formundaki diferensiyel denklemlere birinci basamaktan Riccati diferensiyel den- klemi denir.

Riccati Deferensiyel Denklemi

Tan¬m.

dy

dx = f (x) + g (x) y + h (x) y ²

formundaki diferensiyel denklemlere birinci basamaktan Riccati diferensiyel den- klemi denir.

Burada h (x) 0 ise denklem lineer diferensiyel denklem, f (x) 0 ise denklem Bernoulli deferensiyel denklemidir. Riccati diferensiyel denkleminin çözümünü bulmak için genel bir metod yoktur.

y := w ⁰ (x) h(x)w(x)

dönü¸ sümü yard¬m¬yla bu denklem ikinci basamaktan de¼ gi¸ sken katsay¬l¬ lineer homojen bir denkleme dönü¸ stürülebilir.

E¼ ger Riccati denkleminin bir y ₀ (x) özel çözümü biliniyorsa, y := y 0 (x) + 1

w (x) dönü¸ sümü denklemi,

dw

dx + [g (x) + 2h (x) y 0 (x)]w + h (x) = 0

lineer diferensiyel denklemine dönü¸ stürür. Bu denklemde ba¼ g¬ml¬de¼ g¸ siken w (x) dir.

Örnek.

dy

dx = 3 + 3x ² y xy ²

Riccati diferensiyel denkleminin bir özel çözümü y ₀ (x) = 3x dir.

y := 3x + 1 w (x) dönü¸ sümünü uygularsak, denklem

dw

dx 3x ² w x = 0 lineer denklemine dönü¸ sür.

Bu denklemin integral çarpan¬

(x) = e ^x

dir. Bu integral çarpan¬kullan¬larak lineer denklemin çözümü w (x) = e ^x

Z

e ^x

xdx + c

1

olarak elde edilir. Verilen Riccati denkleminin çözümü de

y (x) = 3x + 1

e ^x

R

e ^x

xdx + c dir.

Örnek. A¸ sa¼ g¬daki diferensiyel denklemlerin birer özel çözümü yanlar¬nda verilmi¸ stir. Bu denklerin genel çözümünü bulunuz.

1.

y ⁰ = 2 y + y ² ; y 1 (x) = 2

2.

y ⁰ = 2 cos ² x sin ² x + y ² 2 cos x ; y ₁ (x) = sin x

2