Tesadüfi değişken dizilerinin istatistiksel yakınsaklığı / Statistical convergence of sequences of random variables

T.C.

FIRAT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

TESADÜFĠ DEĞĠġKEN DĠZĠLERĠNĠN ĠSTATĠSTĠKSEL YAKINSAKLIĞI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Kübra Elif ET

Anabilim Dalı: Ġstatistik

Programı: Olasılık Teorisi ve Olasılıksal Süreçler DanıĢman: Doç. Dr. Mahmut IġIK

II ÖNSÖZ

Bu çalışmanın planlanması ve yürütülmesi sürecinde benden destek ve ilgilerini esirgemeyen, lisansüstü eğitimim boyunca, bilgi ve hoşgörülerinden yararlandığım sayın hocam Doç. Dr. Mahmut IŞIK'a şükranlarımı sunmayı bir borç bilirim.

Kübra Elif ET ELAZIĞ–2015

ĠÇĠNDEKĠLER ÖNSÖZ ... II ĠÇĠNDEKĠLER ... III ÖZET ... IV SUMMARY ... V SEMBOLLER LĠSTESĠ ... VI GĠRĠġ ... 1 1. GENEL KAVRAMLAR ... 2

1.1. Temel Tanım ve Teoremler... 2

1.2. İstatistiksel Yakınsaklık ... 8

1.3.



-İstatistiksel Yakınsaklık ... 11

2. TESADÜFĠ DEĞĠġKEN DĠZĠLERĠNĠN ĠSTATĠSTĠKSEL YAKINSAKLIĞI . ... 13

2.1. Olasılıkda İstatistiksel Yakınsaklık ... 13

2.2. r-yinci Momentte İstatistiksel Yakınsaklık ... 18

2.3. Dağılımda İstatistiksel Yakınsaklık ... 20

3. TESADÜFĠ DEĞĠġKENDĠZĠLERĠNĠN S_ YAKINSAKLIĞI... 24

3.1. Tesadüfi Değişken Dizilerinin Olasılıkda S_ Yakınsaklığı ... 24

3.2. Tesadüfi Değişken Dizilerinin r-yinci Momentte S_ Yakınsaklığı ... 26

3.3. Tesadüfi Değişken Dizilerinin DağılımdaS_ Yakınsaklığı ... 27

KAYNAKLAR ... 31

IV ÖZET

Üç bölümden oluşan bu çalışmanın ilk bölümünde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanım ve teoremler verilmiş ve istatistiksel yakınsaklığın bazı özellikleri incelenmiştir.

İkinci bölümde tesadüfi değişken dizilerinin olasılıkda istatistiksel yakınsaklığı, tesadüfi değişken dizilerinin r-yinci momentte istatistiksel yakınsaklığı ve tesadüfi değişken dizilerinin dağılımda istatistiksel yakınsaklıği incelenmiştir.

Son bölümde ise tesadüfi değişken dizilerinin S_ yakınsaklığı, r-yinci momentte





S yakınsaklığı ve dağılımdaS_  yakınsaklığı incelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Dağılım Fonksiyonu, Tesadüfi Değişken Dizisi, İstatistiksel Yakınsaklık

SUMMARY

STATISTICAL CONVERGENCE OF SEQUENCES OF RANDOM VARIABLES

In the first chapter of this thesis that consists of three chapters, we give some fundamental definitions and theorems which will be used in the next chapters and examine some properties of statistical convergence.

In the second chapter we examine the statistical convergence in probability, statistical convergence in the rth moment, statistical convergence in distribution of sequences of random variables.

In the last chapter we give S_ convergence, S_ convergence in the rth moment, 



S convergence in distribution of sequences of random variables.

Key Words: Distribution Function, Sequences of Random Variables, Statistical Convergence.

VI

SEMBOLLER LĠSTESĠ

: Doğal sayılar cümlesi C :Kompleks sayılar cümlesi

W :C üzerindetanımlı bütün diziler uzayı S : İstatistiksel yakınsak diziler uzayı (K) : K'nın doğal yoğunluğu

S0 : Sıfıra istatistiksel yakınsak diziler uzayı

wp : Kuvvetli p-Cesaro toplanabilir diziler uzayı

h.k.k : Hemen hemen tüm k'lar 

l : Kompleks terimli sınırlı diziler uzayı C : Kompleks terimli yakınsak diziler uzayı

GĠRĠġ

İstatistiksel yakınsaklık 1951 yılında birbirinden bağımsız olarak Fast [Fast,1951] ve Steinhaus [Steinhaus,1951] tarafından tanımlandı. Bu yakınsaklık tipi klasik anlamda yakınsaklığın bir genelleştirmesi olup pozitif tamsayı kümelerinin doğal yoğunluğu kavramına dayanmaktadır. İstatistiksel yakınsaklık günümüze kadar çok sayıda matematikçi tarafından üzerinde çalışılmış ve halen çalışılmakta olan bir konudur. Özellikle Schoenberg [Schoenberg,1959], Salát [Salát,1980], Fridy [Fridy,1985], Connor [Connor,1988] gibi birçok matematikçi istatistiksel yakınsaklığın gelişimine önemli katkılarda bulunmuşlardır.

Buck [Buck,1953] reel ve kompleks diziler için istatistiksel yakınsaklığı geliştirerek bu kavramın genelleştirme fikrini ortaya atmıştır. Schoenberg [Schoenberg,1959], toplanabilme teorisi ile istatistiksel yakınsaklığın ilişkisini incelemiştir. Connor [Connor,1988] istatistiksel yakınsaklık kavramında C₁Cesàro matrisi

yerine negatif olmayan regüler A matrisi alarak A-istatistiksel yakınsaklık kavramını tanıtmıştır. İstatistiksel yakınsaklıkla ilişkili diğer önemli yakınsaklık tiplerinden biriMursaleen [Mursaleen,2000] tarafından tanıtılan λ-istatistiksel yakınsaklıktır.

Bu çalışmanın birinci bölümünde bir örnek uzayında alınan tesadüfi değişken dizilerinin olasılıkda istatistiksel yakınsaklığı tanımlanacak bu kavrama ilişkin bazı temel özellikler incelenecek, tesadüfi değişken dizilerinin r-yinci momentte istatistiksel yakınsaklığı ve tesadüfi değişken dizilerinin dağılımda istatistiksel yakınsaklığı incelenecektir.

Çalışmanın son bölümde tesadüfi değişken dizilerinin S_ yakınsaklığı, r-yinci

1. GENEL KAVRAMLAR

1.1.Temel Tanım ve Teoremler

Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanacağımız bazı temel tanım ve teoremleri vereceğiz.

Tanım1.1.1.(Lineer Uzay) E boş olmayan bir küme ve K reel veya kompleks sayıların bir cismi olsun.

+ : E xE E . : K x E E

fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa E kümesine K cismi üzerinde bir vektör (lineer) uzayı adı verilir. Her , K ve x,y,z için

L1) x+y=y+x

L2) (x+y)+z=x+(y+z)

L3) x+ =x olacak şekilde bir vardır

L4) Her x E için x+(-x) = olacak şekilde bir (-x) E vardır L5) 1.x=x

L6)(x y)xy

L7) ()xxx

L8) (x)()x [Maddox,1970].

Tanım1.1.2.(Normlu Uzay) E , K cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. ||.|| : E R

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa ||.|| fonksiyonuna E üzerinde bir norm ve (E, ||.||) çifti ne de bir normlu uzay adı verilir.

N1) ||x|| ≥ 0

N2) ||x||=0 x = N3) || x||= | |||x||, K

Tanım 1.1.3.(Cauchy Dizisi) Eğer her  >0 ve her n,m ≥ n₀ için x_n x_m 

olacak şekilde pozitif bir n₀ tamsayısı mevcut ise (xn) dizisine bir Cauchy dizisi denir. Tanım 1.1.4.(Yakınsak Dizi ) Eğer her  >0 ve her n ≥ n₀ için x_n x  olacak şekilde pozitif bir n₀ tamsayısı mevcut ise (xn) dizisi x sayısına yakınsaktır denir. Yakınsak dizilerin kümesi c ile gösterilir ve

} lim : ) ( {x x x mevcut c  _{k k k}

şeklinde ifade edilir. Eğer limit sıfır ise bu kümeyi c₀ile göstereceğiz ve

} lim : ) ( { 0 x xk kxk c  

yazacağız. Örneğin genel terimi        n 1

1 olan dizi yakınsak bir dizidir ve limiti 1

dir. Genel terimi 

     n 1

olan dizi ise sıfıra yakınsaktır, yani lim 1 0

n

n dır. c0 colup ve bu kapsama kesindir, gerçekten 1 1 c c₀

n    

  dır.Yakınsak her dizi Cauchy dizisidir, ancak tersi genelde doğru değildir. ( Banach uzaylarında yani tam uzaylarda terside doğrudur). Gerçekten (xn) dizisi x sayısına yakınsak ise n ≥ n₀ olduğunda xn x

2 

 olacak şekilde pozitif bir n₀ tamsayısı mevcuttur. Şimdi n,m ≥ n₀ olsun. Bu takdirde

x x x x x x x x x x_n  _m  _n    _m  _n   _m     2 2

yazabiliriz. Bu (xn) dizisinin Cauchy dizisi olması demektir. Tersinin sağlanmadığını göstermek için E=(0,1) uzayını alalım ve x = (1/n) olsun. Bu dizi Cauchy dizisidir, fakat E de yakınsak değildir. Eğer E=[0,1] ise bu takdirde E 'de bulunan 0 noktasına yakınsar.

Tanım 1.1.5 (Banach Uzayı ) Bir (E, ||.||) normlu uzayı tam ise , yani bu uzaydan alınan her Cauchy dizisi bu uzayın bir noktasına yakınsıyorsa bu normlu uzaya Banach uzayı adı verilir.

Tanım 1.1.6 (Sınırlı Dizi ) (xn ) dizisi verilsin. k≤ xn ≤K olacak şekilde k ve K sayıları varsa (xn ) dizisine sınırlı dizi denir. Bu tanıma göre sınırlı bir dizi hem üstten hem

4

de alttan sınırlı bir dizidir. Ayrıca M ≥ 0 olmak üzere K=M ve k=-M alınırsa sınırlılığın tanımından k ≤ xn ≤K ifadesi xn M olarak yazılabilir. Örneğin genel terimi (-1)

n olan dizi sınırlı bir dizidir. Çünkü (-1)n 1dir. Yakınsak her dizi sınırlıdır, ancak tersi doğru değildir, yani sınırlı diziler yakınsak olmak zorunda değildir. Örnegin x= ((-1)n

) dizisi sınırlıdır, ancak bu dizi -1 ve +1 sayılarına yakınsar, halbuki bir dizi yakınsak ise limiti tekdir. Sınırlı dizilerin kümesi l_ile gösterilir ve



     x xk k xk l { ( ):sup

şeklinde ifade edilir.cl_olup ve bu kapsama kesindir, gerçekten



 

1n



l_ c

dır.c ,0 cve luzayları

k k x x _sup

normu ile birer Banach (tam) uzayıdır.

Tanım 1.1.7. (Tesadüfi DeğiĢken ) (,U,P) bir olasılık uzayı olmak üzere, X:R

) (w

X

w

şeklinde tanımlanan X fonksiyonu,

R a

 için{w:X(w)a}U

özelliğini sağlıyorsa, X fonksiyonuna bir tesadüfi (rasgele) değişken denir.

Tanım 1.1.8. (Tesadüfi DeğiĢkenler Dizisi) Her pozitif n tamsayısı için X S n

örnek uzayında tanımlanan tesadüfi değişken olsun. S, nin bir alt kümesi olmak üzere olasılık fonksiyonu olsun. O zaman X₁,X₂,...,X_n,... dizisine tesadüfi değişkenler dizisi denir ve {X_n}_nN ile gösterilir.

Tanım 1.1.9. (Dağılım Fonksiyonu ) (,U,P) bir olasılık uzayı olmak üzere P olasılık ölçüsü yardımı ile reel sayılardan [0,1] aralığına,

] 1 , 0 [ :R F }) ) ( : ({ ) (x P w X w x F x  

şeklinde tanımlanan F fonksiyonuna, X tesadüfi değişkenin dağılım fonksiyonu (birikimli dağılım fonksiyonu) denir.

Dağılım fonksiyonu için genellikle,F(x)P(X x) gösterimi kullanılır. Bir X tesadüfi değişkeninin dağılım fonksiyonu için öncelikle (,U,P) olasılık uzayının belirli olması gerekir. X bir tesadüfi değişken olduğu için her xRiçin {w:X(w)a}Udir [Akdi,2011].

Tanım 1.1.10.(r.moment) X rastgele değişkeninin olasılık veya olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ve her rN için E(Xr) mevcut olsun.E(Xr) değerine X rastgele değişkenin r.momenti denir ve r ile gösterilir. Ayrıca,

a) r=1 için E( X) değerine X in beklenen değeri denir ve  ile gösterilir.

b) E(X )r değerine X in  ye göre r. merkezi momenti denir ve _r ile gösterilir.

c) m₂  E(X )2 değerine X in varyansı denir ve Var(X) veya 2 ile gösterilir. d) E(X(X1)(X2)...(X(r1))) değerine X in r. çarpımsalmomenti denir.

2 1 2 )

(X  

Var olupX rasgele değişkenin varyansının pozitif kareköküne X in standart sapması denir. X in varyansı2

ise standart sapması ( 0)dır. Bir X rasgele değişkeni, herhangi bir x₀Rnoktasına göre simetrik olabilmesi için gerek ve yeter koşul

bütün xRler için P(X  x₀x) P(X x₀x)olmasıdır. Herhangi bir X rasgele değişkeni C noktasına göre simetrik ise , E(X)Cdir. [Akdi,2011].

Tanım 1.1.11 (Örnek Uzayı ) Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine örnek uzay denir ve S harfi ile gösterilir [Akdi,2011].

Tanım 1.1.12 (Olasılıkta Yakınsama) nN için X tesadüfi değişkenlerin _n

herhangi bir dizisi olsun. 



0 için 



0 ve n₀() ve öyle ki nn₀() için      ( ) }) ) ( : ({w X w x w P n

6

özelliği sağlanıyorsa X tesadüfi değişkenlerinin dizisi _n n iken X tesadüfi

değişkenine olasılıkta yakınsıyor denir ve X X

p

n şeklinde gösterilir. n

X tesadüfi değişken dizisinin X tesadüfi değişkenine olasılıkta yakınsaması

genellikle

({w: x_n(w)x(w) })0 (veya (X_n X )0

şeklinde ifade edilir. Ayrıca reel sayı dizilerinde olduğu gibi X X

p

n ise Xn 0p(1) ve n

f reel sayıların bir dizisi olmak üzere X_n / f_n 0_p(1) ise X_n 0_p(f_n) yazılır [Akdi , 2011].

Tanım 1.1.13 (Olasılıkta Sınırlılık)Her nN için X tesadüfi değişkenlerinin _n

herhangi bir dizisi olsun. 



0için öyle bir M ve _ N sayıları var ve _ n N_ için     }) : ({w X M P n

oluyorsa X tesadüfi değişkenlerinin dizisi olasılıkta sınırlıdır denir ve _n Xn 0p(1) ile gösterilir. Olasılıkta sınırlılık için genellikle

    }) : ({w X M P _n yerine P(X _n M_) veya (X_n M_)0 gösterimleri kullanılır [Akdi , 2011].

Tanım 1.1.14 (Hemen Hemen Her Yerde Yakınsama) X tesadüfi değişkenlerin _n

bir dizisi olsun. X tesadüfi değişkenlerin dizisi her _n



0 sayısı için P( w: xn(w)x(w) })0

özelliği sağlanıyorsa X hemen hemen her yerde X tesadüfi değişkenine yakınsar _n

ve X X

h h h y

n  ile gösterilir [Akdi , 2011].

Tanım 1.1.15 (Momentlerde Yakınsama) X tesadüfi değişkenlerin dizisi ve X _n

değişkenlerinin dizisi X değişkenine r. momentte yakınsıyor denir ve X X

r

n  ile gösterilir..

n

X tesadüfi değişkenlerinin dizisi X tesadüfi değişkenine momentlerde yakınsıyor

ise olasılıkta da yakınsar. Yanlız bunun tersi doğru değildir [Akdi , 2011]. Örnek 1.1.1X X

r

n  ise X X p

n dir. Bunun için n iken X X

r

n olsun.Bu durumda 



0 için Chebyshev eşitsizliğinden

r r n n X X E X X P  ) ( ) ( 0   elde edilir. X X r n  ise (  ) 0 r n X X E olup n iken P(X_n  X) 0 dır. Tersinin doğru olmadığını göstermek için X tesadüfi değişkenleri _n

2 3 ₁ ) ( n n X p _n   ve ( 0) 1 (1 2) n X P _n   

olacak şekilde Bernoulli tesadüfi değişkenlerinin bir dizisi olarak seçelim. Yani

      _  ise n ise n n x_n 2 2 3 1 , 0 ,

Dizisi verilmiş olsun. Burada her



0 için n iken 0 ) (X  n2  P _n  olduğunda 0 p n

X  olup olasılıkta yakınsama gerçekleşir. Olasılıkta yakınsama

gerçekleşmiş olmasına rağmen n için r1 için

          3 3 3 2 32 ) ( ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) 0 ( n r r r r r r n E X P X n P X n n n n X E

dır. Yani momentte yakınsama gerçekleşmez [Akdi , 2011].

Tanım 1.1.16 (Dağılımda Yakınsama) X_ndağılım fonksiyonları F_nolan rasgele değişkenlerinin bir dizisi olsun. Dağılım fonksiyonu F olan X rasgele değişkeni için, F nin sürekli olduğu yerlerde n iken F_n(x)F(x) ise X_n rasgele değişkenleri dağılımda X rasgele değişkenine yakınsıyor denir ve X X

D

8 1.2. Ġstatistiksel Yakınsaklık

İstatistiksel yakınsaklık kavramı Fast [Fast,1951] ve Schoenberg [Schoenberg, 1951] tarafından birbirlerinden bağımsız olarak verilmiştir. O zamandan beri istatistiksel yakınsaklık, farklı isimler altında Fourier analiz, ergodic teori ve sayılar teorisinde kullanılmıştır. Her iki araştırmacı tarafından sınırlı istatistiksel yakınsak bir dizinin Cesaro toplanabilir olduğu ifade edilmiştir. Daha sonra istatistiksel yakınsaklık, Fridy [Fridy,1985], Salat [Salat,1980], Connor [Connor,1988], Mursaleen [Mursaleen,2000] gibi birçok matematikçi tarafından çalışılmıştır.

Tanım 1.2.1. (Doğal Yoğunluk ) Pozitif tamsayılardan oluşan bir K cümlesinin doğal yoğunluğu δ(K)= { : } 1 K k n k n  

şeklinde tanımlanır. Burada {kn:kK}K nın n den büyük olmayan elamanlarının sayısını göstermektedir. Eğerδ(K) = 0 ise K ya sıfır yoğunluklu cümle denir Fridy [Fridy ,1985].

Eğer bir x =(x_k)dizisinin terimleri bir P özelliğini sıfır yoğunluklu bir cümle dışında bütün k lar için sağlıyorsa (x_k) dizisi P özelliğinin hemen hemen her k için sağlıyor denir ve "h.h.h.k" şeklinde gösterilir.

Sıfır yoğunluklu cümle tanımından yararlanarak istatistiksel yakınsak dizi tanımı aşağıdaki gibi verilebilir.

Tanım 1.2.2. (Ġstatistiksel Yakınsak Dizi ) x = (x_k)kompleks terimli bir dizi olsun . Eğer için

0 } : { 1 lim kn x L   n k n

olacak şekilde bir L sayısı varsa, yani, h.h.h.k için x_k L ise x = (x_k)dizisi L

sayısına istatistiksel yakınsaktır denir, vest-lim(x_k) = L veya x L st

n şeklinde

gösterilir.Bütün istatistiksel yakınsak dizileri cümlesini S ile göstereceğiz. Eğer L0ise )

(x_k

Aşağıdaki dizi sıfıra istatistiksel yakınsak bir dizidir. )

(x_k

x dizisimNolmak üzere

       2 2 , 0 , 1 m k m k xk

olarak tanımlansın. Bu taktirde

n x n k : _k 0} { olup {kn:x_k 0} √ = 0

dir. Bu ise lim_kx_k Lisest-lim_k x_k Ldemektir.

Bilinen anlamda yakınsak diziler istatistiksel yakınsaktır. Fakat istatistiksel yakınsak diziler yakınsak olmak zorunda değildir. İstatistiksel yakınsak bir dizi sınırlı olmak zorunda değildir. Yani l_{ ve S uzayları birbirlerini kapsamazlar, ancak ortak}

elemanları vardır. Gerçekten )

(x_k

x dizisimNolmak üzere

       2 2 1 , m k m k k x_k

şeklinde tanımlansınx=(xk) dizisi için S-limxk=1dir, ancak x∉ldir. x=(1,0,1,0,…) dizisi sınırlıdır, ancak istatistiksel yakınsak değildir.

Bir dizi istatistiksel yakınsak ise istatistiksel limiti tektir, yani S-limxk=L1,

S-limxk= L2ise L1=L2 dir.

Teorem 1.2.3.S-limxk=a, S-limyk=b ve c bir reel sayı olsun. Bu taktirde

i) S-limcxk = ca ii) S-lim(xk+yk) = a+b

dir. Yani istatistiksel yakınsak dizilerin kümesi bir lineer uzaydır.

Tanım 1.2.4 (p-Cesaro Yakınsak Dizi )xw, vepRolsun. 0 1 lim 1  



   p n k k n _n x L

10

olacak şekilde bir L sayısı varsa x dizisi L ye kuvvetli p-Cesaro toplanabilirdir denir. Kuvvetli p-Cesaro toplanabilir diziler uzayıw_p ile gösterilecek ve en az bir

0 , 0   p L için

 

:1 0 { 1    



n_ p k k k p x L n x x w en az bir L0,p0 için , n

şeklinde ifade edilecektir [Maddox, 1970].

İstatistiksel yakınsaklık ve kuvvetli p-Cesarotoplanabilirlik arasındaki ilişki Connor [Connor,1988] tarafından ifade edildi. Bunun için önce aşağıdaki tanımı hatırlayalım.

Kompleks terimli tüm x =( ) , (k=1,2,...) dizilerinin cümlesini w ile göstereceğiz. w ,

x(x_k),y(y_k) ve skaler olmak üzere ) ( ) (x_k y_k y x   ) ( x_k x   

şeklinde tanımlanan işlemler altında bir lineer uzaydır.

Şimdi istatistiksel yakınsaklık ve kuvvetli p-Cesaro toplanabilir diziler arasındaki ilişkiyi veren aşağıdaki teoremi verelim.

Teorem 1.2.5p R 0 p olsun. Eğer bir dizi L ye kuvvtli p-Cesaro toplanabilir ise bu taktirde L ye istatistiksel yakınsaktır. Eğer bir dizi sınırlı ve L ye istatistiksel yakınsak ise bu dizi kuvvetli p-Cesaro toplanabilirdir

Ġspat: x w ve 0 olsun. Bu taktirde    





   p L x k p n k k k L x L x  1 p L x k k L x



    p L x k k L x



     = {k n: xk L } p yazabiliriz. Buradan } : { 1 1 1      



 x L _n k n x L n k p n k p k

Şimdi x L ve st-lim = L olsunK  x _ L diyelim.



0verilsin ve N _

sayısını her n N_olmak üzere

p k K L x n k n{ : (2) 2 1  ₂1     

olacak şekilde seçelim ve } ) 2 ( : { 1 p k n k n x L L     

diyelim. Şimdin  N_için

) ( 1 1 1 p L k k p L k k p n k k n n L x L x n L x n











      ) 2 )( )( 1 ( ) 2 ( 1   n n K k n n p p      _{ }  2 2 [Connor,1988].

yazabiliriz. Buradan x dizisiL sayısına kuvvetli p-Cesaro toplanabilirdir.

Bu teoreme göre sınırlı diziler üzerinde p-Cesaro toplanabilme ile istatistiksel yakınsaklık denktir.

1.3.



-Ġstatistiksel Yakınsaklık

 _{ile pozitif sayıların} n₁ n 1, ₁ 1özelliğini sağlayan sonsuza giden ve azalmayan 

 

_n dizilerinin kümesini gösterelim. I_n 



n_n1,n



olmak üzere

genelleştirilmiş de la Vallée-Poussin ortalaması

 

k I k n n x x t n



   1

şeklinde tanımlanır. Eğer n iken t_n

 

x L ise x

 

x_k dizisine L sayısına



V,



 toplanabilirdir denir. Eğer _n n ise bu durumda



V,



 toplanabilme,

 

C,1  toplanabilmeye indirgenir. Kuvvetli

 

C,1  toplanabilir ve kuvvetli

12

 

 

           



   0 1 lim , : 1 , 1 L x n L x x C _k n k n n R ve

 

 

             



   0 1 lim , : , x x L x L V k I k n n n n   R şeklinde gösterilir. Tanım 1.3.1.



 ve



0verilsin.



:



0 1 lim        k In xk L  n n

isex

 

x dizisi L ye k



 istatistiksel yakınsaktır veya L ye S 

yakınsaktır denir Bu durumda Slimx L veya x_k L

 

S_ yazılır [Mursaleen,2000].

2. TESADÜFĠ DEĞĠġKEN DĠZĠLERĠNĠN ĠSTATĠSTĠKSEL YAKINSAKLIĞI

Bu bölümün ilk kısmında bir örnek uzayında alınan tesadüfi değişken dizilerinin olasılıkda istatistiksel yakınsaklığı tanımlanacak bu kavrama ilişkin bazı temel özellikler incelenecek, ikinci kısımdatesadüfi değişken dizilerinin r-yincimomentte istatistiksel yakınsaklığı, son bölümde ise tesadüfi değişken dizilerinin dağılım anlamında istatistiksel yakınsaklığı incelenecektir.

2.1. Olasılıkda Ġstatistiksel Yakınsaklık

Tanım 2.1.1 (Olasılıkda Ġstatistiksel Yakınsaklık ) {X_n}_nN, S örnek uzayında tanımlı tesadüfi değişkenlerin bir dizisi ve  örnek uzayların bir sınıfı olmak üzere

R

P: olasılık fonksiyonu olsun. Eğer her  , >0 için





} 0 : { 1 lim        _n k n P Xk X   n

olacak şekilde bir X tesadüfi değişkeni varsa veya buna denk olarak





} 0 1 { 1 lim k P X X    n k n ,

ise {X_n}_n_N tesadüfi değişken dizisi X tesadüfi değişkenine olasılıkda istatistiksel yakınsaktır denir ve 0 ) ( lim       P X X  st _k

n veya stnlimP(XkX )1 yadaX X

p

st n

şeklinde gösterilir [Ghosal, 2013].

Teorem2.1.1.

 

x reel terimli bir dizi ve _n x x

st

n olsun. Bu takdirdex x

p

st

n dir, yani

adi anlamda istatistiksel yakınsak bir dizi olasılıkda istatistiksel yakınsaktır.

Ġspat:  0olsun.

 

x_n dizisi adi anlamda istatistiksel yakınsak olduğundan



  



 n N x x

M : _n olmak üzere d(M) =1 dir. Böylece herhangi bir 0için



n N Px x



N M

B  :1 n  )   olmak üzere d(B) = 1dir. Bu x x

p

st

n ; yani

 

x dizisinin olasılıkda istatistiksel yakınsak olması demektir. [Ghosal, 2013]. n

14

Aşağıdaki örnekten anlaşılacağı üzere Teorem 2.1.1 in tersi doğru değildir

Örnek 2.1.10, 1ve mN olmak üzere, olasılık yoğunluk fonksiyonuX _n

 

                  ise n ve durumlarda diger ise n ve x nx ise n ve durumlarda diger ise n ve x x f m m n n m m n 2 , 0 2 2 0 , 2 2 , 0 2 1 0 , 1 1

şekilde tanımlansın. Bu takdirde mNolmak üzere

  2 ) (Xn  P ise n X P ise n m n n n m 2 , ) 2 1 ( } ) 2 2 ( 1 { 1 ) 2 ( 1 2 , 1                   

olupA, N nin sonlu bir alt kümesi olmak üzere



 



   : 2 } { 1 lim n   n _n k n P X 2 ,2 ,2 ,...} 0 1 lim 0 1 2 A  n n yazabiliriz. Böylece



{ :



2



} 0 1 lim  n    n _n k n P X elde edilir.

Olasılıkda istatistiksel yakınsaklık adi anlamda istatistiksel yakınsaklıktan farklı olmasına rağmen aşağıdaki sonuçlar olasılıkda istatistiksel anlamda yakınsaklık için de sağlanır [Ghosal, 2013]. Teorem2.1.2. i) X X p st n ve Y Y p st n ise P



X Y



= 1 , ii) X X p st n X -n 0 p st X ,

iii)c R olmak üzere X X p st n cX cX p st n  , iv) X X p st n ve Y Y p st n X + n Y X p st n + Y , v) X X p st n ve Y Y p st n Xn Y X p st n -Y vi) X x p st n 2 2 x X p st n  vii) X x p st n ve Y y p st n X . n Y xy p st n . viii) X x p st n ve Y Y p st n X / n Y x p st n / y, y ≠ 0 , ix) X X p st n ve Y y p st n X . n Y XY rm st n  . , x)0 Xn Ynve 0 p st n Y 0 p st n X 

xi) , 0 olmak üzere X X

p

st

n ise

d ({ n N : P( |x -_n x | _k ) } ) = 0

olacak şekilde bir kNvardır. Bu son şart olasılık anlamda Cauchy şartı olarak adlandırılır.

Ġspat., 0sayıları verilsin.

i)





} 2 1 ) ( : { } 2 1 : { 1₂ 2 1              n N P X X n N P X Y k _{n n} olsun. Bu takdirde







        ) 2 1 ( ) ( : ) _{P X X 2}1 _{P X Y} Y X P _{k k}

yazılabilir. Bu P{X= Y } = 1 olmasını gerektirir.

(ii) ,(iii) , (iv) ve (v) in ispatları (i)' in ispatına benzerdir. vi) Eğer 0 p st n Z  ve 2 0 p st n Z  ise } ) 0 : { } ) 0 : {nN PZn2     nN PZn     yazabiliriz. Buradan     ( )2 2 ( ) 2 x X x x X X_{n n n x}2 p _x2 st 

16 yazılabilir.

vii) nin ispatı aşağıdaki eşitlikten elde edilir. } ) ( ) {( 4 1 2 2 n n n n n nY X Y X Y X     p st  {( ) ( ) } . 4 1 2 2 xy y x y x   

viii) A veB sırasıyla"Y_n y  y " ve "1/Y_n 1/y  "olaylarını göstersin. Buna göre



y Y y



y y Y y Y y y y Y yY y Y y Y _n n n n n n n           ) ( 1 1

olur A ve B eşzamanlı meydana gelirse, o zamanyukarıdaki eşitsizlikten

y y y Y_n      1 2

yazılabilir.₀  y2/(1 y)olsunve C de "Yn y 0"olayını göstersin. Bu

durumda _

A, A nıntümleyenini göstermek üzere AB C olması P(B) P(C)+P( ) olmasını

gerektirir. Buradan      : 1 1 ) } {   y Y P N n n







   } 2 1 : {n N P Y_n y ₀  } 2 1 :

{nN PY_n y  y  yazabiliriz. Böylecey 0 olmak üzere

y Y p st n 1 1  olur.Sonuç olarak (vii) den y x Y X stp n n  yazılabilir. (ix) İlk olarakX X p st

n ve Z tesadüfi değişken olmak üzereX Z XZ

p

st

n  olduğunu gösterelim.Z tesadüfi değişken olduğundan verilen her 0 için  

2 1 ) (Z  

P olacak

sekilde bir sayısı vardır.Bu taktirde verilen herhangi bir >0 için ) (X ZXZ  P n =P



Xn X Z , Z 



 P(P



Xn X Z , Z 



)       _{ }      P Xn X 2 1 yazılabilir. Buradan

} 2 1 ) ( : { } ) : {              N PX Z XZ n N P X x n _{n n} olup, buradanda( )( ) 0 p st n n X Y Y X    yazılabilir. Böylece X Y XY p st n n  elde edilir. xi) kNdoğal sayısını  

2 1 ) 2 1 (X X   P _k , yani       _{    } 1 ) 2 1 ) 2 1 : {n N PX X  

d _n olacak şekilde seçelim. Bu durumda

    2 1 ) 2 1 ( : : { ) } : {nN PXn X    n N P Xn X   olur [Ghosal, 2013].

Aşağıdaki teoremin ispatı Teorem 2.1.2 den yararlanılarak yapılır.

Teorem2.1.3.{X_n}_nN tesadüfi değişkenlerin bir dizisi ve {x_n}_nN de 0

p

st n n x

X  

olacak şekilde reel sayıların bir dizisi olsun.m(X_n),X_ntesadüfi değişkenlerin dizilerinin

medyanını göstermek üzere 0 ( ₎ p st n n m x X   ve ( ₎ 0 p st n n m x x   dır [Ghosal, 2013]. Teorem2.1.4.X X p st

n  ve g : R R sürekli bir fonksiyon olsun.Bu taktirde

) ( ) (X g X g p st n  dir.

Ġspat: X tesadüfi değişken olduğundan her 0 için   2 1 ) (X  

P olacak

şekilde bir sayısı vardır. g , [- aralığında sürekli olduğundan her 0 için X  ve X_n X ₀ olduğunda g(X_n)g(X)  olacak şekilde bir ₀ sayısı vardır. Böylece

) ( ) ) ( ) ( (g X g X  P X X 0 P n n +P(X ) ) 2 1 (X X ₀   P _n dır.Buradan

18     : ( ( ) ( ) ) {n N P g Xn g X 0 0 0 2 1 ) ( : {nN P X_n X   

yazılabilir. Bu ispatı tamamalar [Ghosal, 2013].

2.2. r-yinciMomentte Ġstatistiksel Yakınsaklık

Tanım 2.2.1. (r-yinci Momentte Ġstatistiksel Yakınsaklık) Eğer her nN için )

(X_nr

E ve E(Xr) mevcut olacak şekilde herhangi bir



0 için 0 }) ( : ({nN E X_nX r   d

eşitliği sağlanıyorsa{X_n}_n_N tesadüfi değişken dizi bir X tesadüfi değişkenine

r-yinci momentte istatistikselyakınsaktır denir ve lim (  0   r n n E X X st veya X X rm st n  şeklinde gösterilir[Ghosal, 2013]. Teorem 2.2.1.X X rm st n  (r0) olsun. Bu takdirde X X p st

n dir, yani r-yinci

momentte istatistiksel yakınsaklık, olasılıkda istatistiksel yakınsaklığı gerektirir.

Ġspat. İspat aşağıdaki eşitsizlikten elde edilir.

r r r m X E m X P(  ) {  }/ .

Teorem 2.2.1 in tersi genelde doğru değildir. Bu durumu aşağıdaki örnek ile açıklayalım [Ghosal, 2013].

Örnek 2.2.1.{X_n}_nN tesadüfi değişkenler dizisini aşağıdaki gibi tanımlayalım: } , 0 { n X_n olmak üzere _{n r} n X P( 0)1 1 ve N n r0,  _{n r} n X P( 0) 1 .

Bu takdirde



0 için, 0



n ise P(X_n0 )P(X_nn)dir n ise 0

) 0

(X_n  

sonlu küme lim ( 0  )0 

 n 

n P X

st dır. Fakat her nN için E(X_nr)1 ise

N X E( _n 0r  )} { 1_{2 olur. Buradan} N n r n X E( 0  )}_ { 2

1 _{kümesi 0 sayısına istatistiksel} yakınsak değildir [Ghosal, 2013].

Teorem 2.2.2.X_nX,Y_nY 0 olacak şekilde X X

rm st n ve Y Y rm st n ise Y X Y X rm st n n   dir.

Ġspat. İspat, X ve Y negatif olmayan tesadüfi değişkenler ve r0 olmak üzere

] ) ( ) ( [ 2 ) (X Y r r E X r EY r

E    yazılabilir. İspat bu eşitsizlikten çıkar [Ghosal, 2013].

Teorem 2.2.3.{a_n}_nN dizisi st a_n a

n 



 

lim ve a0 olacak şekilde negatif olmayan bir reel sayılar dizisi olsun. Bu takdirde _ 

Q q olmak üzere _n q q n a a st    ( ) lim dir. Ġspat. _{ }  Q r m

q / olsun. Eğer a0 ise sonuç aşikardır. Bunun için a0

seçelim. rN\{1} olmak üzere st a_n a

n     lim limitinin r r n n a a stlim( )1/  1/   limitini

gerektirdiğini göstermek yeterlidir. Bu durumda

M a a N n a a a N n : _n  }{  : _n  } { ₂1 2

1 _{dir. (d(M)}_{1diyelim) olup}

} ) ( ... ) ( ) {( ) ( _n 1/r 1/r _n (r 1)/r _n (r 2)/r 1/r _n 1/r (r 2)/r (r 1)/r n a a a a a a a a a a            r r n a a L( )1/  1/  dir.

BuradanLa(r1)/r/2(11/r 2)dir. Yani, } ) ( 0 : {n N a 1/ a1/ L 1a a M    _n r  r   _n dir. Buradan _r r n n a a st   

lim dir [Ghosal, 2013].

20 2.3. Dağılımda Ġstatistiksel Yakınsaklık

Tanım 2.3.1 (Dağılımda Ġstatistiksel Yakınsaklık) HernN için F_n(x), X nin _n

dağılım fonksiyonu olmak üzere {X_n}_nN dizisitesadüfi değişkenlerin bir dizisi olsun. x noktasındaF(x) dağılım fonksiyonu sürekli olmak üzerest limF_n(x) F(x)

n 





 olacak

şekildebir X tesadüfi değişkeni varsa {Xn}nN dizisi X e dağılımda istatistiksel yakınsaktır

denir . Bu durum X X

d

st

n şeklinde gösterilir.

Aşağıdaki iki teoremi ispatsız olarak vereceğiz [Ghosal, 2013].

Teorem 2.3.1. {X_n}_nN bir tesadüfi değişkenler dizisi olsun. Ayrıca, her iN için )

( )

( _{i n i}

n x P X x

f   , X (_n nN_{) nin olasılıksal kütle fonksiyonu ve her} iN için )

( )

(x_i P X x_i

f   de X in olasılıksal kütle fonksiyonu olsun. Bu takdirde

) ( ) (x f x f st n  , x X X d st n  dir [Ghosal, 2013].

Teorem 2.3.2. {a_n}_nN ve {b_n}_nN, her nN için a_nb_n olacak şekilde iki reel sayı dizisi olsun. Bu takdirde

n

n st b

a

stlim  lim andstlima_n stlimb_n

dir [Ghosal, 2013]. Teorem 2.3.3. X X p st n olsun. Bu takdirde X X d st

n dir, yani olasılıkda istatistiksel

yakınsaklık, dağılımda istatistiksel yakınsaklığı gerektirir.

Ġspat.F_n(x)veF(x), sırasıyla X ve X in dağılım fonksiyonları olsun. _n x y

olmak üzere herhangi iki x ve y reel sayıları için ) , ( ) , ( ) (X x  X_n  y X x  X_n  y X x

elde edilir. (X_n y,Xx)(X_n y)olduğundan ) , ( ) ( ) (X x  X_n y  X_n  y X x

dir. Bu nedenle ) , ( ) ( ) (X x P X y P X y X x P   _n   _n  ) , ( ) (X y P X y X x P _n  _n   ) , ( ) ( ) (y F x P X y X x F_n   _n    olur.

Benzer şekilde eğer X_n  y,X x olursa X_n y,X x ve böylece

x y X X_n   , yani (X_n y,X x)(X_nX yx)(X_nX yx) olur ki bu da ) ( ) , (X y X x P X X y x P _n   _n   olmasını gerektirir. y x veX X p st n olduğundan 0 ) , ( lim       P X y X x st _n n

elde edilir. BöylecestlimF_n(y)F(x) bulunur. Benzer şekilde eğer yz ise bu durumda

) , ( ) , ( ) (X_n  y  X z X_n y  X z X_n  y olur ve böylece 0 ) , ( ) ( ) (y F z P X z X  y  F_{n n} ve lim (  ,  )0   P X z X y st _n n

olur. Sonuç olarak stlimF_n(y)F(z) elde edilir. Buna göre x yz için ) ( ) ( lim ) ( lim ) (x st F y st F y F z F   _n   _n  bulunur.

Eğer F, yde sürekli ise

) ( ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) (y F x st F y st F y F z F y F y x n n y x           

olur. Bu stlimF_n(y)stlimF_n(y)F(y) olmasını yani X X

d

st

n yi gerektirir.

Teorem 2.3.3 ün tersi genelde doğru değildir. Bunun için X,X₁,X₂,...tesadüfi değişkenlerinin birim dağılıma sahip olduğunu kabul edelim. İki boyutlu (X_n,X) değişkeninin spektrumu (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) ve ), 1 , 1 ( 0 ) 0 , 0 (X  X   P X  X  P _{n n}

22 ), 0 , 1 ( 2 1 ) 1 , 0 (X  X   P X  X  P n n

olsun. Böylece, X_nninmarjinal dağılımı ₂1 ₁

0 n n x x p p   olmak üzere ) (X i P p_{xi n}

n   olasılıksal kütle fonksiyonu yardımıyla Xn i(i0,1) şeklinde; 1

2 1

0 x

x p

p   olmak üzere p_xjP(X  j)olasılıksal kütle fonksiyonu yardımıyla

) 1 , 0 (   j j X şeklinde verilir.

Eğer F_n(x) ve F(x), sırasıyla X_nve X in dağılım fonksiyonları ise

           1 , 1 1 0 , 0 , 0 ) ( ) ( ₂1 x x x x F x F _n

dir. Bu nedenle her xR için st lim F_n(x) F(x)

n     , yani n için X X d st n dir. Fakat, 1 ) 0 , 1 ( ) 1 , 0 ( ) 1 ( ) (_X _X 1₂ _{P X} _X  _{P X}  _X  _{P X}  _X   P _{n n n n}

Dir. Bu nedenle lim (  ₂1)0

  P X X st _n n dir. Bu takdirde 0 ) ( lim       P X X  st _n n dir [Ghosal, 2013].

Aşağıdaki teoremleri ispatları Teorem 2.1.2 nin ispatına benzerdir, bu yüzden bu teoremleri ispatsız olarak vereceğiz.

Teorem 2.3.4. {X_n}_nN dizisi X X

d

st

n olacak şekilde bir tesadüfi değişkenler

dizisi ve c bir sabit olsun. Bu takdirde, (a) X c X c d st n   ve (b) cX cX d st n , c0dir [Ghosal, 2013].

Teorem 2.3.5. c bir sabit olmak üzere X c X c p

d st

n st

n   dir [Ghosal, 2013].

Teorem 2.3.6. c bir sabit olmak üzere X c X c p

d st

n st

Teorem 2.3.7. {X_n}_nN ve {Y_n}_nN dizileri 0 p st n n Y X   ve Y X d st n olacak şekilde

bir ihtimal uzayında tesadüfi değişkenler dizisi ise X X

d

st

n dir [Ghosal, 2013].

Teorem 2.3.8. {X_n}_nN ve {Y_n}_nN bir ihtimal uzayında tesadüfi değişkenler dizisi ve c bir sabit olsun, bu takdirde

(i) X X d st n , Y c p st n X Y X c, d st n n    (ii) X X d st n , 0 p st n Y  0, d st n nY X   (iii) X X d st n , Y c p st n X Y cX, d st n n   (c0) (iv) X X d st n , Y c p st n X /Y X/c, d st n n   (c0)[Ghosal, 2013].

3. TESADÜFĠ DEĞĠġKENDĠZĠLERĠNĠN S_ YAKINSAKLIĞI

Bu bölümde tesadüfi değişken dizilerinin olasılıkta S_ yakınsaklığı, r-yinci

momentteS_ yakınsaklığı ve dağılımdaS_  yakınsaklığı incelenecektir.

3.1.Tesadüfi DeğiĢkenDizilerinin Olasılıkda S_ Yakınsaklığı

Tanım 3.1.1. (Tesadüfi DeğiĢken Dizilerinin OlasılıkdaS_ Yakınsaklığı) 

olaylar sınıfının bir S altsınıfı verilsin. Her bir X aynı bir S olay uzayı üzerinde tanımlı _n

olmak üzere {X_n}_nN dizisi bir tesadüfi değişkenler dizisi olsun ve bir P:Rolasılık

fonksiyonu verilsin. Bu takdirde eğer herhangi bir , 0 için



: ( )



0 1 lim         k In P Xk X   n n

veya buna denk olarak lim 1



 : (   )



0



  k In P Xk X  

n

n ise {Xn}nN dizisi

bir X tesadüfi değişkenine S_ yakınsaktır denir ve S_limP(X_k X )0 veya

1 ) ( lim       P X X S _k veyaX X p S n   ile gösterilir.

Aşağıdaki örnek bir {X_n}_nN tesadüfi değişkenler dizisinin X e olasılıksalS_ 

yakınsak fakat olasılıkda yakınsak olmadığını göstermektedir [Ghosal, 2014].

Örnek 3.1.1. Bir {X_n}_nN tesadüfi değişkenler dizisini aşağıdaki gibi tanımlayalım:

                   durumlarda diger X P ve X P ise n k n X P X P X k k k k n k k k _{1 1} ) 1 ( ) 1 ( ) 0 ( }, 1 , 0 { 1 ), 1 ( ) 1 ( }, 1 , 1 {  1 0



 olsun. Bu durumda     _{   }    durumlarda diger ise n k n X P k n k , 1 , 1 ) 0 ( 1   olur. Böylece 0 p S n X 

Açıktır ki X X p S n   ve X Y p S n 

 ise P{X Y}1dir [Ghosal, 2014].

Teorem 3.1.1. Eğer X x p

S n



 ve g:RR fonksiyonu x de sürekli ise

) ( ) (X g x g p S n   dir.

Ġspat.g, x de sürekli olduğundan her bir



0 için 

   



x ₀ g(x ) g(x)

x_{k k}

olacak şekilde bir ₀ mevcuttur. Buradan ) ( ) ) ( ) ( (g X g X  P X X ₀ P _{k k} bulunur. Bu



kI_n:P(g(X_k)g(X) )

 

 kI_n:P(X_k X ₀)



olmasını gerektirir [Ghosal, 2014].

Teorem 3.1.2. Eğer {X_n}_nN, herhangi bir n için sonlu bir m ortalamaya sahip tesadüfi değişkenler dizisi ise bu durumda x

S n    iken X m p S n   dir [Ghosal, 2014].

Örnek 3.1.2. Aşağıdaki örnek, bir {X_n}_nN tesadüfi değişkenler dizisi herhangi bir n için sonlu bir m ortalama ve  sonlu standart sapmaya sahipse

m X p S n   , fakat lim_n 0dır.

Aşağıdaki tesadüfi değişkenler dizisini tanımlayalım:

               durumlarda diger X P ise n k n k X P k X P k k X k n k k k 1 ) 0 ( }, 0 { 1 ), ( ) ( }, , {  Bu durumda mE(X_k)0,kN ve    _{   }  durumlarda diger ise n k n k _n k , 0 1 ,   0 lim   _k fakat 0  _kS dır. Buradan 0 , ) 0 ( ₂ 2           n Nve X P _n n

26 elde edilir. 0  _nS olduğundan 0 p S n X   bulunur [Ghosal, 2014]. 3. 2.Tesadüfi DeğiĢken Dizilerinin r-yinci MomentteS_ Yakınsaklığı

Tanım 3.2.1. (Tesadüfi DeğiĢken Dizilerinin r-yinci MomentteS_ 

Yakınsaklığı) Eğer herhangi bir



0 için ve her n için E(X_nr) ve E(X r) mevcut iken



: ( )



0 1 lim           r k n n r k I E X X

limiti varsa bir {X_n}_n_N tesadüfi değişkenler dizisi, X:SR olmak üzere X

tesadüfi değişkenine r-yinci momentteS_ yakınsaktır denir ve S_limE(X_nX r 0

veya X X rm

S n



 şeklinde yazılır [Ghosal, 2014].

 

Xn nN tesadüfi değişken dizisi r-yinci momentte s yakınsaktır ama X r-yinci momentte yakınsak değildir. Bunu örnekte görebiliriz.

Örnek 3.2.1. Bir {X_k}_kN tesadüfi değişkenler dizisini aşağıdaki gibi tanımlayalım.                    veP X k diger durumlarda X P k ise n k n X P X P X r r k _k k k n k k k 1 1 1 1 _{( )} 1 ) 0 ( }, , 0 { 1 ) 1 ( ) 0 ( }, 1 , 0 {  Bu takdirde     _{   }   durumlarda diger ise n k n X E k n r k , 1 , ) 0 ( 1 2 1  olur ve bu 0 rm S n X 

 olmasını gerektirir fakat X e r-yinci momentte alışılmış yakınsak değildir [Ghosal, 2014].

Teorem 3.2.1. {X_n}_n_N dizisi, her n ve sabit M>0 için P(Xn M)1 olacak

şekilde bir tesadüfi değişkenler dizisi olsun. Kabul edelim ki X X p

S n



 olsun. bu takdirde

herhangi bir r0 için X X rm

S n



Teorem 3.2.2. Eğer herhangi bir r0 için Xn X ,Yn Y 0 olacak şekilde X X rm S n   ve Y Y rm S n   ise bu takdirde X Y X Y rm S n n    dir.

Ġspat. X ve Y non-negatif tesadüfi değişkenler ve r0 olmak üzere ] ) ( ) ( [ 2 ) (X Y r r E X r EY r

E    eşitsizliğinden elde edilir [Ghosal, 2014].

Teorem 3.2.4. {X_n}_nN dizisi X X m S n 2 

 olacak şekilde bir tesadüfi değişkenler dizisi olsun. Bu takdirde S_ limE(X_n)E(X) ve S_ limE(X_n2)E(X2)dir [Ghosal, 2014].

3.3 Tesadüfi DeğiĢken Dizilerinin DağılımdaS_ Yakınsaklığı

Teorem 3.3.1.{X_n}_nN bir tesadüfi değişkenler dizisi olsun. Ayrıca her n için )

( )

(x P X x

f_n  _n  , X ninolasılık kütle fonksiyonu ve _n f(x)P(X x) de X in olasılık

kütle fonksiyonu olsun. Eğer f (x) f(x)

S n   ise X X d S n   dir [Ghosal, 2014].

Teorem 3.3.2.{X_n}_nN bir tesadüfi değişkenler dizisi olsun. Eğer X X p S n   ise X X d S n 

 dir, yani olasılıkta S_ yakınsaklık dağılımdaS_ yakınsaklığı gerektirir.

Ġspat.F_n(x) ve F(x), sırasıyla X ve X in olasılık dağılım fonksiyonları ve_n x y

olsun. ) , ( ) , ( ) (X x  X_n y X x  X_n  y X x ) , ( ) ( ) (X x  X_n  y  X_n  y X x  ) , ( ) ( ) (X x P X y P X y X x P   _n   _n    ) ) , (( , ( ) ( ) (X x P X y P X X y x X y X x iken P   _n   _n   _n    )) (X_nX  yx 