Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü
END 2303 İstatistik-I
Bölüm 12: Veri Analizi, Tanımlayıcı İstatistik
& Histogramlar
Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN Aralık, 2019
Lithium pillerinin ömrünü incelemek için 50 gözlem yapıldığını ve tablodaki ölçüm değerlerinin elde edildiğini varsayınız.
a) Pillerin ömrünün normal dağıldığını varsaymak mantıklı olur mu ?
b) Relatif frekans Histogramından yola çıkarak, verilerin ne tür bir dağılıma sahip olduğu hakkında yorum yapınız.
c) Kümülatif relatif frekans grafiğini kullanarak; yaklaşık olarak pillerin ne kadar oranı (% kaçı) 1500 saatten önce bozulur ?
d) Kümülatif relatif frekans grafiğini kullanarak; pillerin yarısı hangi saatte veya hangi saatten önce bozulur ?
Örnek – 1
Alınan Rastgele Örnek: Lithium Pillerinin Ömrü (Saat)
Pil ömrü Pil ömrü Pil ömrü Pil ömrü Pil ömrü
4285 564 1278 205 3920
2066 604 209 602 1379
2584 14 349 3770 99
1009 4152 478 726 510
318 737 3032 3894 582
1429 852 1461 2662 308
981 1560 701 497 3367
1402 1786 1406 35 99
1137 520 261 2778 373
414 396 83 1379 454
50 adet fren disk aynasının döküm esnasında porozite boşluklarından (Kalite Karakteristiği) dolayı verdiği %fireyi (ıskarta oranını) ölçmek için bir deney yürütülüyor. Bu deney sonucunda elde edilen data verildiğini göre;
a) Alınan örnekleme ait ortalama, medyan ve mode (örnek istatistiklerini) hesaplayarak, ne anlama geldiklerini açıklayınız.
b) Iskarta oranının normal dağıldığını kabul etmek mantıklı mıdır ?
c) Fire miktarının %20’den fazla olma olasılığını hesaplayınız.
d) Rastgele değişkenin (%fire) standart sapmasını, iki farklı alternatif yol ile yaklaşık olarak tahmin ediniz.
Örnek – 2
Fren Disk Aynaları için Iskarta Oranları
Fire (%) Fire (%) Fire (%) Fire (%) Fire (%)
18.2 21.2 23.1 18.5 15.6
20.8 19.4 15.4 21.2 13.4
16.4 18.7 18.2 19.6 14.3
16.6 24 17.6 17.8 20.2
17.4 23.6 17.5 20.3 16.6
19.3 18.5 19.3 21.2 13.9
20.5 19 17.6 22.3 18.4
21.2 20.4 21.4 20.3 20.1
19.6 20.6 14.8 19.7 20.5
18 20.8 15.8 23.1 17
Bir fren disk aynası üreticisi, fren disk aynalarının porya çapının (Kalite karakteristiği) hedef değerden pozitif yönde % sapmasını ölçmüş ve 50 adet örneğe ait veri setini tablodaki gibi elde etmiştir.
a) Gözlem değerlerine ilişkin relatif frekans histogramını çiziniz. Örnek ortalaması, medyan ve mode hesaplayınız.
b) Bu histograma dayanarak, porya çaplarının hedef değerden % sapmasının, normal dağıldığını varsaymak mantıklı olur mu ?
c) Kümülatif relatif frekans grafiğini çiziniz. Rastgele seçilen bir fren disk aynasının porya çapının hedef değeri %2 aşması olasılığı nedir ? Medyan değerini kullanarak hesaplayınız.
d) Rastgele değişkeninin (Porya çapının hedef değerden % sapma miktarı) standart sapmasını, örnek aralığından yola çıkarak tahmin ediniz.
Örnek – 3
Fren Disk Aynası Porya Çapının Hedef Değerden Pozitif Yönde Sapması (%)
Sapma % Sapma % Sapma % Sapma % Sapma %
0.5 1.8 4 1 2
1.1 1.6 2.3 3.5 2.2
2 3.8 3 2.3 1.8
3.6 2.4 0.8 3.4 1.4
1.9 2.3 1.2 1.9 2.3
2.6 3.1 2.5 1.7 5
1.3 3 2.7 1.2 1.5
3.2 2.4 2.5 1.9 3.1
2.4 2.8 2.7 4.5 2.1
1.5 0.7 3.7 1.8 1.7
Örnek – 4
Yeni bir otomobilin motor ve hareket aksamı 1 yıl garantilidir.
Motor ve hareket aksamının ortalama ömrü 3 yıl olarak tahmin edilmektedir (Motor ve hareket aksamı bozuluncaya kadar geçen zaman). Yeni bir otomobilin satış karı 1000$ dır. Garanti süresi içindeki bir arızayı gidermek için satıcının malzeme ve işçilik dahil 250 $ ödemesi gerekmektedir.
a) Otomobil başına ortalama karı hesaplayınız.
b) İlk 6 aylık kullanım süresinde 100 otomobilden yaklaşık olarak kaç tanesi bozulacaktır ?
Bir fabrikada üretilen Al levhaların genişlik ölçüleri, ortalaması 0.9 inch ve standart sapması 0.003 inch olan normal dağılıma uymaktadır. Müşteri spesifikasyon limitleri, 0.9 ± 0.005 olarak belirlenmiştir.
a) Al levhaların % kaçı kusurlu olacaktır ?
b) Standart sapmanın kabul edilebilir maksimum değeri ne olmalı ki, Al levhaların genişliğine ait kalite karakteristiği için kusurlu oranı %1’den daha fazla olmasın ?
Örnek – 5
Dağılımın Şekli
Verinin nasıl dağıldığını gösterir.
Şekil için kullanılan ölçütler:
Çarpıklık
Basıklık
Ort= Medyan =Mod
Ort < Medyan < Mod Mod < Medyan < Ort
Sağa Çarpık Sola çarpık Simetrik
Simetrik Dağılım A.O = Med = Mod
Sağa çarpık dağılım A.O > Med > Mod
Sola çarpık dağılım A.O < Med < Mod
İki modlu simetrik dağılım Modu olmayan dağılım Tekdüzen dağılım
Çarpıklık: Ortalama, Mode ve Medyan
Örnek – 6
Bir rastgele değişkene ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir. Bu rastgele değişkene ait mode hesaplayınız.
𝑓𝑋 𝑥 = 2𝑥. 𝑒−𝑥2 𝑥 > 0
Bir rastgele değişkene ait olasılık yoğunluk fonksiyonu:
𝑓𝑋 𝑥 = 𝑥. 𝑒−𝑥 𝑥 > 0 ise, bu rastgele değişkene ait mode ve medyanı hesaplayınız.
Örnek – 7
𝑓𝑋 𝑥 = 3
8 . 2 − 𝑥2 0 < 𝑥 < 2 olarak tanımlanan olasılık yoğunluk fonksiyonunu çiziniz. X rastgele değişkenine ait mode, medyan ve ortalamayı hesaplayınız.
Bir rastgele değişkene ait kümülatif dağılım fonksiyonu;
𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒−𝑥2 𝑥 > 0 olarak veriliyor. Bu rastgele değişkene ait mode hesaplayınız.
Örnek – 8
Örnek – 9
Örnekleme ait Korelasyon Katsayısı
r ile gösterilir ve popülasyonun korelasyon katsayısının, 𝝆 nokta tahminleyicisidir.
𝑟 = 𝜌 = 𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥𝑥.𝑆𝑦𝑦 formülü ile hesaplanır.
𝑆𝑥𝑦 =
𝑖=1 𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 . 𝑦𝑖 − 𝑦
𝑆𝑥𝑥 =
𝑖=1 𝑛
𝑥𝑖 − 𝑥 2
𝑆𝑦𝑦 =
𝑖=1 𝑛
𝑦𝑖 − 𝑦 2
Örnek – 10
Bir kalite kontrol sorumlusu, üretilen ürüne ait kalite karakteristiği için ölçüm sistemlerinde (MSA) kullanılan iki farklı ölçme tekniğini karşılaştırmak istiyor. Her iki ölçme tekniği ile elde edilen veriler arasında kuvvetli ve pozitif yönde doğrusal bir ilişki varsa, yeni yöntemi kullanmaya başlayacaktır.
Eski Yöntem Yeni Yöntem
25 30
40 80
120 150
75 80
150 200
300 350
270 240
400 320
450 470
575 583
Kaynakça
D. C. Montgomery and G.C. Runger, (1999). Applied Statistics and Probability for Engineers, 2nd Edition. John Wiley and Sons, USA.
Prof. Dr. G. Miraç Bayhan, Ders notları.
Dr. Öğr. Üyesi Seren Özmehmet Taşan, Ders notları.