Kombinatöryel evrik dönüşümlerle özel bazı sayı dizilerinin analizi

(1)

T.C.

AKDEN˙IZ ÜN˙IVERS˙ITES˙I

KOMB˙INATÖRYEL EVR˙IK DÖNÜ ¸SÜMLERLE ÖZEL BAZI SAYI D˙IZ˙ILER˙IN˙IN ANAL˙IZ˙I

Hamud AHMED

FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙ITÜSÜ

MATEMAT˙IK ANAB˙IL˙IM DALI YÜKSEK L˙ISANS TEZ˙I

OCAK 2022 ANTALYA

(2)

(3)

ÖZET

KOMB˙INATÖRYEL EVR˙IK DÖNÜ ¸SÜMLERLE ÖZEL BAZI SAYI D˙IZ˙ILER˙IN˙IN ANAL˙IZ˙I

Hamud AHMED

Yüksek Lisans Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danı¸sman: Doç. Dr. Ayhan D˙IL

Ocak 2022; 76 sayfa

Harmonik sayılar ve genelle¸stirmeleri, birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları ve binom katsayıları gibi önemli sayı tiplerini içeren sonlu toplamlar özellikle analiz, sayılar teorisi ve kombinatorik gibi birçok alanda ortaya çıkmaktadırlar. Bu yüzden, söz konusu toplamların hesaplanması ya da kullanı¸slı ba¸ska formlarının elde edilmesi önem- lidir. Bu yöndeki ara¸stırmalar için çe¸sitli teknikler mevcuttur. Bu tez çalı¸smasında esas olarak üç teknik kullanılmı¸stır. Birincisi, en me¸shurları binom ve Stirling dönü¸sümleri olan evrik dönü¸sümler, ikincisi üreteç fonksiyonları ile söz konusu toplamlar arasında kullanı¸slı ili¸skiler kurmaya yarayan seri dönü¸süm formülleri, üçüncüsü ise fark opera- törleridir. Bu teknikleri içeren klasik ve güncel sonuçlar bir araya getirilerek düzenli bir kaynak olu¸sturulmu¸stur.

ANAHTAR KEL˙IMELER:Binom dönü¸sümü, Fark operatörü, Harmonik sayılar, Hiper- harmonik sayılar, Laguerre dönü¸sümü, Lah dönü¸sümü, Seri dönü¸süm formülleri, Stirling dönü¸sümü, Üreteç fonksiyonları.

JÜR˙I:Doç. Dr. Ayhan D˙IL

Prof. Dr. Mehmet CENKC˙I Doç. Dr. Seçil ÇEKEN

(4)

ABSTRACT

ANALYSIS OF SOME SPECIAL SEQUENCES WITH COMBINATORIAL INVERSE TRANSFORMS

Hamud AHMED

MSc Thesis in MATHEMATICS Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ayhan D˙IL

January 2022; 76 pages

Finite sums, which include important number types such as harmonic numbers and their generalizations, Stirling numbers of the first and second kinds and binomial coefficients, appear in many fields such as analysis, number theory and combinatorics.

Evaluating these sums or obtaining other useful forms is therefore important. There are various techniques for research in this direction, we will mainly use three of these techniques together in this thesis. First one is the inverse transformations, the most famous of which are the binomial and Stirling transforms, second one is the series transformation formulas for establishing useful relations between generating functions and the sums in question and the third one is the difference operators. Classic and current results involving these techniques were brought together and a compact reference was created. In addition to the important results in the literature, many new formulas and equations were obtained.

KEYWORDS:Binomial transform, Difference operator, Generating functions, Hamonic numbers, Hyperharmonic numbers, Laguerre transform, Lah transform, Series transformation formulas, Stirling transform.

COMMITTEE:Assoc. Prof. Dr. Ayhan D˙IL Prof. Dr. Mehmet CENKC˙I Assoc. Prof. Dr. Seçil ÇEKEN

(5)

ÖNSÖZ

Bu çalı¸sma temel olarak Kaynak Taraması ile Bulgular ve Tartı¸sma ba¸slıklı iki bölümden olu¸smaktadır. Kaynak Taraması kısmında Binom, Stirling, Lah ve Laguerre evrik dönü¸sümleri (bkz. Comtet 1974, Riordan 1979, Boyadzhiev 2020) ve (I), (II), (III), (IV), (V) olarak numaralandırdı˘gımız seri dönü¸süm formülleri (bkz. Comtet 1974, Bo- yadzhiev 2020) kanıtlarıyla beraber verilmi¸stir. Bulgular ve Tartı¸sma kısmında ise ilk olarak (I), (II), (III), (IV), (V) seri dönü¸süm formülleri kullanılarak çok sayıda önemli polinom ve sayı ailesi için toplam formülleri elde edilmi¸stir. Daha sonra Spivey 2007- 2009 çalı¸smalarındaki teknikler kullanılarak, fark operatörleri yardımıyla, binom kat- sayıları veya Stirling sayıları ile ba¸ska bir dizinin terimlerinin çarpımlarının sonlu top- lamları hesaplanmı¸stır. Bulgular ve Tartı¸sma bölümünde elde edilen sonuçlardan evrik dönü¸sümlerin uygulanabilece˘gi bütün sonuçlara bu dönü¸sümler uygulanarak sonuçlar zen- ginle¸stirilmi¸stir.

Bu çalı¸sma sürecinde, önümü aydınlatan, beni te¸svik eden, ö˘grenmem için bana sabreden ve benden yardımlarını esirgemeyen danı¸smanım sayın Doç. Dr. Ayhan D˙IL hocama en kalbi ¸sükranlarımı sunmak istiyorum.

Yüksek lisans e˘gitimimde bana burs sa˘glayan Yurtdı¸sı Türkler ve Akraba Toplu- luklar Ba¸skanlı˘gı’na çok te¸sekkür ederim. Son olarak da her zaman yanımda olan ve beni destekleyen canım aileme te¸sekkür etmek isterim.

(6)

˙IÇ˙INDEK˙ILER

ÖZET . . . i

ABSTRACT . . . ii

ÖNSÖZ . . . iii

AKADEM˙IK BEYAN . . . v

S˙IMGELER . . . vi

1. G˙IR˙I ¸S . . . 1

2. KAYNAK TARAMASI . . . 5

2.1. Özel Bazı Polinom ve Sayı Aileleri ve Evrik Dönü¸sümler . . . 5

2.2. Seriler için Dönü¸süm Formülleri . . . 11

3. BULGULAR VE TARTI ¸SMA . . . 17

3.1. Dönü¸süm Formülleri ile Elde Edilen Sonuçlar . . . 17

3.1.1. (I) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 17

3.1.2. (II) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 24

3.1.3. (III) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 31

3.1.4. (IV) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 37

3.1.5. (V) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar . . . 41

3.2. ˙Ileri ve Geri Fark Operatörleri ile Elde Edilen Sonuçlar . . . 42

3.2.1. ˙Ileri fark operatörü ile elde edilen sonuçlar . . . 42

3.2.2. Geri fark operatörü ile elde edilen sonuçlar . . . 50

4. SONUÇLAR . . . 62

5. KAYNAKLAR . . . 63

6. EKLER . . . 66 ÖZGEÇM˙I ¸S

(7)

(8)

S˙IMGELER

Simgeler:

H_n : Harmonik sayı

s(n, k) : Birinci çe¸sit (i¸saretli) Stirling sayısı S(n, k) : ˙Ikinci çe¸sit Stirling sayısı

xⁿ : Artan faktöriyel xⁿ : Azalan faktöriyel B_n(x) : Bernoulli polinomu B_n : Bernoulli sayısı

h^(r)n : r. mertebeden n. hiperharmonik sayısı

h⁽n^−r) : Negatif r. mertebeden n. hiperharmonik sayısı L(n, k) : Lah sayısı

Lag(n, k) : Laguerre sayısı F_n : Fibonacci sayısı J (n) : Jacobsthal sayısı G_n : Genocchi sayısı δ_nm : Kronecker delta

c_n : ˙Ikinci çe¸sit Bernoulli sayısı (birinci çe¸sit Cauchy sayısı) bcn : ˙Ikinci çe¸sit Cauchy sayısı

H_n^∼ : Skew harmonik sayı ω_n(x) : Geometrik polinom ω_n : Geometrik sayı E_n(x) : Euler polinomu E_n : Euler sayısı

E_n^∗ : Birinci çe¸sit Euler sayısı ϕ_n(x) : Üstel polinom

ϕ_n : Bell sayısı (üstel sayı) D_n : Derangement sayısı

(9)

G˙IR˙I ¸S H. AHMED

1. G˙IR˙I ¸S

Bazı özel polinom ve sayı aileleri bilimin birçok farklı yerinde çe¸sitli ¸sekillerde ortaya çıkarlar. Bu nedenle bu polinom ve sayı aileleri ile ilgili özelliklerin, formüllerin ve ili¸skilerin belirlenmesine yarayan analizlerin yapılması ve kaynak olu¸sturulması gerek- lidir. Bu analizler sırasında çok çe¸sitli matematik teorileri, yöntemleri ve teknikleri kul- lanılmaktadır. Bu tez çalı¸smasında klasikle¸smi¸s temel analiz ve sayılar teorisi yöntemleri ve bunların güncel varyantları kullanılarak özellikle analiz, sayılar teorisi ve kombinatorik alanlarında sıkça kar¸sıla¸sılan bazı polinom ve sayı aileleri için formüller elde edilmi¸stir.

Yukarıda bahsedilen temel tekniklerin ba¸slıcalarından birisi üreteç fonksiyonlarıdır.

Üreteç fonksiyonları analiz ve sayılar teorisini birbirine ba˘glayan en önemli kavramlardan birisidir. (an) bir dizi olmak üzere

g(x) = X∞ n=0

a_nxⁿ

biçiminde tanımlanan seriye (a_n) dizisinin adi üreteç fonksiyonu denilir. Bunun klasik örneklerinden birisi, harmonik serinin n. kısmi toplamı olarak, yani

H_n = 1 + 1 2+ 1

3+· · · + 1 n =

Xn k=1

1

k, H₀ = 0 biçiminde tanımlanan H_nharmonik sayıları için

− ln(1 − t) 1− t =

X∞ n=0

H_ntⁿ (1.1)

üreteç fonksiyonudur (bkz. Ek 6.5.). Harmonik sayılar antik ça˘glardan beri ara¸stırma konusu olup ba¸sta sayılar teorisi, kombinatorik ve ayrık matematik olmak üzere matemati˘gin birçok alanında önemlidirler. Tez çalı¸smamızın önemli bir kısmı harmonik sayılar ve genelle¸stirmelerinin çe¸sitli özelliklerinin elde edilmesi yönündeki sonuçlardır.

(a_n) bir dizi olmak üzere,

f (x) = X∞ n=0

a_nxⁿ n!

biçiminde tanımlanan seriye (an) dizisinin üstel üreteç fonksiyonu denir. Üstel üreteç fonksiyonlarına örnek olarak kombinatorik alanının en önemli sayı ailelerinden olan Stir- ling sayılarının üstel üreteç fonksiyonları verilebilir. Stirling sayıları, James Stirling ta- rafından 18. yüzyılda tanımlanmı¸slardır. Stirling sayılarının yaygın kullanımda birinci ve

(10)

ikinci çe¸sit Stirling sayıları olmak üzere iki türü vardır. s(n, k) birinci çe¸sit (i¸saretli) ve S(n, k) ikinci çe¸sit Stirling sayıları göstermek üzere,

(log(1 + t))^k

k! =

X∞ n=k

s(n, k)tⁿ

n! (1.2)

ve

(e^t− 1)^k

k! =

X∞ n=k

S(n, k)tⁿ

n! (1.3)

üreteç fonksiyonları ile tanımlanır (Comtet 1974) (bkz. Ek 6.3. ve 6.4.). Birinci çe¸sit (i¸saretli) Stirling sayıları

s(n + 1, k) = s(n, k− 1) − ns(n, k) (1.4) yineleme ba˘gıntısını sa˘glar. Di˘ger taraftan bir x∈ R ve n ∈ N = {1, 2, 3, ...} için

xⁿ = x(x + 1)· · · (x + n − 1) ifadesi artan faktöriyel,

xⁿ = x(x− 1) · · · (x − n + 1)

ifadesi ise azalan faktöriyel olarak adlandırılır. Artan ve azalan faktöriyelin birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları ile ili¸skisi

xⁿ= Xn k=0

S(n, k)x^k (1.5)

ve

xⁿ= Xn k=0

s(n, k)x^k (1.6)

e¸sitliklerinden görülür.

Faktöriyel ile yakından alakalı bir kavram olan binom katsayıları, saymanın ve do- layısıyla kombinatori˘gin temelinde yer alır. n, k ∈ Z ve 0 6 k 6 n olmak üzere

n k

= n!

k!(n− k)! = n(n− 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) k!

biçiminde tanımlanan binom katsayıları için e¸sitli˘gin ikinci kısmından sadece k’nin nega- tif olmayan bir tamsayı olması gerekti˘gi görülür. Verilen bir dizinin terimlerini ve binom

(11)

katsayılarını içeren toplamlar, üreteç fonksiyonları ile çalı¸sırken sıkça ortaya çıkar. Bu ba˘glamda, bir (an) dizisi verildi˘ginde,

b_n = Xn

k=0

n k

a_k (1.7)

biçiminde tanımlanan (1.7) ba˘gıntısına (an) dizisinin binom dönü¸sümü denilir. Bu dönü-

¸sümün evri˘gi ise

a_n = Xn

k=0

n k

(−1)ⁿ^−kb_k

olarak ortaya çıkar (Riordan 1979; Boyadzhiev 2018). Binom dönü¸sümü bir diziyi ba¸ska bir diziye dönü¸stüren ve çok önemli uygulamaları olan bir ayrık dönü¸sümdür. Benzer yay- gınlıkta ve önemde olan ve tez çalı¸smamızda kullanaca˘gımız bir di˘ger önemli dönü¸süm de Stirling dönü¸sümüdür. Bir (a_n) dizisi verildi˘ginde,

b_n= Xn k=0

S(n, k)a_k (1.8)

biçiminde tanımlanan (1.8) ba˘gıntısına (a_n) dizisinin Stirling dönü¸sümü denilir. Bu dö- nü¸sümün evri˘gi ise

a_n= Xn k=0

s(n, k)b_k

olarak ortaya çıkar (Riordan 1979; Boyadzhiev 2018). Binom dönü¸sümü ve Stirling dönü-

¸sümü, kombinatorik ve analiz ba¸sta olmak üzere birçok ilginç uygulamaları olan ayrık dö- nü¸sümlerdir. Tez çalı¸smamızda öncelikle binom dönü¸sümü, Stirling dönü¸sümü ve benzer karakterdeki Lah ve Laguerre dönü¸sümlerinin evrik ba˘gıntılarının kanıtları verilecektir.

Daha sonra bu dönü¸sümler bazı özel sayı dizilerinin incelenmesinde kullanılacaktır.

Dizilerin analizinde ayrık ve sürekli matemati˘gi birle¸stiren, üreteç fonksiyonları ve dönü¸süm teknikleri kadar güçlü ve önemli olan, aynı zamanda bu iki teknikle yakın ili¸skisi olan bir di˘ger kavram da operatörlerdir. Tez çalı¸smamızda bu operatörlerden

∆f (x) = f (x + 1)− f(x) ve

∇f(x) = f(x) − f(x − 1) fark operatörleri göz önüne alınacaktır.

(12)

Tez çalı¸smamızda özelliklerini ara¸stıraca˘gımız ve bazılarından yukarıda da bahsetti-

˘gimiz dizilerin ilk birkaç de˘geri ve söz konusu diziler için elde etti˘gimiz formüller tezin sonunda Ekler kısmında listelenmi¸stir.

(13)

KAYNAK TARAMASI H. AHMED

2. KAYNAK TARAMASI

Bu bölümde tezin içeri˘gini olu¸sturan belli ba¸slı kavramlar tanıtılacak ve ihtiyaç du- yaca˘gımız literatürde yer alan özellikleri verilecektir.

2.1. Özel Bazı Polinom ve Sayı Aileleri ve Evrik Dönü¸sümler

Bu kesimde özelliklerini ara¸stıraca˘gımız özel bazı polinom ve sayı aileleri tanıtılacak ve binom, Stirling, Lah ve Laguerre evrik dönü¸sümleri kanıtlarıyla beraber verilecektir.

Tanım 2.1. (Comtet 1974) Bernoulli polinomları üstel üreteç fonksiyonu diliyle te^xt

e^t− 1 = X∞ n=0

B_n(x)tⁿ

n! (2.1)

¸seklinde tanımlanır (bkz. Ek 6.6.). Burada x = 0 için elde edilen B_n(0) = B_n kat- sayılarına Bernoulli sayıları denilir (bkz. Ek 6.7.).

Jakob Bernoulli tarafından, Japon matematikçi Takakazu Seki ile hemen hemen aynı zamanda bulunan Bernoulli sayıları, sayılar teorisinde çok önemli olan rasyonel sayı dizi- sidir. Seki’nin "Katsuyo Sampo" adlı kitabında yer alan bulgular ölümünün ardından 1712 yılında yayımlanmı¸stır. Bernoulli’nin sonuçları yine ölümünden sonra "Ars Conjectandi"

adlı bir kitap olarak 1713’te yayımlanmı¸stır.

Harmonik sayıların çok çe¸sitli ve önemli genelle¸stirmeleri vardır. Bu tez çalı¸smasında a¸sa˘gıdaki genelle¸stirme üzerine çalı¸sılmı¸stır.

Tanım 2.2. (Conway ve Guy 1996) n, r ∈ N için r. mertebeden n. hiperharmonik sayı h^(r)n ile gösterilir ve

h^(r)_n = Xn

k=1

h^(r_k⁻¹⁾, h⁽¹⁾_n = H_n

¸seklinde tanımlanır. Burada n> 1 için h⁽⁰⁾n = 1/n ve r > 0 için h^(r)0 = 0 olarak alınır.

Hiperharmonik sayıların adi üreteç fonksiyonunun,

−ln(1− t) (1− t)^r =

X∞ n=0

h^(r)_n tⁿ

oldu˘gu harmonik sayıların üreteç fonksiyonu (1.1) Cauchy çarpımıyla göz önüne alındı-

˘gında kolayca görülür (Dil ve Mez˝o 2008).

(14)

Tanım 2.3. (Dil ve Muniroglu 2020) n, r∈ N için negatif r. mertebeden n. hiperharmonik sayı h^(−r)n ile gösterilir ve

h^(−r)_n =





(−1)^rr!

n^r+1 , n > r > 1 ise, Pn−1

k=0 r k

(−1)^k_n_−k¹ , r > n > 1 ise,

¸seklinde tanımlanır.

Tanım 2.4. (Comtet 1974) Fibonacci sayıları,

F₀ = 0, F₁ = 1 ve F_n= F_n₋₁+ F_n₋₂ (n ≥ 2) yineleme ba˘gıntısı ile tanımlanır.

Fibonacci saylarnn adi üreteç fonksiyonu 1

1− x − x² = X∞ n=0

F_nxⁿ

¸seklindedir.

Tanım 2.5. (Bergum, Bennett, Horadam ve Moore 1985) Jacobsthal sayıları e^2t− e^−t

3 =

X∞ n=0

J (n)tⁿ n!

üstel üreteç fonksiyonu ile tanımlanır.

Jacobsthal sayılarının kapalı formu

J (n) = 2ⁿ− (−1)ⁿ 3

dir (Bergum, Bennett, Horadam ve Moore 1985) (bkz. Ek 6.17.).

Tanım 2.6. (Comtet 1974) Genocchi sayıları üstel üreteç fonksiyonu diliyle 2t

e^t+ 1 = t(1− tht 2) =

X∞ n=0

G_ntⁿ n!

¸seklinde tanımlanır (bkz. Ek 6.14.).

Genocchi ve Bernoulli sayıları arasında Gn = 2(1− 2ⁿ)B_n ili¸skisi vardır (Comtet 1974).

¸Simdi Giri¸s bölümünde bahsetti˘gimiz binom, Stirling, Lah ve Laguerre dönü¸sümlerinin evrik ba˘gıntılarının kanıtları verilecektir.

(15)

Teorem 2.7. (Riordan 1979) (a_n) bir dizi olmak üzere b_n=

Xn k=0

n k

a_k ⇐⇒ an= Xn k=0

n k

(−1)ⁿ^−kb_k

dir.

Kanıt. (⇒):

b_n = Xn

k=0

n k

a_k olsun. Bu durumda

X∞ n=0

b_ntⁿ n! =

X∞ n=0

Xn k=0

n!

k!(n− k)!a_ktⁿ n!

= X∞ n=0

Xn k=0

a_kt^k k!

tⁿ^−k (n− k)!

= X∞ n=0

a_ntⁿ n!

X∞ n=0

tⁿ

| {z }n!

e^t

X∞ n=0

(−1)ⁿtⁿ n!

X∞ n=0

b_ntⁿ n! =

X∞ n=0

a_ntⁿ n!

X∞ n=0

Xn k=0

n k

(−1)ⁿ^−kb_k

! tⁿ n! =

X∞ n=0

a_ntⁿ n!

olur. ¸Simdi katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa istenen elde edilir.

(⇐): Benzer ¸sekilde yapılabilir.

Teorem 2.8. (Comtet 1974, s-144) (a_n) bir dizi ve s(n, k) ile S(n, k) sırasıyla birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları olmak üzere

bn= Xn k=0

S(n, k)ak⇐⇒ an = Xn

k=0

s(n, k)bk

dir.

Kanıt. (⇒):

bn= Xn k=0

S(n, k)ak

olsun.

f (t) = X∞ m=0

b_mt^m m!

(16)

olarak tanımlayalım. Bu durumda

f (t) = X∞ m=0

Xm k=0

S(m, k)a_k

! t^m m!

= X∞ k=0

a_k X∞ m=k

S(m, k)t^m m!

!

(1.3)

= X∞ k=0

a_k(e^t− 1)^k k!

olur. Burada e^t− 1 = u ⇒ t = log(1 + u) dönü¸sümü yapılırsa

f (log(1 + u)) = X∞ k=0

a_ku^k k!

X∞ k=0

b_k(log(1 + u))^k

k! =

X∞ k=0

a_ku^k k!

X∞ k=0

b_k X∞ n=k

s(n, k)uⁿ n!

!

(1.2)

= X∞ k=0

a_ku^k k!

X∞ n=0

Xn k=0

s(n, k)bk

! uⁿ

n! = X∞ k=0

ak

u^k k!

olur. ¸Simdi katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa istenen elde edilir.

(⇐): Benzer ¸sekilde yapılabilir.

Tanım 2.9. (Lah 1954) Lah sayıları üreteç fonksiyonları diliyle a¸sa˘gıdaki biçimde tanım- lanır:

1 k!

x

1− x

k

= X∞ n=k

L(n, k)xⁿ n!. Burada

L(n, k) = n!

k!

n− 1 n− k

(2.2) olur (bkz. Ek 6.15.).

Artan ve azalan faktöriyelin Lah sayıları ile ili¸skisi de

xⁿ= Xn k=1

L(n, k)x^k⇐⇒ xⁿ= Xn k=1

(−1)ⁿ^−kL(n, k)x^k

¸seklinde verilir. Üçüncü çe¸sit Stirling sayıları olarak da adlandırılan Lah sayıları kul- lanılarak binom ve Stirling dönü¸sümleri tipinde bir dönü¸süm verilebilir. Bunun kanıtı

(17)

a¸sa˘gıda verilmi¸stir. Bir (a_n) dizisi verildi˘ginde b_n=

Xn k=0

L(n, k)a_k (2.3)

¸seklinde tanımlanan (2.3) ba˘gıntısına (an) dizisinin Lah dönü¸sümü denilir. Bunun evri˘gi ise

a_n = Xn

k=0

(−1)ⁿ^−kL(n, k)b_k olarak elde edilir (Riordan 1979).

Teorem 2.10. (Barry 2007) (a_n) bir dizi ve L(n, k) Lah sayıları olmak üzere, bn =

Xn k=0

L(n, k)ak ⇐⇒ an= Xn k=0

L(n, k)(−1)ⁿ^−kbk

dir.

Kanıt. (⇒) :

b_n= Xn k=0

L(n, k)a_k olsun. Bu durumda

X∞ m=0

bm

t^m m! =

X∞ m=0

Xm k=0

L(m, k)ak

! t^m m!

= X∞ k=0

a_k X∞ m=k

L(m, k)t^m m!

!

= X∞ k=0

a_k1 k!

t 1− t

k

olur. Burada ₁_−t^t =−u ⇒ t = ₁^−u_−u dönü¸sümü yapılırsa X∞

k=0

b_k(−1)^k 1 k!

u

1− u

k

= X∞ k=0

a_k(−1)^ku^k k!

X∞ k=0

b_k(−1)^k X∞ n=k

L(n, k)uⁿ n!

!

= X∞ k=0

a_k(−1)^ku^k k!

X∞ n=0

Xn k=0

(−1)^kL(n, k)b_k

! uⁿ

n! = X∞ n=0

a_n(−1)ⁿuⁿ n!

olur. Son e¸sitlikte katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa a_n=

Xn k=0

L(n, k)(−1)ⁿ^−kb_k

(18)

elde edilir.

(⇐) : Benzer ¸sekilde yapılabilir.

Tanım 2.11. (Barry 2007) Laguerre sayıları üreteç fonksiyonları diliyle a¸sa˘gıdaki bi- çimde tanımlanır:

1 k!

x^k

(1− x)^k+1 = X∞ n=k

Lag(n, k)xⁿ n!. Burada

Lag(n, k) = n!

k!

n k

olur.

Bir (an) dizisi verildi˘ginde

bn= Xn k=0

Lag(n, k)ak (2.4)

¸seklinde tanımlanan (2.4) ba˘gıntısına (an) dizisinin Laguerre dönü¸sümü denilir. Bunun evri˘gi ise

a_n = Xn

k=0

(−1)ⁿ^−kLag(n, k)b_k olarak elde edilir (Barry 2007).

Teorem 2.12. (Barry 2007) (a_n) bir dizi ve Lag(n, k) Laguerre sayıları olmak üzere, b_n=

Xn k=0

Lag(n, k)a_k ⇐⇒ an= Xn k=0

Lag(n, k)(−1)ⁿ^−kb_k

dir.

Kanıt. (⇒) :

b_n = Xn

k=0

Lag(n, k)a_k = Xn k=0

n!

k!

n k

a_k olsun. Bu durumda

X∞ n=0

b_n n!xⁿ =

X∞ n=0

Xn k=0

n k

a_k k!xⁿ

= X∞

k=0

a_k k!

X∞ n=k

n k

xⁿ

= X∞

k=0

a_k k!x^k

X∞ n=0

n + k k

xⁿ

(19)

X∞ n=0

b_n

n!xⁿ⁺¹ = X∞

k=0

a_k (1− x)^k+1

x^k+1 k!

yazılabilir. Burada ₁_−x^x = t⇒ x = _1+t^t dönü¸sümü yapılırsa X∞

k=0

b_k k!

t^k+1

(1 + t)^k+1 = X∞ n=0

a_ntⁿ⁺¹ n!

X∞ k=0

b_kt^k+1 k!

X∞ n=0

n + k k

(−1)ⁿtⁿ = X∞ n=0

a_ntⁿ⁺¹ n!

X∞ n=0

Xn k=0

(−1)ⁿ^−kn!

k!

n k

b_ktⁿ

n! = X∞ n=0

a_ntⁿ n!

olur. ¸Simdi katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa a_n =

Xn k=0

(−1)ⁿ^−kn!

k!

n k

b_k

elde edilir.

(⇐) : Benzer ¸sekilde yapılabilir.

2.2. Seriler için Dönü¸süm Formülleri

¸Simdi analiz ile sayılar teorisini birle¸stiren önemli bir ba¸ska araç olan dönü¸süm for- müllerine de˘ginece˘giz. Öncelikle tez çalı¸smasında kullanaca˘gımız, literatürde yer alan bazı dönü¸süm formüllerini kanıtlarıyla verece˘giz sonra fonksiyonun ve parametrelerin uygun seçimiyle nasıl sonuçlar verdiklerini açıklayaca˘gız.

Teorem 2.13. (Comtet 1974; Boyadzhiev 2020) Üstel üreteç fonksiyonu f (t) =

X∞ n=0

a_ntⁿ n!

olarak verilen bir (a_n) dizisi için

f

µ

λ(e^λt− 1)

= X∞ n=0

tⁿ n!

( _n X

k=0

S(n, k)λⁿ^−kµ^ka_k )

(I)

e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada λ̸= 0 olmak üzere µ ve λ reel parametrelerdir.

Kanıt.

f (t) = X∞ n=0

a_ntⁿ n!

(20)

üstel üreteç fonksiyonunda t yerine ^µ_λ(e^λt− 1) yazılırsa

f

µ

λ(e^λt− 1)

= X∞ n=0

a_n n!

µⁿ

λⁿ(e^λt− 1)ⁿ olur. Buradan

f

µ

λ(e^λt− 1)

= X∞ n=0

a_n n!

µⁿ λⁿ

Xn k=0

(−1)ⁿ^−k

n k

e^λtk

= X∞ n=0

a_n n!

µⁿ λⁿ

Xn k=0

(−1)ⁿ^−k

n k

X∞

j=0

λ^jk^jt^j j!

= X∞ n=0

an

µⁿ λⁿ

X∞ j=0

λ^jt^j j!

1 n!

Xn k=0

n k

k^j(−1)ⁿ^−k

yazılabilir. Burada ikinci çe¸sit Stirling sayıları için,

S(j, n) = 1 n!

Xn k=0

n k

k^j(−1)ⁿ^−k

(Graham, Knuth ve Patashnik 1993) e¸sitli˘gi kullanılarak

f

µ

λ(e^λt− 1)

= X∞ n=0

X∞ j=0

anµⁿλ^j⁻ⁿS(j, n)t^j j!

= X∞

j=0

t^j j!

( _j X

n=0

S(j, n)λ^j⁻ⁿµⁿa_n )

elde edilir.

X∞ n=0

a_ntⁿ n!

olarak verilen bir (an) dizisi için

f

µ

λlog(1 + λt)

= X∞ n=0

tⁿ n!

( _n X

k=0

s(n, k)λ^n−kµ^ka_k )

(II)

e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada λ̸= 0 olmak üzere µ ve λ reel parametrelerdir.

Kanıt.

f (t) = X∞ n=0

a_ntⁿ n!

(21)

üstel üreteç fonksiyonunda t yerine ^µ_λlog(1 + λt) yazılırsa f

µ

λlog(1 + λt)

= X∞ n=0

an

n!

µⁿ

λⁿ(log(1 + λt))ⁿ olur. Buradan

f

µ

λlog(1 + λt)

= X∞ n=0

an

µⁿ λⁿ

X∞ k=n

s(k, n)λ^kt^k k!

= X∞

k=0

t^k k!

( _k X

n=0

s(k, n)λ^k⁻ⁿµⁿa_n )

elde edilir.

X∞ n=0

a_ntⁿ n!

olarak verilen bir (a_n) dizisi için f

µt 1− λt

= X∞ n=0

tⁿ n!

( _n X

k=0

L(n, k)λ^n−kµ^ka_k )

(III) e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada µ ve λ reel parametrelerdir.

Kanıt.

f (t) = X∞ k=0

a_kt^k k!

üstel üreteç fonksiyonunda t yerine ₁_−λt^µt yazılırsa f

µt 1− λt

= X∞

k=0

a_kµ^kt^k k!

1 (1− λt)^k olur. Buradan,

f

µt 1− λt

= X∞ k=0

akµ^kt^k k!

X∞ n=0

n + k− 1 n

λⁿtⁿ

= X∞ k=0

a_kµ^kt^k k!

X∞ n=k

n− 1 n− k

λⁿ^−ktⁿ^−k

= X∞ n=0

tⁿ n!

( _n X

k=0

n!

k!

n− 1 n− k

λⁿ^−kµ^ka_k )

(2.2)

= X∞ n=0

tⁿ n!

( _n X

k=0

L(n, k)λⁿ^−kµ^kak

)

elde edilir.

(22)

X∞ n=0

a_ntⁿ n!

olarak verilen bir (a_n) dizisi için

e^λtf (t) = X∞ n=0

tⁿ n!

( _n X

k=0

n k

λⁿ^−ka_k )

(IV)

e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada λ reel parametredir.

Kanıt. e^tfonksiyonunun seri açılımı ve Cauchy çarpımından açıktır.

Teorem 2.17. (Comtet 1974; Boyadzhiev 2021) Adi üreteç fonksiyonu f (t) =

X∞ n=0

a_ntⁿ

olarak verilen bir (a_n) dizisi için 1

1− λtf

µt 1− λt

= X∞ n=0

tⁿ ( _n

X

k=0

n k

λⁿ^−kµ^kak

)

(V)

e¸sitli˘gi sa˘glanır. Burada µ ve λ reel parametrelerdir.

Kanıt.

f (t) = X∞

k=0

akt^k

adi üreteç fonksiyonunda t yerine ₁_−λt^µt yazılıp her iki taraf ₁_−λt¹ ile çarpılırsa 1

1− λtf

µt 1− λt

= X∞

k=0

a_kµ^kt^k 1 (1− λt)^k+1 olur. Buradan

1 1− λtf

µt 1− λt

= X∞ k=0

a_kµ^kt^k X∞ n=0

n + k k

λⁿtⁿ

= X∞ k=0

a_kµ^kt^k X∞ n=k

n k

λⁿ^−ktⁿ^−k

= X∞ n=0

tⁿ ( _n

X

k=0

n k

λ^n−kµ^ka_k )

elde edilir.

(23)

Bir diziden fark operatörü yardımıyla yeni bir dizi tanımlansın. Daha sonra bu iki dizinin binom dönü¸sümleri olan iki yeni dizi olu¸sturulsun. Michael Z. Spivey’in, bu dört dizinin arasındaki çe¸sitli ili¸skileri elde etti˘gi çalı¸smalarından tez çalı¸smamızda kullanaca˘gımız sonuçları vererek bu bölümü sonlandıraca˘gız. Bu teoremlerde [S] ifadesinin de˘geri, S önermesi do˘gru ise 1, yanlı¸s ise 0’dır.

Teorem 2.18. (Spivey 2007, Theorem 2.) (a_k) ve (b_k) iki dizi ve k∈ N ∪ {0} için a_k = ∆b_k= b_k+1− bkbiçiminde verilsin.

gn = Xn

k=0

n k

ak ve hn= Xn k=0

n k

bk

olarak tanımlansın. Bu durumda her n için

gn= hn+1− 2hn− b0[n =−1] (2.5) dir.

Kanıt. n> 0 ise

h_n+1− 2hn= h_n+1− hn− hn= Xn k=0

n k

b_k+1−

Xn k=0

n k

b_k =

Xn k=0

n k

a_k= g_n dir. n =−1 ise h0− 2h−1− b0 = b₀− b0 = 0 = g₋₁dir. n6 −2 ise her iki taraf da 0’dır.

Teorem 2.19. (Spivey 2007, Theorem 4.) (ak) ve (b_k) iki dizi ve k∈ N ∪ {0} için a_k = ∆b_k= b_k+1− bkbiçiminde verilsin.

g_n = Xn

k=0

n k

a_k ve h_n= Xn k=0

n k

b_k olarak tanımlansın. Bu durumda her n∈ N ∪ {0} için

h_n = 2ⁿ b₀+ Xn k=1

g_k₋₁ 2^k

!

(2.6) dir.

Kanıt. Teorem 2.18’dan h_n+1− 2hn − b0[n = −1] = gnoldu˘gunu biliyoruz. Böylece hn− 2hn−1= gn−1+ b0[n = 0] yazılabilir. H(z) ve G(z), sırasıyla{hn} ve {gn} için adi üreteç fonksiyonları ise H(z)− 2zH(z) = zG(z) + b0olur. Böylece

H(z) = b₀+ zG(z) 1− 2z

(24)

dir. Burada 1/(1− 2z) seriye açılır ve gerekli i¸slemler yapılırsa istenen elde edilir.

Teorem 2.20. (Spivey 2007, Theorem 8.) (a_k) ve (b_k) iki dizi ve k∈ N ∪ {0} için ak = ∆bk= bk+1− bkbiçiminde verilsin.

g_n = Xn

k=0

s(n, k)a_k ve h_n= Xn k=0

s(n, k)b_k ise her n için

g_n= h_n+1+ (n− 1)hn− b0[n =−1] (2.7) dir.

Kanıt. s(n, k)sayıları için (1.4) yineleme ba˘gıntısından n∈ N ∪ {0} için h_n+1+ nh_n =

Xn+1 k=0

s(n + 1, k)b_k+ n Xn

k=0

s(n, k)b_k

= Xn+1 k=0

(s(n, k− 1) − ns(n, k)) bk+ n Xn k=0

s(n, k)b_k

= Xn+1 k=0

s(n, k− 1)bk− n Xn+1 k=0

s(n, k)bk+ n Xn k=0

s(n, k)bk

= Xn+1 k=0

s(n, k− 1)bk

= s(n, 0)b₁+ s(n, 1)b₂+· · · + s(n, n)bn+1

oldu˘gu görülür, Burada s(n,−1) = 0 dır. Böylece

h_n+1+ (n− 1)hn = s(n, 0)(b₁− b0) + s(n, 1)(b₂− b1) +· · · + s(n, n)(bn+1− bn) = g_n. O halde h₀ = b₀ elde edilir ve bu da (2.7)’nin n = −1 durumuna kar¸sılık gelir. n 6 −2

için her iki taraf da 0’dır.

Kaynak Taraması bölümünde tanıttı˘gımız tüm bu dönü¸sümler ve operatörler, sayılar teorisi ve kombinatorik alanlarında daha çok binom katsayıları (Gould 1972; Chen 2007;

Spivey 2007), Bernoulli sayıları ve polinomları, Euler sayıları ve polinomları (Boyadz- hiev 2009; Can ve Da˘glı 2014; Boyadzhiev 2018), harmonik sayılar ve genelle¸stirmeleri (Spivey 2007; Boyadzhiev 2014; Can ve Da˘glı 2014; Boyadzhiev 2017; Boyadzhiev 2018;

Boyadzhiev 2019; Dil ve Muniroglu 2020) için ara¸stırmalar yapılırken kullanılmaktadırlar.

Bulgular ve Tartı¸sma bölümünde bu ara¸stırmalara devam ederek literatüre katkılarda bu- lunmayı hedeﬂiyoruz.

(25)

BULGULAR VE TARTI ¸SMA H. AHMED

3. BULGULAR VE TARTI ¸SMA

Bu kesimde elde etti˘gimiz sonuçları iki ana ba¸slık halinde sunaca˘gız. Bulgularımızın dı¸sında ihtiyaç duydu˘gumuz literatürden bazı tanımları ilgili yerlerde verece˘giz.

3.1. Dönü¸süm Formülleri ile Elde Edilen Sonuçlar

Kaynak Taraması kesiminde (I), (II), (III), (IV) ve (V) ¸seklinde numaralandırdı˘gımız seri dönü¸süm formülleri kanıtlarıyla verildi. Burada her bir dönü¸süm formülünden elde edilen sonuçları ayrı ayrı verece˘giz.

3.1.1. (I) dönü¸süm formülü ile elde edilen sonuçlar

¸Simdi (I) dönü¸süm formülünün ilk uygulaması olarak Stirling sayılarının me¸shur ortogonallik ili¸skisini verelim.

Önerme 3.21. (Comtet 1974) Birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları Xn

k=0

S(n, k)s(k, m) = δ_nm =





1 , n = m ise, 0 , n̸= m ise, e¸sitli˘gini sa˘glar.

Kanıt. f (t)olarak birinci çe¸sit Stirling sayılarının üreteç fonksiyonunu alalım.

f (t) = (log(1 + t))^m

m! =

X∞ n=0

s(n, m)tⁿ n!. (I) dönü¸süm formülünde λ = µ = 1 alınırsa

f (e^t− 1) = X∞ n=0

tⁿ n!

( _n X

k=0

S(n, k)s(k, m) )

t^m m! =

X∞ n=0

tⁿ n!

( _n X

k=0

S(n, k)s(k, m) )

olur. Burada katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa istenen elde edilir.

Tanım 3.22. (Comtet 1974) ˙Ikinci çe¸sit Bernoulli sayısı (birinci çe¸sit Cauchy sayısı) cn=

Z 1 0

xⁿdx

(26)

olarak tanımlanır ve üstel üreteç fonksiyonu X∞

n=0

c_ntⁿ

n! = t

ln (1 + t)

¸seklindedir (bkz. Ek 6.8.).

Önerme 3.23. Birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları, ikinci çe¸sit Bernoulli sayıları (bi- rinci çe¸sit Cauchy sayısı) ve harmonik sayılar için

1 n + 1 =

Xn k=0

S (n, k) ck

(Merlini, Sprugnoli ve Verri 2006, Theorem 2.3.), c_n =

Xn k=0

s (n, k) 1 k + 1 ve

H_m+1 = Xm

k=0

c_k Xm n=k

S(n, k) e¸sitlikleri sa˘glanır.

Kanıt. f (t)olarak ikinci çe¸sit Bernoulli sayılarının üreteç fonksiyonunu alalım.

f (t) = X∞ n=0

c_ntⁿ

n! = t

ln (1 + t). (I) dönü¸süm formülünde λ = µ = 1 için

f e^t− 1

= e^t− 1

t =

X∞ n=0

1

n + 1

tⁿ n!

olur. Buradan dönü¸süm formülündeki katsayılar kar¸sıla¸stırılırsa ilk e¸sitlik bulunur ve Stir- ling dönü¸sümünden de ikinci e¸sitlik elde edilir. Birinci e¸sitli˘gin her iki tarafı n = 0’dan m’ye kadar toplanırsa ve gerekli i¸slemler yapılırsa üçüncü e¸sitlik elde edilir.

Tanım 3.24. (Comtet 1974) ˙Ikinci çe¸sit Cauchy sayısı bcn=

Z ₁

0

(−1)ⁿxⁿdx olarak tanımlanır ve üreteç fonksiyonu

X∞ n=0

bcn

tⁿ

n! = t

(1 + t) ln (1 + t)

¸seklindedir (bkz. Ek 6.9.).

(27)

Önerme 3.25. Birinci ve ikinci çe¸sit Stirling sayıları ile negatif mertebeli hiperharmonik sayılar, ikinci çe¸sit Cauchy sayıları arasında a¸sa˘gıdaki e¸sitlikler sa˘glanır.

h⁽_n+1⁻ⁿ⁾= Xn k=0

S (n, k)bck,

bcn = Xn

k=0

s (n, k) h⁽_k+1^−k), (−1)ⁿ

n + 1 = Xn

k=0

S (n, k)bck

(Merlini, Sprugnoli ve Verri 2006, Theorem 2.6.), bcn=

Xn k=0

s (n, k)(−1)^k k + 1.

Kanıt. f (t)olarak ikinci çe¸sit Cauchy sayılarının üreteç fonksiyonunu alalım.