Lineer pozitif operatörlerin farkları

T.C.

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ

LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN FARKLARI

MERVE NUR ERSÖZ

HAZİRAN 2017

Matematik Anabilim Dalında MERVE NUR ERSÖZ tarafından hazırlanan LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN FARKLARI adlı Yüksek Lisans Tezinin Anabilim Dalı standartlarına uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr. Kerim KOCA Anabilim Dalı Başkanı

Bu tezi okuduğumu ve tezin Yüksek Lisans Tezi olarak bütün gereklilikleri yerine getirdiğini onaylarım.

Prof. Dr. Ali ARAL Danışman

Jüri Üyeleri

Başkan : ___________________

Üye (Danışman) : ___________________

Üye :___________________

……/…../…….

Bu tez ile Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onaylamıştır.

Prof. Dr. Mustafa YİĞİTOĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

i ÖZET

LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN FARKLARI

ERSÖZ, Merve Nur Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Matematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans Tezi Danışman: Prof. Dr. Ali ARAL

Haziran 2017, 67 sayfa

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde yapılan çalışmalar ve tezin genel amacı hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde ise bazı temel tanımlar, kavramlar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde pozitif lineer operatörler ile ilgili bazı genel eşitsizliklere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde pozitif lineer operatörlerin yaklaşım özellikleri incelenerek bu operatörlerin yaklaşım hızları süreklilik modülü yardımıyla elde edilmiştir. Ayrıca bu operatörler için bir Voronovskaja-tipli sonuç verilmiştir. Beşinci bölüm ise tartışma ve sonuç kısmına ayrılmıştır.

Anahtar Kelimeler: Lineer Pozitif Operatörler, Süreklilik Modülü, K-Fonksiyoneli, Hölder Eşitsizliği, Yaklaşım Hızı, Bernstein Operatörleri,

Voronovskaja-tip Formülü

ii

ABSTRACT

ON DIFFERENCES OF LINEAR POSITIVE OPERATORS

ERSÖZ, Merve Nur Kırıkkale University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics, M. Sc. Thesis

Supervisor: Prof. Dr. Ali ARAL June 2017, 67 pages

This thesis consists of five parts. In the first part, it has given information about the overall purpose of the study and thesis. In the second chapter, some fundemental definitions, concepts and theorems are given. In the third chapter, we give some inequalities for the differences of linear positive operators. In the fourth chapter, we investigate approximation properties for the some linear positive operators. Rate of convergence of them are given with modulus of continuity. The fifth chapter is a seperate part of the discussion and results.

Key words: Linear Positive Operators, A Modulus of Continuity, K- Functional, Hölder Inequality, Approximation Rate, Bernstein-type operators, Voronovskaja-type Formula

iii TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca; hem bilimsel hem de manevi olarak destek olan; insanî değerleri ile de örnek edindiğim, yanında çalışmaktan onur duyduğum; ayrıca tecrübelerinden yararlanırken göstermiş olduğu hoşgörü ve sabırdan dolayı değerli tez danışmanım Sayın Prof. Dr. Ali ARAL’ a, çalışmalarım esnasında beni daima destekleyen Kırıkkale Üniversitesi Matematik Bölümündeki değerli hocalarıma, son olarak maddi ve manevi her zaman bana destek olan, bugünlere gelmemde büyük fedakârlıklar gösteren başta annem olmak üzere tüm aileme teşekkürü bir borç bilirim.

iv

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

Sayfa

ÖZET ... i

ABSTRACT ... ii

TEŞEKKÜR ... iii

İÇİNDEKİLER DİZİNİ ………... iv

SİMGELER DİZİNİ ………... ... v

1. GİRİŞ ………. 1

1.1. Kaynak Özetleri……….. 3

1.2. Çalışmanın Amacı ……….. 3

2. TEMEL TANIMLAR VE KAVRAMLAR ………. ... 4

2.1. Lineer Pozitif Operatörler ………. 4

2.2. Süreklilik Modülü …...………...….…...………...….……...……….... 8

2.2.1. Süreklilik Modülü ve K- Fonksiyoneli Arasındaki İlişki……….... 11

3. OPERATÖRLERİN FARKLARI İÇİN GENEL EŞİTSİZLİKLER …... 18

3.1. Giriş ………..…….. 18

3.2. Lineer Pozitif Operatörler İçin Hölder Eşitsizliği ……… 22

4. POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM……… 26

4.1. Vorovskaja Teoreminin Bernstein Tipi Operatörlere Uygulaması……… 26

4.2. Bazı Temel Operatörler ve Momentleri ………... 33

4.2.1. Momentler Hakkında Ek Açıklamalar………..……….. 52

5. TARTIŞMA VE SONUÇ……….. 57

KAYNAKLAR ………. 58

v

SİMGELER DİZİNİ

ℕ Doğal sayılar kümesi ℝ Reel sayılar kümesi

𝐿( 𝑓 ; 𝑥) 𝐿 operatörünün 𝑓 fonksiyonuna uygulanması

∑ Toplam Sembolü

𝐶[𝑎, 𝑏] [𝑎, 𝑏] deki sürekli fonksiyonların uzayı ω( 𝑓 ; δ ) Süreklilik modülü

Ω( 𝑓 ; δ ) Ağırlıklı süreklilik modülü 𝐵_𝑛 Bernstein operatörü 𝔹̅_𝑛 Lupaş’ın Beta operatörü 𝐷_𝑛 Durrrmeyer operatörü

𝑈_𝑛 𝑈_𝑛 = 𝐵_𝑛o 𝔹̅_𝑛 şeklinde tanımlı Bernstein tipli operatör

𝑆_𝑛 Stancu operatörü

1 1.GİRİŞ

Yaklaşım teorisi temel olarak “Bir fonksiyona, daha iyi özelliklere sahip başka bir fonksiyon ile yaklaşılabilir mi? “ sorusunun cevabını arayan çalışmaları kapsar. Bu tür çalışmalar 1885 yılında Alman matematikçi Karl Theodor Wilhelm Weierstrass’

ın kendi adını taşıyan ve cebirsel ve trigonometrik polinomlarla, sürekli fonksiyonlara [𝑎, 𝑏] gibi kapalı ve sınırlı bir aralık üzerinde yaklaşım sağlanacağını ifade eden teoremi ispatlaması ile başlamıştır.

1912 yılında Rus matematikçi S. N. Bernstein, Weierstrass’ ın teoreminin ispatını 𝑥 ∈ [0,1] olmak üzere

𝐵_𝑛( 𝑓; 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑘 𝑛) (𝑛

𝑘)

𝑛

𝑘=0

𝑥^𝑘(1 − 𝑥)^𝑛−𝑘

eşitliği ile verilen ve kendi adı ile anılan polinomlarını tanımlayarak vermiştir. Bu polinomlar sayısal analiz, fonksiyonlar teorisi, geometri, fizik, jeodezi, mühendislik, tıp (görüntüleme sistemleri ve protez) bilimleri gibi birçok uygulama alanı olan ve günümüzde de halen aktif olarak çalışılan polinomlardır.

1932 yılında Voronovskaja tarafından Bernstein polinomları için, ƒ(𝑥) fonksiyonu [0,1] aralığında sınırlı ve belli bir 𝑥 noktasında 2. türeve sahip ise;

𝑛→∞lim 𝑛[𝐵_𝑛(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥)] =𝑥(1 − 𝑥)

2 𝑓^′′(𝑥)

eşitliğinin sağlandığı (asimptotik yaklaşım) gösterilmiştir [1].

1935 yılında T. Popoviciu tarafından Bernstein polinomları için; 𝜔(𝑓; 𝛿) ile 𝑓 fonksiyonunun süreklilik modülü gösterilmek üzere;

2

|𝑓(𝑥) − 𝐵_𝑛(𝑓; 𝑥)| ≤ 𝑐𝜔 ( 1

√𝑛)

olduğu gösterilmiştir.

Biz bu tezde klasik süreklilik modülünün bir modifikasyonunu kullanarak iki lineer pozitif operatörün farkı için Voronovskaja teoremleri ve bu yaklaşımın yakınsaklık hızını veren teoremler vereceğiz. Elde edilen sonuçların, yaklaşımlar teorisinde çok iyi bilinen bazı operatörler için uygulamalarını elde edeceğiz.

Lineer pozitif operatörlerin farkları için verilen teoremler bize yaklaşımlar teorisinde elde edilen başka sonuçların da bulunmasına olanak sağlar. Gerçekten de 𝐴 ve 𝐵 iki lineer pozitif operatör olsun. Kabul edelim ki

|𝐴(𝑓; 𝑥) − 𝐵(𝑓; 𝑥)| ≤ 𝑐𝜔 ( 1

√𝑛)

sonucu elde edilmiş olsun. Burada 𝐴 yerine birim operatör ve 𝐵 yerine Bernstein operatörü aldığımızda çok iyi bilinen yukarıdaki eşitsizlik elde edilmiş olur. Ayrıca kabul edelim ki iki operatörün farkı için bazı yakınsaklık sonucunu biliyoruz.

|𝐴(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≤ |𝐴(𝑓; 𝑥) − 𝐵(𝑓; 𝑥)| + |𝐵(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥)|

eşitsizliğini kullanarak, 𝐵 operatörünün yaklaşım özellikleri bilindiğinde 𝐴 operatörünün de yaklaşım özellikleri hakkında bilgi sahibi olabiliriz. Bu nedenlerden dolayı iki operatörün farkı için yaklaşım sonuçlarının elde edilmesi yaklaşımlar teorisi açısından önemli sonuçlar doğurur.

3 1.1. Kaynak özetleri

Bu tez çalışmamızda temel kavramlar için Francesco Altomare and Michele Campiti nin “Korovkin Type Approximation Theory and Its Application”, P. J. Davis’in

“Interpolation and Approximation”adlı kitapları referanslarımız olmuştur. Ayrıca [2]

ve [3] kaynakları bizim çalışmamızın temelini oluşturmuştur.

1.2. Çalışmanın Amacı

Bu tez çalışmasında pozitif lineer operatörlerin farkları üzerinde araştırmalar yapıp, bu tür farklar için süreklilik modülü yardımıyla yaklaşım hızına yönelik tahminler verilmesi amaçlanmaktadır. Ayrıca Voronovskaja teoremi için yaklaşım hızı veren teoremler ispatlanacaktır. Elde edilen sonuçlardan, çok iyi bilinen lineer pozitif operatörler için uygulamalara yer verilecektir.

4

2. TEMEL TANIMLAR VE KAVRAMLAR

Bu bölümde pozitif lineer operatörlerin tanımı yapılacak, sağladığı temel özelliklere değinilecektir ve bu çalışma sırasında kullanacağımız bazı tanımlar verilecektir.

Ayrıca burada vereceğimiz tanımlar genel halde geçerli tanımlar olduğu için pek çoğunda kaynak belirtilmemiştir.

2.1. Lineer Pozitif Operatörler

Tanım 2.1.1. 𝑋 ve 𝑌 reel değerli fonksiyon uzayı olmak üzere; L: 𝑋 → 𝑌 şeklinde tanımlanan dönüşümlere operatör adı verilir.

Tanım 2.1.2. 𝑋 ve 𝑌 reel değerli fonksiyon uzayı olmak üzere;

𝐿: 𝑋 → 𝑌

şeklindeki 𝐿 operatörü her 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑋 ve her 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ için

𝐿(𝛼𝑓 + 𝑔𝛽) = 𝛼𝐿(𝑓) + 𝛽𝐿(𝑔)

eşitliği sağlanıyorsa 𝐿 operatörüne lineer operatör denir.

Tanım 2.1.3. 𝑋⁺ = {𝑓 ∈ 𝑋: 𝑓 ≥ 0} , 𝑌⁺ = {𝑔 ∈ 𝑌: 𝑔 ≥ 0} fonksiyon sınıflarını tanımlayalım. 𝑋 ve 𝑌 reel değerli fonksiyon uzayı olmak üzere, eğer 𝑋 ten 𝑌 ye tanımlanmış 𝐿 operatörü 𝑋⁺ kümesindeki herhangi bir 𝑓 fonksiyonunu 𝑌⁺ kümesindeki 𝑔 fonksiyonuna dönüştürüyorsa 𝐿 operatörüne pozitif operatör denir.

Hem lineerlik hem de pozitiflik şartlarını sağlayan operatöre pozitif lineer operatör denir.

5

Lemma 2.1.1. 𝐿 ∶ 𝑋 → 𝑌 bir lineer pozitif operatör olsun. 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑋 olmak üzere 𝑓 ≤ 𝑔 ise 𝐿(𝑓 ; 𝑥) ≤ 𝐿(𝑔; 𝑥) dir. Buna L lineer operatörünün monotonluk özelliği denir.

Lemma 2.1.2. 𝐿 ∶ 𝑋 → 𝑌 bir lineer pozitif operatör olsun. Bu durumda

|𝐿( 𝑓 ; 𝑥)| ≤ 𝐿( |𝑓|; 𝑥) dir.

Tanım 2.1.4. Kapalı bir [𝑎, 𝑏] aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm gerçel değerli fonksiyonlardan oluşan kümeye 𝐶[𝑎, 𝑏] fonksiyon uzayı denir.

Tanım 2.1.5. 𝑓𝐶[𝑎, 𝑏] olmak üzere 𝐶[𝑎, 𝑏] üzerinde tanımlı norm;

‖𝑓(𝑥)‖_{𝐶[𝑎,𝑏]} = max

𝑎≤𝑥≤𝑏|𝑓(𝑥)|

şeklinde gösterilir.

Teorem 2.1.1. ( Hölder Eşitsizliği ):

𝑝 > 0 ve 𝑞 > 0 reel sayıları

1 𝑝+1

𝑞= 1

şartını sağlasın. 𝑓 ∈ 𝐿_𝑝ve 𝑔 ∈ 𝐿_𝑞 ise 𝑓. 𝑔 ∈ 𝐿₁ dir ve

‖𝑓. 𝑔‖₁ ≤ ‖𝑓‖_𝑝. ‖𝑔‖_𝑞 (2.1)

dur.

İspat. |𝑔| ≤ |𝑓|^𝑝−1 ise |𝑓. 𝑔| ≤ |𝑓|^𝑝 olur. Bu 𝑓. 𝑔 ∈ 𝐿olduğunu gösterir. Aksi halde yani |𝑔| > |𝑓|^𝑝−1 ise |𝑔|^{𝑝−11 +1}> |𝑓. 𝑔| ⇒ |𝑔|^𝑞 > |𝑓. 𝑔| ⇒ |𝑓. 𝑔| ∈ 𝐿|

olur𝐿 = 𝐿₁ olduğundan 𝑓. 𝑔 ∈ 𝐿₁dir

6



Young eşitsizliğinden 𝜑(𝑢) = 𝑢^𝑝−1 alınırsa 𝜓(𝑢) = 𝑢^𝑝−11  ∅(𝑎) = ^𝑎_𝑝^𝑝𝜓(𝑏) = ^𝑏_𝑞^𝑞 bulunur. Buna göre;



a. b ≤ ∅(𝑎). 𝜓(b) 



≤ 𝑎^𝑝 𝑝 +𝑏^𝑞

𝑞

yazılabilir.║𝑓║_𝑝 = 0 veya ‖𝑔‖_𝑞 = 0 ise (2.1) in her iki tarafı sıfır olacağından eşitsizlik sağlanır.║𝑓║_𝑝 ≠ 0 ve ║𝑔║_𝑝≠ 0 olsun. 𝑎 = |𝑓| ║𝑓║⁄ _𝑝 ve 𝑏 = |𝑔| ║𝑔║⁄ _𝑞 alınırsa;

|𝑓||𝑔|

‖𝑓‖_𝑝‖𝑔‖_𝑞 ≤ |𝑓|^𝑝

𝑝‖𝑓‖_𝑝^𝑝+ |𝑔|^𝑞 𝑞‖𝑔‖_𝑞^𝑞

bulunur. İki tarafın integrali alınırsa 1

‖𝑓‖_𝑝. ‖𝑔‖_𝑞∫| 𝑓. 𝑔 |dµ ≤ 1

𝑝‖𝑓‖_𝑝^𝑝∫| 𝑓 |^𝑝dµ + 1

𝑞‖𝑔‖_𝑞^𝑞∫ |𝑔|^𝑞dµ

olur. Buradan da

‖𝑓. 𝑔‖₁

‖𝑓‖_𝑝. ‖𝑔‖_𝑞 ≤ 1

𝑝‖𝑓‖_𝑝^𝑝‖𝑓‖_𝑝^𝑝+ 1

𝑞‖𝑔‖_𝑞^𝑞‖𝑔‖_𝑞^𝑞= 1 𝑝+1

𝑞 = 1

elde edilir. Bu da

‖𝑓. 𝑔‖₁ ≤ ‖𝑓‖_𝑝. ‖𝑔‖_𝑞

olduğunu gösterir.

7

Özel olarak Hölder eşitsizliğinde 𝑝 = 𝑞 = 2 alınırsa Cauchy-Schwarz Eşitsizliği elde edilir.

Tanım 2.1.6. 𝑛 ≥ 1 olmak üzere 𝑝_𝑛, 𝑛 - inci dereceden bir polinom ve 𝑓 ile 𝑔 de 𝑥 = 0 noktasında 𝑛 - inci dereceden türevlenebilen fonksiyonlar olsun.

𝑛→∞lim 𝑔(𝑥) = 0

olmak üzere

𝑓(𝑥) = 𝑝_𝑛(𝑥) + 𝑥^𝑛 𝑔(𝑥)

yazılabiliyorsa 𝑝_𝑛 polinomuna 𝑥 = 0 noktasında 𝑓 fonksiyonu tarafından üretilen Taylor polinomu denir [4].

Tanım 2.1.7. 𝑓 fonksiyonu 𝑎 noktasını ihtiva eden bir aralıkta her mertebeden türevlenebilir olsun.

∑𝑓^𝑘(𝑎) 𝑛!

∞

𝑘=0

(𝑥 − 𝑎)^𝑘

serisine 𝑎 noktasında 𝑓 fonksiyonu tarafından üretilen Taylor serisi denir.

Tanım 2.1.8. (Taylor Formülü): Bir 𝑓 fonksiyonu [𝑎, 𝑏] aralığında tanımlı ve (𝑛 + 1) kez sürekli türevlenebilir olsun. Bu durumda Taylor formülü 𝑥₀ ∈ [𝑎, 𝑏] ve her 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] için

𝑅_𝑛+1(𝑥) = 1

𝑛! ∫(𝑥 − 𝑡)^𝑛𝑓^(𝑛+1)(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

𝑥₀

olmak üzere

𝑓(𝑥) = ∑𝑓^(𝑘)(𝑥₀)

𝑘! (𝑥 − 𝑥₀)^𝑘+ 𝑅_𝑛+1(𝑥)

𝑛

𝑘=0

8 şeklinde tanımlıdır [4].

Teorem 2.1.2. 𝑛 ∈ N₀ için 𝑓(𝑥) , 𝑥 = 𝑥₀ noktasında 𝑛-kez türevlenebilir olsun. O halde

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥₀) + 𝑓^′(𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₀) + ⋯ + 1

(𝑛 − 1)!𝑓^(𝑛−1)(𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₀)^𝑛−1 +(𝑥 − 𝑥₀)^𝑛

𝑛! [𝑓^𝑛(𝑥₀) + ℰ(𝑥)]

eşitliği yazılabilir. Burada

𝑥→𝑥lim₀ℰ(𝑥) = 0

dır.

2.2. Süreklilik Modülü

Tanım 2.2.1. 𝑓𝐶[𝑎, 𝑏] olmak üzere ; her 𝛿 > 0 için

𝜔(𝑓; 𝛿) = sup

𝑥,𝑡 ∈[𝑎,𝑏]

|𝑡−𝑥|≤𝛿

|𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)|



olarak tanımlanan 𝜔(𝑓; 𝛿) ifadesine𝑓fonksiyonunun süreklilik modülü denir.

Süreklilik modülünün bazı önemli özellikleri aşağıda verilmiştir. Bu özelliklerin ifade ve ispatında [5] ve [6] kaynaklarından yararlanılmıştır.

9

Teorem 2.2.1. Süreklilik modülü aşağıdaki özellikleri sağlar.

𝒊) 𝜔(ƒ; 𝛿) ≥ 0

𝒊𝒊) δ_𝟏≤ 𝛿₂ 𝑖𝑠𝑒 𝜔( 𝑓; δ_𝟏) ≤ 𝜔(𝑓; 𝛿₂) 

𝒊𝒊𝒊) 𝑚 ∈ ℕiçin 𝜔(𝑓; 𝑚𝛿) ≤ 𝑚 𝜔(𝑓; 𝛿)

𝒊𝒗) λ ∈ ℝ⁺ için 𝜔(𝑓; 𝜆𝛿) ≤ (1 + 𝜆) 𝜔(𝑓; 𝛿)

𝒗) lim

𝛿→0𝜔(𝑓; 𝛿) = 0

𝒗𝒊) |𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝜔(𝑓; |𝑡 − 𝑥|)



𝒗𝒊𝒊) |𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)| ≤ (^{|𝑡−𝑥|}_𝛿 + 1)𝜔(𝑓, 𝛿)

İspat.

𝒊) 𝜔(𝑓; 𝛿) ≥ 0 olduğu açıktır.

𝒊𝒊)δ_𝟏≤ 𝛿₂ 𝑖𝑠𝑒 |𝑡 − 𝑥| ≤ δ_𝟏, |𝑡 − 𝑥| ≤ 𝛿₂ kümesi tarafından kapsanır. Dolayısıyla supremum özelliğinden 𝜔( 𝑓; δ_𝟏) ≤ 𝜔(𝑓; 𝛿₂) bulunur.

𝒊𝒊𝒊) 𝜔(𝑓, 𝑚𝛿) = sup

|𝑡−𝑥|≤𝑚𝛿 𝑥∈[𝑎,𝑏]

|𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)|

𝜔(𝑓, 𝑚𝛿) = sup

|ℎ|≤𝛿|𝑓(𝑥 + 𝑚ℎ) − 𝑓(𝑥)|

= sup

|ℎ|≤𝛿| ∑ [𝑓(𝑥 + (𝑘 + 1)ℎ) − 𝑓(𝑥 + 𝑘ℎ)]

𝑚−1

𝑘=0

|

10 ≤ sup

|ℎ|≤𝛿 ∑ |𝑓(𝑥 + (𝑘 + 1)ℎ) − 𝑓(𝑥 + 𝑘ℎ)|

𝑚−1

𝑘=0

≤ 𝜔(𝑓; 𝛿) + 𝜔(𝑓; 𝛿) + ⋯ + 𝜔(𝑓; 𝛿)

= 𝑚𝜔(𝑓, 𝛿)

𝒊𝒗) λ ∈ ℝ⁺ için ‖𝜆‖ ≤ 𝜆 ≤ ‖𝜆‖ + 1 ≤ 𝜆 + 1 olduğundan

𝜔(𝑓; 𝜆𝛿) ≤ 𝜔(𝑓; (‖𝜆‖ + 1)𝛿)

≤ (‖𝜆‖ + 1)𝜔(𝑓; 𝛿)

≤ (𝜆 + 1)𝜔(𝑓; 𝛿)

elde edilir.

𝒗) 𝑓, [𝑎, 𝑏] de sürekli olduğundan aynı zamanda düzgün süreklidir. Yani her ℰ > 0 için ∃𝑛 > 0 vardır öyle ki |𝑡 − 𝑥| < 𝑛 iken |𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)| < ℰ olur. Eğer 𝛿 < 𝑛 seçilirse süreklilik modülünün tanımına göre;

𝜔(𝑓; 𝛿) = sup

|𝑡−𝑥|<𝛿|𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)| < ℰ

olup buradan

lim𝛿→0𝜔(𝑓; 𝛿) = 0

bulunur.

𝒗𝒊) 𝜔(𝑓; |𝑡 − 𝑥|) = sup

|𝑡−𝑥|≤𝛿 𝑥∈[𝑎,𝑏]

|𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)| ≥ |𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)|

11 elde edilir

𝒗𝒊𝒊) 𝑖𝑣) özelliğini kullanırsak

|𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝜔(𝑓;|𝑡 − 𝑥|

𝛿 . 𝛿) ≤ (|𝑡 − 𝑥|

𝛿 + 1)𝜔(𝑓, 𝛿)

elde edilir.

2.2.1. Süreklilik Modülü ve K- Fonksiyoneli Arasındaki İlişki

Tanım 2.2.1.1. 𝑓 ∈ [𝑎, 𝑏] , ℰ ≥ 0 olsun.

𝐾(ℰ, 𝑓; 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝐶¹[𝑎, 𝑏]) ≔ 𝑖𝑛𝑓{║𝑓 − 𝑔║ + ℰ║𝑔^′║: 𝑔 ∈ 𝐶¹[𝑎, 𝑏]}

ifadesine K-fonksiyoneli denir.

K-fonksiyoneli ve süreklilik modülü arasındaki ilişkiyi veren aşağıdaki eşitliği verelim. Kabaca ispatı için [7] ‘ ye bakınız. Bu eşitlikle ilgili tüm detaylar [8] ‘ e bakınız.

Lemma 2.2.1.1. 𝑎 < 𝑏 olacak şekilde [𝑎, 𝑏] kapalı aralığı üzerindeki her sürekli 𝑓 fonksiyonu

𝐾(ℰ 2⁄ , 𝑓; 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝐶¹[𝑎, 𝑏]) = 1

2ῶ(𝑓; ℰ) , 0 ≤ ℰ

olup buradaki ῶ(𝑓, . ) ifadesi ;

ῶ(𝑓; ℰ) = { sup

0≤𝑥≤ ℰ≤𝑦≤𝑏−𝑎 𝑥≠𝑦

(ℰ − 𝑥)𝜔(𝑓, 𝑦) + (𝑦 − ℰ)𝜔(𝑓, 𝑥)

𝑦 − 𝑥 𝑖𝑠𝑒 0 ≤ ℰ ≤ 𝑏 − 𝑎 , ῶ(𝑓, 𝑏 − 𝑎) = 𝜔(𝑓, 𝑏 − 𝑎) 𝑖𝑠𝑒 ℰ > 𝑏 − 𝑎

12 şeklinde tanımlıdır. Verilen tanımdan, ℰ > 0 için

𝜔(𝑓; . ) ≤ ῶ(𝑓; . )

ve Teorem 2.2.1., iv) den

ῶ(𝑓, 𝜉ℰ) ≤ (1 + 𝜉)𝜔(𝑓, ℰ)

eşitsizliğinin her ℰ > 0 ve 𝜉 = 1,2, … için sağlandığı görülebilir. ῶ(𝑓; . ) ile ilgili diğer özellikler için [9] bakınız.

Teorem 2.2.1.1. 𝑓 ∈ 𝐶^𝑛[𝑎, 𝑏] ve 𝑥, 𝑥₀ ∈ [𝑎, 𝑏] olsun. Her 𝑛 ∈ N₀

|𝑅_𝑛(𝑓; 𝑥₀, 𝑥)| ≤|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛

𝑛! ῶ (𝑓^(𝑛);|𝑥 − 𝑥₀| 𝑛 + 1 )

eşitsizliği geçerlidir [3].

İspat. Ortalama değer teoreminden

𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥₀)

𝑥 − 𝑥₀ = 𝑓^′(ℰ_𝑥)

olduğunu biliyoruz.

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥₀) + 𝑓^′(ℰ_𝑥)(𝑥 − 𝑥₀) eşitsizliğinin ard arda kullanılması ile

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥₀) + (𝑥 − 𝑥₀)𝑓^′(𝑥₀) +(𝑥 − 𝑥₀)²

2! 𝑓^′′(ℰ_𝑥) .

. .

13

= 𝑓(𝑥₀) + (𝑥 − 𝑥₀)𝑓^′(𝑥₀) + ⋯ +(𝑥 − 𝑥₀)^𝑛−1

(𝑛 − 1)! 𝑓^(𝑛−1)(ℰ_𝑥)

= 𝑓(𝑥₀) + (𝑥 − 𝑥₀)𝑓^′(𝑥₀) + ⋯ +(𝑥 − 𝑥₀)^𝑛

𝑛! 𝑓^(𝑛)(ℰ_𝑥)

elde edilir.

𝑅_𝑛(𝑓; 𝑥₀, 𝑥): = 𝑓(𝑥) − ∑ 1 𝑘!𝑓^(𝑘)

𝑛

𝑘=1

(𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₀)^𝑘

gösterimini kullanırsak , 𝑛 ≥ 1 için

𝑅_𝑛(𝑓; 𝑥₀, 𝑥) = 𝑅_𝑛−1(𝑓; 𝑥₀, 𝑥) − 1

𝑛!𝑓^(𝑛)(𝑥₀)(𝑥 − 𝑥₀)^𝑛

=(𝑥 − 𝑥₀)^𝑛

𝑛! (𝑓^(𝑛)(ℰ_𝑥) − 𝑓^(𝑛)(𝑥₀))

elde ederiz. Teorem 2.2.1, vi) özelliği kullanılırsa

|𝑅_𝑛(𝑓; 𝑥₀, 𝑥)| ≤|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛

𝑛! |𝑓^(𝑛)(ℰ_𝑥) − 𝑓^(𝑛)(𝑥₀)|

≤|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛

𝑛! 𝜔(𝑓^(𝑛); |ℰ_𝑥− 𝑥₀|; 〈𝑥, 𝑥₀〉)

≤|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛

𝑛! 𝜔(𝑓^(𝑛); |𝑥 − 𝑥₀|; 〈𝑥, 𝑥₀〉)

yazılabilir. Burada

ℰ_𝑥 ∈ 〈𝑥, 𝑥₀〉 = {[𝑥, 𝑥₀] ; 𝑥 ≤ 𝑥₀ [𝑥₀, 𝑥]; 𝑥₀ < 𝑥

olup 𝑓^(𝑛), [𝑎, 𝑏] kapalı aralığında sürekli iken 𝑥 → 𝑥₀ için

14

𝜔(𝑓^(𝑛); |𝑥 − 𝑥₀|; [𝑎, 𝑏]) = 𝑜(1)

olur. Ayrıca

𝜔(𝑓; . ) ≤ ῶ(𝑓; . )

ve

ῶ(𝑓; . ) ≤ (1 + ℰ) 𝜔(𝑓; . )

eşitsizliklerinin doğru olduğunu biliyoruz. Süreklilik modülünün tanımından

𝜔(𝑓^(𝑛), 𝛿) = sup{|𝑓^(𝑛)(𝑥) − 𝑓^(𝑛)(𝑦)|: |𝑥 − 𝑦| < 𝛿}

≤ sup

𝑥∈[𝑎,𝑏]|𝑓^(𝑛)(𝑥)| + sup

𝑦∈[𝑎,𝑏]|𝑓^(𝑛)(𝑦)|

≤ ‖𝑓^(𝑛)‖_[𝑎,𝑏]+ ‖𝑓^(𝑛)‖_[𝑎,𝑏]

= 2‖𝑓^(𝑛)‖_[𝑎,𝑏]

olduğundan

|𝑅_𝑛(𝑓; 𝑥₀, 𝑥)| ≤|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛

𝑛! 𝜔(𝑓^(𝑛); |𝑥 − 𝑥₀|; [𝑎, 𝑏])

≤ 2|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛

𝑛! ‖𝑓^(𝑛)‖_[𝑎,𝑏]

olduğu açıktır. Süreklilik modülü, norm ile sınırlı yani anlamlıdır.

𝑔 ∈ 𝐶^𝑛+1[𝑎, 𝑏] için Lagrange kalan formu kullanılırsa

15

|𝑅_𝑛(𝑔; 𝑥₀, 𝑥)| =|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛+1

(𝑛 + 1)! |𝑔^(𝑛+1)(𝜃_𝑥)| , 𝜃_𝑥 ∈ 〈𝑥, 𝑥₀〉

≤|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛+1

(𝑛 + 1)! ‖𝑔^(𝑛+1)‖_[𝑎,𝑏]

yazılabilir. Tanım 2.2.1.1. kullanılırsa

|𝑅_𝑛(𝑓; 𝑥₀, 𝑥)| ≤ 2|𝑥 − 𝑥₀|^𝑛

𝑛! 𝐾 (|𝑥 − 𝑥₀|

2(𝑛 + 1), 𝑓^(𝑛); 𝐶[𝑎, 𝑏], 𝐶^′[𝑎, 𝑏])

= |𝑥 − 𝑥₀|^𝑛

𝑛! ῶ (𝑓^(𝑛);|𝑥 − 𝑥₀| 𝑛 + 1 )

olarak ispat tamamlanır.

Yukarıdaki ifade için eşitlik durumuna bir örnek verelim.

Örnek 2.2.1.1. 𝑥₀ = 0 ve 𝑒_𝑛+1: [−1,1] ∋ 𝑥 → 𝑥^𝑛+1 şeklinde tanımlanan fonksiyon için

𝑅_𝑛(𝑒_𝑛+1; 0, 𝑥) = 𝑥^𝑛+1

ve

|𝑥 − 0|^𝑛

𝑛! ῶ (𝑒_𝑛+1^(𝑛);|𝑥 − 0|

𝑛 + 1) = |𝑥|^𝑛

𝑛! ῶ ((𝑛 + 1)! 𝑒₁; |𝑥|

𝑛 + 1)

=|𝑥|^𝑛

𝑛! (𝑛 + 1)! |𝑥|

𝑛 + 1

= |𝑥|^𝑛+1

olur ve böylece

16

|𝑅_𝑛(𝑒_𝑛+1; 0, 𝑥)| =|𝑥 − 0|^𝑛

𝑛! ῶ₁(𝑒_𝑛+1^(𝑛);|𝑥 − 0|

𝑛 + 1)

elde edilir.

Örnek 2.2.1.2. Son bölümde gösterilen K-fonksiyoneli kullanılarak 𝑓 = 𝑒_𝑛+1 için aşağıdaki gibi bir yaklaşım bulunabilir. Gerçekten de

𝜔(𝑒_𝑛+1^(𝑛); |𝑥 − 0|; [−1,1]) = 𝜔((𝑛 + 1)! 𝑒₁; |𝑥|; [−1,1]) = (𝑛 + 1)! |𝑥|

ve

|𝑅_𝑛(𝑒_𝑛+1; 0, 𝑥)| ≤ (𝑛 + 1)|𝑥|^𝑛+1

ve bu ifade 𝑥 ≠ 0 için

|𝑥|^𝑛+1= |𝑥|^𝑛

𝑛! ῶ (𝑒_𝑛+1^(𝑛); |𝑥|

𝑛 + 1)

ifadesinden daha büyüktür.

Örnek 2.2.1.3. Burada örnek vereceğimiz 𝑓 için

𝜔(𝑓^(𝑛); |𝑥 − 𝑥₀|) ≤ ῶ (𝑓^(𝑛);|𝑥 − 𝑥₀| 𝑛 + 1 )

olduğunu göstereceğiz. Böylece K-fonksiyoneli yoluyla iyi bir sonuca varabileceğimiz bir yaklaşım gösterebiliriz.

[0,1] kapalı aralığı üzerinde yeni bir süreklilik modülü olan Ω fonksiyonunu oluşturalım. 𝑛 ≥ 0 ve 0 < ℰ ≤ ^𝟏_𝟐 , _𝒏+𝟏^𝓔 ≤^𝟏_𝟐 olsun.

17 Ω(𝑡) =

{ 𝑛 + 1

2ℰ 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ ℰ 𝑛 + 1 1

2 , ℰ

𝑛 + 1≤ 𝑡 ≤ 1 − ℰ 𝑛 + 1 𝑛 + 1

2ℰ (𝑡 − 1) + 1, 1 − ℰ

𝑛 + 1≤ 𝑡 ≤ 1

ile tanımlı fonksiyonu süreklilik modülü olduğunu göstermek için Ω ‘nın sürekli, azalmayan ve Teorem 2.2.1, v) den Ω(0) = 0 olduğunu göstermeliyiz.

ω(Ω(. ); δ) = Ω(δ), 0 ≤ 𝛿 ≤ 1

eşitliği bu fonksiyonun kendisinin süreklilik modülü olduğunu gösterir [10].

ℰ

𝑛+1≤ 𝑡 ≤ 1 için

Ω̃(𝑡) = 1

2(𝑛 + 1 − ℰ)((𝑛 + 1)(𝑡 + 1) − 2ℰ)

dır. Buradan;

Ω(ℰ) =1

2= Ω̃ ( ℰ 𝑛 + 1)

ifadesi t yerine _𝑛+1^ℰ yazılarak görülebilir. Şimdi 𝑥, 𝑥₀ ∈ [0,1] için |𝑥 − 𝑥₀| = ℰ olduğunu varsayalım. Ayrıca 𝑓^𝑛(𝑡) = Ω(t) olacak şekilde 𝑓 ∈ 𝐶^𝑛[0,1] olsun.

𝜔(𝑓^(𝑛); |𝑥 − 𝑥₀|) = 𝜔(𝛺(. ); ℰ) = 𝛺(ℰ) = Ω̃ ( ℰ

𝑛 + 1) = ῶ (𝑓^(𝑛);|𝑥 − 𝑥₀| 𝑛 + 1 )

iddiamızı doğrulamaktadır.

18

3. OPERATÖRLERİN FARKLARI İÇİN GENEL EŞİTSİZLİKLER

3.1. GİRİŞ

Teorem 3.1.1. 𝐴, 𝐵 ∶ C[0,1] → C[0,1] lineer pozitif operatörleri 𝑖 = 0 ,1 , … , 𝑛 ve 𝑥 ∈ [0,1] için

(𝐴 − 𝐵)((𝑒₁− 𝑥)^𝑖; 𝑥) = 0

eşitliğini sağlasın.

𝑓 ∈ 𝐶^𝑛[0,1] için

|(𝐴 − 𝐵)(𝑓; 𝑥)|

≤ 1

𝑛!(𝐴 + 𝐵)(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛; 𝑥) ῶ (𝑓^(𝑛); 1 𝑛 + 1

(𝐴 + 𝐵)(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛+1; 𝑥) (𝐴 + 𝐵)(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛; 𝑥) )

elde edilir.

İspat. İlk olarak Taylor açılımı ile Peano kalan formunu kullanarak;

|(𝐴 − 𝐵)(𝑓; 𝑥)| = |(𝐴 − 𝐵)(𝑓(𝑡); 𝑥)| = |(𝐴 − 𝐵) ((𝑡 − 𝑥)^𝑛

𝑛! 𝜇_𝑥(𝑡); 𝑥)|

olduğunu gösterelim. Burada tanımlanan

(𝑡 − 𝑥)^𝑛

𝑛! 𝜇_𝑥(𝑡) ≔ 𝑓(𝑡) − ∑ 1 𝑘!

𝑛

𝑘=0

𝑓^(𝑘)(𝑥)(𝑡 − 𝑥)^𝑘 (3.1)

dır. (3.1) den dolayı

19 (𝐴 − 𝐵) ((𝑡 − 𝑥)^𝑛

𝑛! 𝜇_𝑥(𝑡); 𝑥)

= (𝐴 − 𝐵)(𝑓(𝑡); 𝑥) − ∑ 1 𝑘!

𝑛

𝑘=0

𝑓^(𝑘)(𝑥)(𝐴 − 𝐵)((𝑡 − 𝑥)^𝑘; 𝑥)

olup

|(𝐴 − 𝐵)(𝑓; 𝑥)| ≤ (𝐴 + 𝐵) ((𝑡 − 𝑥)^𝑛

𝑛! ῶ (𝑓^(𝑛);|𝑡 − 𝑥|^𝑛 𝑛 + 1 ) ; 𝑥)

yazılabilir.

Lemma 2.2.1.1. den,

|(𝐴 − 𝐵)(𝑓; 𝑥)| ≤ (𝐴 + 𝐵) (2(𝑡 − 𝑥)^𝑛

𝑛! 𝐾 (𝑓^(𝑛); |𝑡 − 𝑥|^𝑛

2(𝑛 + 1)) ; 𝑥)

Tanım 2.2.1.1. den ise;

≤ (𝐴 + 𝐵) (2|𝑡 − 𝑥|^𝑛

𝑛! {‖(𝑓 − 𝑔)^(𝑛)‖ + |𝑡 − 𝑥|

2(𝑛 + 1)‖𝑔^(𝑛+1)‖} ; 𝑥) , 𝑔 ∈ 𝐶^𝑛+1[0,1]

= (𝐴 + 𝐵) (2|𝑡 − 𝑥|^𝑛

𝑛! ; 𝑥) ‖(𝑓 − 𝑔)^(𝑛)‖ + (𝐴 + 𝐵) (|𝑡 − 𝑥|^𝑛+1

(𝑛 + 1)! ; 𝑥) ‖𝑔^(𝑛+1)‖

= (𝐴 + 𝐵) (2|𝑡 − 𝑥|^𝑛

𝑛! ; 𝑥) {‖(𝑓 − 𝑔)^(𝑛)‖

+ 1

2(𝑛 + 1)

(𝐴 + 𝐵)(|𝑡 − 𝑥|^𝑛+1; 𝑥)

(𝐴 + 𝐵)(|𝑡 − 𝑥|^𝑛; 𝑥) ‖𝑔^(𝑛+1)‖}

elde edilir.

𝑔 ∈ 𝐶^𝑛+1[0,1] üzerinden infimum alarak ve Brudnyi’ nin lemmasını kullanarak;

20

|(𝐴 − 𝐵)(𝑓; 𝑥)|

≤ (𝐴 + 𝐵) (2|𝑡 − 𝑥|^𝑛 𝑛! ; 𝑥)1

2 ῶ (𝑓^(𝑛); 1 𝑛 + 1

(𝐴 + 𝐵)(|𝑡 − 𝑥|^𝑛+1; 𝑥) (𝐴 + 𝐵)(|𝑡 − 𝑥|^𝑛; 𝑥) )

= 1

𝑛!(𝐴 + 𝐵)(|𝑡 − 𝑥|^𝑛; 𝑥)ῶ (𝑓^(𝑛); 1 𝑛 + 1

(𝐴 + 𝐵)(|𝑡 − 𝑥|^𝑛+1; 𝑥) (𝐴 + 𝐵)(|𝑡 − 𝑥|^𝑛; 𝑥) )

bulunur.

Sonuç 3.1.1. 𝐿 ≔ 𝐴 + 𝐵 için

𝐿(|𝑡 − 𝑥|^𝑛+1; 𝑥)

𝐿(|𝑡 − 𝑥|^𝑛; 𝑥) ≤√𝐿((𝑡 − 𝑥)^2𝑛; 𝑥. √𝐿((𝑡 − 𝑥)²; 𝑥 𝐿((𝑡 − 𝑥)^𝑛; 𝑥)

yazılabilir.

İspat. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden

𝐿(|𝑡 − 𝑥|^𝑛+1; 𝑥) = 𝐿(|𝑡 − 𝑥|^𝑛|𝑡 − 𝑥|; 𝑥)

≤ √𝐿(|𝑡 − 𝑥|^2𝑛; 𝑥√𝐿(|𝑡 − 𝑥|²; 𝑥

= √𝐿((𝑡 − 𝑥)^2𝑛; 𝑥)√𝐿((𝑡 − 𝑥)²; 𝑥)

yazılır.

𝑛 tek olsun. Mutlak moment 𝐿(|𝑡 − 𝑥|^𝑛; 𝑥) yazılabilir. 𝐴 ve 𝐵 operatörleri için

𝐴(𝑒₀, 𝑥) = 𝐵(𝑒₀, 𝑥) , 𝑥 ∈ [0,1]

eşitliğinin doğru olduğunu kabul etmiştik.

21

𝐴(𝑒₀, 𝑥) = 𝐵(𝑒₀, 𝑥) = 1 , 𝑥 ∈ [0,1] olduğunu varsayalım. Yani ;

𝐿 ≔1

2(𝐴 + 𝐵)

sabit fonksiyonları üretir. Dolayısıyla Hölder eşitsizliğinde lineer pozitif operatörler için 1 ≤ 𝑠 < 𝑟olmak üzere;

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|)^𝑠; 𝑥)^1𝑠 ≤ 𝐿(|𝑒₁− 𝑥|)^𝑟; 𝑥)^1𝑟

ve

(𝐴 + 𝐵)(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛; 𝑥) = 2𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛; 𝑥) ≥ 2 {𝐿((𝑒₁− 𝑥)^𝑛−1; 𝑥)^𝑛−1𝑛 }

elde edilir.

Sonuç 3.1.2. Teorem 3.1.1.’deki varsayımlar altında 𝑛 tek ise;

|(𝐴 − 𝐵)(𝑓; 𝑥)|

≤ 1

𝑛!(𝐴 + 𝐵)(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛; 𝑥) ῶ (𝑓^(𝑛); 1 2(𝑛 + 1)

(𝐴 + 𝐵)((𝑒₁− 𝑥)^𝑛+1; 𝑥) {¹₂(𝐴 + 𝐵)((𝑒₁− 𝑥)^𝑛−1; 𝑥)}

𝑛 𝑛−1

)

= 1

𝑛!(𝐴 + 𝐵)(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛; 𝑥) ῶ (𝑓^(𝑛); 2^𝑛−11 𝑛 + 1

(𝐴 + 𝐵)((𝑒₁− 𝑥)^𝑛+1; 𝑥)

(𝐴 + 𝐵)((𝑒₁− 𝑥)^𝑛−1; 𝑥)^𝑛−1𝑛 )

ῶ(𝑓^(𝑛); . ) önündeki mutlak momentler hesaplanırsa, Hölder eşitsizliği kullanılarak bir üst sınır elde edilebilir.

22

Sonuç 3.1.3. Teorem 3.1.1.’deki şartlar altında 𝑔 ∈ 𝐶^𝑛+1[0,1] , 𝑥 ∈ [0,1] olmak üzere;

|(𝐴 − 𝐵)(𝑔; 𝑥)| ≤ 1

(𝑛 + 1)!(𝐴 + 𝐵)(|𝑡 − 𝑥|^𝑛+1; 𝑥)‖𝑔^(𝑛+1)‖

eşitsizliği sağlanır.

Teorem 3.1.2. Teorem 3.1.1.’de verilen 𝐴 𝑣𝑒 𝐵 için; 𝐴𝑒₀ = 𝐵𝑒₀ = 𝑒₀ ise her 𝑓 ∈ 𝐶[0,1] , 𝑥 ∈ [0,1] için

|(𝐴 − 𝐵)(𝑓; 𝑥)| ≤ 𝑐₁𝜔_𝑛+1(𝑓; √1/2(𝐴 + 𝐵)(|𝑒^𝑛+1 ₁− 𝑥|^𝑛+1; 𝑥))

olup burada 𝑐₁; 𝑓, 𝑥 𝑣𝑒 𝐴 𝑖𝑙𝑒 𝐵 ’den mutlak bağımsız olarak sabittir.

3.2. Lineer Pozitif Operatörler İçin Hölder Eşitsizliği

𝐿: 𝐶[𝑎, 𝑏] → 𝐶[𝑎, 𝑏] lineer pozitif operatörleri ve 𝑛 ≥ 0 için

𝐿((𝑒₁− 𝑥)^𝑛; 𝑥) ≔ 𝐿((𝑒₁− 𝑥)^𝑛)(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

ve 𝑛 ≥ 1 için 𝑛. mertebeden mutlak momenti

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛; 𝑥) = 𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛)(𝑥) , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

olup burada 𝑖 ∈ {0,1,2, … } için 𝑒_𝑖(𝑥) ≔ 𝑥^𝑖 şeklinde tanımlayalım.

Çoğu durumda pozitif Hermitian formları için tahmin edilirken Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılır ise 𝑝 = 𝑞 = 2 durumunda

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|; 𝑥) ≤ √𝐿(𝑒₀²; 𝑥)√𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)

23 eşitsizliği elde edilir [11].

Teorem 3.2.1. 𝐿: 𝐶[0,1] → 𝐶[0,1] lineer pozitif operatör ve 𝐿(𝑒₀) = 𝑒₀ olmak üzere 𝑝, 𝑞 > 1 , ¹_𝑝+_𝑞¹ = 1 , 𝑓 ∈ 𝐶[0,1] , 𝑥 ∈ [0,1] için

𝐿(|𝑓. 𝑔|; 𝑥) ≤ 𝐿(|𝑓|^𝑝; 𝑥)^1𝑝 𝐿(|𝑔|^𝑞; 𝑥)^1𝑞

eşitsizliği sağlanır.

Önerme 3.2.1. 𝐿, 𝑝, 𝑞, 𝑓 ve 𝑥 Teorem 3.2.1. ‘deki gibi verilsin ve 0 ≤ 𝑛 = 𝑛₁+ 𝑛₂ ; 𝑛₁, 𝑛₂ ≥ 0 alalım.

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛; 𝑥) ≤ 𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛1𝑝; 𝑥)^𝑝1𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑛2𝑞; 𝑥)^1𝑞

𝑛 = 1 , 𝑛 = 𝑛₁+ 𝑛₂ = 0 + 1 , 𝑝 = 𝑞 = 2 için Teorem 3.2.1 elde edilir.

Önerme 3.2.2. 𝐿: C[0,1]→ 𝐶[0,1] lineer pozitif operatörü için

𝐿(𝑒₀) = 𝑒₀ 𝑣𝑒 1 ≤ 𝑠 < 𝑟

olmak üzere;

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑠; 𝑥)^1𝑠 ≤ 𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑟; 𝑥)^{𝑟 1} ; 𝑥 ∈ [0,1]

eşitsizliği sağlanır.

İspat. 1 ≤ 𝑠 < 𝑟 , 𝑝 ≔^𝑟_𝑠 > 1 olsun. Eğer 𝐴 yukarıdaki gibi verilirse;

𝐴(|𝑓|^𝑠) ≤ 𝐴(|𝑓|^𝑝𝑠)^1𝑝 = 𝐴(|𝑓|^𝑟)^𝑠𝑟

24 olur, böylece;

𝐴(|𝑓|^𝑠)^1𝑠 ≤ 𝐴(|𝑓|^𝑟)^1𝑟 ; 𝑓 ∈ 𝐶[0,1] , 1 ≤ 𝑠 < 𝑟

elde edilir. Özellikle 𝑓(𝑡) ≔ |𝑡 − 𝑥|; 𝑡 ∈ [0,1] , 𝑥 sabiti için

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑠; 𝑥)^1𝑠 ≤ 𝐿(|𝑒₁− 𝑥|^𝑟; 𝑥)^{𝑟 1} ; 1 ≤ 𝑠 < 𝑟

elde edilir.

Örnek 3.2.1.

𝒊) 𝐿: C[0,1]→ 𝐶[0,1] lineer pozitif operatörü için 𝐿(𝑒₀) = 𝑒₀ iken

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|; 𝑥) ≤ 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)¹² ≤ 𝐿(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥)¹³ ≤ 𝐿((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥)¹⁴ ≤ ⋯

eşitsizliği sağlanır.

𝒊𝒊)

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥)¹³ ≤ 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)¹⁶ 𝐿((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥)¹⁶

eşitsizliği doğrudur.

𝒊𝒊𝒊)

𝐵_𝑛((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥) = 1

𝑛⁴[3𝑛²𝑥²(1 − 𝑥)²+ 𝑛(𝑥(1 − 𝑥) − 6𝑥²(1 − 𝑥)²)]

=𝑥(1 − 𝑥)

𝑛² [3𝑥(1 − 𝑥) +1 − 6𝑥(1 − 𝑥)

𝑛 ]

ve

25 𝐵_𝑛((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥) =𝑥(1 − 𝑥)

𝑛

olup (𝒊) den;

𝐵_𝑛(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥) ≤ 𝐵_𝑛((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥)³⁴

=(𝑥(1 − 𝑥))³⁴

𝑛³² (3𝑥(1 − 𝑥) +1 − 6𝑥(1 − 𝑥)

𝑛 )

3 4 =: 𝐴

denirse (𝒊𝒊) den

𝐵_𝑛(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥) ≤ 𝐵_𝑛((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)¹²𝐵_𝑛((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥)¹²

=𝑥(1 − 𝑥)

𝑛³² (3𝑥(1 − 𝑥) +1 − 6𝑥(1 − 𝑥)

𝑛 )

1 2 =: 𝐵

olup buradan

𝐵

𝐴 = (𝑥(1 − 𝑥))¹⁴(3𝑥(1 − 𝑥) +1 − 6𝑥(1 − 𝑥)

𝑛 )

−¹₄

= ( 𝑥(1 − 𝑥)

3𝑥(1 − 𝑥) +^{1−6𝑥(1−𝑥)}_𝑛 )

1 4

≤ 1 ; ∀𝑥 ∈ [0,1]

bulunur. Böylece Bernstein polinomu için (𝒊𝒊) den daha iyi bir yaklaşım elde edilir.

26

4. POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM

4.1.Voronovsaja Teoreminin Bernstein Tipi Operatörlere Uygulaması

Bu kısımda, verilen sürekli bir f fonksiyonuna yaklaşım hızı hakkında süreklilik modülünün yardımıyla genel teoremlerin yanında, Bernstein polinomlarının verilen fonksiyona yaklaşım hızına da yer verilecektir.

Bu bölümde Voronovskaja teoremi de ispatı ile birlikte verilecektir. Voronovskaja ‘ nın sonucu ilk olarak [12]‘ te kanıtlanmış ve DeVore ile Lorentz ‘ in kitabında yer verilmiştir [13].

Teorem 4.1.1. (Bernstein): Bir 𝑓 ∈ 𝐶[0,1] fonksiyonu verildiğinde {𝐵_𝑛(𝑓 ; . )}

Bernstein polinomlar dizisi 𝑓 fonksiyonuna [0,1] kapalı aralığında düzgün yakınsaktır.

E. Voronovskaja 1932 yılında, S. N. Bernstein tarafından tanımlanan Bernstein polinomları için aşağıdaki teoremi ispatlamıştır.

Teorem 4.1.2. (Voronovskaja): 𝑓 fonksiyonu [0,1] aralığında sınırlı ve 𝑥 ∈ [0,1]

noktasında ikinci mertebeden sürekli ise;

𝑛→∞lim 𝑛𝐵_𝑛(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥)] =1

2𝑥(1 − 𝑥)𝑓^′′(𝑥)

eşitliği sağlanır.

İspat. 𝑓 fonksiyonu sabit 𝑥 noktası için Tanım 2.1.8. ‘ den Taylor formülü her 𝑡 ∈ (0,1) için

𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑓^′(𝑥)(𝑡 − 𝑥) +1

2[𝑓^′′(𝑥)(𝑡 − 𝑥)²+ 𝑔(𝑡; 𝑥)(𝑡 − 𝑥)²]

27

şeklindedir. Burada 𝑔(. , 𝑥)

,

dır. Eşitliğinin her iki tarafına Bernstein operatörü uygulanırsa

𝐵_𝑛((𝑓; 𝑥)) = 𝑓(𝑥)𝐵_𝑛(𝑒₀; 𝑥) + 𝑓^′(𝑥)𝐵_𝑛((𝑒₀− 𝑥); 𝑥) +1

2𝑓^′′(𝑥)𝐵_𝑛((𝑒₀− 𝑥)²; 𝑥) +1

2𝐵_𝑛(𝑔(. , )(𝑒₀− 𝑥)²; 𝑥)

Buradan, her 𝑥 ∈ [0,1] ve her 𝑛 ∈ ℕ için

𝐵_𝑛(𝑒₁− 𝑥; 𝑥) = 0 (4.1)

𝐵_𝑛((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥)

𝑛 (4.2)

olup (4.1) ve (4.2) den

𝐵_𝑛(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑥)

2𝑛 𝑓^′′(𝑥) + 𝐵_𝑛(𝑔; 𝑥)(𝑒₀− 𝑥)²; 𝑥)

bulunur. Bu son ifade düzenlenirse;

𝑛[𝐵_𝑛(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥)] =𝑥(1 − 𝑥)

2 𝑓^′′(𝑥) + 𝑛𝐵_𝑛(𝑔; 𝑥)(𝑒₀− 𝑥)²; 𝑥)

ifadesi bulunur. O halde

𝑛→∞lim 𝑛(𝐵_𝑛(𝑔(. , 𝑥)(𝑒₀− 𝑥)²)) = 0

olduğu gösterilirse istenilen elde edilir. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden

𝑛((𝐵_𝑛(𝑔(. , 𝑥)(𝑒₀ − 𝑥)²)) ≤ (𝑛²𝐵_𝑛 ((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥))¹². 𝐵_𝑛((𝑔(. , 𝑥))²; 𝑥))

1

2 (4.3)

28

eşitsizliği elde edilir. 𝑔(𝑥, 𝑥) = 0 olduğundan Teorem 4.1.1. gereğince;

lim

𝑛→∞𝐵_𝑛(𝑔(. , 𝑥)²; 𝑥) = (𝑔(𝑥, 𝑥))² = 0 (4.4) olur. Diğer taraftan

𝐵_𝑛 ((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥)) =𝑥(1 − 𝑥)[1 + 3(𝑛 − 2𝑥(1 − 𝑥))]

𝑛³

kullanılırsa; (4.3) ifadesi

𝑛((𝐵_𝑛(𝑔(. , 𝑥)(𝑒₁− 𝑥)²))

≤ (𝑛²𝑥(1 − 𝑥)[1 + 3(𝑛 − 2𝑥(1 − 𝑥))]

𝑛³ )

1 2

. (𝐵_𝑛((𝑔(. , 𝑥)²; 𝑥))¹²

≤ 2(𝐵_𝑛((𝑔(. , 𝑥)²; 𝑥))¹²

olarak bulunur. Dolayısıyla (4.4) den

𝑛→∞lim 𝑛. 𝐵_𝑛(𝑔(. , 𝑥)(𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥) = 0

olur. Bu da istenen sonucu verir.

Şimdi bu sonucun quantiative versiyonunu genel bir lineer pozitif operatör için verelim.

29

Teorem 4.1.3. 𝐿: 𝐶[0,1] → 𝐶[0,1] lineer pozitif operatör olmak üzere 𝑖 = 0, 1 için 𝐿𝑒_𝑖 = 𝑒_𝑖 olsun. 𝑓 ∈ 𝐶²[0,1], 𝑥 ∈ [0,1] için

|𝐿(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥) −1

2𝑓^′′(𝑥)𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)|

≤1

2𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)ῶ (𝑓^′′,1

3√𝐿((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥) 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥))

eşitsizliği sağlanır.

İspat. 𝐿: C[0,1] → 𝐶[0,1] lineer pozitif operatörü, 𝑓 ∈ 𝐶^𝑛[0,1], 𝑥 ∈ [0,1] için

𝐿(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥) = 𝐿(𝑓(𝑡); 𝑥) − 𝑓(𝑥)

= 𝐿 (∑1

𝑘!𝑓^(𝑘)(𝑥)

𝑛

𝑘=0

(𝑡 − 𝑥)^𝑘; 𝑥) + 𝐿 (𝑓 − ∑ 1

𝑘!𝑓^(𝑘)(𝑥)

𝑛

𝑘=0

(𝑡 − 𝑥)^𝑘; 𝑥) − 𝑓(𝑥)

= 𝑓(𝑥)[𝐿(𝑒₀; 𝑥) − 1] + ∑ 1

𝑘!𝑓^(𝑘)(𝑥)𝐿((𝑒₁− 𝑥)^𝑘; 𝑥)

𝑛

𝑘=1

+ 𝐿 (𝑓 − ∑ 1

𝑘!𝑓^(𝑘)(𝑥)

𝑛

𝑘=0

(𝑒₁− 𝑥)^𝑘; 𝑥)

yazabiliriz.

Verilen terimler düzenlenirse;

𝐿(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)[𝐿(𝑒₀; 𝑥) − 1] − ∑ 1

𝑘!𝑓^(𝑘)(𝑥)𝐿((𝑒₁− 𝑥)^𝑘; 𝑥)

𝑛

𝑘=1

= 𝐿 (𝑓 − ∑ 1

𝑘!𝑓^(𝑘)(𝑥)

𝑛

𝑘=0

(𝑒₁− 𝑥)^𝑘; 𝑥)

30 = 𝐿 ((𝑒₁− 𝑥)^𝑛

𝑛! 𝜇_𝑥(. ); 𝑥) (4.5)

olup burada (3.1) den

(𝑡 − 𝑥)^𝑛

𝑛! 𝜇_𝑥(𝑡) ≔ 𝑓(𝑡) − ∑ 1

𝑘!𝑓^(𝑘)(𝑥)

𝑛

𝑘=0

(𝑡 − 𝑥)^𝑘

|(𝑡 − 𝑥)^𝑛

𝑛! 𝜇_𝑥(𝑡)| ≤(𝑡 − 𝑥)^𝑛

𝑛! ῶ (𝑓^(𝑛);|𝑡 − 𝑥|

𝑛 + 1)

ve

ῶ (𝑓^(𝑛);|𝑡 − 𝑥|

𝑛 + 1) = 𝑜(1) ; 𝑡 → 𝑥

elde edilir. (4.5) yeniden düzenlenirse

|𝐿(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥) − 1

𝑛!𝑓^𝑛(𝑥)𝐿((𝑒₁− 𝑥)^𝑛; 𝑥)| = |𝐿 ((𝑒₁− 𝑥)^𝑛

𝑛! 𝜇_𝑥(. ); 𝑥)|

yazılabilir.

𝐿 pozitif operatörü ve 𝑛 = 2 için

|𝐿(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥) −1

2𝑓^′′(𝑥)𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)| ≤ 𝐿 ((𝑒₁− 𝑥)²

2 |𝜇_𝑥(. )|; 𝑥)

≤ 𝐿 ((𝑒₁− 𝑥)²

2 ῶ (𝑓^′′;|𝑒₁− 𝑥|

3 ) ; 𝑥)

31 elde edilir.

Bu son ifade için daha uygun bir üst sınır elde edelim. 𝑔 ∈ 𝐶³[0,1] keyfi olmak üzere;

𝐿 ((𝑒₁− 𝑥)²

2 ῶ (𝑓^′′;|𝑒₁− 𝑥|

3 ) ; 𝑥)

= 𝐿 ((𝑒₁− 𝑥)²𝐾 (|𝑒₁− 𝑥|

6 , 𝑓^′′; 𝐶⁰[0,1], 𝐶¹[0,1]) ; 𝑥)

≤ 𝐿 ((𝑒₁− 𝑥)²{‖𝑓 − 𝑔‖^′′+|𝑒₁− 𝑥|

6 ‖𝑔^′′′‖} ; 𝑥)

= 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)‖𝑓 − 𝑔‖^′′+1

6 𝐿(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥)‖𝑔^′′′‖

= 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥) {‖𝑓 − 𝑔‖^′′+1 6

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥)

𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)‖𝑔^′′′‖}

𝑔 ∈ 𝐶³[0,1] üzerinden infimum alınırsa ve Lemma 2.2.1.1. kullanılırsa

𝐿 ((𝑒₁− 𝑥)²

2 ῶ (𝑓^′′;|𝑒₁− 𝑥|

3 ) ; 𝑥)

≤ 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)𝐾 (1 6

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥)

𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥), 𝑓^′′; 𝐶⁰, 𝐶¹)

=1

2𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)ῶ (𝑓^′′,1 3

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥) 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥))

yazılabilir.

32

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥) = 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²|𝑒₁− 𝑥|; 𝑥) eşitliğine pozitif lineer fonksiyonlar için Cauchy-Schwarz eşitsizliğini uygularsak;

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|³; 𝑥) ≤ √𝐿((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥)√𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)

elde ederiz. Bu eşitsizliği yukarıdaki eşitsizlikte yerine yazarsak ispat tamamlanır.

Örnek 4.1.1. 𝐶[0,1] üzerinde 𝐴 = 𝐼, 𝐵 = 𝐿 pozitif lineer operatör olduğunu varsayalım. Teorem 4.1.3. den aşağıdaki sonuçlar elde edilir.

𝒊)

|𝐿(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝐿(|𝑒₁− 𝑥|; 𝑥)ῶ (𝑓^′;1 2

𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)

𝐿(|𝑒₁− 𝑥|; 𝑥)) , 𝑓 ∈ 𝐶¹[0,1], 𝑥 ∈ [0,1]

eşitsizliği doğrudur.

𝒊𝒊)

|𝐿(𝑔; 𝑥) − 𝑔(𝑥)| ≤1

2 𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)‖𝑔^′′‖ , 𝑔 ∈ 𝐶²[0,1], 𝑥 ∈ [0,1]

olup bu pozitif lineer operatörlerin yaklaşımında iyi bilinen bir eşitsizliktir [14].

𝒊𝒊𝒊)

|𝐿(𝑓; 𝑥) − 𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐𝜔₂(𝑓; √1

2𝐿((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)

𝟐 ) , 𝑓 ∈ 𝐶[0,1], 𝑥 ∈ [0,1]

dir. Bilindiği kadarıyla Esser ‘ in bu eşitsizliği ilk olarak [15] ve [16] ‘ da elde edilmiştir ; daha kesin tahminlere ise [17] ve [18] ‘ de yer verilmiştir.

33 4.2. Bazı Temel Operatörler ve Momentleri

Bernstein operatörlerinin bir integral genelleşmesi 1967 yılında J. L. Durrmeyer tarafından verilmiştir.

Tanım 4.2.1. [0,1] aralığı üzerinde integrallenebilir fonksiyonlara yakınsayan 𝑛 ≥ 1 olmak üzere 𝑓 ∈ 𝐿¹([0,1]) ve 𝑥 ∈ [0,1] için;

𝐷_𝑛(𝑓; 𝑥) = (𝑛 + 1) ∑ (𝑛

𝑘) 𝑥^𝑘(1 − 𝑥)^𝑘∫ (𝑛 𝑘)

1

0 𝑛

𝑘=0

𝑡^𝑘(1 − 𝑡)^𝑘𝑓(𝑡)𝑑𝑡

şeklinde tanımlı operatörlere Bernstein- Durrmeyer operatörü adı verilir.

1969 yılında D. D. Stancu , Bernstein operatörünü şu şekilde genelleştirmiştir:

Tanım 4.2.2. 𝑓 ∈ 𝐶[0,1] olmak üzere

𝑃_𝑛^(𝛼,𝛽)(𝑓; 𝑥) = ∑ (𝑛

𝑘) 𝑥^𝑘(1 − 𝑥)^𝑘

𝑛

𝑘=0

𝑓 (𝑘 + 𝛼

𝑛 + 𝛽) , 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝛽

şeklinde tanımlı operatörlere Stancu operatörleri adı verilir.

Açıktır ki 𝛼 = 𝛽 = 0 durumunda Bernstein polinomları elde edilir.

[0,1] aralığında tanımlı sürekli keyfi 𝑓 fonksiyonu için n. Bernstein polinomu (operatörü)

𝐵_𝑛( 𝑓; 𝑥) = ∑ 𝑓(𝑘 𝑛) (𝑛

𝑘)

𝑛

𝑘=0

𝑥^𝑘(1 − 𝑥)^𝑛−𝑘

şeklinde tanımlanır. Bu operatörlerin oluşturulma yapısı binom açılımına dayanmaktadır. Yani; 𝑥, 𝑦 pozitif sayılar ve 𝑛 ∈ ℕ olmak üzere binom açılımı

34 (𝑥 + 𝑦)^𝑛 = ∑ (𝑛

𝑘) 𝑥^𝑘𝑦^𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=0

biçimindedir. Bu açılımda 𝑥 ∈ [0,1]



1 = (𝑥 + 1 − 𝑥)^𝑛 = ∑ (𝑛 𝑘)

𝑛

𝑘=0

𝑥^𝑘(1 − 𝑥)^𝑛−𝑘

eşitliği elde edilir.

Tanım 4.2.3. Lupaş’ın Beta operatörü 𝔹̅_𝑛 ;

𝔹̅_𝑛 = {

𝑓(0), 𝑥 = 0;

1

𝐵(𝑛𝑥, 𝑛 − 𝑛𝑥)∫ 𝑡^𝑛𝑥−1(1 − 𝑡)^{𝑛−1−𝑛𝑥}𝑓(𝑡)𝑑𝑡, 0 < 𝑥 < 1;

1

0

𝑓(1) , 𝑥 = 1

şeklinde tanımlanmıştır [19, 20].

𝔹̅_𝑛((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥) =3𝑛𝑥²(1 − 𝑥)²+ 6𝑥(1 − 𝑥)(3𝑥²− 3𝑥 + 1)

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3) (4.6)

𝔹̅̅̅_𝑛((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥) =𝑥(1 − 𝑥)

𝑛 + 1 (4.7)

(4.6) ve (4.7) den ;

𝔹̅_𝑛((𝑒₁− 𝑥)⁴; 𝑥)

𝔹̅_𝑛((𝑒₁− 𝑥)²; 𝑥)= 3𝑛𝑥(1 − 𝑥) + 6(3𝑥²− 3𝑥 + 1) (𝑛 + 2)(𝑛 + 3)

≤ 2

𝑛 + 3