ∞ L

(

( ) ( )

)

( ) ( ) )

)(

(Ly x =− p x y′x ′−q x y x

kendine eş operatörünü göz önüne alalım. L ye L₂(0,∞) uzayında

(

^{( ) ( )}

)

^{( ) ( )}

)

(y p x y x qx y x

l =− ′ ′− (1) Diferansiyel ifadesi ve y(0)=0 sınır koşulu ile oluşturulan operatör diyeceğiz. L operatörünün alttan yarı-sınırlı ve spektrumunun negatif kısmının ayrık olduğu bilinmektedir [1].

"

"≤− ≤

≤

−

≤

−λ₁ λ₂ λ_n L operatörünün negatif öz değerleri olsun. Bu çalışma da ε→+0 iken

) 0 ( >

∑

<−

−

ε λ

ε λj

j

toplamı için asimtotik formül bulunmuştur. [2] çalışmasında L operatörünün negatif öz değerlerinin sayısı için asimtotik formüller bulunmuştur. [3] çalışmasında operatör katsayılı bir diferansiyel operatörün negatif öz değerlerinin sayısının asimtotik ifadeleri bulunmuştur. [4]

çalışmasında L₂(0,∞) uzayında

) ( ) ( ) ( )

1(y y x q x y x

l =− ′′ −

diferansiyel ifadesi ve y′(0)=0 sınır koşuluyla oluşturulan operatörün negatif öz değerlerinin toplamının asimtotik davranışı incelenmiştir.

2. ÖZDEĞERLER İÇİN BAZI EŞİTSİZLİKLER )

(x

q fonksiyonu monoton azalan olduğundan tersi vardır. )q(x in ters fonksiyonu g(x) olsun.

Ayrıca,ε,g(x)fonksiyonunun tanım kümesine ait olan ε<q(0) koşulunu sağlayan bir sayı olsun.

Aşağıdaki operatörleri göz önüne alalım:

1) L2

[

^0,g⁽ε⁾

]

uzayında (1) ifadesi ve sırasıyla y⁽⁰⁾= y

(

g⁽ε⁾

)

=^{0 ,} y′⁽⁰⁾= y′

(

g⁽ε⁾

)

=⁰ sınır koşullarıyla oluşturulan L′ ve L ′′ operatörleri

2) L₂

[

x_i−1,x_i

]

uzayında (1) ifadesi ve sırasıyla

0 ) ( ) (

, 0 ) ( ) (

1 1

′ =

′ =

=

=

−

−

i i

i i

x y x y

x y x y

sınır koşullarıyla oluşturulan L′_i ve L ′′_i operatörleri 3) L₂

[

x_i−1,x_i

]

uzayında −p(x_i)y′′(x)−q(x_i)y(x)

İfadesi ve y(x_i−1)=y(x_i)=0 sınır koşullarıyla oluşturulan L_i⁽¹⁾ operatörü 4) L₂

[

xi₋₁,xi

]

uzayında −p(x_−1i)y′′(x)−q(x_i−1)y(x)

İfadesi ve y′(x_i−1)= y′(x_i)=0 sınır koşullarıyla oluşturulan L_i⁽²⁾ operatörü

[

0,g(ε)

]

aralığını uzunlukları

Ö. Bakşi, S. İsmayilov Sigma 2005/4

1 ) (

) (

⎥⎦+

⎢⎣ ⎤

=⎡ ε δ ε

gα

g (2)

olan parçalara bölelim. Burada ε, g^α(ε)≥2 eşitsizliğini sağlayan herhangi bir pozitif sayı ve

( )

0,1

α∈ dir. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡g^α(ε) ile g^α(ε) sayısının tam kısmı gösterilmiştir.

[

^{0, ( )}

]

, ) (

0=x₀<x₁<x₂<"<x_m=gε gε aralığının bölüntü noktaları olsun.

L, L′ , L ′′ , ′

L ve i L_i⁽¹⁾ operatörlerinin − dan λ (λ>0) küçük özdeğerlerinin sayısı sırasıyla N(λ), N′(λ), N′′(λ), n_i^′(λ) ve n_i⁽¹⁾(λ) olsun. Ayrıca

i

i

( ) n

n ′ ε =

ve

n

_i⁽¹⁾

( ε ) = n

_i⁽¹⁾ olsun. [2] çalışmasında )

( N ) N(

) (

N′ε ≤ ε ≤ ′′ε (3) ve L_i′ <L_i⁽¹⁾ , L_i″>L_i⁽²⁾ eşitsizlikleri ispatlanmıştır. (3) nin ispatına benzer şekilde

) ( ) ( N ) N(

) (

N′λ ≤ λ ≤ ′′λ λ≥ε (4) eşitsizlikleri ispatlanabilir. L_i′<L_i⁽¹⁾ eşitsizliğinden

) ( ) (

n_i′ λ ≥n_i⁽¹⁾ λ (5) elde edilir. [5] R.Courant’ ın varyasyon prensiplerinden dolayı

∑

=

≥

′

M i

ni

N

1 ) 1 ( ( ) )

(λ λ (6)

dir [6]. (4), (5) ve (6) ten

∑

=

≥

M i

ni

N

1 ) 1 ( ( ) )

(λ λ (7)

bulunur. L_i⁽¹⁾ operatörünün özdeğerleri −µ_i1<−µ_i2<−µ_i3 <" olsun.

Teorem 1: p(x) ve q(x) fonksiyonları 1), 2), 3) ve 4) koşullarını sağlıyorsa ε nun küçük pozitif değerleri için

∫ ∫

∑

^{> − −}

=

) (

0

3 0

) (

1

) ( )

, ( )

, ( ε

δ α ε

ε ε

ε λ

N g j

j f x dx f x dx c g

dır. Burada

[ ]

) ( ) ) (

( 2 ) 3 ( ) ,

( ¹

x p

x x q

q x

f ε = π ⁻ +ε ⁻ε ve c₃>0 bir sabittir.

İspat: L_i⁽¹⁾ operatörünün özdeğerleri

) ( )

(

2

1 i

i i i m

i q x

x x x m

p ⎟⎟⎠ −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

−

−

µ π şeklindedir. Buradan

An Asymptotic Formula for the Sum of the Negative …

( )( )

6

1 2 ) 1

( ) (

) ( ) (

) (!

) (!

) 2 (!

) 2 (!

2

1 1 1

) 1 ( )

1 (

+

− +

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− −

=

−

= −

=

∑

∑

i i

i i i i

i i i i n m m i n

m

n n

x n p n x q

x x x m p x q

i i

δ π µ π

^(!) ₂ ²

[

^{2( (!))3 3( (!))2 (!)}

]

6 ) ) (

( _{i i} pxⁱ n_i n_i n_i

n x

q − + +

= δ

π (8)

elde edilir.

δ ε

π _{− <−}

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ( )

) (

2 i

i m q x

x

p eşitsizliğinden n_i⁽¹⁾ için

) (

) 1 (

) (

)

( ₍₁₎

i i i

i i

x p

x n q

x p

x

q ε

π δ ε

π

δ −

<

≤

− −

(9)

bulunur. (8) ve (9) den yararlanarak

6 . ) 1 (

) (

) ) (

( 2

2

1

) 1 (

δ π ε

π

µ δ ⁱ

i i i

m i n m

x p x

p x x q

q

i

⎟−

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − −

∑

≥

=

) ) ( )(

6 ( 2 2

) ( 3 ) 3 3 ( 2 ) (

) (

) ) ( )(

6 ( 2 2

) ( 3 ) (

) ( 3

) ) ( ) ( (

) (

) ) ( )(

6 ( 2 2

) ( )

( ) ( 3

) ) ( ) (

( ) ) (

(

) (

) ( )

( ) ( 3 )

( ) ( 2

32 1

2 2 2 3

3 3

δ ε π ε ε

ε π

δ

δ ε π ε ε

ε π

δ

δ ε π ε ε

π δ δπ ε

ε π

δ ε π

δ ε π

δ

−

− +

⎥⎦−

⎢⎣ ⎤

⎡ +

= −

−

− +

⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − −

= −

−

− +

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− −

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ ⎟⎟⎠ + − + −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

i i i

i i i

i i i

i i i i

i i

i i i

i i i i

i i i

i i i

i i

i

x q x x p

x q x q

p x q

x q x x p

q x

p x q x x p x q p

x q

x q x x p

q x

p x q x x p x q

p x x q

q

x p

x q x

p x q x

p x q

[

^{2 ( )}

]

^{2 ( ) ( ) ( )}

) (

) ( 3

1 i i

i i i

i qx qx p x q x

x p

x

q ₋

−

−

− +

> ε ε δ

π

δ (10)

bulunur.

[ ]

) ( ) ) (

( 2 ) 3 ( ) ,

( ¹

x p x x q

q x

f ε = π ⁻ +ε ⁻ε alınırsa (10) dan

∑

=

− −

−

≥

) 1 (

1

1 ( ) ( )

) ( 2 ) , (

ni

m

i i i

i m

i δf x ε q x δ p x q x

µ (11)

elde edilir. q(x) monoton azalan ve p(x) monoton azalmayan fonksiyonlar olduğundan her sabit ε∈

(

0 q, (0)

)

için f(x,ε) fonksiyonu

[

0,g(ε)

]

aralığında monoton azalandır. Dolayısıyla

Ö. Bakşi, S. İsmayilov Sigma 2005/4

∫

^{+ >}

∫

⁺

=

1 1

) , ( )

, ( ) , (

i

i

i

i

x

x

x

x i

i f x dx f x dx

x

f ε ε ε

δ (12)

dir. (11) ve (12) den

∑ ∫

^{+ −}

=

−

−

≥

) 1 1 (

) 0 ( )

0 ( 2 ) ,

( ¹ ₂

1

i

i

i x

x n

m m

i f xε dx q δ c q

µ (13)

bulunur. (7) dan yararlanarak

∑∑

∑

= = =

≥

M i

m i n m N

j j

i

1 1

) (

1

) 1 (

µ λ

ε

(14)

olduğu gösterilebilir. (13) ve (14) den

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

≥

>

∑ ∑ ∑ ∫

∑

^{− + −}

=

=

−

=

=

) 1 1 (

) 0 ( )

0 ( 2 ) ,

( ¹ ₂

1

1 1

1

1 ) (

1

i

i

i x

x M

i m i n m M

i N

j

j µ f xε dx q δ c q

λ

ε

∫

^{− − −}

>

xM

x

q c M M q dx x f

1

) 0 ( )

0 ( 2 ) ,

( ₁ ε δ ¹ ₂ (15)

elde edilir. Öte yandan (2) den

2 ) 1 2 ( 1 ) ( 2

)

( = ₁ >

> ⁻ ε

ε

δ _αε g ^α

g g

) ( 2 1 ) ) (

( ε ε

δ

ε _{α α}

g g g

M ⎥⎦⎤+ <

⎢⎣⎡

=

= (16)

bulunur. (15) den ve bu son iki bağıntıdan

) ( )

, ( )

,

( ₃

0 )

(

0 ) (

1

ε ε

ε

λ ^α

ε δ ε

g c dx x f dx x f

N g j

j>

∫

−

∫

−

∑

=

elde edilir. 

i″

L ve L_i⁽²⁾ operatörlerinin öz değerleri sırasıyla −γ_i1″<−γ_i2″<" ve

"

<

−

<

−γ_i1⁽²⁾ γ_i2⁽²⁾ olsun. Ayrıca ″

L ve i L_i⁽²⁾ operatörlerinin − dan λ (λ>0) küçük olan öz değerlerinin sayısı sırasıyla )n_i^″(λ ve n_i⁽²⁾(λ) olsun. L_i″>L_i⁽²⁾ olduğundan

) ( )

(λ _i⁽²⁾ λ

i n

n″ ≤ (17) dır [5]. R. Courant ’ ın varsayım prensipleri gereğince

∑

=

≤ ″

′′

M i

ni

N

1

) ( )

(λ λ (18)

An Asymptotic Formula for the Sum of the Negative …

dir [6]. (4), (17) ve (18) den

∑

=

+ ″

≤

M i

i n

n N

2 ) 1 2

( ( ) ( )

)

(λ λ λ elde edilir. Bu eşitsizlikten

yararlanarak

∑

∑

∑

∑

^″

=

=

=

=

+ ″

≤

1 ) 2 (

1 1 1

2 ) (

1

n m

m n

m m i M i N

j j

i

γ γ

λ

ε

(19)

eşitsizliği ispatlanabilir. Burada n_i⁽²⁾ =n_i⁽²⁾(ε) , n₁″=n₁^″(ε) alınmıştır.

Teorem 2 : 1), 2), 3) ve 4) koşulları sağlanıyorsa 0ε> ın küçük değerleri için

) ( )

, ( )

, 3 (

1

6 0

6 )

(

0 )

(

1

ε ε

π ε

λ ^α

ε δ ε

g c dx x f c dx x f

N g j

j<

∫

+

∫

+

∑

=

dır. Burada c₆ >0 bir sabittir.

İspat: L_i⁽²⁾ operatörünün özdeğerleri

) , 2 , 1 ( )

) ( 1 ) (

( ₁

2

1 1 )

2

( ⎟⎟⎠ − = "

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

− ₋

− − qx m

x x x m

p _i

i i i

im π

γ şeklindedir. Dolayısıyla

( ) ( )

6

1 2 ) 1

( ) (

) 1 ) ( ( ) (

) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( 1 2 ) 1

2 (

!

2

1 1 ) 1

2 (

!

) 2 ( )

2 (

−

− −

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− −

=

− −

−

= − − −

=

∑

∑

i i i i

i i n

m i i i i

im n

m

n n x n

p x q n

x x x m p x q

i i

δ π γ π

( ) ( )

_⎥⎦^⎤

⎢⎣⎡ − +

−

= ₋ ^{− (2) 3 (2) 2 (2)}

2 1 2 ) 1

2

( 2 3

6 ) ) (

( _i ⁱ _{i i i}

i p x n n n

x q

n δ

π (20)

dır.

π _{− <−}ε

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− −

− ( 1)− ( )

)

( ₁

2

1 1 i

i

i i q x

x x x m

p ifadesinden

) 1 (

) ( )

( ) (

1 ) 1

2 ( 1

1 − ≤ < − +

−

−

−

−

i i i

i i

x p

x n q

x p

x

q ε

π ε δ

π

δ (21)

elde edilir. (20) ve (21) den yararlanılarak;

Ö. Bakşi, S. İsmayilov Sigma 2005/4

( )

( )

( ) [ ]

2 2 2 2

1 1 1

2 1 2 1

1 1

1 1 1

1

1 1 1

1 2 2 2 1 2 1

1

1 1

1 1 1

2

1 1 2

1 2

1 1 3

1 1 3

3 2 1 2

1 1 1

) 2 ( 1

) 0 ( ) 0 ( )

0 3 ( ) 3 ( 2 ) (

) (

2 ) ) (

2 ( ) 1 ( ) 6 (

5

) 3 (

) 3 ( 2 ) (

) (

) 1 (

) ( 2 ) (

) ( 2

) ) (

( ) 6 (

) ( )

3 ( ) 1 ) (

( ) (

) 1 (

) 3 (

6 ) (

) (

) ( )

( ) ( 2 6

) 1 (

) (

) ) (

(

) 2 (

δ π δ

π ε

ε π

δ

δ ε π δ ε

π

ε ε

π δ

ε π

δ ε π

δ δ ε π δ

π

ε ε π

δ

ε π

δ δ

π

ε π

δ ε π

δ δ

π ε

π γ δ

q c q c q

x x q

p x q

x x p

q x

q x p

x q x

x q p

x q

x p

x q x

p x q x

x p q x p

x q x

q x

x q p

x q

x p

x q x

p

x p

x q x

p x q x

p x

p x x q

q

i i i

i i i

i

i i i

i

i i i

i i i

i

i i

i i i

i i i

i i i

i i

i i i

im n m

i

+ + +

⎥⎦+

⎢⎣ ⎤

⎡ +

< −

+

− +

− +

⎥⎦+

⎢⎣ ⎤

⎡ +

= −

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ − + − +

+

−

−

⎥⎦+

⎢⎣ ⎤

⎡ − −

= −

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ − +

+

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ ⎟⎟ + −

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎥−

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ − +

<

− −

−

− −

−

−

−

− −

−

−

−

−

−

− −

−

−

−

− −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− −

∑

=

bulunur. Burada 2

>1

δ olduğu göz önüne alınırsa

[

1

]

4

1 1 )

2 ( 1

) ( ) 2 (

) ( 3

) 2 (

c x

x q p

x q

i i im i

n m

i

+

− +

< ₋

−

−

∑

= ^{γ δ}_π ^{ε ε veya}

4 ) 1

2 ( 1

) , (

) 2 (

c x f _i

im n m

i

+

< ₋

∑

= ^{γ δ ε} (22) elde edilir. Burada c₄>0 bir sabittir. Her sabit ε∈

(

^{0 q, (0)}

)

için f(x,ε) fonksiyonu monoton azalan olduğundan

∫

∫

⁻

−

−

−

<

= ₋

−

1

2 1

2

) , ( )

, ( ) ,

( _{1 1}

i

i i

i

x

x x

x i

i f x dx f x dx

x

f ε ε ε

δ (23)

dir. (22) ve (23) dan

) , , 3 , 2 ( )

,

( _{1 4}

) 2 ( 1

1

2 )

2 (

m i

c dx x f

i

i

i x

x i im

n m

"

= +

<

∫

∑

⁻

−

−

=

ε

γ (24)

bulunur.(16), (19) ve (24) den

An Asymptotic Formula for the Sum of the Negative …

∑ ∫ ∑

∑

^″

=

=

=

+ ″

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

≤

−

− 1 1

2 !

1 2

4 )

(

1

) , (

n m

m M

i x

x N

j j

i

i

c dx x

f ε γ

λ

ε

∫ ∑

″

=

+ ″ +

< ¹

! 1 )

(

0

) 4

, (

n m

m g

M c dx x

f ε γ

ε

∫ ∑

″

=

+ ″ +

< ¹

! 1 )

(

0

4 ( )

2 ) , (

n m

m g

g c dx x

f ε ^α ε γ

ε

(25)

elde edilir.

∑

^″

=

1 ″

! 1 n m

γ m toplamı için

) ( )

, (

0

5 5

! 1

1 γ ε ^α ε

δ

g c dx x f c

n m

m

∫

∑

^{″ ″< +}

=

(26)

eşitsizliği ispatlanabilir. (25) ve (26) den

) ( )

, ( )

,

( ₆

0 6 )

(

0 ) (

1

ε ε

ε

λ ^α

δ ε ε

g c dx x f c dx x f

N g j

j<

∫

+

∫

+

∑

=

bulunur. 

3. NEGATİF ÖZDEĞERLERİN TOPLAMI İÇİN ASİMTOTİK FORMÜL Bu kısımda Teorem 1 ve Teorem 2 den yararlanarak ε→+0 iken

∑

−

<

−λ ε

λ

j

j toplamı için asimtotik formül bulunacaktır. q(x) fonksiyonunun aşağıdaki koşulu sağladığını varsayalım:

d) Her η∈ ,

( )

0∞ sayısı için

{

^{( )}

}

⁰

lim )

(

lim = ^{+ −1}=

∞

→

−

∞

→

η

η k

x k

x q x x qx x

dır. Burada k, ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 3 ,2

0 aralığına ait olan sabit bir sayıdır.

Teorem 3: p(x) ve q(x) fonksiyonlarının 1),2) ve 3) koşullarını sağladığını varsayalım. Ek olarak )q(x fonksiyonu d) koşulunu sağlasın. Bu durumda ε→+0 iken

( ) [

^o

] ^[

^qx

^]

^q_p^x _x ^dx

x q j t

j

) ( ) ) (

( 2 )

( 1 3

) (

1 ε 0 ε ε

π λ

ε ε λ

+ − +

=

∫

∑

≥

−

−

<

−

asimtotik formülü sağlanır. Burada t0^{∈ ,}

( )

^0∞ bir sabittir.

İspat: Teorem 1 gereğince ε nun küçük pozitif değerleri için )

( )

, ( )

, (

0 )

(

0

ε ε

ε

λ ^α

ε δ ε λ

g c dx x f dx x f

g

j

j

−

−

>

∫ ∫

∑

<−

−

(27)

dır. Teoremi ispatlamak için bu eşitsizliğin sağ tarafındaki terimleri ayrı ayrı sınırlandıralım q(x) fonksiyonu monoton azalan olduğundan

[

^0,g(2ε)

]

aralığında q(x)≥ gq

(

(2ε)

)

=2ε dır. Bu nedenle

Ö. Bakşi, S. İsmayilov Sigma 2005/4

[ ]

dx x p

x x q

q dx

x f

g g

) ( ) ) (

( 3 2

) 1 , (

) 2 (

0 )

(

0

ε ε ε π

ε

ε >

∫

+ −

∫

dx p x ^dx

x p

x

q ^g

g

) ( 1 )

( )

( ^{(2 )}

0 32 )

2 (

0

1

∫

^{− >}

∫

> ⁻

ε ε

ε ε ε

π dır. p(x)<c₂ olduğundan buradan

) 2 ( )

,

( ₂ ^{1 32}

) (

0

ε ε ε

ε

g c dx x f

g

> −

∫

(28) elde edilir. q(x) fonksiyonu d) koşulunu sağladığından

0 ) (

lim =

∞

→ q x

x (29) ve her η>0 için

∞

+ =

→

η k xlimq )(x x

0 (30) dır. (29) den

∞

→ ( )= lim0 ε

ε g (31)

bulunur. (30) ve (31) den

( ) [ ]

⁺ =∞

→

η εlimqg(2ε) g(2ε)^k

0 elde edilir. Buradan ε nun η ya bağlı olan

küçük değerleri için

[

^{(2 )}

]

²

2ε g ε ^k+η > ya da

ε η

ε > ^−k+ g

1

) 2

( (32) bulunur. (28) ve (32) den

η ε

ε ε > ^{− − +}

∫

^k

g

c dx x f

1 2 3 2 1 )

(

0

) ,

( (33)

elde edilir. (27) eşitsizliğinin ikinci tarafındaki

∫

^{δ ε}

0

) , (x dx

f integralini sınırlandıralım. )q(x

fonksiyonu

( )

0,∞ aralığında d) koşulunu sağladığından )

0 ( )

( )

(x f₁ x k

q ≤ η ^η−k <η< (34) olacak şekilde pozitif değerli birf₁(η)fonksiyonu vardır. Öte yandan p(x)≥c₁ (c₁>0) olduğundan

[ ]

x dx p

x dx q

x p

x dx q

x p

x q

x dx p

x x q

q dx

x f

) (

) ( )

( ) ( )

( ) ( 1

) ( ) ) (

( 3 2 ) 1 , (

32

1 32

1

0 32

0 0 0

∫

∫

∫

∫

∫

+

<

<

+ −

=

δ δ

δ δ

π

ε ε ε π

An Asymptotic Formula for the Sum of the Negative …

2 1 ) ( 3 2 2 7

) ( 3

1 2

7 ( ) ( ) ⁺

−

−

+

<

+

<^{c f η δ}

∫

^{x η k dx c f η δ η k} (35) dır. (2) eşitliğinden ε nun küçük değerleri için

[

ε

]

^α

δ< g( )¹⁻ (36) bulunur. (34) da x yerine g(ε) yazılırsa

(

^g

)

^f

[

^g

]

^k

q (ε) ≤ ₁(η) (ε)^η− ya da

[

η

]

η ε ^η

ε ≤ f k− ^−k−

g

1 1 1( ) )

( (37) elde edilir. (35), (36) ve (37) den

[ ]

) ( 2

2 ) ( 3 ) 1 ( 3 0

) ( ) ,

( ^η

η δ α

ε η

ε ⁻

+

−

− −

∫

^{f x dx}< ^{f k k} (38) bulunur. Burada f₃(η) (0<η<k), η ya bağlı ve değerleri

( )

0,∞ aralığına ait olan bir fonklsiyondur. (37) den

[ ]

η ^αη

ε ε ≤ f η kα− ε^−k−

g ( ) ₁( ) (39) elde edilir. (33), (38) ve (39) den

[ ]

η η

η α ε

δ

ε η ε

ε

+ +

− − +

−

− −

<

∫

∫

k k

k

g f

dx x f

dx x

f ₁

2 3 ) ( 2

2 ) ( 3 ) 1 ( ) 4

(

0

0 ( )

) , (

) , (

(40)

η η α ε

α η ε

ε

ε − + +

− −

<

∫

k k

g f

dx x f

g ₂^{3 1}

) 4 (

0

) ( ) , (

)

( (41)

bulunur. 0k≠ olduğundan

( )

η η

η α

+ +

− − +

−

− −

k k

k 1

2 3 )

( 2

2 ) ( 3 ) 1

( ve

η η

α + +

− −

−k k

1 2

3 fonksiyonları η ya göre

=0

η noktasında süreklidirler. Dolayısıyla her t>0 için öyle bir η= tη()>0 vardır ki

( )

_t

k k k

k

k > − −

+ +

− − +

−

− −

2 ) 3 2 ( 1 2 3 )

( 2

2 ) ( 3 ) 1

( α

η η

η

α (42)

ve

k t k k

k > − − −

+ +

− −

− 2

2 3 2 1 2

3 α

η η

α (43)

Ö. Bakşi, S. İsmayilov Sigma 2005/4

dır. Buraya kadar yapılan işlemlerde α ,

( )

0 aralığına ait olan bir sabit sayıdır. Burada ,1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − −

=

− =

= k

k k

t k k t

8 3 ,2 16

) 3 2 min ( 4 ,

3

2 ²

α 0 alınırsa (42) ve (43) dan

[ ]

_t

k k k

k

k > − −

+ +

− − +

−

− −

8 ) 3 2 ( 1 2 3 )

( 2

2 ) ( 3 ) 1

( ²

η η

η α

0 2 2

2

16 ) 3 2 ( 16

) 3 2 ( 8

) 3 2

( t

k k k

k k

k − − = − ≥

≥ − (44)

0

0 8

3 2 8

3 2 4

3 2 4

3 2 1 2

3 t

k k t k

k k

k > − − ≥ − − − = − ≥

+ +

− −

− η η

α (45)

elde edilir. (40), (41), (44) ve (45) den

8 0

) (

0 0

) , (

) , (

t

g c

dx x f

dx x f

ε ε

ε

ε δ

<

∫

∫

(46)

8 0

) (

0

) , (

)

( _t

g c

dx x f

g ε

ε ε

ε

α <

∫

(47)

bulunur. Burada c₈ = f₄

(

η(t₀)

) ( )

∈ 0,∞ bir sabittir. (27), (46) ve (47) eşitsizliklerinden

(

(0, )

)

1 ) , (

9 ) 9

(

0

0 ∈ ∞

−

>

∫

∑

<−

− c c

dx x f

t g

j

j ε

ε λ

ε ε

λ (48)

elde edilir. Teorem 2 den ve (46), (47) eşitsizliklerinden

10 0

) (

0

1 ) , (

t g

j

c dx x f

j ε

ε λ

ε ε

λ < +

∫

∑

<−

− (49)

bulunur. (48) ve (49) dan ε→+0 iken

An Asymptotic Formula for the Sum of the Negative …

) ( 1 ) , (

0

) (

0

t g

j

o dx x f

j ε

ε λ

ε ε

λ − =

∫

∑

<−

− ya da

[

^o

] ^[

^{q x}

^]

^q _p^x _x ^dx

x q j t

j

) (

) ) (

( 2 ) ( 1 ) 3 (

) (

1 ε 0 ε ε

π λ

ε ε λ

+ − +

=

∫

∑

≥

−

−

<

−

asimtotik formülü elde edilir.

KAYNAKLAR

[1] Naimark M.A “Linear differential operators”, part I,II, London, 1968.

[2] Skaçek B.Y. “Bir boyutlu diferansiyel operatörlerin spektrumunun negatif kısmının asimptodu”, Pribl. Metod reseniya differens, unavneniy, Kiev, 1963.

[3] Maksudov F.G., Bayramoğlu M., Adıgüzelov E.,”On asymptotics of spectrum and trace of high order differantial operator with operator coefficients”, Doğa-Turkish journal of Mathematics, vol.17, n.2, 1993.

[4] Ehliman Adıgüzelov, Zerrin Oer, “Yarı eksende verilmiş Sturm-Lioville operatörünün negatif özdeğerlerinin toplamının asimtotik ifadesi”, YTÜD, Vol 1,26-35, 2000.

[5] Smirnov, V.I., A course of Higher Mathematics, vol.5, 602, New York Pergamon Press 1964.

[6] Courant R. And Hilbert D. “Methods of Mathemetical Physics” vol.1, 441, New York, 1970.

Ö. Bakşi, S. İsmayilov Sigma 2005/4