1ŞEBEKE MODELLERİBölüm 2Konu 3Prof. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

(1)

ŞEBEKE MODELLERİ

Bölüm 2

Konu 3

Prof. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

En Kısa Yol Ağacı Problemi

 “n” tane düğüm bulunur (n-1 tane ok)

 “i” ve “j” düğümleri arasındaki mesafeler

d_ij ile ifade edilir ve oklar iki yönlüdür.

 Amaç: Tüm düğümleri minimum toplam

mesafe ile birbirine bağlayan tüm okların kümesini (yol ağacını) belirlemektedir.

(2)

3 / 99 Prof. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Metro Kablo TV Şirketi

Kablo TV şirketi gereken hizmeti sunacak yapıda olan ve toplam kablo mesafesini minimize edecek bir kablo şebekesi kuracaktır.

Muhtemel Kablo TV Şebekesi

3 16 2 4 5 6 7 1 35 9 22 14 19 8 25 14 12 17 15

(3)

5 Prof. Dr. Fazıl GÖKGÖZ

Düğüm 1 ve 3 için Yol Ağacı

3 16 2 4 5 6 7 1 35 9 22 14 19 8 25 14 12 17 15

Düğüm 1, 3 ve 4 için Yol Ağacı

3 16 2 4 5 6 7 1 35 9 22 14 19 8 25 14 12 17 15

(4)

Düğüm 1, 2, 3 ve 4 için Yol Ağacı

3 16 2 4 5 6 7 1 35 9 22 14 19 8 25 14 12 17 15

Düğüm 1,2,3,4 ve 5 için Yol Ağacı

3 16 2 4 5 6 7 35 9 22 14 19 8 25 14 12 17 15 1

(5)

Düğüm 1,2,3,4,5 ve 7 için Yol Ağacı

3 16 2 4 5 6 7 35 9 22 14 19 8 25 14 12 17 15 1

Düğüm 1,2,3,4,5,6 ve 7 için Yol Ağacı

3 16 2 4 5 6 7 35 9 22 14 19 8 25 14 12 17 15 1

(6)

Kablo TV Şebekesi için En Kısa Yol Ağacı

3 2 4 5 6 7 9 14 8 14 12 15 1 1. Başlangıç düğümü seçilir.

2. Yol ağacı oluşturmak için başlangıç düğümüne en yakın düğüm seçilir.

3. Yol ağacında bulunmayan en kısa mesafeye sahip düğüm seçilir.

4. Tüm düğümler yol ağacı içerisinde yer alacak şekilde 3 ncü adım tekrarlanır.

(7)

Maksimum Akış Problemi

 Şebekede akışı sağlayan bir kaynak düğümü ile

şebeke akışının yığıldığı bir nihai düğüm bulunur.  Böylece n-2 adet ara düğüm vardır denilebilir. Her

düğümde; düğüme gelen akış ile düğümden çıkan akışbirbirine eşit olarak kabul edilir.

 “i” düğümü ile “j” düğümünü bağlayan okun akış

kapasitesi C_ij olup, benzer şekilde “j” düğümü ile “i” düğümü arasındaki okun akış kapasitesi Cij’dir.

 Amaç: Herhangi bir ok üzerindeki kapasiteyi aşmadan,

düğüm 1’den çıkan ve düğüm n’e gelen; mümkün olan toplam maksimum akış miktarının tespitidir.

United Kimya Şirketi

Zehirli kimyasal maddelerin güvenli atık alanına deşarj edilmesini sağlayacak tahmini bir süre sağlayarak hangi vanaların açılacağını hangilerinin açılmayacağını ortaya koyan bir plan yapılmaktadır.

Nakli Yapan Naklin Yapıldığı Silo

Kim.Silo 2 3 4 5 6 Emniyet Silosu

Kimyasal Silo - 10 10 - - - -2 - - 1 8 - 6 -3 - 1 - - 12 4 -4 - - - 3 7 5 - - - 2 8 6 - - 4 3 2 - -Emniyet Silo - - - -Boruların Kapasitesi (1000 lt./dk.)

(8)

Problemin Üç Boyutlu (3D) Görünümü

Kimyasal Silo Emniyet

Silosu Üretim Alanları Silo kapasitesi 100,000 lt. 2 3 4 5 6 CD ST Şebekenin Tepeden Görünümü (2D) 10 10 0 0 8 0 0 0 0 0 0 6 1 1 ₄ 4 2 2 12 8 2 Düğüm 2’den düğüm 4’e olan akış kapasitesi *1000 lt/dk.

Düğüm 4’den düğüm 2’ye olan akış kapasitesi *1000 lt/dk. 7 1 2 3 4 5 6 7 3 3

(9)

1-2-4-7 Nolu Düğümlere Olan Akışlar

3 10 7 0 1 7 0 7 0 0 0 6 1 1 ₄ 4 2 2 12 8 2 0 1 2 3 4 5 6 7 3 3 7 7 7 7 7

2 8 0 0 8 8 6 1 1 ₄ 4 2 2 4 0 2 1 2 3 4 5 6 7 3 3 7 7 7 8 8 8 15 15 3 7 1 7 7 0

(10)

0 2 6 1 1 ₂ 2 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 3 3 7 7 7 8 8 10 17 17 2 2 0 10 8 8 4 0 3 7 1 7 7 0

Otoyol Şebekesinin Tepeden Görünümü (2D) 6 7 0 0 8 0 5 ₀0 0 3 2 0 2 6 3 Düğüm 2’den düğüm 5’e olan araç akışı *1000 adet

Düğüm 5’den düğüm 2’ye olan araç akışı*1000 adet

4 1 2 3 5 4 6 4

(11)

Otoyol Şebekesinin Tepeden Görünümü (2D) 6 7 0 0 8 0 5 ₀0 0 3 2 0 2 6 3 4 1 2 3 5 4 6 4 4 4 4

Otoyol Şebekesinin Tepeden Görünümü (2D) 2 7 4 0 4 4 5 ₀4 0 3 2 0 2 6 3 0 1 2 3 5 4 6 4 4 4 4 4

(12)

Otoyol Şebekesinin Tepeden Görünümü (2D) 2 7 4 0 4 4 5 ₀4 0 3 2 0 2 6 3 0 1 2 3 5 4 6 4 4 4 4

Otoyol Şebekesinin Tepeden Görünümü (2D) 2 7 4 0 4 4 1 ₄4 0 3 2 4 2 6 3 0 1 2 3 5 4 6 0 4 4 8

(13)

(14)

Otoyol Şebekesinin Tepeden Görünümü (2D) 2 7 4 0 4 4 1 ₄4 0 3 2 4 2 6 3 0 1 2 3 5 4 6 0 1 1 14 1

Otoyol Şebekesinin Tepeden Görünümü (2D) 2 0 4 1 4 4 0 ₅4 0 3 1 4 1 6 3 0 1 2 3 5 4 6 0 1 1 15 1

(15)

1. Şebekenin başından sonuna kadar olan yollardan bir tanesi rastgele seçilir.

2. Her düğümdeki kapasitelerde; adım 1’de seçilen yoldaki maksimum akış miktarı çıkartılarak gerekli ayarlama yapılır.

3. Akışa ters yönlü yol üzerindeki her düğüme maksimum akış miktarı ilave edilir.

4. Hiç akış kapasitesi olan yol kalmayacak şekilde 1, 2 ve 3 ncü adımlar terkarlanır.

Maksimum Akış Çözümü

Yaklaşımı

United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı

6 7 0 0 8 0 5 ₀0 0 3 2 0 2 6 3 4 1 2 3 5 4 6 4

(16)

6 7 0 0 0 1 2 3 4 4 Düğüm 1 için ; X₆₁= X₁₂+ X₁₃ + X₁₄ X61- X12 - X13 - X14= 0

6 0 8 0 3 0 1 2 5 4 4 Düğüm 2 için ; X₁₂= X₂₄+ X₂₅ X₁₂- X₂₄ - X₂₅ = 0

(17)

7 0 0 2 2 6 1 3 4 6 Düğüm 3 için ; X₁₃= X₃₄+ X₃₆ X₁₃- X₃₄ - X₃₆ = 0

5 ₀ 2 0 2 3 1 2 3 4 6 4 Düğüm 4 için ; X14+ X24+ X34 = X46 X₁₄+ X₂₄+ X₃₄ - X₄₆ = 0

(18)

8 0 0 4 2 5 6 Düğüm 5 için ; X₂₅= X₅₆ X25- X56 = 0

5 ₀0 0 6 4 3 5 4 6 Düğüm 6 için ; X₃₆+ X₄₆+ X₅₆= X₆₁ X₃₆ + X₄₆+ X₅₆- X₆₁ = 0

(19)

6 7 0 0 8 0 5 ₀0 0 3 2 0 2 6 3 4 1 2 3 5 4 6 4 X₁₂≤ 6 X₁₄≤ 4 X₁₃≤ 7 X34 ≤ 2 X₂₅≤ 8 X24 ≤ 3 X₄₆≤ 5 X₅₆≤ 4 X₃₆≤ 6 X₆₁≤ 15 X_İJ≥ 0 ve tamsayı

 Maksimum akışın değeri = Minimum

kesmedeki kapasitelerin toplamı

 Minimum kesmedeki tüm okların

maksimum akış ile doldurulması gerekir.

Maksimum Akış / Minimum

Kesme Teoremi

(20)

Mevcut Akışın Üç Boyutlu Görünümü Kimyasal Silo

10 10

Maksimum Akış / Minimum Kesme Teoremi 10 10 0 0 8 0 0 0 0 0 0 6 1 1 ₄ 4 2 2 12 8 2 7 1 2 3 4 5 6 7 3 3

Bu kesmedeki maksimum akış 10 + 10 = 20

(21)

41 Prof. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 10 10 0 0 8 0 0 0 0 0 0 6 1 1 ₄ 4 2 2 12 8 2 7 1 2 3 4 5 6 7 3 3

Bu kesmeki maksimum akış 10 + 1 + 6 + 3 + 7 = 27

Maksimum Akış / Minimum Kesme Teoremi 10 10 0 0 8 0 0 0 0 0 0 6 1 1 ₄ 4 2 2 12 8 2 7 1 2 3 4 5 6 7 3 3 Bu kesmedeki maksimum akış 7 + 2 + 8 = 17

Maksimum Akış / Minimum Kesme Teoremi

(22)

Özel Durumlar : Çoklu Kaynak ve Çoklu Hedef

8 1 2 3 4 7 3 6 0 0 0 0 8 1 2 3 4 7 3 6 0 0 0 0 S _K 15 9 0 0 0 0 11 13