İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HOMOJEN OLMAYAN ELASTİK ZEMİNE OTURAN İNCE PLAKLARIN ZORLANMIŞ TİTREŞİMLERİ
YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. E. Mete ÖZTÜRK
AĞUSTOS 2002
Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ Programı : YAPI MÜHENDİSLİĞİ
ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
HOMOJEN OLMAYAN ELASTĠK ZEMĠNE OTURAN ĠNCE PLAKLARIN ZORLANMIġ TĠTREġĠMLERĠ
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠnĢ. Müh. Emin Mete ÖZTÜRK
(Enstitü No: 501001198)
AĞUSTOS 2002
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 26 Temmuz 2002 Tezin Savunulduğu Tarih : 1 Ağustos 2002
Tez DanıĢmanı : Prof. Dr. Hasan ENGĠN Diğer Jüri Üyeleri Prof. Dr. Yalçın AKÖZ
ÖNSÖZ
Tez çalışmam sırasında, derin bilgi ve tecrübesiyle bana her konuda yardımcı olan kıymetli hocam Prof. Dr. Hasan ENGĠN ’e sonsuz teşekkürü bir borç bilirim.
Yüksek lisans öğrenimim esnasında benden maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen aileme ve Ġnşaat Mühendisi Mehmet TANRIKULU’na en içten dileklerimle teşekkür ederim.
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ
İÇİNDEKİLER iii
TABLO LİSTESİ v
ŞEKİL LİSTESİ vi
SEMBOL LİSTESİ viii
ÖZET x
SUMMARY xi
BÖLÜM 1.GİRİŞ 1
1.1. Genel Bilgiler 1
1.2. Konu ile İlgili Diğer Çalışmalar 3
1.3. Çalışmanın Amaç ve Kapsamı 6
BÖLÜM 2. TEMEL DENKLEMLER 8
2.1. Yanal Yüklü Dairesel Plakların Simetrik Eğilmesine Ait
Diferansiyel Denklem 8
2.2. Üniform Yüklü Dairesel Plaklar 11
2.2.1. Giriş 11
2.2.2. Kenarlarından Ankastre Dairesel Plak 12
2.2.3. Kenarlarından Basit Mesnetli Dairesel Plak 13 2.2.4. Merkezinde Dairesel Bir Delik Bulunan Dairesel Plak 15
2.2.5. Kosantrik Yüklü Dairesel Plak 17
2.3. Merkezinden Yüklü Dairesel Plaklar 19
BÖLÜM 3. ELASTİK ZEMİNE OTURAN DAİRESEL PLAKLAR 21 3.1 Elastik Zemine Oturan Dairesel Plak Denkleminin Çözümü 21
3.1.1. Giriş 21
3.1.2. Kelvin Fonksiyonları 23
3.1.2.2. Bağıntılar 24
3.2. Problemin Çözümü 25
3.2.1. Zeminin Homojen Olması Hali 25
3.2.2. Zeminin Homojen Olmaması Hali 28
BÖLÜM 4. ELASTİK ZEMİNE OTURAN DAİRESEL PLAKLARIN
ZORLANMIŞ TİTREŞİMLERİ 32
4.1. Zeminin Homojen Olması Hali 32
4.1.1. (1(/)2)0 olması hali 33
4.1.2. (1(/)2)0 olması hali 35
4.2. Zeminin Homojen Olmaması Hali 36
4.2.1. k1 / k2 > 1 olması hali 37
4.2.2. k1 / k2 < 1 olması hali 39
BÖLÜM 5. SONUÇLAR VE TARTIŞMA 41
5.1. Statik Yükleme Hali 41
5.1.1. Zeminin Homojen Olması Durumu 41
5.1.2. Zeminin Homojen Olmaması Durumu 42
5.2. Harmonik Yükleme Hali 45
5.2.1. Zeminin Homojen Olması Durumu 45
5.2.2. Zeminin Homojen Olmaması Durumu 46
5.2.2.1. k1 / k2 = 0,5 olması hali 46 5.2.2.2. k1 / k2 = 2 olması hali 48 5.2.2.3. k1 / k2 = 4 olması hali 49 5.2.2.4. k1 / k2 = 8 olması hali 50 5.3. Sonuçlar 54 KAYNAKLAR 55 ÖZGEÇMİŞ 57
TABLO LİSTESİ
Sayfa No
ŞEKİL LİSTESİ
Sayfa No Şekil 2.1 Yanal yüklü dairesel plağa ait elastik eğri 8 Şekil 2.2 Dairesel bir plağa ait iç kuvvetler 9 Şekil 2.3 Merkezinde dairesel bir delik bulunan dairesel plak 15 Şekil 2.4 Merkezinde dairesel bir delik bulunan dairesel plağın iç kenarı
boyunca üniform olarak yayılmış kesme kuvvetleri etkisiyle eğilmesi 16
Şekil 2.5 Kosantrik yüklü dairesel plak 17
Şekil 2.6 Kosantrik yüklü, ankastre mesnetli dairesel plak 18 Şekil 2.7 Merkezinden tekil yüklü ankastre mesnetli dairesel plak 19 Şekil 3.1 Merkezinden tekil yüklü dairesel plak 25 Şekil 3.2 Homojen olmayan elastik zemine oturan merkezinden
tekil yüklü dairesel plak 28
Şekil 4.1 Ortasından tekil kuvvetle zorlanan plak 32 Şekil 4.2 Ortasından tekil yükle zorlanan ve homojen olmayan elastik zemine
oturan dairesel plak 36
Şekil 5.1 Merkezinden tekil yüklü dairesel plak 41 Şekil 5.2 Homojen elastik zemine oturan merkezinden tekil yüklü
dairesel plağın yarıçap boyunca çökme eğrisi 42 Şekil 5.3 Homojen olmayan elastik zemine serbest oturan merkezinden
tekil yüklü dairesel plak 42
Şekil 5.4 Homojen olmayan (k1 = 2k2) elastik zemine oturan merkezinden tekil yüklü dairesel plağın yarıçap boyunca çökme eğrisi 43 Şekil 5.5 Homojen olmayan (k1 = 2k2) elastik zemine oturan merkezinden tekil yüklü dairesel plağın yarıçap boyunca kesme kuvveti değişim eğrisi 44 Şekil 5.6 Homojen olmayan (k1 = 2k2) elastik zemine oturan merkezinden tekil yüklü dairesel plağın yarıçap boyunca eğilme momenti değişim eğrisi 44 Şekil 5.7 Homojen elastik zemine serbest oturan merkezinden
harmonik yüklü plak 45
Şekil 5.8 Homojen zemine oturan dairesel plağın düşey genlik değişimi 46 Şekil 5.9 Homojen olmayan elastik zemine serbest oturan merkezinden
Şekil 5.10 Homojen olmayan (k1 = 0,5k2) zemine oturan dairesel plağın
düşey yer değiştirme genliklerinin değişimi 47 Şekil 5.11 Homojen olmayan (k1 = 2k2) zemine oturan dairesel plağın
düşey yer değiştirme genliklerinin değişimi 49 Şekil 5.12 Homojen olmayan (k1 = 4k2) zemine oturan dairesel plağın
düşey yer değiştirme genliklerinin değişimi 50 Şekil 5.13 Homojen olmayan (k1 = 8k2) zemine oturan dairesel plağın
düşey yer değiştirme genliklerinin değişimi 51 Şekil 5.14 Homojen olmayan zemine oturan dairesel plağın
değerine karşılık gelen düşey yer değiştirme genliklerinin değişimi 52 Şekil 5.15 Homojen olmayan zemine oturan dairesel plağın
değerine karşılık gelen düşey yer değiştirme genliklerinin değişimi 52 Şekil 5.16 Homojen olmayan zemine oturan dairesel plağın
değerine karşılık gelen düşey yer değiştirme genliklerinin değişimi 53
SEMBOL LİSTESİ
k : Zemin Yatak katsayısı
w : Düşey deplasman
P : Plağa etkiyen dış yük : Laplace operatörü
T : Mambran kuvveti
D : Plak eğilme rijitliği
E : Elastisite modülü
h : Plak kalınlığı
v : Poisson oranı
Mr , Mt : Birim uzunluğa etki eden eğilme momentleri
: Eğim r : Plak yarıçapı Q : Kesme kuvveti q : Yayılı yük C1...C2 : İntegral sabitleri : Gerilme
l : Plakta boyutsuz uzunluk B1...B4 : Sabit katsayılar
J0 , K0 : 1. ve 2. tip Bessel fonksiyonları
ber,bei : Kelvin fonksiyonları ker,kei : Kelvin fonksiyonları
: Gamma fonksiyonu
A1...A4 : Sabit katsayılar
D1...D4 : Sabit katsayılar
P0 : Zorlama genliği
: Zorlama frekansı
: Fiktif frekans
E1...E4 : Sabit katsayılar F1...F4 : Sabit katsayılar G1...G4 : Sabit katsayılar H1...H4 : Sabit katsayılar M1...M4 : Sabit katsayılar P1...P4 : Sabit katsayılar
ÖZET
HOMOJEN OLMAYAN ELASTİK ZEMİNE OTURAN İNCE PLAKLARIN ZORLANMIŞ TİTREŞİMLERİ
Bu çalışmada, homojen olmayan elastik zeminlere oturan ince dairesel plakların zorlanmış titreşimleri incelenmiştir. Temel dairesel plak denklemleri ele alındıktan sonra, çeşitli yükleme ve mesnet durumları için plak davranışları araştırılmıştır. Daha sonra elastik zeminlere oturan dairesel plakların genel çözümüne geçilmiştir. Elastik zemine oturan yapı problemlerinin formülasyonunda, çoğu zaman yapılan yaklaşım plak, kabuk ve kirişlerin diferansiyel denklemine zemin tepkisinin ilave edilmesi yönündedir. Elastik zemine oturan kiriş ve plak problemlerinin matematiksel bağıntılarla belirlenmesi esnasında, zeminin oldukça karmaşık ve belirsiz elastik ve plastik deformasyon yapabilme özelliğinden dolayı bazı idealleştirmeler gerekir. Bu da matematiksel çözümlerin geçerliliğini daima kısıtlar. Bu yüzden bu tür problemlerde, zeminin elastikliği çeşitli kabuller yapılarak göz önüne alınır. Zeminin fiziksel ve mekanik özelliklerini değişik araştırmacılar, değişik şekillerde modellemişlerdir.
Bu çalışmada, plak karakteristik özellikleri ve zemin yatak katsayısının değişken değerleri göz önünde bulundurularak, ince dairesel plakların çökme, dönme ve kesit tesirleri elde edilmeye çalışılmıştır. Plağın tekil yük altındaki davranışına zeminin etkisi çeşitli sayısal örneklerle gösterilmiştir. Bu çözümler aranırken, zeminin homojen olduğu ve homojen olmadığı durumlardaki sınır şartlarından faydalanarak çökme denklemi bünyesindeki sabit katsayılar elde edilmiş ve problemin ilk aşaması çözülmüştür. İkinci aşama olarak, zeminin homojen olduğu ve homojen olmadığı durumlar için elastik zemine oturan dairesel plağın harmonik yükleme altında çözümü yapılmıştır. Elde edilen sayısal sonuçlar, grafikler üzerinde gösterilerek karşılaştırmalar yapılmıştır.
SUMMARY
FORCED VIBRATIONS OF THIN PLATES ON NON HOMOGENEOUS ELASTIC FOUNDATION
In this thesis, the forced vibrations of thin circular plates on non homogeneous elastic foundations have been studied. After the basic circular plate equations, the behaviour of the plates for various support and loading types have been investigated. Then, the general solution of the circular plates resting on elastic foundations have been explained. The mostly used approximation ın the formulation of problems about the structures on elastic foundation is adding the foundation reaction to the differential equation of the beams, plates and the shells. While determining the mathematical relations of the problems, involving plates on elastic foundation, it is a necessity to make some idealizations because of the complicated behaviour of the foundation. This idealizations limit the validity of the mathematical solutions. So, while solving this kind of problems, the elasticity of the foundation was taken up with some assumptions. Various researchers have studied on different models about the physical and mechanical properities of the elastic foundations.
In this thesis the translations, rotations and the reactions of thin circular plates for various values of the foundation modulus and plate characteristics have been investigated. The effect of the foundation on the plate’s behaviour which is exposed to axial load has been explained with various numerical examples. At the phase of searching the solutions, the constant coefficients at the plate translation equation have been obtained by applying the boundary conditions in each situation of the homogeneous and non homogeneous foundation. At the second phase, the solution for the circular plates exposed to harmonical loads has been investigated in both homogeneous and non homogeneous foundation cases. The numerical results have been shown on graphics with comparisons
B
BÖÖLLÜÜMM 11.. GGİİRRİİŞŞ
1.1. Genel Bilgiler
Elastik zemine oturan yapılar ile ilgili çalışmalar, bu konunun uygulama alanının genişliği dolayısıyla oldukça fazladır. Elastik zemine oturan yapılar incelenirken, yapının davranışına, zeminin etkisinin önemi dikkate alınmalıdır. Yapının bünye bağıntılarının yanısıra, zeminin de bünye bağıntılarını ve aralarındaki etkileşimi bilmek gerekir. Elastik zemine oturan yapı problemlerinin formülasyonunda, çoğu zaman yapılan yaklaşım plak, kabuk ve kirişlerin diferansiyel denklemine zemin tepkisinin ilave edilmesi yönündedir. Elastik zemine oturan kiriş ve plak problemlerinin matematiksel bağıntılarla belirlenmesi esnasında, zeminin oldukça karmaşık ve belirsiz elastik ve plastik deformasyon yapabilme özelliğinden dolayı bazı idealleştirmeler gerekir. Bu da matematiksel çözümlerin geçerliliğini daima kısıtlar. Bu yüzden bu tür problemlerde, zeminin elastikliği çeşitli kabuller yapılarak göz önüne alınır. Zeminin fiziksel ve mekanik özelliklerini değişik araştırmacılar, değişik şekillerde modellemişlerdir.
Zeminlerin elastik davranışı ile ilgili ilk önemli çalışma Winkler
1 tarafından yapılmıştır. Winkler anılan çalışmasında, zeminin birbirine sonsuz yakın, elastik ve lineer yaylardan oluştuğunu kabul etmiştir. Bu hipotez oldukça basit olup, kiriş ve plak problemlerinde geniş bir uygulama alanı bulmuştur. Buna göre
x,y düşey doğrultudaki çökme olarak alınırsa, zemin tepkisi) , ( ) , (x y kwx y p (1.1) olarak alınır. Burada k, elastik yay katsayısı olup, uygulamada “yatak katsayısı” veya zemin parametresi olarak adlandırılır. Bu parametre, düşey yerdeğiştirme bir birim olduğunda, birim genişlikteki birim alana gelen tepki kuvvetini ifade eder. Winkler hipotezine göre, zeminin homojen olmamasından dolayı, yatak katsayısı noktadan noktaya değişebilir. Bu nedenle yatak katsayısı bir yatay düzlemin çeşitli
noktalarında, birbirinden farklı değerler alabileceği gibi, derinliğin artması ile de değişebilir. Diğer bir husus da, zemine etkiyen kuvvetlerin yalnız etkidiği noktada şekil değiştirme oluşturmasıdır. Yani bu durumda zemini oluşturduğu kabul edilen sonsuz yakın yayların, yalnız doğrudan yüklendiklerinde çöküp tepki gösterdikleri, ancak her yayın komşu yayların yüklenme ve çökmesinden etkilenmediği öngörülmektedir. Yani, zemin tamamen süreksiz bir ortam olarak değerlendirilmektedir.
Mühendislikte, Winkler hipotezi, bina döşemeleri ve köprü tabliyelerinin karakteristik konstrüksiyonu olan ızgara sistemlerin çözümünde, bir ve iki doğrultuda sürekli temellerinin, gemi kaburgalarının, dönel kabukların, su tankları ve betonarme silo temellerinin ve yatay yük etkisinde düşey kazıklar ve palplanşların hesabında kullanılmaktadır.
Winkler zemin modelinde, zemini karakterize eden tek bir k parametresi vardır. Bazı araştırmacılar ise, zemini gerçeğe daha yakın modelleyebilmek için, kayma gerilmelerini de içeren iki parametreli modeller geliştirmişlerdir
2 . Bunlardan bazıları şunlardır.1. Filonenko-Borodich 2. Heteyni
3. Pasternak 4. Vlasov
Filonenko-Borodich modelinde, Winkler yaylarının yüzeyinin elastik bir zar gibi olduğu göz önüne alınmıştır. Bu modelde, sisteme yükleme yapıldığında yüzeyde gerilme meydana gelmektedir. Bu durumda, zemin tepkisi aşağıdaki gibidir.
) , ( ) , (x y kwx y p - T2w(x,y) (1.2) Burada T, mambran kuvveti ve,
2 2 2 2 2 y x (1.3)
Heteyni modelinde ise, Winkler yaylarının üzerinde iki boyutlu problemler için bir plak ve tek boyutlu problemler için bir kiriş olduğu kabul edilir. Bu modelde zemin tepkisi şu şekildedir.
) , ( ) , (x y kwx y p +D22w(x,y) (1.4) Burada D plağın eğilme rijitliğidir ve,
2
3 1 12 Eh D (1.5)olarak ifade edilir. Bu ifadede, E= Elastisite modülü h= Plak kalınlığı = Poisson oranı „ dır.
Pasternak modelinde ise, yay elemanları üzerinde sadece düşey deplasman yapabilen ve sıkışmayan elemanlardan oluşan bir kayma tabakası göz önüne alınmıştır. Kayma tabakası, (x,y) düzleminde izotropik olarak kabul edilmiştir.
Vlasov modelinde diğer zeminlerden farklı olarak, elastik zemin parametrelerinin hesabı için yaklaşım metodu temel alınmış ve virtüel iş prensibi kullanılmıştır.
1.2. Konu İle İlgili Diğer Çalışmalar
Winkler tarafından geliştirilen, birçok etkene ve özellikle zeminin elastik karakteristikleri ile yüklü alanın boyutlarına bağlı olan yatak katsayısının ne alınacağı konusunda birçok araştırma yapılmıştır. Zimmerman
3 , yatak katsayısını, bütün uzunlukları boyunca balast üzerine oturan demiryolu traversleri hesabında kullanarak, kendi özel uygulamalarında belirli türdeki zeminler için bulduğu ve kullandığı k değerlerini vermiştir.Mühendislik problemlerinin çözümü için gerekli olan k yatak katsayılarının sayısal değeri, yayınlanmış gözlemlere dayanılarak yaklaşık benzeşimle veya yapının inşa edileceği zeminde yapılacak arazi deneyleri sonuçlarından elde edilebilir. Daha sonra yapılan araştırmalarda, bir noktadaki çökmenin belirlenmesinde bütün noktalardaki yüklerin etkisi göz önüne alınmıştır. Bu durumda çökme bilinmeyen taban basıncına
bağlı olarak bir entegral formunda belirtilmektedir. Entegral ifadesinin çekirdek fonksiyonu, elastik ortam olarak varsayılan zemin modellemesine göre değişmektedir.
Winkler zemin tipi üzerinde, 1946 „da Heteyni
4 çalışmıştır. Heteyni, daha çok kesin çözümlerle ilgilenmiştir. Kesin çözümler büyük bir zaman kaybına sebep olduğu için, birçok araştırmacı bu zaman kaybından kurtulmak amacıyla daha hızlı ve genel olan çeşitli metotları geliştirerek problemleri çözmeye çalışmışlardır. Dodge
5 de elastik zemin üzerine oturan yarı sonsuz ve sonlu uzunlukta kirişlerin davranışı ile ilgili tesir fonksiyonları ve buna ait eğriler hazırlamıştır.Donalt
6 ise elastik zemine oturan kirişlerin, orta noktadan tekil yük ve eğilme momenti etkimesi durumundaki davranışlarını incelemiştir.Miranda ve Nair
7 , sonlu uzunluktaki elastik zemin üzerine oturan kirişlerin diferansiyel denkleminin özel fonksiyonlarla çözümünü yapmış ve bununla ilgili sayısal örnekler vermişlerdir.Durelli ve Parks
8 tarafından elastik zemin üzerine oturan sonlu ve sonsuz uzunlukta olan kirişlerin fotoelastik çalışması yapılmıştır. Bu kirişler bir ve iki noktadan yüklenerek, davranışları incelenmiş ve bulunan sonuçlar teorik çözümlerle karşılaştırılmıştır.Elastik çözümlerin yanısıra plastik çözümler de yapılmıştır. Severn
9 , hem zemini, hem de kirişi plastik, zemini plastik, kirişi elastik veya tam tersini alarak çalışmalar yapmıştır.Munther
10 de sonlu ve sonsuz uzunluktaki kirişlerin davranışlarını sonlu elemanlar yöntemi ile incelemiş ve bulunan sonuçları fotoelastik çalışmadan sonra elde edilen sonuçlarla birlikte çizilen eğriler üzerinde vermiştir.Weitsman
11 , yalnız basınca çalışan Winkler ve Reissner zemin modelini kullanarak yaptığı çalışmada, tekil ve yayılı yüklerle yüklü kiriş ve plaklarda ayrılma noktası, sürekli temas ve süreksiz temas durumlarını incelemiştir. Ayrıca tekil yükün yukarı doğru olması durumu için de çözüm yapmıştır.Ting
12 , Winkler zemini üzerindeki elastik mesnetli sonlu kirişin diferansiyel denkleminin bir çözümünü ortaya koymuştur. Bu çözüm farklı sınır şartlarına sahip elastik temeller üzerindeki kirişlere benzetilerek kullanılabilir.Özgen
13 ise çalışmasında, elastik zemine oturan sonsuz uzun plastik kirişi rijit ve tam plastik alarak, etkiyen düşey yükün limit değerini araştırmıştır.Zhaohua ve Cook
14 , araştırmalarında sonlu elemanların iki çeşidini bir veya iki parametreli kirişleri analiz edebilmek için formüle etmişlerdir. Modeller, Winkler, Filonenko-Borodich, Pasternak ve Vlasov zeminlerini içermektedir. İki elemandan biri mutlak yerdeğiştirme fonksiyonuna, diğeri kübik yerdeğiştirme fonksiyonuna dayanmaktadır. Sonuçlar mutlak yerdeğiştirme fonksiyonuna dayanan elemanların mutlak nümerik sonuçlar verdiğini göstermiştir.Katsikadelis ve Armenakas
15 , araştırmalarında sınır entegral denklemlerinin nümerik değerlendirilmesiyle, sınır entegral denklem metodunu, elastik zemine oturan herhangi bir şekildeki basit destekli plakların analizinde uygulamışlardır. Elde edilen sayısal sonuçlar, analitik çözümlerden elde edilen sonuçlarla karşılaştırıldığında, sınır entegral denklem metodunun daha avantajlı olduğu ispatlanmıştır.Ting ve Mockry
16 , düzlem çerçeve analizi için tekil yük, tekil moment ve lineer olarak yayılı kuvvetlere bağlı olarak elastik zemin üzerindeki bir kiriş için yük eleman vektörleri ve sonlu eleman rijitlik matrisi geliştirmiş ve bu rijitlik matris elemanlarının bilinen deplasman metoduna kolayca uygulanabileceğini belirtmiştir. Lin ve Adams
17 , çekme gerilmesi almayan Winkler zeminine oturan, ağırlıklı, üzerinde bir çift yük etkisindeki sonsuz uzunluktaki bir kirişin davranışını incelemiştir. Tekil yüklerin aralıklarına, hızlarına ve zeminden ayrılma noktalarına bağlı olarak sonuçlar elde edilmiştir. Demiryolu sistemlerindeki ilgili parametreler için örnek hesaplar ayrılma etkisinin önemli olduğunu göstermektedir.Celep, Malaika ve Hussein
18 de çekmeye çalışmayan Winkler zeminine oturan sonlu kirişin zorlanmış titreşimlerini Galerkin yöntemini kullanarak incelemişlerdir ve çeşitli yükleme durumları ve parametreler için ayrılma noktasının değişimi ile çeşitli yerdeğiştirmelerin zamanla değişimini incelemişlerdir.Elmas
19 , elastik zemine oturan sonlu uzunluktaki ahşap ve betonarme kirişlerin davranışını incelemiştir. Bu çalışmasında, orta noktadan etkiyen tekil yükün limit değerini artırarak, kirişlerin davranışını farklı malzeme ve boyutların etkisinde incelenmiştir.Celep
20 , bir Winkler zemini üzerinde dikdörtgensel elastik plakların davranışını analiz etmiştir. Galerkin metodunu kullanarak problem cebirsel denklem sisteminin çözümüne indirgenmiştir.Rosa
21 ise Winkler zeminine oturan kirişlerin çeşitli mesnetleme koşulları altında, eksenel kuvvetlerin etkisini de dikkate alarak Hamilton ilkesi yardımıyla titreşimini ve stabilitesini incelemiştir. Bütün bu çalışmalarda zeminin iki yönlü olarak çekme ve basınca çalıştığı kabul edilmiştir.Engin
22 , elastik-plastik zemine oturan ağırlıksız kiriş ve ince dairesel plakların tekil yük altında davranışını incelemiştir. Zeminin yalnız basınç gerilmesi aktardığı ve belirli bir yerdeğiştirmede plastikleştiği kabul edilmiştir. Çözümün sonunda plastik-elastik ve yapının zeminden ayrıldığı sınırın tekil yükün şiddeti ve plağın yarıçapı ile değişimi gözlenmiştir.Özdoğan
23 , yalnız basınç aktaran iki parametreli elastik bir Pasternak zeminine oturan, ağırlıksız dairesel bir plağın tekil, yayılı ve şerit düşey yükler etkisindeki davranışını incelemiştir. Yükleme durumuna göre ortaya çıkan bölgeler dikkate alınarak yönetici denklemler elde edilmiş ve çözümler karmaşık argümanlı Bessel fonksiyonları ile ve plağın, yarıçapına göre tam batma ve batmama durumları için incelenmiştir.1.3. Çalışmanın Amaç ve Kapsamı
Bu çalışmada, homojen olmayan elastik zeminlere oturan ince dairesel plakların zorlanmış titreşimleri incelenmiştir. Temel dairesel plak denklemleri ele alındıktan sonra, çeşitli yükleme ve mesnet durumları için plak davranışları araştırılmıştır. Daha sonra elastik zeminlere oturan dairesel plakların genel çözümüne geçilmiştir. Bu çözümlerde Kelvin fonksiyonları kullanılarak, çeşitli mesnet koşulları için plak çökme, dönme ve kesit tesirleri araştırılmıştır. Kelvin fonksiyonları cinsinden yazılan plak denklemi, Excel programı yardımıyla formüle edilerek, plak ve zemin
parametrelerinin değişik sayısal değerleri için çözümler bulunmuştur. Zeminin homojen olduğu ve homojen olmadığı durumlar için sınır şartlarından faydalanılarak plak çökme, dönme ve kesit tesirlerine ulaşılmıştır.
BÖLÜM 2. TEMEL DENKLEMLER
2.1. Yanal Yüklü Dairesel Plakların Simetrik Eğilmesine Ait Diferansiyel Denklem r A B dr w o r
Şekil 2.1. Sabit mesnetli, yanal yüklü dairesel plağa ait elastik eğri
Şekil. 2.1„de görülen (r,z) düzlemindeki bir plak sisteminde, r uzaklıklarına karşı gelen aşağı yönlü sehimler, w ile gösterilsin.
Herhangi bir A noktasındaki radyal doğrultudaki eğim, dw dr‟ dir.
Küçük plaklar için plak ortalama yüzeyinin rz diyametral kesitindeki eğriliği şuna eşittir. dr d dr w d rn 22 1 (2.1)
ve r ikinci asal eğrilik AB olmak üzere , t
r dr dw r rt 1 1 (2.2)
r
M ve Mt, birim uzunluğa etki eden eğilme momentleri olmak üzere,
r dr d D dr dw r dr w d D Mr 2 2 (2.3) dr d r D dr w d dr dw r D Mt 2 2 1 (2.4) şeklindedir. a Q b Mr+dMr.dr/dr d c O dr r Q+dQ.dr/dr r Mr h r O dw
Şekil 2.2. Dairesel plağa ait iç kuvvetler
Şekil 2.2 „ de gösterilen elemanın, cd yüzüne Mrrd kuvvet çifti etki eder.
ab yüzüne ise dr
r dr
d dr dM Mr r etkir.Bu kuvvet çiftlerinden her biri, Mtdr olup, bunlar roz düzleminde Mtdrd ‟ ya eşit
bileşke kuvvet çiftini verirler.
cd yüzüne etkiyen toplam kesme kuvveti Q rd,
ab yüzüne etkiyen toplam kesme kuvveti ise dr
r dr
d dr dQ Q ‟ dır.Bu kuvvetlerin rz düzleminde, Qr ddr „ ye eşit bir kuvvet çifti verdiği görülebilir.
Dış yük momenti ihmal edilerek denge yazılırsa,
0 dr d Q d dr M d r M d dr r dr dr dM M r r t r r (2.5)elde edilir. Yüksek mertebeden küçük bir miktarı ihmal ederek,
0 r t r r r M Q dr dM M (2.6) denklemine ulaşabiliriz.
(2.3) ve (2.4) denklemlerini, (2.6) ifadesinde yerlerine koyarsak,
0 r Q dr d r D r dr r dr d D d r dr d D (2.7) buradan da, D Q r dr d r dr d 2 2 2 1 (2.8) veya, D Q dr dw r dr w d r dr w d 22 2 3 3 1 1 (2.9)
denklemleri elde edilir.
Bu denklemler aşağıdaki formlarıyla ifade edilirse,
D Q r dr d r dr d 1 (2.10) D Q dr dw r dr d r dr d 1 (2.11)Q, r „ nin bir fonksiyonu olarak gösterilirse, her özel halde bu denklemler kolayca çözülebilir.
D Q
ifadesini plak üzerine yayılmış olan yükün q şiddetinin fonksiyonu olarak gösterirsek, Q2 r =
r d q 0 2 (2.12)
r d q D dr dw r dr d r dr d r 0 1 1 (2.13)denklemlerini elde ederiz. (2.13) denkleminin her iki tarafının r‟ye göre türevi alınıp, r „ye bölünürse, genel dairesel plak denklemi şu şekilde bulunur.
D q dr dw r dr d r dr d r dr d r 1 1 (2.14)
2.2. Üniform Yüklü Dairesel Plaklar 2.2.1. Giriş
a yarıçaplı dairesel bir plak, bütün yüzeyine üniform olarak yayılmış q şiddetinde bir yük taşırsa plağın merkezinden r uzaklığındaki Q kesme kuvveti şu şekilde bulunur.
q r Q r 2 2 Q= 2 qr (2.15)
Bu Q ifadesini, (2.11) „de yerine koyarsak,
D qr dr dw r dr d r dr d 2 1 1 2 4 1 C D qr dr dw r dr d r
denklemin her iki tarafını r ile çarpıp bir kez daha entegre edersek,
2 2 1 4 C r C qr dw r
r C r C D qr dr dw 1 2 3 2 16 elde edilir.
Son bir entegrasyonla, üniform yüklü dairesel bir plak için çökme ifadesini buluruz.
3 2 2 1 4 log 4 64 a C r C r C D qr w (2.16)
2.2.2. Kenarlarından Ankastre Dairesel Plak
r=0 ve r=a için elastik yüzeyin radyal doğrultudaki eğiminin 0 olması lazımdır.
Eğim = dr dw 0 2 16 0 2 1 3 a r r r C r C D qr dr dw (2.17) r=0 için 0 dr dw
denirse, buradan, C2 0 bulunur. r=a için 0 dr dw denirse, 0 2 16 1 3 C a D qa , D qa C 8 2 1 bulunur. D r qa D qr dr dw 16 16 2 3 ve
2 2
16D a r qr dr dw Bu denklemi bir kere daha entegre edersek, kenarlarından ankastre bir plak için çökme ifadesi elde edilmiş olur.
3 2 2 4 32 64 D C r qa D qr w (2.18)
Plak kenarında çökme sıfır olacağından,
0 32 64 3 4 4 C D qa D qa ve buradan da, D qa C 64 4 3 bulunur. Bu halde,
D qa D r qa D qr w 64 32 64 4 2 2 4 =
2 2
2 64D a r q (2.19)r=0 için, plak merkezinde çökme maksimum değerinde sahip olacaktır.
D qa w 64 4 max (2.20)
Şimdi de, M ve r Mt ifadelerini bulalım.
r dr d D Mr
1 3 16 2 2 r a q Mr (2.21) dr d r D Mt
1 1 3
16 2 2 q a r Mt (2.22)r=a denirse, plağın çevresindeki eğilme momentleri bulunabilir.
8 2 qa Mr r a ve
8 2 qa Mt r a (2.23)Maksimum gerilme plağın çevresindedir ve,
max 2 22 4 3 6 h qa h Mr r (2.24) şeklindedir.2.2.3. Kenarlarından Basit Mesnetli Dairesel Plak
Bu hale ait çökmeleri bulmak için süperpozisyon yöntemi kullanılır. Kenarların ankastre olması halinde, kenar boyunca Mr qa2 8 eğilme momentinin etkidiğini biliyoruz. Bu hal, basit eğilme hali ile birleştirilirse, kenardaki M eğilme momenti r
yok edilmiş olur ve, kenarından basit mesnetli dairesel plak için eğilme ifadesi elde edilir. Basit eğilme halinde, Mr qa2 8 momentlerinden doğan çökme,
2 2
2 1 16D a r qa w olarak biliniyor.Bunu, ankastre plağa ait çökme ifadesine ilave edersek, kenarlarından basit mesnetli dairesel plağa ait çökme denklemini bulabiliriz.
2 2
2 1 16D a r qa w +
2 2 2 64D a r q
2 2 2 2 1 5 64D a r r a q w (2.25)r=0 için , plak merkezindeki çökme,
1 64 5 4 max D qa w (2.26) rM ve Mt momentleri ise aşağıdaki gibidir.
2 2
3 16 a r q Mr (2.27)
3 1 3
16 2 q a r Mt (2.28)maksimum eğilme, plak merkezindedir ve,
2 16 3 qa M Mr t (2.29) şeklindedir.
Buna denk gelen gerilme ise aşağıda (2.30) denklemi ile verilmiştir.
max
max 2
2
2 8 3 3 6 h qa h Mr t r (2.30)Merkezden herhangi bir r uzaklığındaki maksimum gerilmeyi elde etmek için ankastre kenarlı plak için hesaplanan gerilmeye,
8 6 2
2 qa
2.2.4. Merkezinde Dairesel Bir Delik Bulunan Dairesel Plak
b
M2 M1 M1
a
M2
Şekil 2.3. Merkezinde dairesel bir delik bulunan dairesel plak
Şekil 2.3 „ te görüldüğü gibi dairesel bir plak için, merkezi, a yarıçaplı plak merkeziyle çakışan b yarıçaplı dairesel bir boşluk düşünelim.
0 Q , 1 0 dr dw r dr d r dr d
Bu denklem iki kere entegre edilerek,
3 2 2 1 log 4 a C r C r C w (2.31)
şeklinde çökme denklemi elde edilir. Eğilme momenti ise aşağıdaki gibidir.
r C r C r r C C D r dr d D Mr 1 2 2 2 1 2 2 (2.32)
Şekil 3 „ te, r=a için Mr M1ve r=b için Mr M2 olarak gösterilmektedir.
b C b C b b C C D M 1 2 2 2 1 1 2 2 (2.33) a C a C a a C C D M 1 2 2 2 1 2 2 2 (2.34) (2.33) ve (2.34) denklemlerinden hareketle,
a b
D M b M a C 2 2 1 2 2 2 1 1 2 ve
a b
D M M b a C 22 2 1 2 2 2 1 olarak bulunurlar.r=a için, w=0 olacağından,
a b
D M b M a 2 2 1 2 2 2 1 2 4 2 a -
a b
D M M b a 2 2 1 2 2 2 1 log1+C3 0 ve,
a b
D M b M a a C 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 olarak elde edilir.
İkinci olarak, plağın iç kenarı boyunca üniform olarak yayılmış Q kesme kuvvetleri 0
etkisiyle eğilmesi durumunu ele alalım. Bu durum Şekil 2.4 „ te gösterilmektedir.
b P
Qo Qo
Şekil 2.4. Merkezinde dairesel bir delik bulunan dairesel plağın iç kenarı boyunca üniform olarak yayılmış kesme kuvvetleri etkisiyle eğilmesi
r P r b Q Q 2 0
P2Q0b(plağın iç kenarına tatbik edilen toplam yük) (2.35)
D Q dr dw r dr d r dr d 1 olduğunu biliyoruz. (2.11) r P dr dw r dr d r dr d 2 1 (2.36)
(2.36) ifadesi çözülerek, çökme denklemi kolayca bulunabilir.
log 1 8 Pr2 a r D w 2 3 2 1 log 4 a C r C r C (2.37) Sınır şartları uygulanırsa,
w ra 0 ve
w rb 0 a b b a b D P C 2 log 1 1 4 2 2 2 1
a b b a b a D P C log 4 1 1 2 2 2 2 2 ve a b a b D Pb C log 1 1 2 1 1 8 2 2 3 olarak elde edilir.
1 1 1 log 2 1 1 1 log 2 8 2 2 2 2 2 b a a b b a b a b D Pb dr dw b r (2.38)b ‟nin sonsuz küçük olduğu limit halde,
a b
b log2 sıfıra gideceğinden,
D P C 4 1 1 1 , C2 0 , 1 1 2 1 1 8 2 3 D Pa C olur. Bu durumda çökme,
a r r b a D P w log 1 2 3 8 2 2 2 (2.39) olur.(2.39) ifadesi merkezinden yüklü dairesel bir plağın çökme ifadesiyle aynıdır. Bu da göstermektedir ki, merkezindeki küçük bir delik, plak çökmelerine etki etmez. 2.2.5. Kosantrik Yüklü Dairesel Plak
z b
a
M1 M1
M1 M1
Şekil 2.5 „te gösterildiği gibi, üzerine b yarıçaplı daire boyunca üniform olarak yayılı bir yükün tesir ettiği, basit mesnetli bir plak halini ele alırsak, toplam yük P olmak üzere, b P Q 2 1
1 1 D b M dr dw b r ve buradan da,
4 log 1 8 1 2 2 2 1 a b P a b a P M (2.40) olarak bulunur. M2 a M2 z b P PŞekil 2.6. Kosantrik yüklü, ankastre mesnetli dairesel plak
Öte yandan, plak dış kenarları Şekil 2.6 „ da gösterildiği gibi ankastre mesnetli olursa, M momenti şu şekilde bulunur. 2
a b a D P dr dw a r 2 2 1 1 4 (2.41)
1 2 D a M dr dw a r (2.42)Bu iki ifade birbirine eşitlenirse, M momenti, 2
2 2 2 2 4 a b a P M (2.43) olarak bulunur.2.3. Merkezinden Yüklü Dairesel Plaklar
Basit mesnetli bir plağın merkezindeki maksimum çökme,
1 16 3 2 max D Pa w ‟dir. (2.44) 0 b olmak üzere,
a r r b a D P w 2 log 1 3 16 2 2 2 ve,
a r P Mr 1 log 4 ve
1 log 1 4 a r P Mt „ dir.
D Pa dr dw a r 41 P aŞekil 2.7. Merkezinden tekil yüklü ankastre mesnetli dairesel plak
Şekil 2.7 „de gösterildiği gibi, ankastre kenar boyunca üniform olarak yayılmış olan
2
M eğilme momentleri, plağı, yarıçapı
1 1 1 D M r
rx y ile verilen küresel bir
yüzey şeklinde eğerler. Bu durumda,
D a M 1 2 olur.
4
2
P M
Mr ra ve M momentlerinden doğan çökmeler, 2
D a r P 8 2 2 olarak bulunur. Bu ifade, basit mesnetli plak çözümündeki çökmelere süperpoze edilirse, bu hal için çökme denklemi aşağıdaki şekliyle elde edilmiş olur.
2 2
2 16 log 8 Pr r a D P a r D w (2.45)BÖLÜM 3. ELASTİK ZEMİNE OTURAN DAİRESEL PLAKLAR
3.1. Elastik Zemine Oturan Dairesel Plak Denkleminin Çözümü 3.1.1. Giriş
Merkezinden yüklenmiş dairesel bir plağı göz önüne alalım. Plak denklemi (2.14) aşağıdaki gibidir. D q dr dw r dr d r dr d r dr d r 1 1
Plağın oturduğu zemin Winkler zemini olarak kabul edilmiştir. (2.14) denklemine –kw yükünü eklemek gerekir. Bu halde,
D kw q dr dw r dr d r dr d r dr d r 1 1 (3.1)
denklemi elde edilir. Denklem, düzenlendiğinde,
D kw q dr dw r dr w d dr d r dr d 1 22 1 2 2 (3.2) halini alır.
Plak, merkezinden bir P yükü ile yüklenirse, q, plağın merkezi civarındaki yüzey haricinde 0 olur. q=0 ve 4 k D l olmak üzere, 4 l 1 2 1 0 2 2 2 w dr dw r dr w d dr d r dr d (3.3)
ifadesi elde edilir.
z l w ve x l r
0 1 1 2 2 2 2 z dx dz x dx z d dx d x dx d (3.4) dx d x dx d 1 2 2 denirse, 0 z z (3.5) denklemine ulaşılır. Bu denklemin genel çözümü Bessel fonksiyonları yardımıyla bulunabilir. i x olmak üzere, d d d d 1 ' 2 2 denirse, 0 ' ' z z (3.6)
denklemi elde edilir. Bu denklem aşağıdaki gibi düzenlenirse,
'
'
0 ' z z z z veya,
'
'
0 ' z z z z yazılarak, 0 1 ' 2 2 z d dz d d z z veya, 0 1 ' 2 2 z d dz d z d z z ifadeleri elde edilir. Bu denklemlerin çözümü,
x i B J
xi i B K
x i B K
xi i J B z 1 0 2 0 3 0 4 0 (3.7) şeklindedir. 0J ve K0fonksiyonları 1. ve 2. tip Bessel fonksiyonlarıdır. Kompleks argümanlar
nedeniyle bu fonksiyonlar Kelvin fonksiyonları ile aşağıdaki gibi tanımlanırlar.
x i
x kei
x K x bei x ber i x J ker 0 0 Bu durumda (3.7) çözümükeix A x A beix A berx A z 1 2 3ker 4 (3.8)
olarak elde edilir.
3.1.2. Kelvin fonksiyonları 3.1.2.1. Tanım ve Özellikler
m gerçel, x gerçel ve pozitif ve n de pozitif tamsayı veya sıfır olmak üzere, ber, bei, ker ve kei fonksiyonları aşağıdaki gibi tanımlanır.
25
0 2 4 1 1 ! 2 4 3 cos 2 1 k k m m x k m k k m x x ber (3.9)
0 2 4 1 1 ! 2 4 3 sin 2 1 k k m m x k m k k m x x bei (3.10)
! 4 (3.11) ! 1 1 2 4 3 cos 2 2 1 4 2 ln 4 1 ! ! 1 2 4 3 cos 2 1 2 1 ker 0 2 0 k k n n n k k n n x k n k k n k k n x x bei x ber x x k k n k n x x
! 4 (3.12) ! 1 1 2 4 3 sin 2 2 1 4 2 ln 4 1 ! ! 1 2 4 3 sin 2 1 2 1 0 2 0 k k n n n k k n n x k n k k n k k n x x ber x bei x x k k n k n x x kei
olarak tanımlanırlar. Burada naşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
1 1 1 n k n k (n2) ve 0,57721566493.1.2.2. Bağıntılar
Tablo1. Kelvin fonksiyonları
m
f bermx beimx kermx keimx
m
g beimx bermx keimx kermx
Tablo 1 de verilen, Kelvin fonksiyonlarının f ve g fonksiyonlarıyla ilgili varyasyonları için aşağıdaki bağıntıları kullanmak mümkündür.
25) ( 2 1 1 m x x m f g x m f f (3.13)
1 1 1 1
2 2 1 'm fm gm fm gm f (3.14)
1 1
2 1 2 'm fm fm gm m f (3.15)
1 1
2 1 2 'm fm fm gm m f (3.16)Kelvin fonksiyonları ve türevleri Excel programı yardımıyla sayısal çözümler için formüle edilip, tablolar halinde verilmiştir. Değişken parametrelerin sayısal değerleri formüllerde yerlerine koyularak, (3.8) bağıntısının kendisi ve türevleri elde edilebilir. Sayısal çözüm için öncelikle sınır şartları belirlenerek A katsayıları bulunmalıdır. (3.8) ifadesinde (3.14) bağıntısı kullanılırsa,
keix x
A x kei x A x ber x bei A x bei x ber A dx dz 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 1 ker 2 2 ker 2 2 2 2 2 2
x x
A keix x kei A x ber berx A beix x bei A dx z d 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 ker ker 2 2 2 2
x keix x kei x
A x x kei x x kei A x bei x ber x bei x ber A x ber x bei x ber x bei A dx z d 3 3 1 1 4 1 1 3 3 3 3 3 1 1 2 1 1 3 3 1 3 3 ker 3 ker 3 8 2 ker 3 3 ker 8 2 3 3 8 2 3 3 8 2 ifadeleri elde edilir. Bu türev ifadeleri, sayısal çözüm için sınır şartlarının belirlenmesi aşamasında kullanılacaktır.
3.2. Problemin Çözümü
3.2.1. Zeminin Homojen Olması Hali
Şekil 3.1‟de gösterilen elastik zemine serbest oturan, ortasından tekil yüklü bir plağı göz önüne alalım. Yukarıdaki açıklamalara göre çözüm aşağıdaki gibi olacaktır.
P
a
r
Şekil 3.1. Merkezinden tekil yüklü dairesel plak
keix A x A beix A berx A z 1 2 3ker 4 Sınır şartlarını yazarsak, 1-) r aMr 0 2-) r P Q r r 2 0 3-) r aQr 0
dr dw r dr w d r dr w d D Qr 2 2 2 3 3 1 1 (3.17) l r x ve l w z olduğundan, dr dw r dr w d dr d D Qr 2 1 2 = dx dz x dx z d dx d l D 1 2 1 2 2 (3.18)
' 2
' 4( )'1 berx A beix A keix
A dx dz (3.19) ve,
'' 2
'' 4( )'' 1 2 2 keix A beix A berx A dx z d (3.20) O halde, dx dz x dx z d dx d l D Qr 1 2 1 2 2
ker
) 1 4 2 1 2 A beix A berz A x dx d l D Qr (3.21)2 numaralı sınır şartına göre,
Q P2
0
(3.22)
' ' ker '
1 4 2 1 2 A beix A berx A x l D Qr yazılırsa,
A bei x berx A berx bei x A x keix
l D Qr 2 1 1 1 2 1 1 4 ker1 1 2 1 1
denklemi elde edilir.
Q
) 0 ( ) ker ( ) ( ) ( 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 4 1 1 A bei ber A ber bei A kei
l D =
*0 *0 ( 2)
2 1 2 2 A A2 A4 l D (3.23)O halde aşağıdaki denklemi yazmak mümkündür.
D l P A 2 2 4 (3.24)
3 numaralı sınır şartına göre,
l a x / için, Qr 0 Buradan, 0 ) (ker ) ( ) ( 1 1 2 1 1 4 1 1 1 l a x x kei x A x bei x ber A x ber x bei A (3.25)
Son olarak 1 numaralı sınır şartından,
l a x / için Mr 0 Buradan da, dx dz x dx z d l D dr dw r dr w d D Mr 2 2 2 2 (3.26)
0 (3.27) 1 ker 2 ker 1 2 1 2 1 1 4 1 1 2 1 1 1 l a x x x x kei A berx x ber x bei A beix x bei x ber A eşitliği elde edilir. (3.25) ve (3.27) bağıntıları kullanılarak A1 veA2sabitleri
3.2.2. Zeminin Homojen Olmaması Hali
P
a
b
r1
r2
Şekil 3.2. Homojen olmayan elastik zemine oturan merkezinden tekil yüklü dairesel plak
Bu kısımda zemin yatak katsayısının ani olarak değişmesi incelenecektir.
Şekil 3.2 „de gösterilen plak halinde, 0<r<a için zemin yatak katsayısı k ve a<r<b 1
için zemin yatak katsayısı k olsun. Bu durumda plak denklemleri şu şekilde 2
olacaktır. 1 1 1 l r x , 2 2 2 l r x , 1 1 1 l w z , 2 2 2 l w z , 1 4 1 k D l ve 2 4 2 k D l olmak üzere, 0<x< 1 l a
için z1 A1berx1 A2beix1A3kerx1A4keix1
1 l a <x< 2 l b
için z2 D1berx2D2beix2 D3kerx2D4keix2
Sınır şartları yazılırsa, 1-) r1 0ikenw1sonlu 2-) r1 0Qr1P/2
0
3-) r1 r2 aw1w2 4-) r1 r2 aw1'w2' 5-) r1 r2 aMr1Mr2 w1''w2'' 6-) r1 r2 aQr1Qr2 w1'''w2''' 7-) r2 bQr2 08-) r2 bMr2 0 2 numaralı sınır şartından, D l P A 2 2 1
4 ve 1 numaralı sınır şartından x „in her
değeri için sonlu bir w değeri olması için, A3 0olduğu bilinmektedir.
1 s = 1 l a , s =2 2 l b ve s =3 2 l a tanımlamaları yapılırsa, 7 numaralı sınır şartından,
1 2 ker1 2
4
ker1
2 1
2
0 (3.28) 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 s kei s D s s kei D s bei s ber D s ber s bei D 8 numaralı sınır şartından,
0 (3.29) 1 ker 2 ker 1 2 ker 1 2 1 2 2 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 s s s kei D s kei s kei s D s ber s ber s bei D s bei s bei s ber D 3 numaralı sınır şartından, 1 2 3 1s w s w 2 2 1 1*z l *z l ve buradan da, 2 1 2 1 z l l z (3.30) elde edilir. Yani,
1 3 2 3 3 3 4 3)
1 2 1 4 1 2 11 ( ) ( ) Dber(s ) D bei(s ) D ker(s ) D kei(s
l l s kei A s bei A s ber A (3.31) 4 numaralı sınır şartından, ) ( 2 2 ) ( 1 1 2 1 a r a r dr dw dr dw 1 2 3 2 2 2 1 1 1 1 s s dx dz l l dx dz l l ve buradan da, ' ' z z (3.32)
elde edilir. Yani,
ker
(3.33) ker ker 3 1 3 1 4 3 1 3 1 3 3 1 3 1 2 3 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 s s kei D s kei s D s ber s bei D s bei s ber D s s kei A s ber s bei A s bei s ber A 5 numaralı sınır şartından, 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 dx dz x dx z d l l D dr dw r dr w d D Mr 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dz x dx z d l l D dr dw r dr w d D Mr r a dr r a w d dr w d 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 s s dx z d l l dx z d l l ve buradan da, '' '' 2 2 1 1 z l l z (3.34)elde edilir. Yani,