Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur.

ÖZDEĞERLER-

ÖZVEKTÖRLER

GİRİŞ

Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur.

Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın.

Bazı vektörler bir A matrisi ile çarpıldıkları zaman yön değiştirir, bazıları ise değiştirmezler. Bazı özel x vektörleri, Ax vektörü ile aynı yönde kalmaktadır.

İşte bu vektörlere “özvektörler” denir.

Bir özvektörün A matrisi ile çarpımı olan Ax vektörü, orijinal x vektörünün





olmak üzere  _katıdır.

Sonuç olarak temel denklem

 

şeklindedir. Burada 

matrisinin bir özdeğeridir. Bu skaler, özvektörün A matrisi ile çarpılması halinde elde edilen yeni vektörün uzunluğunun, orijinal x vektörüne

göre büyüdüğü, küçüldüğü ya da aynı kalıp kalmadığı bilgisini

vermektedir. Özdeğer sıfır değerini alabilir. Bu durumda

 0

olur ve özvektör x, sıfır uzayında tanımlıdır.

GİRİŞ

Eğer A birim matris ise, Ix  olur. Bu durumda nx ×1 boyutlu tüm vektörler özvektördür ve A matrisinin tüm özdeğerleri  ^1_’dir.

A matrisinin T :ⁿ ⁿ şeklinde bir doğrusal dönüşümün tanım matrisi olduğu varsayılsın.

Bu durumda Ax x eşitliği sağlanıyorsa T

 

GİRİŞ

Ax

x

 2 Ax x

Özdeğer=2 Ax 1x

Özdeğer=1

 1 Ax x

Özdeğer=-1

 Ax 0

Özdeğer=0

 Ax x

Ax

x

 Ax 0

x

GİRİŞ

ÖZDEĞER-ÖZVEKTÖR

Tanım: Özdeğer, Özvektör

A bir nn boyutlu kare matris olsun. Eğer λ bir skaler ve x vektörü de sıfır olmayan, x  0 , bir sütun vektörü olmak üzere,

x Ax 

eşitliği sağlanıyorsa x vektörü, A matrisinin özvektörü, λ skaleri de A matrisinin özdeğeridir. Aynı zamanda x, λ özdeğerine karşılık gelen özvektördür.

Bir skaler olan λ, nn boyutlu A matrisi için ^Ax ^x denkleminde x’in sonsuz çözümü olduğu durumda bir özdeğer tanımlar.

ÖZDEĞER-ÖZVEKTÖR

Temel Özellikler

 Özdeğer λ sıfır değerini alabilirken, özvektör x asla sıfır vektörü olamaz.

 Özdeğer sıfır olduğunda^{Ax 0x}, A matrisinin tersi alınamaz.

 Boyutu nn olan bir A matrisinin tersinin alınabilir olması için tüm özdeğerlerinin sıfırdan farklı olması gerekir.

ÖZ-UZAY

Tanım: Öz Uzay

Boyutu nn olan bir A matrisi için öz uzay, A matrisinin her bir özdeğerine karşılık gelen tüm özvektörlerin oluşturduğu kümedir

ÖZDEĞERLER

Teorem: Özdeğerlerin Sayısı

Eğer λ, nn boyutlu A matrisinin özdeğeri ve x vektörü de bu A matrisinin

özvektörü ise, ^{x  0} olmak üzere,









ÖZDEĞERLER









olduğunda ya da diğer bir deyişle ^A  ^I_n matrisinin tersi alınamaz olduğu durumda vardır. Çünkü bu matrisin tersinin alınamaması demek her bir sütunda pivot elemanın olmaması ve dolayısıyla homojen denklem sisteminin sonsuz çözümünün olması

demektir. Bu durumun aksine A  I_n’nin tersi alınabiliyorsa, ortaya çıkan tek çözüm sıfır çözümdür.

Sonuç olarak A matrisinin özdeğerlerini bulabilmek için





denklem sisteminin sonsuz çözümünün olması gerekmektedir

ÖZDEĞERLER

Teorem:Özdeğer ve Determinant

Bir matrisin özdeğerlerinin çarpımı, matrisin determinantına eşittir.

  

. ...

 det( ) A

Özdeğerlerin toplamı matrisin izine eşittir.

 



  ... 

 trace  a

 a

  ... a

Teorem: Sıfır Özdeğeri ve Determinant

Boyutu nn olan bir A matrisinin sadece ve sadece determinantı sıfır

olduğunda tersi alınamaz. Özdeğerlerden en az biri sıfır ise bu determinant sıfır değerini alır.

Tekil matrislerin en az bir özdeğeri sıfırdır.

ÖZDEĞERLER

Matrislerin Toplamlarının ve Çarpımlarının Özdeğerleri:



özdeğeri  . değildir. Bu eşitliğin geçerli olabilmesi için A ve B’nin aynı x özvektörüne sahip olmaları gerekir. Aynı şekilde A+B’nin özdeğeri de   _değildir.

Eğer x, hem A hem de B matrisinin özvektörü ise ABx x eşitliği geçerlidir. Bazı durumlarda tüm özvektörler ortaktır. Bunun sağlanabilmesi için AB=BA olmalıdır.

ÖZDEĞERLER

KARAKTERİSTİK DENKLEM

Tanım: Karakteristik Denklem, Karakteristik Polinom





det A I denklem sistemine A matrisinin karakteristik denklemi,





det A I polinomuna da karakteristik polinomu denir. A matrisinin özdeğerleri, karakteristik polinomun kökleridir.

Karakteristik denklem sadece  değerlerini içerir, x değerlerini içermez.

2×2’lik bir a b

c d

 

  

 

A matrisi için karakteristik polinom

 

2 trace det

  A   A

şeklindedir.

Not: Yukarıda verilen karakteristik polinom eşitliği sadece 2×2’lik matrisler için geçerlidir.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

Herhangi bir n×n boyutlu matris için özdeğerler hesaplanırken şu adımlar izlenmelidir:

1. A I_n determinantı hesaplanır. Bu determinantın sonucu





2. ^det





3. Her bir







Eğer







ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

Örnek:

2 1 1 2

 

  

 

A matrisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz.

1.adım: A matrisinin karakteristik denklemi 2 0

1

1

2 



 

 A 

2

4 3 0

    

 ^{  1}  ^{  3}  ^{ 0}

2. adım: Bu denklemin köklerinden özdeğerler,  1 ve   3bulunur.

3.adım: Özvektör denklemi





1 2

2 1 0

1 2 0

x x





  

   

  

    

     

veya

 

 

1 2

1 2

2 0

2 0

x x

x x





  

  

Bu bir homojen denklem sistemi olduğu için mutlaka bir çözüm vardır.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

1

 _için,

1 2

1 2

0 0 x x

x x

 

 

Burada  1’e karşılık gelen özvektör, x₂  0 için,



 



 

1 1 x1

olup,







 



 





1

1 şeklinde bir öz uzay tanımlar.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

3

 için,

1 2

1 2

0 0 x x x x

  

 

Burada  3’e karşılık gelen özvektör, x₂  0 için,



 



  1 1 x2

olup,







 



 



 1

1 şeklinde bir öz uzay tanımlar.

ÖZDEĞERLERİN BULUNMASI

BENZER MATRİSLER

Tanım: Benzer (Similar) Matrisler

A ve B nn boyutlu iki matris olmak üzere, A  PBP^1 şeklinde tanımlanmış ve tersi alınabilir bir P matrisi mevcutsa bu iki matris benzer matrislerdir.

Teorem:

Eğer nn boyutlu iki matris benzer matris ise, karakteristik denklemleri ve buna bağlı olarak da özdeğerleri birbirine eşittir.

SATIR- DENK MATRİSLER

Tanım: Satır-Denk Matrisler

İki mn boyutlu matris sadece ve sadece aynı satır uzayına sahipse satır-denk matrislerdir.

Yani satır işlemleriyle bir matris diğerine benzetilebilir durumdadır.

Bu iki matrisin tanımladığı homojen denklem sistemleri aynı çözüm

kümesine (aynı boş uzaya) sahiptir.

SATIR- DENK MATRİSLER

Not: nn boyutlu A ve B matrisleri satır-denk matrisler ise benzer matris olmak zorunda

değildirler. Örneğin satır-denk matrisler 2 0 0 1

 

  

 

A ve 1 0

0 1

 

  

 

B ‘yi ele alınsın.

Eğer bu iki matris benzer matris olsalardı A PBP^1şeklinde tanımlanmış ve tersi alınabilir bir P matrisi ortaya çıkardı. B matrisi birim matris olduğu için APIP^1 PP^1 I olur. A matrisi birim matris olmadığı için A ve B matrisleri eş matrisler değillerdir. Ayrıca benzer matrislerin özdeğerleri birbirine eşit oldukları halde satır-denk matrisler için aynı durum söz konusu değildir.

KÖŞEGEN MATRİSLER

Teorem: Köşegen Matris

Boyutu n×n olan simetrik bir A matrisinin n×1 boyutlu ve n adet doğrusal bağımsız özvektörleri x x₁, ,...,₂ x_n olduğu varsayılsın. Bu özvektörleri sütunlarında barındıran P matrisine özvektör matrisi denir. P^1AP matrisi ise özdeğer matrisidir. Bir A

matrisinin özdeğer matrisinin tersi olan P^-1, A matrisi ile çarpılır ve elde edilen sonuç da P ile çarpılırsa, ortaya çıkan Λ matrisinin köşegen elemanları, A matrisinin özdeğerlerini verir.





P ₁, ₂,,

1

2

0 0

0 0

0 0 _n









 

 

 

   

 

 

P AP1 Λ

KÖŞEGEN MATRİSLER

İspat:

A matrisi özvektörleri tanımlayan P matrisi ile çarpılsın. AP matrisinin ilk sütunu Ax_{1 ‘dir.}

Bu sütun ₁^x₁ vektörüne eşittir. P’nin her bir sütunu özdeğerleri ile çarpılırsa,



 



 

AP A x x x x

Burada yapılan işlem AP matrisini PΛ matrisine dönüştürmektir.

   

1

2 1

0 0

0 0

0 0

n n

n



  



 

 

 

 

 

 

 

1 n 1

x x x x PΛ

KÖŞEGEN MATRİSLER

Böylece aşağıdaki eşitlikler geçerli olmaktadır:



AP P Λ ^{P AP}

^ Λ ^veya A  P ΛP

P

matrisinin tersi vardır. Çünkü A matrisinin özvektörlerinin doğrusal

bağımsız oldukları varsayılmıştı. Diğer bir deyişle n adet bağımsız

özvektör olmaksızın köşegenleştirme işlemi yapılamaz.

KÖŞEGEN MATRİSLER

Teorem:

Özvektörler x₁,...,x_n ve bunlara karşılık gelen özdeğerler doğrusal bağımsız ise n farklı özdeğere sahip nxn boyutlu bir matris köşegenleştirilebilir.

İspat:

0 x

x₁  _{2 2} 

1 c

c olsun. A matrisini bulabilmek için bu ifadeyi önce ₁ sonra da ₂ ile genişletilsin. Daha sonra elde ettiğimiz sonuçları birbirinden çıkararak,

0 x

x₁  _{1 2 2} 

1

1c  c



0 x

x₁  _{2 2 2} 

1

2c  c











sonucu elde edilir.

KÖŞEGEN MATRİSLER

Buradan c₁

 0



1



x 0 ise, c₁

 0

 0

herhangi kombinasyon c_{1 1}x





Not: Ters alma ve köşegenleştirme işlemleri ile ilgili şu bilgilere dikkat edilmelidir;

- Bir matrisin tersinin alınabilmesi özdeğelerine(sıfır olup olmadıklarına) bağlıdır.

- Bir matrisin köşegenleştirilebilmesi ise özvektörlerinin doğrusal bağımsızlıklarına bağlıdır.

KÖŞEGEN MATRİSLER

ÜST ÜÇGEN MATRİSLER

Teorem: Üst Üçgen Matrisin Özdeğerleri

Üst üçgen bir matrisin özdeğerleri, köşegen elemanların üzerinde tanımlıdır.

Burada dikkat edilmesi gereken noktalar şunlardır:

1. Özdeğerler  ₁, ,...,₂ _n birbirinden bağımsız ise özvektörler x x₁, ,...,₂ x_n de

bağımsızdır. Tekrar etmeyen özdeğerlere sahip herhangi bir matris köşegenleştirilebilir.

2. Özvektör matrisi P eşsiz değildir. Özvektörler sıfır olmayan herhangi bir sabit ile çarpılabilir.

3. A matrisini köşegenleştirmek için özvektör matrisi kullanılmak zorundadır. P AP^-1  Λ ifadesinden AP  PΛ ve ayrıca özdeğer tanımındanAxx olduğu bilinmektedir. Bu eşitlikler ancak ve ancak x vektörünün bir özvektör olduğu durumda sağlanır.

MATRİSİN KUVVETLERİ

Tanım: Matrisin Kuvvetleri

Herhangi bir nn boyutlu A matrisi bir köşegen matris ile benzer matris olabiliyorsa köşegenleştirilebilirdir. Köşegenleştirilebilen bir A matrisi için A  PΛP^-1 eşitliği sağlanmalıdır. Burada P tersi alınabilir ve  ise köşegen bir matristir.

Bu özellik kullanılarak bir matrisin kuvvetleri kolaylıkla elde edilebilir.

MATRİSİN KUVVETLERİ

Örneğin A köşegenleştirilebilir bir matris olmak üzere A³’ü bulunsun.

  

  

3





A P ΛP PΛP PΛP PΛP

 P ΛP PΛP PΛP

   

 P Λ P P Λ P P ΛP

 P ΛΛΛP

 P Λ P

Bu durum genellendiğinde, eğer

A  P ΛP

A

 P Λ P

MATRİSİN KUVVETLERİ

Teorem: Bir n×n boyutlu A matrisi ele alındığında, A’nın tüm kuvvetleri için özvektörler sabit kalır.

Özdeğerler ise A matrisinin kuvveti ile orantılıdır. Diğer bir deyişle eğer x, A matrisinin özvektörü ise, aynı zamanda A², A³,…,A^t’nin de özvektörüdür.

x x

A² ² x x

A³ ³



x x

A^k ^k (k pozitif bir tam sayı olmak üzere)

A^k matrisi için özvektör matrisi hala P’dir. Fakat özdeğer matrisi Λ^{k olur.}

Teorem: A matrisinin özdeğerleri  iseA^1 matrisinin özdeğerleri ^1 olup özvektörleri A matrisinin

özvektörleri ile aynıdır.

TEOREMLER

Teorem: Her bir simetrik matris A QΛQ^T şeklinde reel özvektörlerden oluşan Λ ve ortanormal özvektörlerden oluşan Q için bir faktörizasyona sahiptir.

Teorem:

A ve B köşegenleştirilebilen matrisler olsun. Eğer AB=BA eşitliği sağlanıyorsa bu iki matris aynı özvektör matrisi P’ye sahiptir.

Teorem:

Reel simetrik bir matrisin özdeğerleri reeldir.

Teorem:

Reel simetrik bir matrisin özvektörleri her zaman birbirine diktir.

Teorem:

Bir n×n boyutlu A matrisi için birbirinden farklı özdeğerler ₁,...,_n ve bunlara karşılık gelen özvektörler x₁,...,x_n ise,





SİMETRİK MATRİSLER

Simetrik Matrisler:

Simetrik matrislere ilişki önemli iki özellik şunlardır:

1. Simetrik bir matrisin özdeğerleri birbirinden farklı ve reeldir.

2. Simetrik bir matrisin özvektörleri ortanormal(uzunlukları bir ve iç çarpımları sıfır olan vektörler ortanormaldir) hale dönüştürülebilir.

Simetrik bir matris için A=A^T eşitliği geçerlidir. Bu eşitliği özdeğerler ve özvektörler açısından incelensin. A  PΛP^-1 eşitliğinin transpozu alınıırsa ^{AT }

 

A=A^T olduğu için ilk formdaki P^-1, ikinci formdaki P^T ’a eşit olmalıdır. O halde



P PT I ‘dir. Bunun anlamı: P’deki her bir özvektör diğer özvektörlere ortogonaldir (özvektörler birbirine diktir ve çarpımları sıfırdır).

Ayrıca A^T matrisinin özdeğerleri A matrisinin özdeğerlerine eşittir.

H izdüşüm matrislerinin özdeğerleri   0 ya da  1_’dir.

R yansıma matrislerinin özdeğerleri   1 ya da  1’dir.

Her bir simetrik matrisin özvektör matrisi P, ortogonal bir matris olan Q’ya dönüşür. Ortogonal matrisler için Q^1  Q^T eşitliği geçerlidir.

SİMETRİK MATRİSLER

Teorem:

Simetrik bir A matrisinin





x

x

x

x

SİMETRİK MATRİSLER

SİMETRİK MATRİSLER

İspat:

1 1

1 x

Ax   ve Ax₂  ₂x₂ olduğundan,

1 2 1 1

2Ax x x

x^T   ^T

2 1 1 2

1Ax x x

x^T   ^T

İlk eşitliğin transpozu alınarak,

2 1 1 2

1A x x x

x^{T T}   ^T

ve ikinci eşitlikten çıkarılarak (A=A^T olduğundan),





0    x^Tx

özdeğerler ₁  ₂olduğundan,

2 0

1x  x^T

İspat tamamlanır.

CHOLESKY AYRIŞIMI

Teorem:

Eğer A boyutu nn rankı rn ve pozitif yarı tanımlı matris ise L köşegen

elemanlarının r adedi pozitif ve n-r adedi sıfır olan bir alt üçgen matris olmak üzere, A=L^TL

şeklinde ayrıştırılabilir

CHOLESKY AYRIŞIMI

Cholesky Ayrışımı:

Tüm pozitif tanımlı simetrik A matrisleri A  LL^T şeklinde ayrıştırılabilir. Burada L, köşegen elemanları pozitif olan bir alt üçgen matrisidir. L matrisine A matrisinin Cholesky faktörü denir.3×3’lük bir A matrisi için Cholesky ayrışımı şu şekilde yapılır:

11 11 21 31

21 22 22 32

31 32 33 33

0 0

0 0

0 0

T

l l l l

l l l l

l l l l

   

   

     

   

   

A LL

2

11 21 11 31 11

2 2

21 11 21 22 31 21 32 22

2 2 2

31 11 31 21 32 22 31 32 33

l l l l l

l l l l l l l l

l l l l l l l l l

 

 

    

    

 

CHOLESKY AYRIŞIMI

L matrisinin elemanları şu şekilde elde edilir:

1 2

1 k

kk kk kj

j

l a l





  

1

1

1

ki ki ij kj

ii j

l a l l

l





 

   

   , i>j için