Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarının geometrisi üzerine

T.C.

GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARININ GEOMETRİSİ ÜZERİNE

Ümit YILDIRIM

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARININ GEOMETRİSİ ÜZERİNE

Ümit YILDIRIM

TOKAT 2010

Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlak kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması olarak sunulmadığını beyan ederim.

İmza

Yüksek Lisans Tezi

KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARININ GEOMETRİSİ ÜZERİNE

Ümit YILDIRIM Gaziosmanpaşa Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN

Bu tezde Kenmotsu manifoldları, Ricci semi-simetrik Kenmotsu manifoldları, Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldları ve Killing tensör alanına sahip Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldlarını araştırdık. Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde araştırılan konunun güncelliği ve tez konumuzla ilgili yapılmış olan çalışmalar hakkında bilgi verdik. İkinci bölümde çalışmamız için gerekli olan bazı temel tanım ve teoremleri verdik. Üçüncü bölümde Kenmotsu manifoldunu, Kenmotsu manifold üzerindeki tensörün altmanifold üzerine indirgenen tensörü ve özelliklerini araştırdık. Bu bölümde Ricci semi-simetrik Kenmotsu manifoldunun Einstein manifoldu olduğunu gördük. Son bölüm tezimizin esas kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde Kenmotsu manifoldunun slant altmanifoldlarının karakterizasyonu üzerine bazı teoremler verip sonuçlarını inceledik. Daha sonra Killing tensör alanına sahip Kenmotsu manifoldların slant altmanifoldları üzerine bazı teoremler verip sonuçlarını inceledik. Sonra da slant altmanifold örnekleri ile konuyu açıklamaya çalıştık.

2010, 72 sayfa

Anahtar kelimeler: Kenmotsu manifoldları, slant açısı, slant altmanifold, Ricci- semi-simetrik, Killing tensör, invaryant altmanifold, anti-invaryant altmanifold.

Undergreduate Thesis

ON THE GEOMETRY OF SLANT SUBMANIFOLDS OF KENMOTSU MANIFOLDS

Ümit YILDIRIM Gaziosmanpaşa University

Faculty of Arts Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN

In this thesis, we have investigated Kenmotsu manifolds, Ricci- semi-symmetric Kenmotsu manifolds, slant submanifolds of Kenmotsu manifolds and slant submanifolds of Kenmotsu manifolds which have Killing tensor field. This thesis consist of four chapter. In the first chapter , we have given inform about the research subject and thesis work. In the second chapter, we have given the some theorems and definitions which will be use the other chapters. In the third chapter, we have investigated Kenmotsu manifolds, the induced tensor field on submanifold of Kenmotsu manifold and it’s properties. This chapter, we see that Ricci semi-symmetric Kenmotsu manifold is a Einstein manifold.The last chapter consist of the main section of our thesis. In this chapter we have given some theorems on characterization of slant submanifolds of Kenmotsu manifolds and researched their results. After then we have given some theorems on slant submanifolds of Kenmotsu manifolds which have Killing tensor field and obtained some results. We have given examples to illustrate our results. 2010, 72 pages

Key words: Kenmotsu manifolds, Slant angle, Slant submanifolds, Ricci

Bu tez çalışmasında, desteğini, ilgisini hiçbir zaman esirgemeyen ve her türlü sıkıntıda daima yanımda olan değerli hocam Doç. Dr. Mehmet ATÇEKEN’e en içten saygı ve sevgilerimi sunarım.

Ayrıca tez çalışmam boyunca fikirlerini ve zamanını esirgemeyen Yrd. Doç. Dr. Bahaddin BÜKCÜ hocama ve bölümdeki tüm hocalarıma teşekkür ederim.

Bu günlere gelmemde en büyük pay sahibi olan aileme teşekkürü bir borç bilirim.

Bu tez, 2009/65 nolu Bilimsel Araştırma Projesi olarak Gaziosmanpaşa Üniversitesi tarafından desteklenmiştir. Gaziosmanpaşa üniversitesine verdiği finansal destekten dolayı teşekür ederim.

ÖZET ………...i ABSTRACT ………...ii TEŞEKKÜR ………..iii 1. GİRİŞ VE LİTERATÜR ÖZETİ ...………..1 2. TEMEL KAVRAMLAR ………...2 2. 1 Topolojik Kavramlar ………...2 2. 2 Manifoldlar ………...4 2. 3 Altmanifoldlar ………....16 3. KENMOTSU MANİFOLDLARI ………...24

3. 1 Hemen hemen Kontak Metrik Manifoldlar ………...24

3. 2 Kenmotsu Manifoldlar ………...26

3. 3 Ricci Semi-Simetrik Kenmotsu Manifoldları ………...33

4. KENMOTSU MANİFOLDLARIN SLANT ALTMANİFOLDLARI ……...42

4. 1 Kenmotsu Manifoldların Slant Altmanifoldlarının Karakterizasyonu …...43

4. 2 Killing Tensör Alanına Sahip Kenmotsu Manifoldların Altmanifoldları ...56

5. SONUÇ ...68

KAYNAKLAR ...69

1. GİRİŞ VE LİTERATÜR ÖZETİ

İnvaryant ve anti-invaryant altmanifoldların bir genelleştirilmesi olan Slant altmanifoldların geometrisi 1990 dan beri çalışılmaya devam edilmektedir. Bir hemen hemen Hermitian manifoldun slant altmanifoldları konusu B. Y. Chen tarafından ortaya atılmıştır (Chen, 1990). 2_ve 4

kompleks manifoldlarda slant altmanifoldlarının örnekleri B. Y. Chen ve Y. Tazawa tarafından verilmiştir (Chen, 1990; Chen ve Tazawa, 1991). İlk olarak hemen hemen Kontak Metrik Manifoldun slant altmanifoldlarını tanımlayan ve inceleyen de A. Lotta’dır (Lotta, 1996). Lotta aynı zamanda K-Kontak manifoldların 3-boyutlu anti-invaryant olmayan slant altmanifoldlarının geometrisi üzerine çalışmalar yapmıştır (Lotta,1998). Daha Sonra, L. Cabrerizo ve diğerleri bir Sasakian manifoldun slant altmanifoldlarını incelemişler ve çok sayıda ilginç sonuç elde etmişlerdir (Cabrerizo ve ark., 2000). Atçeken, M. de

Riemanniann product, paracontact metrik manifold ve Kenmotsu manifoldlarında (warped çarpım) Semi-slant altmanifoldların geometrisi üzerine çalışmalar yapmıştır.

(Atçeken, 2008, 2010). Kenmotsu manifoldlar kompleks manifoldların tek boyutlu versiyonlarından biridir. Bir Hemen hemen kontak metrik manifold M ve M üzerindeki Levi-civita konneksiyonu ∇ olmak üzere, M Hemen hemen kontak metrik manifoldu eğer

(

∇_Xϕ

)

Y =g

(

ϕX Y,

)

ξ η−

( )

Y ϕX şartını sağlarsa M manifoldu Kenmotsu manifoldu olarak adlandırılır. M Kenmotsu manifoldunun bir alt manifoldu

M olmak üzere, M in slant altmanifold olmasının en önemli karakterizasyonu M üzerine indirgenen ϕ -tensör alanı P endomorfizminin P2 = −λ

(

I− ⊗η ξ

)

şartını sağlayacak şekilde bir λ∈

[ ]

0,1 sabitinin olmasıdır. Bu tez çalışmasında, bir altmanifoldun slant bir altmanifold olmasını karakterize eden başka teorem ve sonuçlara yer verilmiştir. Daha sonra bir Killing tensör alanına sahip Kenmotsu manifoldların altmanifoldları ve slant altmanifoldları incelenmiştir. Daha sonra da konu örneklerle açıklanmaya çalışılmıştır.

2. TEMEL KAVRAMLAR  

2. 1. Topolojik Kavramlar  

Tanım 2.1.1: X bir küme ve τ da X in kuvvet kümesinin bir altkümesi olsun. Eğer i. X,∅ ∈τ

ii. τ da alınan sonlu sayıda elemanların birleşimi τ ya aittir. Yani ∀

{ }

Ai i I∈ ⊂ (τ I sonlu bir indis kümesi ) için i

i I∈ A τ

∪ ∈ dır.

iii. τ da alınan sonlu sayıda elemanların kesişimi τ ya aittir. Yani ∀

{ }

Ai i J∈ ⊂ ( J sonlu indis kümesi ) için τ i

i J∩∈ A ∈τ dır.

aksiyomları sağlanırsa, τ ya X üzerinde bir topoloji denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.1.2: τ topolojisi ile donatılmış X kümesine veya

(

X,τ

)

ikilisine topolojik uzay denir.

Tanım 2.1.3: τ nın her elemanına, X üzerinde τ tarafından tanımlanan topolojiye göre bir açık küme denir.

Tanım 2.1.4: X uzayına göre tümleyeni açık olan kümeye τ tarafından tanımlanan topolojiye göre kapalı küme denir.

Tanım 2.1.5:

(

X,τ

)

bir topolojik uzay ve X in bazı açık altkümelerinin sınıfı B olsun. X in her açık altkümesi B nin elemanlarının herhangi bir birleşimi olarak yazılabiliyor ise, B ye X uzayının bir bazı denir.

Tanım 2.1.6:

(

X,τ

)

bir topolojik uzay ve A⊂ X olsun.

{

'

}

A G A G G

kümeler sınıfı A üzerinde bir topolojik yapıdır. A üzerinde τ tarafından türetilen τ_A topolojisine, X uzayının indirgenen ( relatif, bünyesel ) topolojisi denir. Bu durumda,

(

A,τ_A

)

topolojik uzayına

(

X,τ

)

uzayının alt uzayı denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.1.7: X boştan farklı bir küme ve : xd X X → bir fonksiyon olsun. Eğer X z y x ∈ ∀ , , için i. x≠ y için d x y

( )

, > (2.1.1) 0 ii. d x y

( )

, = ⇔ = 0 x y (2.1.2) iii. d x y

( )

, =d y x

( )

, (2.1.3) iv. d x y

( )

, ≤d x z

( )

, +d z y

( )

, (2.1.4)

aksiyomları sağlanıyor ise d fonksiyonuna X üzerinde bir metrik denir (Aslım, 1988). Tanım 2.1.8: X bir topolojik uzay, x∈ olsun. x noktasını içeren bir U X altkümesinin her N üst kümesine x noktasının bir komşuluğu denir (Aslım, 1988) Tanım 2.1.9:

(

X,τ

)

ve

(

X',τ herhangi iki topolojik uzay, '

)

f :X → X'bir fonksiyon ve xo∈X olsun.

'

X uzayında f x

( )

₀ ın her N' komşuluğu için f N

( )

⊂N' olacak şekilde, X uzayında x ın bir N komşuluğu varsa, ₀ f fonksiyonuna x noktasında ₀ τ ve _{τ ye göre sürekli,} ' _{τ τ−} ' _{sürekli veya kısaca süreklidir denir (Aslım, 1988).} Tanım 2.1.10: X topolojik uzayının her farklı x y, noktası için N∩M = ∅ olacak şekilde x noktasının bir N komşuluğu ve y noktasının bir M komşuluğu varsa, X topolojik uzayına Hausdorff uzayı ( kısaca H- uzayı ) denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.1.11:

(

X,τ

)

bir topolojik uzayının açık altkümelerinin sınıfı g olsun. Eğer G U X g G∈ =

ise g sınıfına

(

X,τ

)

uzayının bir açık örtüsü denir. Eğer g nin bir altkümesi X uzayını

Tanım 2.1.12:

(

X,τ

)

topolojik uzayının her g açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa

(

X,τ

)

uzayına kompakt uzay denir.

Tanım 2.1.13: X topolojik uzayının her x noktası X uzayında kompakt olan bir komşuluğa sahip ise, X uzayına yerel kompakt uzay denir.

Kompakt bir uzay yerel kompakt uzaydır. Fakat tersi doğru değildir.

Tanım 2.1.14:

(

X,τ

)

bir topoloji uzay ve A⊂ X olsun.

(

A,τ_A

)

uzayı kompakt ise, A kümesine X uzayının kompakt altkümesi denir.

Tanım 2.1.15:

(

X,τ

)

topolojik uzayı boş olmayan ayrık açık iki kümenin birleşimi olarak yazılamıyorsa,

(

X,τ

)

uzayına bağlantılıdır aksi halde bağlantısızdır denir. Tanım 2.1.16:

(

X,τ

)

bir topolojik uzay ve

(

X,τ

)

topolojik uzayının açık örtüleri sırasıyla U =

{ }

u_{α α∈I} ve

{ }

j

v

V = _{β β∈} olsun. Eğer V nin her bir açık kümesi U nun bir açık kümesi içinde bulunuyorsa V ye U nun inceltilmişidir denir.

Tanım 2.1.17: Bir

(

X,τ

)

topolojik uzayı Hausdorff ve her açık örtüsünün bir lokal sonlu incelmesi varsa topolojik uzaya parakompakttır denir.

2. 2. Manifoldlar

Tanım 2.2.1: X ve X topolojik uzaylar arasındaki ' f fonksiyonu bijektif ( yani, 1-1 ve örten ) , sürekli ve 1

f− tersi de sürekli ise, f fonksiyonuna bir homeomorfizma (topolojik dönüşüm) denir. Bu halde X ve X uzaylarına homeomorfiktirler ' (topolojik olarak eştirler) denir (Aslım, 1988).

Tanım 2.2.2: X, Hausdorff uzayı olmak üzere herhangi bir U ⊂ X açık kümesinden

n

:U V

ϕ →

homeomorfizmine, X de n− boyutlu koordinat sistemi veya harita, U açık kümesine de, ϕ haritasının koordinat komşuluğu veya koordinat bölgesi denir. Harita

(

U,ϕ

)

şeklinde gösterilir (Hacısalihoğlu, 1980).

Eğer, x U∈ ise

( )

(

1

)

,..., n n x x x ϕ = ∈ dir. Buradaki 1_,..., n

x x reel sayılarına ϕ haritasında x noktasının koordinatları denir. Tanım 2.2.3: M bir topolojik uzay olsun. M nin her noktasının E e veya n E in bir n U açık altkümesine homeomorf olan bir koordinat komşuluğu varsa, M ye n− boyutlu topolojik manifold denir (Hacısalihoğlu, 1980).

Tanım 2.2.4: X Hausdorff uzayı ve k da k ≥ şartını sağlayan tamsayı olsun. 0 Aşağıdaki şartları sağlayan

{

(

U_α,ϕ_α

)

:α∈A U, _α ⊂ X

}

lokal koordinat ailesine X üzerinde k

C sınıfından bir atlas denir.

i Lokal haritaların U_α bölgesi X i örter. Yani X , n− boyutlu topolojik manifolddur.

ii. ∀α β, ∈A için, Uα ∩Uβ ≠ ∅ olacak biçimde ∀α β, ∈Aiçin,

(

)

(

)

1_: U U U U β α α α β β α β ϕ οϕ − ϕ _{∩ →}ϕ _∩ dönüşümü k C sınıfındandır (Hacısalihoğlu, 1980).

Tanım 2.2.5: M bir n− boyutlu topolojik manifold ve S =

{

(

Uα,ψα

)

}

_α de M nin bir atlası olsun. Eğer S atlası aşağıdaki özelliğe sahip ise S ye ,r 1,

C r ≥ sınıfındandır denir. U_α ∩U_β ≠ ∅ olmak üzere, ∀α β, ∈A için

      φαβ =ψ οψα β−1:ψβ

(

Uα ∩Uβ

)

→ψα

(

Uα ∩Uβ

)

    ve 

(

)

(

)

1 : U U U U βα β α α α β β α β φ ₌ψ οψ − ψ _{∩ →}ψ _∩

fonksiyonları r

C sınıfındandır. Eğer S atlası Müzerinde Cr sınıfından ise S ye M üzerinde bir r

C sınıfından diferensiyellenebilir yapı denir (Hacısalihoğlu, 1980). Tanım 2.2.6: M bir n− boyutlu topolojik manifold ve M nin S atlası r

C sınıfından olsun. O zaman M ye n− boyutlu diferensiyellenebilir manifold denir (Hacısalihoğlu, 1980).

Tanım 2.2.7: : m n

M N

φ → diferensiyellenebilir dönüşümünün tersi var ve tersi de diferensiyellenebilir ise φ dönüşümüne diffeomorfizma adı verilir. M ve N manifoldları verildiğinde, M den N ye giden bir diffeomorfizma var ise, M manifoldu, N manifolduna diffeomorfiktir denir.

Tanım 2.2.8: M bir manifold ve p∈M olsun. p− noktasındaki diferensiyellenebilir fonksiyonların kümesi C p

( )

olmak üzere, Vp :C p

( )

→ dönüşümü

i. Vp

(

af +bg

)

=aVp

( )

f +bVp

( )

g ∀f g, ∈C p a b

( )

, , ∈ (2.2.1)

ii. V_p

( )

f g. =V_p

( ) ( )

f .g p + f p V

( ) ( )

_p g (2.2.2) özelliklerini sağlıyorsa V_p ye M nin p noktasındaki tanjant vektörü denir.

M nin p noktasındaki tanjant vektörlerin kümesi TM

( )

p ile gösterilir. Buna göre

( )

:

(

,

)

lineer ve leibnitz p p M T p V V C M → → ∞ ⎧ ⎫ =_⎨ ⎯⎯⎯⎯⎯→ _⎬

⎩ ⎭ ile gösterelim. Bu kümede iç ve dış

işlemler sırasıyla, ⊕:TM

( )

p xTM

( )

p →TM

( )

p

(

)

, : , p p p p V W V W C M → → → → ∞ ⎛ _{⎞ → ⊕ →} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

[ ]

[ ]

[ ]

p p p p V W f V f W f → → → → ⎛ _⊕ ⎞ _{= +} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ve : xTM

( )

p →TM

( )

p λ,Vp λVp :C

(

M,

)

→ → ∞ ⎛ _{⎞ → →} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

[ ]

[ ]

(

)

, , p p V f V f f C M λ→ λ→ ∞ ⎛ ⎞ _{= ∀ ∈} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

şeklinde tanımlanırlar. Bu işlemlere göre T_M

( )

p reel sayılar cismi üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu uzaya M nin pnoktasındaki Tanjant uzayı denir (Hacısalihoğlu, 1980). Tanım 2.2.9: M bir n− boyutlu manifold ve p M∈ noktasındaki tanjant uzay T_M

( )

p olsun.

( )

{

:

( )

lineer

}

M p p M

T ∗ p = W W T p ⎯⎯⎯→

uzayına T_M

( )

p nin pnoktasındaki dual uzayı veya kotanjant uzay denir.

Tanım 2.2.10: M _{, n − boyutlu bir manifold ve} M manifoldunun kotanjant uzayı

( )

M

T ∗ p olsun. W p

( )

∈T_M∗

( )

p elemanına bir kovektör denir. Her bir W kovektörü ; U , M nin bir koordinat komşuluğu olmak üzere

( )

: _M p U W U T ∗ p ∈ → ∪

( )

: _M

( )

p→W p T p →

şeklinde tanımlı bir lineer fonksiyon olup, M üzerinde bir 1 form− adını alır (O’Neill, 1983).

Tanım 2.2.11: Reel sayılar cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı V ve *

V ,V nin duali olsun.

(

r *s _:

)

L V +V =

{

_: r_x *s (r s lineer)

}

f f V V ⎯⎯⎯⎯→+ kümesinde iç ve dış işlemler sırasıyla

(

f ⊕g

)(

α1,...,α βr, ,...,1 βs

)

= f

(

α1,...,α βr, ,...,1 βs

)

+g

(

α1,...,α βr, ,...,1 βs

)

şeklinde tanımlanırlar. Bu uzaya r. mertebeden kovaryant ve s . mertebeden

kontravaryant tensör uzayı denir. Bu uzayın elemanlarına da (r s, ) mertebeli tensör

denir (Boothby, 1986).

Tanım 2.2.12: M diferensiyellenebilir bir manifold ve M üzerindeki diferensiyellenebilir fonksiyonların kümesi C∞

(

M,

)

olsun.

(

)

(

)

: , ,

X C∞ M →C∞ M dönüşümü

i. X af

(

+bg

)

=aX f

( )

+bX g

( )

∀f g, ∈C∞

(

M,

)

, ,a b∈ (2.2.3) ii. X f g

(

.

)

= X f

( )

.g+ fX g

( )

(2.2.4) özelliklerini sağlıyorsa X e M üzerinde bir vektör alanı denir. M üzerindeki vektör alanların cümlesi χ

( )

M ile gösterilir (Boothby, 1986).

Tanım 2.2.13: M bir manifold ve M üzerindeki vektör alanları cümlesi χ

( )

M olmak üzere X Y, ∈χ

( )

M için

[ ]

, :χ

( ) ( )

M xχ M → χ

( )

M ∀ ∈f C∞

(

M,

)

[

X Y,

]

= X Yf

( )

−Y Xf

( )

ile tanımlanan fonksiyona ve X Y nin Lie ( bracket ) operatörü denir. Lie operatörü,

(

)

( )

, , ve , , f g C∞ M X Y Z χ M ∀ ∈ ∀ ∈ olmak üzere, i.

[

X Y f,

]

∈C∞

(

M,

)

(2.2.5) ii.

[

fX +gY

]

= fg X Y

[

,

]

+ f X g Y

(

[ ]

)

−g Y f

(

[ ]

)

X (2.2.6) iii.

[

X Y,

] [

= − Y X,

]

(2.2.7) iv. _⎣⎡

[

X Y,

]

,Z_{⎦ ⎣}⎤ ⎡+

[

Y Z,

]

,X⎤ ⎡_{⎦ ⎣}+

[

Z X,

]

,Y⎤_⎦=0 (2.2.8)

Tanım 2.2.14: M ve M m ve n boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar ve :

f M →M fonksiyonu p noktasında diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

( )

(

( )

)

: M M

f_∗ T p →T f p

V_p → f_{∗ p}

( )

V_p =

(

V_p

[ ]

f_{1 f p( )},...,V_p

[ ]

f_{n f p( )}

)

ile tanımlı f_∗ dönüşümüne f nın türev dönüşümü denir. Eğer g∈C M

(

,

)

, f p

( )

nin komşuluğunda diferensiyellenebilir bir fonksiyon ise

(

f V_∗

( )

_p

)

g =V_p

(

gof

)

(2.2.9) dır (Hacısalihoğlu, 1980).

Teorem 2.2.1: Manifoldlar arasındaki türev dönüşümü lineerdir.

Tanım 2.2.15: M bir manifold ve g, M üzerinde

( )

2, 0 mertebeli tensör alanı olsun. Eğer gtensör alanı her X Y, ∈χ

( )

M için

i. g X Y

(

,

)

=g Y X

(

,

)

(2.2.10) ii. g X X

(

,

)

≥0 ve g X X

(

,

)

= ⇔0 X = 0 (2.2.11) şartları sağlanıyorsa gye Riemann metriği denir. g Riemann metriği ile birlikte tanımlı bir manifolda Riemann manifoldu denir. Bir M manifoldu üzerindeki gRiemann metriği T_M

( )

p üzerinde iç çarpım ile tanımlanır.

{

x1,...,xn

}

M de lokal koordinat sistemi olsun. Burada g nin bu lokal koordinat

sistemine göre bileşenleri,

, ij i j g g x x ⎛ _{∂ ∂} ⎞ = ⎜_⎜ ⎟_⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠

şeklindedir. Burada P, 1

i

i n x

∂ _{≤ ≤}

∂ , TM

( )

p nin bir bazıdır (O’Neill, 1983).

Tanım 2.2.16: M bir diferensiyellenebilir manifold ve M üzerindeki C∞ vektör alanlarının cümlesi χ

( )

M olmak üzere;

( ) ( )

( )

: x bilineer M M M χ χ χ ∇ ⎯⎯⎯→

(

X Y,

)

⎯⎯⎯→∇

(

X Y,

)

= ∇XY dönüşümü ∀f g, ∈C∞

(

M,

)

ve ∀X Y Z, , ∈χ

( )

M için, i. ∇X

(

Y +Z

)

= ∇XY + ∇XZ (2.2.12) ii. ∇_{fX gY+} Z = ∇f _XZ+ ∇g _YZ (2.2.13) iii. ∇X

( )

fY = ∇f XY +X f Y

( )

(2.2.14)

özelliklerini sağlıyorsa, ∇ ya M üzerinde bir afin konneksiyon, ∇ e de X X e göre

kovaryant türev operatörü denir (Hacısalihoğlu, 1983).

Tanım 2.2.17:

(

M g,

)

bir Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde tanımlanan bir afin konneksiyon olsun. O zaman ∀X Y Z, , ∈χ

( )

M olmak üzere ∇ dönüşümü ;

i. ∇_XY − ∇_YX =

[

X Y,

]

( Konneksiyonun sıfır torsiyon özeliği ) ii. Xg Y Z

(

,

)

= g

(

∇XY Z,

)

+g Y

(

,∇XZ

)

( Konneksiyonun metrikle bağdaşma özeliği )

şartlarını sağlıyorsa ∇ ya M üzerinde sıfır torsiyonlu konneksiyon, (Riemann konneksiyonu) veya Levi-Civita konneksiyonu denir (Hacısalihoğlu, 1983). Tanım 2.2.18:

(

M g,

)

, n− boyutlu Riemann manifoldu ve ∇ da M üzerinde tanımlanan Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere ∀X Y Z, , ∈χ

( )

M için,

(

)

(

)

(

)

(

)

2g ∇XY Z, = Xg Y Z, +Yg Z X, −Zg X Y,

ile tanımlanan ifadeye Kozsul formülü adı verilir. Tanım 2.2.19: U ⊂M üzerinde

Γ

k_ij fonksiyonları,

1 m k i _ij k i i y = y ⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ∇ _{⎜ ⎟}= _{⎜ ⎟} ∂ ∂ ⎝ ⎠

∑Γ

⎝ ⎠ olmak üzere k ij

Γ

katsayılarına ∇ nın konneksiyon katsayıları (ya da Christoffel sembolleri) denir.

Tanım 2.2.20:

(

M g,

)

bir Riemann manifoldu , ∇ de M üzerinde Levi-civita konneksiyonu olsun.

R:χ

( ) ( ) ( )

M xχ M xχ M → χ

( )

M

R X Y Z

(

,

)

= ∇ ∇_{X Y}Z − ∇ ∇_{Y X}Z − ∇_{[X Y, ]}Z (2.2.16) ile tanımlanan R fonksiyonu M üzerinde bir ( 3, 1 )- tipinde tensör alanıdır. Bu tensör

M nin Riemann eğrilik tensörü olarak adlandırılır (O’Neill, 1983).

( )

W χ M

∀ ∈ için K X Y Z W

(

, , ,

)

= g R X Y Z W

(

(

,

)

,

)

tensörüne de M nin Riemann-Christoffel eğrilik tensörü adı verilir (O’Neill, 1983).

( )

, , , ,

X Y Z V W χ M

∀ ∈ Riemann eğrilik tensörü aşağıdaki özelliklere sahiptir.

i. R X Y Z

(

,

)

= −R Y X Z

(

,

)

(2.2.17) ii. g R X Y V W

(

(

,

)

,

)

= −g R X Y W V

(

(

,

)

,

)

(2.2.18) iii. R X Y Z

(

,

)

+R Y Z X

(

,

)

+R Z X Y

(

,

)

= (2.2.19) 0 iv. g R X Y V W

(

(

,

)

,

)

=g R V W X Y

(

(

,

)

,

)

(2.2.20)

Tanım 2.2.21:

(

M g,

)

, m - boyutlu Riemann manifoldu ve

{

e e₁, ,...,₂ e_m

} ( )

,χ M in bir bazı olsun. Q:χ

( )

M →χ

( )

M

( )

(

)

1 , m i i i X Q X QX R e X e = → = = −

∑

biçiminde tanımlanan Q operatörüne M nin Ricci operatörü denir.

Tanım 2.2.22:

(

M g,

)

, m− boyutlu bir Riemann manifoldu ve

{

e₁,...,em

}

, χ

( )

M de

lokal ortonormal vektör alanları olsun.

S:χ

( ) ( )

M xχ M C

(

M,

)

∞ →

(

)

(

)

(

(

)

)

1 , , m i, , i i X Y S X Y g R e X Y e = → =

∑

(2.2.21) şeklinde tanımlı ( 2, 0 )- tipindeki tensör alanına M üzerinde Ricci eğrilik tensörü adı

verilir (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 2.2.23:

(

M g,

)

bir Riemann manifoldu olsun. T_M

( )

p tanjant uzayının iki boyutlu alt uzayı Π olmak üzere ,V W∈Π tanjant vekörleri için Q fonksiyonu ;

(

)

(

) (

)

(

)

2

, , , ,

Q V W =g V V g W W −g V W biçiminde tanımlansın. Q V W

(

,

)

≠0 olmak üzere ;

(

)

(

(

)

)

(

)

, , , , g R V W W V K V W Q V W = (2.2.22)

olup buna Π nin kesit eğriliği denir ve K

( )

Π ile gösterilir (O’Neill, 1983).

p M

∀ ∈ ve V W_p, _p ∈T_M

( )

p için K V W

(

p, p

)

sabit ise M ye sabit kesit eğrilikli uzay

Bu halde M Riemann manifoldu reel uzay form ise M _nin R−Riemann eğrilik tensörü

R X Y Z

(

,

)

=c g Y Z X

{

(

,

)

−g X Z Y

(

,

)

}

(2.2.23) şeklindedir.

Tanım 2.2.24:

(

M g,

)

, m− boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. ∀X Y, ∈M için S X Y

(

,

)

=λg X Y

(

,

)

(2.2.24) olacak biçimde M üzerinde bir λ fonksiyonu varsa, yani M nin Ricci tensörü

S metrik tensör g nin bir katı ise M ye Einstein manifoldu adı verilir (O’Neill, 1983). Tanım 2.2.25:

(

M g,

)

, m− boyutlu bir Riemann manifoldu ve

{

e₁,...,e_m

}

lokal ortonormal vektör alanları olmak üzere

(

)

1 , m i i i S e e τ = =

∑

(2.2.25) değerine M nin skaler eğriliği denir (O’Neill, 1983).

Tanım 2.2.26: M, 2

(

m+ − boyutlu bir Riemann manifoldu olmak üzere 1

)

( )

, , X Y Z χ M ∀ ∈ için

(

,

)

(

,

)

1

(

,

)

(

,

)

2 P X Y Z R X Y Z S Y Z X S X Z Y m = − ⎡_⎣ − ⎤_⎦ (2.2.26)

ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl projektif eğrilik tensör alanı denir (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 2.2.27: M, 2

(

m+ − boyutlu bir Riemann manifoldu olmak üzere 1

)

( )

, ,

X Y Z χ M

(

,

)

(

,

)

1

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

2 1 C X Y Z R X Y Z S X Y Z S Y Z X g X Z QY g Y Z QX m = + ⎡_⎣ − + − ⎤_⎦ +

(

) (

,

)

(

,

)

2m 2m 1 g X Z Y g Y Z X τ − ⎡_⎣ − ⎤_⎦ − (2.2.27) ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl conformal eğrilik tensör alanı denir (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 2.2.28: C = ise 0 M manifoldu Conformal flat olarak adlandırılır (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 2.2.29: M, 2

(

m+ − boyutlu bir Riemann manifoldu olmak üzere 1

)

( )

, , X Y W χ M ∀ ∈ için

(

,

)

(

,

)

₍

_{) (}

,

)

(

,

)

2 2 1 Z X Y W R X Y W g Y W X g X W Y m m τ = − ⎡_⎣ − ⎤_⎦ − (2.2.28)

ile tanımlı tensör alanına M manifoldunun Weyl concircular eğrilik tensör alanı denir (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 2.2.30: M , m− boyutlu bir manifold olsun. M üzerinde,

( )

: _M

D M → T p

p→ Dp ⊂TM

( )

p

ile tanımlı D dönüşümüne distribüsyon denir.

( )

X ∈χ M için, Xp ∈Dpise X vektör alanı D ye aittir denir. Eğer her p noktası için

D ye ait r tane diferensiyellenebilir lineer bağımsız vektör alanı var ise D ye diferensiyellenebilirdir denir (Bejancu, 1986).

, X Y D

∀ ∈ için

[

X Y,

]

∈D ise D ye integrallenebilir denir (Yano ve Kon, 1984). N bir C∞ manifold ve D, N üzerinde m− boyutlu distribüsyon ve M , N manifoldunun bir altmanifoldu olsun. Eğer ∀ ∈p M için, TM

( )

p ile Dp bir birine eşit ise M ye D

Yani,

:

f M → N bir imbedding olmak üzere,

p M

∀ ∈ için f T_∗

(

_M

( )

p

)

=D_p

dir. Eğer D nin M yi kapsayan başka bir integral manifoldu yoksa M ye D nin bir maksimal integral manifoldu denir (Duggal ve Bejancu, 1996).

N bir C∞ manifold ve M, N manifoldunun bir altmanifoldu olsun. Eğer ∀ ∈p M için D nin p noktasını kapsayan bir maksimal integral manifoldu varsa D

distrübüsyonuna integrallenebilirdir denir.

N bir manifold ve ∇ , N üzerinde lineer konneksiyon olsun. Eğer,

( )

X ∈ Γ TN , Y∈ Γ

( )

D için ∇_XY∈ Γ

( )

D

ise D distrübüsyonu paraleldir denir (Duggal ve Bejancu, 1996).

Tanım 2.2.31: M bir reel diferensiyellenebilir manifold olsun. Eğer her p∈M noktası için 2

J = −I olacak biçimde TM

( )

p tanjant uzayının bir J endomorfizmi

mevcut ise, M üzerindeki J tensör alanına bir hemen hemen kompleks yapı adı verilir. Bir J hemen hemen kompleks yapısı ile verilen manifolda bir hemen hemen kompleks manifold denir (Yano ve Kon, 1976).

Tanım 2.2.32: M diferensiyellenebilir bir manifold olmak üzere, M üzerinde

( )

1,1 - tipinde bir tensör alanı F olsun. ∀X Y, ∈χ

( )

M için,

(

_,

)

2

[

_,

] [

_,

]

[

_,

]

[

_,

]

F

N X Y =F X Y + FX FY −F FX Y −F X FY (2.2.29) şeklinde tanımlı N tensör alanına Nijenhuis torsiyon tensörü adı verilir. Burada FF = J

(

_,

)

2

[

_,

] [

_,

] [

_,

] [

_,

]

J

N X Y = J X Y + JX JY −J JX Y −J X JY = −

[

X Y,

] [

+ JX JY,

] [

−J JX Y,

] [

−J X JY,

]

eşitliği yazılır (Yano ve Kon, 1976).

Tanım 2.2.33:

(

M J,

)

, bir hemen hemen kompleks manifold olsun. Eğer, M üzerinde 0

J

N = ise M ye bir kompleks manifold denir (Yano ve Kon, 1976).

Tanım 2.2.34:

(

M J,

)

, bir hemen hemen kompleks manifold olsun.M üzerinde

( )

, X Y χ M ∀ ∈ için;

(

,

)

(

,

)

g JX JY =g X Y

şeklinde verilen gRiemann metriğine Hermityan metrik denir (Yano ve Kon, 1976). Hermityan metriği ile verilen hemen hemen kompleks manifolda hemen hemen hermityan manifold adı verilir. Ayrıca, Hermityan metriği ile verilen kompleks manifolda Hermityan manifold denir (Yano ve Kon, 1976).

2. 3. Altmanifoldlar

Tanım 2.3.1: M M sırasıyla , m ve n boyutlu Riemann manifoldlar olsun. :

f M →M C∞ dönüşümü için, boy f T

(

_∗

(

_M

( )

p

)

)

= ise q f nin p∈M noktasındaki rankı qolup, rank f

( )

= ile gösterilir. Eğer q boy M

( )

=rank f

( )

ise f ye

immersiyon (daldırma) denir. Bu durumda M ye de M nin immersed altmanifoldu denir.

f immersiyonu 1 1− ise f ye imbeding (gömme), M ye de M nin gömülen altmanifoldu yada sadece altmanifoldu denir (Chen 1973).

Tanım 2.3.2:

(

M g,

)

ve

(

M g,

)

sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları, :

f M →M bir immerisyon olsun. ∀X Y, ∈T_M

( )

p için

(

_p , _p

)

(

,

)

g f X f Y∗ ∗ =g X Y

ise f ye izometrik immersiyon (metrik koruyan immersiyon) adı verilir (Chen 1973). Tanım 2.3.3: M ve M sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere M manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. ∇ ve ∇ sırası ile M ve M de kovaryant türevler olsun. Böylece X ve Y, M üzerinde vektör alanları olmak üzere;

( ) ( )

( )

: x

h χ M χ M →χ⊥ M

∇XY = ∇XY+h X Y

(

,

)

(2.3.1)

biçiminde Gauss eşitliği elde edilir. Burada ∇XY ve h X Y

(

,

)

, ∇XY nin sırasıyla teğet

ve normal bileşenleridir. Burada h ya M nin ikinci temel formu adı verilir. Eğer h= 0 ise M ye total geodeziktir denir (Chen, 1973).

Tanım 2.3.4: M ve M sırasıyla m ve n boyutlu Riemann manifoldları olmak üzere M manifoldunun bir altmanifoldu M olsun. M ye normal birim vektör alanı N ve

XN

∇ nin teğet ve normal bileşenleri sırası ile, −A X_N ve ∇⊥_XN olmak üzere,

( ) ( )

( )

: x A χ⊥ M χ M →χ M dönüşümü iyi tanımlıdır. Böylece XN A XN XN ⊥ ∇ = − + ∇ (2.3.2) biçiminde Weingarten eşitliği elde edilir. Burada A ye şekil operatörü, _N ∇⊥ e de M nin T M⊥ normal demetindeki (normal) konneksiyon adı verilir (Chen 1973).

Sonuç 2.3.1: M nin şekil operatörü A ve ikinci temel formu h arasında _N

(

_N ,

)

(

(

,

)

,

)

g A X Y =g h X Y N (2.3.3) bağıntısı vardır. Burada g, T_M

( )

p deki Riemann metriğidir (Chen, 1973).

Ispat : X Y, ∈χ

( )

M , N∈χ⊥

( )

M için,

(

,

)

0 g Y N =

(

,

)

0 Xg Y N =

(

_X ,

) (

, _X

)

0 g ∇ Y N +g Y ∇ N =

(

)

(

_X , ,

)

(

, _{N X}

)

0 g ∇ Y+h X Y N +g Y −A X + ∇⊥ N =

(

_X ,

)

(

(

,

)

,

)

(

, _N

)

(

, _X

)

0 g ∇ Y N +g h X Y N +g Y −A X +g Y ∇⊥ Y =

(

)

(

, ,

)

(

, _N

)

0 g h X Y N −g Y A X = g; simetrik olduğundan,

(

N ,

)

(

(

,

)

,

)

g A X Y =g h X Y N eşitliğinin sağlandığı görülür.

Tanım 2.3.5:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n− boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

olsun. M altmanifoldunun ikinci temel formu h nın kovaryant türevi ∇h,

(

Xh Y Z

)

(

,

)

Xh X Y

(

,

) (

h XY Z,

) (

h Y, XZ

)

⊥

∇ = ∇ − ∇ − ∇ (2.3.4)

biçiminde tanımlanır. h ın kovaryant türevi ∇h ya M nin üçüncü temel formu adı verilir (Chen, 1973).

Eğer, ∇ =h 0 ise M ye paralel ikinci temel formlu veya 1- paraleldir denir. Buradaki

∇, M nin T M⊥ normal demetindeki tanımlanan normal konneksiyon olup buna van der Waerden Bortolotti konneksiyonu denir (Chen, 1973).

Tanım 2.3.6:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n− boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

olsun. M nin eğrilik tensörü R , ∀X Y Z W, , , ∈χ

( )

M için,

R X Y Z

(

,

)

= ∇ ∇X YZ− ∇ ∇Y XZ − ∇_[X Y_{, ]}Z (2.3.5)

K X Y Z W

(

, , ,

)

= g R X Y Z W

(

(

,

)

,

)

(2.3.6)

biçiminde tanımlanır. M nin eğrilik tensörü Rve M nin eğrilik tensörü R olmak üzere, ∀X Y Z, , ∈χ

( )

M için, Gauss ve Weingarten eşitlikleri yardımıyla

(

,

)

X Y Y X [X Y, ] R X Y Z = ∇ ∇ Z− ∇ ∇ Z− ∇ Z = ∇ ∇X

(

YZ+h Y Z

(

,

)

)

− ∇ ∇Y

(

XZ +h X Z

(

,

)

)

− ∇

(

_[X Y_{, ]}Z −h

(

[

X Y,

]

,Z

)

)

= ∇ ∇_{X Y}Z+h X

(

,∇_YZ

) (

+ ∇_Xh Y Z

)(

,

) (

+ ∇h _XY Z

)

− ∇h

(

_YX Z

)

−h X

(

,∇_YZ

)

− ∇_{[X Y, ]}Z−h

(

[

X Y,

]

,Z

)

−A_{h Y Z( , )}X + A_{h X Z( , )}Y =R X Y Z

(

,

)

−Ah Y Z_{( , )}X +Ah X Z_{( , )}Y + ∇

(

Xh Y Z

)(

,

) (

− ∇Yh

)(

X Z,

)

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafına W∈χ

( )

M ile çarptığımızda, R X Y Z W

(

, , ,

)

=R X Y Z W

(

, , ,

)

−g h Y Z

(

(

,

) (

,h X W,

)

)

+g h X Z

(

(

,

) (

,h Y W,

)

)

(2.3.7) eşitliği elde edilir. Bu eşitliğe Gauss denklemi adı verilir (Chen, 1973). Gauss denkleminin teğet ve normal bileşenleri sırasıyla

(

)

(

,

)

(

,

)

₍ , _{) (} , ₎ T h X Z h Y Z R X Y Z =R X Y Z +A Y −A X (2.3.8) ve

(

)

(

R X Y Z,

)

(

Xh Y Z

)

(

,

)

( )

Yh

(

X Z,

)

⊥ = ∇ − ∇ (2.3.9)

biçiminde olup, (2.3.9) eşitliğine Codazzi denklemi adı verilir. Burada ∇, M üzerinde Riemann konneksiyonudur. Ayrıca M nin normal demetinin eğrilik tensörü,

( )

, X Y χ M ∀ ∈ ve V∈χ

( )

M ⊥ olmak üzere;

(

,

)

X Y Y X [X Y, ] R⊥ X Y Z = ∇ ∇⊥ ⊥ V − ∇ ∇⊥ ⊥ V − ∇⊥ V (2.3.10) ile tanımlıdır. (2.3.10) eşitliğinde Gauss ve Weingarten eşitlikleri kullanılırsa,

(

,

)

X Y Y X _[X Y, _] R X Y Z = ∇ ∇ V − ∇ ∇ V − ∇ V X

(

YV A YV

)

Y

(

XV A XV

)

(

_[X Y_{, ]}V AV

[

X Y,

]

)

⊥ ⊥ ⊥ = ∇ ∇ − − ∇ ∇ − − ∇ −

(

,

)

Y X Y A ⊥_VX XA YV h X A YV X YV ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ∇ = ∇ ∇ − − ∇ − − ∇ ∇

(

,

)

_{[ , ]}

[

,

]

XY Y V V X Y V A ⊥ V A X h Y A X V A X Y ⊥ ∇ + − ∇ + − ∇ + =R⊥

(

X Y V,

)

−h X A Y

(

, _V

) (

+h Y A X, _V

)

− ∇_XA Y_V + ∇_YA X_V (2.3.11) eşitliği elde edilir. (2.3.11) eşitliğinin her iki tarafını U∈χ⊥

( )

M ile çarptığımızda,

(

)

(

, V ,

)

(

(

, V

)

,

)

(

U , V

)

(

U

)

, V

g h Y A X U −g h X A Y U =g A Y A X −g A X A Y

= g

(

[

AU, ,AV

]

X Y,

)

;

[

AU,AV

]

= A AU V −A AV U

dir. Buradan da,

g R X Y V U

(

(

,

)

,

)

g R

(

(

X Y V U,

)

,

)

g

(

[

AU,AV

]

X Y,

)

⊥

= +

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğe Ricci denklemi adı verilir.

Tanım 2.3.7:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

, M nin ikinci temel formu h , M nin Riemann eğrilik tensörü R olsun.

( )

, , ,

X Y Z W χ M

∀ ∈ için R h. ;

(

R X Y h

(

,

)

.

)

(

Z W,

)

=R⊥

(

X Y h Z W,

) (

,

)

−h R X Y Z W

(

(

,

)

,

)

−h Z R X Y W

(

,

(

,

)

)

(2.3.12) ile tanımlıdır. Eğer M nin her noktasında

R h. =0

ise M ye M nin semi-paralel altmanifoldu denir (Deprez, 1985).

Tanım 2.3.8:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n− boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

olsun. Eğer n≥ için 3 M nin her noktasında R h. ve Q

( )

g h, tensörleri lineer bağımlı ise M ye M nın pseudoparalel altmanifoldu adı verilir.

Bu durumda M nin pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart

(

)

{

: Q , 0

}

U = p∈M g h ≠ kümesi üzerinde;

(

)

. Q , R h= L g h

olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır (Asperti ve ark. , 1999).

Tanım 2.3.9:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n− boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

olsun. Eğer n≥ için 3 M nin her noktasında R h. ve Q

( )

S h, tensörleri lineer bağımlı ise M ye M nın Ricci- genelleştirilmiş pseudoparalel altmanifoldu adı verilir. Bu durumda M nin Ricci- genelleştirilmiş pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart

(

)

{

: Q , 0

}

U = p∈M S h ≠ kümesi üzerinde

( )

. Q , R h= L S h

olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır. Üçüncü temel form ∇h ın kovaryant türevi ∇2h,

( )

(

)

(

)

(

)

2 _{, ; , ,}

h Z W X Y h Z W

= ∇⊥_X

( )

∇_Yh

(

Z W,

)

− ∇

( )

_Yh

(

∇_XZ W,

)

(

)

(

,

)

(

)

(

,

)

XY

Xh Z YW ∇ h Z W

− ∇ ∇ − ∇ (2.3.13)

biçiminde tanımlıdır (Chen, 1973). Eğer , 2 ₀

h

∇ = ise M ye paralel üçüncü temel formlu veya 2 – paraleldir denir. Buradan, (2.3.12) ve (2.3.13) eşitlikleri yardımı ile,

(

∇ ∇_{X Y}h

)

(

Z W,

)

− ∇ ∇

(

_{Y X}h

)

(

Z W,

)

=

(

R X Y h

(

,

)

.

)

(

Z W,

)

=R⊥

(

X Y h Z W,

) (

,

)

−h R X Y Z W

(

(

,

)

,

)

−h Z R X Y W

(

,

(

,

)

)

(2.3.14) olduğu görülmektedir (Chen, 1973).

Tanım 2.3.10:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n− boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

olsun. ∀X Y Z W U, , , , ∈χ

( )

M için R.∇h,

(

)

(

R X Y, .∇h

)

(

Z U W, ,

)

= R⊥

(

X Y,

)

₍

∇h Z W

(

,

)

_{) ( )}

− ∇h

(

R X Y Z W U

(

,

)

, ,

)

− ∇

( )

h

(

Z R X Y W U,

(

,

)

,

)

− ∇

( )

h

(

Z W R X Y U, ,

(

,

)

)

(2.3.15)

ile tanımlanır (Chen, 1973).

Eğer M nin her noktasında R.∇ =h 0 ise M ye 2 – semiparalel altmanifold denir (Arslan ve ark. , 2000).

Tanım 2.3.11:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n− boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

olsun. Eğer n≥ için 3 M nin her noktasında R.∇h ve Q

(

g,∇h

)

tensörleri lineer bağımlı ise M ye M nin 2 – pseudoparalel altmanifoldu adı verilir (Sular, 2009). Bu durumda M nin 2 – pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart,

(

)

{

: Q , 0

}

(

)

. Q ,

R∇ =h L g ∇h

olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır.

Tanım 2.3.12:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n− boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

olsun. Eğer n≥ için 3 M nin her noktasında R.∇h ve Q

(

S,∇h

)

tensörleri lineer bağımlı ise M ye M nin Ricci genelleştirilmiş 2 – pseudoparalel altmanifoldu adı verilir (Sular, 2009).

Bu durumda M nin Ricci – genelleştirilmiş 2 – pseudoparalel olması için gerek ve yeter şart U =

{

p∈M : Q

(

g,∇ ≠h

)

0

}

kümesi üzerinde;

(

)

. Q ,

R∇ =h L S ∇h

olmasıdır. Burada L fonksiyonu, U kümesi üzerinde iyi tanımlıdır.

Tanım 2.3.13:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun n boyutlu bir altmanifoldu

(

M g,

)

olsun. M üzerindeki bir x M∈ için TM

( )

x nin lokal ortonormal

{

e e1, ,...,2 en

}

bazını

alalım. M üzerinde

(

)

1 1 , n i i i H h e e n = =

∑

(2.3.16) biçiminde tanımlı vektöre M nin ortalama eğrilik vektörü denir (O’ Neill, 1983).

Eğer M

0 H =

eşitliği sağlanıyorsa M ye minimal altmanifold denir (Pandey ve Gupta, 2008). Eğer M üzerinde

0

H

∇ =

Tanım 2.3.14:

(

M g,

)

Riemann manifoldunun bir altmanifoldu M olsun.

(

)

, X Y TM ∀ ∈ Γ için,

(

,

)

(

,

)

h X Y = Hg X Y (2.3.17) ise M ye M nin umbilik altmanifoldu denir (Pandey ve Gupta, 2008).

Tanım 2.3.15:

(

M g,

)

bir Riemann manifoldu, M −de M nin bir altmanifoldu olsun. M nin ikinci teme formu h ve ortalama eğrilik vektörü H olmak

üzere,∀X Y, ∈ Γ

(

TM

)

için

(

)

(

, ,

)

(

,

)

g h X Y H =λg X Y (2.3.18) ise M manifolduna , M manifoldunun pseudo- umbilik altmanifoldu denir (Pandey ve Gupta, 2008).

3. KENMOTSU MANİFOLDLARI

Bu bölümde Hemen hemen kontak metrik manifoldlar yardımıyla Kenmotsu manifoldları tanımlanarak, Kenmotsu manifoldlarının bazı temel özelliklerine yer verilmiştir.

3. 1. Hemen hemen Kontak Metrik Manifoldlar

Tanım 3.1.1: M,

(

2n+ boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold olsun. ϕ , 1

)

M − üzerinde ( 1, 1 ) tipinde bir tensör alanı, ξ bir vektör alanı, η , M üzerinde diferensiyel 1- form olmak üzere, ∀ ∈X χ

( )

M için

{

ϕ ξ η, ,

}

üçlüsü;

( )

( )

: lineer M M ϕ χ ⎯⎯⎯→χ

( )

.

(

)

: dif bilir , M C M η χ _⎯⎯⎯→ ∞

( )

1 η ξ = ve 2

( )

X X X ϕ = − +η ξ (3.1.1)

koşullarını sağlıyor ise bu üçlüye bir hemen hemen kontak yapı,

{

M, , ,ϕ ξ η

}

dörtlüsüne de bir hemen hemen kontak manifoldu adı verilir (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 3.1.2: M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde X ≠ξ için

( )

1

η ξ = ve dη ξ

(

,X

)

= 0

olacak biçimde bir tek ξ χ∈

( )

M vektör alanı var ise ξ ye η kontak yapısının öz vektör alanı (duali) denir (Blair, 2002).

Tanım 3.1.3:

(

2n+ boyutlu 1

)

M hemen hemen kontak manifoldu üzerinde,

( )

, X Y χ M ∀ ∈ ve ξ χ∈

( )

M için,

( )

X g X

(

,

)

η = ξ (3.1.2) ve

(

,

)

(

,

) ( ) ( )

g ϕ ϕX Y = g X Y −η X η Y (3.1.3) koşullarını sağlayan bir g metriği var ise

{

ϕ ξ η, , , g

}

dörtlüsüne bir hemen hemen kontak metrik yapı,

{

M, , , ,ϕ ξ η g

}

beşlisine de bir hemen hemen kontak metrik manifold adı verilir. (Yano ve Kon, 1984)

Teorem 3.1.1:

(

2n+ boyutlu 1

)

M hemen hemen kontak metrik manifoldu üzerinde

( )

, X Y χ M ∀ ∈ için,

(

,

)

(

,

) ( ) ( )

g ϕ ϕX Y =g X Y −η X η Y

Sonuç 3.1.1:

(

2n+ boyutlu 1

)

M hemen hemen kontak metrik manifoldu verilmiş olsun. ∀X Y, ∈χ

( )

M için,

(

,

)

(

,

)

g ϕX Y = −g X ϕY (3.1.4) dir. Bu eşitlik de bize ϕ nin g ye göre anti-simetrik bir tensör alanı olduğunu gösterir (Yano ve Kon, 1984).

Teorem 3.1.2:

(

2n+ − boyutlu 1

)

M hemen hemen kontak manifoldu verilmiş olsun. M üzerinde bir η kontak yapısı verildiğinde, ∀X Y, ∈χ

( )

M için

( )

( )

: lineer M M ϕ χ ⎯⎯⎯→χ

(

,

)

(

,

)

g X ϕY =φ X Y

olacak şekilde bir

{

ϕ ξ η, , , g

}

Hemen hemen kontak metrik yapısı vardır (Yano ve Kon, 1984).

Tanım 3.1.4:

(

2n+ boyutlu diferensiyellenebilir 1

)

M manifoldu üzerinde, bir

{

ϕ ξ η, , , g

}

hemen hemen kontak metrik yapısı verilmiş olsun. ∀X Y, ∈χ

( )

M için

(

X Y,

)

g X

(

, Y

)

φ = ϕ (3.1.5) biçiminde tanımlı φ dönüşümüne

{

ϕ ξ η, , , g

}

hemen hemen kontak metrik yapısının temel 2 – formu denir (Yano ve Kon, 1984).

3. 2. Kenmotsu Manifoldlar

Bu bölümde Kenmotsu manifoldları ile ilgili genel kavramlar verilmiş olup, Kenmotsu manifoldu örnekle incelenmiştir.

Tanım 3.2.1: M ,

{

ϕ ξ η, , , g

}

yapısı ile verilmiş

(

2n+ − boyutlu bir hemen hemen 1

)

kontak metrik manifold olsun. Eğer M hemen hemen kontak metrik manifoldu üzerinde

0

dη = , dφ =2η φΛ

eşitlikleri sağlanıyorsa, M ye bir hemen hemen Kenmotsu manifoldu adı verilir (Pitiş, 2007).

Tanım 3.2.2: M ,

{

ϕ ξ η, , , g

}

yapısı ile verilmiş

(

2n+ − boyutlu bir hemen hemen 1

)

kontak metrik manifoldu olsun. Eğer M hemen hemen Kenmotsu manifoldu üzerinde

( )

, X Y χ M ∀ ∈ için; ϕ2X = − +X η

( )

X ξ , ϕξ=0, η ξ

( )

= , 1 η ϕ

( )

X = 0

( )

X g X

(

,

)

η = ξ ,

(

∇_Xϕ

)

Y =g

(

ϕX Y,

)

ξ η−

( )

Y ϕX (3.2.1) koşulları sağlanıyor ise, M ye Kenmotsu manifoldu adı verilir (Kenmotsu, 1972). Bir M Kenmotsu manifoldu üzerinde ∀X Y, ∈χ

( )

M için

∇Xξ = − +X η

( )

X ξ ve (3.2.2)

(

∇_Xη

)

Y =g X Y

(

,

) ( ) ( )

−η X η Y (3.2.3) eşitliği sağlanmaktadır (Kenmotsu, 1972).

Bir Kenmotsu manifoldunun R eğrilik tensörünün, (2.2.15) denkleminde Z =ξ olarak alındığında,

(

,

)

X Y Y X _[X Y, _] R X Y ξ = ∇ ∇ ξ − ∇ ∇ ξ− ∇ ξ = ∇ − +X

(

Y η

( )

Y X

)

− ∇ − +Y

(

X η

( )

X ξ

)

−g

(

[

X Y,

]

,ξ

)

= −∇XY + ∇X

(

η

( )

X ξ

)

+ ∇YX − ∇Y

(

η

( )

X ξ

)

−g

(

[

X Y,

]

,ξ

)

=

[

X Y,

]

+Xη

( )

Y ξ η+

( )

Y ∇Xξ −Yη

( )

X ξ η−

( )

X ∇Yξ−g

(

[

X Y,

]

,ξ

)

dir. Burada,

( )

( )

{

(

,

)

(

,

)

}

Xη Y ξ−Yη X ξ = Xg Y ξ −Yg X ξ ξ =

{

g

(

∇XY,ξ

)

+g

(

∇Xξ,Y

)

−g

(

∇YX,ξ

)

−g

(

∇Yξ,X

)

}

ξ =η

(

∇XY

)

ξ η− ∇

(

YX

)

ξ +g

(

− +X η

( )

X ξ,Y

)

ξ − − +g

(

Y η

( )

Y ξ,X

)

ξ =η

(

∇_XY

)

ξ η− ∇

(

_YX

)

ξ −g X Y

(

,

)

ξ η+

( ) ( )

X η Y ξ +g Y X

(

,

)

ξ η−

( ) ( )

X η Y ξ =η

(

∇XY

)

ξ η− ∇

(

YX

)

ξ

eşitliği elde edilip yerine yazılırsa,

(

,

)

[

,

]

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

R X Y ξ = X Y +η Y − +X η X ξ η− X − +Y η Y ξ

+η

(

∇XY

)

ξ η−

(

∇YX

)

ξ − −

(

[

X Y,

]

+η

(

[

X Y,

]

)

ξ

)

=

[

X Y,

]

−η

( )

Y X +η

( ) ( )

X η Y ξ η+

( )

X Y −η

( ) ( )

X η Y ξ

+ ∇η

(

_XY

)

ξ η−

(

∇_YX

)

ξ +

[

Y X,

]

−η

(

[

X Y,

]

)

ξ (3.2.4)

eşitliği elde edilir.

(3.2.4) denkleminde gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra,

R X Y

(

,

)

ξ η=

( )

X Y −η

( )

Y X (3.2.5) eşitliğini sağladığı görülmektedir (Kenmotsu, 1972).

Tanım 3.2.3: M bir Kenmotsu manifoldu olsun. Burada T_M

( )

p tanjant uzayında ξ vektör alanına dik bir X birim vektör alanı,

{

X,ϕX

}

ortonormal olacak biçimde var ise

{

X,ϕX

}

düzlemine T_M

( )

p nin ϕ− kesitseli denir.

Ayrıca

K X

(

,ϕX

)

=g R X

(

(

,ϕX

)

ϕX X,

)

(3.2.6) biçiminde tanımlanan ifadeye de M nin ϕ−kesitsel eğriliği denir (Kenmotsu, 1972). Tanım 3.2.4:

(

2n+ − boyutlu 1

)

M Kenmotsu manifoldunun R eğrilik tensörü

( )

, , X Y Z χ M ∀ ∈ için,

(

,

)

(

3

) ( )

,

(

,

)

4 c R X Y Z = − ⎡_⎣g Y Z X −g X Z Y⎤_⎦

(

1

_{) ( ) ( ) ( ) ( )}

_{( ) (}

₎

_{( ) (}

₎

, , 4 c X Z Y Y Z X Y g X Z X g Y Z η η η η η ξ η ξ + + _⎡⎣ − + − g X

(

,ϕ ϕZ

)

Y-g

(

Y,ϕ ϕZ

)

X+2g

(

X,ϕ ϕY

)

Z ⎤⎦ (3.2.7)

biçiminde ise M ye c= sabit ϕ−kesitsel eğriliğine sahip Kenmotsu uzay form adı verilir (Kenmotsu, 1972).

Örnek 3.2.1: M , R deki 3

(

x y z, ,

)

standart koordinatlar üzerinde z≠ olacak 0 biçimde tanımlı, 3− boyutlu bir Riemann manifoldu olsun. M üzerinde her noktada lineer bağımsız 1 e z x ∂ = ∂ , e2 z y ∂ = ∂ , e3 z z ∂ = − ∂

baz vektörlerini alalım. M üzerindeki g Riemann metriğini

(

2 2 2

)

2 dx dy dz g z + + =

(

1, 3

)

(

1, 2

)

(

2, 3

)

0

g e e =g e e =g e e =

(

1, 1

)

(

2, 2

)

(

3, 3

)

1

g e e = g e e = g e e = olduğu görülmektedir.

Diğer taraftan ϕ ( 1, 1 )- tipinde tensör alanını, ξ vektör alanını, η , 1 – formunu

( )

X χ M ∀ ∈ için,

( )

e1 e2 ϕ = − , ϕ

( )

e₂ = , e₁ ϕ

( )

e₃ = 0 3 e ξ = , η

( )

X =g X e

(

, ₃

)

biçiminde alalım. Buradan ϕ tensör alanı ve g metrik tensörünün lineerlik özelliklerini kullandığımızda ∀X Y, ∈χ

( )

M için;

( )

e3 1 η =

( )

2 3 X X X e ϕ = − +η ve

(

,

)

(

,

) ( ) ( )

g ϕ ϕX Y =g X Y −η X η Y

eşitliklerini sağlayarak

{

ϕ ξ η, , , g

}

nin M üzerinde bir hemen hemen kontak metrik yapı olduğu görülür.

Şimdi de M üzerindeki ∇ Levi – Civita konneksiyonunu alalım.

(

3_,

)

f ∈C olmak üzere,

[

e e1, 2

]

f =e e1

(

2

( )

f

)

−e e2

(

1

( )

f

)

=e zf₁

( )

_y −e₂

( )

zf_x