8.SINIF CEBirsel ifadeler

(1)

Özdeşlik

İçerdiği değişken veya değişkenlerin alabileceği her gerçek sayı değeri için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

Örnek olarak x + 3 = 3 + x eşitliğinde;

x = 0 olduğunda + 3 = + 30 0 3 = 3

x = 1 olduğunda + 3 = + 31 1 4 = 4

x = 5 olduğunda + 3 = + 35 5

8 = 8

x ‘e verilen değerler için eşitlik bozulmadığı için x + 3 = 3 + x ifadesi bir özdeşliktir.

(x + 4) + (x - 5) = 2x - 1 eşitliğinin özdeşlik olup olmadığını inceleyelim.

(x + 4) + (x - 5) = 2x - 1 eşitliğinde;

x = 0 olduğunda ( + 4) + ( - 5) = 2. - 10 0 0 4 + (-5) = 0 - 1 -1 = -1

x = 2 olduğunda ( + 4) + ( - 5) = 2. - 12 2 2 6 + (-3) = 4 - 1 3 = 3

3x + 2 = 2x + 3 eşitliğinin özdeşlik olup olmadığını inceleyelim.

(2x + 2) - (x + 1) = x - 3 eşitliğinin özdeşlik olup olmadığını inceleyelim.

3.(x - 1) = 3x - 3 ifadesinin özdeşlik olup olmadığı inceleyelim.

4.(2x + 1) = 8x + 1 ifadesinin özdeşlik olup olmadığı inceleyelim.

Sefa TUNCAYSefa TUNCAYSefa TUNCAY

ÇÖZÜM ÖRNEK

SIRA SENDE

www.ortaokulmatematik.org

(2)

Önemli Özdeşlikler ve Modelleri

Bilinmesi gerken özdeşlikler tam kare özdeşliği ve iki kare farkı özdeşliğidir.

1) Tam Kare Özdeşliği

Kenarlarının uzunluğu (x + y) olan bir karenin alanı (x + y)²‘dir.

Bu karenin (x + y) olan kenarları x ve y olarak parçalara ayrılır.

Parçaların alanları toplamını bulalım.

2 2

x + xy + xy + y x² + 2xy + y²

Sonuç olarak ( + )x y2 = x x ²+ 2 y+y²‘dir.

(x + y)2

(x + y) (x + y)

x

x y

y

2 xy x

y2

xy

Kenarlarının uzunluğu (x - y) olan bir karenin alanı (x - y)2‘dir.

Bu karenin (x - y) olan kenarları x ve -y olarak parçalara ayrılır.

Parçaların alanları toplamını bulalım.

2 2

x - xy - xy + y x² - 2xy + y²

Sonuç olarak ( - ) = - 2x y 2 x² xy + y²‘dir.

O halde tam kare özdeşlikleri ;

2 2 2

(x + y) = x + 2xy + y

birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı + ikincinin karesi

2 2 2

(x - y) = x - 2xy + y

birincinin karesi - birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı + ikincinin karesi

(x- y) (x - y)²

(x - y)

x

x -y

-y

x2

y2

-xy

(3)

(x + 1) ‘in eşitini bulalım.2

l.ÇÖZÜM YOLU

(x + 1) cebirsel ifadesi bir tam karedir. 2

birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı + ikincinin karesi

2 2 2

(x + 1) = x + 2.x.1 + 1

2 2

(x + 2) = x + 2x + 1

ll.ÇÖZÜM YOLU

(x + 4) ‘in eşitini bulunuz.2

(x + 5) ‘in eşitini bulunuz.2

(x - 1) ‘in eşitini bulunuz.2

(2x + 5) ‘in eşitini bulunuz.2

(3x - 2) ‘in eşitini bulunuz.2

ÇÖZÜM ÖRNEK

(x + 1) = (x + 1) . (x + 1)2

= x.x + x.1 + 1.x + 1.1 = x + 2x + 12

SIRA SENDE

(4)

2 2

a + b = 5 ve a.b = 6 olduğuna göre a + b kaçtır?

Bu tür sorularda verilenleri kullanarak istenene ulaşacağız.

2 2

(a + b) ‘nin karesi alındığında a + b ifadesini içeren bir cebirsel ifadeye ulaşırız.

2 2 2

(a + b) = a + 2ab + b olduğunu biliyoruz. Soruda verilenleri bu ifadede yerine yazalım.

2 2 2

(a + b) = a + 2ab + b 5² = a + b + 2.6² ²

2 2

25 = a + b + 12

2 2

a + b = 13

2 2

a - b = 4 ve a.b = 12 olduğuna göre a + b kaçtır?

2 2

ÇÖZÜM ÖRNEK

SIRA SENDE

(5)

2 2

Bu tür sorularda verilenleri kullanarak istenene ulaşacağız.

2 2

(a + b) ‘nin karesi alındığında a + b ifadesini içeren bir cebirsel ifadeye ulaşırız.

2 2 2

(a + b) = a + 2ab + b olduğunu biliyoruz. Soruda verilenleri bu ifadede yerine yazalım.

(a + b) = ² a² + 2ab+ b² (a + b) = ² 20 + 2. 8

(a + b) = ² 20 + 16 (a + b) = 36²

(a + b) = 6

2 2

a + b = 20 ve a.b = 8 olduğuna göre a - b kaçtır?

2 2

ÇÖZÜM ÖRNEK

SIRA SENDE

(6)

x

x x²

x

y y

x y

x-y

x-y x

y x y

x-y

x-y x

y

x-y x-y

x + y

x + y 2) İki Kare Farkı Özdeşliği

Kenar uzunlukları x olan bir karenin alanı x ‘dir.2

2 2

Alanı x olan bir kareden alanı y olan bir kareyi kesip çıkaralım.

Kalan parçayı 2 eş parçaya bölelim.

Oluşan parçaları birleştirelim.

Yeni oluşan dikdörtgenin alanı ile kalan parçanın alanı birbirine eşit olmalıdır.

Dikdörtgenin Alanı = (x - y) . (x + y) ‘dir.

O halde x - y = (x - y) . (x + y) ‘dir.² ²

x - 1 cebirsel ifadesinin eşitini bulalım.2

2 2 2

x - 1 ifadesi iki tam karenin farkı olarak x - 1 şeklinde yazılabilir.

2 2

x - y = (x - y) . (x + y)

2 2

x - 1 = (x - 1) . (x + 1) şeklinde yazılabilir.

x-y

x y

x-y x

y

Kalan parçanın alanı

2 2

x - y ‘dir.

ÇÖZÜM ÖRNEK

SIRA SENDE

(7)

2 2

a - 4b cebirsel ifadesinin eşitini bulunuz.

2 2

9a - 16b cebirsel ifadesinin eşitini bulunuz.

2 2

x - y = 15 ve x - y = 5 olduğuna göre x + y ‘nin sonucu kaçtır?

2 2

x - y = 18 ve x - y = 2 olduğuna göre x + y ‘nin sonucu kaçtır?

2 2

x - y = 25 ve x + y = 25 olduğuna göre x - y ‘nin sonucu kaçtır?

2 2

x - y = 30 ve x + y = 10 olduğuna göre x - y ‘nin sonucu kaçtır?

SIRA SENDE

SIRA SENDE SIRA SENDE

SIRA SENDE

SIRA SENDE SIRA SENDE

(8)

2 2

50 - 48 = 2.x olduğuna göre x kaçtır?

2 2

50 - 48 ifadesi iki kare farkıdır.

2 2

50 - 48 = (50 - 48) . (50 + 48) şeklinde yazılır.

2 2

50 - 48 = (50 - 48) . (50 + 48)

2 2

50 - 48 = . 2 (98) O halde x = 98 olmalıdır.

2 2

1000 - 999 = a olduğuna göre a kaçtır?

2 2

40 - 35 = 5.b olduğuna göre b kaçtır?

2 2

48 - 12 = 60.c olduğuna göre y kaçtır?

2 2

7.A = 100 - 40 olduğuna göre A kaçtır?

2 2

ÇÖZÜM ÖRNEK

SIRA SENDE

(9)

Çarpanlara Ayırma

Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmak, ‘’cebirsel ifadenin hangi iki cebirsel ifadenin çarpımı olduğunu bulmak’’ demektir.

1) Ortak Çarpan Parantezine Alma

Cebirsel ifadedeki terimlerin çarpanlarından ortak olanları belirlenip ortak olarak parantez dışına, geriye kalan terimler ise parantez içinde yazılır.

3x + 15 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

3x + 15 = .x + .15 = . (x + 5)3 3 3

Burada 3 ve (x + 5) ifadeleri çarpanlardır.

4x + 12 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayırınız.

2x + 40 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

-6x + 24 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

20 - 5x cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri Ortak Çarpan Parantezine Alma Özdeşliklerden Yararlanma Modellerden Yararlanma

ÖRNEK

SIRA SENDE

(10)

2x - 4y cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

4a - 18b cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

3a - 15b cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

3x - 15x cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

4x + 8x cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

4x - 12x cebirsel ifadesinin çarpanlarını bulunuz.2

2x - 20x cebirsel ifadesinin çarpanlarını bulunuz2

2x + 16x cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.3

SIRA SENDE

(11)

2) Özdeşliklerden Yararlanma

Bazı önemli özdeşlikleri daha önce öğrenmiştik.

2 2

x + 2xy + y = (x + y) . (x + y) x² - 2xy + y = (x - y) . (x - y)²

2 2

x - y = (x - y) . (x + y)

Tam kare özdeşliği ve iki kare farkı özdeşliği olan cebirsel ifadeler çarpanlarına ayrılabilir.

x + 2x + 1 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

2 2 2

x + 2x + 1 = + 2. . + olduğundan tam kare x x1 1 özdeşliğidir.

x² + 2. . + = ( + ) . ( + )x1 1² x 1 x 1

O halde çarpanlar (x + 1) ve (x + 1) ‘dir.

x² + 14x + 49 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

x - 4x + 4 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

x - 6x + 9 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

x² - 10x + 25 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

x² - 24x + 144 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

ÇÖZÜM ÖRNEK

SIRA SENDE

(12)

9x + 6x + 1 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

4x + 20x + 25 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

9x² + 6x + 1 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

4x² + 24x + 36 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

9x - 6x + 1 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

4x - 20x + 25 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.2

9x² - 6x + 1 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

4x² - 24x + 36 cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.

SIRA SENDE

(13)

x + ax + 9 cebirsel ifadesinin tam kare ifade belirtmesi 2

için a doğal sayısı kaç olmalıdır?

2 2 2

x + ax + 9 = x + ax + 3 ifadesi tam kare ise bu cebirsel ifade (x + 4) olmalıdır.2

2 2

x + ax + 9 = (x + 3)

2 2

x + ax + 9 = x + 2.x.3 + 9

2 2

x + ax + 9 = x + 6x + 9 a = 6 olmalıdır.

x + ax + 25 cebirsel ifadesinin tam kare ifade belirtmesi 2

x - ax + 81 cebirsel ifadesinin tam kare ifade belirtmesi 2

x - ax + 16 cebirsel ifadesinin tam kare ifade belirtmesi 2

4x + ax + 9 cebirsel ifadesinin tam kare ifade belirtmesi 2

4x + ax + 14 cebirsel ifadesinin tam kare ifade belirtmesi 2

4x - ax + 16 cebirsel ifadesinin tam kare ifade belirtmesi 2

ÇÖZÜM ÖRNEK

SIRA SENDE

SIRA SENDE SIRA SENDE SIRA SENDE SIRA SENDE

(14)

8.SINIF CEBirsel ifadeler

Özdeşlik

Önemli Özdeşlikler ve Modelleri

Çarpanlara Ayırma

daha fazla öğrenciye ulaşmak adına bu dökümanın orjinal halinin

fotokopiyle çoğaltılarak kullanılmasında hiçbir

sakınca yoktur.

Dökümanın kopyalanıp , kesilip değiştirilerek kullanılması herşeyden önce kul hakkıdır ve

kişinin vicdanı ile ilgili bir durumdur.

Lütfen emeğe, alın terine ve

dökümanın hazırlanması için harcanan zamana saygı duyalım.

Sefa TUNCAY