SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

(1)

9. S INIF

(2)

SONUÇ YAYINLARI

9. Sınıf Kümeler

Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması

ve depolanması yasaktır.

Bu kitabın tüm hakları, Etkin Sonuç Yayıncılık Mat. Dağ. Eğt. San. Tic. Ltd. Şti.'ne aittir.

Baskı Tarihi Ağustos – 2013

Baskı – Cilt Tuna Matbaacılık A.Ş.

Bahçekapı Mahallesi 2460. Sokak Nu.:7 06370 Şaşmaz / ANKARA Tel: (0 312) 278 34 84 (pbx)

Belgeç: (0 312) 278 30 46 www.tunamatbaacilik.com.tr

Dizgi – Grafik Sonuç Yayınları Dizgi Birimi

Ana Dağıtım

Necatibey Cad. Oyak İş Merkezi 51/19 Çankaya / ANKARA

Tel: (0 312) 229 02 81

Cep: (0 533) 215 06 84

(3)

KÜME KAVRAMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER

... 5

ALT KÜME

... 11

KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ

... 20

KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMAN SAYISINI BULMA

... 25

TÜMLEYEN

... 32

İKİ KÜMENİN FARKI

... 37

KÜME PROBLEMLERİ

... 42

SIRALI İKİLİ VE KARTEZYEN ÇARPIMI

... 52

İ Ç İ N D E K İ L E R

(4)

KÜME KAVRAMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER

... 60 TEST

ALT KÜME

... 62 TEST 1 , TEST 2

KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ

... 66 TEST

KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMAN SAYISINI BULMA

... 68 TEST

TÜMLEYEN

... 70 TEST

İKİ KÜMENİN FARKI

... 72 TEST

KÜME PROBLEMLERİ

... 74 TEST

SIRALI İKİLİ VE KARTEZYEN ÇARPIMI

... 76 TEST

KÜMELER

... 78 KARMA TEST

(5)

1. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtir?

A) Okulumuzdaki zeki kızlar.

B) Bazı haftalar.

C) Haftanın C harfi ile başlayan günleri.

D) Esmer erkekler.

E) Uzun boylu bazı bayanlar.

2. Aşağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez?

A) 13 ten küçük 2 tane asal sayı.

B) x ten büyük asal sayılar.

C) M harfiyle başlayan aylar.

D) – 3 ile 13 arasındaki doğal sayılar.

E) 76 dan büyük iki basamaklı çift doğal sayılar.

3. I. 5 ten küçük rakamlar.

II. Başarılı öğrenciler.

III. En güzel savaş filmleri.

IV. ARABA kelimesindeki harfler.

V. Yazın sıcak günleri.

Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez?

A) Yalnız I B) I ve IV C) II ve III D) III ve IV E) II, III ve V

4. A kümesi " 1976 sayısındaki rakamlar" cüm- lesinin belirttiği küme olmak üzere, aşağıdakiler- den hangisi yanlıştır?

A) 1 ∈ A B) 9 ∈ A C) 76 ∉ A D) 19 ∈ A E) s ( A ) = 4 Kümenin Tanımı

Örnek

I. YGS de barajı geçen öğrenciler.

II. 50 den büyük asal sayılar.

III. Sınıfın güzel kızları.

IV. Ankara'nın ilçeleri.

V. 2013 sayısının rakamları.

Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez?

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) IV ve V

Not 1 : x nesnesi A kümesinin elemanı ise x ∈ A biçiminde gösterilir ve " x , A kümesinin ele- manıdır" şeklinde okunur.

Not 2 : x nesnesi A kümesinin elemanı değil ise, x ∉ A biçiminde gösterilir ve " x , A kümesi- nin elemanı değildir" şeklinde okunur.

Not 3 : A kümesinin eleman sayısı s ( A ) ile gösterilir.

Çözüm

Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye küme denir.

Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir.

Kümeler A, B, C, … gibi büyük harflerle gösterilir.

"Sınıfın güzel kızları" cümlesi iyi tanımlı olmadığı için küme belirtmez. Çünkü güzellik tanımı herkes için aynı değildir.

I. , II. , IV. ve V. seçenekler ise belirli elemanları içer- mektedir. Yani birer küme belirtir.

Cevap B

TEST - 1

sonuç yayınları

1. C 2. B 3. E 4. D

(6)

1. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) BURSA kelimesindeki harflerin kümesi { B, U, R, S, A } dır.

B) 49652 sayısındaki rakamların kümesi { 2, 4, 5, 6, 9 } dur.

C) MARMARA kelimesindeki harflerin kümesi { M, A, R } dır.

D) MAKAS kelimesindeki harflerin kümesi { M, A, K, A, S } tır.

E) 1000 sayısındaki rakamların kümesi { 0,1 } dir.

2. A = { a, b, { c, d }, { d } } kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

3. A = { 3, 4, { 5, 6, 7 }, 8 }

kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) 3 ∈ A B) { 3, 4 } ∈ A

C) s ( A ) = 4 D) 8 ∈ A E) A = {{ 5, 6, 7 }, 3, 8, 4 }

İpucu : Kümenin elemanlarının yerini değiştirmek, kümeyi de- ğiştirmez.

4. A = { s, n, { ç, o }, o, u }

A) { o } ∉ A B) s ∈ A C) { ç, o } ∈ A D) s ( A ) = 5

E) { ç } ∈ A Kümelerin Gösterimi - I

Örnek

A = { 1, 2, { 3, 4 }, 5 }

A) 1 ∈ A B) { 3, 4 } ∈ A C) 4 ∉ A D) s ( A ) = 4 E) 3 ∈ A

Kümenin her bir elemanının, aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolü içine yazılmasına liste yöntemiy- le gösterim denir.

➣

Kümede her eleman bir kere yazılır.

➣

Kümedeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.

Çözüm

A kümesinin elemanlarından biri 1 dir. Bu durumda 1 ∈ A dır.

A kümesinin elemanlarından bir diğeri de { 3, 4 } tür.

Bu durumda { 3, 4 } ∈ A dır.

A kümesinin elemanları içinde 4 yoktur. Bu durumda 4 ∉ A dır.

A kümesinin elemanları 1, 2, { 3, 4 }, 5 olduğundan A kümesinin eleman sayısı 4 tür.

A kümesinde 3 elemanı yoktur.

Dolayısıyla 3 ∉ A dır.

Cevap E

TEST - 2

1. D 2. B 3. B 4. E

(7)

1. A = { x : – 4 < x < 3 , x ∈ Z⁺ }

kümesinin Venn Diagramı ile gösterimi aşağıda- kilerden hangisidir?

0

A A

A

1 2

–4 –3

–1 0 1

2 2

1

1 2

3 1

2

A) B)

D) E)

C)

2. A = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }

kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) { x | x bir çift sayı } B) { x | x bir çift sayı, x ∈ Z⁺ } C) { x | x bir çift sayı , x < 10 } D) { x | x bir çift sayı, x ∈ N }

E) { x | x ≤ 10 , x bir çift sayı, x ∈ N }

3. 23102456

sayısındaki rakamların oluşturduğu B kümesi aşağıdakilerden hangisi ile gösterilemez?

A) B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B) B = { x | x < 7 , x ∈ N⁺ } C) B = { x | 0 ≤ x < 7 , x ∈ Z } D) B = { x | x ≤ 6 , x ∈ N }

E)

B

6 0 2

1 3

4 5

4. A = { x : x < 10 , x bir çift doğal sayı } kümesinin elemanlarının sayısal değerleri topla- mı kaçtır?

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 Kümelerin Gösterimi - II

Örnek

En küçük üç rakamın oluşturduğu kümenin sıra- sıyla Venn şeması yöntemi ve ortak özellik yön- temi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A) ¹ ²

A

3 , B = { x : x < 3 , x ∈ Z⁺ }

B)

A 2 1

3 , B = { x : x < 3 , x ∈ N⁺ }

C)

A

1 0

2 , B = { x : x < 3 , x ∈ N }

D)

A 0 1

2 3 , B = { x : x ≤ 3 , x ∈ N⁺ }

E)

A 1 0

2 , B = { x : x ≤ 3 , x ∈ Z }

Çözüm

1. Venn Şeması ( Venn Diagramı ) Yöntemi :

Kümeyi oluşturan elemanların kapalı bir şekil içine, yanına "

.

" konularak yazılmasıdır.

2. Ortak Özellik ( Genelleme ) Yöntemi :

Kümenin elemanlarının ortak özelliklerinin belirlenerek gösterimidir.

{ x : x elemanlarının ortak özellikleri } veya

{ x | x elemanlarının ortak özellikleri } olarak gösterilir.

A 0 1 2

En küçük üç rakam 0, 1, 2 dir. Bu ele- manların Venn şeması ile gösterimi yandaki şekilde olduğu gibidir.

En küçük üç rakam : B = { x : x < 3 , x ∈ N } veya B = { x | x < 3 , x ∈ N } olarak da gösterilebilir.

Cevap C TEST - 3

1. C 2. E 3. B 4. C

(8)

1. Aşağıdakilerden hangisi sonlu küme belirtir?

A) A = { x : x ≥ 9 , x ∈ Z } B) B = { x : – 3 < x < 4 , x ∈ R⁺ } C) C = { x : x > – 13 , x ∈ Z⁺ } D) D = { x : x < 5 , x ∈ N } E) E = { x : x > 5 , x ∈ N }

2. Aşağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir?

A) A = { x : – 2 < x < 4 , x ∈ N⁺ } B) B = { x : x asal bir rakam }

C) C = { x : x iki basamaklı 5 in katı olan doğal sayılar }

D) D = { – 3, – 2, – 1 }

E) E = { x : x negatif olmayan tam sayılar }

3. Aşağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir?

A) Okulumuzdaki kitaplar.

B) Sınıfımızdaki akvaryumdaki balıklar.

C) Uzaydaki yıldızlar.

D) Okulun otoparkındaki araçlar.

E) Sınıfımızdaki sıralar.

4. Aşağıdakilerden hangisi sonlu bir küme belirtir?

A) A = { x : x asal bir rakam } B) B = { x : x asal bir sayı } C) C = { x : – 1 ≤ x < 3 , x ∈ R } D) D = { x : x çift sayı } E) E = { x : x = 2k + 1, k ∈ Z } Sonlu ve Sonsuz Küme

Örnek

I. A = { x : x < – 2 , x ∈ Z^– } II. B = { x : 1 < x ≤ 4 , x ∈ R } III. C = { . . . , 1, 2, 3, . . . }

Yukarıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonsuz kümedir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III

Çözüm

Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye sonlu küme denir.

Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye sonsuz küme denir.

A = { x : x < – 2 , x ∈ Z^– } kümesi, – 2 den küçük sonsuz çoklukta negatif tam sayı olduğundan sonsuz kümedir.

B = { x : 1 < x ≤ 4 , x ∈ R } kümesi, 1 ile 4 arasındaki reel sayılardan oluşur. Bu aralıkta sonsuz çoklukta reel sayı olduğundan B kümesi sonsuz bir kümedir.

C = { . . . , 1, 2, 3, . . . } kümesinin elemanları bütün tam sayılardır. Sonsuz çoklukta tam sayı olduğundan C kümesi sonsuz bir kümedir.

Cevap E TEST - 4

1. D 2. E 3. C 4. A

(9)

1. Aşağıdakilerden hangisi boş kümedir?

A) A = { x : x + 1 > x , x ∈ N } B) B = { x : x² < x , x ∈ R } C) C = { x : | x – 1 | < 0 , x ∈ R } D) D = { x : – 3 < x ≤ 3 , x ∈ R } E) E = { x : – 5 < x ≤ 0 , x ∈ N }

2. Aşağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir?

A) D = { x | | x | ≥ 0 , x ∈ Z } B) B = { x | 2x – 4 = 0 , x ∈ Z⁺ } C) C = { x | 5x + 7 = 1 , x ∈ R } D) A = { x | x² + 1 < 0 , x ∈ R } E) E = { x | – 9 < x ≤ 0 , x ∈ Z }

3. Aşağıdaki kümelerden hangisi diğerlerinin evrensel kümesi olabilir?

A) { x lisesindeki öğrenciler. }

B) { x lisesindeki 9. sınıf öğrencileri. } C) { x lisesindeki 9 - A sınıfı. }

D) { x lisesindeki 9 - A sınıfının erkek öğrenci- leri. }

E) { x lisesindeki 9 - A sınıfının gözlüklü erkek öğrencileri. }

4. A ve B aynı evrensel kümede bulunan kümeler olmak üzere, s ( A ) = 2 ve s ( B ) = 3 tür.

Buna göre, A ve B kümelerinin evrensel kü- mesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Boş ve Evrensel Küme Örnek

Aşağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir?

A) A = { x : 2x – 3 = 1, x ∈ Z } B) B = { ∅ }

C) C = { x : – 2 < x < – 1 , x ∈ R ⁺ } D) D = { x : x < 2 , x ∈ N } E) E = { 1, 2, 3, . . . }

➣

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } ya da ∅ ile gösterilir.

➣

Üzerinde çalışılan bir konu veya problem için ge- rekli olan bütün elemanları kapsayacak biçimde seçilen kümeye evrensel küme denir ve E harfi ile gösterilir.

Çözüm

A kümesi 2x – 3 = 1 denklemini sağlayan tam sayı- lardan oluşur.

2x – 3 = 1 ⇒ x = 2 dir. Dolayısıyla A kümesinin elemanı olduğundan boş küme değildir.

B kümesi elemanı " ∅ " sembolü olan bir elemanlı bir kümedir.

– 2 < x < – 1 aralığında pozitif reel sayı olmadığı için C kümesi boş kümedir.

0 ve 1 , 2 den küçük doğal sayılar olduğundan D kümesi boş küme değildir.

E kümesi sonsuz elemanlıdır. Dolayısıyla boş küme değildir.

1. C 2. D 3. A 4. A

(10)

Aşağıda verilen boşlukları doldurunuz.

1. Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye ...

denir.

2. Kümeyi oluşturan nesnelerin herbirine kümenin ... denir.

3. A kümesinin eleman sayısı ... ile gösterilir.

4. x, bir A kümesinin elemanı ise x ... A, ele- manı değil ise x ... A şeklinde gösterilir.

5. Kümeleri, ..., ... ve ...

yöntemleri ile gösterebiliriz.

6. Bir kümenin kapalı bir şeklin içine, yanına "."

koyularak gösterilmesine kümenin ... ile gösterimi denir.

7. Bir kümenin elemanlarının aralarında virgül ola- cak şekilde, { } sembolünün içine yazılmasına kümenin ... ile gösterimi denir.

8. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kü- meye ... küme denir.

9. Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye ... küme denir.

10. Hiç elemanı olmayan kümeye ... denir.

... veya ... ile gösterilir.

11. Üzerinde çalışılan konu hakkındaki bütün küme- leri ve elemanları kapsayan kümeye ... denir. Genellikle ... harfi ile gösterilir.

Aşağıdaki ifadelerden doğru olanları D, yanlış olanları Y harfi ile belirtiniz.

1. (…) Bir kümede aynı elemanlar bir kere yazılır.

2. (…) Kümeyi oluşturan elemanların yeri değişirse küme de değişir.

3. (…) Elemanı olmayan kümeye sonsuz küme de- nir.

4. (…) Tam sayılar kümesi sonsuz bir kümedir.

5. (…) " 1 ile 2 arasındaki doğal sayılar" kümesi bir küme belirtmez.

6. (…) A = { a, b, c, {d}, {{d}, e } } ise s( A ) = 5 tir.

7. (…) B = { x | x çift asal sayı } kümesi boş küme belirtir.

8. (…) C = { 9, 12, 15, ... , 42 } ise s ( C ) = 12 dir.

9. (…) KALABALIK kelimesindeki harflerin kümesi A, BALIK kelimesindeki harflerin kümesi B olmak üzere, s ( A ) = s ( B ) dir.

10. (…) " 23 456 sayısındaki rakamlar" cümlesinin , belirttiği küme sonsuz kümedir.

1. D 2. Y 3. Y 4. D 5. Y 6. D 7. Y 8. D 9. D 10. Y

1. küme 2. elemanı 3. s ( A ) 4. ( ∈ , ∉ ) 5. Venn şeması, liste, ortak özellik 6. Venn şeması 7. liste yöntemi 8. sonlu 9. sonsuz 10. boş küme, ∅, { }

11. Evrensel küme, E

(11)

1. A = { 1, 3, { 3, 5 } }

A) { 1 } ⊂ A B) { 3 } ⊂ A C) { 1, 5 } ⊂ A D) 3 ∈ A E) { { 3, 5 } } ⊂ A

2. A = { 1, 2, 3, { 3, 2 } }

A) { 3, 2 } ∈ A B) { 3 } ⊂ A C) { 3, 2 } ⊂ A D) { 2, 1 } ⊂ A

E) A ⊂ { 1, 2, 3 }

3. ^A

B o

a e

u

ö Yandaki şemaya göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) { a, e } ⊂ B B) {o, ö, u } ⊂ A C) B ⊂ A D) { a, B } ⊂ A

E) { a, e, o, ö, u } ⊂ A

4. A = { x | x bir rakam } B = { x | 4 < x ≤ 7, x ∈ N } C = { x | – 1 < x < 13, x ∈ Z } D = { x | x < 23, x ∈ Z }

kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) C ⊂ B B) D ⊂ B C) D ⊂ A D) D ⊂ C E) A ⊂ C Alt Küme - I

Örnek

A = { a, b, { b, c }, d }

A) { b, c } ∈ A B) { d } ⊂ A C) { c } ⊂ A D) ∅ ⊂ A E) {b, { b, c } } ⊂ A

Not 1 : Her küme kendisinin alt kümesidir. ( A ⊂ A ) Not 2 : Boş küme her kümenin alt kümesidir. ( ∅ ⊂ A )

Çözüm

A ve B herhangi iki küme olsun.

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A kümesine, B kümesinin alt kümesi denir ve A ⊂ B ile gösterilir.

A şıkkında { b, c } ∈ A ifadesi doğrudur.

B şıkkında d ∈ A olduğu için { d } ⊂ A dır.

D şıkkında ∅ ⊂ A doğrudur.

E şıkkında b, { b, c } ∈ A olduğu için { b, { b, c } } ⊂ A doğrudur.

C şıkkında c ∉ A olduğu için { c } ⊂ A ifadesi yanlıştır.

Cevap C

TEST - 6

1. C 2. E 3. D 4. E

(12)

1.

Küme Alt Kümeleri Alt Küme

Sayısı

A = { a, b, c }

0 elemanlı 1 elemanlı 2 elemanlı 3 elemanlı 4 elemanlı

Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz.

2.

Küme Alt Kümeleri

Kümenin Eleman

Sayısı

Alt Küme Sayısı

A = { } B = { 1 } C = { 1, 2 } D = { 1, 2, 3 }

Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz.

Alt Küme - II Örnek

Küme Eleman Sayısı Alt Kümeleri Alt Küme

Sayısı

A = { a, b, c, d }

0 elemanlı 1 elemanlı 2 elemanlı 3 elemanlı 4 elemanlı

Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz.

Çözüm

0 elemanlı : Bir kümenin hiç elemanı olmayan tek alt kümesi boş kümedir. { }

Sıfır elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir.

1 elemanlı : Her bir elemanı tek tek seçersek;

{ a } , { b } , { c } ve { d }

Bir elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir.

2 elemanlı : Elemanları ikişer ikişer seçersek;

{ a, b }, { a, c }, { a, d }, { b, c }, { b, d }, { c, d } İki elemanlı alt küme sayısı 6 tanedir.

3 elemanlı : Elemanları üçer üçer seçersek;

{ a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d } Üç elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir.

4 elemanlı : Dört elemanı da seçersek; { a, b, c, d } Dört elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir.

TEST - 7

Küme Alt Kümeleri Alt Küme

Sayısı

A = { a, b, c }

0 elemanlı { } 1

1 elemanlı { a }, { b }, { c } 3 2 elemanlı { a, b }, { a, c }, { b, c } 3

3 elemanlı { a, b, c } 1

Küme Alt Kümeleri

Kümenin Eleman

Sayısı

Alt Küme Sayısı

A = { } { } 0 2⁰ = 1

B = { 1 } { }, { 1 } 1 2¹ = 2

C = { 1, 2 } { }, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 } 2 2² = 4

D = { 1, 2, 3 } { }, { 1 }, { 2 }, { 1, 2 },

{ 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 } 3 2³ = 8

(13)

1. A = { x : x asal rakam } kümesinin alt küme sayısı kaçtır?

A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128

2. A = { x | – 3 ≤ x < 7 , x ∈ N } kümesinin alt küme sayısı kaçtır?

A) 32 B) 63 C) 64 D) 127 E) 128

3. A = { a, b, c, d }

kümesinin, kuvvet kümesinin eleman sayısı A kümesinin eleman sayısının kaç katıdır?

A) 4 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128

İpucu : A kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu küme- ye A kümesinin kuvvet kümesi denir.

4. Alt küme sayısının, eleman sayısına oranı 3 32 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

5. Alt kümelerinden birisi {a, b, { a, c } } olan bir kü- menin eleman sayısı en az kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. Eleman sayısı 3 arttırıldığında alt küme sayısı 56 artan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Alt Küme - III Örnek

A = { 1, 2, { 1, 2 }, 3 }

kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 18 E) 32

Çözüm s ( A ) = n olmak üzere,

A kümesinin alt küme sayısı : 2ⁿ dir.

Bu durumda,

A = { 1, 2, { 1, 2 }, 3 } ⇒ s ( A ) = 4

⇒ A kümesinin alt küme sayısı : 2⁴ = 16 olur.

Cevap C

TEST - 8

1. B 2. E 3. A 4. E 5. C 6. B

(14)

1. Sesli harflerden oluşan 8 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 21 B) 25 C) 28 D) 30 E) 35

2. A = { x : x² ≤ 16, x ∈ Z }

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 90 B) 84 C) 56 D) 35 E) 20

3. 5 elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 26 B) 24 C) 20 D) 18 E) 14

4. 10 elemanlı bir kümenin en az 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 10 B) 18 C) 19 D) 28 E) 56

5. A = { a, b, c, d, e, f }

kümesinin en çok 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

A) 17 B) 22 C) 27 D) 42 E) 57

6. A = { a, b, c, d, x, y, z }

kümesinin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayı- sı kaçtır?

A) 8 B) 15 C) 29 D) 41 E) 54 Alt Küme - IV

Örnek

A = { a, b, c, d, e } kümesinin,

a) en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

b) en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

➣

n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı

( , )

!. ! C n r n !

r n r r

= = n

d ⁿ _ - i dir.

Çözüm

a) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı :

= C ( 5, 2 ) + C ( 5, 1 ) + C ( 5, 0 )

= ! ! !

!. ! !. ! !. !

5 2 5

5 1 5

5 0 5

2 1 0

- +

_ i _ i _ - i

= 10 + 5 + 1

= 16 olur.

b) En az 3 elemanlı alt küme sayısı :

= C ( 5, 3 ) + C ( 5, 4 ) + C ( 5, 5 )

= ( )!. !

!

( )!. !

!

( )!. !

! 5 3 3

5

5 4 5

5 5

4 5 5

- +

-

= 10 + 5 + 1

= 16 olur.

TEST - 9

1. C 2. B 3. A 4. E 5. D 6. C

(15)

1. A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

boş olan alt küme sayısı ile tüm elemanlarını içe- ren alt küme sayısının toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. Bir kümenin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olduğuna göre, bu küme kaç elemanlıdır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

İpucu : "Not 3" kuralını uygulamaya çalışınız.

3. 7 elemanlı bir kümenin en çok 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 99 B) 100 C) 120 D) 127 E) 128

İpucu : "Not 4" kuralını uygulamaya çalışınız.

4. 7 elemanlı bir kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı ile en az 5 elemanlı alt küme- lerinin sayısının toplamı kaçtır?

A) 29 B) 74 C) 93 D) 108 E) 120

5. Bir kümenin eleman sayısı 3 arttırıldığında alt küme sayısı 112 artıyor.

Buna göre, bu kümenin en az 3 elemanlı alt kü- melerinin sayısı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

6. Bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.

Buna göre, bu kümenin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 17 B) 22 C) 37 D) 42 E) 57 Alt Küme - V

Örnek

8 elemanlı bir kümenin en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 93 B) 149 C) 219 D) 247 E) 256

Not 1 : n n n

0 = =1

c m c m dir.

Not 2 : n n

n n

1 = 1

- =

c m c m dir.

Not 3 : n r

n

k +n r k ya da r k

= = + =

c m c m dır.

Not 4 : n n n ... n

n

0 + 1 + 2 + + = 2ⁿ

c m c m c m c m dir.

Çözüm I. Yol

8 0

8 1

8 2

8 3

8 4

8 5

8

+ + + + + + 6

f p f p f p f p f p f p f p

!. !

!

!. !

!

!. !

!

!. !

!

!. !

!

!. !

!

!. !

! 8 0

8 8 8 8 8 8 8

7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6

= + + + + + +

= 1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28

= 247 olur.

II. Yol

Bütün alt kümelerinin sayısından 7 ve 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı çıkarılır.

2 8

7 8

8 256 8 1 247

8-f p-f p= - - = ^olur.

Cevap D TEST - 10

1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D

(16)

1. A = { 2, a, b, c, 10 }

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde rakam bulunmaz?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24

2. A = { x | – 2 < x ≤ 4 , x ∈ Z }

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde negatif sayı bulunur?

A) 32 B) 16 C) 8 D) 4 E) 2

3. A = { 1, 2, 3, a, b, c, d }

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve a elemanları bulunur?

A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128

4. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 5 elemanları bulunmaz?

A) 56 B) 48 C) 32 D) 16 E) 8

5. A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 4 ele- manı bulunur, 1 elemanı bulunmaz?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

6. A = { a, b, c, d, e }

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b veya d elemanı bulunur?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24

İpucu : Bütün alt kümelerden b ve d nin birlikte bulunmama durumu çıkarılırsa çözüme daha kolay ulaşılır.

Alt Küme - VI Örnek

A = { s, o, n, u, ç }

kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;

a) s elemanı bulunmaz?

b) n elemanı bulunur?

c) s ve n elemanları bulunur?

d) s veya n elemanları bulunur?

e) s elemanı bulunur, n elemanı bulunmaz?

➣

Adı geçen elemanlar kümeden atılır. Geriye kalan elemanlarla oluşturulabilecek alt kümelerin sayısı hesaplanır.

Çözüm

a) s dışındaki 4 elemanla 2⁴ = 16 tane s nin bu- lunmadığı alt küme yazılabilir.

b) n dışındaki 4 elemanla 2⁴ = 16 tane n nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. Bu kümelerin her birine n elemanı eklenirse içinde n elemanı bulunan 16 tane alt küme elde edilir.

c) s ve n dışındaki 3 elemanla 2³ = 8 tane alt küme yazılabilir. s ve n elemanlarını eklediğimiz- de içinde s ve n elemanları bulunan 8 tane alt küme elde edilir.

d) 2⁵ = 32 tane alt kümenin içinden 2³ = 8 tanesinde s ve n elemanları bulunmaz. Geriye kalan 32 – 8 = 24 tane alt kümede s veya n elemanları bulunur.

e) s ve n elemanları dışındaki 3 elemanla yazıla- bilecek 2³ = 8 tane alt kümeye s elemanı eklenirse içinde s elemanının bulunup n elemanının bulunmadığı 8 tane küme elde edilir.

TEST - 11

1. C 2. A 3. C 4. B 5. C 6. E

(17)

1. A = { a, b, c, d, e }

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c elemanı bulunmaz?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

2. A = { a, b, c, d, e, f }

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f elemanı bulunur?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 10 E) 15

3. A = { a, b, c, d, e, f, g, h }

kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde e ve f elemanları birlikte bulunmaz?

A) 36 B) 20 C) 16 D) 10 E) 6

4. A = { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8 }

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 8 elemanı bulunur, 3 elemanı bulunmaz?

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 35

5. A = { x : x bir rakam }

kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 7 elemanları bulunur?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 28 E) 56

6. A = { a, b, c, d, 1, 2, 3 }

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya 3 elemanı bulunur?

A) 30 B) 28 C) 24 D) 21 E) 20 Alt Küme - VII

Örnek

A = { a, b, c, d, e, f, g }

kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur, e elemanı bulunmaz?

A) 5 B) 10 C) 15 D) 30 E) 35

Çözüm

a ve e elemanlarını yok kabul edersek A küme- sinde geriye 5 eleman kalır. Bu 5 elemanın 2 elemanlı alt kümelerinin içine a elemanını eklersek, içinde a elemanı bulunan ama e elemanı bulunma- yan 3 elemanlı alt kümeleri bulmuş oluruz. O halde istenen alt küme sayısı

!. !

!

!. !

! . 5 .

2 5 2 2

5

3 2 5

2 1 5 4 10

= - = = =

f p _ _i ^olur.

Cevap B

TEST - 12

1. A 2. D 3. A 4. A 5. E 6. A

(18)

1. A = { 1, 2, 3 } B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

olduğuna göre, A ⊂ M ⊂ B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır?

A) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 32

2. A = { x : x asal bir rakam } B = { x | 1 ≤ x < 10, x ∈ N }

olduğuna göre, A ⊂ K ⊂ B ve A ≠ K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır?

A) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 31

3. s ( A ) = 3 ve s ( B ) = 8

olduğuna göre, A ⊂ K ⊂ B , A ≠ K ve B ≠ K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır?

A) 30 B) 31 C) 32 D) 63 E) 64

4. A = { a, b, c }

B = { a, b, c, d, e, f, g }

olduğuna göre, B kümesinin 6 elemanlı alt kü- melerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?

A) 4 B) 7 C) 8 D) 15 E) 16

5. s ( A ) = 2 s ( B ) = 10 s ( M ) = 6

olduğuna göre, A ⊂ M ⊂ B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır?

A) 16 B) 21 C) 35 D) 56 E) 70

İpucu : Kümelerin elemanları bellidir.

6. s ( B ) . s ( A ) = 7

olduğuna göre, A ⊂ K ⊂ B ve B ≠ K ve A ≠ K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır?

A) 14 B) 32 C) 62 D) 64 E) 126 Alt Küme - VIII

Örnek

A = {1, 3 } B = {1, 3, 5, 7, 9 }

olduğuna göre, A ⊂ K ⊂ B ve A ≠ K şartını sağ- layan kaç farklı K kümesi vardır?

A) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 20

Çözüm

A ⊂ K ⊂ B ise { 1, 3 } ⊂ K ⊂ {1, 3, 5, 7, 9 } K kümesi {1, 3, 5, 7, 9 } kümesinin alt kümesidir.

Ayrıca 1 ve 3 elemanlarını bulundurmak zorundadır.

{ 1, 3, 5, 7, 9 } kümesinden 1 ve 3 elemanlarını daha sonra dahil etmek üzere alırsak, { 5, 7, 9 } kümesini elde ederiz.

3 elemanlı olan { 5, 7, 9 } kümesinin 2³ = 8 tane alt kümesi vardır. Bu alt kümelerin her birine 1 ve 3 ele- manlarını dahil edersek istenilen kümeleri elde ederiz.

Fakat A ≠ K olduğundan bu kümelerden { 1, 3 } olanını alamayız.

Dolayısıyla istenilen koşula uygun 8 – 1 = 7 farklı K kümesi yazılabilir.

Cevap A

TEST - 13

1. B 2. E 3. A 4. A 5. E 6. C

(19)

1. a ve b birbirinden farklı sayılardır.

A = { 1, a, 5, b, 7 } ve

B = { x | x tek rakam } kümeleri veriliyor.

A = B

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

2. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır.

A = { x | x ≤ 3, x ∈ N } ve

B = { 3, a, b, c } kümeleri veriliyor.

A = B

olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır?

A) 11 B) 9 C) 6 D) 5 E) 3

3. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır.

A = { x | x² < 15 , x ∈ N } ve B = { 3, a, b, c } kümeleri veriliyor.

A ⊂ B ve B ⊂ A

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

İpucu : A ⊂ B ve B ⊂ A ise A = B dir.

4. a, b, c birer rakam olmak üzere,

A B

a 6

7

b c

5

C = { x : 4 < x ≤ 7, x ∈ Z }

Yukarıda verilen A, B ve C kümeleri birbirlerine eşit olduklarına göre, b + c – a ifadesinin değeri kaçtır?

A) 8 B) 4 C) 0 D) – 4 E) – 8 Kümelerin Eşitliği

Örnek

A = {0, 2, 4, 6, 8 },

B = { x : x ≤ 4 , x ∈ N } ve

C = { x : x bir çift rakam } kümeleri veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) s( A ) = s( B ) B) s( B ) = s( C ) C) s( A ) = s( C ) D) A = C

E) B = C

Çözüm

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.

A kümesi, B kümesine eşit ise A = B ile gösterilir.

Bu durumda, A = { 0, 2, 4, 6, 8 }, B = { 0,1, 2, 3, 4 } ve C = { 0, 2, 4, 6, 8 } dir.

A, B ve C kümelerinin eleman sayıları eşittir. Dolayı- sıyla, s ( A ) = s ( B ) = s ( C ) dir.

Ayrıca A kümesi ile C kümesinin elemanları aynı olduğundan A = C dir. Buna göre, B = C ifadesi yanlıştır.

Cevap E

TEST - 14

1. E 2. E 3. C 4. A

(20)

1. A = { a, b, c, d } ve B = { c, d, e }

olduğuna göre, A ∪ B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

a c

b

d e

A) A B

a c

b d

e

B) A B

a c

b d e

D) A ^B

a

c

b d e

E) A ^B

a c

b d

e

C) A B

2. A = { 1, 3, 5 } ve B = { 7, 9 }

olduğuna göre, A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { x : x < 9 , x ∈ N } B) { x : x < 9 , x ∈ Z } C) { x : x tek rakam } D) { x : x asal sayı }

E) { x : x ≤ 9 , x ∈ N⁺ }

3. A = { x : x ≥ 5 , x bir rakam } B = { x : – 1 ≤ x < 6, x ∈ Z }

olduğuna göre, A ∪ B kümesi kaç elemanlıdır?

A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11

4. A = { a, b, c } ve B ∪ C = { c, d, e, f }

olduğuna göre, A ∪ ( B ∪ C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

5. A = { x : x = k , k ∈ N ⁺ } , B = { x : x = – k , k ∈ N⁺ } ve C = { 0 }

olduğuna göre, A ∪ ( B ∪ C ) kümesi aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) N B) Z ^– C) Z⁺

D) Z E) ∅

Kümelerin Birleşimi Örnek

A = { 1, 2, 3 } ve B = { 2, 4, 6, 8 }

olduğuna göre, A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { 1, 2 } B) { 1, 2, 3 } C) { 1, 2, 3, 4 } D) { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }

E) { 1, 2, 3, 4, 6 }

Çözüm

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ile B küme- lerindeki bütün elemanlardan meydana gelen kümeye A birleşim B kümesi denir ve A ∪ B ile gösterilir.

A B



A ∪ B = { x | x ∈ A veya x ∈ B } Bu durumda,

1 2

4 6 3 8

A B A = { 1, 2, 3 } ve B = { 2, 4, 6, 8 } olduğundan,

A ∪ B ={ 1, 2, 3, 4, 6, 8 } dir.

Cevap D TEST - 15

1. B 2. C 3. E 4. A 5. D

(21)

1.

a b

d e f g

c

A B Yandaki şemaya

göre, A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. A = { a, b, { b }, c, d } ve B = { { b }, c, a, { b, d } }

olduğuna göre, A ∩ B kümesi kaç elemanlıdır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

3. A = { x : x bir rakam } ve B = { x : x bir çift sayı }

olduğuna göre, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∅ B) { 2 } C) { 2, 4 } D) { 2, 4, 6 } E) { 0, 2, 4, 6, 8 }

4. A = ( – 2, 1 ) ve B = ( – 3, 2 ]

A) [ – 2, 1 ) B) ( – 2, 1 ) C) ( – 3, 1 ] D) [ – 2, 2 ] E) ∅

Kümelerin Kesişimi Örnek

A = { x : 1 ≤ x < 7 , x ∈ Z } ve B = { x : x tek doğal sayı }

A) { 1, 3, 5 } B) { 3, 5 } C) { 3, 5, 7 } D) { 1, 3, 5, 7 }

E) { 1, 3, 5, 7, 9 }

Çözüm

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ile B kümelerindeki ortak elemanlardan meydana gelen kümeye A kesişim B kümesi denir ve A ∩ B ile gösterilir.

A B

A ∩ B = { x | x ∈ A ve x ∈ B } Bu durumda,

A = { x : 1 ≤ x < 7 , x ∈ Z } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 1, 3, 5, 7, 9, ... }

⇒ A ∩ B = { 1, 3, 5 } bulunur.

Cevap A

TEST - 16

1. A 2. C 3. E 4. B

(22)

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - I

Örnek

A = { a, b, c, d }, B = { b, c, d, e } ve C = { d, e, f, g, h } kümeleri veriliyor. Buna göre,

a) A ∩ A ile A ∪ A kümelerini A kümesi ile b) A ∩ B ile B ∩ A ve A ∪ B ile B ∪ A küme-

lerini

c) A ∩ ( B ∩ C ) ile ( A ∩ B ) ∩ C ve A ∪ ( B ∪ C ) ile ( A ∪ B ) ∪ C kümelerini

d) A ∩ ∅ ile ∅ ve A ∩ ∅ ile A kümelerini karşılaştırınız.

Çözüm

a) A ∩ A = { a, b, c, d } ∩ { a, b, c, d } A ∩ A = { a, b, c, d }

A ∩ A = A dır.

A ∪ A = { a, b, c, d } ∪ { a, b, c, d } A ∪ A = { a, b, c, d }

A ∪ A = A dır.

b) A ∩ B = { a, b, c, d } ∩ { b, c, d, e } A ∩ B = { b, c, d }

B ∩ A = { b, c, d, e } ∩ { a, b, c, d } B ∩ A = { b, c, d } olur.

Dolayısıyla A ∩ B = B ∩ A dır. ( Değişme özelliği )

A ∪ B = { a, b, c, d } ∪ { b, c, d, e } A ∪ B = { a, b, c, d, e } olur.

B ∪ A = { b, c, d, e } ∪ { a, b, c, d } B ∪ A = { a, b, c, d, e } olur.

Dolayısıyla A ∪ B = B ∪ A dır. ( Değişme özelliği )

c) A ∩ ( B ∩ C )

= { a, b, c, d } ∩ b_{ b, c, d, e } ∩ { d, e, f, g, h }i _ il A ∩ ( B ∩ C ) = { a, b, c, d } ∩ { d, e }

A ∩ ( B ∩ C ) = { d } olur.

( A ∩ B ) ∩ C

= b_{ a, b, c, d } ∩ {b, c, d, e }i _ il ∩ { d, e, f, g, h } ( A ∩ B ) ∩ C = { b, c, d } ∩ { d, e, f, g, h } ( A ∩ B ) ∩ C = { d } olur.

Dolayısıyla A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C dir.

Birleflme Özelli€i

1444444442444444443

A ∪ ( B ∪ C )

= { a, b, c, d } ∪ b_{ b, c, d, e } ∪ { d, e, f, g, h }i _ il A ∪ ( B ∪ C ) = { a, b, c, d } ∪ { b, c, d, e, f, g, h } A ∪ ( B ∪ C ) = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur.

( A ∪ B ) ∪ C

= b_{ a, b, c, d } ∪ {b, c, d, e }i _ il ∪ { d, e, f, g, h } ( A ∪ B ) ∪ C = { a, b, c, d, e } ∪ { d, e, f, g, h } ( A ∪ B ) ∪ C = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur.

Dolayısıyla A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C dir.

Birleflme Özelli€i

14444444244444443

d) A ∩ ∅ = { a, b, c, d } ∩ { } A ∩ ∅ = { }

A ∩ ∅ = ∅ dir.

A ∪ ∅ = { a, b, c, d } ∪ { } A ∪ ∅ = { a, b, c, d } A ∪ ∅ = A dır.

(23)

1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) A ∪ A = A B) A ∪ ∅ = A

C) ∅ ∪ ∅ = { ∅ } D) A ∪ B = B ∪ A E) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C

2. A = { x | x bir rakam } ve B { x | x² < 20 , x ∈ Z }

olmak üzere, A ∩ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { 1, 2, 3 } B) { 1, 2, 3, 4 } C) { 0, 1, 2, 3 } D) { 0, 1, 2, 3, 4 }

E) { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 }

A) A ∩ A = A B) A ∩ ∅ = A C) A ∩ B = B ∩ A

D) ( A ∩ A ) ∩ ( ∅ ∩ ∅ ) = ∅ E) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

4. A = { x : – 3 ≤ x < 2 , x ∈ Z } ve B = ( 1, 5]

A) [ 1, 2 ] B) [ 1, 2 ) C) { 1 } D) { – 1, 0, 1 }

E) ∅ Örnek

A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üze- re aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) A ∩ A = A

B) ( A ∩ A ) ∩ ( B ∩ ∅ ) = ∅ C) A ∩ B = B ∩ A

D) A ∪ ∅ = A E) A ∩ ∅ = A

Not 1 : A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A A ∪ B = B ∪ A

A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C Not 2 : A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅

A ∩ B = B ∩ A

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

A ve B iki küme olmak üzere, A ∩ B = ∅ ise A ile B kümelerine ayrık kümeler denir. Kısaca, ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

Çözüm

E şıkkında A ∩ ∅ = A olarak verilmiştir.

A ∩ ∅ = ∅ olduğundan E şıkkı yanlıştır.

Cevap E

TEST - 17

1. C 2. D 3. B 4. E Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin

Özellikleri - II

(24)

1. A ∩ B = { 1, 3, 5 } A ∩ C = { 0, 2, 4, 5 }

olduğuna göre, A ∩ ( B ∪ C ) kümesi aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) ∅ B) { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C) { 2, 0, 4 } D) { 5 }

E) {1, 3, 5 }

2.

a

d e

b c

g f

A B

C

Yandaki şemaya göre, ( A ∪ B ) ∩ C kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { e, d } B) { d } C) { e, d, f } D) { b, e, d } E) { a, b, d, e, f }

3. A ∪ C = { x : 2 < x ≤ 4 , x ∈ Z } B ∪ C = { x : x < 3 , x ∈ N }

olduğuna göre, ( A ∩ B ) ∪ C kümesi aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) ∅ B) { 0 } C) { 1 }

D) { 0, 1, 2 } E) N

4. ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) A ∪ C B) A ∪ ( B ∩ C ) C) ( A ∩ B ) ∪ C D) ( B ∪ C ) ∩ A

E) B ∩ ( A ∪ C )

5. A ∪ B = ( – 3, 5 ) A ∪ C = [ – 4, 3 )

olduğuna göre, A ∪ ( B ∩ C ) kümesi aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) ( 3, 5 ) B) ( – 4, 3 ] C) [ –3, 5 ) D) ( – 3, 3 ) E) ( – 3, 3 ] Kümelerde Birleşme ve Kesişme İşlemlerinin

Birbirleri Üzerine Dağılma Özelliği Örnek

A ∪ B = { a, b, c, d, e } A ∪ C = { a, e, ı, i }

olduğuna göre, A ∪ ( B ∩ C ) kümesi aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) ∅ B) { a } C) { a, e, ı } D) { a, b, c, d, e, ı, i } E) { a, e }

Çözüm

∩ işleminin ∪ işlemi üzerine dağılma özelliği : A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )

∪ işleminin ∩ işlemi üzerine dağılma özelliği : A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) Bu durumda,

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )

= { a, b, c, d, e } ∩ { a, e, ı, i }

= { a, e } bulunur.

1. B 2. C 3. A 4. B 5. D

(25)

1. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.

s ( A ) = 5 s ( B ) = 7 s ( A ∪ B ) = 10

olduğuna göre, s ( A ∩ B ) kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

s ( A ) = 3 s ( B ) = 2

olduğuna göre, s ( A ∪ B ) kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 5 D) 9 E) 10

A ⊂ B ve s ( A ∪ B ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12

s ( A ) = 4 . s ( A ∩ B ) s ( A ∪ B ) = 10

ve B kümesinin alt küme sayısı 16 olduğuna göre, s ( A ∩ B ) kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

s ( A ) = 2 . s ( B ) = 6 . s ( A ∩ B ) s ( A ∪ B ) = 16

olduğuna göre, s ( B ) kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

3 . s ( A ) = 4 . s ( B ) , s ( A ∩ B ) = 5 ve s ( A ∪ B ) < 25 olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını

Bulma – I Örnek

A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.

s ( A ) = s ( B ) s ( A ∪ B ) = 10 s ( A ∩ B ) = 2

olduğuna göre, s ( A ) kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Çözüm

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s ( A ∪ B ) = s ( A ) + s ( B ) – s ( A ∩ B ) dir.



A B

x – 2 2 x – 2

s ( A ∪ B ) = 10

s ( A ) = s ( B ) = x olsun.

s ( A ∪ B ) = s ( A ) + s ( B ) – s ( A ∩ B ) 10 = x + x – 2 ⇒ x = 6 bulunur.

1. D 2. C 3. D 4. B 5. B 6. C

(26)

1. A ve B iki kümedir.

s ( A ) = 9 s ( B ) = 4

olduğuna göre, s ( A ∪ B ) en çok kaçtır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

2. A ve B iki küme ve A ∩ B ≠ ∅ dır.

s ( A ) = 6 s ( B ) = 5

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

s ( A ∪ B ) = 8

olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) 10

s ( B ) = 13 s ( A ) = 6

olduğuna göre, s ( A ∪ B ) en az kaçtır?

A) 16 B) 15 C) 13 D) 11 E) 10

5. A kümesinin alt küme sayısı 16, B kümesinin alt küme sayısı 4 tür.

Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

6. A ve B iki küme ve B ⊄ A dir.

s ( A ) = 11 s ( B ) = 5

olduğuna göre, s ( A ∪ B ) en az kaçtır?

A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını

Bulma – II Örnek

A ve B ayrık olmayan iki kümedir.

s ( B ) = 6 ve s ( A ) = 7

A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

Çözüm

A ve B ayrık olmayan iki küme ise A ∩ B ≠ ∅ dir.

s ( A ∪ B ) nın değerinin çok olması için s ( A ∩ B ) en az olmalıdır. Yani s ( A ∩ B ) = 1 olmalıdır.

s ( A ∪ B ) = 6 + 1 + 5 = 12 bulunur.



A B

6 1 5

1. D 2. B 3. C 4. C 5. B 6. A

(27)

1. s ( A ) = 7 , s ( B ) = 6 , s ( C ) = 14 , s ( C ∩ A ) = 5 , s ( B ∩ C ) = 4 , s ( A ∩ B ) = 3 ve s ( A ∩ B ∩ C ) = 1

olduğuna göre, s ( A ∪ B ∪ C ) kaçtır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

2. s ( A ∪ B ∪ C ) = 13 , s ( A ) = 9 ,

s ( B ) = 5 , s ( C ) = 6 ,

s ( A ∩ B ) = s ( A ∩ C ) = 4 ve s ( B ∩ C ) = 3

olduğuna göre, A ∩ ( B ∩ C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

3. A ∪ C ve B ayrık kümelerdir.

s ( A ) = 10 , s ( C ) = 4 , s ( B ) = 1 ve s ( A ∩ C ) = 3

olduğuna göre, s ( A ∪ (B ∪ C ) ) kaçtır?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

4. B ve C ayrık kümelerdir.

A ⊂ B , s ( B ) = 5 ve s ( C ) = 4

olduğuna göre, A ∪ ( B ∪ C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

Üç Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma

Örnek

s ( A ∪ B ∪ C ) = 23 , s ( A ) = s ( C ) = 12 , s (B ) = 7 ,

s ( A ∩ C ) = 3 ve s ( A ∩ B ) = s ( B ∩ C ) = 6

olduğuna göre, s ( A ∩ B ∩ C ) kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Çözüm

A, B ve C herhangi üç küme olmak üzere,

s ( A ∪ B ∪ C ) = s ( A ) + s ( B ) + s ( C ) – s ( A ∩ B ) – s ( A ∩ C ) – s ( B ∩ C ) + s ( A ∩ B ∩ C ) dir.

Bu durumda,

23 = 7 + 12 + 12 – 3 – 6 – 6 + s ( A ∩ B ∩ C )

⇒ s ( A ∩ B ∩ C ) = 7 bulunur.

1. C 2. B 3. A 4. E

(28)

1. Matematik ve Türkçe derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduğu 30 kişilik bir sınıfta 23 kişi Matematik dersinden, 18 kişi Türkçe dersinden geçmiştir.

Buna göre, bu sınıfta Matematik ve Türkçe derslerinin ikisinden de geçen kaç kişi vardır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

2. Futbol ve voleybol oyunlarından en az birini oy- nayanların bulunduğu 24 kişilik bir grupta futbol oynayan 15, hem futbol hem voleybol oynayan 7 kişi vardır.

Buna göre, bu grupta voleybol oynayan kaç kişi vardır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

3. Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu bir sınıfta her iki dili de bilen 6 kişi vardır. Fransızca bilenlerin sayısı Alman- ca bilenlerin sayısının 2 katından 12 eksik ve sınıf mevcudu 36 kişi olduğuna göre, bu sınıfta Fransızca bilen kaç kişi vardır?

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

4. Basketbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 48 kişilik bir sınıfta her iki oyunu da oynayanların sayısı basketbol oy- nayanların 51 ine, voleybol oynayanların ise

8 1 sine eşittir.

Buna göre, bu sınıfta voleybol oynayan kaç kişi vardır?

A) 32 B) 28 C) 24 D) 20 E) 16 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını

Bulma Karma – I Örnek

İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 30 kişilik bir turist kafilesinde her iki dili de bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısının 5

2 ine, Almanca bilenlerin sayısının ise

6

1 sına eşittir.

Buna göre, bu kafiledeki İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

Çözüm

İngilizce bilenlerin kümesi İ, Almanca bilenlerin kü- mesi A ve her iki dili de bilenlerin sayısı 2x olsun.

İ A

10x 2x 3x

s ( İ ∩ A ) = 2x ise s ( İ ) = 5x ve s ( A ) = 12x olur.

s ( İ ∪ A ) = 30 dur.

s ( İ ∪ A ) = s ( İ ) + s ( A ) – s ( İ ∩ A ) 30 = 5x + 12x – 2x

⇒ 30 = 15x

⇒ x = 2 olur.

s ( İ ) = 5x ⇒ s ( İ ) = 10 olur.

Cevap A TEST - 22

1. D 2. D 3. E 4. A

(29)

1. Bir lokantada fasulye, pilav ve salatadan en az birini yiyen bir gruptan 18 kişi fasulye, 22 kişi pilav ve 14 kişi de salata yemiştir. Bu gruptaki 10 kişi hem fasulye hem pilav, 6 kişi hem fasulye hem salata, 8 kişi hem pilav hem salata ve 3 kişi de bu üç yemeği de yemiştir.

Buna göre, bu grupta kaç kişi vardır?

A) 21 B) 24 C) 27 D) 30 E) 33

2. Daha önce Almanya, Fransa ve İtalya ülkelerin- den birine gitmiş kişilerin bulunduğu 40 kişi- lik bir topluluktan 20 kişi Almanya'ya, 18 kişi Fransa'ya, 8 kişi Almanya ve Fransa'ya, 7 kişi Almanya ve İtalya'ya, 6 kişi Fransa ve İtalya'ya gitmiştir. Bu gruptaki, 3 kişi bu üç ülkeye de gittiğine göre, İtalya'ya giden kaç kişi vardır?

Bulma Karma – II Örnek

Bir sınıftaki öğrenciler matematik, geometri ve fizik derslerinin en az birinden geçmişlerdir.

Matematikten geçenlerin sayısı 14, geometri- den geçenlerin sayısı 15 ve fizikten geçenlerin sayısı 17 dir.

Matematik ve geometri derslerinden geçenlerin sayısı 5, matematik ve fizik derslerinden geçen- lerin sayısı 6, geometri ve fizik derslerinden ge- çenlerin sayısı 5 ve bu üç dersten de geçenlerin sayısı 2 dir.

Buna göre, bu sınıfta kaç kişi vardır?

A) 32 B) 40 C) 48 D) 54 E) 60

Çözüm I. Yol

Matematik, geometri ve fizik dersinden geçenlerin kü- meleri sırasıyla M, G ve F olsun. Bu durumda s ( M ) = 14, s ( G ) = 15, s ( F ) = 17 s ( M ∩ G ) = 5, s ( M ∩ F ) = 6, s ( G ∩ F ) = 5 ve s ( M ∩ G ∩ F ) = 2 dir.

Buna göre,

s ( M ∪ G ∪ F ) = s ( M ) + s ( G ) + s ( F ) – s ( M ∩ G ) – s ( M ∩ F ) – s ( G ∩ F ) + s ( M ∩ G ∩ F ) s ( M ∪ G ∪ F ) = 14 + 15 + 17 – 5 – 6 – 5 + 2

= 32 olur.

II. Yol

Derslerden geçenlerin kümelerini Venn şeması ile gösterirsek;

M

5 3

3 4 2

8 7

G

F

Sınıftaki öğrencilerin sayısı

= 5 + 3 + 7 + 4 + 2 + 3 + 8

= 32 olur.

Cevap A TEST - 23

1. E 2. A

(30)

1. A = { x : 1 < x ≤ 150, x ∈ Z }

kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ve 4 ile tam bölünür?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

2. A = { x | 20 < x < 130, x = 3k, x ∈ Z } B = { x | 12 < x < 124, x = 5k, x ∈ Z } kümeleri veriliyor.

Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 43 B) 46 C) 52 D) 53 E) 57

3. A = { x : 15 < x ≤ 240, x ∈ Z }

kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür?

A) 64 B) 68 C) 72 D) 75 E) 76

4. A = { x : 20 < x < 245, x ∈ Z }

kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile bölü- nür fakat 4 ile bölünmez?

Bulma Karma – III Örnek

A = { x | x < 75 , x = 3k, k ∈ Z ⁺ } ve B = { x | x < 100 , x = 4k, k ∈ Z ⁺ } kümeleri veriliyor.

Buna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 37 B) 42 C) 43 D) 45 E) 48

Not : Terim Sayısı =

Art›fl Miktar›

o ‹l

S n Terim k Terim - 1

+

Çözüm

A kümesi 75 ten küçük ve 3 ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor.

A = { 3, 6, 9, … , 72 } , s A 3

72 3 1 24

= -

+ =

_ i olur.

B kümesi 100 den küçük ve 4 ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor.

B = { 4, 8, 12, … , 96 } , s B 4

96 4 1 24

= -

+ =

_ i olur.

A ∩ B kümesinin elemanları

OKEK ( 3, 4 ) = 12 nin katlarından oluşur.

A ∩ B = { 12, 24, 36, … , 72 } s ( A ∩ B ) = 12

72 12

1 6

- + = olur.

s ( A ∪ B ) = s ( A ) + s ( B ) – s ( A ∩ B )

= 24 + 24 – 6

= 42 olur.

Cevap B

TEST - 24

1. D 2. C 3. E 4. B

(31)

1. A ∩ ( B ∪ C ) = { 1, 2, 3, a, b, c } ve A ∩ B = { 1, 2, 3, a }

kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∩ C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. A ∪ B = { x, y, z, a, b, c } ve A = { a, b, c }

olduğuna göre, kaç farklı B kümesi yazılabilir?

A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

3. A = { a, b, c, d} ve B = { a, b, c, d, e, f, g }

kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

4. A ⊄ B , A ∩ B ≠ ∅ , s ( A ) = 8 ve s ( B ) = 13

olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

A) 5 B) 8 C) 11 D) 14 E) 20

Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma – IV

Örnek

A ∩ ( B ∪ C ) = { a, b, c, d, e } ve A ∩ B = { c, d }

kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∩ C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Çözüm

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) { a, b, c, d, e } = { c, d } ∪ ( A ∩ C )

olduğundan A ∩ C kümesinde a, b ve e elemanla- rı bulunmak zorundadır. Bundan dolayı

s ( A ∩ C ) en az 3 olur.

Cevap C

Örnek

A ∪ B = { a, b, c, d, x, y, z } ve B = { a, b, x, y }

olduğuna göre, kaç farklı A kümesi yazılabilir?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

Çözüm

A ∪ B = A ∪ { a, b, x, y }

{ a, b, c, d, x, y, z } = A ∪ { a, b, x, y } dir.

A kümesinde c, d ve z elemanları kesinlikle bulunmak zorundadır. Bu elemanların yanına B kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilecek herhangi bir alt küme- nin elemanlarını ekleyebiliriz. s ( B ) = 4 olduğundan 2⁴ = 16 farklı alt küme vardır.

Dolayısıyla 16 farklı A kümesi yazılabilir.

Cevap D

TEST - 25

1. B 2. B 3. C 4. D

(32)

1.

A E

B

b a

z x

y 2

1

Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakiler- den hangisi yanlıştır?

A) E = { a, b, x, y, z, 1, 2 } B) A = { a, b, x, y, z } C) A' = { 1, 2 } D) B' = { x, y, z } E) B = { a, b }

2.

A B

E

5 4 6 1 23 0

7

8 9

Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, A' ∩ B kü- mesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) { 4, 5, 6, 7 } B) { 4 } C) { 5, 6, 7, 8, 9 } D) { 8, 9 }

E) { 5, 6, 7 } Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - I

Örnek

A kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesidir.

E = { x : x bir harf } A = { x : x bir sessiz harf }

olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni aşağıda- kilerden hangisidir?

A) { a, e } B) { a, e, ı, i }

C) { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } D) { o, ö, u }

E) { o, i, ü, a }

Çözüm

A E

B Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan, boş kümeden farklı kümeye evrensel küme denir.

A ⊂ E , B ⊂ E , ( A ∪ B ) ⊂ E

E evrensel bir küme ve A ⊂ E olsun.

E A

A = { x | x ∉ A ve x ∈ E }

Evrensel kümede olan fakat A kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve A' ya da

A ile gösterilir.

Bu durumda,

E = { x : x bir harf } = { a, b, c, ..., z }

A = { x : x bir sessiz harf } = { b, c, ç, d, ..., z } dir.

Buna göre, A' kümesinde yalnızca sesli harfler bulunur. A' = { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } olur.

1. D 2. E

(33)

1. A kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere,

A E, ^ı, A E+ +E

_ _

b i il

< F

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) A B) A' C) ∅ D) E E) Hiçbiri

2. A kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere,

' '

A A, + Q +A^{ı ı}

_ i _ i

: D

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit değildir?

A) A B) A ∪ ∅ C) A ∩ E

D) A ∩ ∅ ' E) A' ∩ E

3. A ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kü- mesi ve A ⊂ B dir. Buna göre,

' ' ' ' ' '

A +B + A ,B + A B+ + A +B

_ _

b i il b_ i _ il

A) A ∪ B' B) A' ∩ B C) A ∩ B

D) ∅ E) E

A) Evrensel kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi boş kümedir.

B) Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümedir.

C) Boş kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesi- şimi o kümenin kendisine eşittir.

D) Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi evrensel kümedir.

E) Boş kümenin tümleyeninin tümleyeni boş kü- medir.

Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - II Örnek

E evrensel küme olmak üzere,

' '

A A, +A ^ı+ A A+ ,A

_ i _ i

: D : D

A) A B) A' C) ∅ D) E E) Hiçbiri

a) A ∪ E = E b) A ∩ E = A c) A ∪ A' = E d) A ∩ A' = ∅

e) E' = ∅ f) ∅' = E

g) (A')' = A h) A ⊂ B ⇔ B' ⊂ A'

Çözüm

' A A,

Q

_ i

> A

A _ ,i

< A

A _ i ' ;

A A E

_ , i

>A A, ' +A ^ı+ A A+ ' ,A = E+A ^ı+ Q,A

_ i _ i

: D : D 7 A 7 A

= A' ∩ A

= ∅ olur.

1. A 2. E 3. D 4. D