www
.krakademi.com
İki veya daha fazla ifadenin toplamları veya farkları-nın en büyük veya en küçük değerleri sorulduğunda sayılara aşağıdaki şartlara uygun değerler verilir. • En büyük olması istenirse:
i) Önünde “+” işareti olan ifadeye en büyük değer verilir.
ii) Önünde “–” işareti olan ifadeye en küçük değer verilir.
• En küçük olması istenirse:
i) Önünde “+” işareti olan ifadeye en küçük değer verilir.
ii) Önünde “–” işareti olan ifadeye en büyük değer verilir.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 3x + 5y – 6z
ifadesinin en büyük değeri için önünde “+” işareti olan x ve y ifadelerine en büyük değerler verilmeli-dir. Rakamları farklı olduğundan x ve y ifadelerine 9 verilemez. Bu gibi durumlarda katsayısı büyük olan
ifadeye büyük değer verilir. O hâlde,
x = 8 ve y = 9 alınır.
Önünde “–” işareti olan z ifadesine en küçük değer verilir. Rakam kümesinde tanımlı en küçük değer 0 olduğundan
z = 0 alınır.
Buna göre, ifadenin en büyük değeri,
. x y z bulunur 3 5 6 3 8 5 9 6 0 24 45 0 69 $ $ $ + - = + -= + = -Cevap: B
• Toplamları verilen iki doğal sayının çarpımlarının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın mümkünse eşit seçilmelidir.
• Toplamları verilen iki doğal sayının çarpımlarının en küçük olması için sayılar birbirine en uzak mümkünse sayılardan biri 0 seçilmelidir.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; x + y = 30
ifadesine göre, x·y çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine yakın veya eşit seçilmelidir. Ancak sayılar birbirinden farklı olacağından eşit seçilemez. O hâlde,
16 14 x + y=30
. .
x = 16 ve y = 14 seçilir. Buna göre x·y çarpımının en büyük değeri 224 olur.
x·y çarpımının en küçük olması için sayılar birbirine uzak veya sayılardan biri 0 seçilmelidir. Sayılar doğal sayılar kümesinde tanımlı olduğundan 0 seçilebilir.
30 0 x + y=30
. .
x = 30 ve y = 0 seçilir. Bu durumda x·y çarpımının en küçük değeri 0 olur.
Bu durumda, x·y çarpımının en büyük değeri, en küçük değerinden
224 – 0 = 224 fazladır.
www
.krakademi.com
3.
Bilgi:• Çarpımları verilen iki tam sayının toplamlarının en büyük olabilmesi için sayılar birbirine en uzak pozitif sayılar seçilmelidir.
• Çarpımları verilen iki tam sayının toplamlarının en küçük olabilmesi için sayılar birbirine en uzak negatif sayılar seçilmelidir.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; x·y = 36
ifadesine göre, x + y toplamının en büyük olması için sayılar birbirine en uzak pozitif sayılar seçilmelidir. O hâlde,
36 1 x $ y=36
. .
x = 36 ve y = 1 seçilir. Buna göre, x + y toplamının en büyük değeri 37 olur.
x + y toplamının en küçük olması için sayılar birbirine en uzak negatif sayılar seçilmelidir.
36 1
-
-x $ y=36
. .
x = –36 ve y = –1 seçilir. Buna göre, x + y toplamının en küçük değeri –37 olur.
Buna göre, x + y toplamının en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki fark,
37 – (–37) = 74 bulunur.
Cevap: A
4.
Bilgi:Bu tür ikili çarpma işlemlerinin olduğu ve pozitif tam sayılarda tanımlı olduğu durumlarda
• Toplamın en büyük değeri alabilmesi için, iki işlemde de ortak olan ifade (yani b) en küçük seçilmelidir.
• Toplamın en küçük değeri alabilmesi için, iki işlemde de ortak olan ifade (yani b) sonuçların ortak bölenlerinden büyük olanlarından biri seçil-melidir.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; a·b = 18
b·c = 24
ifadesine göre, a + b + c toplamının en büyük değeri alabilmesi için b değeri en küçük yani 1 seçilmelidir. O hâlde, 18 1 a $ b=18 . . 1 24 b $ c=24 . .
a = 18, b = 1 ve c = 24 olur. Buna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri,
. a b c olur 18 1 24 43 + + = + + =
a + b + c toplamının en küçük değeri alabilmesi için b değerinin sonuçların (yani 18 ve 24 ün) ortak bölenle-rinden büyük olanı yani 6 seçilmelidir. O hâlde,
3 6 a $ b=18 . . 6 4 b $ c=24 . .
a = 3, b = 6 ve c = 4 olur. Buna göre, a + b + c topla-mının en küçük değeri . a b c olur 4 3 6 13 + + = + + =
Buna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı,
43 + 13 = 56 bulunur.
www
.krakademi.com
Bu tür ikili çarpma işlemlerinin olduğu ve negatif tam sayılarda tanımlı olduğu durumlarda
• Toplamın en büyük değeri alabilmesi için, iki işlemde de ortak olan ifade (yani b) sonuçların ortak bölenlerinden küçük olanlarından biri seçil-melidir.
• Toplamın en küçük değeri alabilmesi için, iki işlemde de ortak olan ifade (yani b) en büyük seçilmelidir.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; a·b = 18
b·c = 12
ifadesine göre, a + b + c toplamının en küçük değeri alabilmesi için b değeri en büyük yani –1 seçilmelidir. O hâlde, 18 1 - -a $ b=18 . . 1 12 - -b $ c=12 . .
a = –18, b = –1 ve c = –12 olur. Buna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri, ( ) ( ) . a b c bulunur 18 1 12 31 + + = - + - + = -Cevap: E
Bu tarz sorularda çaprazlama metodu ile çözüm yapılır. Çaprazlama metodunda dikkat edilmesi gere-kenler aşağıdaki şekildedir:
• Önce varsa sadeleştirme işlemi yapılır.
• Daha sonra ilk sayıyı bulmak için sonucu tam bölmeyen katsayının değişkenine 0 değeri verilir. • Bulunan büyük sayı çaprazındaki sayı kadar azal-tılır. Azaltma işlemi tanım kümesine uygun (bu soruda tanım kümesi pozitif tam sayılardır) olarak yapılır.
• Bulunan küçük sayı çaprazındaki sayı kadar artı-rılır.
• Her sayının karşısına bir sayı gelecek şekilde düzenlenir.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 2x + 4y = 30
• Önce sadeleştirme yapılır. x + 2y = 15 tir.
• x in katsayısı yani 1, 15 i tam böldüğünden y ye 0 değeri verilerek ilk sayı bulunur.
Ancak ifade pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olduğundan (15, 0) sıralı ikilisi alınmaz. Dolayısıyla 7 tane (x, y) sıralı ikilisi vardır.
www
.krakademi.com
7.
Bilgi:• x + y + z toplamının en büyük olması için katsayı-sı küçük olan ifadenin en büyük seçilmesi gerekir. • Bir ifadenin en büyük olabilmesi için kalan
ifade-lerin en küçük seçilmesi gerekir.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 2x + 3y + 4z = 59
ifadesine göre x + y + z toplamının en büyük olabil-mesi için katsayısı küçük olan ifadenin yani x in en büyük seçilmesi gerekir.
x in en büyük değeri alabilmesi için y ve z nin en küçük değeri alması gerekir.
x, y ve z doğal sayılar kümesinde tanımlı oldukların-dan en küçük değer 0 dır. Sayılar birbirinden farklı olduğundan 0 değeri bir kez kullanılır. Bu durumda diğer değer 1 olacaktır.
Katsayısı büyük olana küçük değer yazılacağından;
. x y z x x x x dir 2 3 4 59 2 3 1 4 0 59 2 3 59 2 56 28 $ $ + + = + + = + = = =
Buna göre, x + y + z toplamının en büyük değeri,
. x y z bulunur 28 1 0 29 + + = + + = Cevap: A
8.
Bilgi:Üçlü eşitlik verilen durumlarda katsayıların Ekok u alı-nır. Ekok a göre ifadeler k cinsinden yazılarak çözüm daha kolay hâle getirilir.
Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse; 2x = 3y = 4z
ifadesinde katsayıların Ekok u bulunur. Ekok(2, 3, 4) = 12 dir.
O hâlde, ifadeler 12 veya 12 nin katlarına eşit olma-lıdır. k k k 6 4 3 x y z 2 =3 =4 . . .
x = 6k, y = 4k ve z = 3k olur. x + y + z toplamının iki basamaklı en büyük tam sayı değeri sorulduğundan k ye uygun bir değer verilir. Buna göre,
x y z k k k k 6 4 3 13 + + = + + = k = 7 için . x y z bulunur 13 7 91 $ + + = = Cevap: A
9.
A ve B taraf tarafa toplanırsa,. A x x B x x A B olur 15 8 5 5 8 8 23 2 2 = + -+ = - + + =
Toplamları verilen iki doğal sayının çarpımlarının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın seçilir.
A B 23
12 11
+ =
. .
A = 12 ve B = 11 seçilir. Bu durumda A·B çarpımının en büyük değeri, . A B bulunur 12 11 132 $ = $ = Cevap: E
www
.krakademi.com
en büyük olması gerekir. Sonucun en büyük olması için paydada bulunan değişkene en küçük değeri verilmelidir. b = 1 için , , a c a c a c 3 1 8 3 1 8 1 8 24 8 = = = = = = olur. Bu durumda, . a b c bulunur 24 1 8 33 + + = + + = Cevap: B
11.
Bu tür sorularda sonucun en büyük olması için pay-dası en küçük olmalıdır. İfadeler birbirinden farklı olacağından, a = 1, c = 2 ve b = 5 seçilirse . bulunur 1 20 5 5 2 12 20 1 6 27 + + = + + = Cevap: Cx ve y tam sayılar olmak üzere,
x y
1+1=1
eşitliğini sağlayan değerler x = 2 ve y = 2 dir. Bu bilgiler ışığında sorunun çözümüne dönülürse;
a 2b 5 a b
1
2 2
1 1
+ - + - - =
eşitliğinin sağlanabilmesi için a + 2b – 5 = 2 2a – b – 2 = 2 a + 2b = 7 dir. 2a – b = 4 tür. 2. eşitlik 2 ile çarpılır ve 1. eşitlikte toplanırsa
. a b a b a a t r 2 7 4 2 8 5 15 3 ü + = + - = = =
Bulunan a değeri denklemlerden herhangi birinde yerine yazılırsa, . a b b b b dir 2 7 3 2 7 2 4 2 + = + = = = Buna göre, . a b bulunur 3 2 6 $ = $ = Cevap: C
www
.krakademi.com
13.
Bu tür sorularda sıralamada en büyük olan değer yani c sonucun iki eksiği 25 – 2 = 23 alınır.23 c+ab=25
.
Bu durumda ab ifadesi de 2 ye eşit en büyük sayılar olması gerekir. a < b < c sıralamasına ve c = 23 değe-rine göre, b = 22, a = 11 alınırsa, c ba 25 23 11 22 + = 4 3 .
a + b + c toplamının en büyük değeri,
. a b c bulunur 11 22 23 56 + + = + + = Cevap: D
14.
Bu tür sorularda ifade ortak paranteze alınarak çar-pım durumuna getirilmelidir. ( ) . x y x x y x x y y x tir 2 21 2 21 2 21 2 21 $ $ $ = + - = - = - =x ve y pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olduğun-dan, x sayısı 21 i tam bölen pozitif tam sayılar (yani 1, 3, 7 ve 21) olmalıdır. O hâlde, ü . . . ü . x i in y y t r x i in y y dur x i in y y tir x i in y y t r 1 2 1 21 23 3 2 3 21 9 7 2 7 21 5 21 2 21 21 3 ç ç ç ç = - = = = - = = = - = = = - = =
Buna göre, y nin alabileceği değerler toplamı, 23 + 9 + 5 + 3 = 40 bulunur.
