Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar

U¸c Veya Daha Fazla De˘ ¨ gi¸skenli Fonksiyonlar

U¸¨c Veya Daha Fazla De˘gi¸skenli Fonksiyonlar

U¸c de˘¨ gi¸skenli bir f fonksiyonu, bir D ⊂ R³ tanım k¨umesindeki her (x, y, z) sıralı ¨u¸cl¨us¨une, f (x, y, z) ile g¨osterilen tek bir ger¸cel sayı kar¸sı getiren bir kuraldır.

Orne˘¨ gin, D¨unyanın bir noktasındaki T sıcaklı˘gı, bu noktanın x boylamına, y enlemine ve t zamanına ba˘glıdır, bu nedenle T = f (x, y, t) yazabiliriz.

Ornek¨

Ornek : f (x, y, z) = ln(z − y) + xy sin z fonksiyonunun tanım¨ k¨umesini bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: f (x, y, z) nin ifadesi z − y > 0 oldu˘gunda tanımlıdır, bu nedenle f nin tanım k¨umesi

D = {(x, y, z) ∈ R³|z > y}

olur. Bu k¨ume z = y d¨uzleminin yukarısında kalan t¨um noktalardan olu¸san yarı uzaydır.

Rⁿ

Herhangi bir sayıda de˘gi¸skene sahip fonksiyonlar da d¨u¸s¨un¨ulebilir. n de˘gi¸skenli bir fonksiyon (x₁, x₂, . . . , x_n) sıralı n li ger¸cel sayılarına bir z = f (x₁, x₂, . . . , x_n) ger¸cel sayısı kar¸sı getiren bir kuraldır.

B¨oyle sıralı n lileri Rⁿ ile g¨osteririz.

Limit ve S¨ureklilik

x ve y nin her ikisi birden sıfıra yakla¸sırken (dolayısıyla (x, y) noktası ba¸slangı¸c noktasına yakla¸sırken)

f (x, y) = sin(x²+ y²)

x²+ y² ve g(x, y) = x²− y² x²+ y² fonksiyonlarının davranı¸slarını kar¸sıla¸stıralım.

Limit ve S¨ureklilik

Tablo 1: ^sin(x_x2+y^2+y₂²⁾

Limit ve S¨ureklilik

Tablo 2: g(x, y) = ^x_x²2^−y+y²²

Limit ve S¨ureklilik

Tablo 1 ve Tablo 2, ba¸slangı¸c

noktasına yakın (x, y) noktaları i¸cin f (x, y) ve g(x, y) nin

de˘gerlerini ¨u¸c¨unc¨u basama˘ga kadar do˘gru g¨ostermektedir. (Her iki fonksiyonunda ba¸slangı¸c noktalarında tanımsız oldu˘guna dikkat ediniz.)

(x, y), (0, 0) a yakla¸sırken f (x, y) de˘geri 1 e yakla¸sıyor ancak g(x, y) de˘gerleri hi¸cbir sayıya yakla¸smıyor gibi g¨or¨unmektedir.

Limit ve S¨ureklilik

Sayısal verilere dayalı olarak yapılan bu tahminler do˘grudur, bu nedenle

(x,y)→(0,0)lim

sin(x²+ y²) x²+ y² = 1 ve

(x,y)→(0,0)lim

x²+ y²

x²+ y² yoktur.

diye yazarız.

Limit ve S¨ureklilik

Genel olarak, (x, y) noktası bir (a, b) noktasına f nin tanım k¨umesi i¸cinde kalan herhangi bir e˘gri boyunca yakla¸stı˘gında f (x, y) nin de˘geri L sayısına yakla¸sıyorsa

lim

(x,y)→(a,b)f (x, y) = L g¨osterimini kullanırız.

Limit ve S¨ureklilik

Tanım: E˘ger (x, y) noktasını (a, b) noktasına yeterince yakın ancak (a, b) den farklı alarak, f (x, y) nin de˘gerini L ye istedi˘gimiz kadar yakın yapabiliyorsak

lim

(x,y)→(a,b)f (x, y) = L

yazarız ve (x, y), (a, b) ye yakla¸sırken f (x, y) nin limiti L dir deriz.

Limit ve S¨ureklilik

˙Iki de˘gi¸skenli fonksiyonlar i¸cin durum basit de˘gildir, ¸c¨unk¨u (x, y) yi (a, b) ye ((x, y), f nin tanım k¨umesinde kalmak ko¸suluyla) sonsuz de˘gi¸sik y¨onden yakla¸stırabiliriz.

Bu y¨onler boyunca f (x, y) fonksiyonunun farklı limitleri olacak ¸sekilde iki farklı yakla¸sım yolu bulabiliyorsak

(x,y)→(a,b)lim f (x, y) yoktur.

Limit ve S¨ureklilik

E˘ger, L1 6= L₂ olmak ¨uzere,

C₁ yolu boyunca (x, y) → (a, b) iken f (x, y) → L₁ ve

C2 yolu boyunca (x, y) → (a, b) iken f (x, y) → L2

ise lim(x,y)→(a,b)f (x, y) yoktur.

Ornek¨

Ornek:¨ lim

(x,y)→(0,0)

x²− y²

x²+ y² limitinin olmadı˘gını g¨osteriniz.

C¸ ¨oz¨um: f (x, y) = x²− y² x²+ y² olsun.

Once (0, 0) a x ekseni boyunca yakla¸salım. Bu durumda, y = 0,¨ her x 6= 0 i¸cin f (x, 0) = x²/x² = 1 olur.

Dolayısıyla,

x ekseni boyunca (x, y) → (0, 0) iken f (x, y) → 1 dir.

Ornek...¨

S

¸imdi de, x = 0 yazarak, x ekseni boyunca yakla¸salım. Bu durumda, y = 0, her y 6= 0 i¸cin f (0, y) = −y²/y²= −1 olur, dolayısıyla,

y ekseni boyunca (x, y) → (0, 0) iken f (x, y) → −1 dir.

f iki farklı do˘gru boyunca iki farklı limite sahip oldu˘gundan, bu limit yoktur.

(Bu sonu¸c, bu b¨ol¨um¨un ba¸slangıcında, sayısal verilere dayanarak yapılan tahmini do˘grular.)

Ornek¨

Ornek: f (x, y) =¨ xy

x²+ y² ise lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) var mıdır?

C¸ ¨oz¨um: E˘ger, y = 0 ise, f (x, 0) = 0/x²= 0 dır. Bu nedenle x ekseni boyunca (x, y) → (0, 0) iken f (x, y) → 0 olur.

Ornek...¨

E˘ger, x = 0 ise, f (0, y) = 0/y² = 0 dır. Bu nedenle,

y ekseni boyunca (x, y) → (0, 0) iken f (x, y) → 0 olur.

Her ne kadar eksenler boyunca aynı limiti elde etmi¸s olsak da, bu sonu¸c, limitin 0 oldu˘gunu g¨ostermez.

Ornek...¨

(0, 0) a ba¸ska bir do˘gru, ¨orne˘gin y = x boyunca yakla¸salım.

Her x 6= 0 i¸cin

f (x, x) = x²

x²+ x² = 1 2 dir.

Bu nedenle x = y do˘grusu boyunca (x, y) → (0, 0) iken f (x, y) → 1

2 olur.

Farklı yollar boyunca farklı limitler elde etti˘gimiz i¸cin, verilen limit yoktur.

Ornek¨

Ornek: E˘¨ ger f (x, y) = xy²

x²+ y⁴ ise lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) var mıdır?

C¸ ¨oz¨um: Bir ¨onceki ¨orne˘gi anımsayarak, ba¸slangı¸c noktasından ge¸cen ve d¨u¸sey olmayan herhangi bir do˘gru boyunca

(x, y) → (0, 0) oldu˘gunu d¨u¸s¨unerek zaman kazanalım.

Bu durumda, m e˘gim olmak ¨uzere y = mx ve f (x, y) = f (x, mx) = x(mx)²

x²+ (mx)⁴ = m²x³

x²+ m⁴x⁴ = m²x 1 + m⁴x² olur. Dolayısıyla, y = mx do˘grusu boyunca

(x, y) → (0, 0) iken f (x, y) → 0 olur.

Ornek...¨

Dolayısıyla, d¨u¸sey olmayan her do˘gru boyunca f (x, y) aynı limite sahiptir.

Ancak bu, verilen limitin 0 oldu˘gunu g¨ostermez, ¸c¨unk¨u x = y² parabol¨u boyunca da (x, y) → (0, 0) dır ve bu durumda,

f (x, y) = f (y², y) = y²y²

(y²)²+ y⁴ = y⁴ 2y⁴ = 1

2 oldu˘gundan, x = y² parabol¨u boyunca (x, y) → (0, 0) iken f (x, y) → ¹₂ bulunur. Farklı e˘griler farklı limit de˘gerleri verdi˘ginden, aranan limit yoktur.

Tek de˘gi¸skenli fonksiyonlarda da limit ¨ozelliklerinin kullanılması limitin hesaplanmasını olduk¸ca kolayla¸stırır. Tek de˘gi¸skenli fonksiyonlardaki limit kuralları, iki de˘gi¸skenli fonksiyonlara

geni¸sletilebilir. Toplamın limiti limitlerin toplamıdır, ¸carpımın limiti limitlerin ¸carpımıdır vb.

Ozel olarak a¸sa˘¨ gıdaki e¸sitlikler do˘grudur.

lim

(x,y)→(a,b)x = a lim

(x,y)→(a,b)y = b lim

(x,y)→(a,b)x = c Ayrıca sıkı¸stırma Teoremi de ge¸cerlidir.

Ornek¨

Ornek: E˘¨ ger varsa, lim

(x,y)→(0,0)

3x²y

x²+ y² limitini bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: Bir ¨onceki ¨ornekteki gibi, ba¸slangı¸c noktasından ge¸cen her do˘gru boyunca limitin 0 oldu˘gunu g¨osterebiliriz. Bu, verilen limitin 0 oldu˘gunu kanıtlamaz, ancak y = x² ve x = y² parabolleri boyunca limitler de 0 bulununca, limitin var ve 0 a e¸sit oldu˘gunu d¨u¸s¨unmeye ba¸slarız.

Ornek...¨

Bunu kanıtlamak i¸cin f (x, y) den 0 a olan uzaklı˘ga bakarız:

3x²y x²+ y² − 0

  =

3x²y x²+ y²

= 3x²|y|

x²+ y² y² ≥ 0 oldu˘gundan x²+ y² ≥ x² dir. Bu nedenle

x²

x²+ y² ≤ 1 olur. Buradan

0 ≤ 3x²|y|

x²+ y² ≤ 3|y|

bulunur.

Ornek...¨

S

¸imdi de sıkı¸stırma teoremini kullanalım.

lim

(x,y)→(0,0)0 = 0 ve lim

(x,y)→(0,0)3|y| = 0 oldu˘gu i¸cin,

lim

(x,y)→(0,0)

3x²y x²+ y² = 0 sonucuna varılır.

S¨ureklilik

Tek de˘gi¸skenli fonksiyonların limitinin bulunmasının kolay oldu˘gunu anımsayalım. S¨urekli fonksiyonları tanımlayan ¨ozellik

x→alimf (x) = f (a)

oldu˘gundan, limitleri do˘grudan yerine koyma ile bulunabilir.

˙Iki de˘gi¸skenli s¨urekli fonksiyonlarda da do˘grudan yerine koyma

¨

ozelli˘gi ile tanımlanırlar.

S¨ureklilik

Tanım: E˘ger iki de˘gi¸skenli bir f fonksiyonu i¸cin

(x,y)→(a,b)lim f (x, y) = f (a, b)

ise fonksiyon (a, b) de s¨ureklidir denir.

E˘ger f , D’ nin her (a, b) noktasında s¨urekli ise f , D’ de s¨ureklidir deriz.

S¨ureklilik

S¨ureklili˘gin sezgisel anlamı, (x, y) deki k¨u¸c¨uk bir de˘gi¸simin, f (x, y) de k¨u¸c¨uk bir de˘gi¸sime yol a¸cmasıdır.

Bu da, s¨urekli fonksiyonun grafi˘gi olan y¨uzeyde delik veya yırtılma olmaması anlamına gelir.

S¨ureklilik

Limitin ¨ozelliklerini kullanarak, s¨urekli fonksiyonların toplam, fark,

¸carpım ve b¨ol¨umlerinin tanım k¨umelerinde s¨urekli olduklarını g¨orebilirsiniz.

Ornek¨

Ornek:¨ lim

(x,y)→(1,2)x²y³− x³y²+ 3x + 2y limitini hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um: f (x, y) = x²y³− x³y²+ 3x + 2y polinom oldu˘gundan her yerde s¨ureklidir, bu nedenle limitini do˘grudan yerine koyma ile bulabiliriz:

(x,y)→(1,2)lim x²y³− x³y²+ 3x + 2y = 1².2³− 1³.2²+ 3.1 + 2.2 = 11

Ornek¨

Ornek: f (x, y) =¨ x²− y²

x²+ y² fonksiyonu nerede s¨ureklidir.

C¸ ¨oz¨um: f fonksiyonu (0, 0) da tanımlı olmadı˘gından orada

s¨ureksizdir. f , bir rasyonel fonksiyon oldu˘gundan, tanım k¨umesinde s¨ureklidir, bu da

D = {(x, y)|(x, y) 6= (0, 0)}

k¨umesidir.

Ornek¨

Ornek:¨

g(x, y) =











x²− y²

x²+ y², (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0)

olsun. Burada g, (0, 0) da tanımlı ancak yinede s¨ureksizdir, ¸c¨unk¨u lim

(x,y)→(0,0)g(x, y) yoktur.

Ornek¨

Ornek:¨

f (x, y) =









 3x²y

x²+ y², (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0)

olsun. (x, y) 6= (0, 0) i¸cin, bir rasyonel fonksiyona e¸sit oldu˘gundan f s¨urekli oldu˘gunu biliyoruz. Ayrıca

lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim

(x,y)→(0,0)

3x²y

x²+ y² = 0 = f (0, 0) oldu˘gunu biliyoruz.

Bu nedenle, f , (0, 0) da s¨urekli, dolayısıyla R²’ de s¨ureklidir.

S¨ureklilik

Bir de˘gi¸skenli fonksiyonlarda oldu˘gu gibi, iki s¨urekli fonksiyonu birle¸stirerek ¨u¸c¨unc¨u bir fonksiyon elde etmenin bir yolu da bile¸ske i¸slemidir.

Ger¸cekten de, f iki de˘gi¸skenli s¨urekli bir fonksiyon ve g , f nin g¨or¨unt¨u k¨umesinde tanımlı bir de˘gi¸skenli s¨urekli bir fonksiyon ise, h(x, y) = g(f (x, y)) ile tanımlı h = g ◦ f bile¸ske fonksiyonu da s¨urekli bir fonksiyondur.

Ornek¨

Ornek: h(x, y) = arctan(y/x) fonksiyonu nerede s¨¨ ureklidir?

C¸ ¨oz¨um: f (x, y) = y/x fonksiyonu, bir rasyonel fonksiyon oldu˘gundan, x = 0 do˘grusu dı¸sında s¨ureklidir. g(t) = arctan t fonksiyonu her yerde s¨ureklidir. Bu nedenle,

g(f (x, y)) = arctan(y/x) = h(x, y)

bile¸ske fonksiyonu, x = 0 dı¸sında s¨ureklidir. S¸ekil 1 deki grafik, h nin grafi˘ginin y ekseninin ¨ust¨unde yırtıldı˘gını g¨ostermektedir.

Ornek...¨

S¸ekil 1: arctan(y/x)

Limit ve S¨ureklilik

˙Iki de˘gi¸skenli fonksiyonlar i¸cin ¨o˘grendi˘gimiz her ¸sey ¨u¸c ve daha fazla de˘gi¸skenli fonksiyonlara geni¸sletilebilir.

lim

(x,y)→(a,b,c)f (x, y, z) = L

g¨osterimi, (x, y, z) noktası, f nin tanım k¨umesi i¸cinde herhangi bir yol boyunca, (a, b, c) noktasına yakla¸sırken, f (x, y, z) nin L sayısına yakla¸sması anlamına gelir.

Limit ve S¨ureklilik

E˘ger

lim

(x,y)→(a,b,c)f (x, y, z) = f (a, b, c) ise f , (a, b, c) de s¨ureklidir.

Orne˘¨ gin

f (x, y, z) = 1

x²+ y²+ z²− 1

fonksiyonu, ¨u¸c de˘gi¸skenli bir rasyonel fonksiyondur ve bu nedenle de, x²+ y²+ z²= 1 dı¸sında R³ ¨un her noktasında s¨ureklidir.

Di˘ger bir deyi¸sle, ba¸slangı¸c noktasın merkezli ve 1 yarı¸caplı k¨ure

¨

uzerinde s¨ureksizdir.

Kısmi T¨urevler

Genel olarak, f , x ve y de˘gi¸skenlerinin iki de˘gi¸skenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak ¨uzere, y = b olacak ¸sekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in de˘gi¸smesine izin verelim.

Bu durumda, g(x) = f (x, b) fonksiyonunu g¨oz ¨on¨une almı¸s oluruz.

g nin a da t¨urevi varsa, bu t¨urevi f nin (a, b) de x e g¨ore kısmi t¨urevi olarak adlandırır ve fx(a, b) ile g¨osteririz:

g(x) = f (x, b) olmak ¨uzere f_x(a, b) = g⁰(a) (1)

Kısmi T¨urevler

T¨urev tanımından,

g⁰(a) = lim

h→0

g(a + h) − g(a) h oldu˘gundan, Denklem 1

fx(a, b) = lim

h→0

f (a + h, b) − f (a, b)

h (2)

bi¸cimini alır.

Kısmi T¨urevler

Benzer ¸sekilde, f nin (a, b) de y g¨ore kısmi t¨urevi, f_y(a, b) ile g¨osterilir ve x i sabit tutup, G(y) = f (a, y) tek de˘gi¸skenli fonksiyonunun b de t¨urevi alınarak bulunur:

f_y(a, b) = lim

h→0

f (a, b + h) − f (a, b)

h (3)

Kısmi T¨urevler

Denklem 2 ve 3 de (a, b) noktası de˘gi¸stirildi˘ginde, f_x ve f_y iki de˘gi¸skenli fonksiyon olurlar.

E˘ger f iki de˘gi¸skenli bir fonksiyon ise kısmi t¨urevleri f_x ve f_y a¸sa˘gıda tanımlanan fonksiyonlardır:

fx(x, y) = lim

h→0

f (x + h, y) − f (x, y) h

fy(x, y) = lim

h→0

f (x, y + h) − f (x, y) h

Kısmi T¨urevler

Kısmi t¨urevler i¸cin g¨osterimler z = f (x, y) ise

fx(x, y) = fx = ∂f

∂x = ∂

∂xf (x, y) = ∂z

∂x = f1 = D1f = Dxf fy(x, y) = fy = ∂f

∂y = ∂

∂yf (x, y) = ∂z

∂y = f2 = D2f = Dyf yazarız.

Kısmi T¨urevler

z = f (x, y) fonksiyonunun kısmi t¨urevlerini bulma kuralı 1. f_x i bulmak i¸cin y de˘gi¸skenini sabit olarak d¨u¸s¨un¨up f (x, y) nin x e g¨ore t¨urevini alınız.

2. f_y yi bulmak i¸cin x de˘gi¸skenini sabit olarak d¨u¸s¨un¨up f (x, y) nin y e g¨ore t¨urevini alınız.

Ornek¨

Ornek : f (x, y) = x¨ ³+ x²y³− 2y² ise f_x(2, 1) ve f_y(2, 1) de˘gerlerini bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: y yi sabit tutup x e g¨ore t¨urev alarak fx(x, y) = 3x²+ 2xy³ elde ederiz ve

f_x(2, 1) = 3 · 2²+ 2 · 2 · 1³ = 16 buluruz. x i sabit tutup y ye g¨ore t¨urev alarak

fy(x, y) = 3x²y²− 4y fy(2, 1) = 3 · 2²· 1²− 4 · 1 = 8

Ornek¨

Ornek : f (x, y) = sin¨

 x

1 + y



ise, ∂f

∂x ve ∂f

∂y yi hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um: Bir de˘gi¸skenli fonksiyonlar i¸cin Zincir Kuralını kullanarak

∂f

∂x = cos

 x

1 + y



· ∂

∂x

 x

1 + y



= cos

 x

1 + y



· 1 1 + y

∂f

∂y = cos

 x

1 + y



· ∂

∂y

 x

1 + y



= − cos

 x

1 + y



· x

(1 + y)² elde ederiz.

Ornek¨

Ornek:¨ E˘ger z, x ve y nin

x³+ y³+ z³+ 6xyz = 1

denklemi ile kapalı olarak tanımlanmı¸s bir fonksiyonu ise ∂z/∂x ve

∂z/∂y yi bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: ∂z/∂x i bulmak i¸cin y ye bir sabit gibi davranmaya ¨ozen g¨ostererek e¸sitli˘gin her iki yanının x e g¨ore kapalı t¨urevini alırız.

3x²+ 3z²∂z

∂x+ 6yz + 6xy∂z

∂x = 0

Ornek...¨

3x²+ 3z²∂z

∂x+ 6yz + 6xy∂z

∂x = 0 Bu denklemi ∂z/∂x i¸cin ¸c¨ozerek

∂z

∂x = −x²+ 2yz z²+ 2xy

elde ederiz. Benzer ¸sekilde y ye g¨ore kapalı t¨urev almak

∂z

∂y = −y²+ 2xz z²+ 2xy sonucunu verir.

T¨urevlenebilirlik

Teorem : E˘ger f_x ve f_y kısmi t¨urevleri (a, b) yakınında var ve (a, b) de s¨urekli ise, f , (a, b) de t¨urevlenebilirdir.

Kısmi T¨urevlerin Yorumu

Ornek : E˘¨ ger f (x, y) = 4 − x²− 2y² ise, f_x(1, 1) ve f_y(1, 1) i bulunuz ve bu sayıları e˘gim olarak yorumlayınız.

C¸ ¨oz¨um:

f_x(x, y) = −2x ve f_y(x, y) = −4y fx(1, 1) = −2 ve fy(1, 1) = −4

Kısmi T¨urevlerin Yorumu

S¸ekil 2: tan α = fx(1, 1)

Kısmi T¨urevlerin Yorumu

S¸ekil 3: tan β = fy(1, 1)

˙Ikiden C¸ ok De˘gi¸skenli Fonksiyonlar

Kısmi t¨urevler ¨u¸c ya da daha ¸cok de˘gi¸skenli fonksiyonlar i¸cin tanımlanabilir.

Orne˘¨ gin f , x, y ve z nin ¨u¸c de˘gi¸skenli bir fonksiyonu ise x e g¨ore kısmi t¨urevi y, z yi sabit tutup f (x, y, z) nin x e g¨ore t¨urevi alınarak bulunur.

E˘ger w = f (x, y, z) ise fx = ∂w/∂x, y ve z sabit tutuldu˘gunda w nin x e g¨ore de˘gi¸sme hızı olarak yorumlanabilir. Ancak, f nin grafi˘gi d¨ort-boyutlu uzayda oldu˘gundan onu geometrik olarak yorumlayamayız.

Ornek¨

Ornek : f (x, y, z) = e¨ ^xyln z ise f_x, f_y ve f_z yi bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: y ve z yi sabit tutup x e g¨ore t¨urev alarak f_x = ye^xyln z

bulunur.

Benzer ¸sekilde

f_y = xe^xyln z ve f_z = e^xy z bulunur.

Ornek¨

Ornek : A¸sa˘¨ gıdaki fonksiyonların birinci kısmi t¨urevlerini bulunuz.

(a) u =px²₁+ x²₂. . . + x²_n

(b) u = sin(x1+ 2x2+ . . . + nxn)

C¸ ¨oz¨um: (a) Bir de˘gi¸sikenli fonksiyonlar i¸cin Zincir kuralını kullanarak

∂u

∂x₁ = 1

2px²₁+ x²₂+ . . . + x²_n· 2x₁ = x₁

px²₁+ x²₂+ . . . + x²_n

∂u

∂x₂ = 1

2px²₁+ x²₂+ . . . + x²_n· 2x₂ = x2

px²₁+ x²₂+ . . . + x²_n

Ornek...¨

Genelle¸stirirsek,

∂u

∂xi

= xi

px²₁+ x²₂+ . . . + x²_n, i = 1, 2, . . . , n elde ederiz.

(b) Benzer ¸sekilde,

∂u

∂x1

= cos(x₁+ 2x₂+ . . . + nx_n) · 1

∂u

∂x2

= cos(x₁+ 2x₂+ . . . + nx_n) · 2 Genelle¸stirirsek,

∂u

∂xi

= i cos(x1+ 2x2+ . . . + nxn), i = 1, 2, . . . , n buluruz.

Y¨uksek Basamaktan T¨urevler

E˘ger f iki de˘gi¸skenli bir fonksiyon ise f_x ve f_y de iki de˘gi¸skenli fonksiyonlardır, bu nedenle onların (fx)x, (fx)y, (fy)x, (fy)y kısmi t¨urevlerini d¨u¸s¨unebiliriz. Bunları f nin ikinci kısmi t¨urevleri olarak adlandırırız. E˘ger z = f (x, y) ise a¸sa˘gıdaki g¨osterimleri kullanırız:

(f_x)_x = f_xx = f₁₁= ∂

∂x

 ∂f

∂x



= ∂²f

∂x² = ∂²z

∂x²

(fx)y = fxy = f12= ∂

∂y

 ∂f

∂x



= ∂²f

∂y∂x = ∂²z

∂y∂x (f_y)_x= f_yx= f₂₁= ∂

∂x

 ∂f

∂y



= ∂²f

∂x∂y = ∂²z

∂x∂y

(fy)y = fyy = f22= ∂

∂y

 ∂f

∂x



= ∂²f

∂y² = ∂²z

∂y²

Y¨uksek Basamaktan T¨urevler

Dolayısıyla, f_xy (di˘ger yazılı¸sıyla ∂²f

∂y∂x) ¨once x e sonra y ye g¨orev t¨urev almak anlamına gelir, di˘ger yandan fyx hesaplanırken bu sıra tersinedir.

Ornek¨

Ornek : f (x, y) = x¨ ³+ x²y³− 2y² fonksiyonunun ikinci t¨urevlerini bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: ¨Ornekte de

fx(x, y) = 3x²+ 2xy³ fy(x, y) = 3x²y²− 4y bulmu¸stuk. Bu nedenle

fxx = ∂

∂x(3x²+ 2xy³) = 6x + 2y³ fxy = ∂

∂y(3x²+ 2xy³) = 6xy² fyx= ∂

∂x(3x²y²− 4y) = 6xy² fyy = ∂

∂y(3x²y²− 4y) = 6x²y − 4 olur.

Y¨uksek Basamaktan T¨urevler

Clairaut Teoremi : f , (a, b) noktasını i¸ceren bir D dairesinde tanımlansın. E˘ger fxy ve fyx fonksiyonlarının her ikisi de D de s¨urekli ise, f_xy = f_yx olur.

3 ¨unc¨u ya da daha y¨uksek basamaktan kısmi t¨urevler benzer

¸sekilde tanımlanabilir. E˘ger bu fonksiyonlar s¨urekli ise Clairaut teoreminden fxyy = fyxy = fyyxoldu˘gunu g¨osterilebilir.

Ornek¨

Ornek : E˘¨ ger f (x, y, z) = sin(3x + yz) ise, f_xxyz yi bulunuz.

C¸ ¨oz¨um:

fx = 3 cos(3x + yz) f_xx = −9 sin(3x + yz) f_xxy = −9z cos(3x + yz)

fxxyz = −9 cos(3x + yz) + 9yz sin(3x + yz)

Te˘get D¨uzlem ve Do˘grusal Yakla¸stırımlar

Bir de˘gi¸skenli kalk¨ul¨uste en ¨onemli fikirlerden biri, t¨urevlenebilen bir fonksiyonun grafi˘ginde bir noktaya odaklanıldı˘gında, grafi˘gin te˘get do˘grusundan ayırt edilemedi˘gi ve fonksiyona do˘grusal bir fonksiyon ile yakla¸sabiliyor olmamızdır.

Burada benzer fikirleri ¨u¸c boyutta geli¸stirece˘giz.

Te˘get D¨uzlem ve Do˘grusal Yakla¸stırımlar

T¨urevlenebilen iki de˘gi¸skenli bir fonksiyonun grafi˘gi olan bir y¨uzeyde bir noktaya odaklandı˘gımızda, y¨uzey gitgide bir d¨uzleme (y¨uzeyin te˘get d¨uzlemi) benzeyecek ve fonksiyona iki de˘gi¸skenli bir do˘grusal fonksiyonla yakla¸sabilece˘giz.

Ayrıca bir fonksiyonun diferansiyeli kavramını iki veya daha ¸cok de˘gi¸skenli fonksiyonlara genelle¸stirece˘giz.

Te˘get D¨uzlem

f ’nin kısmi t¨urevleri s¨urekli olsun. z = f (x, y) y¨uzeyine P (x0, y0, z0) noktasında te˘get d¨uzleminin denklemi

z − z0 = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)’dır.

Ornek¨

Ornek : z = 2x¨ ²+ y² eliptik paraboloidinin (1, 1, 3) noktasındaki te˘get d¨uzlemini bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: f (x, y) = 2x²+ y² olsun. Bu durumda, fx(x, y) = 4x fy(x, y) = 2y

fx(1, 1) = 4 fy(1, 1) = 2

olur. Bu nedenle (1, 1, 3)’teki te˘get d¨uzleminin denklemi z − 3 = 4(x − 1) + 2(y − 1)

ya da

z = 4x + 2y − 3 olarak verilir.

Ornek...¨

Ornek...¨

(1, 1, 3) e odaklandık¸ca z = 2x²+ y² eliptik paraboloidinin te˘get d¨uzlemiyle daha ¸cok ¸cakı¸sıyor g¨or¨und¨u˘g¨une dikkat ediniz.

Do˘grusal Yakla¸stırımlar

Ornekte f (x, y) = 2x¨ ²+ y² fonksiyonunun (1, 1, 3) noktasındaki te˘get d¨uzleminin denkleminin z = 4x + 2y − 3 oldu˘gunu bulduk.

Bu nedenle ¸sekillerdeki g¨orsel kanıtlar nedeniyle, iki de˘gi¸skenli L(x, y) = 4x + 2y − 3

do˘grusal fonksiyonu, (x, y) noktası (1, 1)’e yakınken f (x, y) fonksiyonuna iyi bir yakla¸stırımdır. L fonksiyonu f ’nin (1, 1)’deki do˘grusalla¸stırılması olarak adlandırılır ve

f (x, y) ≈ 4x + 2y − 3

yakla¸stırımı f ’ye (1, 1)’deki do˘grusal yakla¸stırım ya da te˘get d¨uzlemi yakla¸stırımı olarak adlandırılır.

Do˘grusal Yakla¸stırımlar

Orne˘¨ gin, (1, 1, 0.95) noktasında do˘grusal yakla¸stırım f (1, 1, 0.95) ≈ 4(1, 1) + 2(0.95) − 3 = 3.3 verir, bu da

f (1, 1, 0.95) = 2(1, 1)²+ (0, 95)²= 3, 3225 ger¸cek de˘gerine olduk¸ca yakındır.

Ancak (2, 3) gibi (1, 1)’den uzak bir nokta alırsak, artık iyi bir yakla¸stırım elde etmeyiz.

Ger¸cekten de f (2, 3) = 17 olmasına kar¸sın L(2, 3) = 11 olur.

Do˘grusal Yakla¸stırımlar

Genel olarak iki de˘gi¸skenli bir f fonksiyonunun (a, b, f (a, b)) noktasındaki te˘get d¨uzlemi denkleminin

z = f (a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) oldu˘gunu biliyoruz. Grafi˘gi bu te˘get d¨uzlemi olan do˘grusal fonksiyon

L(x, y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b) (4) f ’nin (a, b)’deki do˘grusalla¸stırması ve

f (x, y) ≈ f (a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b) (5) yakla¸stırımı, f ’ye (a, b)’deki do˘grusal yakla¸stırım ya da te˘get d¨uzlemi yakla¸stırımı olarak adlandırılır.

Ornek¨

Ornek : f (x, y) = xe¨ ^xy’nin (1, 0)’da do˘grusalla¸stırmasını bulunuz.

Sonra bunu kullanarak f (1, 1, −0.1)’i yakla¸sık olarak hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um: Kısmi t¨urevler

fx(x, y) = e^xy+ xye^xy fy(x, y) = x²e^xy f_x(1, 0) = 1 f_y(1, 0) = 1

Do˘grusalla¸stırma

L(x, y) = f (1, 0) + f_x(1, 0)(x − 1) + f_y(1, 0)(y − 0)

= 1 + 1(x − 1) + 1 · y = x + y

Ornek...¨

ve kar¸sıgelen do˘grusal yakla¸stırım xe^xy ≈ x + y dir, bu nedenle

f (1, 1, −0.1) ≈ 1.1 − 0.1 = 1 olur. Bu sonucu, f (1, 1, −0.1)’in ger¸cek de˘geri olan 1.1e^−0.11 ≈ 0.98542 ile kar¸sıla¸stırınız.

Diferansiyeller

˙Iki de˘gi¸skenli t¨urevlenebilen bir z = f(x, y) fonksiyonu i¸cin dx ve dy diferansiyellerini ba˘gımsız de˘gi¸skenler olarak tanımlarız;

dolayısıyla onlara herhangi bir de˘ger verilebilir.

Buradan, aynı zamanda toplam diferansiyel olarak da adlandırılan, dz diferansiyeli

dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy = ∂z

∂xdx + ∂z

∂ydy (6)

olarak tanımlanır. Bazen dz yerine df g¨osterimi de kullanılır.

Diferansiyeller

E˘ger, Denklem (6)’da dx = ∆x = x − a ve dy = ∆y = y − b alınırsa, z’nin diferansiyeli

dz = fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

olur. B¨oylece, diferansiyel g¨osterimi ile (5)’teki do˘grusal yakla¸stırım f (x, y) ≈ f (a, b) + dz

olarak yazılabilir.

Diferansiyeller

S

¸ekil 7 dz diferansiyelinin ve ∆z artı¸sının geometrik anlamını g¨ostermektedir: (x, y), (a, b)’den (a + ∆x, b + ∆y)’ye de˘gi¸sti˘ginde, dz te˘get d¨uzleminin y¨uksekli˘gindendeki de˘gi¸simi, ∆z ise

z = f (x, y) y¨uzeyinin y¨uksekli˘gindeki de˘gi¸simi temsil etmektedir.

Ornek¨

Ornek :¨

(a) z = f (x, y) = x²+ 3xy − y² ise dz diferansiyelini bulunuz.

(b) x, 2’den 2.05’e ve y, 3’ten 2.96’ya de˘gi¸sti˘ginde ∆z ile dz’yi kar¸sıla¸stırınız.

C¸ ¨oz¨um

(a) Tanım (6)’dan dz = ∂z

∂xdx + ∂z

∂ydy = (2x + 3y)dz + (3x − 2y)dy bulunur.

Ornek...¨

(b) x = 2, dx = ∆x = 0.05, y = 3 ve dy = ∆y = −0.04 yazarak dz = [2(2) + 3(3)]0.05 + [3(2) − 2(3)](−0.04) = 0.65 buluruz. z’nin de˘gi¸simi

∆z = f (2.05, 2.96) − f (2, 3)

= [(2.05)²+ 3(2.05)(2.96) − (2.96)²] − [2²+ 3(2)(3) − 3²]

= 0.6449

dur. ∆z ≈ dz oldu˘guna ancak dz’nin daha kolay hesaplandı˘gına dikkat ediniz.

Ornek¨

Ornek : Bir dik dairesel koninin taban yarı¸¨ capı ve y¨uksekli˘gi, her iki ¨ol¸c¨umde de 0.1 cm kadar olası hata ile sırasıyla 10 cm ve 25 cm olarak ¨ol¸c¨ulm¨u¸st¨ur. Diferansiyel kullanarak koninin hesaplanan hacmindeki maksimum hatayı yakla¸sık olarak hesaplayınız.

C¸ ¨oz¨um : Taban yarı¸capı r y¨uksekli˘gi h olan koninin hacmi V = πr²h/3’t¨ur. Dolayısıyla V ’nin diferansiyeli

dV = ∂V

∂rdr +∂V

∂hdh = 2πrh

3 dr + πr³ 3 dh olur. Her iki hata en ¸cok 0.1 oldu˘gundan, |∆r| ≤ 0.1,

|∆h| ≤ 0.1’dir.

Ornek...¨

Hacimdeki maksimum hatayı bulmak i¸cin r ve h’nin ¨ol¸c¨um¨undeki maksimum hataları alırız. B¨oylece r = 10, h = 25 ile dr = 0.1 ve dh = 0.1 alırız. Bu da

dV = 500π

3 (0.1) + 100π

3 (0.1) = 20π

verir. B¨oylece, hesaplanan hacimdeki maksimum hata yakla¸sık 20πcm³≈ 63cm³’d¨ur.

U¸¨c veya Daha C¸ ok De˘gi¸skenli Fonksiyonlar

Do˘grusal yakla¸stırım, t¨urevlenebilme ve diferansiyeller ikiden ¸cok de˘gi¸skenli fonksiyonlar i¸cin benzer ¸sekilde tanımlanabilir.

T¨urevlenebilir bir fonksiyon i¸cin do˘grusal yakla¸stırım

f (x, y, z) ≈ f (a, b, c)+fx(a, b, c)(x−a)+fy(a, b, c)(y−b)+fz(a, b, c)(z−c) olur ve L(x, y, z) do˘grusalla¸stırılması bu ifadenin sa˘g yanıdır.

U¸¨c veya Daha C¸ ok De˘gi¸skenli Fonksiyonlar

E˘ger w = f (x, y, z) ise w’nin de˘gi¸simi

∆w = f (x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z) − f (x, y, z) dir.

dw diferansiyeli, ba˘gımsız de˘gi¸skenler dx, dy ve dz diferansiyelleri cinsinden

dw = ∂w

∂xdx +∂w

∂ydy + ∂w

∂zdz olarak tanımlanır.

Zincir Kuralı

Birden ¸cok de˘gi¸skenli fonksiyonlar i¸cin Zincir Kuralı’nın her biri bir bile¸ske fonksiyonunun t¨urevini veren birka¸c t¨ur¨u vardır.

Bunlardan ilki, z = f (x, y) ve x ve y de˘gi¸skenlerinin her ikisinin de bir t de˘gi¸skeninin fonksiyonu oldu˘gu durumu ele alır.

Bu, dolaylı olarak z nin, t nin bir fonksiyonu, z = f (g(t), h(t)) olması demektir ve Zincir Kuralı z nin, t nin fonksiyonu oılarak t¨urevinin bulunması i¸cin bir form¨ul verir.

f nin t¨urevlenebilir oldu˘gunu varsayıyoruz. f_x ve f_y s¨urekli iken bunun sa˘glandı˘gını anımsayınız.

Zincir Kuralı (1. Durum)

Teorem 1:

x = g(t) ve y = h(t) nin her ikisi de t¨urevlenebilen fonksiyonlar olmak ¨uzere z = f (x, y), x ve y nin t¨urevlenebilen bir fonksiyonu olsun.

O zaman z de t nin t¨urevlenebilen bir fonksiyonudur ve dz

dt = ∂f

∂x dx

dt +∂f

∂y dy

dt olur.

Ornek¨

Ornek : x = sin 2t ve y = cos t olmak ¨¨ uzere z = x²y + 3xy⁴ ise t = 0 iken dz

dt yi bulunuz.

C¸ ¨oz¨um Zincir Kuralı dz

dt = ∂f

∂x dx

dt + ∂f

∂y dy

dt

= (2xy + 3y⁴)(2 cos 2t) + (x²+ 12xy³)(− sin t) verir. x ve y i¸cin t cinsinden ifadeleri yerine yazmak gerekmez.

t = 0 iken x = sin 0 = 0 ve y = cos 0 = 1 oldu˘gunu kolayca g¨or¨ur¨uz. Bu nedenle

dz

dt|_t=0= (0 + 3)(2 cos 0) + (0 + 0)(− sin 0) = 6 olur.

Zincir Kuralı (1. Durum)

Ornekdeki t¨¨ urev, (x, y) noktaları, parametrik denklemleri

x = sin 2t, y = cos t olan C e˘grisi ¨uzerinde hareket eden, z nin t ye g¨ore de˘gi¸sim hızı olarak yorumlanabilir.

Ozel olarak t = 0 iken (x, y) noktası (0, 1) olur ve¨ dz

dt = 6, C e˘grisi boyunca (0, 1) den ge¸cti˘gimiz andaki artı¸s hızıdır.

Orne˘¨ gin, z = T (x, y) = x²y + 3xy⁴ fonksiyonu (x, y) noktasındaki sıcaklık ise, bile¸ske fonksiyonu z = T (sin 2t, cos t), C ¨uzerindeki noktalardaki sıcaklı˘gı, dz

dt = 6 t¨urevi de, sıcaklı˘gın C boyunca de˘gi¸simini temsil eder.

Ornek¨

Ornek : Bir mol ideal gazın P (kilopascal olarak) basıncı, V (litre¨ olarak) hacmi ve T (Kelvin olarak) sıcaklı˘gı P V = 8.31T e¸sitli˘gini sa˘glar. Sıcaklık 300K ve 0.1_sn^K hızla artıyor ve hacmi 100L ve 0.2_sn^L hızla artıyor ise basıncın de˘gi¸sim hızını bulunuz.

C¸ ¨oz¨um E˘ger t saniye olarak ge¸cen zamanı temsil ederse, belirtilen anda

T = 300, dT

dt = 0.1, V = 100, dV dt = 0.2 olur.

Ornek...¨

P = 8.31T V oldu˘gundan, Zincir Kuralı

dP

dt = ∂P

∂T dT

dt +∂P

∂V dV

dt = 8.31 V

dT

dt −8.31T V²

dV dt

= 8.31

100(0.1) −8.31(300)

100² (0.2) = −0.04155

sonucunu verir. Basın¸c yakla¸sık 0.042kP a/sn hızla azalmaktadır.

Zincir Kuralı (2. Durum)

Teorem 2:

z = f (x, y), x ve y nin t¨urevlenebilen bir fonksiyonu, x = g(s, t) ve y = h(s, t), s ve t nin t¨urevlenebilen fonksiyonları olsun.

Bu durumda

∂z

∂s = ∂z

∂x

∂x

∂s +∂z

∂y

∂y

∂s

∂z

∂t = ∂z

∂x

∂x

∂t +∂z

∂y

∂y

∂t olur.

Zincir Kuralı (2. Durum)

Kolay hatırlayabilmek i¸cin a¸sa˘gıdaki gibi bir diyagram ¸cizilebilir.

Ornek¨

Ornek : x = st¨ ² ve y = s²t olmak ¨uzere z = e^xsin y ise, ^∂z_∂s ve ^∂z_∂t yi bulunuz.

C¸ ¨oz¨um Zincir Kuralı’nın 2. Durumu’nu kullanarak

∂z

∂s = ∂z

∂x

∂x

∂s + ∂z

∂y

∂y

∂s = (e^xsin y)(t²) + (e^xcos y)(2st)

= t²e^st2sin(s²t) + 2ste^st2cos(s²t)

∂z

∂t = ∂z

∂x

∂x

∂t + ∂z

∂y

∂y

∂t = (e^xsin y)(2st) + (e^xcos y)(s²)

= 2ste^st2sin(s²t) + s²e^st2cos(s²t) elde ederiz.

Zincir Kuralı (2. Durum)

Zincir Kuralı’nın 2. Durumu ¨u¸c t¨ur de˘gi¸sken i¸cerir: s ve t ba˘gımsız de˘gi¸skenlerdir.

x ve y ara de˘gi¸skenler olarak adlandırılır ve z ba˘gımlı de˘gi¸skendir.

Teorem 2 de her bir ara de˘gi¸sken i¸cin bir terim oldu˘guna ve her terimin bir de˘gi¸skenli Zincir Kuralı’na benzedi˘gine dikkat ediniz.

Kapalı T¨urev Alma

F (x, y) = 0 ¸seklinde bir denklemin y yi x in t¨urevlenebilen kapalı bir fonksiyonu olarak tanımlandı˘gını, ba¸ska bir deyi¸sle, y = f (x) ve f nin tanım k¨umesindeki her x i¸cin, F (x, f (x)) = 0 oldu˘gunu varsayalım.

E˘ger F t¨urevlenebiliyorsa, Zincir Kuralı’nın 1. Durumu’nu kullanarak F (x, y) = 0 e¸sitli˘ginde her iki yanın x e g¨ore t¨urevini alabiliriz.

Hem x hem de y, x in fonksiyonu oldu˘gundan

∂F

∂x dx dx+∂F

∂y dy dx = 0 elde ederiz.

Kapalı T¨urev Alma

∂F

∂x dx dx+∂F

∂y dy dx = 0 E˘ger ∂F

∂y 6= 0 ise dx

dx = 1 oldu˘gundan dy

dx i ¸c¨ozerek dy

dx = −

∂F

∂x

∂F

∂y

= −F_x Fy

(7)

elde ederiz.

Ornek¨

Ornek : x¨ ³+ y³ = 6xy ise y⁰ n¨u bulunuz.

C¸ ¨oz¨um Verilen e¸sitlik

F (x, y) = x³+ y³− 6xy = 0 olarak yazılabilir, bu nedenle Denklem 20

dy

dx = −Fx

F_y = −3x²− 6y

3y²− 6x = −x²− 2y y²− 2x oldu˘gunu verir.

Kapalı T¨urev Alma

S

¸imdi de F (x, y, f (x, y)) = 0 ¸seklindeki bir e¸sitli˘gin z yi z = f (x, y) olarak kapalı bi¸cimde tanımlandı˘gını varsayalım.

Bu, f nin tanım k¨umesindeki her (x, y) i¸cin F (x, y, f (x, y)) = 0 olması anlamına gelir.

E˘ger F ve f t¨urevlenebiliyorsa

∂z

∂x = −

∂F

∂x

∂F

∂z

∂z

∂y = −

∂F

∂y

∂F

∂z

. (8)

Ornek¨

Ornek : E˘¨ ger x³+ y³+ z³+ 6xyz = 1 ise ∂z

∂x ve ∂z

∂x yi bulunuz.

C¸ ¨oz¨um F (x, y, z) = x³+ y³+ z³+ 6xyz − 1 olsun. Denklem 21 den

∂z

∂x = −Fx

Fz

= −3x²+ 6yz

3z²+ 6xy = −x²+ 2yz z²+ 2xy

∂z

∂y = −F_y

F_z = −3y²+ 6xz

3z²+ 6xy = −y²+ 2xz z²+ 2xy elde ederiz.

Y¨onl¨u T¨urevler ve Gradyan Vekt¨or¨u

S

¸ekil 4 deki hava haritası, bir co˘grafi b¨olgedeki T (x, y) sıcaklık fonksiyonunun kontur haritasını g¨ostermektedir.

S¸ekil 4:

Y¨onl¨u T¨urevler ve Gradyan Vekt¨or¨u

Kesit e˘grileri, yada sıcaklık e˘grileri, sıcaklı˘gın aynı oldu˘gu yerleri birle¸stirir.

A gibi bir yerdeki Tx kısmi t¨urevi, A dan do˘guya gidersek sıcaklı˘gın yola g¨ore de˘gi¸sim hızıdır.

Ancak ya g¨uneydo˘guya do˘gru ya da ba¸ska bir y¨one do˘gru giderken, sıcaklı˘gın de˘gi¸sim hızını bilmek istiyorsak?

Y¨onl¨u T¨urevler ve Gradyan Vekt¨or¨u

Bu b¨ol¨umde, iki ya da daha ¸cok de˘gi¸skenli bir fonksiyonun, herhangi bir y¨ondeki de˘gi¸sim hızını bulmamızı sa˘glayacak y¨onl¨u t¨urev olarak adlandırılan bir t¨urev tipini tanıtaca˘gız.

Y¨onl¨u T¨urevler

z = f (x, y) ise fx ve fy kısmi t¨urevlerinin fx(x0, y0) = lim

h→0

f (x0+ h, y0) − f (x0, y0) h

fy(x0, y0) = lim

h→0

f (x0, y0+ h) − f (x0, y0) h

(9)

olarak tanımlandı˘gını ve z nin, x ve y y¨on¨undeki, ba¸ska bir deyi¸sle

~i ve ~j birim vekt¨orlerinin y¨on¨undeki de˘gi¸sim hızlarını temsil ettiklerini anımsayalım.

Y¨onl¨u T¨urevler

S

¸imdi z nin herhangi bir ~u = ha, bi birim vekt¨or¨u y¨on¨undeki de˘gi¸sim hızını bulmak istedi˘gimizi d¨u¸s¨unelim.

Tanım: f nin (x0, y0) noktasında bir ~u = ha,bi birim vekt¨or¨u y¨on¨undeki y¨onl¨u t¨urevi (e˘ger varsa)

D_~uf (x0, y0) = lim

h→0

f (x0+ ha, y0+ hb) − f (x0, y0)

h (10)

limitidir.

Y¨onl¨u T¨urevler

Tanımı denklem 9 ile kar¸sıla¸stırarak,

~

u = ~i = h1, 0i ise D_~if = f_x ve

u = j = h0, 1i~ ise D_~jf = f_y oldu˘gunu g¨or¨ur¨uz.

Di˘ger bir deyi¸sle f nin x ve y ye g¨ore kısmi t¨ureveri, y¨onl¨u t¨urevin

¨

ozel durumlarıdır.

Ornek¨

Ornek: S¨ ¸ekil 4 i kullanarak, sıcaklık fonksiyonunun, Reno’da g¨uneydo˘gu y¨on¨undeki y¨onl¨u t¨urevinin de˘gerini yakla¸sık olarak bulunuz. (S¸ekilde Renonun yanındaki noktaların arasındaki uzaklı˘gı 75mil alınız.)

Ornek...¨

C¸ ¨oz¨um: G¨uneydo˘guya d¨on¨uk birim vekt¨or ~u = (~i − ~j)/√ 2 olur ancak biz bu ifadeye gereksinim duymayaca˘gız. Renodan

g¨uneydo˘guya do˘gru bir do˘gru ¸cizerek i¸se ba¸slarız. (Bkz. ¸sekil 5.)

S¸ekil 5:

Ornek...¨

DuT y¨onl¨u t¨urevini, bu do˘grunun, T = 60 ve T = 70 e¸ssıcaklık e˘grilerini kesti˘gi noktalar arasındaki ortalama de˘gi¸sim hızı ile yakla¸sık olarak buluruz. A nın g¨uneydo˘gusundaki noktadaki sıcaklık T = 70^◦F ve A nın kuzaybatısındaki noktadaki sıcaklık T = 60 ^◦F dir. Bu noktalar arasındaki uzaklık 75 mil oldu˘gundan, g¨uneydo˘gu y¨on¨undeki sıcaklı˘gın de˘gi¸sim hızı

D_uT ≈ 70 − 60 75 = 10

75 ≈ 0.13 ^◦F/mi olur.

Y¨onl¨u T¨urevler

Teorem: E˘ger f, x ve y nin t¨urevlenebilen bir fonksiyonu ise f nin her ~u = ha, bi y¨on¨unde y¨onl¨u t¨urevi vardır ve

D_~uf (x, y) = f_x(x, y)a + f_y(x, y)_b (11) olur.

Gradyan Vekt¨or¨u

Teoremdeki denklem 11 den y¨onl¨u t¨urevin, iki vekt¨or¨un i¸c ¸carpımı olarak yazılabildi˘gine dikkat ediniz:

D_~uf (x, y) = f_x(x, y)a + f_y(x, y)b

=D

f_x(x, y), f_y(x, y)E

· ha, bi

=D

f_x(x, y), f_y(x, y)E

· ~u

(12)

Bu i¸c ¸carpımdaki ilk vekt¨or yalnzca y¨onl¨u t¨urevleri hesaplamada de˘gil, pek ¸cok di˘ger durumda da ortaya ¸cıkar. Bu nedenle ona ¨ozel bir ad verir (f nin gradyanı) ve ¨ozel bir sembol (grad f ya da ”del f ” olarak okunan ∇f ) ile g¨osteririz.

Gradyan Vekt¨or¨u

Tanım: f, x ve y de˘gi¸skenlerinin br fonksiyonu ise, f nin gradyanı

∇f ile g¨osterilen

∇f (x, y) =D

f_x(x, y), f_y(x, y)E

= ∂f

∂x~i +∂f

∂y~j (13) vekt¨or de˘gerli fonksiyondur.

Ornek¨

Ornek: E˘¨ ger f (x, y) = sin x + e^xy ise,

∇f (x, y) = hf_x, fyi = hcos x + ye^xy, xe^xyi ve

∇f (0, 1) = h2, 0i olur.

Gradyan Vekt¨or¨u

Gradyan vekt¨or¨u i¸cin bu g¨osterim ile y¨onl¨u t¨urev i¸cin 12 ifadesini D_~uf (x, y) = ∇f (x, y) · ~u (14) olarak yazabiliriz.

Bu e¸sitlik, ~u y¨on¨undeki y¨onl¨u t¨urevin, gradyan vekt¨or¨un¨un ~u

¨

uzerine izd¨u¸s¨um¨u oldu˘gunu belirtir.

Ornek¨

Ornek: f (x, y) = x¨ ²y³− 4y fonksiyonunun (2, −1) noktasında

~v = 2~i + 5~j vekt¨or¨u y¨on¨undeki y¨onl¨u t¨urevi bulunuz.

C¸ ¨oz¨um: ¨Once (2, −1) noktasındaki gradyanı hesaplarız:

∇f (x, y) = 2xy³~i + (3x²y²− 4)~j

∇f (−2, 1) = −4~i + 8~j

~v nin birim vekt¨or olmadı˘gına dikkat ediniz, ancak |~v| =√ 29 oldu˘gundan ~v y¨on¨undeki birim vekt¨or

~ u = ~v

|~v| = 2

√

29~i + 5

√ 29~j olur.

Ornek...¨

Bu nedenle, denklem 14 dan

D_~uf (2, −1) = ∇f (2, −1) · ~u = (−4~i + 8~j) ·

 2

√29~i + 5

√29~j



= −4 · 2 + 8 · 5

√

29 = 32

√ 29 bulunur.

U¸¨c De˘gi¸skenli Fonksiyonlar

U¸¨c de˘gi¸skenli fonksiyonlar i¸cin y¨onl¨u t¨urevleri benzer bir ¸sekilde tanımlayabiliriz. D_~uf (x, y, z), yine fonksiyonun ~u birim vekt¨or¨u y¨on¨undeki de˘gi¸sim hızı olarak yorumlanabilir.

Tanım: f nin (x₀, y₀, z₀) noktasında bir ~u = ha, b, ci birim vekt¨or¨u y¨on¨undeki y¨onl¨u t¨urevi (e˘ger bu limit varsa)

D_~uf (x0, y0, z0) = lim

h→0

f (x0+ ha, y0+ hb, z0+ hc) − f (x0, y0, z0) h

(15) olarak tanımlanır.

U¸¨c De˘gi¸skenli Fonksiyonlar

f (x, y, z) t¨urevlenebilir ve ~u = ha, b, ci ise

D_~uf (x, y, z) = f_x(x, y)a + f_y(x, y, z)_b+ f_z(x, y, z)c (16) dir.

U¸¨c De˘gi¸skenli Fonksiyonlar

U¸¨c de˘gi¸skenli bir f fonksiyonu i¸cin, ∇f ya da grad f ile g¨osterilen gradyan vekt¨or¨u

∇f (x, y, z) =D

f_x(x, y, z), f_y(x, y, z), f_z(x, y, z)E veya kısaca

∇f = hf_x, fy, fzi = ∂f

∂x~i +∂f

∂y~j +∂f

∂z

~k

olur. Bunun, sonucunda, iki de˘gi¸skenli fonksiyonlarda oldu˘gu gibi, y¨onl¨u t¨urev i¸cin denklem 16

D_~uf (x, y, z) = ∇f (x, y, z) · ~u (17) olarak yazılabilir.

Ornek¨

Ornek: f (x, y, z) = x sin(yz) ise,¨ (a) f nin gradyanını ve

(b) f nin (1, 3, 0) da ~v = ~i + 2~j − ~k y¨on¨undeki y¨onl¨u t¨urevini bulunuz.

C¸ ¨oz¨um:

(a) f nin gradyanı

∇f (x, y, z) =D

f_x(x, y, z), f_y(x, y, z), f_z(x, y, z)E

=D

sin(yz), xz cos(yz), xy cos(yz)E olur

Ornek...¨

(b) (1, 3, 0) da ∇f (1, 3, 0) = h0, 0, 3i buluruz. ~v = ~i + 2~j − ~k y¨on¨undeki birim vekt¨or

~u = 1

√

6~i + 2

√

6~j − 1

√ 6

~k dir. Bu nedenle denklem 17

D_~uf (1, 3, 0) = ∇f (1, 3, 0) · ~u

= 3~k ·

 1

√

6~i + 2

√

6~j − 1

√ 6

~k



= 3



− 1

√ 6



= − r3

2 sonucunu verir.

Y¨onl¨u T¨urevi Maksimum Yapmak

f iki yada ¨u¸c de˘gi¸skenli bir fonksiyon olsun ve verilen bir noktada f nin t¨um y¨onl¨u t¨urevlerini d¨u¸s¨unelim. Bunlar, f nin t¨um y¨onlerdeki de˘gi¸sim hızını verir.

S

¸u soruları sorabiliriz: bu y¨onlerin hangisinde f en hızlı de˘gi¸sir ve maksimum de˘gi¸sim hızı nedir?

Y¨onl¨u T¨urevi Maksimum Yapmak

Teorem: f iki ya da ¨u¸c de˘gi¸skenli t¨urevlenebilir bir fonksiyon olsun. D_~uf (~x) y¨onl¨u t¨urevinin maksimum de˘geri |∇f (~x)| dir ve bu de˘gere, ~u vekt¨or¨u, gradyan vekt¨or¨u ∇f (~x) ile aynı y¨onde iken eri¸sir.

Ornek¨

Ornek: Uzayda bir (x, y, z) noktasındaki derece Santigrad olarak¨

¨

ol¸c¨ulen T sıcaklı˘gının x, y, z metre cinsinden ¨ol¸c¨ulmek ¨uzere T (x, y, z) = 80/(1 + x²+ 2y²+ 3z²) oldu˘gunu varsayalım.

(1, 1, −2) noktasında hangi y¨onde sıcaklık en hızlı artar?

Maksimum artı¸s hızı nedir?

C¸ ¨oz¨um: T nin gradyanı

∇T = ∂T

∂x~i +∂T

∂y~j +∂T

∂z~k

= − 160x

(1 + x²+ 2y²+ 3z²)²~i − 320y

(1 + x²+ 2y²+ 3z²)²~j

− 480z

(1 + x²+ 2y²+ 3z²)²

~k

Ornek...¨

∇T = 160

(1 + x²+ 2y²+ 3z²)²(−x~i − 2y~j − 3z~k) olur. (1, 1, −2) noktasında gradyan vekt¨or¨u

∇T (1, 1, −2) = 160

256(−~i − 2~j + 6~k) = 5

8(−~i − 2~j + 6~k) olur.

Ornek...¨

Teoremden, sıcaklık, gradyan vekt¨or¨u

∇T (1, 1, −2) = 5

8(−~i − 2~j + 6~k) y¨on¨unde, ya da

−~i − 2~j + 6~k y¨on¨unde ya da

(−~i − 2~j + 6~k)/√ 41 birim vekt¨or¨u y¨on¨unde en hızlı artar.

Ornek...¨

Maksimum artı¸s hızı gradyan vekt¨or¨un¨un boyudur:

|∇T (1, 1, −2)| = 5

8| −~i − 2~j + 6~k| = 5√ 41 8 . Bu nedenle, sıcaklı˘gın maksimum artı¸s hızı 5√

41/8 ≈ 4^◦C/m olur.

Maksimum ve Minimum De˘gerler

Tanım :

(a, b) yakınındaki her (x, y) i¸cin, f (x, y) ≤ f (a, b) ise iki de˘gi¸skenli f fonksiyonunun (a, b) de bir yerel maksimumu vardır.

h

Bu, (a, b) merkezli bir dairedeki her (x, y) i¸cin f (x, y) ≤ f (a, b) olması demektir.

i

f (a, b) sayısı yerel maksimum de˘geri olarak adlandırılır.

(a, b) yakınındaki her (x, y) i¸cin, f (x, y) ≥ f (a, b) ise f (a, b) yerel minimum de˘geridir.

Maksimum ve Minimum De˘gerler

Tanımdaki e¸sitsizlikler, f nin tanım k¨umesindeki her (x, y) noktasında sa˘glanıyorsa, f nin, (a, b) de mutlak maksimumu (veya mutlak minimumu) vardır.

Maksimum ve Minimum De˘gerler

Birden ¸cok maksimum ve minimumu olan bir fonksiyonun grafi˘gi S

¸ekil 6 de g¨or¨ulmektedir. Yerel maksimumları da˘g tepeleri ve yerel minimumları vadi tabanları olarak d¨u¸s¨unebiliriz.

S¸ekil 6:

Maksimum ve Minimum De˘gerler

Teorem : f nin, (a, b) noktasında yerel maksimum ya da yerel minimumu var ve orada f nin birinci basamaktan kısmi t¨urevleri varsa

f_x(a, b) = 0 ve f_y(a, b) = 0 olur.