ZAMAN SERİLERİ ANALİZİ Hafta 4. Doç.Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü

ZAMAN SERİLERİ ANALİZİ Hafta 4

Doç.Dr. Emine TANIR KAYIKÇI Karadeniz Teknik Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü

TREND ANALİZİ 4. t-testi

 Korelasyon katsayısı (𝒓_𝒙𝒚) iki rastgele değişken (X,Y) arasındaki bağımlılığın bir ölçüsüdür.

 Korelasyon katsayısı –1 ila 1 arasında bir değer alabilir.

 𝒓_𝒙𝒚=0 olması X ve Y değişkenleri arsında doğrusal bir bağımlılık bulunmadığını göstermektedir.

 𝒓_𝒙𝒚=0 ‘nin mutlak değerinin 1’e yaklaşması ise değişkenler

arasındaki bağımlılığın gittikçe kuvvetlendiğini göstermektedir.

 Ancak korelasyon katsayısının bire yakın olması her zaman iki değişken arasında neden sonuç ilişkisi olduğunu göstermez.

 İki değişkenin de bir başka değişkenden etkilenmesi de korelasyon katsayısının bire yaklaşmasını sağlayabilir.

 Buna göre iki değişken arasında bağımlılık bulunup bulunmadığını kontrol etmek için korelasyon katsayısının değerine bakılmalıdır.

• 𝜌

_𝑥𝑦

değerine bakılarak bağımlılık hakkında karar vermek için 𝒓

_𝒙𝒚

istatistiğinin dağılımını bilmek gerekir.

• X ile Y arasında doğrusal bir ilişki yoksa (𝜌

_𝑥𝑦

=0), X ve Y nin ortak dağılımlarının normal olduğu kabulü ile 𝒓

_𝒙𝒚

‘ye bağlı olarak tanımlanan t istatistiği f=n-2 serbestlik derecesi ile olan t dağılımına uyar.

• n serideki eleman sayısını verirken

TREND ANALİZİ

4. t-testi

Sıfır Hipotezi (𝑯_𝟎): ^𝐻₀ = 𝜌_𝑥𝑦= 0

“x bağımsız değişken(ler)i ile y bağımlı değişkeni arasında bir bağımlılık yoktur”

Seçenek Hipotezi (𝑯

𝐒

): ^𝐻₁ ^{= 𝜌}_𝑥𝑦 ^{≠ 0}

“x bağımsız değişken(ler)i ile y bağımlı değişkeni arasında bir bağımlılık vardır”

TREND ANALİZİ 4. t-Testi

1. Hipotez Kurulur;

X ve Y değişkenleri arsında doğrusal bir bağımlılığınTesti!!

𝒕 = 𝒓_𝒙𝒚 𝒏 − 𝟐 𝟏 − 𝒓_𝒙𝒚^𝟐

2. Test Büyüklüğü Hesaplanır;

TREND ANALİZİ 4. t-Testi

İki rastgele değişken arasındaki ilişkinin doğrusal olması durumunda en çok kullanılan ölçü Pearson korelasyon katsayısıdır. Normal dağılmış X ve Y değişkenleri için n elemanlı

(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) çiftlerinden oluşan bir örnekten 𝒓_𝒙𝒚 korelasyon katsayısı;

𝒓_𝒙𝒚 = 𝟏 𝒏 − 𝟏

𝒙_𝒊 − 𝒙 𝑺_𝒙

𝒚_𝒊 − 𝒚 𝑺_𝒚

𝒏

𝒊=𝟏

𝑥 = ^𝑛_𝑖=1𝑥_𝑖 𝑛 𝑦 = ^𝑛_𝑖=1𝑦_𝑖

𝑛

𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 1

𝑛 − 1 (𝑥_𝑖 − 𝑥 )²

𝑛

𝑖=1

𝑉𝑎𝑟(𝑦) = 1

𝑛 − 1 (𝑦_𝑖 − 𝑦 )²

𝑛

𝑖=1

𝑆_𝑥 = (𝑉𝑎𝑟 𝑥 )^{1 2}

𝑆_𝑦 = (𝑉𝑎𝑟 𝑦 )^{1 2}

t< t_𝑓,1−α

(tek yönlü test için) t< t_𝑓

2,1−^α

2

(çift yönlü test için)

TREND ANALİZİ 4. t-Testi

3. Tablo Değeri ve Test Büyüklüğü Karşılaştırılır;

H0

hipotezinin

reddedilemeyeceğine ve HS

hipotezinin kabul edilemeyeceğine karar verilir.

“x bağımsız değişkeni (değişkenleri) y bağımlı değişkeni arasında bir bağımlılık yoktur” kararı geçerlidir.

t> t_f,1−α

(tek yönlü test için) t> t_𝑓,1−^α

2

(çift yönlü test için)

HS

hipotezinin

reddedilemeyeceğine ve H0

hipotezinin kabul edilemeyeceğine karar verilir.

“x bağımsız değişkeni (değişkenleri) y bağımlı değişkeni arasında bir bağımlılık vardır” kararı geçerlidir.

X ile Y arasında doğrusal bir ilişki yoksa (𝝆_𝒙𝒚=0), X ve Y nin ortak dağılımlarının normal olduğu kabulü ile 𝒓_𝒙𝒚 ‘ye bağlı olarak tanımlanan t istatistiği f=n-2 serbestlik derecesi ile olan t dağılımına uyar.

TREND ANALİZİ

Serisel Korelasyon

Serisel Korelasyon Hesabı

𝑥 = 𝑥

_{𝑖 𝑖}

− 𝑟

₁

𝑥

_𝑖−1

Kalıntı terimleri

Kalıntı terimleri denilen ve iç bağımlılığın etkisi yok edilen değerlerle, parametrik olmayan testler uygulanır.

𝒓

_𝟏

=

^{𝒏𝒊=𝟏(𝒙𝒊−𝒙 )(𝒙𝒊+𝟏−𝒙 )}

(𝒙_𝒊−𝒙 )^𝟐

𝒏𝒊=𝟏

^𝑥𝑖, 𝑦_𝑖 arasındaki otokorelasyon katsayısı 𝑟₁

Mann-Kendall yöntemi, hidroloji ve klimatoloji gibi alanlarda zaman serilerindeki trendi

belirlemek için yaygın olarak kullanılan ve Dünya Meteoroloji Örgütü (WMO-World

Meteorological Organization) tarafından da önerilen bir yöntemdir.

TREND ANALİZİ

5. Mann-Kendall Yöntemi

Sıfır Hipotezi (𝑯

_𝟎

): “

𝑍amana bağlı olarak sıralanmış (x₁, x₂, … , x_n) gözlem değerleri zamandan bağımsız ve benzer dağılımlı rasgele

değişkenlerdir.

”

Seçenek Hipotezi (𝑯

𝐒

):

“(k ≠ j) olmak üzere (k, j ≤ n) için seri içerisinde x_k ve x_j değerlerinin dağılımı benzer değildir

. ”

1. Hipotez Kurulur;

TREND ANALİZİ

5. Mann-Kendall Yöntemi

𝐬𝐠𝐧 𝒙_𝒋 − 𝒙_𝒌 =

𝟏 ; 𝒙_𝒋> 𝒙_𝒌 𝟎 ; 𝒙_𝒋= 𝒙_𝒌

−𝟏 ; 𝒙_𝒋 < 𝒙_𝒌

TREND ANALİZİ

5. Mann-Kendall Yöntemi

𝒙_𝒌 ; 𝐤 = 𝟏, … , 𝒏 − 𝟏’e kadar sıralanmış veri seti 𝒙_𝒋; 𝐣 = 𝐤 + 𝟏, … , 𝐧’e kadar sıralanmış olan veri seti n ölçü sayısı

k veri setindeki bağıl grupların sayısı

S değeri n ≥ 8 olduğunda;

𝑆 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥_𝑗 − 𝑥_𝑘)

𝑛

𝑗=𝑘+1 𝑛−1

𝑘=1

𝐕𝐚𝐫 𝑺 = ^{𝐧 𝒏−𝟏 𝟐𝐧+𝟓}

𝟏𝟖

S’nin Varyansı

Var S = n n − 1 2n + 5 − ^k_i=1 t_i(t_i − 1)(2t_i + 5) 18

Seri içinde aynı değere sahip veriler var ise 2. Test Değeri Hesaplanır;

1.YOL 2.YOL

𝒌 < 𝒋 için 𝒙_𝒌< 𝒙_𝒋 olan ölçülerin sayısı P 𝒌 > 𝒋 için 𝒙_𝒌> 𝒙_𝒋 olan ölçülerin sayısı M S=P-M

S’nin Hesabı

Z =

S − 1

Var(S) ; S > 0 0 ; S = 0

S + 1

Var(S) ; S < 0

TREND ANALİZİ

5. Mann-Kendall Yöntemi

Standartlaştırılmış Mann-Kendall istatistiği

2. Test Değeri Hesaplanır;

Z<Z_1−α

(tek yönlü test için) Z<Z_1−α/2

(çift yönlü test için)

TREND ANALİZİ

5. Mann-Kendall Yöntemi

3. Tablo Değeri ve Test Büyüklüğü Karşılaştırılır;

H0

hipotezinin

reddedilemeyeceğine ve HS

hipotezinin kabul edilemeyeceğine karar verilir.

Z>Z_1−α

(tek yönlü test için) Z>Z_1−α/2

(çift yönlü test için)

HS

hipotezinin

reddedilemeyeceğine ve H0

hipotezinin kabul edilemeyeceğine karar verilir.

“Seride trend vardır” kararı geçerlidir.

“Seride trend yoktur^” kararı geçerlidir.

• S değeri negatif ise azalan

• S değeri pozitif ise artan yönde trend vardır.

KAYNAKLAR

Beşel, C. (2017). IGS İstasyonları Zenit Troposferik Parametre Zaman Serilerinde Trend ve Mevsimsellik Etki Analizleri, Yüksek Lisans Tezi, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Harita Mühendisliği Anabilim Dalı.

Akyürek, M. (2003). Türkiye Yıllık Ortalama Akımlarının Trend Analizi,

Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,

İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı.