ÜN‹TE II

(1)

 ^{ÜN‹TE II}

A. CEB‹RSEL ‹FADELER, Efi‹TL‹K VE DENKLEM 1. Cebirsel ‹fadeler

2. Denklemler ALIfiTIRMALAR ÖZET

TEST II-I

B. ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR 1. Do¤al Say›lar›n Çarpanlar› ve Katlar›

2. Bölünebilme Kurallar›

3. Asal Say›lar 4. EBOB ve EKOK ALIfiTIRMALAR ÖZET

TEST II-II

(2)

Bu bölümün konular›n› kavrayabilmek için;

* Örnekleri dikkatle inceleyiniz ve anlamaya çal›fl›n›z.

* Örneklerle ilgili aç›klama ve uyar›lar› dikkate al›n›z.

* De¤iflik kaynaklardan edindi¤iniz problemleri denklem kurarak çözmeye gayret edi- n i z .

* Anlamad›¤›n›z konularda çevrenizden yard›m isteyiniz.

Bu bölümün konular›n› çal›flt›¤›n›zda;

* Say› örüntülerini modelleyecek,

* Örüntülerdeki iliflkiyi harflerle ifade edecek,

* Do¤al say›lar›n kendisiyle tekrarl› çarp›m›n› üslü biçimde gösterecek,

* Üslü say›n›n de¤erini belirleyecek,

* Probleme uygun cebirsel ifade yazacak,

* Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözecek,

* Do¤al say›lar›n çarpanlar›n› ve katlar›n› belirleyecek,

* Bölünebilme kurallar›n› aç›klayacak,

* Asal say›lar› belirleyecek,

* Do¤al say›lar›n ortak bölenlerini ve ortak çarpanlar›n› problem çözümünde uygulayacaks›n›z.

BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI

☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

(3)

❂

CEB‹RSEL ‹ FADELER ÖRNEK:

“Esra’n›n yafl›, Leyla’n›n yafl›ndan 2 fazlad›r.” Buna göre, her ikisinin yafllar›n›n kaç olabilece¤ini bulal›m.

Esra 1 yafl›ndaysa, Leyla’n›n yafl› 1 + 2 = 3’tür.

Esra 2 yafl›ndaysa, Leyla’n›n yafl› 2 + 2 = 4’tür.

Esra ve Leyla’n›n yafl›n› veren afla¤›daki gibi bir tablo oluflturabiliriz.

Tablo: Esra ve Leyla’n›n yafllar›

Esra’n›n yafl› artt›kça Leyla’n›n yafl› da artmaktad›r. Buna göre, Esra’n›n yafl›n› bir sembolle gösterirsek, Leyla’n›n yafl›n› daha kolay ifade ederiz.

Esra’n›n yafl›na “a” dersek, Leyla’n›n yafl› “a + 2” olur.

Burada, “a” harfine “de¤iflken” ya da “bilinmeyen” ad› verilir. a + 2 ifadesi ise içinde de¤iflken oldu¤undan “cebirsel ifade” olarak adland›r›l›r.

En az bir bilinmeyen ve ifllem içeren ifadelere “cebirsel ifadeler” denir.

Esra’n›n yafl› Leyla’n›n yafl›

1 1 + 2 = 3

2 2 + 2 = 4

3 3 + 2 = 5

4 4 + 2 = 6

5 5 + 2 = 7

. .

a a + 2

(4)

❂

ÖRNEK

Afla¤›daki tabloda yeralan sözlü ifadeleri cebirsel ifade olarak yazal›m.

Bir cebirsel ifadede bir say› ile bir de¤iflken veya birden fazla de¤iflkenin çarp›m›na

“terim”, terimlerin say›sal çarp›m›na ise “kat say›” denir.

ÖRNEK

Afla¤›da verilen her bir modele karfl›l›k gelen cebirsel ifadeyi yaz›n›z.

ÖRNEK

3 - 6 - 9 - 12 - 15 - ... say› örüntüsüne göre;

a) Örüntünün 10 ve 16. ad›mlar›ndaki say›lar› bulal›m.

Örüntüyü inceledi¤imizde her bir ad›mdaki say›n›n, ad›m say›s›n›n 3 kat›na eflit oldu¤u görülmektedir. Buna göre;

10. ad›mdaki say› 3 x 10 = 30

16. ad›mdaki say› 3 x16 = 48 fleklinde bulunur.

Sözlü ifade Cebirsel ifade

Ela’n›n oyuncaklar›, Mert’inkinden 5 fazla a + 5

Ayfle’nin yafl› Filiz’in yafl›n›n 2 kat› 2.m

30 dakikal›k bir s›navda kalan süre 30 - b

Bir say›n›n 3 kat›n›n 4 fazlas› 3x + 4

Eflkenar üçgenin çevre uzunlu¤u 3.y

(5)

❂

b) Örüntüye uygun cebirsel ifadeyi elde etmek için tablo olufltural›m.

“n” harfi verilen örüntüdeki say›lar›n s›ras›n› veya yerini belirten bir iflaret, sembol veya notasyondur. Bu yüzden “n” örüntünün “n. say›s›”, “temsilci say›s›” veya

“genel say›s›” olarak adland›r›l›r.

Say›n›n örüntüdeki s›ra numaras›

Say› için kullan›lan k a re say›s›

Say› ile kullan›lan kareler aras›ndaki say›sal iliflkiler

1. seçenek 2. seçenek

1 3 1 + 1 + 1 = 3 3. 1 = 3

2 6 2 + 2 + 2 = 6 3. 2 = 6

3 9 3 + 3 + 3 = 9 3. 3 = 9

4 12 4 + 4 + 4 = 12 3. 4 = 12

. . . .

n ... n + n + n 3n

(6)

☛

ÖRNEK

Denge durumundaki terazinin kefelerinde bulunan flekli 1 kilograml›k kütleyi, sembolü ise bilinmeyeni temsil etmektedir.

Terazinin denge konumunu gösteren cebirsel ifadeyi yazal›m.

Terazinin sa¤ kefesinde bulunan sembolünü “x” harfi ile gösterelim.

Terazinin sol kefesinde bulunanlar›n cebirsel ifadesi “x + x + x + 1 + 1” dir.

Bilinmeyeni Bulal›m ÖRNEK

fiekildeki terazi dengededir. Kefelerdeki birim kütleleri inceleyelim.

Dengedeki terazinin sa¤ kefesine iki birim ekledi¤imizde ne olur?

Dengedeki terazinin kefelerine üç birim ekledi¤imizde ne olur?

Dengedeki terazinin kefelerini birinden bir birim al›nd›¤›nda, dengenin bozulmamas›

için ne yap›lmal›d›r?

3 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 4 = 4

➠

Denge durumu, eflitli¤in bir modelidir. Bu model “ =” sembolü ile gösterilir.

(7)

❂

Denge durumu için “=” sembolünü kullanarak denge durumuna ait cebirsel ifadeyi,

x + x + x + 1 + 1 = x + x + x + x + x 3x + 2 = 5x fleklinde yazabiliriz.

Bilinmeyen içeren eflitlikler “denklem” olarak ifade edilir.

ÖRNEK

Dengedeki terazinin kefelerindeki sembolü, 1 birim kütleyi temsil etmektedir.

Buna göre, dengede olan teraziye ait denklemi yazarak sembolü ile gösterilen bilinmeyeni bulal›m.

Dengede olan teraziye ait eflitlik x + 4 = 7 olarak yaz›l›r.

Terazinin her iki kefesinden bilinmeyenin yan›nda bulunan miktarda kütlesini ç›karal›m.

Böylece sembolünün cinsinden efl de¤erini buluruz

(8)

❂

Çözümü kontrol etmek için, buldu¤umuz x = 3 de¤erini x + 4 = 7 denkleminde yerine yazal›m.

x + 4 = 7 3 + 4 = 7

7 = 7 oldu¤undan buldu¤umuz sonuç do¤rudur.

ÖRNEK

“Kendisinin 6 fazlas› 21 olan say› kaçt›r?” sorusuna ait denklemi yazal›m ve çözelim.

Bilinmeyeni (de¤iflkeni) x ile gösterirsek, x + 6 = 21 denklemi elde edilir.

x’i yaln›z b›rakmak için her iki tarafa (-6) ekleyelim x + 6 + (-6) = 21 + (-6)

x = 15

Çözümü kontrol edelim;

x + 6 = 21 denkleminde, x = 15 için 15+6 = 21

21 = 21 oldu¤undan buldu¤umuz sonuç do¤rudur.

‹çinde bilinmeyen bulunan eflitliklere denklem, denklemi do¤ru yapan de¤iflkenin (bilinmeyenin) de¤erine denklemin çözümü, bu do¤ru de¤eri bulma ifllemine denklemi çözme denir.

ÖRNEK: Ard›fl›k üç say›n›n toplam› 63 ise bu say›lar›n en büyü¤ü kaçt›r?

ÇÖZÜM: Ard›fl›k üç say›: 1. say›

2. say›

3. say›

(9)

Bu say›lar›n toplam› ;

x + x + 1 + x + 2 = 63 3x + 3 = 63 3x + 3 + (-3) = 63 + (-3)

x = 20 En büyük say›

x + 2 = 20 + 2 = 22’dir.

ÖRNEK

Nazl› ile annesinin yafllar› toplam› 56’d›r. Annesinin yafl› Nazl›’n›n yafl›n›n 3 kat›ndan 4 fazlad›r. Buna göre Nazl›’n›n yafl›n› bulunuz.

ÇÖZÜM

Nazl›n›n yafl›na x dersek, annesinin yafl› 3x+ 4 olur.

Nazl› ile annesinin yafllar› toplam› x + 3x + 4 = 56

4x + 4 = 56

4 x + 4 + (-4) = 56 + (- 4)

x = 13

Nazl›’n›n yafl› 13’tür.

3x 3 = 60

3

4x 4 = 56

4

(10)

ALIfiTIRMALAR

1. 10 - 20 - 30 - 40 - 50 ... say› örüntüsündeki iliflkiye karflk›l›k gelen cebirsel ifadeyi de¤iflken kullanarak yaz›n›z. Elde etti¤iniz cebirsel ifade yard›m›yla örüntünün 12. ve 20. ad›mdaki say›lar› bulunuz.

2. 5n- 2 cebirsel ifadesinde 8 ve 16. say›lar› bulunuz.

3. a = 4 için 6a - 1 cebirsel ifadesinin de¤erini bulunuz.

4. “Hangi say›n›n 5 kat›n›n 2 eksi¤i 43’tür? Bu say›y› bularak çözümün do¤rulu¤unu kontrol ediniz.

5. Afla¤›daki denklemleri çözünüz ve çözümün do¤rulu¤unu kontrol ediniz.

a) x + 7 = 11 b) a - 8 = 25 c) -12 + m = 20 ç) 3b = 21 d) 3y-11 = 70 e) 5x - 2(3-x) = 15

6. Ard›fl›k befl çift say›n›n toplam› 105’tir. Bu say›lar›n en büyü¤ü ile en küçü¤ünün toplam› kaçt›r?

7. Özlem pazardan ald›¤› 3kg fleftali, 2kg üzüm için 12 YTL ödemifltir. Üzümün kg’›

1,5YTL oldu¤una göre, fleftalinin kg’› kaç YTL’dir?

9. Ayla, Leyla’dan 4 yafl büyüktür. Ayla ile Leyla’n›n yafllar› toplam› 48’dir. Her ikisinin yafl›n› hesaplay›n›z.

10. 6/A s›n›f›n›n mevcudu 33 tür. K›zlar›n say›s›, erkeklerin say›s›n›n 2 kat›n›n 6 fazlas›d›r. K›z ve erkek ö¤renci say›s›n› bulunuz.

8. Bir top kumafl›n, 1

2 'i ile 3

4'nün toplam› 140 metredir. Bu toptaki kumafl kaç metredir?

Bir top kumafl›n, 1

2 'i ile 3

4'nün toplam› 140 metredir. Bu toptaki kumafl kaç metredir?

(11)



En az bir bilinmeyen ve ifllem içeren ifadelere “cebirsel ifadeler” denir.^ÖZET

Bir cebirsel ifadede bir say› ile bir ya da birden fazla de¤iflkenin çarp›m›na

“terim”, terimlerin say›sal çarp›m›na ise “kat say›” denir.

“n” harfi, verilen örüntüdeki say›lar›n s›ras›n› veya yerini belirten bir iflaret, sembol veya notasyondur. Bu yüzden “n” örüntüsünün “n. say›s›”, “temsilci say›s›” veya

“genel say›s›” olarak adland›r›l›r.

‹çinde bilinmeyen bulunan eflitliklere denklem, denklemi do¤ru yapan bilin- meyene denklemin çözümü, bu do¤ru de¤eri bulma ifllemine denklemi çözme denir.

(12)

✎

TEST II - I 1. 1-3-5-7-9 ... say› örüntüsündeki 15. say› kaçt›r?

A) 25 B) 27 C) 29 D) 31

2. Genel terimi 2 n + 3 olan say› örüntüsünde 4. terim ile 2. terim aras›ndaki fark kaçt›r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

3. “Buzdolab›ndaki yumartalar›n 3 tanesini kulland›m. Geriye 12 yumurta kald›.”

Verilen duruma uygun denklem afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 12 - 3 = x B) x - 3 = 12 C) 12 - x = 3 D) 3-x = 12

4. “Bir kavanozdaki k›rm›z› bilyelerin 1 fazlas›n›n 3 kat›n›n yar›s› kadar beyaz bilye vard›r.” Beyaz bilyelerin say›s›n› veren cebirsel ifade afla¤›dakilerden hangisidir?

A) x + 3

2 B) 3x + 1

2 C) x + 1

2 D) 3 x + 1 2 A) x + 3

2 B) 3x + 1

2 C) x + 1

2 D) 3 x + 1 2 A) x + 3

2 B) 3x + 1

2 C) x + 1

2 D) 3 x + 1 2 A) x + 3

2 B) 3x + 1

2 C) x + 1

2 D) 3 x + 1 2

(13)

5. 2x - 15 = - 25 denklemini sa¤layan x de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

A) -20 B) -5 C) 10 D) 15

6. Bir say›n›n 2 kat›n›n 1 fazlas› ile ayn› say›n›n 3 kat›n›n 2 fazlas›n›n toplam› 78’dir.

Buna göre bu say› kaçt›r?

A) -20 B) -5 C) 10 D) 15

7. Uzun kenar›, k›sa kenar›n›n 2 kat›ndan 1 fazla olan dikdörtgenin çevresi 38 cm’ d i r.

Bu dikdörtgenin uzun kenar› kaç santimetredir?

A) 6 B) 7 C) 11 D) 13

8. Hangi say›n›n 3 kat›n›n 3 fazlas› 63’tür?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23

9. “Hangi say›n›n 3 kat›yla 2 eksi¤inin toplam› 30’dur?”

Yukar›daki problemin çözümünü veren denklem afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 3x - 2 = 30 B) 3x + 2 = 30 C) 3x + x - 2 = 30 D) 3x - x + 2 = 30

(14)

10. 5 x

2 + 1 cebirsel ifadesinin sözel karfl›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

A) Bir say›n›n 1 fazlas›n›n yar›s›n›n 5 kat›

B) Bir say›n›n 5 kat›n›n yar›s›n›n 1 fazlas›

C) Bir say›n›n 5 kat›n›n 1 fazlas›

D) Bir say›n›n yar›s›n›n 1 fazlas›n›n 5 kat›

11. Serkan’›n bilyelerinin say›s›n›n 3 fazlas›n›n 4 kat› Orkun’un bilyelerinin say›s›na eflittir. Orkun’un 28 bilyesi oldu¤una göre, Serkan’›n bilyelerini bulmak için afla¤›daki denklemlerden hangisi kullan›l›r?

A) 4x + 3 = 28 B) 4(x - 3) = 28 C) 4(x + 3) = 28 D) 4x - 3 = 28

12. Ard›fl›k 5 tek say›n›n toplam› 165’tir. Ortadaki say› kaçt›r?

A) 31 B) 33 C) 35 D) 37

13. Bir baban›n yafl› 45, iki çocu¤unun yafllar› toplam› 15’ tir. Kaç y›l sonra baban›n yafl›, çocuklar›n yafllar› toplam›n›n 2 kat› olur?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

14. ‹ki say›dan biri di¤erinden 5 fazlad›r. Küçük say›n›n 4 kat› ile büyük say›n›n 3 kat›n›n toplam› 155’tir. Büyük say› kaçt›r?

A) 15 B) 20 C) 25

(15)

❂

ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR ÖRNEK

12 say›s›n›n bölenlerini yazal›m.

12 : 1 = 12 12 : 2 = 6 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 12 : 6 = 2 12 : 12 = 1

12 say›s›n›n bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir.

Bir do¤al say›y› kalans›z olarak bölen say›lara, o say›n›n bölenleri denir.

ÖRNEK

12 say›s›n›n çarpanlar›n› yazal›m.

12 say›s›n›n çarpanlar› 12, 6, 4, 3, 2, 1’dir. Dikkat edilecek olursa bu say›lar›n her biri 12’yi kalans›z böler.

☛

36 ve 48 say›lar›n›n bölenlerini yaz›n›z.

☛

24 say›s›n›n çarpanlar›n› yaz›n›z.

(16)

❂

ÖRNEK

36 say›s›n›n çarpanlar›n› yazal›m.

36 say›s›n›n çarpanlar›, 36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1

Bir say›n›n çarpan› ayn› zamanda bölenidir. Bir say›n›n çarpanlar› ve bölenleri say›dan küçük veya eflittir. Say›n›n katlar› ise say›dan büyük veya eflittir.

Tek ve Çift do¤al say›lar

Birler basama¤› 0, 2, 4, 6, 8 olan say›lara çift do¤al say›lar denir.

34756 , 12290, 213454, 32, 678, ...

Birler basama¤› 1, 3, 5, 7, 9 olan say›lara tek do¤al say›lar denir.

127, 359, 9763, 2521, 2345, ...

Örne¤in,

36 say›s›n›n çarpanlar›n›n 8 tanesi çift say› 3 tanesi tek say›d›r.

2 x 3 = 6 çarpanlardan biri tek biri çiftse çarp›m çifttir.

4 x 5 = 20

2 x 6 = 12 çarpanlardan ikiside çiftse çarp›m çifttir.

8 x 4 = 32

3 x 5 = 15 çarpanlar›n ikiside tekse çarp›m tektir.

7 x 9 = 63

(17)

Tek say›lar› “T” ile çift say›lar› “Ç” ile gösterelim.

ÖRNEK

12, 13 ve 18 in katlar›n› yazal›m.

12 say›s›n›n katlar›: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, ....

13 say›s›n›n katlar›: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, ...

18 say›s›n›n katlar›: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, ...

ÖRNEK

5 arkadafl ellerindeki cevizleri torbaya koyuyorlar. Birinci 2, ikinci birincinin 2 kat›, üçüncü birincinin 3 kat›, dördüncü birincinin 4 kat›, beflinci birincinin 5 kat›

kadar ceviz torbaya koyuyor.

a) Torbada kaç ceviz vard›r?

b) Torbadaki ceviz say›s›, birincinin torbaya koydu¤u cevizin kaç kat›d›r?

ÇÖZÜM

b) Torbadaki toplam ceviz say›s› = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Torbadaki ceviz say›s›, birincinin torbaya koydu¤u ceviz say›s›n›n 15 kat›d›r.

Ç x T = Ç Ç + T = T

T x Ç = Ç T + Ç = T

Ç x Ç = Ç Ç + Ç = Ç

T x T = T T + T = Ç

1. 2

2. 2.2 = 4

3. 2.3 = 6

4. 2.4 = 8

5. 2.5 = 10

a)

(18)

Bölünebilme Kurallar›

2 ile kalans›z bölünebilme

18 : 2 = 9, 24: 2 = 12, 32: 2 = 16, 46: 2 = 23, 10 : 2 = 5

Birler basama¤›nda 0, 2, 4, 6, 8 rakamlar›ndan biri bulunan say›lar 2 ile kalans›z bölünür. Yani çift do¤al say›lar 2 ile kalans›z bölünür.

3472, 6234, 4350, 326, 4258, say›lar› 2 ile kalans›z bölünür.

ALIfiTIRMA

Afla¤›daki do¤al say›lardan hangileri 2 ile kalans›z bölünebilir?

3457, 1324, 42, 6370, 425, 28

ÖRNEK

32n say›s›, üç basamakl› do¤al say›d›r. Bu say›n›n 2 ile kalans›z bölünebilmesi “ için “n ” yerine yaz›labilecek rakamlar› bulunuz.

ÇÖZÜM

32n say›s›n›n 2 ile kalans›z bölünebilmesi için birler basama¤›n›n çift say› olmas›

gerekir. Dolay›s›yla, n yerine 0, 2, 4, 6, 8 rakamlar› yaz›labilir.

5 ile kalans›z bölünebilme 10 : 5 = 2 25: 5 = 5

Birler basama¤›nda “0” veya “5” rakam› olan do¤al say›lar 5 ile kalans›z bölünür.

34070, 2575, say›lar› 5 ile kalans›z bölünür.

ALIfiTIRMA

35790, 435, 6324, 72670, 4343, 6892

(19)

➠

ÖRNEK

435n dört basamakl› do¤al say›s›n›n 5 ile kalans›z bölünebilmesi için, “n” yerine yaz›labilecek rakamlar› bulunuz.

ÇÖZÜM

Bir do¤al say›n›n 5 ile kalans›z bölünebilmesi için, birler basama¤›ndaki rakamlar

“0” veya “5” olmal›d›r. Dolay›s›yla 435n say›s›nda, n yerine 0 , 5 rakamlar› yaz›lmal›d›r.

Bir do¤al say›n›n rakamlar›n›n say› de¤erleri toplam› 3’ün kat› ise bu say› 3 ile kalans›z bölünür.

Örne¤in, 27 say›s› 3 ile kalans›z bölünür. Çünkü rakamlar› toplam› 2 + 7 = 9’dur.

9’da 3’ün kat›d›r.

ÖRNEK

942 ve 725 say›lar› 3 ile kalans›z bölünebilir mi?

942 say›s›nda 9 + 4 + 2 = 15’dir. 15’te 3’ün kat›d›r. 942 say›s› 3 ile kalans›z bölünür.

725 say›s›nda 7 + 2 + 5 = 14’tür. 14’te 3’ün kat› de¤ildir. 725 say›s› 3 ile kalans›z bölünemez.

ÖRNEK

34n2 dört basamakl› do¤al say›s›n›n 3 ile kalans›z bölünebilmesi için, “n” yerine yaz›labilecek rakamlar› bulunuz.

ÇÖZÜM

34n2 = 3 + 4 + 2 + n = 9 +n’ in 3 ün kat› olmas› için n yerine 0, 3, 6, 9 rakamlar›

yaz›labilir.

9 + 0 = 9 9 + 3 = 12 9 + 6 = 15 9 + 9 = 18

9, 12, 15, ve 18 say›lar› 3’ün kat›d›r.

☛

369, 1200, 3249, 275, 62, 156,

(20)

➠

Birler ve onlar basama¤› 0 veya 4’ün kat› olan say›lar 4 ile kalans›z bölünebilir.

2100 3504, 672, 956 6 ile kalans›z bölünebilme

3 ile kalans›z bölünebilen her çift say› 6 ile kalans›z bölünebilir.

36, 702, 8154, ...

ÖRNEK

Afla¤›daki tablodaki say›lardan hangileri 6 ile kalans›z bölünebilir?

ÇÖZÜM:

Tabloda 3 ile kalans›z bölünebilenleri mavi ile 2 ile kalans›z bölünebilenleri k›rm›z› ile gösterelim.

Tablodan da görüldü¤ü gibi 3 ile kalans›z bölünebilen her çift say› 6 ile kalans›z bölünebilir.

Siz de 3’ün kat› olan say›lar› yeflil, 9’un kat› olan say›lar› pembe ile boyay›n›z.

Bir do¤al say›n›n rakamlar›n›n say› de¤erleri toplam› 9’un kat› ise bu say› 9 ile kalans›z bölünebilir.

2709 say›s›nda 2 + 7 + 0 + 9 = 18’dir. 18’de 9’un kat›d›r. 2709 say›s› 9 ile kalans›z bölünebilir.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

➠

9 ile kalans›z bölünebilen her do¤al say› 3 ile de kalans›z bölünebilir.

☛

Bir do¤al say›n›n 3’e bölümü 11 ’ d i r. Ayn› say›n›n 9 ile bölümünden kalan kaç olur?

(21)

➠

Birler basama¤›nda “0” bulunan her do¤al say› 10 ile kalans›z bölünebilir.

720, 4790, 92750, 6273540, ÖRNEK

12, 27, 36, 45, 52, 60, 81 say›lar›ndan hangilerinin 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 ile kalans›z bölünebilece¤ini bulunuz.

ÇÖZÜM

Tabloda bu say›lara kalans›z bölünebilenleri +, kalans›z bölünemeyenleri - ile gösterelim.

Tablo: Say›lar ve Bölenleri

Tabloda 4’e, 6’ya ve 9’a kalans›z bölünebilen say›lar›n baflka hangi say›lara kalans›z bölünebildi¤ine dikkat ediniz.

Say›lar 12 27 36 45 52 60 81 100

Bölenler

2 + + + - + + - +

3 + + + + - + + -

4 + - - - - + - +

5 - - - + - + - +

6 + - + - - + - -

9 - + + + - - + -

10 - - - + - +

(22)

ÖRNEK

4 basamakl› 34ab say›n›n 6 ile kalans›z bölünebilmesi için a + b’nin en büyük de¤eri kaçt›r?

ÇÖZÜM:

32ab say›s›n›n 6 ile kalans›z bölünebilmesi için 2 ve 3 ile bölünebilmesi gerekir.

a’n›n en büyük de¤eri 9, b’nin en büyük de¤eri 8’dir.

a + b = 9 + 8

= 17’dir.

Asal Say›lar

1’den ve kendisinden baflka böleni olmayan 1’den büyük say›lara asal say› denir.

2, 3, 5, 7, 11 .... say›lar› asal say›lard›r.

6, 12, 18, say›lar›n›n çarpanlar›n›n say›s› 2’den fazla oldu¤u için asal say› de¤ildir.

ÖRNEK:

Afla¤›daki tabloda 100’e kadar olan asal say›lar iflaretlenmifltir. Tabloyu inceleyiniz.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

❂

1’den baflka ortak böleni olmayan say›lara aralar›nda asal say›lar denir.

ÖRNEK

12, 24 ve 48 say›lar›n›n EBOB’unu bulunuz.

ALIfiTIRMALAR 1. 36, 48 ve 64 say›lar›n›n EBOB’unu bulunuz.

2. Afla¤›da verilen say›lar›n EBOB’unu zihinden bulunuz.

a) EBOB (10, 20, 30) = b) EBOB (12, 48, 72) = c) EBOB (5, 35, 40) =

➠

Aralar›nda asal say›lar›n EBOB’u 1’dir.

(28)

❂

Aralar›nda Asal Say›lar

14 ve 15 say›lar›n›n bölenlerini yazal›m.

14’ün bölenleri, 1, 2, 7, 14’dür.

15’in bölenleri, 1, 2, 3, 5, 15’tir.

14 ve 15 say›lar› asal olmad›klar› halde ortak bölenleri 1’dir.

Asal say› olup olmad›klar›na bak›lmaks›z›n, 1’den baflka ortak böleni olmayan say›lara aralar›nda asal say›lar denir.

ALIfiTIRMALAR

Afla¤›da verilen say›lardan hangileri aralar›nda asald›r? Neden?

a) 3 ve 9 b) 7 ve 24 c) 12 ve 25 ç) 8 ve 27

Do¤al Say›larda En Küçük Ortak Kat (EKOK) 3 ve 4 say›lar›n›n katlar›n› yazal›m.

3’ün katlar› 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...d›r.

4’ün katlar› 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...d›r.

3 ve 4’ün ortak katlar›, 12, 24, 36, ... dir.

3 ve 4’ün en küçük ortak kat› 12’dir.

EKOK (3, 4) = 12 biçiminde yaz›l›r.

‹ki veya daha fazla sayma say›s›n›n ortak katlar› içinde en küçük olan›na, bu say›lar›n en küçük ortak kat› denir. K›saca EKOK(3,4) = 12 veya (3, 4) _ekok = 12 biçiminde yaz›l›r.

ÖRNEK

3 ve 4 say›lar›n›n en küçük ortak katlar›n› asal çarpanlar yard›m›yla bulal›m.

(29)

❂

ÖRNEK

12 ve 45 say›lar›n›n EKOK’unu bulal›m.

ALIfiTIRMALAR

Afla¤›daki say›lar›n›n EKOK’lar›n› bulunuz.

EKOK (30, 36) EKOK (50, 90, 12)

ÖRNEK

12 ve 36 say›lar›n›n EKOK’un› bulal›m.

Birbirinin kat› olan say›lar›n EKOK’u büyük say›ya eflittir.

ÖRNEKLER

18 ve 54 say›lar›n›n EKOK’u kaçt›r?

54 say›s› 18’in kat›d›r. EKOK (18, 54) = 54’tür.

➠

Say›lar birlikte asal çarpanlar›na ayr›l›r. Asal çarpanlar›n hepsi birbiri ile çarp›l›r.

Çarp›m, verilen say›n›n EKOK’udur.

(30)

➠

ALIfiTIRMALAR

Afla¤›da verilen say›lar›n EKOK’unu zihinden bulunuz.

1. EKOK (30, 60) = 2. EKOK (25, 50, 75) = 3. EKOK (18, 75) = 4. EKOK (12, 60) =

ÖRNEK

12, 18 ve 36 say›lar›n›n en küçük ortak kat›n› bulal›m.

ÖRNEK

15 ve 8 say›lar›n›n en küçük ortak kat›n› bulal›m.

Aralar›nda asal iki say›n›n EKOK’u bu say›lar›n çarp›m›na eflittir.

ÖRNEK

12 ve 25 say›lar›n›n EKOK’u kaçt›r?

12 ve 25 aralar›nda asald›r.

12 ve 25’in EKOK’u, 12 x 25 = 300’dür.

(31)

ÖRNEK

Ortak katlar›n›n en küçü¤ü 65 olan iki asal say›n›n toplam› 18’dir. Bu asal say›lar›

bulal›m.

ÇÖZÜM

65 say›s›n› asal çarpanlar›na ay›ral›m.

Bu asal say›lar 5 ve 13’tür. Toplamlar› 18, EKOK’ lar› 65’tir.

Bu say›lar asal olduklar› için çarp›mlar› EKOK’u verir.

ALIfiTIRMALAR

1. 14 ve 9 say›lar›n›n EKOK’u kaçt›r?

2. Aralar›nda asal olan iki say›n›n EKOK’u 900’dür. Say›lardan biri 25 oldu¤una göre, di¤eri kaçt›r?

EBOB ve EKOK’u Ayn› ‹fllemle Bulma

ÖRNEK

48 ve 60 say›lar›n›n EBOB ve EKOK’lar›n› bulunuz.

‹flaretli asal çarpanlar›n çarp›m› EBOB’u, bütün asal çarpanlar›n çarp›m› EKOK’u verir.

(32)

48 x 60 = EKOK (48, 60) x EBOB (48, 60) 2880 = 240 x 12

2800 = 2800

ÖRNEK

En büyük ortak böleni 15 ve en küçük ortak katlar› 525 olan iki say›dan biri 75’tir.

Buna göre di¤er say› kaçt›r?

ÇÖZÜM

A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B) A x 75 = 525 x 15

A = 105 , di¤er say› 105’tir.

ÖRNEK

A ve B birer do¤al say› olmak üzere, EKOK(A, B) = 2³. 5² ve EBOB (A, B) = 2². 5 oldu¤una göre, A x B kaçt›r?

ÇÖZÜM

A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B)

= 2³. 5²x 2². 5

= 200 x 20

= 4000 dir.

A = 7875 75

➠

‹ki say›n›n EKOK’u ile EBOB’unun çarp›m› bu say›lar›n çarp›m›na eflittir.

A x B = (A, B) e.k.o.k x (A, B) e.b.o.b

☛

1. ‹ki say›n›n çarp›m› 432’dir. Bu say›lar›n EBOB’u 12 oldu¤una göre, EKOK’u kaçt›r?

2. Aralar›nda asal iki say›n›n EBOB’u ile EKOK’unun toplam› 145’tir. Bu say›lardan biri 16 oldu¤una göre, di¤er say› kaçt›r?

(33)

EBOB ve EKOK Problemleri

ÖRNEK

30, 40 ve 51 say›lar›n› böldü¤ünde, s›ras›yla 3, 4, 6 kalan›n› veren en büyük say› kaçt›r?

ÇÖZÜM

Bölen say› “Δ” olsun. Bu say›lar›n, kalans›z bölünebilmeleri için bölünenlerden kalanlar ç›kar›l›r.

Δ say›s›, 27, 36 ve 45 say›lar›n›n bölenlerinin en büyü¤ü olmal›d›r.

Bu nedenle, bu say›lar›n EBOB’unu bulmal›y›z.

30, 40, ve 51 say›lar›n› böldü¤ünde; s›ras›yla 3, 4, ve 6 kalan›n› veren en büyük say› 9’dur.

ÖRNEK

96 kg ve 84 kg’l›k torbalardaki toz flekerler eflit miktarda ve hiç artmayacak flekilde en az say›da torba kullan›larak paylaflt›r›lmak isteniyor.

a) Torbalar kaç kg’l›k olmal›d›r?

b) Kaç tane torba gereklidir?

(34)

ÇÖZÜM :

96 kg ve 84 kg’l›k flekerleri eflit miktarda ve hiç artmayacak flekildeki torbalar›n en büyü¤ü olmal›d›r. Bunun için 96 ve 84 say›lar›n›n EBOB’u bulmal›y›z.

ALIfiTIRMA

Bir sat›c›n›n elinde 36 kg ve 48 kg l›k iki torba pirinç vard›r. Sat›c› torbalardaki pirinçleri eflit miktarlarda paketlemek istemektedir.

a) Kaçar kilograml›k paketler haz›rlayabilir?

b) Bu torbalardan kaç tane gerekir?

ÖRNEK

Üç ayr› ülkeden 24, 30 ve 48 kiflilik üç ö¤renci grubu gezi için ülkemize geliyorlar.

Bir odada sadece ayn› ülke ö¤rencilerinin ve her odada eflit say›da ö¤renci olmas›

isteniyor. Bu ö¤renciler için en az kaç oda ayr›lmas› gerekir?

ÇÖZÜM:

(35)

ALIfiTIRMA

Dikdörtgen biçimli bir arsan›n uzun kenar› 75m k›sa kenar› 45 m dir. Bu arsan›n çevresine eflit aral›klarla a¤aç dikilecektir.

a) Aral›klar en çok kaç metre olmal›d›r?

b) Bu arsa için en çok kaç a¤aç gereklidir?

ÖRNEK

Boyutlar› 560 cm ve 160 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir banyonun taban›na kare biçiminde fayans döflenecektir. Fayanslar en büyük boyutlu olacak ve k›r›lmadan döfleneceklerine göre bu banyo için kaç tane fayans gereklidir?

ÇÖZÜM

Kare biçimindeki fayanslar›n en büyük boyutlu olmas› ve hiç k›r›lmamas›

gerekmektedir. Bu durumda fayans›n boyutu 560 cm ve 160 cm’yi bölen en büyük say›

yani, EBOB’u bulunmal›d›r?

ÖRNEK

Boyutlar› 4 cm, 10 cm ve 12 cm olan dikdörtgenler prizmas› fleklindeki kibrit k u t u l a r › kullan›larak en küçük hacimli bir küp yap›lacakt›r.

Buna göre, en az kaç kibrit kutusu gerekir?

ÇÖZÜM

4, 10, 12 say›lar›n›n en küçük ortak kat›n›n bulunmas› gerekiyor.

(36)

ÖRNEK

Belli aral›klarla çalan üç zilden birinci zil 20 dakikada, ikinci zil 25 dakikada ve üçüncü zilde 30 dakikada bir çalmaktad›r. Bu üç zil saat 11.00 de çald›ktan sonra tekrar üçü birlikte ilk kez saat kaçta çalar?

ÇÖZÜM

ÖRNEK

Faruk bilyelerini dörder, befler ve alt›flar sayd›¤›nda her seferinde 3 bilyesi art›yor.

Faruk’un 100 den fazla bilyesi oldu¤una göre en az kaç bilyesi vard›r?

ÇÖZÜM

(37)

ÖRNEK

Bir s›n›fta bulunan ö¤renciler Beden e¤itimi dersinde, alt›flarl›, dokuzarl› ve onikiflerli gruplara ayr›l›nca her seferinde 5 ö¤renci art›yor. Bu s›n›f›n mevcudu en az kaçt›r?

ÇÖZÜM

S›n›ftaki ö¤renciler alt›flar grupland›¤›na göre 6’n›n kat› olmal›, dokuzar grupland›¤›na göre 9’un kat› olmal›, onikifler grupland›¤›na göre 12’nin kat› olmal›d›r.

6, 9 ve 12’nin EKOK’unu bulal›m.

ALIfiTIRMA

Boyutlar› 6 cm, 8 cm ve 12 cm olan dikdörtgen prizmas› fleklindeki tu¤lalar kullan›larak en küçük hacimli bir küp yap›lmak isteniyor.

a) Bu küpün bir ayr›t›n›n uzunlu¤u kaç cm’dir?

b) Bu küp için kaç tu¤la gerekir?

(38)

ALIfiTIRMALAR 1. Afla¤›daki do¤al say›lar› asal çarpanlar›na ay›r›n›z.

A) 72 B) 108 C) 240 D) 400

2. 36 say›s›n›n çarpanlar›n› yaz›n›z 36’n›n kaç tane tek, kaç tane çift say› olan çarpan›

vard›r.

3. Afla¤›da asal çarpanlar›na ayr›lm›fl do¤al say›lar› bulunuz.

A) 2 x 3² B) 2³x 3² C) 2 x 32x 5 D) 2 x 3²x 7

4. 75, 373, 4300, 5274 say›lar›ndan hangileri 2 ile kalans›z bölünür?

5. 14 ile 46 aras›ndaki do¤al say›lardan 3 ile kalans›z bölünenlerin kümesini yaz›n›z.

6. 48, 100, 72, 864, 612 say›lar›ndan hangileri 4 ile kalans›z bölünür?

7. 36 ile 67 aras›ndaki asal say›lar› yaz›n›z.

8. Afla¤›daki seçeneklerde verilen say›lar›n en büyük ortak bölenini bulunuz.

A) 14, 45 B) 12, 32 C) 24, 36, 48 D) 100, 200, 300

9. Afla¤›daki seçeneklerde verilen say›lar›n en küçük ortak kat›n› bulunuz.

A) 12 , 35 B) 24, 36 C) 12, 24, 36 D) 25, 35, 75

10. Aralar›nda asal iki say›n›n EKOK’u 360’d›r . Bu say›lardan biri 8 ise di¤eri kaçt›r?

(39)



Bir do¤al say›y› kalans›z olarak bölen say›lara, o say›n›n bölenleri denir. Bir do¤al^ÖZET say›n›n bölenleri ayn› zamanda çarpanlar›d›r.

Birler basama¤›; 0, 2, 4, 6, 8 olan say›lara çift do¤al say›lar, 1, 3, 5, 7, 9 olan say›lara tek do¤al say›lar denir.

2 ile kalans›z bölünebilme : Birler basama¤›nda 0, 2, 4, 6, 8 rakamlar›ndan biri bulunan say›lar 2 ile kalans›z bölünür.

5 ile kalans›z bölünebilme : Birler basama¤›ndaki rakam› 0 veya 5 olan say›lar 5 ile kalans›z bölünür.

3 ile kalans›z bölünebilme : Bir do¤al say›n›n rakamlar›n›n say› de¤erleri toplam›

3 ün kat› ise bu say› 3 ile kalans›z bölünür.

9 ile kalans›z bölünebilme : Bir do¤al say›n›n rakamlar›n›n say› de¤erleri toplam›

9 un kat› ise bu say› 9 ile kalans›z bölünür.

4 ile kalans›z bölünebilme : Birler ve onlar basama¤› “0” veya 4’ün kat› olan do¤al say›lar 4 ile kalans›z bölünür.

6 ile kalans›z bölünebilme : 3 ile bölünen her çift say› 6 ile kalans›z bölünür.

10 ile kalans›z bölünebilme : Birler basama¤›nda “0” (s›f›r) rakam› olan say›lar 10 ile kalans›z bölünür.

1’den ve kendisinden baflka böleni olmayan, 1 den büyük say›lara asal say› denir.

Asal say› olup olmad›klar›na bak›lmaks›z›n 1 den baflka ortak böleni olmayan say›lara, aralar›nda asal say›lar denir.

Bir do¤al say›n›n asal say›lar›n çarp›m› fleklinde yaz›lmas›na say›n›n asal çarpan- lar›na ayr›lmas› denir.

‹ki veya daha fazla sayma say›s›n›n ortak bölenleri aras›nda en büyük olan›na, bu say›lar›n en büyük ortak böleni (EBOB) denir. Aralar›nda asal say›lar›n EBOB’u 1’dir.

‹ki veya daha fazla sayma say›s›n›n ortak katlar› içinde en küçük olan›na, bu say›lar›n en küçük ortak kat› (EKOK) denir.

Birbirinin kat› olan say›lar›n EKOK’u, büyük say›ya eflittir.

Aralar›nda asal iki say›n›n EKOK’u bu say›lar›n çarp›m›na eflittir.

‹ki say›n›n EKOK’u ile EBOB’unun çarp›m› bu say›lar›n çarp›m›na eflittir.

(40)

✎

TEST II - II

1. Afla¤›daki say›lardan hangisi 3 ile kalans›z bölünür?

A) 746 B) 985 C) 1294 D) 1392

2. 4a1 üç basamakl› say›s› 3 ile kalans›z bölün ü y o r. Buna göre, a yerine yaz›labilecek say› de¤erleri toplam› kaçt›r?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 18

3. Befl basamakl› a6740 say›s›n›n 9 ile kalans›z bölünebilmesi için a yerine hangi rakam gelmelidir?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 9

4. Afla¤›daki say›lardan hangisi 3 ile kalans›z bölünemez ? A) 3679

B) 4806 C) 8292 D) 9534

5. Befl basamakl› 2a3b5 say›s›n›n 9 ile kalans›z bölünebilmesi için a + b’nin alabilece¤i en büyük de¤er kaçt›r?

A) 8 B) 9 C) 17

(41)

6. 88a üç basamakl› say›s› hem 2 hemde 3 ile bölünebildi¤ine göre, a yerine kaç farkl› rakam yaz›l›r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

7. Afla¤›daki say›lardan hangisi hem 2 hem de 3 ile bölünemez?

A) 12 B) 21 C) 36 D) 54

8. Befl basamakl› 267a0 say›s› 4 ile kalans›z bölünebildi¤ine göre a kaç farkl› de¤er al›r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

9. Dört basamakl› 3a7b say›s› 10 ile kalans›z bölünebilmektedir. Bu say›n›n 3 ile kalans›z bölünebilmesi için a’n›n alabilece¤i de¤erler toplam› kaçt›r?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 18

10. Afla¤›daki say›lardan hangisi hem 3 hem de 5 ile kalans›z bölünebilir?

A) 8052 B) 8210 C) 8304 D) 8460

(42)

11. 2, 3, 6, 8, 11, 15, 17, 21, 29 say›lar›ndan kaç tanesi asal say›d›r?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

12. En küçük asal say› kaçt›r?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

13. Afla¤›daki say›lardan hangisi asal say› de¤ildir?

A) 13 B) 23 C) 47 D) 65

14. Afla¤›daki say›lardan hangisi 108 say›s›n›n asal çarpanlar›na ayr›lm›fl fleklidir?

A) 2³x 3² B) 2²x 3³ C) 2 x 3³ D) 2⁴x 3

15. 288 say›s›n›n kaç farkl› asal çarpan› vard›r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

ÜN‹TE II

 ÜN‹TE II

☞

✍

❂

❂

❂

❂

☛

➠

❂

❂



✎

❂

☛

☛

❂

❂

❂

➠

➠

☛

➠

➠

➠

➠

☛

➠

❂

➠

☛

➠

❂

❂

➠

☛

➠

❂

➠

❂

❂

❂

➠

➠

➠

☛



✎

 ^{ÜN‹TE II}