Matematik – Sayılar – I Dört İşlem Yeteneği, Temel Kavramlar

KAVRAMLAR

YGS

TEMEL MATEMATİK

01

Toplama İşlemi Çıkarma İşlemi Çarpma İşlemi Bölmeİşlemi Rakam Doğal Sayılar Tam sayılar Sayma Sayıları • Dört İşlem Yeteneği • Temel Kavramlar • Rakamlar, Doğal Sayılar, Tam Sayılar Kümesi

SAYILAR - I / DÖRT İŞLEM YETENEĞİ, TEMEL KAVRAMLAR

Dört İşlem Yeteneği

Örnek 1

16 – 8 : 2 + 6 – (–2) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Örnek 2

5 — (—2 + 3)

işleminin sonucu kaçtır?

A) —1 B) 0 C) 4 D) 6 E) 10

(ÖSS 2007)

Çözüm:

Örnek 3

2a – [a – (5a – 3a) . 2]

ifadesinin sadeleştirilmiş hâlini bulunuz.

Çözüm:

Örnek 4

(x + 2)(x — 1) — x(x — 3)

ifadesinin sadeleştirilmiş şeklini bulunuz.

Çözüm:

Örnek 5

(4 — 70:2).0 + 6 — 2.3 25 — 5 — 15 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

16 – 8 : 2 + 6 – (–2) öncelik öncelik 16 – 4 + 6 + 2 = 20 5 — (+1) = 5 — 1 = 4

Cevap C

Parantez içinden başlayalım. 2a – [a – (2a) .2] 2a – [a – 4a] 2a – (–3a) = 2a + 3a = 5a (x + 2)(x — 1) — x(x — 3) x2 — x + 2x — 2 — x2 + 3x 4x — 2 bulunur. (4 — 70:2).0 + 6 — 6 5 1542453 0 olur. 0 + 0₅ = 0 + 0 = 0

2

Örnek 6

(—1)2 + 5 — 22 35 — 21

işleminin sonucu kaçtır? A) —3 14 B) — 1 14 C) 5 14 D) 1 7 E) 4 7

(ÖSS 2007)

Çözüm:

Örnek 7

a2 — b2 = (a + b)(a — b)

olduğuna göre, 10012 — 9992 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Örnek 8

a3 — b3 =(a — b).(a2 + ab + b2) olduğuna göre; 913 — 1

45.(912 + 92) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Örnek 9

x ve y gerçek sayılar için, x

y = 2 olduğuna göre, I. x sıfır olamaz.

II. x ve y’nin işareti aynıdır. III. x tam sayı ise y de tam sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III

(ÖSS 2009)

Çözüm:

Örnek 10

a = —3 b = 2

olduğuna göre, ab — a — ab işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1 + 5 — 4 14 = 2 14 = 1 7 bulunur.

Cevap D

913 — 1 45.(912 + 91 + 1) = (91— 1).(912 + 91.1 + 12) 45.(912 + 91 + 1) = 90 45 = 2 bulunur.

I. x sıfır olursa sonuç sıfır olmak zorunda olacağın-dan, I doğrudur.

II. x

y = 2, 2 pozitif bir sayı olduğundan x ve y aynı işaretlidir. II doğrudur.

III. x

y = 2 eşitliği x = 3 iken y = 1,5 seçilirse doğru olur. y tam sayı olmak zorunda değildir. III yanlıştır.

Cevap B

10012 — 9992 = (1001 + 999).(1001 — 999) = 2000.2 = 4000 bulunur. a = —3 b = 2 ise ab — a — ab (—3)2 — (—3) — (—3).2 9 + 3 + 6 = 18 bulunur.

x, y, z ∈ Z olmak üzere, x + y + z x2 + y2 + z2 = 0 olduğuna göre, x + y z + y + z

x toplamının sonucu kaçtır?

Çözüm:

Örnek 12

1 — 2 + 3 — 4 + ... + 21 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Temel Kavramlar

Rakamlar, Doğal Sayılar ve Tam Sayılar

Kümesi

Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.

Rakamlar kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Doğal sayılar kümesi: N ile gösterilir. N = {0, 1, 2, 3, ...}

Tam sayılar kümesi: Z ile gösterilir. { ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

(Z—) (Z+)

Negatif tam sayılar Pozitif tam sayılar

Sıfır pozitif ya da negatif değildir.

Pozitif doğal sayılar kümesi (N+) ile pozitif tam sayılar kümesi (Z+) aynı kümedir. Bu kümelerin elemanlarına aynı zamanda sayma sayıları da denir.

Örnek 13

İki tanesi 5’ten büyük 5 rakamın toplamı 30 ise, en büyük rakam en az kaçtır?

Çözüm:

Örnek 14

a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır. Buna göre,

2a – 3b + 4c

işleminin sonucu en fazla kaç olabilir?

Çözüm:

1 — 2 + 3 — 4 + 5 — 6 +...+ 19 — 20 + 21 2 4 4

—1 —1 —1 —1 10 tane (—1) ve 1 tane 21’in toplamı —10 + 21 = 11’dir. x + y + z x2 + y2 + z2 = 0 ⇒ x + y + z = 0’dır. x + y + z = 0 ise x + y = —z ve y + z = —x’tir. x + y z + y + z x ⇒ —z z + —x x = —2 bulunur.

En büyük rakamın en az olması için sayılar mümkün olduğunca birbirine yakın seçilmelidir. 2 tanesi 5’ten büyük ise 3 tanesi 5’ten büyük değildir. Bu durumda sayılar şu şekilde seçilmelidir;

5 + 5 + 5 + 7 + 8 =30 En büyük sayı en az 8’dir.

Rakamlar kümesi

{0, 1, 2,...., 7, 8, 9}

a ve c’nin işaretleri pozitif olduğu için a ve c en büyük rakamlar seçilmeli, b’nin işareti negatif olduğu için b en küçük rakam seçilmelidir. c’nin kat sayısı, a’nın kat sayısından büyük olduğu için

c = 9, a = 8, b = 0 seçilirse, 2 . 8 – 3 . 0 + 4 . 9 = 52 bulunur.

4

Örnek 15

a, b ve c birbirinden farklı doğal sayılardır. 5a + 7b + 8c = 84

olduğuna göre, a’nın en büyük değeri kaçtır?

Çözüm:

Örnek 16

3a — 2 a + 6 ve a + 6 3a — 2

ifadelerini tam sayı yapan a değerlerinin toplamı kaç-tır?

Çözüm:

Örnek 17

I. İki rakamın toplamı bir sayma sayısıdır. II. 9’dan farklı iki rakamın toplamı en fazla 15’tir. III. Her doğal sayı bir sayma sayısıdır.

IV. Pozitif olmayan bütün tam sayılar, negatiftir. V. Bütün reel sayıların karesi pozitiftir.

Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi yanlıştır?

Çözüm:

Örnek 18

a, b ve c birer pozitif tam sayıdır. a b = 2 3 b c = 4 3

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

Çözüm:

5a = 84 – (7b + 8c)

Bu kısım 5’in katı olmalıdır. 7b + 8c = 4 olsaydı; 5a = 80 olurdu. Bu kısmı 4 yapamayız. 7b + 8c = 9 olsaydı; 5a = 75 olurdu. Bu kısmı 9 yapamayız. 7b + 8c = 14 olsaydı; 5a = 70 olurdu. Bu kısmı 14 yapabiliriz. c = 0, b = 2 için Bu durumda; 5a = 70 a = 14 bulunur.

I. 0 + 0 = 0, Sıfır sayma sayısı değildir. (Yanlış) II. 8 + 8 = 16’dır. (Yanlış)

III. 0 sayma sayısı değildir. (Yanlış) IV. 0 pozitif veya negatif değildir. (Yanlış) V. Sıfırın karesi pozitif değildir. (Yanlış)

Verilen bilgilerin hepsi yanlıştır. Bu durumda cevap 5’tir.

3a — 2

a + 6 ve a + 63a — 2 birbirinin çarpmaya göre tersleri olduklarından ancak +1 veya —1 olduklarında her ikisi de tam sayı olur.

Bu durumda, 3a — 2 a + 6 = 1 veya 3a — 2 a + 6 = —1’dir. 3a — 2 = a + 6 3a — 2 = —a — 6 2a = 8 4a = —4 a = 4 a = —1

a’nın alabileceği değerler toplamı 4 +(—1) = 3’tür.

a

b = 23 olduğu için a = 2’nin katı

b = 3’ün katı seçilmelidir. b

c = 43 olduğu için b = 4’ün katı

c = 3’ün katı seçilmelidir. b için 3’ün ve 4’ün katı olması gerektiğini bulduk, öyleyse b, 3 ve 4’ün katı yani 12’nin katıdır.

b = 12 için a = 8, c = 9 olur. a = 8k, b = 12k, c = 9k’dır. a + b + c = 8k + 12k + 9k = 29k En küçük değer için k = 1 alalım. a + b + c = 29 olur.

a ve b birer doğal sayıdır. 2a + 7b = 50

olduğuna göre, a. b çarpımının en büyük değeri kaçtır?

Çözüm:

Örnek 20

a ve b doğal sayıdır. 3a + 5b = 36

olduğuna göre, kaç farklı (a, b) ikilisi yazılabilir?

Çözüm:

Örnek 21

a, b, c birer tam sayıdır. a.b = 24 b.c = 18

olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

Örnek 22

a ve b sayma sayılarıdır. a + b = 24 olmak üzere, a.b

çarpımının en büyük değeri A, en küçük değeri B oldu-ğuna göre, A + B toplamı kaçtır?

Çözüm:

Örnek 23

a ve b tam sayılardır. a = 9 + 3x b = 14 — 3x

olduğuna göre a.b çarpımının en büyük değeri kaçtır?

Çözüm:

b = 0 için a = 25 ise a . b = 0 b = 2 için a = 18 ise a . b = 36 b = 4 için a = 11 ise a . b = 44 b = 6 için a = 4 ise a . b = 24

Bu durumda a.b çarpımının alabileceği en büyük değer 44 olur. 3a + 5b = 36 ↓ ↓ 12 0 7 3 2 6

a ve b’deki artma ve azalmalara dikkat ediniz.

(a, b) ikilisinin (12, 0), (7, 3) ve (2, 6) olmak üzere 3 farklı değeri vardır.

a + b = 24

a + b toplamı sabit bir sayı iken a.b’nin en büyük değe-ri alması için sayılar birbideğe-rine yakın, en küçük değedeğe-ri alması için sayılar birbirinden uzak seçilmelidir. a = 12 ve b = 12 seçilirse A = 144 a = 1 ve b = 23 seçilirse B = 23 olur. A + B = 144 + 23 = 167 bulunur.

a = 9 + 3x + b = 14 — 3x

a + b = 23 olur. a.b’nin en büyük olması için sayılar birbirine yakın seçilece-ğinden, a ve b sayıları sırasıyla 12 ve 11 seçilmelidir. a.b = 12.11 = 132 bulunur. a.b = 24 + b.c = 18 ab + bc = 42 ⇒ b.(a + c) = 42 ↓ \ —1 —42 b = —1, a + c = —42 seçilirse a + b + c = —43 bulunur.

6

SINIF İÇİ UYGULAMA :

SAYILAR - I / DÖRT İŞLEM YETENEĞİ, TEMEL KAVRAMLAR

1.

a, b, c, d pozitif tam sayılar ve

5₇ 10 21 a b a b = c = d : :

olduğuna göre, c + d toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm:

2.

a, b ve c pozitif tam sayılardır. a < b < c ve a + b + c = 150

olduğuna göre, b en çok kaç olabilir?

Çözüm:

3.

a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve a + b_b > 3 ve b + c_c < 4

olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm:

4.

a, b, c ve d birer rakamdır. abc bda + ddca

Yukarıdaki toplama işlemine göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?

Çözüm:

Cevap: 5

Cevap: 74 Cevap: 11

ÖDEV TESTİ :

SAYILAR - I / DÖRT İŞLEM YETENEĞİ, TEMEL KAVRAMLAR

1.

A = 8 – 2.3

B = 8 : 4 – 2

olduğuna göre, A + B – A . B işleminin sonucu kaç-tır?

A) –2 B) 2 C) 6 D) 12 E) 18

2.

8 : 4 : 2 : 1

ifadesinde istenildiği kadar parantez kullanılarak elde edilebilecek en büyük sayı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8

3.

a, b ve c birer rakamdır. a = 3b ve c = a + b

olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 12 D) 15 E) 16

4.

A B C + C B E +

Yukarıdaki işlemlere göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) A + C = E B) E – C = C + A C) A + 2B = E D) A + C – B = 2E

5.

3 • •4 •4 •    64 x +

Yukarıdaki çarpma işleminde her nokta bir rakamı gösterdiğine göre, çarpanların toplamı kaçtır?

A) 60 B) 56 C) 52 D) 50 E) 48

6.

a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere,

3a – 4b + 2c

ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 52 B) 48 C) 43 D) 39 E) 35

7.

x, y, z negatif tam sayılar olmak üzere, x = 3y + 5

y = 2z + 3

olduğuna göre, x + y + z toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) –12 B) –11 C) –10 D) –9 E) –8

8.

Her n pozitif tam sayısı için n sayısı

n = n(n + 2)(n + 4)

olduğuna göre, 10 – 8

6 işleminin sonucu kaçtır?

A) 1 3 B)

1

2

C)

3

2

D)

5

2

E)

7

2

8

B - D - E - C | A - C - C - C | D - B - E - D | A - B - A - D

9.

3x – 12 x

ifadesi doğal sayı olduğuna göre, x’in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 28 B) 22 C) 0 D) –6 E) –8

10.

x, y ve z birer tam sayı olmak üzere,

0 < x < y < 8 ve z = y_x

olduğuna göre, z’nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

11.

a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere,

a + c = 15 b.c = 14

olduğuna göre, a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

12.

x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere,

x.y = 5.x –14

olduğuna göre, y’nin alabileceği kaç farklı değer vardır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

13.

a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,

5a + b = 20

olduğuna göre, 5b + a’nın alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin farkı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 48 B) 50 C) 52 D) 58 E) 60

14.

x, y ve z birer pozitif tam sayıdır.

3x + 2y + 5z = 123

olduğuna göre, x’in alabileceği en küçük değer için y + z toplamı en çok kaçtır?

A) 60 B) 57 C) 54 D) 51 E) 48

15.

abc x 32 . . . + d e f 3 968

Yukarıdaki çarpma işleminde a, b, c, d, e, f birer rakamdır.

Buna göre, d – e + f işleminin sonucu kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

16.

a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere,

a < b < c ve c + b_a = 33

olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?