• Sonuç bulunamadı

EĞİLME VE BURULMAYA MARUZ ELASTİK ROBOT KOLUNUN DİNAMİK MODELİ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "EĞİLME VE BURULMAYA MARUZ ELASTİK ROBOT KOLUNUN DİNAMİK MODELİ"

Copied!
9
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

EĞİLME VE BURULMAYA MARUZ

ELASTİK ROBOT KOLUNUN DİNAMİK MODELİ

Levent AKBABA

ve Şefaatdin YÜKSEL*

Başbakanlık Denizcilik Müsteşarlığı, Maltepe, Ankara

*Makina Mühendisliği Bölümü, Mühendislik Mimarlık Fakültesi, Gazi Üniversitesi, Maltepe, 06570 Ankara levent.akbaba@denizcilik.gov.tr syuksel@gazi.edu.tr

(Geliş/Received: 16.02.2005; Kabul/Accepted: 15.08.2005) ÖZET

Bu çalışmada, uzaydaki sabit bir eksen takımına göre hareketi önceden belirlenmiş bir mafsal içinde hareket eden elastik çubuk ele alınmıştır. Elastik çubuğun iki eksene göre eğilmeye ve kendi ekseni etrafında burulmaya maruz kaldığı ve çubuğun ucunda bir disk olduğu kabul edilmiştir. Kayar mafsalın sabit bir eksen takımına göre kinematiği üç boyutlu olarak verilmektedir. Elastik çubuğun kayar mafsal içindeki hareketini kayar mafsaldan uygulanan tahrik kuvveti temin etmektedir. Bu kabuller altında elastik çubuğun hareket denklemleri Hamilton Prensibi ile elde edilmiştir. Ayrıca, Kabul Edilmiş Modlar yöntemi kullanılarak sistemin hareket denklemleri adi diferansiyel denklem takımları şeklinde elde edilmiştir. Bu denklem takımları çözülerek elde edilen titreşim biçimleri grafikler şeklinde sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler: Elastik çubuk, prizmatik mafsal, eğilme titreşimleri, burulma titreşimleri.

DYNAMIC MODELING OF ELASTIC ROBOT ARM IN BENDING AND TORSION

ABSTRACT

In this study, an elastic beam sliding through a prismatic joint having an arbitrarily given motion in a fixed coordinate system is investigated. It is assumed that elastic beam undergoing flexural in two planes and torsional elastic displacements, and elastic beam having a disk at one-end. Kinematics of prismatic joint is given as a 3D- space motion in a fixed coordinate system. The prismatic joint is subjected to a propelling force from prismatic joint. With these assumptions, the differential equations of motion of the elastic beam are derived by using Hamilton’s Principle. Besides, the equations of motions of the system are derived as ordinary differential equations by using the Assumed Modes Method. These equations are solved and some sample mode shapes of the vibrations are presented as graphics.

Keywords: Elastic beam, prismatic joint, flexural vibrations, torsional vibrations.

1.GİRİŞ

Teknolojide meydana gelen gelişmelerle birlikte en- düstriyel robotlarda yüksek hızlı ve hafif manipülatörle- rin, uzay robotlarında ise hafif ve dolayısıyla esnek kol- ların kullanımı yaygınlaşmıştır. Ancak esnek çubuk kul- lanımı ile birlikte titreşimlerin artması ve verimin düş- mesi problemi ile karşılaşılmıştır. Bu nedenle elastik çu- buk içeren sistemlerin gerçekçi bir matematik modeline ihtiyaç duyulmaktadır. Elde edilen sonuçların gerçeğe daha yakın olması için ise rijit ve elastik hareket denk- lemlerinin beraber çözülmesi gerekmektedir. Çözüm için sonlu elemanlar gibi modele dayalı yöntemlerin yanında Galerkin vb. genel yöntemler de kullanılmaktadır.

Literatürde uzay araçları, robot manipülatörleri ve biomekanikte elastik çubuk kullanımı ile ilgili bir çok çalışmaya rastlanmaktadır. Uzay araçlarındaki anten- ler ve bazı manipülatör tiplerinde sıkça kullanılması sebebiyle bir tarafı kayar mafsal içinde hareket eden esnek kollar son zamanlarda büyük ilgi görmektedir.

Bu konuda yapılan ilk çalışmalardan birini Taborrok [1] yapmış ve çubuk boyu değişen bir tarafı ankastre çubuğun titreşim modları ile ilgili bazı özellikleri tes- pit etmiştir. Buna benzer çalışmalarda, Bergamaschi ve Sinopoli [2] gibi direkt analitik çözüm arama çalışmaları olmasına rağmen, çoğunluğunda; sabit bir Euler-Bernoulli kirişinin özfonksiyonları kullanılarak

(2)

çözüme gidilmiştir. Sabit bir kayar mafsal içinde hareket ederek boyu değişen çubuk, herhangi bir t anında bir tarafı ankastre kiriş gibi düşünülmüş, anali- tik veya yaklaşık yöntemlerle elde edilen hareket denklemleri çözülerek titreşim şekilleri incelenmiştir [3-7]. Problem, Ankaralı ve Diken [8] bir tarafı sabit diğer tarafı serbest elastik manipülatörler, Buffinton ve Kane [9] ise iki tarafı serbest; fakat ortasından desteklenmiş kiriş olarak tanımlanmış ve çözüm için Lagrange denklemlerine dayalı “Kabul edilmiş Modlar Yöntemi” (Assumed modes method) kullanılmıştır.

Diğer bir grup çalışmada; çubuğun hareket eden bir kayar mafsal içinde kaydığı düşünülmüştür. Söz ko- nusu çalışmaları yapan gruptan Lee [10], Tadikonda, Singh ve Stornelli [11], Yuh ve Young [12] ve Banerjee ve Kane [13] kayar mafsalın dönme hareketi yaptığını kabul etmişlerdir. Bunlardan ilk ikisinde, Newton kanunları ile hareket denklemleri elde edilip Galerkin yöntemi ile çözüme gidilmiştir. Üçüncüsün- de ise, kol ayrık elemanlar şeklinde modellenerek incelenmiştir. Chalhoub ve Ulsoy [14], tarafından yapılan çalışmada Kabul Edilmiş Modlar yöntemini kullanılmış ve problemi kayar mafsalın iki ayrı eksene göre döndüğünü kabul ederek incelemişlerdir.

Al-Bedoor ve Khulief tarafından yapılan çalışmalarda birden fazla serbestlik derecesine sahip elastik çubu- ğun ucunda bir noktasal kütle olduğu kabul edilmiştir [15-17]. Bunlara benzer başka bir çalışmada; iki eksende titreşim, yer çekimi kuvveti, iç ve dış sönüm- leme ile kütle yüklerinin etkileri dahil edilerek burul- ma deformasyonu incelenmiş ve eksenel rijitliğe sahip çubuğun hareket denklemlerinin çıkarılmasında, Hamilton Prensibi kullanılmıştır [18]. Diğer bir çalış- mada, elastik çubuğun ucunda atalet momentine sahip bir yük olduğu kabul edilmiştir [19]. Gürgöze ve Müller [20] tarafından yapılan bir çalışmada ise eğilmelere ek olarak kirişte burulma olduğu kabul edilip kolun hareket denklemlerini sürekli ve ayrık modelleme halleri için ayrı ayrı elde edilmiştir. Başka bir grup çalışma, eğilme ve burulma titreşimlerinin birbirine bağlı olduğu elastik çubuklarla ilgili yapıl- mıştır [21-24]. Yüksel ve Gürgöze [25] tarafından yapılan çalışmada, düşey eksende hareket eden çubuk ele alınmış; ağırlık kuvveti, dönme ataleti ve eksenel kuvvet etkileri sisteme dahil edilmiştir. Gürgöze ve Yüksel [26] tarafından yapılan başka bir çalışmada çubuğun yatay düzlemde hareket ettiği kabul edilerek dönme ataleti ile çubuğun ucunda bir kütle bulunma- sının etkileri de dikkate alınmıştır. Yüksel [27] tara- fından yapılan diğer bir çalışmada ise sabit bir eksen takımına göre üç boyutlu hareket yapabilen bir kayar mafsal içinden kayan elastik çubuk ele alınmıştır. Çu- buk herhangi bir t anında, bir tarafı ankastre diğer ta- rafında bir nokta kütle bulunan iki eksende eğilmeye maruz, Euler – Bernoulli kirişi gibi düşünülmüştür.

Ayrıca; eksenel atalet kuvveti, dönme ataleti ve ağırlık kuvvetlerinin etkileri de probleme dahil edilmiştir.

Bu çalışmada, Yüksel’in [27] çalışmasına benzer şekilde uzaydaki sabit bir eksen takımına göre hareke- ti önceden belirlenmiş bir mafsal içinde hareket eden

elastik çubuk ele alınmıştır. Kayar mafsalın sabit bir eksen takımına göre kinematiği üç boyutlu olarak ve- rilmekte olup, uzaydaki sabit bir eksen takımına göre hareketi önceden belirlenmiş bir mafsal içinde, kayar mafsal tarafından uygulanan tahrik kuvveti ile hareket eden elastik çubuk incelenmiştir. Elastik çubuğun iki eksene göre eğilmeye ve kendi ekseni etrafında burul- maya maruz kaldığı ve çubuğun ucunda bir disk ol- duğu kabul edilmiştir. Kayar mafsalın sabit bir eksen takımına göre kinematiği üç boyutlu olarak verilmek- tedir. Bu kabuller altında elastik çubuğun hareket denklemleri Hamilton Prensibi ile elde edilmiştir.

2. HAREKET DENKLEMLERİ

Ele alınan elastik çubuk, sabit bir eksen takımına göre hareketi bilinen bir kayar mafsal içinde hareket etmektedir. (Şekil 1). Önce kinematik sonra da dinamik analiz için değişik eksen sistemlerinden yararlanılacaktır. Bu eksen takımlarından birincisi sabit eksen takımı XYZ’ dir. Diğer eksen takımları;

orijini A noktasında ve eksenlerinin doğrultuları ise hareketsiz çubuğun asal eksenleri doğrultusunda olan kayar mafsala tespit edilmiş hareketli eksen takımı

A A A

y z

x

ve elastik çubuk üzerinde E ile gösterilen tipik bir elemana yerleştirilmiş hareketli eksen takımı

E E E

y z

x

dir.

Elastik çubuğun, çubuk dik kesit düzlemindeki asal eksenler

x

A ve

z

Aeksenlerine göre eğilmeye ve

y

A çubuk ekseni etrafında burulmaya maruz kaldığı kabul edilmektedir. Bu elastik yerdeğiştirmeler; ux, uz

ve

β

ile gösterilmiştir. Çubuğun boyu, bir P referans noktasına göre L ile verilmiş; ayrıca çubuğun ucuna M kütlesine ve I atalet momentine sahip bir disk yerleştirilmiştir.

Z Y

X x z

ϕ γ

(t) (t)

(t)

M

z y

ux uz s(t)

y A

L

r(t)

P

A A

A

E E

xE

y

β E

Şekil 1. Ele alınan sistemin matematik modeli

(3)

Burada, kayar mafsalın sabit eksen takımına göre hareketi, konumu r(t) ile dönme açıları θ(t) ve

ϕ

(t) tarafından belirlenmektedir. Kayar mafsala tespit edil- miş xAyAzA eksen takımının, sabit eksen takımına göre dönme hareketi ise γ(t) ile belirlenmektedir.

Kayar mafsal içinden kayan elastik çubuğun konumu s(t) önceden bilinmektedir. Ele alınan elastik çubuk sisteminde kinetik enerji ifadesi;

T

dön: dönme hareketinin kinetik enerjisi

T

doğ: doğrusal hareketin kinetik enerjisi

olmak üzere iki kısımdan oluşmaktadır. Dönme hare- ketinden kaynaklanan kinetik enerji, rijit ve elastik dönme hareketlerinden kaynaklanmakta olup,

}dy )I u u γ 2 - γ (

)I β β γ u 2 u γ ( )I u

u γ γ L){(β δ(y ] )I u

u γ 2 - γ ( I ) β β γ u 2 u γ (

)I u u γ γ 2 {[(β T ρ

2 dz x 2 x

2 dy 2 z

2 z 2 dx z

2 z z 2

x2

2 x 2 y

2 z 2 z

L s

2 x z 2 z

dön 2

+ +

+

+

+ +

+

+ +

+

+

+

+

=

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(1)

şeklinde ifade edilmektedir. Burada;

ρ

: Çubuğun yoğunluğu,

z y x

, I , I

I

: küçük çubuk elemanının, XYZ hareketli eksen takımına göre atalet momentleri ve

dz dy dx

, I , I

I

: çubuğun ucundaki diskin atalet moment- leridir.

Çubuğun doğrusal hareketinden kaynaklanan kinetik enerji ise;

}dy ) V u ( ) γ cos V

sinγ V u γ s ( ) sin V cosγ V

y) (s γ u {(

L)]

(y δ M A 2 T 1

z 2 2 z

y

x 2 x

y x

x d

L s doğ

+ + +

+ + +

+

+

+

=

&

&

&

&

&

γ (2)

şeklindedir. Burada;

A: çubuğun kesit alanı ve

z y x

, V , V

V

: kayar mafsalın sabit eksen takımına göre doğrusal hız bileşenleridir.

Ayrıca burada Dirac delta fonksiyonu;

0 L)

δ(y = ; y≠L;

=

L

S

1 L)dy

δ(y (3) şeklinde kullanılmıştır.

Potansiyel enerji ise;

V

e: elastik yerdeğiştirmelerden kaynaklanan potansi- yel enerji,

Vf: eksenel kuvvetten kaynaklanan potansiyel enerji ve

V

a: ağırlık kuvvetinden kaynaklanan potansiyel enerji

şeklinde üç kısımdan oluşmaktadır. Elastik yer değiş- tirmelerden kaynaklanan potansiyel enerji;

]dy β GI u EI u 2 [EI

V 1L z''2 z x''2 b 2

s x

e=+ +

(4)

Burada; EIx ve EIz eğilme rijitlikleri,

GI

bise burul- ma rijitliği olarak tanımlanmıştır. Eksenel kuvvetten kaynaklanan potansiyel enerji ifadesi;

))}dy L 2(y -γ

L) - s)(y γ cosγ V sinγ V s ( L)) (s γ

cosγ V sinγ V s ρA( )(M u u ( 2 { V 1

2 2 2

2 y x 2

y x 2

z 2 x l

s f

+

+ +

+

+

=

&

&

&

&&

&

&

&

&&

(5)

şeklindedir. Elastik çubuğun ağırlığı nedeniyle oluşan potansiyel enerji ifadesi;

)dy u L)](r (y A g

V L z z

s

a=+ +

(6)

olarak ifade edilebilir. Yukarıda verilen kinetik ve potansiyel enerji bağıntıları Hamilton Prensibi,

2 +

1

t t

0

= dt A]

δ V) (T

; T=Tdön+Tdoğ

(7)

a f

e V V

V

V= + +

yerlerine konulursa ele alınan dinamik sistemin hareket denklemleri aşağıdaki şekilde elde edilir:

0 u ρI

] u u γ y) (s γ s γ 2 sinγ V

cosγ V L)][

- (y δ M A [ρ u ρA2y

u s) γ cosγ V sinγ V s ρA(

u ) L - 2 (y ρAγ - u L) - s)(y γ cosγ V

sinγ V s ρA(

u L)]

(s γ

cosγ V Sinγ V s [(

M u EI

x z

x x 2 y

x d

x

x 2 y x

x 2 2 2 x 2

y

x x

2

y x

d IV x z

′′= +

− + + + +

− +

′ +

− ′ +

′′

′′

+

− +

′′

+

+

&&

&&

&

&&

&

&

&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&&

(8)

(4)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ ⎟

⎜ ⎞

⎛ +

− +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ +

− +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ +

− +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎛ +

= +

L s

y λ s L sin s

y λ s sinh η

L s

y λ s L cos s

y λ s cosh t) (y, e

j j

j

j j

j

(9)

0 u I γ ρ u I γ ρ

β ρI u I γ ρ β I γ ρ β GI

z x z y

y z y x 2 b

′ =

′−

′+

′′−

&

&

&

&

&&

&&

& (10)

Ayrıca Hamilton Prensibi bağıntısından elde edilen diğer terimler, geometrik ve dinamik sınır şartları ile birlikte sınır şartlarını oluştururlar. Bunlar;

0 t) s, (

ux − = , uz(−s,t)=0, β(−s,t)=0, 0

) t , s (

u′x − = , u′z(−s,t)=0, 0

) t , L (

ux′′ = , uz′′(L,t)=0,

(11)

0 ] u I u ) I

ρ(I β I γ β I γ β ) I - (I γ ρ

β ) I - (I γ ρ )β I - (I γ ρ β I )u y

2 (L ρAγ u L) s)(y γ cosγ V sinγ V

s ρA(

u L)]

(s γ cosγ V sinγ V

s [(

u ) I - (I γ ρ u I γ u [EI

L z y dx z dx

x dx dy

dx x

dy y dx

x dx

' z 2

2 2 z 2

y x

z 2

y x

z dy y 2 z dy 2 z x

′′ =

′+ +

′−

′+ + +

+

′+

′−

− +

′− +

− +

′′−

′′+

′′′+

&& =

&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&&

&&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&&

&

&

ρ ρ

γ ρ

Md

0 ]

β I u I γ

u I γ - β I γ ρ - u I γ ρ - β GI [

L dy y z dx

z dy dx

2 z dy b

=

′ + +

− ′

&& =

&

&

&

&

&

&&

ρ ρ

ρ

şeklindedir. Burada, toplam on sınır şartından son iki satırda verilenler, Hamilton Prensibi bağıntısından elde edilmiştir.

Ayrıca Hamilton Prensibi bağıntısında kullanılmak üzere, bir potansiyelden kaynaklanmayan aktif kuvvetlerin virtüel işini veren ifadeye de ihtiyaç vardır. Elastik çubuğun konumu s(t) önceden bilindiğinden varyasyonu sıfırdır. Bu nedenle, bu dinamik sistem için virtüel işi sıfır olmaktadır. Elde edilen 3 denklem ve 10 sınır şartı elastik çubuğun, elastik hareketini belirleyen kompleks bir sınır değer problemi oluşturmaktadır. Böyle karmaşık bir yapıya sahip sınır değer problemlerine, direkt analitik çözüm bulmak imkansız veya çok zordur. Bu nedenle yaklaşık yöntemler kullanılarak çözülebilir.

3. HAREKET DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Bu bölümde, sınır şartları ile birlikte çok karmaşık yapıya sahip hareket denklemleri, Lagrange Denklemleri (Kabul Edilmiş Modlar) metodu kullanılarak adi diferansiyel denklem takımlarına dönüştürülmüştür.

Şimdi Lagrange Denklemleri yöntemine göre proble- min çözümünün,

=

=

1 i

j 1j

x(y,t) q e

u ,

=

=

1 i

j 2j

z(y,t) q e

u

(12)

=

= n

1 J

j j

n(y,t) p(t)e(y,t)

β )

şeklinde olduğu kabul edilsin. Burada

p

j,

q

1j ve

q

2j

ler zamana bağlı genelleştirilmiş koordinatlar olup,

e

j ve

e)

j ler ise hem zamana hem konuma bağlı uygun olarak seçilen fonksiyonlardır. Burada

e

j fonksiyonu olarak iki ayrı eksene göre eğilmeye çalışan durum için bir tarafı ankastre çubuğun öz fonksiyonları,

(13)

olup, burada

λ

j boyutsuz parametredir ve

= λ

λ cos 1, j=1,...,

cosh j j (14)

karakteristik denklemini sağlayan bir tarafı ankastre çubuğun özdeğerleridir. Bu denklemin çözümü sonucu ulaşılan ilk üç öz değer aşağıda verilmiştir:

1 =

λ 1.875104,λ2 =4.694091,

λ

3

=

7.854757

Ayrıca, burada

e)

j fonksiyonu olarak, bir tarafı ankastre diğer ucunda disk olan burulmaya çalışan çubuğun öz fonksiyonları,

L s

y λˆ s sin t) (y,

ej j

+

= +

) (15)

kullanılmıştır. Buradaki

λ )

j

boyutsuz parametre olup,

λˆ 1 I L I tanβ

D

= (16) karakteristik denklemini sağlayan bir tarafı ankastre çubuğun özdeğerleridir. Bu denklemin çözümü sonucu ulaşılan ilk üç öz değer aşağıda verilmiştir:

1

=

λˆ

0.8605,

λˆ

2

=

3.4256,

λˆ

3

=

6.4373 Şimdi,

0 u I ρ β γ I β γ I

g]

u V V L)][

δ(y M

A [ρ β γ ρI u γ ρAy u s) γ

cosγ V sinγ V s A(

ρ u ) L

2 (y ρAγ u L)]

- s)(y γ cosγ V

sinγ V s ρA[(

- u L)]

(s γ cosγ V

sinγ V s [(

M u I γ ρ u EI

z x x y

z z z d

x z 2 z 2

y x z

2

2 2 z 2

y

x z

2 y

x d z y 2 IV z x

′′=

′− ρ

′+ ρ

+

− +

′ +

+

′′+

′′−

− +

′′ − +

− +

′′

&&

&

&

&

&

&&

&

&&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&&

&

0 ] u I

u ) I ρ(I ) I (I γ ρ

u ) y 2 (L ρAγ u L) s)(y γ

Cosγ V sinγ V s ρA(

u L)]

(s γ

Cosγ V sinγ V s [(

M u [EI

L x y dz

x dz z dz z

x 2 2 2 x 2

y x

x 2

y x

d x z

′′ = +

+ ′

− + +

− ′

′ −

+

− +

′ +

+

′′′+

&& =

&&

&&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&&

(5)

q 0 V q

T q

T dt

d

1j 1j 1j

∂ = + ∂

− ∂

⎟⎟

⎜⎜

&

q 0

V q

T q

T dt

d

2j 2j 2j

∂ = +∂

−∂

⎟⎟

⎜⎜

& j=1...

(17)

p 0 V p

T p

T dt

d

j j j

∂ = +∂

−∂

⎟⎟

⎜⎜

&

ifadelerinde yerlerine konulup yeniden düzenlenirse, hareket denklemleri;

′ = +

+ +

+

− +

+

− +

− ′

− +

− +

+

− + +

′′

′′

′ + ′′′

′ + ′′

+ + +

− ′

′ + + ′′′

′ + ′′

+ + +

′′ − + +

+ ′

− + +

′ + ′′

+

− ′ +

′ + ′′

′+ + ′

+ ′

− +

− ′ +

′ + ′

− +

∑ ∫

=

1,...,

= k ; 0 dy}

} e Aγ I

) cos V γ sin V γ γ cos V γ

cos V ( e ) sin V γ γ cos V γ γ s 2 (

y) (s γ L)]{

ρAδ(y [1 M { -

dy}q e e )]

L (y γ

L) )(y cos V sin V s γ - s (

} γ Cos V Sin γ V L) (s γ - s ρA{ [M

e ρAe {EI + }dy e u e

y) u u +(

e u e

y) u u ( u y) u u ( u 2

e u e {u L) A δ(y )dy I e u e

y) u u +(

e u e

y) u u ( u y) u u ( u 2

e u e (u A +I

)}dy e e γ e u e

y) u u (

e u e

y u ( u L)]

ρAδ(y 1 M {[

{

q } }dy e u e

y u u

e u e L){u A δ(y

2I

}dy e u e

y u e u u e {u A 2I

dy e u e

y u L)]u ρAδ(y {[1 M {2 +

q dy}

e e L)I δ(y

dy e Ae dy I e L)]e ρAδ(y

{[1 M {

k z

y y

x

x k y x

L

s -

1j k j 2 2 2

y x

2

y x

2

L

s -

k j z k

2 j 2

2 2 1

k 2 j

2

2 1 2 2 1 2

k j 2 2 L

s - dz k 2 j 2

2 2 1

k 2 j

2

2 1 2 2 1 2

k j 2 2 L

s z

k j 2 k 2 j 2

2 2 1

k j 2

2 1 L

s

1j k j 2

2 1

k j 2 2 L

s dz

j 2

2 1 k j 2 2 L

s z

k j 2

2 1 L

s -

1j k j dz L

S -

k j z k j 1

j

&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&&

&

&

&&

&&

&

&

&

&&

&

&

&&

&&

&

&

&

&&

&

&

&

&&

&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&&

ek

γ γ

γ γ

γ γ

(18)

(19)

( )

1,...,

= k

0 }dy 2g}e

V { L)]

ρAδ(y [1 M { dy}p e u e

y u L)u

A δ(y γI dy e u e

y u u A γI dy e e L)

(y A δ γI dy e A e γI dy e u e

y u u

L) A δ(y γI dy e u e

y u u A γI {

dy}q } e e ) Aγ ) I L (y γ

L) (y ) cos V sin γ V

s γ - s ( γ cos V sin γ V L) (s γ - ρA s (-M

dy e ρA e +EI dy e e L) - δ(y dy e e L) - δ(y

Aγ -I dy e e Aγ -I )dy e u e

y) u u +(

e u e

y) u u ( u y) u u ( u 2

e u e L)(u - A δ(y )dy I e u e

y) u u +(

e u e

y) u u ( u y) u u ( u 2

e u e (u A +I )dy e u e

y) u u (

e u e

y u (u L)]

ρAδ(y [1 M { + p dy}

e e L) -

A δ(y γI e A e γI e e L) (y A δ γI

e A e γI { q )}dy}

e u e

y u e u u e L)(u -

A δ(y )dy I e u e

y u e u u e (u A +I

dy e u e

y u L)]u ρAδ(y [1 M {2 +

q dy}

) e e L) - Aδ(y I

e Ae e I L)]e ρAδ(y

([1 M {

k

z L

s - j k j 2

2 1

L

s dy k

j 2

2 1 L

s y k j

L

s k dx

j L

s k x

j 2

2 1

L

s k dx

j 2

2 1 L

s x

2j k j L

s - y 2 2 2 2

y x

2 y

x 2

k j L

s - x L

s

k j L

s

k j

dy 2 L

s k j y 2 k 2 j 2

2 2 1

k 2 j

2

2 1 2 2 1 2

k j 2 2 L

s - dx k 2 j 2

2 2 1

k 2 j

2

2 1 2 2 1 2

k j 2 2 L

s - k x

2 j 2

2 2 1

k j 2

2 1 L

s - j k j

L

s dy k L

s j y k j L

s dx

k j L

s 2j x k 2 j 2 2 k 1

j 2 2

L

s - dx k 2 j 2 2 1 k j 2 2 L

s - x

k j 2

2 1 L

s -

2j k j dx

k x j L

s

k j 1

j

= +

− +

′ + + ′

′ − + ′

′ −

′ −

′ − +

′ −

− + +

− ′

− +

+ +

− + +

′′

′′

′ + ′′′

′ + ′′

+ + +

′ + ′

′ + ′′′

′ + ′′

+ + +

′ + ′′

+

+ ′

′ +

′−

′−

− ′

′ + ′′

′+

′ + + ′′

′+

+ ′

− +

′ +

′ + ′

− +

∑ ∫

=

&

& )

&

&

& )

&

&

)

&&

&& )

& )

&

&

& )

&

&

&

&

&

&

&

&&

&

&

&

&&

&

&

&

&

&&

&&

&

&

&

&&

&

&

&&

&&

&

&

&

&&

&

&

&&

&&

&

)

&

)

& )

& )

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&&

γ

(6)

0 } }dy}q e u e

y u u

e u e {u A γI dy e A e I

}dy e u e

y u e u

u e L){u - (y A δ γI

}dy e u e

y u e u

u e {u A γI

}dy e u e

y u e u

u e L){u (y A δ γI

dy e e L) (y A δ γI {

dy}p e e GI dy e e L) A δ(y

γ I

dy e A e γ I )dy e u e

y) u u (

e u e

y u L)(u - A (y I

)dy e u e

y) u u (

e u e

y u (u A {I q dy}

e A e γI

dy e A e γI dy e e L) A (y

γI

dy e e L) A (y

γI {

p dy}

e u e

y u L)u A (y

2I

dy e u e

y u u A {2I

p } e e L) A δ(y

dy I e A e {I

2j k 2 j 2 2 1

k j 2 2 L

s y k

j L

s y

k 2 j 2 2 1 k j 2 2 L

s - dx

k 2 j 2 2 1 k j 2 2 L

s - x

k 2 j 2 2 1 k j 2 2 L

s dy

k j L

s dy

j k j L

s b k j L

s dx 2

k L

s j x 2 k 2 j

2 2 2 1

k j 2

2 1 L

s dy

k 2 j

2 2 2 1

k j 2

2 1 L

s - y 2j k L

s j x

k j L

s y k j L

s dy

k j L

s dx

j k j 2

2 1 L

s dy

k j 2

2 1 L

s - y

j L

S -

k j L

s - dy k j y 1 j

′′ = + +

+ ′

′ + +

+ ′′

′ + +

+ ′′

′ + +

+ ′′

′ +

− +

− ′ +

′ + ′

′′ − + +

+ ′ +

+ ′′

+

+ ′

′ + +

′ +

− +

− ′ +

+ ′

− +

+ ′ +

− +

∫ ∫

=

& )

&

& )

&

&& )

& )

&

&

&

&

&

& )

&

& )

&

& )

&

&& )

) ) )

& )

)

& ) )

& )

&

)

&& )

&&

)

& )

&

)

&& )

&&

&

& )

& )

& )

& )

&

& )

&

& )

&

&&

) ) )

)

γ δ

δ δ δ

(20)

şeklinde ikinci mertebeden adi diferansiyel denklem takımları elde edilir. Burada,

L s u

1

s

= +

,

L s u

2

1

= +

(21) şeklinde tanımlanmıştır.

4. SAYISAL ÇÖZÜMLER

Bu bölümde önceki bölümde elde edilen adi diferan- siyel denklem takımları şeklindeki sistemin hareket denklemleri dördüncü mertebeden Runge-Kutta meto-

du ile çözülmüştür. Çözümler (12)’de verilen serilerde 2 terim kullanılarak yapılmıştır.

Literatürde, elastik çubuğun kullanıldığı robot manipülatörleri ve uzay aracı antenlerinin simülasyon çalışmalarında, gerçek uygulamalardaki hareket tip- lerine benzer olarak dönme ve ötelenme hareketleri için;

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ ⎟

⎜ ⎞

− ⎛ +

= T

t sin 2π 2π t T T s s s(t) 0 t

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ ⎟

⎜ ⎞

− ⎛ +

= T

t sin 2π 2π t T T γ γ

γ(t) 0 t

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ ⎟

⎜ ⎞

− ⎛ +

= T

t sin 2π 2π t T T r r

r(t) 0 t (22)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ ⎟

⎜ ⎞

− ⎛ +

= T

t sin 2π 2π t T T θ θ

θ(t) 0 t

⎥⎦

⎢ ⎤

⎡ ⎟

⎜ ⎞

− ⎛ +

= T

t sin 2π 2π t T (t) ϕ0 ϕTt ϕ

şeklinde tanımlanmıştır. Burada

r

0 (m) prizmatik mafsalın ilk konumunu ve

r

t (m) ise toplam hareketi belirlemektedir. Kayar mafsalın mutlak eksene göre yaptığı dönme açıları iseθ(t) ve

ϕ

(t) radyan cinsin- den olmak üzere zamana bağlı konumu,

θ

0 ve

ϕ

0

başlangıç konumunu,

θ

tve

ϕ

t toplam hareket mikta- rını göstermektedir. Burada uzunluk metre ve açı radyan cinsinden olmak üzere; s(t) ve

γ(t)

zamana bağlı olarak konumu,

s

0ve

γ

0 başlangıç konumunu,

s

t ve

γ

t ise toplam hareket miktarını göstermekte- dir. Ayrıca T toplam hareket süresine ve t zamana karşılık gelmektedir.

Bu çalışmada, daire kesitli elastik çubuğun malzemesi alüminyum olarak seçilmiş olup, aşağıdaki malzeme ve geometrik özellikler kullanılmıştır:

Elastisite Modülü : E=7x10 N/10

m

2

Kayma Modülü : G=2,6x10 N/10

m

2

Yoğunluk :

ρ

=2700 kg/

m

3

Alan : A=0,000075

m

2

Atalet momentleri : Ix =Iz =4,476.1010m4 Iy =8,952.1010m4

Uzunluk : L=0,7 m

Ayrıca çubuğun ucunda rd =0,006m yarıçapında ve 03

, 0

md = kg değerinde kütleye sahip bir disk bulun- maktadır.

(7)

Şekil 2’de görülen örnekte; prizmatik mafsal içinden kayan elastik çubuğun uç noktasının çubuk dik kesit düzlemindeki asal eksenler

x

A ve

z

Aeksenlerine göre eğilme ve

y

A çubuk ekseni etrafında burulma titreşimleri görülmektedir.

Prizmatik mafsal sabit XYZ eksenine göre yaptığı hareketi 0.5 saniyede tamamlamaktadır. Çubuk dışarı doğru kayarken (boyu uzarken) uçtaki eğilme titreşimlerinin genliği artmakta fakat frekansı azalmaktadır. Burulma titreşimlerinin genlikleri ise

büyük oranda artmaktadır.

Şekil 3’de gösterilen çubuk ucu titreşimleri, bir önceki örnekte ele alınan kinematik girdiler kullanıl- mış yalnız uçtaki diskin yarıçapı ve buna bağlı olarak kütle miktarı değiştirilerek elde edilmiştir.

Şekilde de görüldüğü gibi titreşimlerin biçim ve genlikleri değişmiştir. Burulma titreşimlerinin fre- kans ve genliklerinde eğilmeye göre daha belirgin değişiklikler olmuştur.

β (radyan)

) (m uz

) (m ux

β (radyan)

) (m uz

) (m ux

Şekil 3.

s

0=-0,35 m,

s

t=0,7 m,

γ

0=0,

γ

t

= π/2

, r=1 m,

ϕ

0=0,

θ

0=0,θt =π/4, md =0,01kg,

003 , 0

rd = m ve T=0,5s için çubuk ucunun titreşimleri Şekil 2.

s

0=-0,35 m,

s

t=0,7 m,

γ

0=0,

γ

t

= π/2

r=1 m,

ϕ

0=0,

θ

0=0,

θ

t

= π/4

, md =0,03kg, 006

, 0

rd = m ve T=0,5s için çubuk ucunun titreşimleri

(8)

Şekil 4’de verilen örnekte, Şekil 2’de ele alınan çubuk ve mafsal hareketlerinden daha hızlı hareketler seçile- rek elastik çubuğun uç noktasının titreşimleri elde edilmiştir. Görüldüğü gibi mafsal hareketlerinin hız- landırılması titreşim biçim ve genliklerini belli oranda değiştirmiştir. Burulma halinde ise herhangi bir deği- şiklik olmamıştır.

5. SONUÇ

Bu çalışmada sabit bir eksen takımına göre hareketi önceden bilinen bir kayar mafsal içinde hareket eden

iki eksende eğilmeye ve kendi ekseni etrafında burulmaya maruz, bir ucunda disk olan elastik çubuğun titreşimleri incelenmiştir. Hareketin denklemleri çeşitli özel haller için Hamilton Prensibi ile elde edilmiştir. Elde edilen ifadeler çok karmaşık bir yapıya sahip bir sınır değer problemi oluşturduğundan ve analitik olarak çözümü mümkün olmadığından hareket denklemleri Lagrange Denklemleri yöntemi ile genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden adi diferansiyel denklem takımlarına dönüştürülmüştür. Elde edilen denklem takımları 4.

mertebeden Runge Kutta integrasyon yöntemi kullanılarak çeşitli özel hareket tipleri ve geometrik özellikler için çözülmüştür. Elde edilen titreşim biçimleri ve değerleri grafikler halinde verilmiştir.

Gelecek çalışmalarda; mafsalın mutlak eksene göre çok genel bir hareket yapması halinde hareket denklemleri elde edilebilir. Ancak böyle bir durumda elde edilecek denklemlerin çok karmaşık olacağı açıktır.

KAYNAKLAR

1. Taborrok, B., Scott, C.M. and Kim, Y.L., “On the Dynamics of an Axially Moving Beam”, Journal of Franklin Institute, Cilt 297, 201-220, 1974.

2. Bergamaschi, S. and Sinopoli, A., “On the Flexural Vibrations of Arms with Variable Length: An Exact Solution”, Mechanical Re- search Communications, Cilt 10, 341-345, 1983.

3. Wang, P.K.C and J. D. Wei, J.D., “Vibrations in a Moving Flexible Robot Arm”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 114, 149-160, 1987.

4. Todikonda, S.S.K. and Baruh, H., “Dynamics and Control of a Translating Flexible Beam with a Prismatic Joint”, Journal of Dynamic Systems, Measurements and Control, Cilt 114, 422-427, 1992.

5. Stylianou, M. and Tabarrok, B., “Finite Element Analysis of an Axially Moving Beam, Part I:

Time Integration”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 178, No 4, 433-453, 1993.

6. Theodore, R.J., Arakeri, J.H. and Ghosal, A.,

“The Modelling of Axially Translating Flexible Beams”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 191, No 3, 363-376, 1996.

7. Al-Bedoor, B.O. and Khulief, Y.A., “An Approxi- mate Analytical Solution of Beam Vibrations during Axial Motion”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 192, No 1, 159-171, 1996.

8. Ankaralı, A. and Diken, H., “Vibration Control of an Elastic Manipulator Link”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 204, No 1, 162-170, 1997.

9. Buffinton, K.W. and Kane, T.R., “Dynamics of a Beam over Supports” International Journal of Solids Structure, Cilt 21, 617-643, 1985.

10. Lee, H.P., “Dynamics of an Axially Extending and Rotating Cantilever Beam Including the Effect of Gravity”, International Journal of Solids Structures, Cilt 32, 1595-1606, 1995.

β

(radyan)

) (m uz

) (m ux

Şekil 4.

s

0=-0,35 m,

s

t=0,7 m,

γ

0=0,

γ

t

= π

, r=1 m,

ϕ

0=0,

ϕ

t

= π/2 θ

0=0,

θ

t

= π

, md =0,03 kg,

006 , 0

rd = m ve T=0,5s için çubuk ucunun titreşimleri

(9)

11. Tadikonda, S.S.K., Singh, R.P. and Stornelli, S.,

“Multibody Dynamics Incorporating Deployment of Flexible Structures”, Journal of Vibration and Acoustics, Cilt 118, 237-241, 1996.

12. Yuh, J. and Young, T., “Dynamic Modelling of an Axially Moving Beam in Rotation: Simulation and Experiment”, Journal of Dynamic Systems Measurements and Control, Cilt 113, 34-40, 1991.

13. Banerjee, A.K. and Kane, T.R., “Extrusion of a Beam From Rotating Base”, Journal of Guidance, Cilt 12,140-146, 1989.

14. Chalhoub, N.G. and Ulsoy, A.G., “Dynamic Simula- tion of a Leadscrew Driven Flexible Robot Arm and Controller”, Journal of Dynamic Systems Meas- urements and Control, Cilt 108, 119-126, 1986.

15. Al-Bedoor, B.O. and Khulief, Y.A., “Vibrational Motion of an Elastic Beam with Prismatic and Revolute Joints”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 190, No 2, 195-206, 1996.

16. Al-Bedoor, B.O. and Khulief, Y.A., “General Planar Dynamics of a Sliding Flexible Link”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 206, No 5, 641-661, 1997.

17. Gaulter, P.E. and Cleghorn, W.L., “A Spatially Translating and Rotating Beam Finite Element for Modelling Flexible Manipulators”, Mechanism and Machine Theory, Cilt 27, 415-433, 1992.

18. Al-Bedoor, B.O. and Almussallam, A.A.,

“Dynamics of Flexible-Link and Flexible-Joint Manipulator Carrying a Payload with Rotary Inertia”, Mechanism and Machine Theory, Cilt 35, 785-820, 2000.

19. Gürgöze, M. and Müller, P.C., “Modelling and Control of Elastic Robot Arm with Prismatic Joint”, Dynamics of Controlled Mec. Sys., IUTAM/

IFAC, 235-245, 1989.

20. Hashemi, S.M., Richard, M.J., “Free Vibrational Analysis of Axially Loaded Bending-Torsion Coupled Beams: A Dynamic Finite Element”, Computers & Structures, Cilt 77, 711-724 2000.

21. Banerjee, J.R., “Explicit Frequency Equation and Mode Shapes of Cantilever Beam Coupled in Bending and Torsion”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 224, No 2, 267-281, 1999.

22. Tanaka, M., Berin, A.N. & Suzuki, R.,

“Application of the Boundary Integral Equation Method the Coupled Bending-Torsional Vibrations of Elastic Beams” Engineering Analysis with Boundary Elements, Cilt 20, 73-79, 1997.

23. Adam, C., “Forced Vibrations of Elastic Bending- Torsion Coupled Beams”, Journal of Sound and Vibration, Cilt 221, No 2, 273-287, 1999.

24. Yüksel, Ş. and Gürgöze, M., “On the Flexural Vibrations of Elastic Manipulators with Prismatic Joints”, Computers & Structures, Cilt 62, No 5, 897-908, 1997.

25. Gürgöze, M. and Yüksel, Ş., “Transverse Vibrations of Flexible Beam Sliding through a Prismatic Joint”, Journal of Sound and Vibrations, Cilt 223, No 3, 467-482, 1999.

26. Yüksel, Ş., “Prizmatik Mafsal İçinden Kayan Elastik Çubuğun Dinamiği”, Gazi Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 14, No 2, 43-55, 1999.

27. Akbaba, L., Prizmatik Mafsal İçinden Kayan Elastik Çubuklarda Eğilme ve Burulma Titreşimlerinin İncelenmesi, Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2004.

28. Meirovitch, L., Elements of Analytical Dynam- ics, Elements of Vibration Analysis, 2nd ed., Mc Graw Hill, NewYork, 245-263, 1986.

29. Meirovitch, L., Continuous System, Approxi- mate Methods, Elements of Vibration Analysis, 2nd ed., Mc Graw Hill, NewYork, 266-298, 1986.

30. Shigley, J.E., Uicker, JR. J.J., Static Forces, Theory of Machines and Mechanisms, 2nd ed, Mc Graw Hill, NewYork, 405-413, 1995.

31. Beer,F.P., Johnston, E.R., Rijit Cisimlerin Kine- matiği, Mühendisler İçin Mekanik: Dinamik, Cilt II, Tameroğlu, S.S., Özbek, T., Birsen Yayınevi, İstanbul, 182-234 1991.

Referanslar

Benzer Belgeler

Hazar Dili ve Yazısı (11. Kafkasya’nın kuzeyi ve Orta Asya’da) Soğd Dili ve Yazısı (Hind-Avrupa dil ailesinin Fars kolundan Doğu Farsçaya ait olan Soğd dili, MS

Sol eksen sapması (?.10°) sadece sol ön inen arter lezyonu olan hastalarda görüldü ve sağ koroner, sirkumfleks arter ve kontrol grubuyla

Ekseni etrafında dönen bir tekerleğin hareketi, tekerin her parçasının değişik çizgisel hızları ve çizgisel ivmeleri olduğundan tekerleği bir nokta olarak ele

Başka bir deyişle konveks bir kümenin bir sınır noktasında, bu nokta merkezli ve herhangi yarıçaplı her yuvar hem C’nin iç noktalarını hem de C’nin dışındaki

Tezimde önce bir, daha sonra iki ve üç serbestlik dereceli döner eklemli robotun dinamik denklemleri çıkartılarak günümüzde önemi gittikçe artan yapay zekâ tekniklerinden

Renzoni ve Talluri (1966), Strigiformes’e ait olan Sitrix aluco ve Athene noctua’nın kromozom sayısılarını 2n=82, Tyto alba’nın ise 2n=92 ve Falconiformes takımına ait Falco

Brunei Darusselam’da yapılan çalışmada evrensel güneş ışınımı ve dağınık güneş ışınımının 1992 yılı için ölçülmüş değerleri kullanılarak günlük, aylık,

Bu da bize a¸cısal momentumun(moment of mo- mentum=hareket miktarının momenti=Hareket Momenti) sabit oldu˘gunu yani korunumlu