• Sonuç bulunamadı

Yarım Düzlem Üzerine Oturan Fonksiyonel Derecelendirilmiş Bir Tabakanın Eksenel Simetrik Temas Problemi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Yarım Düzlem Üzerine Oturan Fonksiyonel Derecelendirilmiş Bir Tabakanın Eksenel Simetrik Temas Problemi"

Copied!
11
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ

24-28 Ağustos 2015, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon

YARIM DÜZLEM ÜZERİNE OTURAN (YAPIŞTIRILMIŞ) FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ BİR TABAKANIN EKSENEL SİMETRİK TEMAS

PROBLEMİ

Gökhan Adıyaman1, Ahmet Birinci2, Muhittin Turan3 veVolkan Kahya4 1,2,3,4 Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon

ABSTRACT

In this study, a contact problem of a functionally graded (FG) layer resting on a half plane and pressed with distributed load from the top was considered according to theory of elasticity and finite element method. The problem was solved analytically applying boundary conditions on equilibrium equations, constitutive equations and strain-displacement equations in polar coordinates by the help of Henkel integral transform techniques. The effect of distributed load amplitude and functional change of material properties on the distribution of stress in the layer. In addition, it is shown that the results obtained are agreed well with the results obtained from ANSYS which uses finite element method.

ÖZET

Bu çalışmada, yarım düzlem üzerine oturan ve üstten yayılı yükler ile bastırılan fonksiyonel derecelendirilmiş (FD) bir tabakanın eksenel simetrik temas problemi elastisite teorisi ve sonlu elemanlar metoduna göre incelenmiştir. Polar koordinatlardaki denge denklemleri, bünye denklemleri ve şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntılarına sınır şartları uygulanarak problem Henkel integral dönüşüm teknikleri kullanılarak analitik olarak çözülmüştür. Çalışmada, yayılı yükün uygulama genişliği ve malzeme özelliklerinin fonksiyonel değişiminin tabakada oluşacak gerilme dağılışlarına etkisi incelenmiştir. Ayrıca elde edilen sonuçların sonlu elemanlar metodu kullanan ANSYS paket programından bulunan sonuçlarla uyumlu olduğu gösterilmiştir.

GİRİŞ

Çalışmada söz konusu olan fonksiyonel derecelendirilmiş malzeme (FDM) farklı malzemelerin üstün özelliklerini birleştirme düşüncesiyle malzeme teknolojisinde doğmuş bir fikirdir. İki farklı malzemenin tek bir yapıda uyumlu şekilde çalışabilmesi için metal-seramik arası geçişler anî değildir. Bu sayede malzemenin yapı özellikleri, sabit sayısal değerler olarak değil, fonksiyonlar ile ifade edilmektedir. Fonksiyonel Derecelendirilmiş Malzemeler’ de, malzeme yapı ve kompozisyonu cismin içerisinde kademeli/dereceli olarak değişir ve bunun sonucunda malzeme özellikleri değişir. Bu özelliklerinden dolayı FDM geniş bir uygulama alanına sahiptir.

Literatürde konu ile ilgili pek çok çalışma mevcuttur. Bunlardan bazıları şöyle özetlenebilir. Geçit [1] yarı sonsuz silindir ile bastırılan yarım düzlem problemini elosto-statik olarak incelemiştir. Problem tekil integral denklem sistemine dönüştürülerek analitik olarak çözülmüştür. Yarım düzlem üzerine oturan FD bir tabakanın ayrılmalı temas problemi

(2)

El-Borgi ve diğerleri [2] tarafından incelenmiştir. Rhimi ve diğerleri [3] yarım düzlem üzerine oturan FD bir tabakanın ayrılmalı eksenel simetrik temas problemini çözmüşlerdir. Yine benzer şekilde yarım düzlem üzerine oturan ve dairesel bir panç ile yüklenen FD bir tabakanın eksenel simetrik temas problemi Rhimi ve diğerleri [4] tarafından ele alınmıştır. Yaylacı ve diğerleri [5] bir kontak probleminin analitik ve ANSYS çözümlerini bularak, elde edilen sonuçları karşılaştırmışlardır.

Yapılan bu çalışmalara [1-5] bakıldığında, yarım düzlem üzerine oturan FDM ‘den oluşmuş bir tabakanın eksenel simetrik temas problemini henüz literatürde yer almadığı görülmektedir. Bu çalışmada bu problemin analitik ve sonlu elemanlar (ANSYS) çözümleri yapılarak elde edilen sonuçlar karşılaştırılmalı olarak grafikler halinde verilmiştir.

PROBLEMİN ANALTİK ÇÖZÜMÜ

Bu çalışmada, yarım düzlem üzerine oturan fonksiyonel derecelendirilmiş (FD) bir tabakanın eksenel simetrik temas problemi elastisite teorisine göre incelenmiştir. Tabakaya eksenel simetrik olacak şekilde üstten 0 r a  aralığında yayılı yük ile bastırılmaktadır.

Tabaka h yüksekliğinde olup r ekseni boyunca, ( , ) aralığında uzanmaktadır.

Şekil 1. Probleminin Geometri ve Yükleme Durumu

Fonksiyonel derecelendirilmiş tabakanın Poisson oranının (v1) sabit olduğu ve kayma

modülünün (G1) z ekseni boyunca fonksiyonel olarak değiştiği kabul edilmektedir.

1( ) 0 z

G zG e

Burada, G0 tabakanın z  ’daki kayma modülü değerini ve  ise kayma modülünün tabaka 0 içindeki değişimi gösteren parametreyi ifade etmektedir. Yarım düzlem homojen olup sabit Poisson oranı ( ) ve sabit kayma modülüne (2 G2) sahiptir.

r

r

z

G1(z)

(3)

Problem z eksenine göre eksenel simetrik olduğundan problemin çözümünün (r  ) 0 aralığında yapılması yeterli olacaktır.

Kütle kuvvetleri ihmal edilirse, polar koordinatlarda ( , )r  eksenel simetrik durum için denge

denklemleri, bünye denklemleri ve şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları:

0, 0, r r zr rz z rz r z r r z r                    (1a,b)

( 2 ) , ( 2 ) , r G r z   Gr z               (2a,b)

( 2 ) , , z G z rrz g rz           (2c,d) , , , r r z r r z rz u u u u uz rr z z r               (3a-d)

şeklindedir. Burada u r zr

 

, ve u r zz

 

, yer değiştirme bileşenlerini, r

 

r z, ,

 

r z, ,

 

,

z r z

 ve r

 

r z, gerilme bileşenlerini ve r( , )r z , ( , )r z , z( , )r z ve r( , )r z şekil değiştirme bileşenlerinin göstermektedir. (2) ve (3) ifadeleri (1) ifadelerinde yerlerine yazılırsa denge denklemleri yer değiştirmeler cinsinden aşağıdaki gibi elde edilebilir.

2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 0 i i i i i i i i r r z i r r z r z i i i u u u u r r r z r r u u u u r z z r z                                       (4a) 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) (3 ) ( 1) 0 i i i i i i i i r r z r z i i r z r i r z i i i i u u u u u r z r z z r z r u u u u u r z r r r z                                                             (4b) (i 1, 2)

Burada, 1 ve 2 alt indisleri ilgili ifadenin sırasıyla fonksiyonel derecelendirilmiş tabakaya ya da yarım düzleme ait olduğunu göstermekte ve  malzeme sabiti olup ii  3 4i (i 1, 2) şeklindedir. Yarım düzlem homojen olduğundan 20 olmaktadır.

Probleme ait sınır şartları aşağıdaki gibi yazılabilir.

1 1 ( ) , ( , 0) , ( , 0) 0, 0 , 0 z rz q r r a r r r         (5a,b) 1( , ) 2( , ), 1( , ) 2( , ), z r h z r h rz r h rz r h         (5c,d) 1( , ) 2( , ) , 1( , ) 2( , ) . r r z z u r h u r h u r h u r h r r             (5e,f)

(4)

Yer değiştirme ifadelerinin Henkel dönüşümleri: 1 0 0 0 ( , ) ( ) , ( , ) ( ) , r z u   z Jr du   z Jr d   

(6a,b)

şeklindedir. Burada  ve  ifadeleri ur ve uz ifadelerinin ters Henkel dönüşümleri olup aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

1 0 0 0 ( , )z ru r z Jr( , ) ( r dr) , ( , )z ru r z Jz( , ) ( r dr)         

(7a,b)

(4a,b) ifadelerinin J0 ve J1 ile çarpılarak 0’dan ’a kadar integrali alınıp (6) ifadeleri yerlerine yazılırsa: 2 2 2 ( 1) i ( 1) i ( 1) 2 i ( 1) 0 i i i i i i i z z z                            (8a) 2 2 2 ( 1) i ( 1) i ( 1) 2 i (3 ) 0 ( 1, 2) i i i i i i i i z z z                             (8b)

ikinci mertebeden homojen lineer diferansiyel denklem sistemi elde edilir.

Fonksiyonel derecelendirilmiş tabaka için (i 1, 1 ve G z1( )G e0z) (8) ifadelerinde

geçen 1 ve 1 aşağıdaki gibi elde edilir.

 

 

4 4 1 1 1 1 exp , exp . j j j j j j j A n y A m n y     

(9a,b)

Burada geçen nj ifadeleri aşağıdaki gibi yazılabilecek (8) ifadelerine ait karakteristik

denklemin kökleridir. 4 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 ( 2 ) 2 ( ) 0. 1 j j j j nn   n  n               (10) Bu denklemin kökleri 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 4 , 4 4 , 2 1 2 1 n    in    i                                (11a,b) 2 2 1 2 2 1 3 4 1 1 3 3 1 1 4 4 , 4 4 , 2 1 2 1 n    in    i                                (11c,d)

şeklinde yazılabilir. (9) ifadelerinde geçen mj ifadesi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

 



2 1 1 1 2 2 1 1 3 2 1 3 , ( 1,..., 4). 4 3 1 j j j j n n n m j                             (12)

(5)

(6) ve (9) ifadeleri kullanılarak FD tabaka için bu çalışmada incelenecek olan gerilme ve yer değiştirme ifadeleri

1 4 ( ) 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 j n z z j j j G z A C eJ r d            

(13a) 1 4 ( ) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) nj z ( ) , rz j j j G z A D eJ r d          

(13b) 4 1 1 0 ( ) j n z r j j uA e J r d     

, 4 0 1 0 ( ) j n z z j j j uA m e J r d     

(j 1,..., 4) (14a,b)

şeklinde yeniden yazılabilir. Bu ifadelerde geçen Cj ve Dj (j 1,..., 4) ifadeleri aşağıdaki gibi

tanımlanabilir.

3 1

 

1 1

( ) ( ), ( ) ( ).

j j j j j j

C      mnDn   m  (15a,b)

Yarım düzlem için (i  , 2 20) (8) ifadelerine ilişkin karakteristik denklem aşağıdaki gibidir.

4 2 2 4

2 0

n   n   (16)

(16) denklemine ait iki adet çift katlı kök ;

1,2 , 3,4

n  n    (17a,b,c,d)

Şeklinde bulunur. Yer değiştirmelerin sonsuzda (z  ) sıfır olma (u r 0, u z 0) şartı da göz önünde tutularak, (8) denklemlerinde geçen 2 ve 2ifadeleri aşağıdaki gibi yazılabilir. 2 (B1 B z e2 ) z    , 2 B1 2 z B2 ez             (18a,b)

(6) ve (18) ifadeleri kullanılarak yarım düzlem için bu çalışmada incelenecek olan gerilme ve yer değiştirme ifadeleri



2 2 2 1 2 2 2 0 2 0 1 1 2 ( 1) 2 ( ) 1 z z G B B zB e J r d                  

(19a)

2 2 1 2 2 2 1 0 2 (1 ) 2 z ( ) rz G B B zB e J r d    

        (19b)

2 1 2 1 0 ( ) z r uB B z e J r  d  

 , 2 2 1 2 0 0 ( ) z z uBz B e J r  d        

(20a,b)

şeklinde yazılabilir. (13, 14,19 ve 20) ifadelerinde geçen Ai (i 1,..., 4), B1 ve B2 katsayıları bilinmeyen olup, sınır şartlarının (13, 14, 19, 20) ifadelerine uygulanması ile elde edilecek (E.1) ifadesi ile verilen lineer denklem sisteminin çözümünden elde edilebilir.

(6)

PROBLEMİN SONLU ELEMANLAR METODU İLE ÇÖZÜMÜ

Sonlu elemanalar metodu (SEM) kısmi diferansiyel ve integral denklemlerin çözümü için yaklaşık bir çözüm yöntemidir. Bu çalışmada sonlu elemanlar analizi için ANSYS isimli paket program kullanılmıştır. Modelin oluşturulurken, yer değiştirme değerlerinin yüklemenin olmadığı uçlarda sıfır olacağı şekilde boyutlandırma yapılmıştır. Fonksiyonel derecelendirilmiş tabaka, kendi içinde homojen ve malzeme özellikleri sabit 20 katmanın birleşimi olarak modellenmiştir. Her bir katmanın malzeme özellikleri, katmanın tabaka içindeki konumuna göre değişmektedir. Probleme ait modelin üç boyutlu görünümü ve analiz sonrasındaki şekil değiştirmiş halinin iki boyutlu görünümü sırasıyla Şekil 2a ve 2b ‘de verilmiştir.

a. Üç boyutlu Model b. Şekil Değiştirmiş Hal Şekil 2. Probleme ait ANSYS modeli ve analiz sonrası şekil değiştirmiş hali

SAYISAL SONUÇLAR

Problemin geometrisi ve ilgili eksen takımı Şekil.1’de verilmiştir. FD tabaka üzerine etkiyen yayılı yük (q r( )), bileşkesi 1 olacak şekilde (Q 1), tekil yük ( /a h 0.01) veya düzgün yayılı yük (a h / 0.1, 0.5, 1.0, 2.0) olacak şekilde seçilmiştir. FD tabakanın alt ucundaki ( z  ) kayma modülü aşağıdaki gibi tanımlanabilir. h

0 h

h

GG e (17a,b,c,d)

Sonuçlarda verilen tüm değerler normalize edilmiştir büyüklüklerdir. Tabakanın yüksekliği 1

h  olarak alınırken tabakanın ve yarım düzlemin Poisson oranları  12 0.3 olarak alınmıştır. Yarım düzleme ait kayma modülü tabakanın alt ucundaki kayma modülüne eşit (G2Gh) seçilmiştir.

0/ h

G G oranı tabakanın üst ucunun kayma modülünün tabakanın alt ucundaki kayma modülüne oranını göstermekte olup fonksiyonel derecelendirilmiş tabakanın malzeme özelliklerinin derinlik boyunca değişimini ifade etmektedir. Bu oran 1’ e eşit olursa

(7)

(G0/G h 1) malzeme özelliklerinin değişmediğini, yani homojen bir tabaka olduğunu gösterir. Bu oran 1’den büyük olursa (G0/G h 1) derinlik boyunca rijitliğin azaldığını, 1’den küçük olursa (G0/G h 1) rijitliğin tabaka boyunca arttığını ifade eder.

Normalize edilmiş düşey normal gerilme (z /q0) ve yer değiştirmenin (uz /h) derinlik boyunca ( /z h ) farklı G0/Gh oranları için simetri ekseni boyunca değişimi Şekil 3’te verilmiştir. Şekilde (2) numaralı grafikler homojen tabakaya (G0/G h 1) ait grafikleri göstermektedir. G0/Gh oranı büyüdükçe (G0/G h 1) yani tabakanın üst kısmının rijitliği arttıkça tabaka içinde meydana gelen gerilmeler ve yer değiştirmeler azalmaktadır. G0/Gh

oranı küçüldüğünde ise (G0/G h 1) tabaka içinde meydana gelen gerilmeler ve yer değiştirmeler artmaktadır.

Şekil 4’ te z/q0 ve uz /h’ın derinlik boyunca ( /z h ) farklı /a h oranları için r  simetri 0 ekseni boyunca değişimi sabit G0/G h 0.25oranı için verilmiştir. Q 1 olacak şekilde yayılı yükün genişliği ( /a h ) arttıkça tabaka içinde meydana gelen gerilmelerde artmaktadır. Yer değiştirmeler ise artan /a h değerleri için azalmaktadır.

a) b)

Şekil 3. Normalize edilmiş düşey gerilme (z /q0) ve yer değiştirmenin (uz /h) derinlik boyunca ( /z h ) farklı G0/Gh oranları için değişimi. (1) G0/G h 0.25, (2) G0/G h 1, (3)

0/ h 4

(8)

a) b)

Şekil 4. Normalize edilmiş düşey gerilme (z /q0) ve yer değiştirmenin (uz /h) derinlik boyunca ( /z h ) farklı a h oranları için değişimi. (1) / a h / 0.5, (2) a h / 1.0, (3)

/ 2

a h  . (G0/G h 0.25)

Normalize edilmiş normal ve kayma gerilmelerinin (z /q0, rz/ ) tabaka-yarım düzlem 0 ara yüzeyi boyunca değişimi tekil yük ( /a h 0.01) ve yayılı yük ( /a h 1.0) durumları için sırasıyla Şekil 5a ve 5b’de verilmiştir. G0/Gh oranı büyüdükçe tabaka-yarım düzlem arasında meydana gelen normal gerilmeler azalmaktadır. Normal gerilmeler arasındaki fark

0

r  simetri ekseninde en büyük olurken, bu noktadan uzaklaşıldıkça z /q0 farkları azalmaktadır. Kayma gerilmeleri arasındaki fark simetri ekseninde sıfır olurken r h/ arttıkça önce artmakta sonra tekrar azalmaktadır. Şekil 5a ve 5b beraber incelendiğinde /a h arttıkça farklı G0/Gh oranları arasındaki gerilme farkları oranı

(1) (2) (1)            azalmaktadır. a) b)

Şekil 5. Normalize edilmiş ara yüzey gerilmelerinin (z /q0, rz/ ) ara yüzey boyunca 0 ( /r h ) değişimi, (a) a h / 0.01, (b) /a h 1.0, (1) G0/G h 0.25, (2) G0/G h 4.

(9)

SONUÇLAR

Bu çalışmada, yarım düzlem üzerine oturan fonksiyonel derecelendirilmiş bir tabakanın elastisite teorisi ve sonlu elemanlar yöntemine (ANSYS) göre çözümü yapılmıştır. İki farklı yöntemden elde edilen sonuçlar grafikler yardımıyla verilmiş ve karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırma sonucunda sonuçların birbirine çok yakın olduğu teyit edilmiştir. Grafikler incelendiğinde, tabaka içinde ve ara yüzeyde meydana gelen boyutsuz normal gerilme (z /q0) ve yer değiştirmelerin (uz /h) G0/Gh oranının artması ile azaldığı görülmektedir. Yayılı yük genişliği ( /a h ) arttıkça z /q0 artarken uz /h azalmaktadır.

KAYNAKLAR

[1] Gecit, M.R., 1986. Axisymmetric contact problem for a semi-infinite cylinder and a half-space. International Journal of Engineering Science 24 (8), 1245–1256.

[2] El-Borgi, S., Abdelmoula, R., Keer, L., 2006. A receding contact plane problem between a functionally graded layer and a homogeneous substrate. International Journal of Solids and Structures 46, 658–674.

[3] Rhimi, M., El-Borgi, S., Ben Said, W., Ben Jemaa, F., 2009. A receding contact axisymmetric problem between a functionally graded layer and a homogeneous substrate. International Journal of

[4] Rhimi, M., El-Borgi, S., Lajnef, N., 2011. A double receding contact axisymmetric problem between a functionally graded layer and a homogeneous substrate. Mechanics of Materials 43, 787-798.

[5] Yaylaci, M., Oner, E. and Birinci, A., 2014, Comparison Between Analytical and ANSYS Calculations for a Receding Contact Problem, J. of Eng. and Mech., 140(9), 04014070

[6] Sneddon, I.N, The Use of Integral Transforms, McGraw-Hill, 1972.

(10)
(11)

XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ

24-28 Ağustos 2015, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon EK

1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 1 2 3

exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

( ) exp( ( ) ) ( ) exp( ( ) ) ( ) exp( ( ) ) ( exp( ( ) ) exp( ( ) ) exp( ( ) )

C C C C D D D D C n h C n h C n h C n h D n h D n h D n h D n h m n h m n h m n h m n h n h n h                             

1 2 3 2 2 2 4 2 1 2 4 2 4 0 0 0 0 2 ( 1) exp( ) ( 1)( 1 2 ) exp( ) 2 exp( ) (1 2 ) exp( ) exp( ) / exp( ) ) exp( ( ) ) exp( ) exp( ) exp( ( ) ) A A A R h R h h A R h R h h B h h h n h B h h h n h                                                                          0 0 0 0 0 q                        (E.1)

Referanslar

Benzer Belgeler

Henüz kanı dinmemiş yaralariyle İsta­ nbul sokaklarını dolduran Türk ve Müslüman muhacirleri Yunan zulum ve şe­ naatini her gün gözlerimize teşhir ederken

Today every American who visits Turkey agrees that the country has progressed greatly and that America can count on Turkey as a staunch ally.. I feel great pride

tabloların tümünün yurtdışmda satın alındığını ve hiçbir zaman Türkiye'den getirilmediklerini belirten Aksoy, “Bunların İngiltere'de bir nakliye firması tarafından

1990 yılı tüm Avrupa’da “Van Gogh Yılı” olarak ilan edildi ve sa­ natçının doğum tarihi olan 30 mart­ tan itib aren çeşitli sergiler, etkinlikler ve

5. AYAK: Sabah idmanlarında çok iyi görünen, salı sabahı sprin­ tini 400’de 29 kolay yapan Eray 1, erken yürümemesi halinde yarışın en şanslı ismi olur. Çorşin

19H1 yılında İstanbul Devlet Güzel Sanatlar Akademisi Neşet Gü- nal Atölyesi’nden me­ zun olan sanatçı, re­ sim lerinde aslolanın ışık ve hikaye

Bu bölümde, klasik PID ve kesirli mertebeden PID kontrolörler, sistemin doğrusal modeli kullanılarak tasarlanacak ve tasarlanan bu kontrolörlerin başarımı önce

Artificial Neural Networks compares the input imag[4]e and the dataset images to detect teeth in the input image, after detecting teeth in image it predicts to which person in