• Sonuç bulunamadı

Kombinatöryel evrik dönüşümlerle özel bazı sayı dizilerinin analizi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2023

Share "Kombinatöryel evrik dönüşümlerle özel bazı sayı dizilerinin analizi"

Copied!
85
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

T.C.

AKDEN˙IZ ÜN˙IVERS˙ITES˙I

KOMB˙INATÖRYEL EVR˙IK DÖNÜ ¸SÜMLERLE ÖZEL BAZI SAYI D˙IZ˙ILER˙IN˙IN ANAL˙IZ˙I

Hamud AHMED

FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I

OCAK 2022 ANTALYA

(2)
(3)

ÖZET

KOMB˙INATÖRYEL EVR˙IK DÖNÜ ¸SÜMLERLE ÖZEL BAZI SAYI D˙IZ˙ILER˙IN˙IN ANAL˙IZ˙I

Hamud AHMED

Yüksek Lisans Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danı¸sman: Doç. Dr. Ayhan D˙IL

Ocak 2022; 76 sayfa

Harmonik sayılar ve genelle¸stirmeleri, birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları ve binom katsayıları gibi önemli sayı tiplerini içeren sonlu toplamlar özellikle analiz, sayılar teorisi ve kombinatorik gibi birçok alanda ortaya çıkmaktadırlar. Bu yüzden, söz ko- nusu toplamların hesaplanması ya da kullanı¸slı ba¸ska formlarının elde edilmesi önem- lidir. Bu yöndeki ara¸stırmalar için çe¸sitli teknikler mevcuttur. Bu tez çalı¸smasında esas olarak üç teknik kullanılmı¸stır. Birincisi, en me¸shurları binom ve Stirling dönü¸sümleri olan evrik dönü¸sümler, ikincisi üreteç fonksiyonları ile söz konusu toplamlar arasında kullanı¸slı ili¸skiler kurmaya yarayan seri dönü¸süm formülleri, üçüncüsü ise fark opera- törleridir. Bu teknikleri içeren klasik ve güncel sonuçlar bir araya getirilerek düzenli bir kaynak olu¸sturulmu¸stur.

ANAHTAR KEL˙IMELER:Binom dönü¸sümü, Fark operatörü, Harmonik sayılar, Hiper- harmonik sayılar, Laguerre dönü¸sümü, Lah dönü¸sümü, Seri dönü¸süm formülleri, Stirling dönü¸sümü, Üreteç fonksiyonları.

JÜR˙I:Doç. Dr. Ayhan D˙IL

Prof. Dr. Mehmet CENKC˙I Doç. Dr. Seçil ÇEKEN

(4)

ABSTRACT

ANALYSIS OF SOME SPECIAL SEQUENCES WITH COMBINATORIAL INVERSE TRANSFORMS

Hamud AHMED

MSc Thesis in MATHEMATICS Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ayhan D˙IL

January 2022; 76 pages

Finite sums, which include important number types such as harmonic numbers and their generalizations, Stirling numbers of the first and second kinds and binomial coefficients, appear in many fields such as analysis, number theory and combinatorics.

Evaluating these sums or obtaining other useful forms is therefore important. There are various techniques for research in this direction, we will mainly use three of these tech- niques together in this thesis. First one is the inverse transformations, the most famous of which are the binomial and Stirling transforms, second one is the series transformation formulas for establishing useful relations between generating functions and the sums in question and the third one is the difference operators. Classic and current results involving these techniques were brought together and a compact reference was created. In addition to the important results in the literature, many new formulas and equations were obtained.

KEYWORDS:Binomial transform, Difference operator, Generating functions, Hamonic numbers, Hyperharmonic numbers, Laguerre transform, Lah transform, Series transfor- mation formulas, Stirling transform.

COMMITTEE:Assoc. Prof. Dr. Ayhan D˙IL Prof. Dr. Mehmet CENKC˙I Assoc. Prof. Dr. Seçil ÇEKEN

(5)

ÖNSÖZ

Bu çalı¸sma temel olarak Kaynak Taraması ile Bulgular ve Tartı¸sma ba¸slıklı iki bölümden olu¸smaktadır. Kaynak Taraması kısmında Binom, Stirling, Lah ve Laguerre evrik dönü¸sümleri (bkz. Comtet 1974, Riordan 1979, Boyadzhiev 2020) ve (I), (II), (III), (IV), (V) olarak numaralandırdı˘gımız seri dönü¸süm formülleri (bkz. Comtet 1974, Bo- yadzhiev 2020) kanıtlarıyla beraber verilmi¸stir. Bulgular ve Tartı¸sma kısmında ise ilk olarak (I), (II), (III), (IV), (V) seri dönü¸süm formülleri kullanılarak çok sayıda önemli polinom ve sayı ailesi için toplam formülleri elde edilmi¸stir. Daha sonra Spivey 2007- 2009 çalı¸smalarındaki teknikler kullanılarak, fark operatörleri yardımıyla, binom kat- sayıları veya Stirling sayıları ile ba¸ska bir dizinin terimlerinin çarpımlarının sonlu top- lamları hesaplanmı¸stır. Bulgular ve Tartı¸sma bölümünde elde edilen sonuçlardan evrik dönü¸sümlerin uygulanabilece˘gi bütün sonuçlara bu dönü¸sümler uygulanarak sonuçlar zen- ginle¸stirilmi¸stir.

Bu çalı¸sma sürecinde, önümü aydınlatan, beni te¸svik eden, ö˘grenmem için bana sabreden ve benden yardımlarını esirgemeyen danı¸smanım sayın Doç. Dr. Ayhan D˙IL hocama en kalbi ¸sükranlarımı sunmak istiyorum.

Yüksek lisans e˘gitimimde bana burs sa˘glayan Yurtdı¸sı Türkler ve Akraba Toplu- luklar Ba¸skanlı˘gı’na çok te¸sekkür ederim. Son olarak da her zaman yanımda olan ve beni destekleyen canım aileme te¸sekkür etmek isterim.

(6)

˙IÇ˙INDEK˙ILER

ÖZET . . . i

ABSTRACT . . . ii

ÖNSÖZ . . . iii

AKADEM˙IK BEYAN . . . v

S˙IMGELER . . . vi

1. G˙IR˙I ¸S . . . 1

2. KAYNAK TARAMASI . . . 5

2.1. Özel Bazı Polinom ve Sayı Aileleri ve Evrik Dönü¸sümler . . . 5

2.2. Seriler için Dönü¸süm Formülleri . . . 11

3. BULGULAR VE TARTI ¸SMA . . . 17

3.1. Dönü¸süm Formülleri ile Elde Edilen Sonuçlar . . . 17

3.1.1. (I) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 17

3.1.2. (II) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 24

3.1.3. (III) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 31

3.1.4. (IV) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 37

3.1.5. (V) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 41

3.2. ˙Ileri ve Geri Fark Operatörleri ile Elde Edilen Sonuçlar . . . 42

3.2.1. ˙Ileri fark operatörü ile elde edilen sonuçlar . . . 42

3.2.2. Geri fark operatörü ile elde edilen sonuçlar . . . 50

4. SONUÇLAR . . . 62

5. KAYNAKLAR . . . 63

6. EKLER . . . 66 ÖZGEÇM˙I ¸S

(7)
(8)

S˙IMGELER

Simgeler:

Hn : Harmonik sayı

s(n, k) : Birinci çe¸sit (i¸saretli) Stirling sayısı S(n, k) : ˙Ikinci çe¸sit Stirling sayısı

xn : Artan faktöriyel xn : Azalan faktöriyel Bn(x) : Bernoulli polinomu Bn : Bernoulli sayısı

h(r)n : r. mertebeden n. hiperharmonik sayısı

h(n−r) : Negatif r. mertebeden n. hiperharmonik sayısı L(n, k) : Lah sayısı

Lag(n, k) : Laguerre sayısı Fn : Fibonacci sayısı J (n) : Jacobsthal sayısı Gn : Genocchi sayısı δnm : Kronecker delta

cn : ˙Ikinci çe¸sit Bernoulli sayısı (birinci çe¸sit Cauchy sayısı) bcn : ˙Ikinci çe¸sit Cauchy sayısı

Hn : Skew harmonik sayı ωn(x) : Geometrik polinom ωn : Geometrik sayı En(x) : Euler polinomu En : Euler sayısı

En : Birinci çe¸sit Euler sayısı ϕn(x) : Üstel polinom

ϕn : Bell sayısı (üstel sayı) Dn : Derangement sayısı

(9)

G˙IR˙I ¸S H. AHMED

1. G˙IR˙I ¸S

Bazı özel polinom ve sayı aileleri bilimin birçok farklı yerinde çe¸sitli ¸sekillerde or- taya çıkarlar. Bu nedenle bu polinom ve sayı aileleri ile ilgili özelliklerin, formüllerin ve ili¸skilerin belirlenmesine yarayan analizlerin yapılması ve kaynak olu¸sturulması gerek- lidir. Bu analizler sırasında çok çe¸sitli matematik teorileri, yöntemleri ve teknikleri kul- lanılmaktadır. Bu tez çalı¸smasında klasikle¸smi¸s temel analiz ve sayılar teorisi yöntemleri ve bunların güncel varyantları kullanılarak özellikle analiz, sayılar teorisi ve kombinatorik alanlarında sıkça kar¸sıla¸sılan bazı polinom ve sayı aileleri için formüller elde edilmi¸stir.

Yukarıda bahsedilen temel tekniklerin ba¸slıcalarından birisi üreteç fonksiyonlarıdır.

Üreteç fonksiyonları analiz ve sayılar teorisini birbirine ba˘glayan en önemli kavramlardan birisidir. (an) bir dizi olmak üzere

g(x) = X n=0

anxn

biçiminde tanımlanan seriye (an) dizisinin adi üreteç fonksiyonu denilir. Bunun klasik örneklerinden birisi, harmonik serinin n. kısmi toplamı olarak, yani

Hn = 1 + 1 2+ 1

3+· · · + 1 n =

Xn k=1

1

k, H0 = 0 biçiminde tanımlanan Hnharmonik sayıları için

− ln(1 − t) 1− t =

X n=0

Hntn (1.1)

üreteç fonksiyonudur (bkz. Ek 6.5.). Harmonik sayılar antik ça˘glardan beri ara¸stırma ko- nusu olup ba¸sta sayılar teorisi, kombinatorik ve ayrık matematik olmak üzere matemati˘gin birçok alanında önemlidirler. Tez çalı¸smamızın önemli bir kısmı harmonik sayılar ve ge- nelle¸stirmelerinin çe¸sitli özelliklerinin elde edilmesi yönündeki sonuçlardır.

(an) bir dizi olmak üzere,

f (x) = X n=0

anxn n!

biçiminde tanımlanan seriye (an) dizisinin üstel üreteç fonksiyonu denir. Üstel üreteç fonksiyonlarına örnek olarak kombinatorik alanının en önemli sayı ailelerinden olan Stir- ling sayılarının üstel üreteç fonksiyonları verilebilir. Stirling sayıları, James Stirling ta- rafından 18. yüzyılda tanımlanmı¸slardır. Stirling sayılarının yaygın kullanımda birinci ve

(10)

G˙IR˙I ¸S H. AHMED

ikinci çe¸sit Stirling sayıları olmak üzere iki türü vardır. s(n, k) birinci çe¸sit (i¸saretli) ve S(n, k) ikinci çe¸sit Stirling sayıları göstermek üzere,

(log(1 + t))k

k! =

X n=k

s(n, k)tn

n! (1.2)

ve

(et− 1)k

k! =

X n=k

S(n, k)tn

n! (1.3)

üreteç fonksiyonları ile tanımlanır (Comtet 1974) (bkz. Ek 6.3. ve 6.4.). Birinci çe¸sit (i¸saretli) Stirling sayıları

s(n + 1, k) = s(n, k− 1) − ns(n, k) (1.4) yineleme ba˘gıntısını sa˘glar. Di˘ger taraftan bir x∈ R ve n ∈ N = {1, 2, 3, ...} için

xn = x(x + 1)· · · (x + n − 1) ifadesi artan faktöriyel,

xn = x(x− 1) · · · (x − n + 1)

ifadesi ise azalan faktöriyel olarak adlandırılır. Artan ve azalan faktöriyelin birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları ile ili¸skisi

xn= Xn k=0

S(n, k)xk (1.5)

ve

xn= Xn k=0

s(n, k)xk (1.6)

e¸sitliklerinden görülür.

Faktöriyel ile yakından alakalı bir kavram olan binom katsayıları, saymanın ve do- layısıyla kombinatori˘gin temelinde yer alır. n, k ∈ Z ve 0 6 k 6 n olmak üzere

n k



= n!

k!(n− k)! = n(n− 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) k!

biçiminde tanımlanan binom katsayıları için e¸sitli˘gin ikinci kısmından sadece k’nin nega- tif olmayan bir tamsayı olması gerekti˘gi görülür. Verilen bir dizinin terimlerini ve binom

(11)

G˙IR˙I ¸S H. AHMED

katsayılarını içeren toplamlar, üreteç fonksiyonları ile çalı¸sırken sıkça ortaya çıkar. Bu ba˘glamda, bir (an) dizisi verildi˘ginde,

bn = Xn

k=0

n k



ak (1.7)

biçiminde tanımlanan (1.7) ba˘gıntısına (an) dizisinin binom dönü¸sümü denilir. Bu dönü-

¸sümün evri˘gi ise

an = Xn

k=0

n k



(−1)n−kbk

olarak ortaya çıkar (Riordan 1979; Boyadzhiev 2018). Binom dönü¸sümü bir diziyi ba¸ska bir diziye dönü¸stüren ve çok önemli uygulamaları olan bir ayrık dönü¸sümdür. Benzer yay- gınlıkta ve önemde olan ve tez çalı¸smamızda kullanaca˘gımız bir di˘ger önemli dönü¸süm de Stirling dönü¸sümüdür. Bir (an) dizisi verildi˘ginde,

bn= Xn k=0

S(n, k)ak (1.8)

biçiminde tanımlanan (1.8) ba˘gıntısına (an) dizisinin Stirling dönü¸sümü denilir. Bu dö- nü¸sümün evri˘gi ise

an= Xn k=0

s(n, k)bk

olarak ortaya çıkar (Riordan 1979; Boyadzhiev 2018). Binom dönü¸sümü ve Stirling dönü-

¸sümü, kombinatorik ve analiz ba¸sta olmak üzere birçok ilginç uygulamaları olan ayrık dö- nü¸sümlerdir. Tez çalı¸smamızda öncelikle binom dönü¸sümü, Stirling dönü¸sümü ve benzer karakterdeki Lah ve Laguerre dönü¸sümlerinin evrik ba˘gıntılarının kanıtları verilecektir.

Daha sonra bu dönü¸sümler bazı özel sayı dizilerinin incelenmesinde kullanılacaktır.

Dizilerin analizinde ayrık ve sürekli matemati˘gi birle¸stiren, üreteç fonksiyonları ve dönü¸süm teknikleri kadar güçlü ve önemli olan, aynı zamanda bu iki teknikle yakın ili¸skisi olan bir di˘ger kavram da operatörlerdir. Tez çalı¸smamızda bu operatörlerden

∆f (x) = f (x + 1)− f(x) ve

∇f(x) = f(x) − f(x − 1) fark operatörleri göz önüne alınacaktır.

(12)

G˙IR˙I ¸S H. AHMED

Tez çalı¸smamızda özelliklerini ara¸stıraca˘gımız ve bazılarından yukarıda da bahsetti-

˘gimiz dizilerin ilk birkaç de˘geri ve söz konusu diziler için elde etti˘gimiz formüller tezin sonunda Ekler kısmında listelenmi¸stir.

(13)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

2. KAYNAK TARAMASI

Bu bölümde tezin içeri˘gini olu¸sturan belli ba¸slı kavramlar tanıtılacak ve ihtiyaç du- yaca˘gımız literatürde yer alan özellikleri verilecektir.

2.1. Özel Bazı Polinom ve Sayı Aileleri ve Evrik Dönü¸sümler

Bu kesimde özelliklerini ara¸stıraca˘gımız özel bazı polinom ve sayı aileleri tanıtılacak ve binom, Stirling, Lah ve Laguerre evrik dönü¸sümleri kanıtlarıyla beraber verilecektir.

Tanım 2.1. (Comtet 1974) Bernoulli polinomları üstel üreteç fonksiyonu diliyle text

et− 1 = X n=0

Bn(x)tn

n! (2.1)

¸seklinde tanımlanır (bkz. Ek 6.6.). Burada x = 0 için elde edilen Bn(0) = Bn kat- sayılarına Bernoulli sayıları denilir (bkz. Ek 6.7.).

Jakob Bernoulli tarafından, Japon matematikçi Takakazu Seki ile hemen hemen aynı zamanda bulunan Bernoulli sayıları, sayılar teorisinde çok önemli olan rasyonel sayı dizi- sidir. Seki’nin "Katsuyo Sampo" adlı kitabında yer alan bulgular ölümünün ardından 1712 yılında yayımlanmı¸stır. Bernoulli’nin sonuçları yine ölümünden sonra "Ars Conjectandi"

adlı bir kitap olarak 1713’te yayımlanmı¸stır.

Harmonik sayıların çok çe¸sitli ve önemli genelle¸stirmeleri vardır. Bu tez çalı¸smasında a¸sa˘gıdaki genelle¸stirme üzerine çalı¸sılmı¸stır.

Tanım 2.2. (Conway ve Guy 1996) n, r ∈ N için r. mertebeden n. hiperharmonik sayı h(r)n ile gösterilir ve

h(r)n = Xn

k=1

h(rk−1), h(1)n = Hn

¸seklinde tanımlanır. Burada n> 1 için h(0)n = 1/n ve r > 0 için h(r)0 = 0 olarak alınır.

Hiperharmonik sayıların adi üreteç fonksiyonunun,

ln(1− t) (1− t)r =

X n=0

h(r)n tn

oldu˘gu harmonik sayıların üreteç fonksiyonu (1.1) Cauchy çarpımıyla göz önüne alındı-

˘gında kolayca görülür (Dil ve Mez˝o 2008).

(14)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

Tanım 2.3. (Dil ve Muniroglu 2020) n, r∈ N için negatif r. mertebeden n. hiperharmonik sayı h(−r)n ile gösterilir ve

h(−r)n =



(−1)rr!

nr+1 , n > r > 1 ise, Pn−1

k=0 r k

(−1)kn−k1 , r > n > 1 ise,

¸seklinde tanımlanır.

Tanım 2.4. (Comtet 1974) Fibonacci sayıları,

F0 = 0, F1 = 1 ve Fn= Fn−1+ Fn−2 (n ≥ 2) yineleme ba˘gıntısı ile tanımlanır.

Fibonacci saylarnn adi üreteç fonksiyonu 1

1− x − x2 = X n=0

Fnxn

¸seklindedir.

Tanım 2.5. (Bergum, Bennett, Horadam ve Moore 1985) Jacobsthal sayıları e2t− e−t

3 =

X n=0

J (n)tn n!

üstel üreteç fonksiyonu ile tanımlanır.

Jacobsthal sayılarının kapalı formu

J (n) = 2n− (−1)n 3

dir (Bergum, Bennett, Horadam ve Moore 1985) (bkz. Ek 6.17.).

Tanım 2.6. (Comtet 1974) Genocchi sayıları üstel üreteç fonksiyonu diliyle 2t

et+ 1 = t(1− tht 2) =

X n=0

Gntn n!

¸seklinde tanımlanır (bkz. Ek 6.14.).

Genocchi ve Bernoulli sayıları arasında Gn = 2(1− 2n)Bn ili¸skisi vardır (Comtet 1974).

¸Simdi Giri¸s bölümünde bahsetti˘gimiz binom, Stirling, Lah ve Laguerre dönü¸sümlerinin evrik ba˘gıntılarının kanıtları verilecektir.

(15)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

Teorem 2.7. (Riordan 1979) (an) bir dizi olmak üzere bn=

Xn k=0

n k



ak ⇐⇒ an= Xn k=0

n k



(−1)n−kbk

dir.

Kanıt. (⇒):

bn = Xn

k=0

n k

 ak olsun. Bu durumda

X n=0

bntn n! =

X n=0

Xn k=0

n!

k!(n− k)!aktn n!

= X n=0

Xn k=0

aktk k!

tn−k (n− k)!

= X n=0

antn n!

X n=0

tn

| {z }n!

et

X n=0

(−1)ntn n!

X n=0

bntn n! =

X n=0

antn n!

X n=0

Xn k=0

n k



(−1)n−kbk

! tn n! =

X n=0

antn n!

olur. ¸Simdi katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa istenen elde edilir.

(⇐): Benzer ¸sekilde yapılabilir. 

Teorem 2.8. (Comtet 1974, s-144) (an) bir dizi ve s(n, k) ile S(n, k) sırasıyla birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları olmak üzere

bn= Xn k=0

S(n, k)ak⇐⇒ an = Xn

k=0

s(n, k)bk

dir.

Kanıt. (⇒):

bn= Xn k=0

S(n, k)ak

olsun.

f (t) = X m=0

bmtm m!

(16)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

olarak tanımlayalım. Bu durumda

f (t) = X m=0

Xm k=0

S(m, k)ak

! tm m!

= X k=0

ak X m=k

S(m, k)tm m!

!

(1.3)

= X k=0

ak(et− 1)k k!

olur. Burada et− 1 = u ⇒ t = log(1 + u) dönü¸sümü yapılırsa

f (log(1 + u)) = X k=0

akuk k!

X k=0

bk(log(1 + u))k

k! =

X k=0

akuk k!

X k=0

bk X n=k

s(n, k)un n!

!

(1.2)

= X k=0

akuk k!

X n=0

Xn k=0

s(n, k)bk

! un

n! = X k=0

ak

uk k!

olur. ¸Simdi katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa istenen elde edilir.

(⇐): Benzer ¸sekilde yapılabilir. 

Tanım 2.9. (Lah 1954) Lah sayıları üreteç fonksiyonları diliyle a¸sa˘gıdaki biçimde tanım- lanır:

1 k!

 x

1− x

k

= X n=k

L(n, k)xn n!. Burada

L(n, k) = n!

k!

n− 1 n− k



(2.2) olur (bkz. Ek 6.15.).

Artan ve azalan faktöriyelin Lah sayıları ile ili¸skisi de

xn= Xn k=1

L(n, k)xk⇐⇒ xn= Xn k=1

(−1)n−kL(n, k)xk

¸seklinde verilir. Üçüncü çe¸sit Stirling sayıları olarak da adlandırılan Lah sayıları kul- lanılarak binom ve Stirling dönü¸sümleri tipinde bir dönü¸süm verilebilir. Bunun kanıtı

(17)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

a¸sa˘gıda verilmi¸stir. Bir (an) dizisi verildi˘ginde bn=

Xn k=0

L(n, k)ak (2.3)

¸seklinde tanımlanan (2.3) ba˘gıntısına (an) dizisinin Lah dönü¸sümü denilir. Bunun evri˘gi ise

an = Xn

k=0

(−1)n−kL(n, k)bk olarak elde edilir (Riordan 1979).

Teorem 2.10. (Barry 2007) (an) bir dizi ve L(n, k) Lah sayıları olmak üzere, bn =

Xn k=0

L(n, k)ak ⇐⇒ an= Xn k=0

L(n, k)(−1)n−kbk

dir.

Kanıt. (⇒) :

bn= Xn k=0

L(n, k)ak olsun. Bu durumda

X m=0

bm

tm m! =

X m=0

Xm k=0

L(m, k)ak

! tm m!

= X k=0

ak X m=k

L(m, k)tm m!

!

= X k=0

ak1 k!

 t 1− t

k

olur. Burada 1−tt =−u ⇒ t = 1−u−u dönü¸sümü yapılırsa X

k=0

bk(−1)k 1 k!

 u

1− u

k

= X k=0

ak(−1)kuk k!

X k=0

bk(−1)k X n=k

L(n, k)un n!

!

= X k=0

ak(−1)kuk k!

X n=0

Xn k=0

(−1)kL(n, k)bk

! un

n! = X n=0

an(−1)nun n!

olur. Son e¸sitlikte katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa an=

Xn k=0

L(n, k)(−1)n−kbk

(18)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

elde edilir.

(⇐) : Benzer ¸sekilde yapılabilir. 

Tanım 2.11. (Barry 2007) Laguerre sayıları üreteç fonksiyonları diliyle a¸sa˘gıdaki bi- çimde tanımlanır:

1 k!

xk

(1− x)k+1 = X n=k

Lag(n, k)xn n!. Burada

Lag(n, k) = n!

k!

n k



olur.

Bir (an) dizisi verildi˘ginde

bn= Xn k=0

Lag(n, k)ak (2.4)

¸seklinde tanımlanan (2.4) ba˘gıntısına (an) dizisinin Laguerre dönü¸sümü denilir. Bunun evri˘gi ise

an = Xn

k=0

(−1)n−kLag(n, k)bk olarak elde edilir (Barry 2007).

Teorem 2.12. (Barry 2007) (an) bir dizi ve Lag(n, k) Laguerre sayıları olmak üzere, bn=

Xn k=0

Lag(n, k)ak ⇐⇒ an= Xn k=0

Lag(n, k)(−1)n−kbk

dir.

Kanıt. (⇒) :

bn = Xn

k=0

Lag(n, k)ak = Xn k=0

n!

k!

n k

 ak olsun. Bu durumda

X n=0

bn n!xn =

X n=0

Xn k=0

n k

ak k!xn

= X

k=0

ak k!

X n=k

n k

 xn

= X

k=0

ak k!xk

X n=0

n + k k

 xn

(19)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

X n=0

bn

n!xn+1 = X

k=0

ak (1− x)k+1

xk+1 k!

yazılabilir. Burada 1−xx = t⇒ x = 1+tt dönü¸sümü yapılırsa X

k=0

bk k!

tk+1

(1 + t)k+1 = X n=0

antn+1 n!

X k=0

bktk+1 k!

X n=0

n + k k



(−1)ntn = X n=0

antn+1 n!

X n=0

Xn k=0

(−1)n−kn!

k!

n k

 bktn

n! = X n=0

antn n!

olur. ¸Simdi katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa an =

Xn k=0

(−1)n−kn!

k!

n k

 bk

elde edilir.

(⇐) : Benzer ¸sekilde yapılabilir. 

2.2. Seriler için Dönü¸süm Formülleri

¸Simdi analiz ile sayılar teorisini birle¸stiren önemli bir ba¸ska araç olan dönü¸süm for- müllerine de˘ginece˘giz. Öncelikle tez çalı¸smasında kullanaca˘gımız, literatürde yer alan bazı dönü¸süm formüllerini kanıtlarıyla verece˘giz sonra fonksiyonun ve parametrelerin uygun seçimiyle nasıl sonuçlar verdiklerini açıklayaca˘gız.

Teorem 2.13. (Comtet 1974; Boyadzhiev 2020) Üstel üreteç fonksiyonu f (t) =

X n=0

antn n!

olarak verilen bir (an) dizisi için

f

µ

λ(eλt− 1)

= X n=0

tn n!

( n X

k=0

S(n, k)λn−kµkak )

(I)

e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada λ̸= 0 olmak üzere µ ve λ reel parametrelerdir.

Kanıt.

f (t) = X n=0

antn n!

(20)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

üstel üreteç fonksiyonunda t yerine µλ(eλt− 1) yazılırsa

f

µ

λ(eλt− 1)

= X n=0

an n!

µn

λn(eλt− 1)n olur. Buradan

f

µ

λ(eλt− 1)

= X n=0

an n!

µn λn

Xn k=0

(−1)n−k

n k

 eλtk

= X n=0

an n!

µn λn

Xn k=0

(−1)n−k

n k

X

j=0

λjkjtj j!

= X n=0

an

µn λn

X j=0

λjtj j!

1 n!

Xn k=0

n k



kj(−1)n−k

yazılabilir. Burada ikinci çe¸sit Stirling sayıları için,

S(j, n) = 1 n!

Xn k=0

n k



kj(−1)n−k

(Graham, Knuth ve Patashnik 1993) e¸sitli˘gi kullanılarak

f

µ

λ(eλt− 1)

= X n=0

X j=0

anµnλj−nS(j, n)tj j!

= X

j=0

tj j!

( j X

n=0

S(j, n)λj−nµnan )

elde edilir. 

Teorem 2.14. (Comtet 1974; Boyadzhiev 2020) Üstel üreteç fonksiyonu f (t) =

X n=0

antn n!

olarak verilen bir (an) dizisi için

f

µ

λlog(1 + λt)



= X n=0

tn n!

( n X

k=0

s(n, k)λn−kµkak )

(II)

e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada λ̸= 0 olmak üzere µ ve λ reel parametrelerdir.

Kanıt.

f (t) = X n=0

antn n!

(21)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

üstel üreteç fonksiyonunda t yerine µλlog(1 + λt) yazılırsa f

µ

λlog(1 + λt)



= X n=0

an

n!

µn

λn(log(1 + λt))n olur. Buradan

f

µ

λlog(1 + λt)



= X n=0

an

µn λn

X k=n

s(k, n)λktk k!

= X

k=0

tk k!

( k X

n=0

s(k, n)λk−nµnan )

elde edilir. 

Teorem 2.15. (Comtet 1974; Boyadzhiev 2021) Üstel üreteç fonksiyonu f (t) =

X n=0

antn n!

olarak verilen bir (an) dizisi için f

 µt 1− λt



= X n=0

tn n!

( n X

k=0

L(n, k)λn−kµkak )

(III) e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada µ ve λ reel parametrelerdir.

Kanıt.

f (t) = X k=0

aktk k!

üstel üreteç fonksiyonunda t yerine 1−λtµt yazılırsa f

 µt 1− λt



= X

k=0

akµktk k!

1 (1− λt)k olur. Buradan,

f

 µt 1− λt



= X k=0

akµktk k!

X n=0

n + k− 1 n

 λntn

= X k=0

akµktk k!

X n=k

n− 1 n− k



λn−ktn−k

= X n=0

tn n!

( n X

k=0

n!

k!

n− 1 n− k



λn−kµkak )

(2.2)

= X n=0

tn n!

( n X

k=0

L(n, k)λn−kµkak

)

elde edilir. 

(22)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

Teorem 2.16. (Comtet 1974; Boyadzhiev 2021) Üstel üreteç fonksiyonu f (t) =

X n=0

antn n!

olarak verilen bir (an) dizisi için

eλtf (t) = X n=0

tn n!

( n X

k=0

n k



λn−kak )

(IV)

e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada λ reel parametredir.

Kanıt. etfonksiyonunun seri açılımı ve Cauchy çarpımından açıktır. 

Teorem 2.17. (Comtet 1974; Boyadzhiev 2021) Adi üreteç fonksiyonu f (t) =

X n=0

antn

olarak verilen bir (an) dizisi için 1

1− λtf

 µt 1− λt



= X n=0

tn ( n

X

k=0

n k



λn−kµkak

)

(V)

e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada µ ve λ reel parametrelerdir.

Kanıt.

f (t) = X

k=0

aktk

adi üreteç fonksiyonunda t yerine 1−λtµt yazılıp her iki taraf 1−λt1 ile çarpılırsa 1

1− λtf

 µt 1− λt



= X

k=0

akµktk 1 (1− λt)k+1 olur. Buradan

1 1− λtf

 µt 1− λt



= X k=0

akµktk X n=0

n + k k

 λntn

= X k=0

akµktk X n=k

n k



λn−ktn−k

= X n=0

tn ( n

X

k=0

n k



λn−kµkak )

elde edilir. 

(23)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

Bir diziden fark operatörü yardımıyla yeni bir dizi tanımlansın. Daha sonra bu iki di- zinin binom dönü¸sümleri olan iki yeni dizi olu¸sturulsun. Michael Z. Spivey’in, bu dört dizinin arasındaki çe¸sitli ili¸skileri elde etti˘gi çalı¸smalarından tez çalı¸smamızda kulla- naca˘gımız sonuçları vererek bu bölümü sonlandıraca˘gız. Bu teoremlerde [S] ifadesinin de˘geri, S önermesi do˘gru ise 1, yanlı¸s ise 0’dır.

Teorem 2.18. (Spivey 2007, Theorem 2.) (ak) ve (bk) iki dizi ve k∈ N ∪ {0} için ak = ∆bk= bk+1− bkbiçiminde verilsin.

gn = Xn

k=0

n k



ak ve hn= Xn k=0

n k

 bk

olarak tanımlansın. Bu durumda her n için

gn= hn+1− 2hn− b0[n =−1] (2.5) dir.

Kanıt. n> 0 ise

hn+1− 2hn= hn+1− hn− hn= Xn k=0

n k

 bk+1

Xn k=0

n k

 bk =

Xn k=0

n k



ak= gn dir. n =−1 ise h0− 2h−1− b0 = b0− b0 = 0 = g−1dir. n6 −2 ise her iki taraf da 0’dır.



Teorem 2.19. (Spivey 2007, Theorem 4.) (ak) ve (bk) iki dizi ve k∈ N ∪ {0} için ak = ∆bk= bk+1− bkbiçiminde verilsin.

gn = Xn

k=0

n k



ak ve hn= Xn k=0

n k

 bk olarak tanımlansın. Bu durumda her n∈ N ∪ {0} için

hn = 2n b0+ Xn k=1

gk−1 2k

!

(2.6) dir.

Kanıt. Teorem 2.18’dan hn+1− 2hn − b0[n = −1] = gnoldu˘gunu biliyoruz. Böylece hn− 2hn−1= gn−1+ b0[n = 0] yazılabilir. H(z) ve G(z), sırasıyla{hn} ve {gn} için adi üreteç fonksiyonları ise H(z)− 2zH(z) = zG(z) + b0olur. Böylece

H(z) = b0+ zG(z) 1− 2z

(24)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

dir. Burada 1/(1− 2z) seriye açılır ve gerekli i¸slemler yapılırsa istenen elde edilir. 

Teorem 2.20. (Spivey 2007, Theorem 8.) (ak) ve (bk) iki dizi ve k∈ N ∪ {0} için ak = ∆bk= bk+1− bkbiçiminde verilsin.

gn = Xn

k=0

s(n, k)ak ve hn= Xn k=0

s(n, k)bk ise her n için

gn= hn+1+ (n− 1)hn− b0[n =−1] (2.7) dir.

Kanıt. s(n, k)sayıları için (1.4) yineleme ba˘gıntısından n∈ N ∪ {0} için hn+1+ nhn =

Xn+1 k=0

s(n + 1, k)bk+ n Xn

k=0

s(n, k)bk

= Xn+1 k=0

(s(n, k− 1) − ns(n, k)) bk+ n Xn k=0

s(n, k)bk

= Xn+1 k=0

s(n, k− 1)bk− n Xn+1 k=0

s(n, k)bk+ n Xn k=0

s(n, k)bk

= Xn+1 k=0

s(n, k− 1)bk

= s(n, 0)b1+ s(n, 1)b2+· · · + s(n, n)bn+1

oldu˘gu görülür, Burada s(n,−1) = 0 dır. Böylece

hn+1+ (n− 1)hn = s(n, 0)(b1− b0) + s(n, 1)(b2− b1) +· · · + s(n, n)(bn+1− bn) = gn. O halde h0 = b0 elde edilir ve bu da (2.7)’nin n = −1 durumuna kar¸sılık gelir. n 6 −2

için her iki taraf da 0’dır. 

Kaynak Taraması bölümünde tanıttı˘gımız tüm bu dönü¸sümler ve operatörler, sayılar teorisi ve kombinatorik alanlarında daha çok binom katsayıları (Gould 1972; Chen 2007;

Spivey 2007), Bernoulli sayıları ve polinomları, Euler sayıları ve polinomları (Boyadz- hiev 2009; Can ve Da˘glı 2014; Boyadzhiev 2018), harmonik sayılar ve genelle¸stirmeleri (Spivey 2007; Boyadzhiev 2014; Can ve Da˘glı 2014; Boyadzhiev 2017; Boyadzhiev 2018;

Boyadzhiev 2019; Dil ve Muniroglu 2020) için ara¸stırmalar yapılırken kullanılmaktadırlar.

Bulgular ve Tartı¸sma bölümünde bu ara¸stırmalara devam ederek literatüre katkılarda bu- lunmayı hedefliyoruz.

(25)

BULGULAR VE TARTI ¸SMA H. AHMED

3. BULGULAR VE TARTI ¸SMA

Bu kesimde elde etti˘gimiz sonuçları iki ana ba¸slık halinde sunaca˘gız. Bulgularımızın dı¸sında ihtiyaç duydu˘gumuz literatürden bazı tanımları ilgili yerlerde verece˘giz.

3.1. Dönü¸süm Formülleri ile Elde Edilen Sonuçlar

Kaynak Taraması kesiminde (I), (II), (III), (IV) ve (V) ¸seklinde numaralandırdı˘gımız seri dönü¸süm formülleri kanıtlarıyla verildi. Burada her bir dönü¸süm formülünden elde edilen sonuçları ayrı ayrı verece˘giz.

3.1.1. (I) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar

¸Simdi (I) dönü¸süm formülünün ilk uygulaması olarak Stirling sayılarının me¸shur ortogonallik ili¸skisini verelim.

Önerme 3.21. (Comtet 1974) Birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları Xn

k=0

S(n, k)s(k, m) = δnm =



1 , n = m ise, 0 , n̸= m ise, e¸sitli˘gini sa˘glar.

Kanıt. f (t)olarak birinci çe¸sit Stirling sayılarının üreteç fonksiyonunu alalım.

f (t) = (log(1 + t))m

m! =

X n=0

s(n, m)tn n!. (I) dönü¸süm formülünde λ = µ = 1 alınırsa

f (et− 1) = X n=0

tn n!

( n X

k=0

S(n, k)s(k, m) )

tm m! =

X n=0

tn n!

( n X

k=0

S(n, k)s(k, m) )

olur. Burada katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa istenen elde edilir. 

Tanım 3.22. (Comtet 1974) ˙Ikinci çe¸sit Bernoulli sayısı (birinci çe¸sit Cauchy sayısı) cn=

Z 1 0

xndx

(26)

BULGULAR VE TARTI ¸SMA H. AHMED

olarak tanımlanır ve üstel üreteç fonksiyonu X

n=0

cntn

n! = t

ln (1 + t)

¸seklindedir (bkz. Ek 6.8.).

Önerme 3.23. Birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları, ikinci çe¸sit Bernoulli sayıları (bi- rinci çe¸sit Cauchy sayısı) ve harmonik sayılar için

1 n + 1 =

Xn k=0

S (n, k) ck

(Merlini, Sprugnoli ve Verri 2006, Theorem 2.3.), cn =

Xn k=0

s (n, k) 1 k + 1 ve

Hm+1 = Xm

k=0

ck Xm n=k

S(n, k) e¸sitlikleri sa˘glanır.

Kanıt. f (t)olarak ikinci çe¸sit Bernoulli sayılarının üreteç fonksiyonunu alalım.

f (t) = X n=0

cntn

n! = t

ln (1 + t). (I) dönü¸süm formülünde λ = µ = 1 için

f et− 1

= et− 1

t =

X n=0

 1

n + 1

 tn n!

olur. Buradan dönü¸süm formülündeki katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa ilk e¸sitlik bulunur ve Stir- ling dönü¸sümünden de ikinci e¸sitlik elde edilir. Birinci e¸sitli˘gin her iki tarafı n = 0’dan m’ye kadar toplanırsa ve gerekli i¸slemler yapılırsa üçüncü e¸sitlik elde edilir. 

Tanım 3.24. (Comtet 1974) ˙Ikinci çe¸sit Cauchy sayısı bcn=

Z 1

0

(−1)nxndx olarak tanımlanır ve üreteç fonksiyonu

X n=0

bcn

tn

n! = t

(1 + t) ln (1 + t)

¸seklindedir (bkz. Ek 6.9.).

(27)

BULGULAR VE TARTI ¸SMA H. AHMED

Önerme 3.25. Birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları ile negatif mertebeli hiperharmonik sayılar, ikinci çe¸sit Cauchy sayıları arasında a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler sa˘glanır.

h(n+1−n)= Xn k=0

S (n, k)bck,

bcn = Xn

k=0

s (n, k) h(k+1−k), (−1)n

n + 1 = Xn

k=0

S (n, k)bck

(Merlini, Sprugnoli ve Verri 2006, Theorem 2.6.), bcn=

Xn k=0

s (n, k)(−1)k k + 1.

Kanıt. f (t)olarak ikinci çe¸sit Cauchy sayılarının üreteç fonksiyonunu alalım.

f (t) = X n=0

bcn

tn

n! = t

(1 + t) ln (1 + t). (I) dönü¸süm formülünde λ = µ = 1 için

f et− 1

= et− 1 ett = e−t

X n=0

 1

n + 1

tn n! =

X n=0

Xn k=0

n k

(−1)n−k k + 1

! tn n!

olur. Buradan katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa Xn

k=0

n k

(−1)n−k k + 1 =

Xn k=0

S (n, k)bck

elde edilir. Son e¸sitli˘gin sol tarafındaki ifadeyi hesaplayalım. Bunun için

h(n+k−k) = Xk

i=0

(−1)k−i

k i

 1 n + i

(Dil ve Muniroglu 2020, Proposition 25.) e¸sitli˘ginde n = 1 alınırsa

h(k+1−k) = Xk

i=0

(−1)k−i

k i

 1 i + 1

olur. Dolayısıyla birinci e¸sitlik bulunur ve Stirling dönü¸sümünden ikinci e¸sitlik elde edilir.

Hesaplamak istedi˘gimiz ifadeyi ba¸ska bir yoldan elde edelim.

Xn k=0

n k

(−1)k

k + λ = n!

λ(λ + 1)(λ + 2)· · · (λ + n)

Referanslar

Benzer Belgeler

2013 zor bir yýldýr ve biraz sonra bunu daha fazla açýklayacaðýz ama þu anda tecrit edilmiþ, tek baþýna olan bir bilinç olarak burada olmadýðýmý söyle- mek istiyorum..

Bir otoparkta bulunan arabaların renklerine gösteren sıklık tablosuna göre grafiği

1990 yılından itibaren Su Kirlenmesi Araştırmaları ve Kontrolü Türk Milli Komitesi (SKATMK) tarafından yılda 3 kez düzenli olarak yayınlanmış ve 14 cilde ulaşmış olan Su

In the deficiency state vitamin can not mobilise Ca but on the other hand increases the resorption, resulting in Ca increase in fluids of body.. In the case of high vitamin intake,

University of Nice Sophia Antipolis adına Uluslararası İlişkilerden Sorumlu Rektör Yardımcısı Jean Christophe Martin ve DAÜ adına Bilgisayar Mühendisliği Bölüm Başkanı

• Gini İndeksi ya da Gini katsayısı İtalyan istatistikçi Corrado Gini tarafından 1912’de geliştirilen gelir dağılımının istatistiksel ölçümüdür.. •

Bir fark denkleminde bilinmeyen fonksiyonun mevcut olan en büyük ve en küçük argümentlerinin fark¬na o denklemin basama¼ g¬denir.... basamaktan

Tikel şartlı önerme: Eğer hüküm, bazı zaman, diye ka- yıtlanarak verilirse yani bütün zamanlar için geçerli olmadığı belirtilirse önerme tikel olur..